5.1 矩阵的概念课件
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线性代数第一章、矩阵PPT课件
矩阵的秩的计算方法
可以通过初等行变换或初等列变换将矩阵转化为行阶梯形或列阶梯形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。
高斯消元法
克拉默法则
迭代法
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过解方程组求出方程的解。
n阶方阵A的行列式记为det(A)，是一个n阶的方阵，其值是一个实数。
行列式与转置矩阵的行列式相等，即det(A^T) = det(A)；行列式的乘法性质，即det(kA) = k^n * det(A)；行列式的初等变换性质，即行列式在初等变换下保持不变。
行列式的定义与性质
行列式的性质
行列式的定义
线性代数第一章、矩阵ppt课件
目录
CONTENTS
矩阵的定义与性质 矩阵的逆与行列式 矩阵的秩与线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的分解与正交矩阵 矩阵在实际问题中的应用
01
矩阵的定义与性质
CHAPTER
矩阵的定义与性质
about the subject matter here refers to the subject matter here.
相似法
如果存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵A的特征值和特征向量可以通过矩阵B的特征值和特征向量来求解。
特征值与特征向量的计算方法
如果矩阵A的所有特征值都是实数且没有重复，则矩阵A可以对角化。
判断矩阵是否可对角化
求解线性方程组
判断矩阵是否相似
优化问题
通过将线性方程组Ax=b转化为特征值问题，可以求解线性方程组。
可以通过初等行变换或初等列变换将矩阵转化为行阶梯形或列阶梯形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。
高斯消元法
克拉默法则
迭代法
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过解方程组求出方程的解。
n阶方阵A的行列式记为det(A)，是一个n阶的方阵，其值是一个实数。
行列式与转置矩阵的行列式相等，即det(A^T) = det(A)；行列式的乘法性质，即det(kA) = k^n * det(A)；行列式的初等变换性质，即行列式在初等变换下保持不变。
行列式的定义与性质
行列式的性质
行列式的定义
线性代数第一章、矩阵ppt课件
目录
CONTENTS
矩阵的定义与性质 矩阵的逆与行列式 矩阵的秩与线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的分解与正交矩阵 矩阵在实际问题中的应用
01
矩阵的定义与性质
CHAPTER
矩阵的定义与性质
about the subject matter here refers to the subject matter here.
相似法
如果存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵A的特征值和特征向量可以通过矩阵B的特征值和特征向量来求解。
特征值与特征向量的计算方法
如果矩阵A的所有特征值都是实数且没有重复，则矩阵A可以对角化。
判断矩阵是否可对角化
求解线性方程组
判断矩阵是否相似
优化问题
通过将线性方程组Ax=b转化为特征值问题，可以求解线性方程组。
《矩阵概念简易入门》课件
些基本的数学性质，如加法、数乘、乘法等。
详细描述
矩阵的加法是将两个矩阵的对应元素相加，数乘则是将矩阵 中的每个元素乘以一个常数。此外，矩阵还可以进行乘法运 算，但要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
特殊类型的矩阵
总结词
特殊类型的矩阵包括零矩阵、单位矩阵、对称矩阵等。
系数矩阵
线性方程组中的系数和常数项可以组 合成一个系数矩阵，通过对方程组进 行初等行变换，可以化简系数矩阵， 从而求得方程组的解。
在向量空间中的应用
向量空间
矩阵可以表示向量空间中的线性 变换，通过矩阵的乘法运算，可 以实现向量的线性组合、缩放、 旋转等操作。
特征值与特征向量
矩阵的特征值和特征向量在向量 空间中具有重要应用，它们可以 描述矩阵对向量空间的变换性质 ，以及向量在变换下的表现。
《矩阵概念简易入门》ppt课件
目录
