数学竞赛之窗2010年模拟题解答(11-20)
2010年全国高中数学联赛一试试题及答案
6. 两人轮流投掷骰子否则轮由另 一人投掷.先投掷人的获胜概率是
84 . 119 21 7 = ，从而先投掷人的获胜概率为 36 12
解：同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为
7 5 7 5 7 + ( )2 × + ( )4 × + " 12 12 12 12 12 7 1 84 . = × = 25 119 12 1− 144
2
数学竞赛之窗博客/
g ( y ) max = a 2 + 3a − 2 = 8 ⇒ a = 2 ，
所以 g ( y ) min = 2
1 + 3 × 2 −1 − 2 = − . 4 1 综上 f ( x) 在 x ∈ [ −1,1] 上的最小值为 − . 4
解二：如图， PC = PC1 , PA1 = PB . 设 A1 B 与 AB1 交于点 O, 则
OA1 = OB, OA = OB1 , A1 B ⊥ AB1 .
因为 PA = PB1 , 所以 PO ⊥ AB1 ,
从而 AB1 ⊥ 平面 PA1 B . 过 O 在平面 PA1 B 上作 OE ⊥ A1 P ,垂足为 E . 连结 B1 E ,则 ∠B1 EO 为二面角 B − A1 P − B1 的平面角. 设 AA1 = 2 ,则易求得
2
3 ≤ a ≤ 12 . 2
解：令 sin x = t ，则原函数化为 g (t ) = ( −at + a − 3)t ，即
2
g (t ) = −at 3 + (a − 3)t .
由
− at 3 + (a − 3)t ≥ −3 ， − at (t 2 − 1) − 3(t − 1) ≥ 0 ，
2010年模拟考试数学试题答案
tan ABO
1 ……………………………………………
OB 4
2
.2 分
∴ OA＝ 2，即 A 的坐标为 (0， 2)，点 B 的坐标为 (4， 0)……………… 3 分
OA OB
∵ CE⊥ x 轴，∴ CE∥ OA，∴
………………………………
CE BE
∵ OE=2，∴ CE＝3.∴点 C 的坐标是 (－ 2， 3)…………………………
∴ OE ON , AE CN .
ห้องสมุดไป่ตู้
又∵ MOE MON 450 , OM OM , ∴ OME OMN . ∴ MN ME AM AE . ∴ MN AM CN ， ∴ p MN BN BM AM CN BN BM AB BC 4.
∴在旋转正方形
OABC 的过程中， p 值无变化 . …………… 10 分
∴一共调查了 3x＋4x＋ 5x＋ 8x＋ 2x＝ 66(人 ) ……………………………………………
∴捐款数不少于
20 元的概率是 30 66
5 11
．…………………………………………………
3分 5分
数学 第 1 页 ( 共 6 页)
(2) 由(1) 可知，这组数据的众数是 20(元 )，中位数是 15(元 )．…………………………… 7 分 (3) 全校学生共捐款 (9× 5＋ 12×10＋ 15×15＋ 24×20＋ 6× 30)÷ 66× 2310＝ 36750(元 ) ………………… 10 分
2y ……………………… 4 分 xy
x 3y =
2 y ………………………………………… 6 分
xy xy
= x y =1. xy
…………………………………………… 7 分
2010全国初中数学竞赛题及答案
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： tan EF PAD BC∠=．证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直径，所以ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，可得…………（20分）12．如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线y x=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.（第11题）解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k y x=上， 所以k=4. 故双曲线的函数表达式为xy 4=. 设点B （t ，4t ），0t <，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有 44m n mt n t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，故 ()141132AOB t S t t∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=， 解得2t =-，或t ＝1（舍去）．所以点B 的坐标为（2-，2-）． ⎧⎨⎩＝B '(2-，2)是CO 的延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，这时点1E （8，2-）是符合条件的点.（ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA '，得到点2A （1，4-）；延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（2，8-）是符合条件的点．所以，点E 的坐标是（8，2-），或（2，8-）. …………（20分）13．求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .．解：由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+， 所以(4)(2)p m m -+，由于p 是素数，故(4)p m -，或(2)p m +. ……（5分）（1）若(4)p m -，令4m kp -=，k 是正整数，于是2m kp +>，2223(21)(4)(2)p p p m m k p >+=-+>，故23k <，从而1k =. 所以4221m p m p -=⎧⎨+=+⎩，，解得59.p m =⎧⎨=⎩， …………（10分） （2）若(2)p m +，令2m kp +=，k 是正整数.当5p >时，有46(1)m kp kp p p k -=->-=-，223(21)(4)(2)(1)p p p m m k k p >+=-+>-，故(1)3k k -<，从而1k =，或2.由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数，所以2k ≠，从而1k =.于是4212m p m p -=+⎧⎨+=⎩，， 这不可能.当5p =时，2263m m -=，9m =；当3p =，2229m m -=，无正整数解；当2p =时，2218m m -=，无正整数解.综上所述，所求素数p =5，正整数m =9. …………（20分）14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下61个数：11，1133+，11233+⨯，…，116033+⨯（即1991）满足题设条件. …………（5分）另一方面，设12n a a a <<< 是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的任意4个数i j k m a a a a ，，，，因为33()i k m a a a ++， 33()j k m a a a ++，所以 33()j i a a -.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）设133i i a a d =+，i =1，2，3，…，n . 由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++， …………（15分）故20分）。
高州市2010年学科竞赛数学试卷答案
高州市2010年学科竞赛数 学 答 案一、精心选一选：（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
每小题给出四个答案，其中只有11．120 12．2(3)x y - 13．40 14．20- 15． 12三、细心做一做：（本大题共5小题，每小题7分，共35分。
）16．解：=原式……………………1分…………………………………………2分3分=a ba b +-………………………………………………4分当44a b ==时原式5分…………………………………………6分=7分17．（2分） （2分） （3分）（注：其他正确的分割方法相应给分。
）18．解：作DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AB 于F ，……………………1分则30,60DCE ADF ∠=∠=四边形DEBF 为矩形，……………………………………2分在,1000500Rt CDE CD DE =∴= 中米米500FB ∴=米…………………………3分45,30ACB DCB ∠=∠= 15ACD ∴∠=90B ∠= 又 45CAB ∴∠=又453015CAD CAB DAF ∠=∠-∠=-=ACD CAD ∴∠=∠1000AD CD ∴==米………………………………4分 在3,sin 6010005003()2Rt ADF AF AD =⋅=⨯= 中米…………5分 …………………………6分答：山高AB 为50031）米……………………………………7分19、解：设甲工种招x 人，两工种每月要付工资总额为y 元，则乙工种招（150-x ）人， (1)分依题意得1502,x x -≥………………2分得050x ≤≤…………………………3分10015015x ≤-≤………………4分即：甲工种招工不多于50人，乙工种不少于100人时，每月所付工资总额最少。
……5分 又8001000(150)150000200(050)y x x x x =+-=-≤≤50,140000(x y ∴==当时最小元)………………………………6分答：甲工种招人不多于50人，乙工种招人不少于100人时，工资总额最少。
2010年全国 初中数学联赛(含答案)
