四川省泸州市泸县第五中学2019-2020学年高二数学上学期期末模拟考试试题理[含答案]
2022-2023学年四川省泸县第五中学高二上学期期末考数学(理)试卷带讲解
12.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线 ： 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
【详解】∵直线方程 可整理为
∴定点为
∵点A在直线 上
∴
∴ ，当且仅当 时取等号
故答案为：
16.过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 和 ，又直线 经过拋物线 的焦点 ，那么 的最小值为_________．
16
【分析】设 ，写出以 为切点的切线方程，由判别式求出切线斜率，得到以 为切点的切线方程，同理求出以 为切点的切线方程，结合 在两条切线上得直线 的方程，联立直线 与抛物线方程，根据根与系数的关系，结合抛物线定义得出结果．
【考点】圆的方程，点到直线的距离公式
【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离.已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．
9.已知 ， ，若不等式 恒成立，则正数 的最小值是（）
A. 2B. 4
C. 6D. 8
第八组［190，195］．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数
相同，第六组的人数为4人．
（Ⅰ）求第七组的频率；
（Ⅱ）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数；
四川省泸州市泸县第一中学2019_2020学年高二数学上学期期末模拟考试试题理202001030262
四川省泸州市泸县第一中学2019-2020学年高二数学上学期期末模拟考试试题 理第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.某高中有学生1000人，其中一、二、三年级的人数比为4:3:1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为 A ．100 B ．40 C ．75 D ．252.某市进行一次高三教学质量抽样检测,考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布.已知数学成绩平均分为90分,60分以下的人数占10%,则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为 A.40%B.30%C.20%D. 10%3.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;②甲同学的平均分比乙同学的平均分高; ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低;④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的是( ) A.③④ B.①② C.②④D.①③④4.若,x y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪>⎩，则2z y x =-的最值为A ．-8B ．-4C ．1D ．25.“12<<m ”是“方程22113+=--x y m m表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知12,F F 是椭圆221169x y +=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于,A B 两点．在1AF B ∆ 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 A ．3B ．4C ．5D ．67.如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围 A. (0,)+∞B.()0,2C.(1,)+∞D. ()0,18.已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到抛物线焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为A ．B ．1±C ．34±D ．9.已知,(0,)∈+∞a b ，且115+++=a b a b，则+a b 的取值范围是 A. [1,4]B. [2,)+∞C. (1,4)D. (4,)+∞10.若不等式210++≥x ax 对一切1(0,]2∈x 恒成立，则a 的最小值为 A.0B.2-C.52-D.3-11.与圆224630x y x y +-++=同圆心，且过(1,1)-的圆的方程是 A ．224680x y x y +-+-=B ．224680x y x y +-++=C ．224680x y x y ++--=D ．224680x y x y ++-+=12.已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b的一条渐近线方程是=y x ，它的一个焦点在抛物线224=y x 的准线上，则双曲线的方程为A. 22136108-=x y B. 221927-=x y C.22110836-=x y D.221279-=x y 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.某校从高一的学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段： [40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在[70，80）内的人数是 ．14.在一项田径比赛中,甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高.观众,,A B C 做了一项预测:A 说:“我认为冠军不会是甲,也不会是乙”B 说:“我觉得冠军不会是甲,冠军会是丙”C 说:“我认为冠军不会是丙,而是甲”比赛结果出来后,发现三人中有一人的两个判断都对,一人的两个判断都错,还有一人的两个判断一对一错,根据以上情况可判断冠军是__________.15.已知三棱锥D ABC -的顶点都在球O 的球面上,4,3,,12AB BC AB BC AD ==⊥= ,且DA ⊥平面ABC ，则三棱锥A BOD -的体积等于_____________16.过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于______________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（10分）设命题p ：函数2()lg(1)f x x ax =-+的定义域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切x R ∈均成立．（1）如果P 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．18.（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与市医院抄录了2至5月每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料(表)：1122211()()ˆˆˆ(,)()nni iii i i nniii i x ynx yxx y y bay bx xnx xx -----⋅--===---∑∑∑∑ 请根据以上数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+19.（12分）已知圆221:40Cx y x +-=与圆2C 关于直线y x =+1对称． (1).求圆2C 的方程；(2).过点(0,1)P 的直线l 与圆2C 交与,M N 两点，若222C M C N ⋅=-，求直线l 的方程.20.如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥-P ABCD 中，⊥AB AC ,⊥PA 平面ABCD ，且2==PA AB ，1=AC ，点E 是PD 的中点．（1）求证：PB 平面AEC ； （2）求二面角--E AC B 的大小．21.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点,斜率为112212(,),(,)()A x y B x y x x <两点,且9AB =.(1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC OA OB λ=+,求λ的值.22.（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点F 与抛物线28y x =焦点重合，过x 轴正半轴一点(,0)m 且斜率为的直线l 交椭圆于,A B 两点. (1).求椭圆的标准方程；(2).是否存在实数m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，若存在，求出实数m 的值；若不存在说明理由.2019年秋四川省泸县第一中学高二期末模拟考试理科数学试题参考答案一、选择题 1-5:DAAAC 6-10：DDAAC 11-12:BB二、填空题 13.30 14.甲 15.12 16.22 三、解答题17.（1）命题P 是真命题，则若，0∆<，a 的取值范22a -<<．（2）若命题q 是真命题，设39x x y =-，令3,0x t t =>，2,0y t t t =->。
四川省泸州市泸县第五中学2020学年高二数学上学期期末模拟考试试题 理(含解析)
四川省泸州市泸县第五中学2020学年高二数学上学期期末模拟考试试题理（含解析）一选择题（每小题5分，12小题，共60分，每小题的四个选项只有一项符合题目要求，请将答案填在后面答题卡中，否则不予给分）1. 已知命题：，则A. B.C. D.【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，全称命题命题“”的否定为特称命题“”，故选C.2. “”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A.....................3. 有50件产品，编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的第一个样本编号为7，则第三个样本编号是A. 37B. 27C. 17D. 12【答案】B【解析】用系统抽样时，每个组中抽取的样本编号通常是一个等差数列，且公差为组数，故第三个样本编号为.故选B.4. 泸州市2020年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下，则这组数据的中位数是A. 19B. 20C. 21.5D. 23【答案】B【解析】样本数据共有12个，中位数为.故选B.5. 已知椭圆()的左焦点为F1(－4,0)，则m等于A. 9B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】由题设知焦点在轴上，所以且，故，故选C.6. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为A. 8B. 16C. 24D. 32【答案】C【解析】一般地，如果样本数据的标准差为，那么数据标准差为（），故选C.7. 直线与圆相交于两点，若，则的值是：A. B. C. D.【答案】B【解析】设圆心到直线的距离为，则，又，解得，故选B.8. 设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是A. y与x具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心C. 若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD. 若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg【答案】D【解析】根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（），B正确；该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．故选：D．视频9. 已知两圆，，动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为A. B. C D.【答案】D【解析】设圆的半径为，则，∴的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，故所求的轨迹方程为.故选C.10. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A. B. C. D. 5【答案】C【解析】解：该几何体是棱长分别为的长方体中的三棱锥：，其中：，该几何体的表面积为： .本题选择B选项.点睛：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键，由三视图判断空间几何体（包括多面体、旋转体和组合体）的结构特征是高考中的热点问题.视频11. 直线与椭圆交于、两点，以线段为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设椭圆的左、右焦点分别为、，由题意可得，由，得，．∴．由椭圆定义可知，，∴，∴．考点：直线与椭圆的位置的关系.【思路点睛】本题重点考查圆与椭圆的综合，考查椭圆的几何性质，解题的关键是判断以这两个焦点两点为顶点得一矩形．以为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点两点为顶点得一矩形，求出矩形宽与长，利用椭圆的定义，即可求得椭圆的离心率．12. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】由题设可以，.又因为，故两条动直线相互垂直，所以，有基本不等式可知也就是，当且仅当时等号成立.选A.二、填空题（共4个小题，5分每题，共20分）13. 双曲线的渐近线方程是___________.【答案】【解析】令，得渐近线方程为：.故填.14. 某校早上8:00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30～7:50之间到校，且每人在该时间段任何的时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____ 【答案】【解析】假设小张是后的分钟到校，小王是后的分钟到校，则两人到校应满足，它是一个平面区域，对应的面积为.设随机事件为“小张比小王至少早5分钟到校”，则两人到校时间应满足，对应的平面区域如图下图阴影部分所示，其面积为，故所求概率为，故填.点睛：本题为几何概型中的会面问题，其处理方法是找出基本事件对应的平面区域的面积.15. 已知抛物线的焦点，点，则曲线上的动点到点与点的距离之和的最小值为_________．【答案】2【解析】如图，抛物线的准线为，过点做作准线的垂线，垂足为，则，所以，当且仅当三点共线时等号成立，故所求最小值为．点睛：抛物线中，与焦点有关的问题可以转化到准线的距离去考虑．16. 已知椭圆：的右焦点为，为直线上一点，线段交于点，若，则__________．【答案】【解析】由条件椭圆：∴椭圆的右焦点为F,可知F(1,0)，设点A的坐标为（2，m），则=（1，m），∴，∴点B的坐标为，∵点B在椭圆C上，∴，解得：m=1，∴点A的坐标为（2，1），.答案为：.三．解答题：解答应说明必要的文字说明，证明过程和演算步骤.17. 已知命题：实数满足，其中；命题：方程表示双曲线．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：先由命题解得；命题得，（1）当，得命题，再由为真，得真且真，即可求解的取值范围．（2）由是的充分不必要条件，则是的充分必要条件，根据则，即可求解实数的取值范围．试题解析：命题：由题得，又，解得；命题：，解得．（1）若，命题为真时，，当为真，则真且真，∴解得的取值范围是．（2）是的充分不必要条件，则是的充分必要条件，设，，则；∴∴实数的取值范围是．18. 某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0075；（2）224；（3）5【解析】试题分析：(1)利用频率分布直方图小长方形的面积之和为1可得x＝0.0075；(2)结合所给的数据可得：月平均用电量的众数和中位数为,224;(3)结合频率分布直方图和分层抽样的概念可得月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取5户.试题解析：（Ⅰ）由直方图的性质，可得（0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025）×20＝1得：x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．（Ⅱ）月平均用电量的众数是．因为（0.002＋0.0095＋0.011）×20＝0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002＋0.0095＋0.011）×20＋0.0125×（a－220）＝0.5，解得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224．（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100＝25（户），月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100＝15（户），月平均用电量为[260，280）的用户有：0.005×20×100＝10（户），抽取比例，所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取（户）．点睛：一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.视频19. 已知点及圆：.（1）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；（2）设过点P的直线与圆交于、两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；【答案】（1）和；（2）【解析】试题分析：（1）利用点到直线的距离构建关于斜率的方程，解出斜率即可.注意检验斜率不存在的情形.（2）因为，所以到直线的距离为，但是，因此为的中点，故可直接写出以为直径的圆的方程.解析：（1）若直线的斜率存在，则方程为. 即.又圆的圆心为，半径，由，解得.所以直线方程为，即. 若的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件.（2）由于，而弦心距，所以，所以恰为的中点，故以为直径的圆的方程为.点睛：注意利用几何量的相互关系简化计算.20. 某百货公司1～6月份的销售量x与利润y的统计数据如下表：月份 1 2 3 4 5 6销售量x(万件) 10 11 13 12 8 6利润y(万元) 22 25 29 26 16 12（1）根据2～5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？【答案】（1）；（2）回归直线方程是理想的【解析】试题分析：（1）直接根据线性回归方程的公式进行计算.（2）利用求出的线性回归方程检验预测值与实际值的差是否不超过2万元.解析：（1）根据表中2～5月份的数据，计算得，，，所以，.故关于的回归直线方程为：.(2)当时，，此时；当时，，此时.故所得的回归直线方程是理想的．21. 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底，是的中点。