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的运算 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的应用 • 总结与展望
01
矩阵的定义与性质
矩阵的定义
总结词
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，通常用于表示二维数据。
详细描述
矩阵是一个由行和列组成的二维表格，其中每个元素由行索引和列索引唯一确 定。矩阵可以用于表示各种数据结构，如线性方程组的系数矩阵、概率分布等 。
03
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
01
02
03
逆矩阵的定义
如果一个矩阵A存在一个 逆矩阵A^(-1)，使得A * A^(-1) = I（单位矩阵） ，则称A为可逆矩阵。
逆矩阵的性质
逆矩阵是唯一的，且逆矩 阵与原矩阵的乘积等于单 位矩阵。
逆矩阵的计算方法
通过高斯消元法或LU分解 等数值方法求解。
详细描述
矩阵的加法是将两个矩阵的对应元素相加，数乘则是将矩阵 中的每个元素乘以一个常数。此外，矩阵还可以进行乘法运 算，但要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
特殊类型的矩阵
总结词
特殊类型的矩阵包括零矩阵、单位矩阵、对称矩阵等。
系数矩阵
线性方程组中的系数和常数项可以组 合成一个系数矩阵，通过对方程组进 行初等行变换，可以化简系数矩阵， 从而求得方程组的解。
在向量空间中的应用
向量空间
矩阵可以表示向量空间中的线性 变换，通过矩阵的乘法运算，可 以实现向量的线性组合、缩放、 旋转等操作。
特征值与特征向量
矩阵的特征值和特征向量在向量 空间中具有重要应用，它们可以 描述矩阵对向量空间的变换性质 ，以及向量在变换下的表现。
《矩阵概念简易入门》ppt课件
目录
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的运算 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的应用 • 总结与展望
01
矩阵的定义与性质
矩阵的定义
总结词
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，通常用于表示二维数据。
详细描述
矩阵是一个由行和列组成的二维表格，其中每个元素由行索引和列索引唯一确 定。矩阵可以用于表示各种数据结构，如线性方程组的系数矩阵、概率分布等 。
03
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
01
02
03
逆矩阵的定义
如果一个矩阵A存在一个 逆矩阵A^(-1)，使得A * A^(-1) = I（单位矩阵） ，则称A为可逆矩阵。
逆矩阵的性质
逆矩阵是唯一的，且逆矩 阵与原矩阵的乘积等于单 位矩阵。
逆矩阵的计算方法
通过高斯消元法或LU分解 等数值方法求解。
工程数学第二章矩阵课件
68 34
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结束
例 6 若 A 为 n 阶方阵， k 为实数，则 kA kn A .
证 由于 A 为 n 阶方阵， k 为实数，根据数与矩阵乘法的定义知， kA 是将 A 的 每个元素都乘以 k ，在求 kA 时，根据行列式性质的单行可提性，每一行提出一个 k ， 所以 kA kn A .
例1
已知
a
3
b
a
3
b
c
7
d
2c d 3
，求
a,b,c, d
．
解 根据题意，得
a b 7,
2c d 3,
cd
3,
a b 3
故 a 5,b 2,c 2, d 1 .
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返回
结束
例2 设
A
1 3
2 4
，
B
0 1
2 1
，
试求：（1） A 与 B 是否相等？（2） A , B .
；
0
0
A
0
0 0
0 0
0 2 1 0 4 2
0
3
2
5
1
3
10 2 5
4
1
.
0 A 称为 A 的负矩阵，记为 A，其中 A与 A 的每个对应元素都互为相反数．
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返回
结束
矩阵加法具有如下性质：
假设 A, B,C, 0 均为 m n 矩阵，则 （1） A B B A（交换律）； （2） (A B) C A (B C) （结合律）； （3） A 0 0 A A； （4） A (A) 0 .
