5.1 矩阵的概念课件

n个文字 x1, x2 , , xn 的二次齐次多项式
f ( x1, x2 , , xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a1n x1xn
a22 x22
2a2n x2 xn
a33 x32 2a3n x3 xn
①

ann xn2
称为数域P上的一个n元二次型．
a
b
b c
,
2 2 3

2 3
5
3 2
3 2
7

,
0
i 2
0

i 2
0
3 2
5
3i 2
0
3i 2
0 0
32
0 0

.
0
二、非退化线性替换
1、定义： x1, x2 , , xn; y1, y2 ,
cij P,i, j 1,2,...n ，关系式
问题背景: 解析几何中 中心与坐标原点重合的有心二次曲线(一般方程)
f ax2 2bxy2 cy2
选择适当的角
度θ ,逆时针旋 转坐标轴
x xcos ysin y xcos ysin
f ax2 cy2
(标准方程)
代数观点下
二次齐次多项式(一般形式)
注意: 1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即 A A. 2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 若 X AX X BX 且 A A, B B，则
A B.
（这表明在选定文字 x1, x2 ,..., xn下，二次型 f ( x1, x2,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
注 1）③或④为非退化的
C=
cij
为可逆矩阵 .
nn
2）若X＝CY为非退化线性替换，则有非退化
线性替换.Y C 1X
3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型
事实上，
f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX
X CY
————————
| C | 0
(CY ) A(CY )
( x1,
x2 ,...,
xn
)

a21
a22
...
a2n x2
an1 an2 ... ann xn
n

a1 j x j

( x1,
x2 ,...,

xn )

j1 n
a2 j x j
j1

n


anj x j
x1 c11 y1 c12 y2

x2

c11 y1

c12
y2


xn

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cn1
y1

cn2
y2

c1n yn c1n yn cnn yn
, yn 是两组文字, ③
称为由 x1, x2 , , xn到y1, y2 , , yn 的一个线性替换;
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换.
正因为如此，讨论二次型时 矩阵是一个有力的工具.
例1 1）实数域R上的2元二次型 f ax2 2bxy cy2
2）实数域R上的3元二次型 f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 4x1x2 6x1x3 5x22 3x2 x3 7 x32
3）复数域C上的4元二次型 f ( x1, x2 , x3 , x4 ) ix1x2 3x1x4 5x22 (3 i)x2 x3 它们的矩阵分别是：
令
A


a21
a22
... a2n
an1 an2 ... ann
( A pnn )
则矩阵A称为二次型 f ( x1, x2 , , xn ) 的矩阵.
x1
2)
令X


x2

,
由
xn
a11 a12 ... a1n x1
X AX

j1

n
n
x1 a1 j x j x2 a2 j x j
j 1
j 1
n
xn anj x j
j 1
n
n
nn
( xi aij x j )
aij xixj
i1 j1
i1 j1
于是有 f ( x 1 , x 2 ,..., xn ) X AX .
三、矩阵的合同 1、定义：设 A, B Pnn，若存在可逆矩阵
C Pnn , 使 B CAC ，则称A与B合同. 注: 1）合同具有
Y (CAC )Y 令——B—— ——CA——C Y BY g( y1, y2 ,..., yn )
又 B (CAC ) CAC CAC B
即，B为对称矩阵.
Y BY g( y1, y2 ,..., yn )是一个 y1, y2 , , yn 二次型.
f ( x1, x2 , , xn )
作适当的 非退化线 性替换
x1 c11 y1 c12 y2

x2

c11 y1

c12
y2


xn cn1 y1 cn2 y2
只含平方项的多项式
(标准形)
c1n yn c1n yn
cnn yn
一、n元二次型
1、定义：设P为数域，aij P,i, j 1,2, ,n,
注意
1) 为了计算和讨论的方便,式①中 xij (i j) 的系数
写成 2aij .
2) 式① 也可写成
n
f ( x1, x2 , , xn ) aii xi2 2
aij xi x j
i 1
1i jn
2、二次型的矩阵表示
1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有
2、线性替换的矩阵表示
x1
y1
c11 c12 ... c1n
令
X


x2

,Y


y2

,
C


c21
c22
...
c2n
xn
yn
cn1 cn2 ... cnn
则③可表示为X=CY
④
若|C| ≠0，则④为非退化线性替换.
f ( x1, x2 , , xn ) a11x12 a12 x1x2
a1n x1xn
a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn

an1 xn x1 an2 xn x2
nn

aij xixj
i1 j1
ann xn2 ②
a11 a12 ... a1n