12010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．若a ，b ，c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 B【解析】 因为()()10101a b a c ---=，而左边的两个加数都是非负整数，所以一个等于0，另一个等于1，也就是说，a ，b ，c 三个数中有两个相等，另一个和它们相差1．因此，所求的和式中，两项等于1，另一项等于2，结果为2．2．若实数a ，b ，c 满足等式3||6a b =，49||6a b c =，则c 可能取的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 C【解析】 为了使c 尽量大，a 应该尽量大，b 应该尽量小．因为它们都是非负数，3a ，0b =，不难观察到所求答案为2．3．若a ，b 是两个正数，且1110,a b b a--++= 则（ ）2A ．103a b <+≤B ．113a b <+≤C ．413a b <+≤D ．423a b <+≤. 【答案】 C【解析】 去分母之后得到()()110a a b b ab -+-+=，即220a ab b a b ++--=．给定a 和b 是两个正数，那么如果让它们中的一个等于0，则另一个等于0或14．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ）A ．13-B ．9-C ．6D ．0【答案】 A【解析】 这需要使得前者是后者的因式，用综合除法可得，余式为()()33310a b x a c +++++，它应该等于0．所以两个系数都为0，特别地，()()333210a b a c ++-++，所以所求答案为13-．5．在ABC △中，已知60CAB ∠=︒，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且60AED ∠=︒，ED DB CE +=，2CDB CDE ∠=∠,则DCB ∠= ( )A ．15oB ．20oC ．25oD ．30o【答案】 B【解析】 观察可得ADE △为正三角形，6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则312320092010a a a a a +++++=L （ ）A ．28062B ．28065C ．28067D ．28068.【答案】 D【解析】 根据弃九法，它和1到2010的和被9除的余数相等．每连续9个自然数之和被9整除，2010被9除余3，1236++=，所以只有D 符合．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数x ，y 满足方程组33191x y x y ⎧+=⎨+=⎩，，则22x y += ．【答案】 13【解析】 第一式除以第二式可得2219x xy y -+=，第二式平方可得2221x xy y ++=，那么所求答案就是()1921313⨯+÷=．2．二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知3AB ，30CAO ∠=︒，则c = ．【答案】 19【解析】 观察可知A 必须在B 左边，否则B 会跑到x 轴负半轴上．设A 的横坐标为a ，则C 的纵坐标3，23AC =，2AB a =．因此，考虑两根之积，33a a ⨯，3a =319=． 3．在等腰直角ABC △中，5AB BC ==，P 是ABC △内一点，且5PA ，5PC =，则PB = ．4【答案】 10【解析】 设()00B ，，()50A ，，()05C ，，根据熟知的勾三股四弦五，可观察到()31P ，，（另一个点在三角形外，不符合），所以10PB =．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放 个球．【答案】 15【解析】 也就是说，编号之差为6或11的两个球颜色相同．下面从1号球开始，依次写出颜色相同的球的编号：11261711516104159314821371→→→→→→→→→→→→→→→→→也就是说，如果有17个球，则全部同色；如果超过17个，则任何连续17个同色，也不行．如果有16个，则上面的圈去掉17号球仍然是一条链，仍然不行；如果有15个，则上面的圈去掉17号球和16号球后断成两部分，所以可以．第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数()a b c a b c ≥≥，，为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长5不超过30的三角形的个数．【解析】 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤． 因此2533c <≤， 所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.6⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤． 因此2313c <≤， 所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）已知等腰三角形ABC △中，AB AC =，C ∠的平分线与AB 边交于点P ，M 为ABC △的内切圆I e 与BC 边的切点，作MD AC ∥，交I e 于点D ．证明：PD 是I e 的切线．【解析】 过点P 作I e 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N ．因为CP 为ACB ∠的平分线，所以ACP BCP ∠=∠．又因为PA 、PQ 均为I e 的切线，所以APC NPC ∠=∠．IP QNB7又CP 公共，所以ACP NCP △≌△，所以PAC PNC ∠=∠．由NM QN =，BA BC =，所以QNM BAC △≌△，故NMQ ACB ∠=∠，所以MQ AC ∥．又因为MD AC ∥，所以MD 和MQ 为同一条直线．又点Q 、D 均在I e 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是I e 的切线．三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点()1P a ，，()210Q a ，． ⑴ 如果a ，b ，c 都是整数，且8c b a <<，求a ，b ，c 的值．⑵ 设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ．如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求ABC △的面积．【解析】 点()1P a ，、()210Q a ，在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-．⑴ 由8c b a <<知8293938a a a a -<-⎧⎨-<⎩，，解得13a <<．又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=．⑵ 设m ，n 是方程的两个整数根，且m n ≤，旗开得胜8由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=．所以9819810m n -=⎧⎨-=⎩，，或982985m n -=⎧⎨-=⎩，，或9810981m n -=-⎧⎨-=-⎩，，或985982m n -=-⎧⎨-=-⎩，，解得12m n =⎧⎨=⎩，，或109139m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或2979m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或19323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，又m ，n 是整数，所以后面三组解舍去，故1m =，2n =．因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+．易求得点A 、B 的坐标为()10，和()20，，点C 的坐标为()02，， 所以ABC △的面积为1(21)212⨯-⨯=．第二试 （B ）旗开得胜9一．（本题满分20分）设整数a ，b ，c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）．【解析】 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤． 因此2533c <≤，旗开得胜10所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤． 因此2313c <≤， 所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）11一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数2(1)4y x px k p =+++-的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．【解析】 由题意知，方程2(1)40x px k p +++-=的两根1x ，2x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得12x x p +=-，12(1)4x x k p =+-，从而有()()()()12121222241x x x x x x k p ++=+++=- ①⑴ 若1k =，则方程为22(2)0x px p ++-=，它有两个整数根2-和2p -．⑵ 若1k >，则10k ->.因为12x x p +=-为整数，如果1x ，2x 中至少有一个为整数，则1x ，2x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知1|2p x +或2|2p x +．不妨设1|2p x +，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=，12故()()12122k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+， 即1(1)4k m p m-++= ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p ++⨯=≥，10k m->， 从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m-<， 从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1k >时，方程2(1)40x px k p +++-=不可能有整数根．综上所述，1k =．旗开得胜13。
2010年全国初中数学联赛模拟卷
图３
１． Ａ Ｃ内接于Ｑ０， ２Ａ Ｂ Ｄ是边 Ｂ Ｃ上的中点 ， ／ Ｂ 若 ＿ Ｃ＋Ｌ Ａ ９ 。则 ＡＡ Ｃ ＿ Ａ Ｄ Ｃ＝ ０ ， Ｂ 是
三角形．
第 ７期
２ １ 全 国初 中数 学联 赛模 拟 卷 ０ ０年
・
４ ４・
中学教研 （ 数学）
２１ ０ ０生
２０１０年 全 国 初 中 数 学 联 赛 模 拟 卷
一
、
选择题
１已知 ： ＡＡ Ｃ中， Ｃ ９ 。 ／Ａ Ｃ＝１。Ａ ． 在 Ｂ ＬＡ Ｂ＝ ０ ， Ｂ ＿ ５ ，Ｃ＝１则 Ｂ ， Ｃ的长为
（
）
Ａ２ ．＋
Ａ 二者 均 为有 理数 ．
Ａ． ０ｏ ８
４ ≤ ５
Ｂ． Ｏ。 ５
ｃ≤ ２ ． ６ ７ ＜
Ｃ． ４０。
Ｄ－≤ 莩 ． ） ， ≤
（
Ｄ． Ｏ。 ２
５ 如 图 １ 已知在 ＡＡ Ｃ中 ，Ｂ＝ Ｃ ／ Ａ ． ， Ｂ Ａ Ａ ， ＿Ｂ Ｃ和 ／Ａ Ｂ 的平 分线 相 交 于 点 Ｄ， Ａ ＿ Ｃ ／ ＤＣ＝ ＿
ｌ． ４ 已知线 段 Ａ Ｂ是 ｏ０ 的弦 ， Ｐ是 优 弧Ａ 上 一个 动点 （ 点 Ｂ Ｐ不与 ， 重合 ） 直线 ｚ ／Ａ Ｂ的平分 线． ， 是＿Ｐ
／ 、
（） １ 画图并 证 明 ： 当点 Ｐ在 优弧 船 上运 动时 ， Ａ Ｂ 的平 分 线 ｚ 定点 Ｑ ／ Ｐ ＿ 过 ．
・ ５・ ４
三、 解答 题
ｌ． 同学买某种铅笔 ， ３某 当他买了 ． ， ２ 付了 Ｙ ， ７ 支 元（ Ｙ都是整数 ） ， 时 营业员说 ：你要再多买 ｌ ， “ ０支 我就总
2010年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及参考解答
A B C 内 一点 , 且满 足 2 PA +
∋
&& ∋
3 P B + 6 PC = 0, 试 确 定 P CA 的面积之比. 6. 如图 5, 凸四边形 A B CD 中, ( B A D + ( A D C = 240 ), E 和 F 分 别是边 A D 、 B C 的中点 , EF =
) ] , 而已知这个函数是奇函数 , 其必要 2 = k ,所
条件是在 0 点的函数值为 0, 即 3 以 的最小值是 6 .