5
3
7 5
4 2
矩阵PPT课件
11
1 3 2 4
例1.设
A
1
5
7
8
0 4 6 9
求A+B
3 7 2 11
B
4
10
9
0
2 8 6 5
41310 34715 2 2 411
解： A+B
032121425
516108
7 9
412814 6 6
80 95
12
三、数与矩阵的乘法 (P30)
1. 定义
设 是常数， A = ( aij ) m×n ，则矩阵
a1n
a2
n
,
0
ann
其中 aij = 0, i > j
9.下三角矩阵
a11 a 21
a 22
0
,
其中 aij = 0, i < j
a n1 a n 2 a nn
8
§2 矩阵的运算
一、矩阵的加 法（P29)
1. 定义
设 A = ( aij )m×n , B = ( bij )m×n
2
1012
0 1
3 0
1
2
1 0
3 6
注：1.一般地AB BA 即矩阵乘法不满足交换律
2.只有A的列数等于B的行数，AB才有意义.也称 AB可乘，A右乘B，B左乘A
19
例4 设
A
1 1
1 1
,
B2 1 , 2 1
C 2 3 , 1 3
D1 5 2 5
试证： (1) AB = 0 ；
(2) ( A + B ) = A + B
(3) ( + μ ) A = A + μ A
1 3 2 4
例1.设
A
1
5
7
8
0 4 6 9
求A+B
3 7 2 11
B
4
10
9
0
2 8 6 5
41310 34715 2 2 411
解： A+B
032121425
516108
7 9
412814 6 6
80 95
12
三、数与矩阵的乘法 (P30)
1. 定义
设 是常数， A = ( aij ) m×n ，则矩阵
a1n
a2
n
,
0
ann
其中 aij = 0, i > j
9.下三角矩阵
a11 a 21
a 22
0
,
其中 aij = 0, i < j
a n1 a n 2 a nn
8
§2 矩阵的运算
一、矩阵的加 法（P29)
1. 定义
设 A = ( aij )m×n , B = ( bij )m×n
2
1012
0 1
3 0
1
2
1 0
3 6
注：1.一般地AB BA 即矩阵乘法不满足交换律
2.只有A的列数等于B的行数，AB才有意义.也称 AB可乘，A右乘B，B左乘A
19
例4 设
A
1 1
1 1
,
B2 1 , 2 1
C 2 3 , 1 3
D1 5 2 5
试证： (1) AB = 0 ；
(2) ( A + B ) = A + B
(3) ( + μ ) A = A + μ A
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第五章矩阵的特征值与特征向量5.1矩阵的特征值与特征向量一、基本概念定义5.1设A 为n 阶矩阵，l 是一个数，如果存在n 维非零向量a ，使得A a la =，则称l 是A 的一个特征值，向量a 称为矩阵A 对应于特征值l 的特征向量.例如311,2,131A l a -æöæö===ç÷ç÷-èøèø可以验证31121213121A a -æöæöæöæö===ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèøèøèø所以，2l =是A 的一个特征值，a 是A 对应于特征值2l =的特征向量。
特征值和特征向量的性质：如果a 是A 的对应于特征值l 的特征向量，则(0)k k a ¹也是A 的对应于l 的特征向量。
如果12,a a 都是A 的对应于特征值l 的特征向量，则1122(0)k k a a +¹也是A 的对应于l 的特征向量。
因为11221122()()A k k k k a a l a a +=+.由此可知A 的属于同一个特征值l 的有限个特征向量的非零线性组合仍然是矩阵A 的属于l 的特征向量。
注：矩阵A 的对应于一个特征值的特征向量有无限多个，但是A 的同一个特征向量不可能属于两个不同的特征值。
二、特征值和特征向量的计算由A 的特征值和特征向量的定义知A a la=或()0E A l a -=由于0a ¹，这说明a 是齐次线性方程组()0E A X l -=的非零解.根据齐次线性方程组有非零解的充要条件得到E A l -=这是一个关于l 的n 次方程，它的根与矩阵A 的特征值是一一对应的.所以我们有如下的定义.定义5.2设A 为n 阶方阵，含有未知量l 的矩阵E A l -称为A 的特征矩阵；特征矩阵的行列式E A l -是一个关于l 的n 次多项式，称为A 的特征多项式；0E A l -=称为A 的特征方程.特征方程的根也称为A 的特征根，其实就是A 的特征值。
矩阵教学课件
例如:
13 2
6 2
5 2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
(2) 只有一行的矩阵 A a1,a2 ,,an ,称为行矩阵(或行向量).
(3) 只有一列的矩阵
a1
B
a2
,
an
称为列矩阵(或列向量).
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
(4) 元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记作O.
注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.
例8: 设列矩阵X = (x1 x2 ···xn)T, 满足XTX = 1, E为n 阶单位 矩阵, H = E – 2XXT, 证明: H为对称矩阵, 且HHT = E.
证明: 自学 （见P49）
第二章 矩阵
§2 矩阵的运算
五、方阵的行列式 定义:由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位
置不变),称为方阵A的行列式,记作|A| 或det A. 例
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念 §2 矩阵的运算 §3 逆矩阵 §4 分块矩阵 §5 矩阵的初等变换 §6 矩阵的秩
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
一、矩阵的定义 定义: 由m×n个数aij (i = 1,2, ∙ ∙ ∙, m ; j = 1,2, ∙ ∙ ∙, n) 排
成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵.
