2011数学竞赛之窗赛前7套5解答

由韦达定理可以把 p1 , p2 , p3 看做为下面方程的根
47 2 1 1 1 1 1 x x 0, 即 ( x )( x )( x ) 0. 60 5 60 3 4 5 1 1 1 所以三个学生通过的概率分别为 , , . 3 4 5 x3
3．若在 ABC 中有 2sin B sin( A B) cos A 1 , 2sin C sin( B C ) cos B 0 ， 则 ABC 的最大内角的值为 ．
所以所求不同的函数 f ( x) 的个数为 二．解答题

120 86400000 i i 0
5
9． （本题满分 16 分）已知 Fn 2 1, n 1, 2, 证明：因为 2 则
2k 1
k k k
2n
，求证：
1 2 22 F1 F2 F3
k

2n 1 1 ． Fn 3
8．设 f ( x) a5 x a4 x a3 x a2 x a1 x a0 ，其中 ai Z ,(i 0,1, 2,
5 4 3 2
,5) ，若对于任
．
意的实数 x {0,1, 2,3, 4,5} 均有 0 f ( x) 120 ,则不同的函数 f ( x) 的个数为 解Байду номын сангаас定义：对于每个正整数 i ， x 则有当 x N , i x 时，必有 x 引 理 ： 每 个
V XX 1 X 2 X 3 V XX 1 X 2 X 3 x1 x2 x3 h ,此处 r OO 所以 O O4, O 1 OO 2 O3 1 V O O O O rrr 4 1 2 3 4 V 4
16V xx 1 x 2 ,同理可得 3 h3 16V 16V 16V V XX 2 X 3 X 4 3 x2 x3 x4 ，V XX 1 X 3 X 4 3 x1 x3 x4 ，V XX 1 X 2 X 4 3 x1 x2 x4 h h h 16V 则 V X 1 X 2 X 3 X 4 3 x1 x2 x3 x2 x3 x4 x1 x3 x4 x1 x3 x4 h V XX 1 X 2X
bc a bc bc ca a b 1 ,b ,c 得 x 1 a a x2 y2 z2
所以
1 a 1 b 1 c , ，同理 , x 1 a b c y 1 a b c z 1 a b c
从而
1 1 1 1， x 1 y 1 z 1
n 2n 1 2k 1 2k 1 2n 1 2n 1 ( ) 证毕。 fn xk xk 1 x1 xn 1 3 xn 1 3 k 1
所以
1 2 22 f1 f 2 f3
10． （本题满分 20 分）设 n, k , r N*, r k n ，并称 r 个连续的自然数为 r 连数，现从
1 (22 )2 1 (22 1)(22 1) ，令 xk 22 1
1 1 1 1 1 1 1 1 2k 1 ( 2k 2k ) ( ) xk 1 2 1 2 2 1 2 1 2 xk f k
从而有
2k 1 2k 1 2k 1 1 2 ，所以 fk xk xk 1 f k xk xk 1
i j
3 , 20
p ( x 3) p1 p2 p3
把上面的
i i i j i
1 . 60
j 1 2 3
p , p p , p p p 看做三个未知数的线性方程，解得：
p
i
i

47 1 1 , pi p j , p1 p2 p3 . 60 i j 5 60
1, 2,3,
, n 中任取（不放回） k 个，求其中含有 r 连数的不同方式数 S (n, k , r ) ．
11． （本题满分 20 分） 已知内接于抛物线 y x 的梯形 ABCD ,其中 AD / / BC , AD BC ， ，
2
M , N 分别为 AD, BC 的中点， K 是对角线 AC, BD 的交点，且 KM m, KN n ，
x 2 1)( y y 2 1) 2011 ，则 x y 的最小值为
．
x 2 1, t ' y y 2 1 ，则 t·' t 2011 ，且 t 0, t ' 0
1 1 1 x 2 1 x, 所以 2 x t ，同理 2 y t ' t t t' 1 1 1 1 1 1005 所以 x y (t t ' ) (t t ')(1 ) (t t ') 2 t t' 2 t· t ' 2011 2010 2010 t·' t 2011 2011 2011 2010 当且仅当 t t ' 2011 时取到等号，所以 x y 的最小值 2011 。 2011
2 ．三个学生独立的参加考试，随机变量 x 代表通过考试的学生数，其分布列如下：
0 1 2 3 2 13 3 1 ．三个学生中通过考试的概率最小的是 5 30 20 60
解：设 p1 , p2 , p3 分别表示这三个学生通过的概率.
．
2 p ( x 0) (1 pi ) 1 pi pi p j p1 p2 p3 , 5 i i j i p ( x 1) p ( x 2)
2