2 . 答: ( B) . b 理由 为直线 O P 的斜率, 其最小值为 a b O C 的斜率 , 其最大值为 OA 的斜率, 所以 的 a p q 最大值为 , 最小值为 . m n 3 . 答 : ( C) . 理由 在 A BC 所在平面上取一点 O , ∗ + + 即 P A + P B + PC = 2 A B ,
2010 年 7 月上
第 397 期 ( 高中 )
数 学 竞 赛 之 窗
S PC 1 A 1 , 6# 2 + S PA B . S PB C . S PCA = 6 . 2 . 3 . 6. 答: 28 . 解 延长 B A 、 CD 相交于点 P , 由 ( BA D + ( A D C = 240 ) , 得 ( BP C = 60 ). 连接 BD , 取 BD 的中点 G, 连接 EG, FG, 则 由三角形中位线定理, 知 GE / BP, GF / PC, 所 1 1 以 ( EGF = 120 ), EG = A B, FG = CD. 2 2 在 E GF 中, 由余弦定理得 E F 2 = EG 2 + F G 2 - 2EG FG cos 120 ) AB 2 CD 2 AB CD = + + , 2 2 2 2 2 2 AB CD AB CD 即 + + 2 2 2 2 S
2010年大学生数学竞赛试题及解答
（1）计算积分222,0,0.xxee dx xαβαβ--+∞->>⎰解 方法一 直接利用分部积分法得222xxee dx xαβ--+∞-⎰221()()xxeedx xαβ+∞--'=--⎰221(22)()xxxexe dx xαβαβ+∞--=--+-⎰22(22)xxeedx αβαβ+∞--=--⎰)22(2πβπα⋅-⋅-=)(αβπ-=；方法二 不妨设0αβ<<，由于dyexe e yxxx⎰---=-βαβα2222，而积分2yxe dx +∞-⎰关于y 在[,]αβ上一致收敛，故可交换积分次序222xxee dx xαβ--+∞-⎰2yxdx edy βα+∞-=⎰⎰2yxdy edxβα+∞-=⎰⎰dy y⎰=βαπ21)(αβπ-=；方法三 将0β>固定，记222(),0xxee I dx xαβαα--+∞-=>⎰ ， 可证()I α在(0,)+∞上收敛．设[,),0αδδ∈+∞> ， 因为22xxe eαδ--≤，而2xedx δ∞-⎰＋０收敛，所以由Weierstrass 判别法知道2xedx α∞-⎰＋０对[,)αδ∈+∞一致收敛．所以可以交换微分运算和积分运算的次序， 即222()()xxee I dx xαβαα--+∞∂-'=∂⎰2()xedx α+∞-=-⎰12πα=-．由δ的任意性，上式在(0,)+∞上成立． 所以 ()I C απα=-+，由于()0,,I C βπβ==所以)()(αβπα-=I ，即dx xe exx⎰∞+---0222βα)(αβπ-=．(2)若关于x 的方程211kx x +=，()0k >在区间()0,+∞内有唯一的实数解，求常数k.解：设()211f x kx x=+-，则有()32f x k x'=-，当1320,x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当132,x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>. 由此()f x 在132x k ⎛⎫= ⎪⎝⎭处达到最小值，又()211f x kx x=+-在()0,+∞内有唯一的零点，必有1320f k ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13322102k k k ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3212331214k ⎛⎫⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22714k ⋅=， 所以233k =.（3）设函数()f x 在区间[],a b 上连续，由积分中值公式，有()()()xaf t dt x a f ξ=-⎰，()a x b ξ≤≤≤，若导数()f a +'存在且非零，求lim x aax aξ+→--.解：()()()()()()()xaf t f a dt x a f f a ξ-=--⎰，()()()()()()21xaaa f t f a dt x af f a x a ξξξ--=⋅----⎰， 由条件，可知()()()1l i m x aaf f a f a ξξ+→+-='-，()()()()()()()()21lim lim 22xax ax af t f a dtf x f a f a x a x a +++→→--'==--⎰，故有1lim 2x aax aξ+→-=-.二、设函数()f x 在0x =附近可微，()00f =，()0f a '=,定义数列22212n n x f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.证明：{}n x 有极限并求其值.证明：由导数的定义， 对于任意0ε>,存在0δ>，当0||x δ<<时，有()f x a xε-<.于是()()()a x f x a x εε-<<+，()0x δ<<从而，当1nδ->时，有21k nnδ<<，()()222kk k a f a n n n εε⎛⎫-<<+ ⎪⎝⎭，其中1,2,,k n = .对于上式求和，得到()()2211nnn k k k k a x a nnεε==-<<+∑∑，即()()1122n n n a x a nnεε++-<<+，令n →∞，有()()11lim lim 22nn n n a x x a εε→∞→∞-≤≤≤+,由0ε>的任意性，得到 lim 2n n a x →∞=.设()f x 在()1,1-上有定义，在0x =处可导，且()00f =.证明：()210lim2nn k f k f n →∞='⎛⎫= ⎪⎝⎭∑.三、设函数f在[0,)+∞上一致连续，且对任何[0,1]x ∈，有()0limn f x n →∞+=，证明：()0lim x f x →+∞=。
2010年全国初中数学联合竞赛-试题参考答案及评分标准
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1. 已知z y x ,,满足x z z y x +=-=532，则zy y x 25+-的值为 （ ） （A ）1. （B ）31. （C ）31-. （D ）21. 【答】B.解 由x z z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选（B ）. 注：本题也可用特殊值法来判断.2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx +-的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ） （A ）－1. （B ）1. （C ）0. （D ）2007.【答】C.解 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n n n 011112222=+-++-n n n n ，即当x 分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C ）.3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是 （ ） （A ）等腰三角形. （B ）锐角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）直角三角形.【答】D.解 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选（D ）.4. 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ）（A ）30°. （B ）45°. （C ）60°. （D ）75°. 【答】C.解 锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选（C ）.5．设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F ，则ABC DEF S S △△:的值为 （ ）（A ）91. （B ）92. （C ）94. （D ）32. 【答】A.解 分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△41=. 易证△D E F ∽△M N P ，且相似比为3:2，所以M N P D E F S S △△2)32(=A B C S △4194⋅=A B C S △91=. 所以:DEF S △19ABC S =△.故选（A ）. 6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）（A ）101. （B ）51. （C ）103. （D ）52. 【答】B.解 设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ； 当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y .因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选（B ）. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1. 设121-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 333____1___.解 ∵12121+=-=x ，而3122<+<，∴122-=-=x a . 又∵12--=-x ，而2123-<--<-，∴22)3(-=---=x b .∴1=+b a ，∴=++ab b a 333=++-+ab b ab a b a 3))((221)(3222=+=++-b a ab b ab a . 2. 