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1、x2、…xn到变量y1、y2、…ym的线性变换，
其中aij为常数。
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
,
x
第1章 矩阵的概念 运算 第12节PPT课件
2 3 0 0
0 6
5 8
4 9
0 1
12
n
记 为 d ia g （ 1 ， 2 ， ， n ） ， 即
1
diag(1,2,,n)
0
0
2
0 0
0 0 n
16
1.1 矩阵的概念
主对角线元全是1的对角矩阵称为单位矩阵，记为 E n
或 In
1 0 0
En
0
1
0
0 0 1
提问 (1): 单位矩阵是不是对角矩阵？ (2): 零矩阵是不是对角矩阵？
线性代数
主讲： Email: kuangrui@
1
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总体概述
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2
第一章 矩阵
• 第一节 矩阵的概念 • 第二节 矩阵Байду номын сангаас运算 • 第三节 逆矩阵 • 第四节 分块矩阵
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
15
1.1 矩阵的概念
• 对角矩阵
如 果 n 阶 矩 阵 A 除 主 对 角 元 外 ， 其 他 元 素 都 是 零 ，
即 当 ij时 a ij 0 ,称 A 是 对 角 矩 阵 。
主 对 角 线 元 为 ， ， ， 的 对 角 矩 阵 ， 也 可
❖ 元素全为 0 的矩阵称为零矩阵，记作O；
❖ 不同型的零矩阵是不相等的。
14
1.1 矩阵的概念
• 定义1.2 主对角线，主对角元
高等数学第5章课件-§-5.1 二次型的矩阵表示
2 i
n
i =1
∑≤ n aij xi x j 1≤ i < j
§5.1 二次型的矩阵表示
2、二次型的矩阵表示
i<j 1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有
2 f ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) = a11 x1 + a12 x1 x2 + ⋯⋯ + a1n x1 xn 2 + a21 x2 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n x2 x n
| C 1C 2 |=| C 1 || C 2 |≠ 0, 即C1C2可逆. C .
§5.1 二次型的矩阵表示
2）合同矩阵具有相同的秩. B = C ′AC , C可逆 ⇒ 秩 ( B ) = 秩 ( A) 3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵. A′ = A, B = C ′AC , C 可逆
⇒ B′ = (C ′AC )′ = C ′A′C = C ′AC = B
. 它是非退化的.
cosθ − sinθ = 1. ∵系数行列式 sinθ cosθ
§5.1 二次型的矩阵表示
2、线性替换的矩阵表示 ⎛ c11 c12 ⎛ x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎜ c21 c22 ⎜ x2 ⎟ ⎜ y2 ⎟ 令 X = ⎜ ⎟ ,Y = ⎜ ⎟ , C = ⎜ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⎜x ⎟ ⎜y ⎟ ⎜c c ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n1 n 2 ... ... ⋯ ...
1 1 1
⎛ 1 52 6⎞ 2. ⎜ 5 2 4 7 ⎟ ⎜ 6 7 5⎟ ⎝ ⎠
⎛ n−1 n −1 n −1 n ... −1 n ⎞ ⎜ −1 n n−1 n −1 n ... −1 n ⎟ 4. ⎜⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⎟ ⎜ −1 −1 −1 ... n−1 ⎟ n n n⎠ ⎝ n
n
i =1
∑≤ n aij xi x j 1≤ i < j
§5.1 二次型的矩阵表示
2、二次型的矩阵表示
i<j 1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有
2 f ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) = a11 x1 + a12 x1 x2 + ⋯⋯ + a1n x1 xn 2 + a21 x2 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n x2 x n
| C 1C 2 |=| C 1 || C 2 |≠ 0, 即C1C2可逆. C .
§5.1 二次型的矩阵表示
2）合同矩阵具有相同的秩. B = C ′AC , C可逆 ⇒ 秩 ( B ) = 秩 ( A) 3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵. A′ = A, B = C ′AC , C 可逆
⇒ B′ = (C ′AC )′ = C ′A′C = C ′AC = B
. 它是非退化的.
cosθ − sinθ = 1. ∵系数行列式 sinθ cosθ
§5.1 二次型的矩阵表示
2、线性替换的矩阵表示 ⎛ c11 c12 ⎛ x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎜ c21 c22 ⎜ x2 ⎟ ⎜ y2 ⎟ 令 X = ⎜ ⎟ ,Y = ⎜ ⎟ , C = ⎜ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⎜x ⎟ ⎜y ⎟ ⎜c c ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n1 n 2 ... ... ⋯ ...