2019-2020学年四川省泸州市泸县高二上学期期末模拟考试数学文试题
四川省泸县二中2019-2020学年高二上学期期末模拟考试文科数学试题第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知命题:0p x ∀>，总有()11xx e +>，则p ⌝为A.00x ∃≤，使得()0011x x e +≤ B.00x ∃>，使得()0011x x e +≤C.0x ∀>总有()11xx e +≤ D.0x ∀≤，总有()11xx e +≤ 2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是 A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数。
” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数。
”C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数。
”D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数。
”3.某校高三年级有男生500人,女生400人,为了了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查,这种抽样方法是 A.系统抽样法 B.抽签法 C.随机数表法D.分层抽样法4.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和91.5 D.92和925.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是59,则 A. 4a = B. 5a =C. 6a =D. 7a =6.若,x y 满足20,{20,0,x y kx y y +-≥-+≥≥且z y x =-的最小值为4-,则k 的值为A. 2B. 2-C.12 D. 12- 7.登山族为了了解某山高y (km )与气温x (℃)之间的关系,随机统计了4次山高与相应的气温,并制作了对照表: 气温x (℃)18 13 10 1-y (km )24 34 3864由表中数据,得到线性回归方程ˆˆ2()ˆyx a a R =-+∈,由此估计山高为72km 处气温的度数为 A.-10℃ B.-8℃ C.-4℃ D.-6℃8.在ABC △中,角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,则“a b ≤”是“sin sin A B ≤”的 A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件D.非充分非必要条件9.过点1(1,)A －与()11B －，且圆心在直线20x y +=－上的圆的方程为 A ．()22()314x y ++=－ B ．22()(114)x y +=－－ C ．()22314()x y ++=－D ．()()22114x y +++=10.已知正实数,x y 满足8y x xy +=,则2x y +的最小值为 A. 18B. 10C. 12D. 1022+11.已知不等式210ax bx --≥的解集是11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,则不等式20x bx a --<的解集是 A. ()2,3 B. ()(),23,-∞⋃+∞ C. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭D. 11,,32⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.直线3+=kx y 与圆相交于 N M , 两点，若 32≥MN ，则k 的取值范围是A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,32B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,43 C.[]3,3-D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.设直线l 过点(),6?A m -,()1,3?B m m +,且2k =,则m =__________。
四川省泸州市2019-2020学年高二上期末数学(理)模拟试题(一)
四川省泸州市2019-2020学年高二上期末数学（理）模拟试题（一）一.选择题（共12小题，每题只有一个正确选项，每题5分，合计60分）1．某中学高二(5)班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知3号，17号，45号同学在样本中，那么样本中另外一个同学的座号是（ ） A.30B .31C.32D.332. “21<-x ”是“30<<x ”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A ．73 B ．54 C ．43 D ．534.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≥+-02204y x x y x ，则y x z 3+=的最小值为（ ）A. 8B. 6 C . 2 D. 0 5．《普通高中课程标准》指出，学科核心素养是育人价值的集中体现，并提出了数学学科的六个核心素养．某机构为了解学生核心素养现状，对某地高中学生数学运算素养x 和数据分析素养y 进行量化统计分析，得到力为（ ） A ．6 B ．3.6 C ．2.10 D ．6.106.设F 1，F 2为曲线C 1：12622=+y x 的焦点，P 是曲线C 2：1322=-y x 与C 1的一个交点，则cos ∠F 1PF 2的值是( )A ．31 B ．22 C ．21D ．337.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为5536，则空白处应填入的条件是（ ） A. B. C. D.8．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于 （ ）?6≤i ?8≤i ?9≥i ?9≤iA．BC．D．9．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为 （ ）A1B．12C．2D．1210.直三棱柱111C B A ABC -的六个顶点都在球O 的表面上，OBCA 120=∠，2==CA BC ,41=CC ，则球O 的表面积为（ ）A. π32B. π24C. π16D. π811．已知直线l 的斜率为k ，它与抛物线x y 42=相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点， 若 ,则||k ＝（ ） A ．22B ．33C ．42D ．3 12．已知()()0,1,0,121F F -是椭圆1C 与双曲线2C 共同对的焦点，椭圆的一个短轴端点为B ，直线B F 1与双曲线的一条渐近线平行，椭圆1C 与双曲线2C 的离心率分别为21,e e ，则21e e + 取值范围为( ) A ．[)+∞,2 B .()+∞,2 C ．[)+∞,4 D. ()+∞,4二.填空题（共4小题，每题5分，合计20分）13.已知甲、乙两组数据用茎叶图表示如图所示，若它们的中位数与平均数均相同，则=nm. 14. 已知两个正实数y x ,满足112=+yx ，且恒有m y x >+2，则实数m 的取值范围是______. 15.已知A 是双曲线C: )0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点，过左焦点F 与y 轴平行的直线交双曲线于P ，Q 两点，若△APQ 是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的范围是 . 16.有下列说法3=①互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 ②事件B A ,同时发生的概率一定比B A ,中恰有一个发生的概率小③设a 是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程022=++ax x 有两个不等实根的概率为32 ④若，则事件与互斥且对立⑤甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠4小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为．其中正确的说法是______（写出全部正确说法的序号）．三．解答题（共6小题，共70分，请写出必要的解答过程）17.（10分）某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图．（I ）求直方图中x 的值（II ）求月平均用电量的众数和中位数；(III)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？18.（12分）已知函数a x a x x f --+=)1()(2)(R a ∈.（1）解关于x 的不等于0)(<x f ；（2）若[]1,1-∈∀a ，0)(≥x f 恒成立，求实数x 的取值范围.19.（12分）在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面1AC ⊥平面ABC ，1AA =，1AC CA AB a ===，AB AC ⊥，D 是1AA 的中点．（1）求证：CD ⊥平面1AB ；（2）在侧棱1BB 上确定一点E ，使得二面角11E AC A --的大小为3π．20.（12分）设抛物线24=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l 与C 交于B A ,两点，||8=AB ．(1)求l 的方程；(2)求过点B A ,且与C 的准线相切的圆的方程．21.（12分）已知B A ,是抛物线)0(2:2>=p px y C 上关于轴对称的两点，点E 是抛物线C 的准线与x 轴的交点.（1）若EAB ∆是面积为4的直角三角形，求抛物线C 的方程；（2）若直线BE 与抛物线C 交于另一点D ，证明：直线AD 过定点.22．（12分）在圆221:(48C x y ++=内有一点P ,Q 为圆1C 上一动点，线段PQ 的垂直平分线与1C Q 的连线交于点C .（Ⅰ）求点C 的轨迹方程．（Ⅱ）若动直线l 与点C 的轨迹交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆恒过坐标原点O .问是否存在一个定圆与动直线l 总相切.若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.。
四川省泸州市2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题文含解析
四川省泸州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.共150分.考试时间120分钟.一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有项是符合要求的.1. 若直线:210l x y +-=与直线:210m x ay +-=平行，则实数a 的值为（ ） A. 2B. 2-C.12D. 42. 某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高二学生中抽取的人数为（ ） A. 6B. 7C. 8D. 93. 双曲线2228x y -=的实轴长是A. 2B.C. 44. 若0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（ ） A.11a b< B. 22a b >C. ln()0b a ->D.22ac bc <5. 设样本数据1x ，2x ，…，5x 的平均数和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数，1i =，2，…，5），则1y ，2y ，…，5y 的平均数和方差分别为（ ） A. 1，4B. 1a +，4a +C. 1a +，4D. 1，4a +6. 一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A. πB. 34π+C. 4π+D. 24π+7. 若方程221259x y k k-=--表示曲线为焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（ ） A. (17,25) B. (,9)(25,)-∞⋃+∞ C. (9,25)D. (25,)+∞8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为A. 35B. 20C. 18D. 99. 设α，β，γ表示平面，m ，n ，l 表示直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若αβ⊥，l β//，则l α⊥ B. 若αβ⊥，m αβ=，l m ⊥，则l α⊥C. 若βα⊥，γα⊥，l βγ=，则l α⊥D. 若m n α⊂、，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥10. 若关于x 的不等式23||x a x -->至少有一个负实数解，则实数a 的取值范围是（ ） A. 133,4⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1313,44⎛⎫-⎪⎝⎭ C. ()3,3-D. 13,34⎛⎫-⎪⎝⎭11. 已知直线(1)(0)y k x k =->与抛物线2:4C y x =分别相交于A ，B 两点，与C 的准线交于点D ，若||||AB BD =，则k 的值为（ ）B. 3C.D. 12. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F1F 作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点M ，则12F MF ∠的大小为（ ） A.2πB.6π C.3π D.4π 二、填空题：把答案填在答题纸上.13. 双曲线22124x y -=的渐近线方程为_______.14. 在区间[0,5]内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间[0,5]内的概率为_______. 15. 在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面ACD ，ABC 与ACD △都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为_______.16. 不等式2220x axy y -+≤对于任意[1,2]x ∈及[1,3]y ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在平面直角坐标系xOy 中，圆22:20C x y x my n +-++=，过点(1,1)--与(3,3)- （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 上有两点M ，N 关于直线20x y +=对称，且||MN =MN方程. 18. 某厂通过节能降耗技术改造后，记录了生产A 产品过程中的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组统计数据，如下表：（1）利用所给数据求y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）已知该厂技改前100吨A 产品的生产能耗为90吨标准煤，请你预测该厂技改后100吨A产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？参考公式：最小二乘法估计分别为，()()()1122211ˆn ni i i ii in ni ii ix y nxy x x y ybx nx x x====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-. 19. 某校抽取了100名学生期中考试的英语和数学成绩，已知成绩都不低于100分，其中英语成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150].（1）根据频率分布直方图，估计这100名学生英语成绩的平均数和中位数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）若这100名学生数学成绩分数段的人数y的情况如下表所示：分组区间[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150] y 15 40 40 m n且区间[130,140)内英语人数与数学人数之比为10:1，现从数学成绩在[130,150]的学生中随机选取2人，求选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140,150]的概率.20. 如图，多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，1AB=，2CD DE==，3AD AC==，点F为CE中点.（1）证明//BF 平面ACD ；（2）求AF 与平面ABED 所成角的正弦值.21. 已知点(1,1)A --，(1,1)B -，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是2，设点M 的轨迹为C . （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）设直线:l y x b =-+与轨迹C 交于D 、E 两点，(1,0)Q ，若QD QE ⊥，求弦长DE 的值.22. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左、右顶点分别为A 、B ，上顶点为D (0,1)，离心率为32. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点E 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AE 、BE 与直线5:2l x =分别交于M 、N 两点，当线段MN 的长度最小时，椭圆C 上是否存在点T 使TBE 的面积为45？若存在，求出点T 的坐标：若不存在，请说明理由.四川省泸州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.共150分.考试时间120分钟.一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有项是符合要求的.1. 若直线:210l x y +-=与直线:210m x ay +-=平行，则实数a 的值为（ ） A. 2 B. 2-C.12D. 4【答案】D 【解析】 【分析】讨论a 的值，由直线平行的性质，求解即可.【详解】当0a =时，直线:210l x y +-=与直线:210m x -=不平行，不满足题意；当0a ≠时，由直线11:22l y x =-+与直线21:m y x a a =-+平行，则122112aa⎧-=-⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩解得：4a = 故选：D【点睛】本题主要考查了由直线平行求参数，属于中档题.2. 某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高二学生中抽取的人数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】D 【解析】 【分析】根据所给的高一学生的总数和高一学生抽到的人数，可以求出每个个体被抽到的概率，根据这个概率值求出高二学生被抽到的人数． 【详解】由题意知高一学生210人，从高一学生中抽取的人数为7 ∴可以做出每210307=人抽取一个人， ∴从高二学生中抽取的人数应为270930=． 故选：D ．【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3. 双曲线2228x y -=的实轴长是A. 2B.C. 4【答案】C 【解析】试题分析：双曲线方程变形为22148x y -=，所以28b b =∴=2b =考点：双曲线方程及性质4. 若0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（ ） A.11a b< B. 22a b >C. ln()0b a ->D.22ac bc <【答案】B 【解析】 【分析】取特殊值排除ACD 选项，由幂函数的单调性判断B 选项. 【详解】当2,1a b =-=-时，11112a b-=>=-；ln()ln10b a -==；则AC 错误； 当0c 时，22ac bc =，则D 错误；因函数2yx 在(,0)-∞上单调递减，0a b <<，所以22a b >故选：B【点睛】本题主要考查了由所给条件判断不等式是否成立，属于中档题.5. 设样本数据1x ，2x ，…，5x 的平均数和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数，1i =，2，…，5），则1y ，2y ，…，5y 的平均数和方差分别为（ ） A. 1，4 B. 1a +，4a + C. 1a +，4 D. 1，4a +【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平均数和方差公式求解.【详解】由题得1y ，2y ，…，5y 的均值为512125125()()()()55515555y y y x a x a x a x x x a ay a ++⋯+++++⋯++++⋯+++=====+1y ，2y ，…，5y 的方差222125()()()5y y y y y y -+-+⋯+-=252221[()(1)][()(51)][()(1)]x a a x a a x a a +-+++-++⋯++-+=222152(1)(1)(15)x x x -+-+⋯+-=． ∵1x ，2x ，…，5x 的方差为4 ∴1y ，2y ，…，5y 的方差为4 故选：C【点睛】本题主要考查平均数和方差的公式的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.6. 一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A. πB. 34π+C. 4π+D. 24π+【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，故其表面积为21121222123422S πππ=⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯=+故选B.考点：由三视图求面积、体积．7. 若方程221259x yk k-=--表示曲线为焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A. (17,25)B. (,9)(25,)-∞⋃+∞C. (9,25) D. (25,)+∞【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的性质得出不等式组(9)25(9)0250k kkk-->-⎧⎪-->⎨⎪->⎩，即可得出答案.【详解】由题意可得，(9)25(9)0250k kkk-->-⎧⎪-->⎨⎪->⎩，解得(17,25)k∈故选：A【点睛】本题主要考查了由方程表示椭圆求参数范围，属于中档题.8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为A. 35B. 20C. 18D. 9【答案】C 【解析】试题分析：模拟算法：开始：输入3,2,1,312,0n x v i i ====-=≥成立； 1224v =⨯+=，211,0i i =-=≥成立； 4219v =⨯+=，110,0i i =-=≥成立；92018v =⨯+=，011,0i i =-=-≥不成立，输出18v =.故选C.考点：1.数学文化；2.程序框图.9. 设α，β，γ表示平面，m ，n ，l 表示直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若αβ⊥，l β//，则l α⊥B. 若αβ⊥，m αβ=，l m ⊥，则l α⊥C. 若βα⊥，γα⊥，l βγ=，则l α⊥D. 若m n α⊂、，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥ 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间直线平面位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 若αβ⊥，l β//，则l α⊥或者l α⊂或者l 与α斜交，所以该选项错误； B. 若αβ⊥，m αβ=，l m ⊥，则l α⊥或者l α⊂或者//l α或者l 与α斜交，所以该选项错误；C. 若βα⊥，γα⊥，l βγ=，则l α⊥,是正确的.D. 若m n α⊂、，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥或者l α⊂或者l 与α相交，所以该选项错误. 故选：C【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.10. 若关于x 的不等式23||x a x -->至少有一个负实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A. 133,4⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1313,44⎛⎫-⎪⎝⎭C. ()3,3-D. 13,34⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 分析】将该不等式的问题，转化为函数的交点问题，利用图象即可得出实数a 的取值范围.【详解】关于x 的不等式23||x a x -->等价于22330x a x x ⎧-<-⎨->⎩若不等式至少有一个实数解，则函数(2,3x y x ∈=-与||y x a =-的图象有交点在同一坐标系中，画出函数23y x =-与||y x a =-的图象，如下图所示当||y x a =-的图象右边部分与23y x =-相切时，23y x ay x =-⎧⎨=-⎩有唯一解，即230x x a +--=有唯一解，则14(3)0a ∆=---=，解得134a =-当||y x a =-的图象左边部分过(0,3)时，求得3a = 则实数a 的取值范围是13,34⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了由函数的零点求参数范围，属于中档题.11. 已知直线(1)(0)y k x k =->与抛物线2:4C y x =分别相交于A ，B 两点，与C 的准线交于点D ，若||||AB BD =，则k 的值为（ ） 2 B. 3C. 22D. 32【答案】C 【解析】 【分析】如图，设A ，B 两点在抛物线的准线上的射影分别为A '，B ′，过B 作AA '的垂线BH ，在三角形ABH 中，BAH ∠等于直线AB 的倾斜角，其正切值即为k 值，利用在直角三角形ABH 中，||tan ||BH BAH AH ∠=，从而得出直线AB 的斜率．【详解】如图，设A ，B 两点在抛物线的准线上的射影分别为A '，B ′，过B 作AA '的垂线BH ，在三角形ABH 中，BAH ∠等于直线AB 的倾斜角，其正切值即为k 值， 由抛物线的定义可知： 设||BF n =，B 为AD 中点，根据抛物线的定义可知：||||AF AA ='，||||BF BB ='，2||||BB AA '='， 可得2||||BF AA ='，即||2||AF BF =， ||2AF n ∴=，||2AA n '=， ||AH n ∴=，在直角三角形ABH 中，22||9tan 2||BH n n BAH AH -∠===l 的斜率22k =故选：C ．【点睛】本题主要考察了直线与抛物线的位置关系、抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题．12. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F 31F 作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点M ，则12F MF ∠的大小为（ ）A.2πB.6π C.3π D.4π 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何关系得出直线1MF 的方程，与双曲线方程联立得出M 的坐标，根据距离公式以及余弦定理即可得出答案. 【详解】由题意可得3,2c a ba ==设切点为T ，连2,TO MF ，则11,||,||TO a F c F b O T ===121||2tan 2OT a MF F FT b ∴∠===，即直线12:(3)2MF y x a =+①将①式代入22221x y a b -=得2232370x ax a -=-，解得326x a ±=则3262623,M a a ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭22132626233(222)33F M a a a a ⎛⎫⎛⎫++∴=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由双曲线定义得2(222)222F M a a a =+-=由余弦定理得22221284(21)122cos 22222(21)a a a F MF a a ++-∠==⋅⋅+ 124F MF π∴∠=故选：D【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系求参数，属于中档题. 二、填空题：把答案填在答题纸上.13. 双曲线22124x y -=的渐近线方程为_______.【答案】2y x =【分析】根据方程得出2,2a b==，即可得出该双曲线的渐近线方程.【详解】根据双曲线的方程得2,2a b==则其渐近线方程为2by x xa=±=±故答案为：2y x=±【点睛】本题主要考查了求双曲线的渐近线方程，属于基础题.14. 在区间[0,5]内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间[0,5]内的概率为_______.【答案】20π【解析】【分析】利用几何概型求概率即可.【详解】将取出的两个数用,x y表示，则,[0,5]x y∈要求这两个数的平方和在[0,5]内，则2205x y≤+≤由图可知，2205x y≤+≤表示图中阴影部分则这两个数的平方和在区间[0,5]内的概率为(21542520ππ⨯⨯=故答案为：20π【点睛】本题主要考查了几何概型计算概率，属于中档题.15. 在三棱锥A BCD-中，平面ABC⊥平面ACD，ABC与ACD△都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为_______.【答案】60π【分析】根据几何关系确定该三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式即可得出答案.【详解】设外接球的球心为O ，半径为R ，AC 的中点为M ，,ACD ABC ∆∆的外接圆圆心分别为12,O O ，连接121,,,,,BM DM OO OO AO AO ，如下图所示则BM AC ⊥，AC 为平面ABC 与平面ACD 的交线即BM ⊥平面ACD ，DM ⊥平面ABC ，1OO ⊥平面ACD ，2OO ⊥平面ABC 故四边形12OO MO 为矩形1213633OO O M ===22221163152sin 60R OO AO ︒⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭则该三棱锥的外接球的表面积为2460R ππ= 故答案为：60π【点睛】本题主要考查了几何体的外接球问题以及球的表面积公式，属于中档题.16. 不等式2220x axy y -+≤对于任意[1,2]x ∈及[1,3]y ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【答案】9[,)2+∞ 【解析】 【分析】分离参数，令y t x =，根据不等式的性质得出1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设2()h t t t =+，根据函数单调性的定义得出其值域，即可确定a 的范围.【详解】依题意，不等式2220x axy y -+≤等价于2222x y x y a xy y x +≥=+，设yt x= [1,2]x ∈及[1,3]y ∈，1112x ∴，即132yx132t ∴，则22x y t y x t +=+令2()h t t t =+，1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令12132t t <≤≤时，()()()()121212122t t t t h t h t t t ---=当1212≤<<t t 12120,20t t t t -<-<，则()12()h t h t >123t t ≤<≤时，12120,20t t t t -<-，则()()12h t h t ≤所以函数()h t在区间12⎡⎢⎣上单调递减，在区间⎤⎦上单调递增119211()4,(3)322233h h h =+====+=则9()2h t ≤，即9[,)2a ∈+∞故答案为：9[,)2+∞【点睛】本题主要考查了一元二次不等式在某区间上的恒成立问题，涉及求函数的值域，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在平面直角坐标系xOy 中，圆22:20C x y x my n +-++=，过点(1,1)--与(3,3)- （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 上有两点M ，N 关于直线20x y +=对称，且||MN =MN 方程.【答案】（1）22(1)(2)5x y -++=（2）11524y x =-或1524y x =- 【解析】 【分析】（1）将点(1,1)--与(3,3)-代入圆的方程，解方程组即可得出圆C 的方程；（2）由两直线垂直的关系设出直线MN 的方程，结合圆的弦长公式以及点到直线的距离公式，即可得出直线MN 的方程. 【详解】（1）由112099630m n m n ++-+=⎧⎨+--+=⎩，解得4,0m n ==则圆C 的方程为22240x y x y +-+=，即22(1)(2)5x y -++= （2）由（1）可得，圆C 的圆心坐标为(1,2)-由于,M N 关于直线20x y +=对称，则,M N 所在的直线与直线20x y +=垂直 设,M N 所在直线方程为12y x b =+，圆心到直线12y x b =+的距离d=d =圆心到直线12y x b =+的距离2d ==解得155,44b b =-=- 即直线MN 的方程为11524y x =-或1524y x =- 【点睛】本题主要考查了求圆的方程以及直线与圆的位置关系的应用，属于中档题. 18. 某厂通过节能降耗技术改造后，记录了生产A 产品过程中的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组统计数据，如下表：（1）利用所给数据求y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）已知该厂技改前100吨A 产品的生产能耗为90吨标准煤，请你预测该厂技改后100吨A 产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？参考公式：最小二乘法估计分别为，()()()1122211ˆn ni iiii i nni i i i x y nxy x x y y bx nx x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 【答案】（1）ˆ0.735yx =+（2）16.5 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法得出回归方程即可； （2）将100x =代入回归方程，即可得出答案. 