对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两个根记作n n b a ,（2≥n ），则)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a =.10034016- 解 由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n n a b n ⋅=-，所以=--)2)(2(n n b a (2-n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1)n n n n =--++=-+， 则11111()(2)(2)2(1)21n n a b n n n n =-=----++， )2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a ＝11111111111003()()()()22334200720082220084016⎡⎤--+-++-=--=-⎢⎥⎣⎦. 3. 已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为____4_____.解 延长CD 交⊙O 于点G ，设DG BE ,的中点分别为点N M ,，则易知DN AM =.因为10==CD BC ，由割线定理，易证DG BF =，所以42)(2)(2==-=-=-=-AB AM BM DN BM DG BE BF BE .4． 若64100+a 和64201+a 均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是___17____.解 设264100m a =+，264201n a =+，则100,32<≤n m ，两式相减得 ))((10122m n m n m n a -+=-=，因为101是质数，且101101<-<-m n ，所以101=+m n ，故1012-=-=n m n a .代入264201n a =+，整理得020*******=+-n n ，解得59=n ，或343=n （舍去）.所以171012=-=n a .第二试 （A ）AB CD E F G M N一、 （本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt +.由题意，32mt t n+≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥. 由题意知，042≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME . 证明 设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ， ∴△PNE ∽△PBC ，∴PCPE PB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅. 又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PF PE PB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅.∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPC PN PM = 又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED.∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.三、 （本题满分25分）已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根. A B CD E F M N P解 观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得[]056)18()1(2=+++-x a x x因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x （1）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a 当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1，1-和56-.当12=a 时，方程（1）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-. 第二试 （B ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ；一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22. 所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔ 09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1）由题意知，042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三、（本题满分25分）设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数xy=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值. 解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y 得a x a x -+++38)17(2x56=，即 056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得[]056)18()1(2=+++-x a x x （1）显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x （2）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个函数的图象还有两个交点)56,1(--和)1,56(--.当12=a 时，方程（2）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-，此时两个函数的图象还有两个交点)28,2(--和)2,28(--.第二试 （C ）一、（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，如果二次函数a x a x y 710)232(22-+++=和反比例函数xa y 311-=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点. 解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+++=,311,710)232(22x a y a x a x y 消去y 得a x a x 710)232(22-+++＝113a x -，即0113)710()232(223=-+-+++a x a x a x ，分解因式得[]0311)12()12(2=-+++-a x a x x （1）如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于x 的一元二次方程 0311)12(2=-+++a x a x （2） 必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式∆应该是一个完全平方数，而224)18(10036)311(4)12(222-+=++=--+=∆a a a a a .所以224)18(2-+a 应该是一个完全平方数，设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以 ⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a 当39=a 时，方程（2）即0106512=-+x x ，它的两根分别为2和53-，易求得两个函数的图象有公共整点)53,2(-和)2,53(-.当12=a 时，方程（2）即025242=-+x x ，它的两根分别为1和25-，易求得两个函数的图象有公共整点)25,1(-和)1,25(-.。
2010年全国高中数学联赛试题及解答
10. （20 分）已知抛物线 y 2 6 x 上的两个动点 A x1 , y1 和B x2 , y2 ，其中 x1 x2 且 x1 x2 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ，求 ABC 面积的最大值. x x y y2 解法一：设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ，则 x0 1 2 2, y0 1 ， 2 2
答案：
A1 C1 B1
设正三棱柱的棱长为 2， 则 B 1,0,0 , B1 1,0, 2 , A1 1,0, 2 , P 0, 3,1 ． 从而，
BA1 2,0, 2 , BP 1, 3,1 , B1 A1 2,0,0 , B1 P 1, 3, 1 ．
当 t 0, 1 时（1）总成立；
1 3 对 0 t 1,0 t 2 t 2 ；对 1 t 0, t 2 t 0 .从而可知 a 12 . 4 2
3. 双曲线 x2 y 2 1 的右半支与直线 x 100 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的 点）的个数是 答案：9800． 解：由对称性知，只要先考虑 x 轴上方的情况，设 y k k 1, 2,
从而
3a 3a 8 b c 1 0 , z 2 2 ，由 0 z 2 1 知 a . 4 4 3 解法二： f x 3ax2 2bx c . 设 g x f x 1 ，则当 0 x 1 时， 0 g x 2 .
k AB y2 y1 y y1 6 3 . 22 y12 y2 y1 y0 x2 x1 y2 6 6
线段 AB 的垂直平分线的方程是
2010年全国高中数学联赛试题与参考答案