1 1 1
⎛ 1 52 6⎞ 2. ⎜ 5 2 4 7 ⎟ ⎜ 6 7 5⎟ ⎝ ⎠
⎛ n−1 n −1 n −1 n ... −1 n ⎞ ⎜ −1 n n−1 n −1 n ... −1 n ⎟ 4. ⎜⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⎟ ⎜ −1 −1 −1 ... n−1 ⎟ n n n⎠ ⎝ n
矩阵(Matrix)PPT课件
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n x1 b1
a2n
,
x
x2
,
b
b2
amn xn bn
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi
则方程组又可表示为 Ax b.
x1ai1 x2ai2 xnain bi
a11 a21
定义成
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
x1
a11
a21
x2
a12
a22
x1 1 x2 2
e2
(a12 , a22 )
2
1
y ( y1, y2 )
2
A和x的乘法实质给出了 向量y在A坐标系(β1Oβ2) 下的刻划方法。
e1
(a11,1a21 )
y y1e1 y2e2
ai1b1 j ai 2b2 j a b b 1j is sj
a a a i1 i2
b2 j is
注：A的列数和B的行数相等时 b，sj AB才有意义。
• 例3 设矩阵
1 0 1
A
1
1
3
,
求乘积 AB．
解
1 0
C
AB
1
1
0 3 4 B 1 2 1
3 1 1
B
a12
a22
a1n a2n
am1
am2
y (x1, x2, , xn )
c (b1,b2, ,bm)
amn nm
则方程组又可表示为 yB c.
矩阵向量乘法意义之二：为刻划向量提供了坐标系
根据矩阵乘法定义，m n 阶矩阵A与n维列向
矩阵的概念ppt-沪教版PPT优选课件
x 2y 5 7y 7
x2y 5, y 1.
x 3,
y
1.
13
2 1
85
10
2 7
57
10
2 1
51
10
0 1
31
方程组 的解
12
如何用矩阵变换的方法解二元一次方程组？
1. 第1步，把二元一次方程组的系数和常数 写成一个增广矩阵；
（注意：方程要写成ax+by=c的形式。）
第2步，逐步变化矩阵，把增广矩阵变成
2020/10/18
18
谢谢您的聆听与观看
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
感谢阅读！为了方便学习和使用，本文档的内容可以在下载后随意修改，调整和打印。欢迎下载！
汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
的形式，则方程组的解就是
x
y
a, b.
10
0 1
ab
2020/10/18
13
2. 一般地，矩阵变换有三种： (1) 互换两行 (2) 用非零数乘或除某一行 (3) 某一行乘以一个数加到另一行上
2020/10/18
14
例3：《九章算术》中有一个问题：今有牛五羊二 直金十两，牛二羊五直金八两. 问牛羊各直金几何？
21
5
0
170
21
①÷5
0 1
20 21
1 0 34
21
0
1
20 21
答 ： 每3头 4金牛 ，值 每2只 0金羊 。值
21
21
2020/10/18
16
用矩阵变换的方法解下列二元一次方程组：
2xy20
《矩阵的概念》课件
生物学：用于描 述生物系统的状 态和变化
矩阵的秩是矩阵中非零子式的最高阶数 矩阵的秩等于其行向量组的秩 矩阵的秩等于其列向量组的秩 矩阵的秩等于其非零特征值的个数
矩阵的迹：矩 阵对角线元素
的和
迹的性质：矩 阵的迹是实数
迹的应用：在 矩阵分解、特 征值计算等方 面有广泛应用
迹的求法：通 过矩阵对角线 元素的和计算
正定矩阵：所有特征值均为正数的 矩阵
正定矩阵的性质：正定矩阵的转置 矩阵也是正定矩阵
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
负定矩阵：所有特征值均为负数的 矩阵
负定矩阵的性质：负定矩阵的转置 矩阵也是负定矩阵
定义：主对角线 以外的元素都为 0的矩阵
性质：对角矩阵 的秩等于其非零 元素的个数
应用：在求解线 性方程组、特征 值和特征向量等 问题中有广泛应 用
正交矩阵Q：满足Q^TQ=I， 其中I为单位矩阵