【详解】（1）4130254030504060456650i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑4222221304050608600ii x==+++=∑30405060454x +++==，25304045354y +++==2665043545350ˆˆ0.7,350.745 3.58600445500ba -⨯⨯∴====-⨯=-⨯ 即ˆ0.735yx =+ （2）当100x =时，ˆ70 3.573.5y=+=，9073.516.5-= 则该厂技改后100吨A 产品的生产能耗比技改前降低16.5吨标准煤【点睛】本题主要考查了求回归方程以及根据回归方程进行数据估计，属于中档题. 19. 某校抽取了100名学生期中考试的英语和数学成绩，已知成绩都不低于100分，其中英语成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150].（1）根据频率分布直方图，估计这100名学生英语成绩的平均数和中位数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）若这100名学生数学成绩分数段的人数y的情况如下表所示：分组区间[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150] y 15 40 40 m n且区间[130,140)内英语人数与数学人数之比为10:1，现从数学成绩在[130,150]的学生中随机选取2人，求选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140,150]的概率.【答案】（1）这100名学生英语成绩的平均数和中位数分别为124，123.75（2）3 5【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图求平均数，中位数的方法求解即可；（2）利用题设条件得出,m n的值，再由古典概型的概率公式求解即可. 【详解】（1）这100名学生英语成绩的平均数为1050.051150.31250.41350.21450.05124⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=设这100名学生英语成绩的中位数为x直方图可知[100,110),[110,120),[120,130)对应的频率分别为0.05,0.3,0.4 0.050.30.40.750.5,0.5(0.30.05)0.15++=>-+=(120)0.040.15x ∴-⨯=，解得123.75x =则这100名学生英语成绩的中位数为123.75 （2）区间[130,140)内英语人数为1000.220⨯=人∴区间[130,140)内数学人数为120210⨯=人 2,100(1540402)3m n ∴==-+++=设数学成绩在[130,140)的人记为12,a a ，数学成绩在[140,150]的人记为123,,b b b 则从数学成绩在[130,150]的学生中随机选取2人的所有情况为()()()()12111213,,,,,,,a a a b a b a b ，()()()212223,,,,,a b a b a b ，()()()121323,,,,,b b b b b b ，共10种，其中选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140,150]有6种 即选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140,150]的概率为63105= 【点睛】本题主要考查了由频率分布直方图计算平均数，中位数以及古典概型概率的求解，属于中档题.20. 如图，多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，1AB =，2CD DE ==，3AD AC ==，点F 为CE 中点.（1）证明//BF 平面ACD ；（2）求AF 与平面ABED 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（222【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用向量法求解即可.【详解】（1）取CD 的中点为G ，连接,FG AGAB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD//AB DE ∴，且12AB DE =在CDE ∆中，,F G 分别是,CE CD 中点//FG ED ∴，且12FG ED =//AB DE ∴且=AB DE即四边形ABFG 为平行四边形//BF AG ∴BF ⊄平面ACD ，AG ⊂平面ACD∴//BF 平面ACD（2）由（1）可知，//AB FG ，FG ∴⊥平面ACD,CD AG ⊂平面ACD ，,FG CD FG AG ∴⊥⊥AC AD =，AG CD ∴⊥∴以点G 作为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系(22,0,0)A ，(22,0,1)B ，(0,1,0)C ，(0,1,0)D -，(0,1,2)E -(22,0,1),(0,0,1),(22,1,0)AF AB AD ∴=-==--，(0,0,1)F设平面ABED 的法向量为(,,)n x y z =002200z n AB n AB x y n AD n AD ⎧⎧=⎧⊥⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+=⎪⊥⋅=⎪⎩⎪⎩⎩取2x =，则(2,4,0)n =- 设AF 与平面ABED 所成角为θ||22sin 9||||81216AF n AF n θ⋅===⋅+⋅+【点睛】本题主要考查了证明线面平行以及利用向量法证明线面角，属于中档题.21. 已知点(1,1)A --，(1,1)B -，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是2，设点M 的轨迹为C . （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）设直线:l y x b =-+与轨迹C 交于D 、E 两点，(1,0)Q ，若QD QE ⊥，求弦长DE 的值.【答案】（1）2(1,)y x x =-≠±（210 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式得出直线AM 的斜率与直线BM 的斜率，由题意得出点M 的轨迹C 的方程； （2）将QD QE ⊥转化为0QD QE ⋅=，结合韦达定理以及弦长公式，即可得出答案. 【详解】（1）设(,)M x y ，由题意得1(1)1AM y k x x +=≠-+，1(1)1BM y k x x +=≠-则2AM BM k k -=，即11211y y x x ++-=+-，化简得2(1,)y x x =-≠± 故点M 的轨迹C 的方程为2(1,)y x x =-≠±（2）设()()1122,,,D x y E x y ，则()()11221,,1,QD x y QE x y =-=-()()12120110QD QE x x y y ∴⋅=⇒--+=将y x b =-+代入2(1,)y x x =-≠±中，得20x x b -+=12121,x x x x b ∴+=⋅=，()121222y y x x b ⋅==则()()212121100x x y y b b --=++⇒=，解得0b =或1b =-当0b =时，y x =-与2y x =-的交点为(0,0)和(1,1)，则0b =不成立1b ∴=-DE ∴==【点睛】本题主要考查了求平面轨迹方程以及直线与抛物线相交的弦长，属于中档题.22. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左、右顶点分别为A 、B ，上顶点为D (0,1)，离心率（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点E 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AE 、BE 与直线5:2l x =分别交于M 、N 两点，当线段MN 的长度最小时，椭圆C 上是否存在点T 使TBE 的面积为45？若存在，求出点T 的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质列出方程组，即可得出椭圆方程；（2）根据题意表示出,M N 的坐标，进而得出直线BE 的方程以及弦长，由TBE 的面积得出点T 到直线BE 的距离，将该距离转化为两平行直线的距离，即可得出T 的坐标.【详解】（1）2221231b a cb a a bc =⎧⎪=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为2214x y += （2）显然直线AE 的斜率存在，设为k ，并且0k >，则:(2)AE y k x =+设()11,E x y ，由(2)52y k x x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得59,22k M ⎛⎫⎪⎝⎭由22(2)440y k x x y =+⎧⎨+-=⎩，得到()222214161640k x k x k +++-= 由212164214k x k --=+，得出2122814k x k -=+，则212228421414k k y k k k ⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭ 222284,1414k k E k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭，即14EB k k =-，所以直线1(2)4:y E k B x =-- 由1(2)452y x kx ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得出51,28N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭91913228282k k MN k k ∴==+⋅=当且仅当16k =时，取等号，则min 32MN= 此时83,55E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，BE ==直线:3260BE x y +-=若椭圆C 上存在点T 使TBE 的面积为45，则点T 到直线BE即过点T 且与直线BE 平行的直线到直线BE的距离为13设该直线为:320l x y t ++=13=，解得2t =或14t =- 当2t =时，由22322014x y x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩或6545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当14t =-时，由223214014x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2542960x x -+= 由于24245960b =-⨯⨯<，则14t =-不成立 综上，存在(0,1)T -或64,55T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使TBE 的面积为45 【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程以及椭圆中三角形的面积问题，属于较难题.。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_47
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项：1、本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共4页，有三道大题，共20道小题，满分100分.考试时间120分钟.2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目.3、考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数除法运算整理可得结果.【详解】故选：【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.2.设，则“”是“”（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式和分式不等式可求得解集，根据集合的包含关系与充分、必要条件的关系可得到结果.【详解】的解集的解集且“”是“”的必要不充分条件故选：【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，关键是能够根据不等式的解法求得解集，根据集合包含关系可得结果.3.设等差数列的前项和为，已知，则（）A. 24B. 20C. 16D. 18【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可将所求式子化为，由求得后即可得到结果.详解】故选：【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及到等差中项的性质、下标和性质的应用，属于基础题.4.若，则下列命题正确的个数（）①；②；③；④A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由特例，可验证出①②③错误；由作差法可知④正确.【详解】，当，时，对于①：，，则，①错误；对于②：，，，②错误；对于③：，，则，③错误；对于④：当时，，，，即，④正确.故选：【点睛】本题考查根据不等式的性质判断不等关系的问题，关键是能够熟练掌握不等式的性质，解决此类问题通常采用特殊值法快速排除错误选项.5.明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为：“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层有（）A. 3盏灯B. 192盏灯C. 195盏灯D. 200盏灯【答案】A【解析】【分析】由等比数列前项和公式可构造方程求得首项.【详解】设每层灯的盏数为等比数列，首项为顶层灯的盏数，公比，解得：，即顶层有盏灯故选：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，涉及到等比数列前项和公式的应用，属于基础题.6.已知椭圆的两个焦点为，且，弦过点，则的周长为（）A. 10B. 20C.D.【答案】D【解析】【分析】由焦距可求得，进而得到；由椭圆定义可求得结果.【详解】由椭圆定义知：的周长为故选：【点睛】本题考查椭圆定义的应用，关键是明确所求三角形的周长实际为椭圆上两点到两焦点距离之和的总和，即.7.在中，，，的面积为，则中最大角的正切值是（）A. 或B.C.D. 或【答案】D【解析】【分析】结合三角形面积公式求得，分为和两种情况；当时，自然为最大角，得到；当时，利用余弦定理求得，根据大边对大角原则可知最大；通过正余弦定理求得，进而求得.【详解】或当时，最大角为，则当时，由余弦定理可得：最大角为，综上所述：中最大角的正切值为或故选：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到三角形面积公式、三角形大边对大角原则的应用等知识；关键是能够通过分类讨论的方式，根据边的长度关系确定最大角.8.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理可构造出关于的齐次方程，进而得到关于离心率的方程，解方程求得结果.【详解】由圆的方程知：圆心，半径由双曲线方程得其渐近线方程为，即圆心到渐近线的距离，解得：故选：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到垂径定理的应用；关键是明确直线被圆截得的弦长为.9.已知函数，若直线与曲线相切，则实数的值为（）A. 3B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】设切点坐标，利用两点连线斜率公式和切点处的导数值表示出切线斜率，从而构造方程求得结果.【详解】由题意得：，直线恒过设直线与相切于点则，即，解得：故选：【点睛】本题考查过某一点的曲线的切线方程的求解，关键是能够通过假设切点的方式，将切线斜率利用两点连线斜率公式和导数值分别表示出来，构造出等量关系.10.对于函数，，下列说法正确的有（）①在处取得极大值；②有两个不同的零点；③；④在上单调函数.A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】利用导函数的正负可确定的单调性，知④错误；由单调性可知极大值点，并求得极大值，知①正确；由零点存在定理和单调性可确定函数恰有两个不同零点，②正确；根据单调性和函数值的大小可知③正确.【详解】当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，④错误；在处取得极大值，①正确；在必有一个零点又，即为的一个零点且在无零点恰有两个不同的零点，②正确；，又在上单调递减，③正确则正确的命题为：①②③，共个故选：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点个数的问题，涉及到零点存在定理的应用；关键是能够明确函数的单调性与导函数的正负之间的关系，属于导数部分知识的综合应用.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知，，，则_______.【答案】9【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算即可计算求得结果.【详解】故答案为：【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，涉及到加法运算和数量积运算，属于基础题.12.已知为坐标原点，点在抛物线上，点为抛物线的焦点，若的面积为32，则_______.【答案】20【解析】【分析】由抛物线方程可知焦点坐标，利用三角形面积公式可求得点纵坐标，进而得到点横坐标；利用抛物线焦半径公式求得结果.【详解】由题意得：设，则，解得：故答案：【点睛】本题考查抛物线焦半径的求解，关键是能够利用三角形面积求得抛物线上点的横坐标.13.平面直角坐标系中第一象限的点到点和到点的距离相等，则的最小值为__________.【答案】3【解析】【分析】利用两点间距离公式可整理得到，由可得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】，整理可得：（当且仅当，即时取等号）故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够对“”进行灵活应用，配凑出符合基本不等式的形式，属于常考题型.14.已知数列的前项和为，若，则__________.【答案】【解析】【分析】令可求得，根据可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式求得结果.【详解】当时，，解得：当且时，，即数列是以为首项，为公比的等比数列故答案为：【点睛】本题考查等比数列中的项的求解，关键是能够利用与的关系证得数列是等比数列，同时确定首项和公比.15.