2010年全国高中数学联合竞赛一试试题一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1.函数()5243f x x x =--的值域是______________.2.已知函数2(cos 3)sin y a x x =-的最小值为3-，则实数a 的取值范围是_____________.3.双曲线221x y -=的右半支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是___________.4.已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中1122533,1,,3a b a b a b ====，且存在常数,αβ使得对每一个正整数n 都有log n n a b αβ=+，则αβ+=____________.5. 函数2()32(0,1)x x f x a a a a =+->≠在区间[1,1]x ∈-上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是___________________.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率为_________________.7.正三棱柱111ABC A B C -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角11B A P B α--=,则sin α=_____________.8.方程2010x y z ++= 满足x y z ≤≤的正整数解(,,)x y z 的个数是_____________.二、解答题（本题满分56分）9.(本小题满分16分)已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，当01x ≤≤时，|()|1f x '≤，试求a 的最大值.10. (本小题满分20分)已知抛物线26y x =上的两个动点11(,)A x y 和22(,)B x y ,其中12x x ≠且124x x +=.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求△ABC 面积的最大值.11. (本小题满分20分)证明：方程32520x x +-=恰有一个实根r ，且存在唯一的严格递增正整数列{}n a ，使得31225a a a r r r =+++ .2010年全国高中数学联合竞赛加试试题一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M.求证：若OK MN⊥,则,,,A B D C四点共圆.二、（本题满分40分）设k是给定的正整数，12r k=+.记()()f r f r r r==⎡⎤⎢⎥（1）,(1)()(()),2l lf r f f r l-=≥（）.证明：存在正整数m ,使得()()m f r 为一个整数.这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如11,112⎡⎤==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥.三、（本题满分50分）给定整数2n >,设正实数12,,,n a a a 满足1k a ≤,1,2,,k n = ,记12,1,2,,.kk a a a A k n k+++==求证：1112nnk k k k n a A ==--<∑∑.四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：这种密码锁共有多少种不同的密码设置.2010年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案与评分标准一、填空题1.[3]-.2.3122a -≤≤ 3.9800. 4. 3335.14-. 6.1217. 7.104. 8.336675. 1.2..3.由对称性知，只需先考虑x 轴上方的情况，设(1,2,,99)y k k == 与双曲线右半支交于点k A ，与直线100x =交于点k B ，则线段k k A B 内部的整点个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)9949k k =-=⨯∑，又x 轴上有98个整点，则所求整点个数为24999+98=9800⨯⨯. 4.5.6.=1217. 7.8.二、解答题9.10.11.2010年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案与评分标准一、二、三、四、。
2010年数学周报杯全国初中数学竞赛试题及详细解答
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题详细解答一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若20 10a b b c ==，，则a b b c++的值为（ ） （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011【答案】D【解析1】由题设知0c ≠，10,20200b c a b c ===，于是200102101011a b c c b c c c ++==++． 【解析2】 由题设知0b ≠，于是12012101111110a ab bc b c b +++===+++，故选D. 2．若实数,a b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是（ ） （A ）2a ≤- （B ）4a ≥ （C ）2a ≤-或4a ≥ （D ）24a -≤≤【答案】C 【解析】21202b ab a -++=可以看作是关于b 的一元二次方程，因为b 是实数，所以21202b ab a -++=的判别式21()41(2)02a a ∆--⨯⨯+≥＝,即2280a a --≥，(2)(4)0a a +-≥，解得2a ≤-或4a ≥．故a 的取值范围是2a ≤-或4a ≥,故选C . 3．如图，在四边形ABCD 中，135,120B C ∠=∠= ,23AB =,422BC =-, 42CD =，则AD 边的长为（ ）（A ）26 （B ）64（C ）64+ （D ）622+【答案】（D ）【解析1】如图1，过点A 作AE BC ⊥交CB 的延长线于点E ，过点D 作DF BC ⊥交BC的延长线于点F ，过点A 作AG DF ⊥于点G ,135ABC ∠= ,∴45ABE BAE ∠=∠=在Rt AEB ∆中,2sin 2362BE AE AB BAE ==⋅∠=⨯=,又∵120BCD ∠= ，∴60DCF ∠=，cos6022,sin6026CF CD DF CD ==== , 于是46EF BE BC CF =++=+．在Rt ADG ∆中，46,AG EF ==+2666DG DF GF DF AE =-=-=-=,根据勾股定理得2222(46)(6)28864(726)226AD AG DG =+=++=+=+=+．【解析2】如图2，过点A 作AE BC ∥交CD 于E ,AF DC ⊥交DC 的延长线于F ;过点B作BM AE ⊥于M ; 过点C 作CN AE ⊥于N ,135ABC ∠= ,∴45ABM BAM ∠=∠= , 2sin 452362BM AM AB ==⋅=⨯= ∵四边形BMNC 为矩形，∴6CN BM ==,422MN BC ==-在Rt CNE ∆中，30NCE ∠= ,60CEN ∠= , tan302,NE CN =⋅= 22CE = 462AE AM MN NE =++=+-,22DE CD CE =-=462cos cos602EF AE FEA AE +-=⋅∠=⋅= 43326sin sin 602AF AE FEA AE +-=⋅∠=⋅=43262DF DE EF ++=+=,在Rt ADF ∆中， 22224332643264(72622622AD AF DF ⎛⎫⎛⎫+-++=+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭）【解析3】如图3，过点A 作AE BC ∥交CD 于E ,过点B作BM AE ⊥于M ; 过点C 作CN AE ⊥于N ,则四边形BMNC 为矩形，ABM ∆为等腰直角三角形62ABBM AM ===,在Rt CEN ∆中，030NCE ∠=, 由6CN =得0tan 6tan302NE CN NCE =⋅∠=⨯=，22CE =,422MN BC ==-,462AE AM MN NE =++=+-,22ED CD CE =-=,又0120AED BCD ∠=∠=,在AED ∆中，根据余弦定理得， 2222cos AD AE ED AE ED AED =+-⋅∠220(462)(22)2(462)(22)cos120=+-+-⨯+-⨯⨯2(226)=+ 于是226AD =+,故选（D ）.(说明：本题与1991年全国初中数学联合竞赛第一试填空第4题类型完全相同，只是数值不同)4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭（2k ≥）,（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】B【解析】由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得11x =，22x =，33x =， 44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……，归纳可得 41421,2,k k x x ++==434(1)3,4k k x x ++==，（k 为自然数），因2010=4×502+2，故2010x =2． 5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2010的坐标是（ ）．（A ）（2010，2） （B ）（2010，2-）（C ）（2012，2-） （D ）（0，2）【答案】B【解析1】由已知得，点1P ，2P 的坐标分别为12(2,0),(2,2)P P -,记222 )P a b （，，其中222,2a b ==-,根据对称关系，依次可以求得：322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，（第5题）522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，,令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即1022(42,)P a b ⨯+，因2010=4⨯502+2，故点2010P 的坐标为（2010，2-）． 【解析2】由已知得，12(2,0),(2,2)P P -，34(6,0),(4,2),P P -56(2,0),(6,2),P P --789101112(10,0),(8,2),(6,0),(10,2),(14,0),(12,2),P P P P P P ---- 归纳可得4142434(1)(24,0),(42,2),(64,0),(44,2)k k k k P k P k P k P k ++++-+---+（k 为自然数） 因2010=4⨯502+2，故点2010P 的坐标为（2010，2-）． 