QR分解：将矩阵分解为正交 矩阵Q和上三角矩阵R
上三角矩阵R：主对角线以 上的元素均为0
QR分解的应用：求解线性方程 组、最小二乘法、特征值分解
等
概念：矩阵的奇异 值分解是将矩阵分 解为三个矩阵的乘 积，这三个矩阵分 别是左奇异矩阵、 对角矩阵和右奇异 矩阵
矩阵：由m行n列元素组成的矩形阵列 行：矩阵中水平方向的元素集合 列：矩阵中垂直方向的元素集合 元素：矩阵中的每个数称为元素，通常用aij表示第i行第j列的元素
定义：两个矩阵对应元素相加，得到新的矩阵 加法规则：两个矩阵必须具有相同的行数和列数 加法运算：将两个矩阵的对应元素相加，得到新的矩阵 应用：在求解线性方程组、矩阵分解、矩阵变换等领域有广泛应用
定义：将矩阵 划分为若干个 子矩阵，每个 子矩阵称为一
小学数学矩阵的基本概念与运算课件
提高数学思维能力
理解矩阵的基本概念和运算规则
学会利用矩阵解决实际问题
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掌握矩阵的逆矩阵和行列式的计 算方法
培养逻辑推理和抽象思维的能力
06
小学数学中矩阵的教学策略
结合生活实例进行讲解
引入生活实例，帮助学生理解矩阵概念 结合实际问题，讲解矩阵运算的规则和意义 通过生活场景中的数学问题，引导学生运用矩阵解决实际问题 结合生活实例，进行课堂互动，激发学生的学习兴趣
掌握矩阵的逆运算规则
理解矩阵的应用场景
矩阵在几何学中的 应用：用于描述和 解决线性变换问题， 如平移、旋转等。
Байду номын сангаас
矩阵在计算机图形 学中的应用：用于 图像处理、计算机 动画等领域，实现 图像的缩放、旋转 和变换。
矩阵在经济学中的 应用：用于描述和 解决线性规划问题 ，如生产成本、收 益最大化等。
矩阵在物理学中的 应用：用于描述和 解决线性动力学问 题，如物体运动、 振动等。
矩阵的分类
方阵：行数和 列数相等的矩
阵
矩形阵：行数 和列数不相等
的矩阵
对角阵：除了 主对角线上的 元素外，其余 元素都为零的
矩阵
单位阵：主对 角线上的元素 都为1，其余元 素都为零的矩
阵
03
矩阵的运算规则
矩阵加法
定义：矩阵加法是指将两个矩阵的对应元素相加，得到一个新的矩阵。
规则：矩阵加法满足交换律和结合律，即矩阵A加矩阵B与矩阵B加矩阵A的 结果相同，而(A+B)+C与A+(B+C)的结果也相同。
针对性指导：根据学生的不同特点和需求，给予有针对性的指导和帮助，促进学生的个性 化发展。
工科数学--矩阵的概念.ppt
1 2 1
A1 A* A
1 2
0 1
2 2
2 1
B b1b2b3 0时, B可逆,
b1
B b2
b3
2019-12-2
1
b1
B 1
1 b2
1
b3
谢谢你的观看
记作
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
简记为 A aij mn
a1n a2n
amn
例
17 7 11 21
A 15 9 13 19
18 8 14 19
记号 A 2019-12-2
mn
实矩谢阵谢你的观看 复矩阵
2019-12-2
谢谢你的观看
15
(四)方阵的行列式
定义:
由n阶方阵Ann的元素所构成的行列式, 称为方阵Ann的行列式.
记作: A 或 detA
运算规律: Ann , Bnn , 是数
1 AT A;
2 A n A;
A B. 2019-12-2 3 AB
谢谢你的观看
b3
18
解:
3 2 1 A 1 1 1
1 0 1
3 21 A 1 1 120
1 01
A11
1 11
1 0
1 1
1
A12
1 12
1 1
1 0
1
A13
1 13
1 1
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. a2n
an1 an2 ... ann
( A pnn )
则矩阵A称为二次型 f ( x1, x2 , , xn ) 的矩阵.
x1
2)
令X
x2
,
由
xn
a11 a12 ... a1n x1
X AX
x1 c11 y1 c12 y2
x2
c11 y1
c12
y2
xn
cn1
y1
cn2
y2
c1n yn c1n yn cnn yn
, yn 是两组文字, ③
称为由 x1, x2 , , xn到y1, y2 , , yn 的一个线性替换;
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换.