已知函数，若存在实数满足，且，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】令，由数形结合知，由解析式可求得，从而将表示为关于的函数，利用导数可求得最值.【详解】令，则，如下图所示：，令，则当时，在上单调递增，即的最大值为故答案为：【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是能够将所求式子转化为关于某一变量的函数的形式，同时利用数形结合的方式确定变量的范围；易错点是忽略变量的取值范围，造成最值求解错误.三、解答题：本大题共5小题，满分40分..解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知在中，角所对的边分别为，且，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将已知等式转化为余弦定理的形式求得，根据可得到结果；（2）利用正弦定理可求得，知，根据三角形内角和可求得，得到；由三角形面积公式求得结果.【详解】（1）（2）由（1）知：由正弦定理得：又【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理和余弦定理的应用、三角形面积公式的应用等知识，属于常考题型.17.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，成等比数列.（1）求数列的通项公式，并求；（2）设，求数列前项和.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列性质；利用和表示出可求得，从而得到等差数列通项公式并求得首项；由等差数列前项和公式求得；（2）由（1）可得通项公式，采用分组求和的方法，对的两个部分分别采用等比数列求和、裂项相消法求和，进而得到.【详解】（1）由成等比数列得：设等差数列公差为，则解得：，则（2）由（1）得：【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和的求解、数列求和中的分组求和、公式法和裂项相消法的应用等知识；确定求和方法的关键是能够通过通项公式的形式来选择对应的方法.18.如图，四边形是平行四边形，且，四边形是矩形，平面平面，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】分析】（1）由面面垂直性质可得平面，可知；由长度关系可结合勾股定理证得；利用线面垂直的判定定理证得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）平面平面，平面平面，平面，又平面，又，平面平面（2）平面以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系设，则，，，，，，则，，由（1）知，平面平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，即，令，则，设所求的锐二面角为，则【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到面面垂直的性质定理、线面垂直判定与性质定理的应用等知识，属于常考题型.19.已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点与两个焦点构成的三角形中，面积最大为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆的交于两点，为坐标原点，且，证明：直线与圆相切.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由椭圆上点为短轴端点时所给三角形面积最大可得，结合离心率和椭圆的关系，构造方程组求得，进而得到椭圆方程；（2）①当的斜率存在时，设方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式；利用垂直关系可得向量数量积等于零，代入韦达定理的结论整理可得；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离，代入可求得；②当的斜率不存在时，可求得方程，易知其与圆相切；综合两种情况可得结论.【详解】（1）椭圆上的点与两个焦点构成的三角形中，面积最大时椭圆上的点为短轴端点，又，椭圆的标准方程为（2）设，①当的斜率存在时，设由得：则，又，即满足到直线的距离又圆的半径直线与圆相切②当的斜率不存在时，所在的两条直线分别为与椭圆方程联立可求得交点横坐标为或可得到所在的直线为：或直线与圆相切综上所述：当时，直线与圆相切【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、直线与圆位置关系的判定等知识；求解直线与椭圆综合问题的常用方法是将直线方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式，利用韦达定理表示出已知等量关系；易错点是忽略直线斜率是否存在的讨论.20.已知函数（其中为自然对数的底数，）.（1）若是函数的极值点，求的值，并求的单调区间；（2）若时都有，求实数的取值范围.【答案】（1）；的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）【解析】【分析】（1）由极值点可知，从而求得；根据导函数的正负即可确定的单调区间；（2）求导后得到导函数；当和时，可根据导函数正负确定单调递增，从而，满足题意；当时，由零点存在定理可知存在，使得时，，由单调性可知不恒成立；从而得到所求范围.【详解】（1）由得：定义域为，是的极值点，解得：此时，当时，，单调递减；当时，，单调递增的单调递减区间为，单调递增区间为（2），①当时，恒成立单调递增，满足题意②当时，是上的增函数，且若，即，则且不恒等于单调递增，满足题意若，即，，存在，使得当时，，则单调递减即不恒成立，不合题意综上所述：实数的取值范围为【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到极值点的应用、利用导数求解函数的单调区间、零点存在定理的应用、恒成立问题的求解等知识；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论的方式得到导函数在不同情况下的正负，进而确定函数的单调性，通过单调性得到能使得不等式恒成立的参数的范围.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项：1、本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共4页，有三道大题，共20道小题，满分100分.考试时间120分钟.2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目.3、考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数除法运算整理可得结果.【详解】故选：【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.2.设，则“”是“”（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式和分式不等式可求得解集，根据集合的包含关系与充分、必要条件的关系可得到结果.【详解】的解集的解集且“”是“”的必要不充分条件故选：【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，关键是能够根据不等式的解法求得解集，根据集合包含关系可得结果.3.设等差数列的前项和为，已知，则（）A. 24B. 20C. 16D. 18【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可将所求式子化为，由求得后即可得到结果.详解】故选：【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及到等差中项的性质、下标和性质的应用，属于基础题.4.若，则下列命题正确的个数（）①；②；③；④A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由特例，可验证出①②③错误；由作差法可知④正确.【详解】，当，时，对于①：，，则，①错误；对于②：，，，②错误；对于③：，，则，③错误；对于④：当时，，，，即，④正确.故选：【点睛】本题考查根据不等式的性质判断不等关系的问题，关键是能够熟练掌握不等式的性质，解决此类问题通常采用特殊值法快速排除错误选项.5.明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为：“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层有（）A. 3盏灯 B. 192盏灯 C. 195盏灯 D. 200盏灯【答案】A【解析】【分析】由等比数列前项和公式可构造方程求得首项.【详解】设每层灯的盏数为等比数列，首项为顶层灯的盏数，公比，解得：，即顶层有盏灯故选：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，涉及到等比数列前项和公式的应用，属于基础题.6.已知椭圆的两个焦点为，且，弦过点，则的周长为（）A. 10B. 20C.D.【答案】D【解析】【分析】由焦距可求得，进而得到；由椭圆定义可求得结果.【详解】由椭圆定义知：的周长为故选：【点睛】本题考查椭圆定义的应用，关键是明确所求三角形的周长实际为椭圆上两点到两焦点距离之和的总和，即.7.在中，，，的面积为，则中最大角的正切值是（）A. 或B.C.D. 或【答案】D【解析】【分析】结合三角形面积公式求得，分为和两种情况；当时，自然为最大角，得到；当时，利用余弦定理求得，根据大边对大角原则可知最大；通过正余弦定理求得，进而求得.【详解】或当时，最大角为，则当时，由余弦定理可得：最大角为，综上所述：中最大角的正切值为或故选：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到三角形面积公式、三角形大边对大角原则的应用等知识；关键是能够通过分类讨论的方式，根据边的长度关系确定最大角.8.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理可构造出关于的齐次方程，进而得到关于离心率的方程，解方程求得结果.【详解】由圆的方程知：圆心，半径由双曲线方程得其渐近线方程为，即圆心到渐近线的距离，解得：故选：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到垂径定理的应用；关键是明确直线被圆截得的弦长为.9.已知函数，若直线与曲线相切，则实数的值为（）A. 3B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】设切点坐标，利用两点连线斜率公式和切点处的导数值表示出切线斜率，从而构造方程求得结果.【详解】由题意得：，直线恒过设直线与相切于点则，即，解得：故选：【点睛】本题考查过某一点的曲线的切线方程的求解，关键是能够通过假设切点的方式，将切线斜率利用两点连线斜率公式和导数值分别表示出来，构造出等量关系.10.对于函数，，下列说法正确的有（）①在处取得极大值；②有两个不同的零点；③；④在上单调函数.A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】利用导函数的正负可确定的单调性，知④错误；由单调性可知极大值点，并求得极大值，知①正确；由零点存在定理和单调性可确定函数恰有两个不同零点，②正确；根据单调性和函数值的大小可知③正确.【详解】当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，④错误；在处取得极大值，①正确；在必有一个零点又，即为的一个零点且在无零点恰有两个不同的零点，②正确；，又在上单调递减，③正确则正确的命题为：①②③，共个故选：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点个数的问题，涉及到零点存在定理的应用；关键是能够明确函数的单调性与导函数的正负之间的关系，属于导数部分知识的综合应用.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知，，，则_______.【答案】9【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算即可计算求得结果.【详解】故答案为：【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，涉及到加法运算和数量积运算，属于基础题.12.已知为坐标原点，点在抛物线上，点为抛物线的焦点，若的面积为32，则_______.【答案】20【解析】【分析】由抛物线方程可知焦点坐标，利用三角形面积公式可求得点纵坐标，进而得到点横坐标；利用抛物线焦半径公式求得结果.【详解】由题意得：设，则，解得：故答案：【点睛】本题考查抛物线焦半径的求解，关键是能够利用三角形面积求得抛物线上点的横坐标.13.平面直角坐标系中第一象限的点到点和到点的距离相等，则的最小值为__________.【答案】3【解析】【分析】利用两点间距离公式可整理得到，由可得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】，整理可得：（当且仅当，即时取等号）故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够对“”进行灵活应用，配凑出符合基本不等式的形式，属于常考题型.14.已知数列的前项和为，若，则__________.【答案】【解析】【分析】令可求得，根据可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式求得结果.【详解】当时，，解得：当且时，，即数列是以为首项，为公比的等比数列故答案为：【点睛】本题考查等比数列中的项的求解，关键是能够利用与的关系证得数列是等比数列，同时确定首项和公比.15.已知函数，若存在实数满足，且，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】令，由数形结合知，由解析式可求得，从而将表示为关于的函数，利用导数可求得最值.【详解】令，则，如下图所示：，令，则当时，在上单调递增，即的最大值为故答案为：【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是能够将所求式子转化为关于某一变量的函数的形式，同时利用数形结合的方式确定变量的范围；易错点是忽略变量的取值范围，造成最值求解错误.三、解答题：本大题共5小题，满分40分..解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知在中，角所对的边分别为，且，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将已知等式转化为余弦定理的形式求得，根据可得到结果；（2）利用正弦定理可求得，知，根据三角形内角和可求得，得到；由三角形面积公式求得结果.【详解】（1）（2）由（1）知：由正弦定理得：又【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理和余弦定理的应用、三角形面积公式的应用等知识，属于常考题型.17.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，成等比数列.（1）求数列的通项公式，并求；（2）设，求数列前项和.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列性质；利用和表示出可求得，从而得到等差数列通项公式并求得首项；由等差数列前项和公式求得；（2）由（1）可得通项公式，采用分组求和的方法，对的两个部分分别采用等比数列求和、裂项相消法求和，进而得到.【详解】（1）由成等比数列得：设等差数列公差为，则解得：，则（2）由（1）得：【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和的求解、数列求和中的分组求和、公式法和裂项相消法的应用等知识；确定求和方法的关键是能够通过通项公式的形式来选择对应的方法.18.如图，四边形是平行四边形，且，四边形是矩形，平面平面，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】分析】（1）由面面垂直性质可得平面，可知；由长度关系可结合勾股定理证得；利用线面垂直的判定定理证得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）平面平面，平面平面，平面，又平面，又，平面平面（2）平面以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系设，则，，，，，，则，，由（1）知，平面平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，即，令，则，设所求的锐二面角为，则【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到面面垂直的性质定理、线面垂直判定与性质定理的应用等知识，属于常考题型.19.已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点与两个焦点构成的三角形中，面积最大为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆的交于两点，为坐标原点，且，证明：直线与圆相切.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】。