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．已知51a =-，则3227212a a a +--的值等于 ．【答案】0【解析】由已知得2(1)5a +=，224a a +=，于是原式=22222(2)321236123(2)1234120a a a a a a a a a ++--=+-=+-=⨯-=.7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t ＝ ．【答案】15 【解析1】画出某一时刻三辆车的位置示意图，如图所示，设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ，，（千米/分），并设货车经x 分钟追上客车，依题意得()10a b S -= ① ， ()152a c S -= ② ， ()x b c S -= ③由①②，得30b c S -=（），与③比较得，x =30，故 3010515t =--=（分）．【解析2】设在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，客车与小轿车间隔为2，则小轿车与货车的速度差为110，小轿车与客车的速度差为2210515=+，则货车与客车的速度差为211151030-=，货车追上了客车需113030÷=分钟，所以货车追上了客车，需再过3010515t =--=分钟． 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ．【答案】11133y x =-+ 【解析】如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接,OB AF ;连接,CE DF ,且相交于点N ．则(4,0)F ,由已知得点(2,3)M 是OB AF 与的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点(5,2)N 是矩形CDEF 的中心，所以， 过点(5,2)N 的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．于是，直线MN 即为所求的直线l ．设直线l 的函数表达式为(0)y kx b k =+≠，则2352k b k b =⎧⎨+=⎩+，，解得 1311.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，, 故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+． 9．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交,BE BN 于点,F C ,过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD CF =,则 AE AD= ． 【答案】 215- 【解析】如图，因Rt AFB ∆∽Rt ABC ∆，所以AB AF AC AB=, 即2AB AF AC =⋅．∵AB CD CF ==，∴2()CF AF AF CF =⋅+ , 即210AF AF CF CF ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得512AF CF -=, 或512AF CF --=（舍去）． （第8题）答案图（第8题）（第9题）又∵Rt AFE Rt CFB ∆∆∽,∴512AE AF BC CF -==,而AD BC =,故AE AD =512-． 10．对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为1i -．若n 的最小值0n 满足020003000n <<，则正整数k 的最小值为 ． 【答案】9【解析】因为1n +为2 3 k ，，，的倍数，所以n 的最小值0n 满足[]012 3 n k += ，，，，（其中[]2 3 k ，，，表示2 3 k ，，，的最小公倍数） 由于[]2 3 8840,= ，，，[]2 3 92520 = ，，，，[]2 3 102520= ，，，，[]2 3 1127720= ，，，，因此满足020003000n <<的正整数k 的最小值为9． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11(A).如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线k y x=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k y x=上，所以k=4. 故双曲线的函数表达式为x y 4=.设点4(,),0B t t t <， AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有44m n mt n t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 故44(1)t y x t t +=-+，于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故()141132AOB t S t t∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=，解得2t =-，或12t =（舍去）． 故点B 的坐标为(2,2)--．（第11(A)题）因为点(1,4),(2,2)A B --都在抛物线2(0)y ax bx a =+>上，所以4422a b a b +=⎧⎨-=-⎩，，解得13.a b =⎧⎨=⎩， …………（10分） （2）由（1）知23y x x =+，因为AC x 轴且(1,4)A ,所以令4y =，得234x x +=，解得4x =-，或1x =，故(4,4)C -，于是42OC =. 又22OB =，所以2OC OB=. 设抛物线2(0)y ax bx a =+>与x 轴负半轴相交于点D ， 则点D 的坐标为（3-，0）. 因为45COD BOD ∠=∠= ，所以90COB =. （i ）将AOB ∆绕点O 顺时针旋转90︒，得到△1B OA '.此时，点(2,2)B '-是OC 的中点，点1(4,1)A -,延长1OA 到点1E ，使得112OE OA =，这时点1(8,2)E -是符合条件的点. （ii ）作AOB ∆关于x 轴的对称图形2A OB '∆，得到点2(1,4)A -；延长2OA 到点2E ，使得222OE OA =，这时点2(2,8)E -是符合条件的点．故点E 的坐标是(8,2)-，或(2,8)-. …………（20分）11(B). 设实数a ，b 满足：2231085100a ab b a b -++-=，求u =29722a b ++的最小值.解：由已知得,(2)(34)5(2)0a b a b a b --+-=，即(2)(345)0a b a b --+=，所以20a b -=，或3450a b -+=.…………（5分）（i ）当20a b -=，即2a b =时，22297223672236(1)34u a b b b b =++=++=+-， 于是当1b =-时，u 的最小值为34-，此时2a =-，1b =-.…………（15分）（ii ）当3450a b -+=，即345a b =-时， 2222(3)722(45)72216322716(1)11u a b b b b b b =++=-++=++=++， 于是1b =-时，u 的最小值为11，此时3a =-，1b =-.综上可知，u 的最小值为34-.…………（20分）12(A). 如图，ABC ∆为锐角三角形，点,P Q 为边BC 上的两点，ABP ∆和ACQ ∆的外接（第11(A)题）答案图圆圆心分别为1O 和2O ,试判断1BO 的延长线与2CO 的延长线的交点D 是否可能在ABC ∆的外接圆上，并说明理由.解：答案是否定的，即1BO 的延长线与2CO 的延长线的交点D 不可能在△ABC 的外接圆上. ……（5分）理由如下:如图，连接1O P ,设直线1BO 与直线2CO 的交点为D ，则11180902BO P O BP BAP ︒-∠∠==︒-∠，22180902QO C O CQ CAQ -∠∠==︒-∠ ， 所以 12180O BP O CQ BAP CAQ ∠+∠=︒-∠-∠，即180180()BDC BAP CAQ -∠=-∠+∠ , 故BDC BAP CAQ ∠=∠+∠.……（15分） 由于点P Q ，为边BC 上的两点，所以BAP CAQ BAC ∠+∠≠∠，即BDC BAC ∠≠∠ 因此，点D 不在△ABC 的外接圆上．…………（20分）12(B).如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证：tan EF PAD BC∠=．证明：如图，连接,ED FD .（第12A 题） （第12A 题）答案图（第12（B ）题）（第12(B)题）答案图因为BE 和CF 都是直径，所以,ED BC FD BC ⊥⊥,因此,,D E F 三点共线. …（5分） 连接,AE AF ,则AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠，所以，AEF ∆∽ABC ∆…（10分） 过点A 作AH EF ⊥于H ,则AH PD =. 由AEF ∆∽ABC ∆,可得EF AH BC AP =， 从而EF PD BC AP =，所以 tan PD EF PAD AP BC∠==. …………（20分） 13(A). 实数,a b 使得关于,x y 的方程组2221.....................0...xy x xy ax bx a ⎧-=⎨+++=⎩①②有实数解(,)x y . （1）求证2y ≥；（2）求22a b +的最小值. 解: (1)(证法1)由方程①知0x ≠,且211x y x x x+==+ ∴112y x x x x=+=+≥(当且仅当1x =时取等号). 即2y ≥……(5分) (或书写如下:)由方程①知0x ≠，且211x y x x x+==+. 所以，当0x >时，2y ≥；当0x <时，2y ≤-，故2y ≥. …………（5分）(证法2)由方程①得210x xy -+=，此方程可视为关于x 的一元二次方程，由于x 为实数，故2()40,y ∆=--≥即2y ≥.…………（5分）(2)(解法1) 由方程①得21x xy =-③，将③代入方程②，得2(1)0x y ax y b x a +-++=，即2()0x y ay b ++=，∵0x ≠， ∴20y ay b ++=④.