( x1,
x2 ,...,
xn
)
a21
a22
...
a2n x2
an1 an2 ... ann xn
n
a1 j x j
( x1,
x2 ,...,
xn )
j1 n
a2 j x j
j1
n
anj x j
Y (CAC )Y 令——B—— ——CA——C Y BY g( y1, y2 ,..., yn )
又 B (CAC ) CAC CAC B
即，B为对称矩阵.
Y BY g( y1, y2 ,..., yn )是一个 y1, y2 , , yn 二次型.
注意: 1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即 A A. 2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 若 X AX X BX 且 A A, B B，则
A B.
（这表明在选定文字 x1, x2 ,..., xn下，二次型 f ( x1, x2,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
j1
n
n
x1 a1 j x j x2 a2 j x j
j 1
j 1
n
xn anj x j
j 1
n
n
nn
( xi aij x j )
aij xixj
i1 j1
i1 j1
于是有 f ( x 1 , x 2 ,..., xn ) X AX .
问题背景: 解析几何中 中心与坐标原点重合的有心二次曲线(一般方程)
f ax2 2bxy2 cy2
选择适当的角
度θ ,逆时针旋 转坐标轴
x xcos ysin y xcos ysin
f ax2 cy2
(标准方程)
代数观点下
二次齐次多项式(一般形式)
f ( x1, x2 , , xn ) a11x12 a12 x1x2
a1n x1xn
a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2
nn
aij xixj
i1 j1
ann xn2 ②
a11 a12 ... a1n
n个文字 x1, x2 , , xn 的二次齐次多项式
f ( x1, x2 , , xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a1n x1xn
a22 x22
2a2n x2 xn
a33 x32 2a3n x3 xn
①
ann xn2
称为数域P上的一个n元二次型．
正因为如此，讨论二次型时 矩阵是一个有力的工具.
例1 1）实数域R上的2元二次型 f ax2 2bxy cy2
2）实数域R上的3元二次型 f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 4x1x2 6x1x3 5x22 3x2 x3 7 x32
3）复数域C上的4元二次型 f ( x1, x2 , x3 , x4 ) ix1x2 3x1x4 5x22 (3 i)x2 x3 它们的矩阵分别是：
2、线性替换的矩阵表示
x1
y1
c11 c12 ... c1n
令
X
x2
,Y
y2
,
C
c21
c22
...
c2n
xn
yn
cn1 cn2 ... cnn
则③可表示为X=CY
④
若|C| ≠0，则④为非退化线性替换.
a
b
b c
,
2 2 3
2 3
5
3 2
3 2
7
,
0
i 2
0
i 2
0
3 2
5
3i 2
0
3i 2
0 0
32
0 0
.
0
二、非退化线性替换
1、定义： x1, x2 , , xn; y1, y2 ,
cij P,i, j 1,2,...n ，关系式
注意
1) 为了计算和讨论的方便,式①中 xij (i j) 的系数
写成 2aij .
2) 式① 也可写成
n
f ( x1, x2 , , xn ) aii xi2 2
aij xi x j
i 1
1i jn
2、二次型的矩阵表示
1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有
三、矩阵的合同 1、定义：设 A, B Pnn，若存在可逆矩阵
C Pnn , 使 B CAC ，则称A与B合同. 注: 1）合同具有
注 1）③或④为非退化的
C=
cij
为可逆矩阵 .
nn
2）若X＝CY为非退化线性替换，则有非退化
线性替换.Y C 1X
3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型
事实上，
f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX
X CY
————————
| C | 0
(CY ) A(CY )
f ( x1, x2 , , xn )
作适当的 非退化线 性替换
x1 c11 y1 c12 y2
x2
c11 y1
c12
y2
xn cn1 y1 cn2 y2
只含平方项的多项式
(标准形)
c1n yn c1n yn
cnn yn
一、n元二次型
1、定义：设P为数域，aij P,i, j 1,2, ,n,
an1 an2 ... ann
( A pnn )
则矩阵A称为二次型 f ( x1, x2 , , xn ) 的矩阵.
x1
2)
令X
x2
,
由
xn
a11 a12 ... a1n x1
X AX
x1 c11 y1 c12 y2
x2
c11 y1
c12
y2
xn
cn1
y1
cn2
y2
c1n yn c1n yn cnn yn
, yn 是两组文字, ③
称为由 x1, x2 , , xn到y1, y2 , , yn 的一个线性替换;
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换.