是
．
2
[解]: 在坐标系 xOy 中，分别画出曲线 y 1 x, y x 1 及 y x 2 的图象，它们 围成一个曲边三角形 ABC ，其中 A
1 3 5 13 1 3 , , C 1, 0 ． 2 , 2 ， B 2 2
3

令 a x1 x2 , b x3 x4 ，则 a b h 所以
16V 16V V X 1 X 2 X 3 X 4 3 x1 x2b ax3 x4 3 h h
2
2 x1 x2 2 x3 x4 b a 2 2
因此，问题转化为直线系 u 2 x y 与曲边三角形 ABC 有公共点时，直线的纵截距 u
的取范围．数形结合易知:过点 A 时， u 取最大值
7 3 13 1 ；过点 B 时， u 取最小值 ． 2 2
因此 u x, y 2 x y 的取值范围是闭区间 ,
1 7 3 13 ． 2 2
两式相减得 an 1 an
2
所以 a2011 2011，即 a2011 2011
5．已知 a, b, c, x, y, z 为复数，且 a
bc ca a b ， ,b ,c x2 y2 z2
．
若 xy yz zx 567, x y z 2011 ，则 xyz 解：由 a
M ( xM , yM ), N ( xN , yN ), K ( xk , yk )
由
y x2 2 得 x kx a 0 y kx a y x2 2 得 x kx b 0 y kx b
(i )
(i )
x( x 1)( x 2)
( x i 1) ， x(0) 1 。
0 f ( x) 一 定 可 以 惟 一 的 表 示 为
n 次 多 项 式
1
) f ( x) an x( n an1 x n ) (
a0 x( 0) , an 0 。
证明略。 回到原题：设 f ( x) a5 x
2011 年全国高中数学联赛冲刺模拟卷（5）第一试
（时间：8：00-9：20）
学校：_____________ 姓名：________________ 成绩：____________ 一．填空题（每题 8 分，共 8 题） 1．若实数 x, y 满足 max 1 x, x 1 y x 2 ，则 u x, y 2 x y 的取值范围
求梯形 ABCD 的面积（用 m, n 表示） ． 解：设 AD 的方程为 y kx a ，
BC 的方程为 y kx b
k tan , 为直线 AD 的倾斜角。
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), D( x4 , y4 )
1 1 1 1 1 1 , an , a0 a1 a1 a2 an an1 a0 a1 a1 a2 an1 an 1 2 2 2 2 ,所以 an1 an 1 ,从而 a2011 a100 2011 100 an an 1
16V a 2b ab 2 4V 4V a b 3 2 ab 2 V h 4 h h 2
当 x1 x2 , x3 x4 ，即 a b 时等号成立，此时 X O ,即所求的点 X 是正四面体 ABCD 的 中心。
7．若正实数 x, y 满足 ( x 解：令 t x
( i , j , k ) {1,2,3}

pi (1 p j )(1 pk ) pi 2 pi p j 3 p1 p2 p3
i i j
13 , 30
( i , j , k ) {1,2,3}

pi p j (1 pk ) pi p j 3 p1 p2 p3
(5)
a4 x(4)
a0 ,
, ai 1 确 定 ， 则 对 于 ai ， 只 要
120 种不同的取法。 i!