由于方程组有实数解，故方程20y ay b ++=④在2y ≤-，或2y ≥的范围内至少有一个实数根.（i ）当4a ≤时，有2422a a b ---≤-，或2422a ab -+-≥， 故2440a b a -≥-≥，或2440a b a -≥+≥，即24a b ≥+或2(4)a b ≤-+.若40b +≥，即4b ≥-时，202b a ≥+≥或202b a ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭，由此得22244b a b ≥++，于是 222222255844541616244()445554555a b b b b b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+≥++=++-+=++≥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ （当且仅当45b =-时，上式取等号，此时85a =±.） 若40b +<，即4b <-时，对于满足24a b ≥+，或2(4)a b ≤-+的任意实数a ， 均有2216165a b +>>.…………（15分） （ii ）当4a >时，2216165a b +>> . 综上（i ）、（ii ）可知，22a b +的最小值为516.………（20分） （解法2：）由方程①得21x xy =-③，将③代入方程②，得2(1)0xy a xy bx a +-++=，即2()0x y ay b ++=，∵0x ≠， ∴20y ay b ++=，2()b y ay =-+2222222234()2a b a y ay a a y ay y ⎡⎤+=+-+=+++⎣⎦∴22333224222(1)2111y y y y a a y y y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⋅+-+⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2362422(1)11y y y a y y y ⎛⎫=++-+ ⎪++⎝⎭234222(1)11y y y a y y ⎛⎫=+++ ⎪++⎝⎭ 于是，当3201y a y +=+时，22a b +有最小值421y y +， 又∵2y ≥，244,16,y y ≥≥∴241111,416y y ≤≤，241111541616y y +≤+=∴ 从而24116115y y ≥+，即421651y y ≥+（当且仅当2y =±时取等号） 故当2y =±时，85a = ，22a b +有最小值165. (解法3:) 由方程①得21xy x =+③,将③代入②得22(1)0x y ax bx a ++++=,即2()()0a y x bx a y ++++=④(i) 当0a y +=，即y a =-时，方程④变为0bx =，由方程①知0x ≠，∴0b =， 此时②变为22()0a x ax a -++=，即2(1)0a x ax ++=，若0a =，则由方程②得20xy =，因0x ≠，故0y =，由（1）知0y ≠，从而0a ≠， ∴210x ax ++=，∵x 为不等于0的实数，∴240a ∆=-≥，24a ≥，∴2224a b a +=≥（当且仅当2y =±，即2a = 时取等号）………（10分） (ii)当0a y +≠，即y a ≠-时，方程④可视为关于x 的一元二次方程.∵x 为不等于0的实数，∴224()0b a y ∆=-+≥，∴224()b a y ≥+， ∴222222222444164()5845()5555a b a a y a ay y a y y y +≥++=++=++≥≥ （当且仅当22244(),0,45b a y a y y =++==同时成立，即2y =±，85a = 时取等号） 综上(i)、(ii)可知，22a b +的最小值为165.………（20分） 13(B). 求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .解：由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+，所以(4)(2)p m m -+，由于p 是素数，故(4)p m -，或(2)p m +. ……（5分）（1）若(4)p m -，令4m kp -=，k 是正整数，则2=6,m kp kp ++>又∵p 是素数∴1,p > 从而321p p >+，于是2223(21)(4)(2),p p p m m k p >+=-+>故23k <,从而1k =.所以4221m p m p -=⎧⎨+=+⎩，，解得59.p m =⎧⎨=⎩， …………（10分） （2）若(2)p m +，令2m np +=，n 是正整数.当5p >时，有4(2)66(1)m m np np p p n -=+-=->-=-，223(21)(4)(2)(1)p p p m m n n p >+=-+>-，故(1)3n n -<，从而1n =或2n =. 由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数，故2n ≠，从而1n =.于是4212m p m p -=+⎧⎨+=⎩，，，解得79p m =-⎧⎨=-⎩，这不符合题意. 当5p =时，2263m m -=，解得9m =；当3p =，2229m m -=，无正整数解；当2p =时，2218m m -=，无正整数解.综上所述，所求素数5p =，正整数9m =.…（20分）14(A)．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下的61个数：11，1133+，11233+⨯，…，116033+⨯（即1991）满足题设条件. …………（5分）另一方面，设12,,,n a a a （12n a a a <<< ）是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的任意4个数i j k m a a a a ，，，，因为33()i k m a a a ++，33()j k m a a a ++，故33()j i a a -.即所取的数中任意两数之差都是33的倍数.（10分） 设133i i a a d =+，i =1，2，3，…，n .由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++， 所以1333a ，111a ，即111a ≥. ……（15分）1201011613333n n a a d --=≤<，60n d ≤. 所以，61n ≤.综上所述，n 的最大值为61. …………（20分）14(B). 将凸五边形ABCDE 的5条边和5条对角线染色，且满足任意有公共顶点的两条线段不同色，求颜色数目的最小值.解：由于顶点A 是4条线段AB AC AD AE ，，，的公共点，因此至少需要4种颜色. 若只有4种颜色，不妨设为红、黄、蓝、绿，则每个顶点引出的4条线段的颜色包含红、黄、蓝、绿各1种，因此，红色的线段共有52条，矛盾.故至少需要5种颜色. …（10分） 下面的例子说明5种颜色可以将这10条线段染为满足条件的颜色. 将AB CE ，染为1号颜色；将BC DA ，染为2号颜色；将CD EB ，染为3号颜色；将DE AC ，染为4号颜色；将EA BD ，染为5号颜色，则任意有公共顶点的两条线段不同色．综上所述，颜色数目的最小值为5. ……（20分）。
#2010全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教课专业委员会“《数学周报》杯” 2010 年全国初中数学比赛试题参照答案一、选择题 <共 5 小题，每题 7 分，共 35 分 .此中有且只有一个选项是正确的 .请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）EdIGbSrxq7．若a，b10 ，则ab的值为 < ）．120b cbc<A ）11<B ）21<C ）110<D ）210211121 11a ba 120 1 210解： D 由题设得b ．bcc1 1111b102．若实数 a ， b 知足1a ab b 2 2 0 ，则 a 的取值范围是 <）．2<A ）a 2 <B ）a 4<C ） a ≤ 2或 a ≥4 <D ） 2 ≤ a ≤ 4解 ．C因为 b 是实数，所以对于 b 的一元二次方程 b 2ab1 a2 012的鉴别式＝ ( a)24 1 ( a 2) ≥0, 解得 a ≤ 2 或 a ≥4．23．如图，在四边形 ABCD 中，∠ B ＝ 135°，∠ C ＝120°，AB= 2 3 ， BC=4 2 2 ，CD ＝ 4 2 ，则 AD 边的长为< ）． EdIGbSrxq7<A ） 2 6<B ）4 6<C ） 46<D ）2 2 6题）<第 3 解： D如图，过点 A ，D 分别作 AE ， DF 垂直于直线BC ，垂足分别为 E ，F ．由已知可得BE=AE= 6 ，CF ＝ 2 2 ，DF ＝2 6 ，<第 3题）于是 EF＝4＋ 6 ．点 A 作 AG⊥ DF，垂足 G．在 Rt△ADG 中，依据勾股定理得AD(4 6)2( 6)2(224)2＝226 ．4．在一列数x1，x2，x3，⋯⋯中，已知x11，且当k≥2，x k x k 1 1k 1k 2 444<取整符号 a 表示不超数 a 的最大整数，比如 2.62， 0.20）， x2010等于<）．(A> 1(B> 2(C> 3(D> 4EdIGbSrxq7解： B由 x 1和k1k 2可得x k x k 1 1 4144x11，x2 2 ， x3 3 ， x4 4 ，x5 1 ， x6 2 ， x7 3 ， x8 4 ，⋯⋯因为 2010=4×502+2，所以x2010 =2．5．如，在平面直角坐系xOy 中，等腰梯形ABCD 的点坐分A<1 ， 1），B<2，－ 1）， C<－ 2，－ 1）， D <－ 1， 1）． y 上一点 P<0， 2）点 A 旋 180 °得点P1，点 P1点 B 旋 180°得点 P2，点 P2点 C 旋 180°得点 P3，点 P3点 D 旋 180°得点 P4，⋯⋯，重复操作挨次得到点P1，P2，⋯ ，点P2010的坐是<）．EdIGbSrxq7<A）<2010，2） <B）<2010， 2 ）<C）<2018， 2 ）<D）<0，2）<第 5题）解： B 由已知能够获得，点P1， P2的坐分<2，0），<2， 2 ）．P（a ，b ) ，此中 a2, b2．22222依据称关系，挨次能够求得：P3 ( 4 a2，－ 2－ b2 ) ， P4 (2a2，4b2 ) ， P5 ( a2， 2b2 ) ， P6 (4a2，b2 ) ．