( x1,
x2 ,...,
xn
)
a21
a22
...
a2n x2
an1 an2 ... ann xn
n
a1 j x j
( x1,
x2 ,...,
xn )
j1 n
a2 j x j
j1
n
anj x j
Y (CAC )Y 令——B—— ——CA——C Y BY g( y1, y2 ,..., yn )
又 B (CAC ) CAC CAC B
即，B为对称矩阵.
Y BY g( y1, y2 ,..., yn )是一个 y1, y2 , , yn 二次型.
注意: 1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即 A A. 2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 若 X AX X BX 且 A A, B B，则
A B.
（这表明在选定文字 x1, x2 ,..., xn下，二次型 f ( x1, x2,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
j1
n
n
x1 a1 j x j x2 a2 j x j
j 1
j 1
n
xn anj x j
j 1
n
n
nn
( xi aij x j )
aij xixj
i1 j1
i1 j1
于是有 f ( x 1 , x 2 ,..., xn ) X AX .
问题背景: 解析几何中 中心与坐标原点重合的有心二次曲线(一般方程)
f ax2 2bxy2 cy2
选择适当的角
度θ ,逆时针旋 转坐标轴
x xcos ysin y xcos ysin
f ax2 cy2
(标准方程)
代数观点下
二次齐次多项式(一般形式)
f ( x1, x2 , , xn ) a11x12 a12 x1x2
a1n x1xn
a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2
nn
aij xixj
i1 j1
ann xn2 ②
a11 a12 ... a1n
n个文字 x1, x2 , , xn 的二次齐次多项式
f ( x1, x2 , , xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a1n x1xn
a22 x22
2a2n x2 xn
a33 x32 2a3n x3 xn
①
ann xn2
称为数域P上的一个n元二次型．
正因为如此，讨论二次型时 矩阵是一个有力的工具.
例1 1）实数域R上的2元二次型 f ax2 2bxy cy2
2）实数域R上的3元二次型 f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 4x1x2 6x1x3 5x22 3x2 x3 7 x32
3）复数域C上的4元二次型 f ( x1, x2 , x3 , x4 ) ix1x2 3x1x4 5x22 (3 i)x2 x3 它们的矩阵分别是：
2、线性替换的矩阵表示
x1
y1
c11 c12 ... c1n
令
X
x2
,Y
y2
,
C
c21
c22
...
c2n
xn
yn
cn1 cn2 ... cnn
则③可表示为X=CY
④
若|C| ≠0，则④为非退化线性替换.
a
b
b c
,
2 2 3
2 3
5
3 2
3 2
7
,
0
i 2
0
i 2
0
3 2
5
3i 2
0
3i 2
0 0
32
0 0
.
0
二、非退化线性替换
1、定义： x1, x2 , , xn; y1, y2 ,
cij P,i, j 1,2,...n ，关系式
注意
1) 为了计算和讨论的方便,式①中 xij (i j) 的系数
写成 2aij .
2) 式① 也可写成
n
f ( x1, x2 , , xn ) aii xi2 2
aij xi x j
i 1
1i jn
2、二次型的矩阵表示
1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有
三、矩阵的合同 1、定义：设 A, B Pnn，若存在可逆矩阵
C Pnn , 使 B CAC ，则称A与B合同. 注: 1）合同具有
注 1）③或④为非退化的
C=
cij
为可逆矩阵 .
nn
2）若X＝CY为非退化线性替换，则有非退化
线性替换.Y C 1X
3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型
事实上，
f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX
X CY
————————
| C | 0
(CY ) A(CY )
f ( x1, x2 , , xn )
作适当的 非退化线 性替换
x1 c11 y1 c12 y2
x2
c11 y1
c12
y2
xn cn1 y1 cn2 y2
只含平方项的多项式
(标准形)
c1n yn c1n yn
cnn yn
一、n元二次型
1、定义：设P为数域，aij P,i, j 1,2, ,n,