【40套试卷合集】泸州市重点中学2019-2020学年数学高二上期末模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个职工的编号为（ ） （A ）23 （B ）37 （C ）35 （D ） 173．已知向量(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（ ） （A ）1 （B ）15 （C ） 35 （D ） 754．已知正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 21=，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为（ ） （A ）1010 （B ）10103 （C ）51 （D ）535．设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （B ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （D ）B x A x p ∉∉∃⌝2,:6．已知点P 是以21,F F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，若021=⋅PF PF ，21tan 21=∠F PF ，则椭圆的离心率为（ ） （A ）31 （B ）21（C ）32（D ）357．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示设s 1，s 2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，x 1，x 2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（ ）（A ）x 1＝x 2，s 1<s 2 （B ）x 1＝x 2，s 1>s 2 （C ）x 1>x 2，s 1>s 2 （D ）x 1＝x 2，s 1＝s 28．设n m l ,,表示三条不同的直线，γβα,,表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若βα⊥⊥⊥m l m l ,,，则βα⊥；②若β⊂m ，n 是l 在β内的射影，n m ⊥，则l m ⊥；③若m 是平面α的一条斜线，α∉A ，l 为过A 的一条动直线，则可能有α⊥⊥l m l 且； γαβα⊥⊥,βγ//9．某四面体的三视图如图所示，三个三角形均为直角三角形，则该四面体的表面积是（ ） （A ）8（B ）34222+ （C ）2618+ （D ）2624+10．已知两点(10)A ，，(0)B b ，，若抛物线24y x =上存在点C 使ABC ∆为等边三角形，则b ＝（ ） （A ）5或31-（B ）5 （C ）4或2- （D ）411．设21,F F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且21F PF ∆最小内角的大小为︒30，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）（A ）02=±y x （B ）02=±y x（C ）02=±y x （D ）02=±y x12．在球O 的表面上有A B C 、、三个点，若3AOB BOC COA π∠=∠=∠=，且O 到平面ABC 的距离为）（A ）48π （B ）36π （C ）24π （D ）12π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置13．袋中有大小相同的红色、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸3次，3次摸到的红球比白球多1次的概率为___________________．14．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，5,4,3===AB BC AC ，点D 是线段AB 上的一点，且︒=∠901CDB ，CD AA =1，则点1A 到平面CD B 1的距离为____________________15．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线与抛物线)0(22>=p px y 的准线分别交于B A ,两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，AOB ∆的面积为3，则=p ____________．16．如图，从双曲线122=-y x 上一点Q 引直线2=+y x 的垂线，垂足为N ，则线段QN 的中点P 的轨迹方程________________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过直角坐标系xOy 和极坐标系Ox 的原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 2cos 4y x ，（ϕ为参数）（1）在极坐标系下，曲线C 与射线4πθ=和射线4πθ-=分别交于A ，B 两点，求AOB ∆的面积；（2）在直角坐标系下，直线l 参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2226t y t x ，（t 为参数），求曲线C 与直线l 的交点坐标．18.（本小题满分12分）三棱锥BCD A -中，面ACD 与面BCD 均为正三角形，点H G F E ,,,分别为AD AC BC BD ,,,中点 （1）证明：四边形EFGH 为矩形；（2）若二面角B DC A --大小为︒60，求直线EH 与面BCD 所成角的正弦值．19.（本小题满分12分）（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图（如需增加刻度请在纵轴上标记出数据，并用直尺作图）；（3）由直方图估计男生身高的中位数．20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线2AF 交椭圆于另一点B .（1）若︒=∠901AB F ，求椭圆的离心率； （2）若F AF 222=，31=⋅AF ，求椭圆的方程． ABCD EFGH21.（本小题满分12分）四棱锥ABCD P -中，棱长a PD =，底面ABCD 是边长为a 的菱形，点M 为PB 中点 （1）若︒=∠90BCP ，证明：PC MD ⊥；（2）若︒=∠90BCD ，︒=∠=∠60PDC PDA ，求二面角A PD B --的余弦值．22.（本小题满分12分）椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x G 的左、右焦点为21,F F ，离心率为33，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为62，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M .（1）求椭圆G 的方程；（2）求点M 的轨迹E 的曲线方程；（3）点B A ,为曲线E 上异于原点O 的两点，OB OA ⊥，OC OB OA =+，求四边形AOBC 的面积最小值．A19解：(1)由直方图，前五组频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，后三组频率为1－0.82＝0.18.(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2人， 设第六组人数为m ，则第七组人数为0.18×50－2－m ＝7－m ，又m ＋2＝2(7－m )，所以m ＝4，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08,0.06.频率除以组距分别等于0.016,0.012，见图． …………9分（3）设中位数为n ，由]170,155[频率为32.0，所以)175,170[∈n ，2.032.05.05170-=-n ，解得n =174.5 ………12分20解：若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c.所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. …………5分(2)由题知A(0，b)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中，c ＝a 2－b 2，设B(x ，y)． 由＝2⇔(c ，－b)＝2(x －c ，y)，解得x ＝3c2，y ＝－b 2，即B(3c 2，－b 2)．将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.① 又由·＝(－c ，－b)·(3c 2，－3b 2)＝32⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.②2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）第I 卷（选择题）一、选择题(每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．) 1.已知,,x y R i ∈为虚数单位，且1xi y i -=-+，则(1)x yi ++的值为 （ ）A.2B.2i -C.-4D. 2i2.过点P （2，4）且与抛物线y 2 = 8x 有且只有一个公共点的的直线有 （ ） A.0条 B.1条 C.2条 D..3条3.双曲线22549x y -=-的一条渐近线方程是 ( )A.230x y -=B.320x y +=C.940x y -=D.490x y -=4.下列命题错误．．的是 ( ) A.命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”. B.若命题:p x R ∃∈，210x x ++=，则“p ⌝”为：210x R x x ∀∈++≠，. C.“2x > ”是“2320x x -+>”的充分不必要条件.D.若命题p ：1,x <-或1x >；q ：2,x <-或1x >，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件.5.曲线221(6)106x y m m m+=<--与曲线221(59)59x y n n n +=<<--的 （ ） A.焦点相同 B.离心率相等 C.准线相同 D.焦距相等6.根据右边程序框图，当输入10时，输出的是 （ ） A .12 B.19 C.14.1 D.307.如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，那么 （ ） A.命题p 、q 都是真命题 B.命题p 、q 都是假命题 C.命题p 、q 只有一个真命题 D.命题p 、q 至少有一个是真命题8.设双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ） A.54B.5 9.已知p ：关于x 的不等式m x x >++-|2||2|的解集为R ；q ：关于x 的不等式042>++mx x 的解集为R ，则p 是q 成立的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.已知F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 ( )A.(1，+∞)B.(1,2)C.(1,1+2)D.(2,1+2)第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共16分，将答案写在答题卡上）11.复数25-i 的共轭复数是 ． 12.过抛物线28y x =的焦点作倾斜角为4π直线l ，直线l 与抛物线相交与A ，B 两点，则弦AB 的长是 .13.已知椭圆22162x y +=与双曲线2213x y -=的公共焦点为F 1，F 2，点P 是两条曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2的值为 .14.若椭圆221(0,0)mx ny m n +=>>与直线10x y +-=交于A ，B 两点，若n m=AB的中点M 的连线的斜率为 .三、解答题（本题共5小题，共54分）15.（本小题10分）已知复数()()21312i i z i-++=-，若21z az b i ++=-，（1）求z ； （2）求实数,a b 的值 .16.（本小题10分） 设21,F F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右两个焦点. （1）若椭圆C 上的点21,)23,1(F F A 到两点的距离之和等于4，求椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设点P 是（1）中所得椭圆上的动点，的最大值求||),21,0(PQ Q .17.（本小题10分）已知命题:p |1|2m +≤成立.命题2:210q x mx -+=方程有实数根. 若p ⌝为假命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围.18.（本小题12分）已知双曲线的中心在原点，焦点1F 、2F且过点(4,. （1）求双曲线方程；（2）若点()3,M m 在双曲线上，求证：120MF MF ⋅=； （3）对于（2）中的点M ，求12MF F ∆的面积.19.（本小题12分）如图，设抛物线C ：y x 42=的焦点为F ，),(00y x P 为抛物线上的任一点（其中0x ≠0），过P 点的切线交y 轴于Q 点. （1）若)1,2(P ，求证FQ FP =； （2）已知),0(0y M ，过M 点且斜率为2x 的直线与抛物线C 交 于A 、B 两点，若)1(>=λλMB AM ，求λ的值.答案（文）AFyPM三、解答题（本题共5小题，共54分） 15．（本小题10分） 解：（1）2333122i i iz i i i-+++===+--， …………………………….5分（2）把=1+i 代入21z az b i ++=-，即()()2111i a i b i ++++=-， 得()21a b a i i +++=- …………………………….7分所以121a b a +=⎧⎨+=-⎩解得3;4a b =-=所以实数a ,b 的值分别为-3，4 …………………………….10分16. （本小题10分）解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2又点.1,31)23(21,)23,1(22222===+c b bA 于是得因此在椭圆上所以椭圆C 的方程为).0,1(),0,1(,1342122F F y x -=+焦点 …………4分 （2）设134),,(22=+y x y x P 则22344y x -=∴ 222222141117||()423434PQ x y y y y y y =+-=-+-+=--+又33≤≤-y 5||,23max =-=∴PQ y 时当 ………….10分17．（本小题10分）解：|1|221231m m x +≤⇒-≤+≤⇒-≤≤即命题:31p x -≤≤ …………………………2分2210x mx -+=方程有实数根2(2)40m ⇒∆=--≥ …11m m ⇒≥≤-或，即:11q m m ≥≤-或 …………………………4分因为p ⌝为假命题，p q ∧为假命题 则p 为真命题，所以q 为假命题，q ⌝为真命题，q ⌝：11m -<< …………………………6分由311111x m m -≤≤⎧⇒-<<⎨-<<⎩即m 的取值范围是：11m -<< …………………………10分18．（本小题12分）解：（1）由题意，可设双曲线方程为22(0)x y λλ-=≠，又双曲线过点(4,，解得6λ=故双曲线方程为226.x y -=. ……………………………4分 （2）由（Ⅰ）可知，a b ==c =， ∴()1F -，()2F∴()13,MF m=--，()23,MF m=-， ∴ 2123MF MF m ⋅=-，又点()3,M m 在双曲线上， ∴ 296m -=，∴23m =，即120MF MF ⋅=. ……………………………8分 （3）121211622MF F S F F m ∆==⨯= ,∴12MF F ∆的面积为6． ……………………………12分19．（本小题12分） 解（Ⅰ）证明：由抛物线定义知1||0+=y PF =2， …… .2分. 设过P 点的切线方程为1(2)y k x -=-由{21(2)4y k x x y-=-=24840x kx k ⇒-+-= 令 2164(84)0k k ∆=--=得1=k ， 可得PQ 所在直线方程为000()2x y y x x -=-， ∴得Q 点坐标为(0, 1-)∴2||=QF 即 |PF|=|QF| ………………………….6分（Ⅱ）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，又M 点坐标为(0, y 0)∴AB 方程为002y x x y +=由⎪⎩⎪⎨⎧+==00224y x x y y x 得042002=--y x x x2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案说明：1．本试题分Ⅰ、Ⅱ两卷，第Ⅰ卷各题答案按照A 、B 卷的要求填涂到答题卡上，第Ⅰ卷不交； 2．全卷共三大题20个小题，满分130分，100分钟完卷．第Ⅰ卷(共50分)一、选择题：(本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求)1．已知2:3,:9p x q x ==,则p 是q 的___________条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必要2．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以是 A ．1个或2个或3个或4个 B ．0个或2个或4个 C ．1个或3个D ．0个或4个3．若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立．．．．．的是 A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝ma ＋mbD ．(a ·b )c ＝a (b ·c )4．已知a ＝(－3，2，5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ⊥b ，则x 的值为 A ．3B ．4C ．5D ．65．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距等于6，离心率等于35则此椭圆的方程是 A ．22110036x y +=B ．22110064x y += C ．2212516x y +=D ．221259x y += 6，则双曲线的两条渐近线的夹角是 A ．45°B ．30°C ．60°D ．90°7．设正实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于 A ．13B ．14C ．16D ．128．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子(假设它落在正方形区域内任何位置的机会均等)，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( ) A ．43B ．83C ．23D ．无法计算 9．不等式组220200x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是A ．3B ．4C ．5D ．610．若函数2()2f x x =的图像上点P (1，2)及邻近点Q (1x +∆，2y +∆)则yx∆∆的值为 A ．4B ．4xC ．242()x +∆ D ．42x +∆第Ⅱ卷(共80分)二、填空题(本题共5小题，每题5分，共25分)11．一个总体含有1000个个体，以系统抽样的方式从该总体中抽取一个容量为20的样本，则抽样间距为________12．抛物线2y x =的焦点坐标是___________13．平面直角坐标系中，圆心在原点，半径为1的园的方程是221x y +=．根据类比推理：空间直角坐标系中，球心在原点，半径为1的球的方程是_______________14．已知向量a 、b 、c 两两之间的夹角为60°，其模长都为1，则|a －b ＋2c |等于________ 15．抛物线C ：24y x =被直线l ：210x y --=截得的弦长为________三、解答题(本题共4小题，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)16．(10分)，其中a ≥0．17．(11分)用数学归纳法证明等式：22121335++⨯⨯…2(21)(21)n n n +-+＝242n nn ++对于一切n N +∈都成立．18．(11分)在双曲线221927x y -=中，F 1、F 2分别为其左右焦点，点P 在双曲线上运动，求△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程．19．(13分)如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD，PA ＝AD ＝4，AB ＝2，M 是PD 的中点． (1)求证：平面ABM ⊥平面PCD ；(2)求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值；(3)以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球交PC 于点N 求点N 到平面ACM 的距离．附加题：(10分)20．已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +uu r uu u r与a ＝(3，－1)共线．(1)求椭圆的离心率；(2)设M 为椭圆上任意一点，且OM OA OB λμ=+u u u r u u r u u u u r (,R λμ∈)，证明22λμ+为定值．2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案命题：田松元 审题：考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的相关信息填写在规定的位置，并检查所持试卷是否有破损和印刷等问题。
四川省泸州市泸县第五中学2019_2020学年高一数学上学期期末模拟考试试题
四川省泸州市泸县第五中学2019-2020学年高一数学上学期期末模拟考试试题第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.设集合{}{}1,2,3,4,3,4,5A B ==，全集U A B =U ，则集合)(B A C U I 的元素个数为 A ．1 B ．2 C ． 3D ．42.函数()21log 2y x =-的定义域是A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()()2,33,+∞UD ．()()2,44,+∞U3.已知角α的终边经过点(3,4)-,则tan α的值是 A.34B.34-C.43D.43-4.要得到函数cos(2)3y x π=+的图像,只需将函数cos 2y x =的图像A.向左平移3π个单位 B.向左平移6π个单位 C.向右平移6π个单位D.向右平移3π个单位5.函数y x=3与y x=--3的图象关于( )对称 A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y x =D ．原点中心对称6.设函数2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩,若()4f a =,则实数a 的值为A. 2,4±±B. 2,4±-C. 2,4（）D. 2,4-7.已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则A ．a b c >>B ．b a c >> C．a cb >>D ．c a b >>8.己知tan 2θ=,则()()2sin π3cos ππ3πsin cos 22θθθθ++-=⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A. 2B. 13-C. 73-D. 19.已知53()8f x x ax bx =++-，且(lg 2)10f =，那么1(lg )2f 等于A ．－26B ．－18 C.－10 D ．1010.已知()f x 是奇函数且对任意正实数()1212,x x x x ≠，恒有()()12120f x f x x x ->-，则下列结论一定正确的是 A.()()35f f >-B.()()53f f ->-C.()()53f f ->D.()()35f f ->-11.若函数()()3sin 0f x x ωω=>能够在某个长度为3?的闭区间上至少三次出现最大值3?,且在ππ,1110⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数,则整数ω的值是A.4B.5C.6D.7 12.已知函数()e x F x =满足()()()F x g x h x =+，且()()g x h x ，分别是R 上的偶函数和奇函数，若不等式(2)()0g x ah x -≥在(]2,0∈x 上恒成立，则实数a 的取值范围是 A．(-∞ B．(-∞ C．(0,D．)+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13.已知2()21f x x =+,则(21)f x +=______________. 14.1log 12x>的解集为__________. 15.如果二次函数 2()(1)5f x x a x =--+ 在区间 1(,1)2上是增函数,则实数 a 的取值范围为____16.已知2()3f x ax bx a b =+++是偶函数,定义域为[]1,2a a -,=+b a _______.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）求值： （1）.()()1223021329.63 1.548--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）.5log 22541231log log 5log 3log 452⋅--+18.（12分）已知全集R U =，集合R A x y x ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}2,R B x a x a a =≤≤+∈ (1).当1a =时，求A B I ；(2).当集合B A ,满足A B A =U 时，求实数a 的取值范围．19.（12分） 已知4cos(2)5πα-=-,且α为第三象限角. （1）求cos()2πα+的值;（2）求()sin()sin()2()cos()tan f ππαπαααπα---=+的值.20.（12分）已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，1()1f x x=-+.(1).求函数()f x 的解析式；(2).证明函数()f x 在区间(0,)+∞上是单调增函数．21.（12分）已知函数()()π2sin ,0,2f x x ωθωθ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示,函数图像与y 轴的交点为()0,1,并且与 x 轴交于,M N 两点,点P 是函数() f x 的最高点,且△MPN 是等腰直角三角形.（1）求函数() f x 的解析式.（2）若函数()0f x a -=在[]0,2上有两个不同的解,求a 的取值范围.22.（12分）已知函数24()2x xa af x a a-+=+ (0a >且1a ≠)是定义在R 上的奇函数 （1）求a 的值;（2）求函数()f x 的值域（3）当[1,2]x ∈时, 2()20xmf x +-≥恒成立,求实数m 的取值范围2019年秋四川省泸县第五中学高一期末模拟考试数学试题参考答案一、选择题 1-5:CCDBD 6-10:DCCBD 11-12:BB二、填空题 13.2883x x ++ 14.1,12⎛⎫⎪⎝⎭15.2a ≤16.13三、解答题17.原式1222223927333234411114822232992---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+=--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭原式1312244=-+-+=18.(1).()[][)0,3,1,3,1,3A B A B ==⋂= (2).,01B A a ⊆<<19.（1）.已知4cos(2)5πα-=-,且α为第三象限角 3sin 5α∴=-∵cos()sin 2παα+=-3cos()25πα∴+=（2）tan()sin()sin()2()cos()f ππαπαααπα-⋅-⋅-=+ (tan )sin cos cos αααα-⋅⋅=- tan sin αα=⋅由1知3sin 5α=-3tan 4α∴= 339()tan sin 5420f ααα∴=⋅=-⨯=-20.(1).11,(0)()0,(0)11,(0)x x f x x x x ⎧-+>⎪⎪==⎨⎪⎪--<⎩, (2).121212()()x x f x f x x x --=21.（1）.因为P 是函数() f x 的最高点,所以2P y =又∵△PMN 为等腰直角三角形 ∴4?MN = ∴4,82TT == ∴4πω=又因为过点()0,1所以2sin 1θ= ∵2πθ<∴6πθ=；所以()ππ2sin 46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）∵[]0,2x ∈ ∴πππ2π,4663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦因为()·f x a b =有两个交点,所以)2a ∈22.（1）.∵()f x 是R 上的奇函数, ∴()()f x f x -=-即: 242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x xf x ⋅--===-⋅+++ 在R 上递增,∵211x +>, ∴函数()f x 的值域为(1,1)-.（3）由2()20xmf x +-≥可得, ()22xmf x ≥-,21()2221x x x mf x m -=≥-+.当[1,2]x ∈时, (21)(22)21x x x m +-≥-.令21(13)xt t -=≤≤,则有(2)(1)21t t m t t t+-≥=-+,函数21y t t =-+在13t ≤≤上为增函数, max 210(1)3t t ∴-+=.103m ∴≥故实数m 的取值范围为10[,)3+∞.。
四川省泸州市泸县第五中学2019_2020学年高二数学上学期期末模拟考试试题理
四川省泸州市泸县第五中学2019-2020学年高二数学上学期期末模拟考试试题 理第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.某鱼贩一次贩运草鱼、青鱼、鲢鱼、鲤鱼及鲫鱼分别有80条、20条、40条、40条、20条，现从中抽取一个容量为20的样本进行质量检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的青鱼与鲤鱼共有 A.6条B.8条C.10条D.12条2.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系数抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是A. 3B. 4C. 5D. 6 3.若变量 ， 满足约束条件 ，则的最小值为A.-7B.-1C.1D.24.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表 广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元) 49263954根据上表可得回归方程＝x ＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A. 63.6万元 B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元5.点 到直线 的距离是A.2B.22C.1D.6.如图所示，程序的输出结果为S ＝132，则判断框中应填A.i≥10?B.i≥11?C.i≤11?D.i≥12? 7.已知命题；命题若，则．则下列命题为真命题的是 A.B. C. D.8.若直线 ： 与直线 ：平行，则 的值为 A.B.C.D.9.若0,0a b ≥≥，且2a b +=，则 A ．1ab ≤B ．1ab ≥C ．224a b +≥D ．224a b +≤10.若圆 与圆相切，则 等于 A.16B.7C.-4或16D.7或16 11.已知圆，圆，分别是圆 和圆上的动点，点 是 轴上的动点，则的最大值为 A.B.C.D.12.已知 为坐标原点，设 ， 分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线左支上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为 ，若，则双曲线的离心率是A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.命题0:1p x ∃>，使得20021x x -<，则p ⌝是__________．14.关于不等式的解集为 ，则_____________15.《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.”这里所谓的“鳖臑（biē nào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥是一个“鳖臑”， 平面 ，，且， ，则三棱锥的外接球的表面积为 ．16.M 为抛物线28y x =上一点，过点M 作MN 垂直该抛物线的准线于点,N F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，若四边形OFMN 的四个顶点在同一个圆上，则该圆的面积为_______. 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知p ：R x ∈∀，)1(22+>x m x ，q ：R x ∈∃0，01202=--+m x x ， （Ⅰ）若q 是真命题，求m 的范围； （Ⅱ）若)(q p ⌝∧为真，求实数m 的取值范围18.（12分）某校高三共有800名学生，为了解学生3月月考生物测试情况，根据男女学生人数差异较大，从中随机抽取了200名学生，记录他们的分数，并整理得如图频率分布直方图．（Ⅰ）若成绩不低于60分的为及格，成绩不低于80分的为优秀，试估计总体中合格的有多少人？优秀的有多少人？（Ⅱ）已知样本中有一半的女生分数不小于80，且样本中不低于80分的男女生人数之比2:3，试估计总体中男生和女生人数的比例．19.（12分）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点 . （Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）直线过点且与圆相交，所得弦长为4，求直线的方程.20.（12分）已知平面内一动点到点的距离与点到 x 轴的距离的差等于1.（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值.21.（12分）如图，在三棱柱中，侧棱底面 ,且, 是棱的中点，点在侧棱上运动. （Ⅰ）当是棱的中点时，求证：平面；（Ⅱ）当直线与平面所成的角的正切值为时，求二面角的余弦值.22.设椭圆（）的右焦点为F，右顶点为A，已知，其中O 为原点， e为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若，且，求直线的l斜率.2019年秋四川省泸县第五中学高二期末模拟考试理科数学试题答案1.A2.B3.A4.B5.A6.B7.B8.D9.A 10.C 11.A 12.D13.21,21x x x ∀>-≥ 14.-515.π416.272π17.（1） 若q ：∃x 0∈R，20x ＋2x 0－m －1＝0为真，则方程x 2＋2x －m －1＝0有实根，∴4＋4（m ＋1）≥0，∴m≥－2.（2）2x ＞m （x 2＋1）可化为mx 2－2x ＋m ＜0. 若p ：∀x∈R, 2x＞m （x 2＋1）为真. 则mx 2－2x ＋m ＜0对任意的x∈R 恒成立.当m ＝0时，不等式可化为－2x ＜0，显然不恒成立； 当m≠0时，有∴m＜－1.：m ＜-2 又为真，故p 、Øq 均为真命题.∴m＜－2.18.（1）根据频率分布直方图可知，总体中及格的人数估计为()0.020.040.021*******++⨯⨯=， 总体中优秀的人数估计为0.021*******⨯⨯=， 所以估计总体中及格的有640人，优秀的有160人．（2）由题意可知，样本中分数不小于80的学生人数为0.021020040⨯⨯=， 所以样本中分数不小于80的女生人数为340245⨯=， 所以样本中的女生人数为24248⨯=，男生人数为20048152-=， 男生和女生人数的比例为152:4819:6=，所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为19:6．19.（1）解：设圆心为，则应在的中垂线上，其方程为，由，即圆心坐标为又半径，故圆的方程为（2）解：点在圆内，且弦长为，故应有两条直线.圆心到直线距离 .①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线距离为1，符合题意.②当直线的斜率存在时，设为，直线方程为整理为，则圆心到直线距离为解得，直线方程为综上①②，所求直线方程为或20.（1）解：设动点的坐标为，由题意得化简得当时；当时x=0所以动点P的轨迹的方程为和X=0（）（2）解：由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．由设则，因为，所以的斜率为．设，则同理可得，当且仅当即时，取最小值1621.（1）解：取线段的中点，连结 .∵ ,∴ ，且 .又为的中点，∴ ,且 .∴ ,且.∴四边形是平行四边形.∴ .又平面平面,∴ 平面 .（2）解：∵ 两两垂直，∴以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图,∵三棱柱中，平面，∴ 即为直线与平面所成的角.设，则由，得 .∴ .∴,设平面的一个法向量为，则令，得，即 .又平面的一个法向量为,∴ ,又二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为 .22.解：（I）设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为 . （Ⅱ）设直线的斜率为，则直线l的方程为，设，由方程组消去y，整理得，解得x=2或，由题意得，从而，由（1）知，设，有，，由，得，所以，解得，因此直线MH的方程为，设，由方程组消去y，得，在中，，即，化简得，即，解得或，所以直线l的斜率为或。
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四川省泸州市泸县第五中学2019-2020学年高一数学上学期期末模拟考试试题第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.设集合{}{}1,2,3,4,3,4,5A B ==，全集U A B =，则集合)(B A C U 的元素个数为 A ．1 B ．2 C ． 3D ．42.函数()21log 2y x =-的定义域是A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()()2,33,+∞D ．()()2,44,+∞3.已知角α的终边经过点(3,4)-,则tan α的值是 A.34B.34-C.43D.43-4.要得到函数cos(2)3y x π=+的图像,只需将函数cos 2y x =的图像A.向左平移3π个单位 B.向左平移6π个单位 C.向右平移6π个单位D.向右平移3π个单位5.函数y x=3与y x=--3的图象关于( )对称 A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y x =D ．原点中心对称6.设函数2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩,若()4f a =,则实数a 的值为 A. 2,4±±B. 2,4±-C. 2,4（）D. 2,4-7.已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则A ．a b c >>B ．b a c >> C．a cb >>D ．c a b >>8.己知tan 2θ=,则()()2sin π3cos ππ3πsin cos 22θθθθ++-=⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A. 2B. 13-C. 73-D. 19.已知53()8f x x ax bx =++-，且(lg 2)10f =，那么1(lg )2f 等于A ．－26B ．－18 C.－10 D ．1010.已知()f x 是奇函数且对任意正实数()1212,x x x x ≠，恒有()()12120f x f x x x ->-，则下列结论一定正确的是 A.()()35f f >-B.()()53f f ->-C.()()53f f ->D.()()35f f ->-11.若函数()()3sin 0f x x ωω=>能够在某个长度为3?的闭区间上至少三次出现最大值3?,且在ππ,1110⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数,则整数ω的值是A.4B.5C.6D.7 12.已知函数()e x F x =满足()()()F x g x h x =+，且()()g x h x ，分别是R 上的偶函数和奇函数，若不等式(2)()0g x ah x -≥在(]2,0∈x 上恒成立，则实数a 的取值范围是 A．(-∞ B．(-∞ C．(0,D．)+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13.已知2()21f x x =+,则(21)f x +=______________. 14.1log 12x>的解集为__________. 15.如果二次函数 2()(1)5f x x a x =--+ 在区间 1(,1)2上是增函数,则实数 a 的取值范围为____16.已知2()3f x ax bx a b =+++是偶函数,定义域为[]1,2a a -,=+b a _______.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）求值： （1）.()()1223021329.63 1.548--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）.5log 22541231log log 5log 3log 452⋅--+18.（12分）已知全集R U =，集合R A x y x ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}2,R B x a x a a =≤≤+∈ (1).当1a =时，求A B ；(2).当集合B A ,满足A B A =时，求实数a 的取值范围．19.（12分） 已知4cos(2)5πα-=-,且α为第三象限角. （1）求cos()2πα+的值;（2）求()sin()sin()2()cos()tan f ππαπαααπα---=+的值.20.（12分）已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，1()1f x x=-+.(1).求函数()f x 的解析式；(2).证明函数()f x 在区间(0,)+∞上是单调增函数．21.（12分）已知函数()()π2sin ,0,2f x x ωθωθ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示,函数图像与y 轴的交点为()0,1,并且与 x 轴交于,M N 两点,点P 是函数() f x 的最高点,且△MPN 是等腰直角三角形.（1）求函数() f x 的解析式.（2）若函数()0f x a -=在[]0,2上有两个不同的解,求a 的取值范围.22.（12分）已知函数24()2x xa af x a a-+=+ (0a >且1a ≠)是定义在R 上的奇函数 （1）求a 的值;（2）求函数()f x 的值域（3）当[1,2]x ∈时, 2()20xmf x +-≥恒成立,求实数m 的取值范围2019年秋四川省泸县第五中学高一期末模拟考试数学试题参考答案一、选择题 1-5:CCDBD 6-10:DCCBD 11-12:BB二、填空题 13.2883x x ++ 14.1,12⎛⎫⎪⎝⎭15.2a ≤16.13三、解答题17.原式1222223927333234411114822232992---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+=--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭原式1312244=-+-+=18.(1).()[][)0,3,1,3,1,3A B A B ==⋂= (2).,01B A a ⊆<<19.（1）.已知4cos(2)5πα-=-,且α为第三象限角 3sin 5α∴=-∵cos()sin 2παα+=-3cos()25πα∴+=（2）tan()sin()sin()2()cos()f ππαπαααπα-⋅-⋅-=+ (tan )sin cos cos αααα-⋅⋅=- tan sin αα=⋅由1知3sin 5α=-3tan 4α∴= 339()tan sin 5420f ααα∴=⋅=-⨯=-20.(1).11,(0)()0,(0)11,(0)x x f x x x x ⎧-+>⎪⎪==⎨⎪⎪--<⎩, (2).121212()()x x f x f x x x --=21.（1）.因为P 是函数() f x 的最高点,所以2P y =又∵△PMN 为等腰直角三角形 ∴4?MN = ∴4,82TT == ∴4πω=又因为过点()0,1所以2sin 1θ= ∵2πθ<∴6πθ=；所以()ππ2sin 46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）∵[]0,2x ∈ ∴πππ2π,4663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦因为()·f x a b =有两个交点,所以)a ∈22.（1）.∵()f x 是R 上的奇函数, ∴()()f x f x -=-即: 242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x xf x ⋅--===-⋅+++ 在R 上递增,∵211x+>, ∴函数()f x 的值域为(1,1)-.（3）由2()20xmf x +-≥可得, ()22xmf x ≥-,21()2221x x x mf x m -=≥-+.当[1,2]x ∈时, (21)(22)21x x x m +-≥-.令21(13)xt t -=≤≤,则有(2)(1)21t t m t t t+-≥=-+,函数21y t t =-+在13t ≤≤上为增函数, max 210(1)3t t ∴-+=.103m ∴≥故实数m 的取值范围为10[,)3+∞.。
四川省泸县第五中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题文【含答案】
四川省泸县第五中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 文第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．若直线过点(1,2)，(2,23)+，则此直线的倾斜角是 A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒2．抛物线22y x =的焦点到准线的距离是A.2B.1C.12D.143．双曲线22324x y -=-的渐近线方程为A.2y x =±B.2y x =±C.22y x =±D.12y x =±4．空间直角坐标系中，点(10,4,2)A -关于点(0,3,5)M -的对称点的坐标是 A.(－10,2,8)B.(－10,2,－8)C.(5,2,－8)D.(－10,3,－8)5．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A.若//,//,a b a α则//b α B.若,//,a αβα⊥则a β⊥ C.若,,a αββ⊥⊥则//a αD.若,,,a b a b αβ⊥⊥⊥则αβ⊥6．已知圆221:2410C x y x y ++-+=，圆222:(3)(1)1C x y -++=，则这两圆的位置关系是 A.相交 B.相离 C.外切 D.内含7．直线：与圆交于两点，，则实数的值为 A ．1-或9B ．1或9-C ．1D ．9-8.在平面直角坐标系中，经过点(22,2)P -3A ．22142x y -=B ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=9．由直线2y x上的点向圆22(4)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为A.D.110．已知动点(,)P x y 满足341x y =+-，则点P 的轨迹为A.直线B.抛物线C.双曲线D.椭圆11．已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为A B C D 12．设12,F F 为椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线2C 的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点12,M MF F ∆是以线段1MF 为底边的等腰三角形，若双曲线2C 的离心率3[,4]2e ∈，则椭圆1C 的离心率取值范围是A.45[,]99B. 3[0,]8C.34[,]89D.5[,1]9第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知直线1:310l ax y +-=，222()30l x a a y +-+=：，且12l l ⊥已知则a = . 14．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与双曲线2213x y -=的右焦点重合，若A 为抛物线上一点，且||3AF =，则直线AF 的斜率等于__________．15．若直线1y kx =+和圆22:1O x y +=相交于,A B 两点（其中O 为坐标原点），且60AOB ∠=，则实数k 的值为__________．16．过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB ，AC ，AD ，且AB ，AC ，AD 两两夹角都为60°，若BD =，则该球的体积为______．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本大题满分10分）已知直线1:250l x y +-=，2:20l x y -=. （1）求直线1l 和直线2l 交点P 的坐标；（2）若直线l 经过点P 且在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l 的一般式方程．18． （本大题满分12分）已知抛物线x y -=2与直线)1(+=x k y 相交于A 、B 两点. （1）求证：OB OA ⊥；（2）当OAB ∆的面积等于10时，求k 的值.19．（本大题满分12分） 已知圆M 过点，且圆心M 在直线上.（1）求圆M 的方程；（2）点),(y x P 为圆M 上任意一点，求21++x y 的最值.20．（本大题满分12分）如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=，AB BC ⊥，2AB BC ==.（1）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； （2）求六面体ABCEF 的体积.21．（本大题满分12分）已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，O 为原点，P 5(2,)-在椭圆上，线段1PF 与y 轴的交点N 满足11()2ON OP OF =+. （1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点2F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，交y 轴于M 点，若1222,MA AF MB BF λλ==，求12λλ+.22．（本大题满分12分）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为3，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为23，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.2019-2020学年度秋四川省泸县第五中学高二期中考试文科数学试题答案1．C 2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B 9．B 10．B 11．C 12．C13．0或1314．22-15．3±16．3π17．（1）联立2x y50x2y0+-=⎧-=⎨⎩，解得x=2，y=1．∴直线l1和直线l2交点P的坐标为（2，1）．（2）直线经过原点时，可得直线l的方程为：y=12x，即x-2y=0．直线不经过原点时，可设直线l的方程为：x-y=a，把点P的坐标代入可得：2-1=a，即a=1，可得方程为：x-y=1．综上可得直线l的方程为：x-2y=0或x-y-1=0．18．（1）证明：联立，消去x，得ky2＋y－k＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝－，y1·y2＝－1．因为y12＝－x1，y22＝－x2，所以（y1·y2）2＝x1·x2，所以x1·x2＝1，所以x1x2＋y1y2＝0，即＝0，所以OA⊥OB．（2）设直线l与x轴的交点为N，则N的坐标为（－1,0），所以S△AOB＝|ON|·|y1－y2|＝×|ON|×＝×1×＝，解得k2＝，所以k＝±．19．（1）由，得中点为，，所以的垂直平分线为联立，得 ，则，圆的半径为，所以圆的方程为（2）可以看成是点与连线的斜率直线的方程为，即当直线为圆的切线时，有，解得所以的最大值为，最小值为020．解：（1）连接MD ，FD .∵四边形BDEF 为菱形，且60FBD ∠=， ∴DBF ∆为等边三角形. ∵M 为BF 的中点， ∴DM BF ⊥.∵AB BC ⊥，2AB BC ==D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥. ∵平面BDEF平面ABC BD =，平面ABC ⊥平面BDEF ，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面BDEF .又BF ⊂平面BDEF ，∴AC BF ⊥. 由DM BF ⊥，AC BF ⊥，DM AC D =，∴BF ⊥平面AMC .（2）132sin 6022BDEF S BD BF =⋅⋅⋅⋅=菱形.已证AC ⊥平面BDEF ， 则C BDEF V -四棱锥13BDEF S CD =⋅菱形13313==.∴32ABCEF C BDEF V V -==六面体四棱锥. 21：（1）因为()112ON OP OF =+知,N 为1PF 中点，而O 又为12F F 中点，所以ON 为12F F P 的中位线，又由于12ON F F ⊥，所以212PF F F ⊥，由P 坐标可知()22,0F ，所以()()122,0,2,0F F -，RT 12F F P 中，由勾股定理得295PF =，又因为15PF = ，所以 122255a PF PF a =+=⇒=，易得椭圆：2215x y += （2）设()()()11223,,,,0,A x y B x y M y设l ：()2y k x =-，与2215x y +=联立得()222251202050k x k x k +-+-=2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++ ()()11211311111,2,2x MA AF x y y x y x λλλ=⇒-=--⇒=- 同理222222x MB BF x λλ=⇒=- ()()2222121212221212222020522225151102420205245151k k x x x x k k x x x x k k k k λλ⎛⎫-- ⎪+-++⎝⎭∴+===--+++⎛⎫--++ ⎪++⎝⎭点睛:平面几何知识的运用大大简化了本题的运算，故求解解析几何题时需充分挖掘题目的几何关系.22．解：（1）设(),0F c ，因为直线AF的斜率为3，()0,2A -所以23c =，c =又2222c b a c a ==-解得2,1a b ==， 所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即2k <-或2k >时 1212221612,1414k x x x x k k+==++.所以PQ ===点O 到直线l 的距离d =21214OPQS d PQ k∆==+，0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：2y x =-或2y x =-.。