令 P (a , b )662，相同能够求得，点P的坐标为<4 a ,b62），即10P < 42 a ,b ），2210因为 2010=4502+2，所以点P2010的坐标为<2010， 2 ）．二、填空题6．已知a＝ 5 －1，则2a3＋ 7a2－ 2a－ 12的值等于．解： 0由已知得 (a＋1>2＝5，所以 a2＋2a＝4，于是2a3＋ 7a2－ 2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－ 12＝3a2＋6a－12＝ 0．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔挺的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时辰，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10 分钟，小轿车追上了货车；又过了 5 分钟，小轿车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t ＝． EdIGbSrxq7解： 15设在某一时辰，货车与客车、小轿车的距离均为S 千 M ，小轿车、货车、客车的速度分别为 a，b， c <千 M/ 分），并设货车经x 分钟追上客车，由题意得EdIGbSrxq710 a b S ，①15 a c 2S ，②x b c S ．③由①②，得 30（ b c） S ，所以，x=30．故 t30 10 5 15 <分）．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形 OABCDE 的极点坐标分别是 O<0， 0），A<0， 6）， B<4， 6）， C<4， 4）， D <6 ， 4）， E<6， 0）．若直线 l 经过点 M <2，3），且将多边形 OABCDE 切割成面积相等的两部分，则直线 l 的函数表达式是． EdIGbSrxq7解： y 1 x+11<第 8题）33如图，延伸 BC 交 x 轴于点 F；连结 OB，AF；连结 CE，DF ，且订交于点 N．<第 8题由已知得点 M<2， 3）是 OB，AF 的中点，即点 M 为矩形 ABFO 的中心，所以直线 l 把矩形 ABFO 分红面积相等的两部分．又因为点N<5， 2）是矩形CDEF 的中心，所以， EdIGbSrxq7过点 N<5， 2）的直线把矩形 CDEF 分红面积相等的两部分．于是，直线 MN 即为所求的直线 l ．设直线 l 的函数表达式为 y kxb ，则 2k+，b3，5k b2k1，111 ．解得3 ,故所求直线 l 的函数表达式为 y x+113 3b.39．如 ，射 AM ， BN 都垂直于 段 AB ，点 E AM 上一点， 点 A 作 BE 的垂 AC分 交 BE ， BN 于点 F ， C ， 点 C 作 AM 的垂 CD ，垂足D ．若 CD ＝CF ，AE ． EdIGbSrxq7AD解：5 12见题图，设 FC m, AF n ．因为 Rt △AFB ∽Rt △ ABC ，所以 AB 2<第 9题）AF AC ．又因为 FC ＝DC ＝AB ，所以m 2n(n，即 ( n )2 n 1 0，m)m m解得n5 1 ，或 n 5 1 <舍去）．m2 m2又 Rt △ AFE ∽ Rt △ CFB，所以AEAEAF n 5 1 ， 即AD BC FC m2AE = 5 1． AD 210． 于 i=2 ， 3 ，⋯， k ，正整数 n 除以 i 所得的余数i － 1 ．若 n 的最小 n 0 足2000 n 0 3000 ， 正整数 k 的最小 ．EdIGbSrxq7解：9因为 n 1 2，3， ，k的倍数，所以 n 的最小n 0 足n 0 1 2，3， ， k ，此中 2，3，， k表示 2，3，， k 的最小公倍数．因为 2，3，，8840，2，3，，92520，2，3，，102520，2，3，，1127720，所以知足 2000 n03000 的正整数k的最小值为9．三、解答 <共 4 ，每 20 分，共 80 分）11．如图，△ ABC 为等腰三角形， AP 是底边 BC 上的高，点 D 是线段 PC 上的一点，BE和 CF 分别是△ABD 和△ACD的外接圆直径，连结 EF.求证：tanEF．EdIGbSrxq7PADBC明：如，接 ED， FD. 因为 BE 和 CF 都<第 11 题）是直径，所以ED⊥ BC，FD⊥ BC，所以 D，E，F 三点共 .⋯⋯⋯⋯<5分）接 AE， AF，AEFABC ACBAFD ，所以，△ ABC∽△ AEF.⋯⋯⋯⋯ <10 分）<第 11 题）作 AH⊥ EF，垂足 H ， AH=PD. 由△ ABC∽△ AEF 可得EF AH ，EF PD ，BC AP进而BC APPD EF. ⋯⋯⋯⋯ <20 分）所以tan PADAP BC k订交于点12．如图，抛物线y ax2bx <a0）与双曲线y A， B. 已知点 A 的坐标x为 <1， 4），点 B 在第三象限内，且△AOB 的面积为 3<O 为坐标原点） .EdIGbSrxq7<1）务实数a， b， k 的值；<2）过抛物线上点 A 作直线AC∥ x 轴，交抛物线于另一点 C ，求全部 足△EOC ∽△ AOB 的点 E 的坐 .解： <1）因为点A<1， 4）在双曲所以 k= 4. 故双曲 的函数表达式yk <第 12 题）上，x 4 y.x点 B<t ， 4）， t0 ， AB 所在直 的函数表达式y mx n ， 有t4 m ，n 44(t1) 4 mt ， 解得 m， n.t ntt于是，直 AB 与 y 的交点坐0, 4( t1) ，故tSAOB（ ）3 ，整理得 2t23t2 0 ，1 4 t 1 1 t2 t解得 t2 ，或 t ＝ 1<舍去）．所以点B 的坐 <2 ， 2 ）．2因为点 A ， B 都在抛物 yax 2 bx <a0）上，所以a b，a，解得⋯⋯⋯⋯ <10 分）4a 2b，b 3.2<2）如 ，因为 AC ∥ x ，所以C<4 ，4），于是CO ＝ 42 .又 BO=2 2 ，所以CO2 .BO抛物y ax 2 bx <a 0 ）与 x 半 订交于点D ， 点 D 的坐 <3 ，0）.<第 12 题）因为∠ COD ＝∠ BOD ＝ 45 ，所以∠ COB= 90 .<i ）将△ BOA 点O 旋90 ，获得△ B OA 1 . ，点 B ( 2 ， 2>是 CO 的中点，点 A 1 的坐 <4， 1） .延 OA 1 到点 E 1 ，使得 OE 1 = 2OA 1 ， 点 E 1 <8， 2 ）是切合条件的点.<ii ）作△ BOA 对于 x 的 称 形△B OA 2 ，获得点 A 2 <1， 4 ）；延 OA 2 到点E 2 ，使得 OE 2 ＝ 2OA 2 ， 点 E ２<2， 8 ）是切合条件的点． EdIGbSrxq7所以，点 E 的坐 是 <8， 2 ），或<2 ，8 ） .⋯⋯⋯⋯ <20 分）13．求知足 2 p 2 p 8 m 2 2m 的全部素数 p 和正整数 m.．解： 由 得 p(2 p 1)(m 4)( m 2) ，所以 p (m 4)(m2) ，因为 p 是素数，故 p (m 4) ，或 p (m 2) . ⋯⋯ <5 分）<1）若 p (m4) ，令 m4kp ， k 是正整数，于是 m 2 kp ，3 p 2p(2 p 1)(m 4)( m 2) k 2 p 2 ，故 k 23 ，进而 k1 .m4 ，p，⋯⋯⋯⋯ <10 分）所以解得m2 2 p ，m 9.1<2）若 p ( m 2) ，令 m2 kp ， k 是正整数 .当 p 5 ，有 m4kp 6 kpp p(k 1) ，3p 2p(2 p 1) (m 4)( m 2) k (k 1) p 2 ，故 k(k 1) 3 ，进而 k 1 ，或 2.因为 p(2 p 1) ( m 4)(m 2) 是奇数，所以k 2 ，进而 k1 .m 42 p，1于是， m 2p不行能 .当 p5 ， m 22m 63 ， m 9 ；当 p 3 ， m 22m 29 ，无正整数解；当 p2 ， m 22m18 ，无正整数解 .上所述，所求素数p=5，正整数 m=9.⋯⋯⋯⋯ <20 分）14．从1，2，⋯， 20102010 个正整数中，最多能够拿出多少个数，使得所拿出的数中随意三个数之和都能被33 整除？ EdIGbSrxq7解： 第一，以下 61 个数： 11， 11 33， 11 2 33 ，⋯， 11 6033 <即 1991） 足条件 .⋯⋯⋯⋯ <5 分） EdIGbSrxq7另一方面，a 1 a 2a n 是从 1， 2，⋯， 2010 中拿出的 足 条件的数，于 n 个数中的随意4 个数 a i ， a j ， a k ， a m ，因为33 (a i a k a m ) ，33 (a j a k a m ) ，所以33 (a j a i ) .所以，所取的数中随意两数之差都是33 的倍数 .⋯⋯⋯⋯ <10 分）a i a133d i，i=1，2，3，⋯，n.由 33 (a a a ) ，得 33 (3a33d233d3) ，1231所以 333a1， 11 a1，即a1≥11.⋯⋯⋯⋯ <15 分）d n a n a1≤2010 1161 ，3333故 d n≤60.所以，n≤61.上所述， n 的最大61.⋯⋯⋯⋯<20分）声明：全部资料为自己采集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
全国大学生数学竞赛初赛2010年第二届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版
的 对 称 式 方 程 为 l1 :
1
1
0
，记两直线的方向向量分别为
l1 1, 1, 0 ,l2 4, 2, 1 ，两直线上两定点分别为P1(0, 0, 0), P2(2, 1, 3)，并记
a
P1P2
2, 1, 3 ，l1
l2
1, 1,6；
a
l1
l2
| 2 1 18 |
19
其中 x, y, z | x2 y2 z2 1 而
a2 b2 c2
x2dV a x2 dx
a
y2 z2
dy dz
x2
a x2
a
ab 1
x2 a2
dx
4a 3bc 15
.
1
b2 c2
a2
4
或者使用换元法，有
x2dV
2
d
d
1
a
2r
2
0
0
0
sin2
cos2
abcr2
x2
dy
D
4xd x
dy
0.
6
C
x4 y2
的值为常数.
(1) 设 L 为正向闭曲线(x 2)2 y2 1 . 证明:
2xy d x (x)d y 0；
L
x4 y2
2xy d x (x)d y
(2) 求函数(x) ； (3) 设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求
C
x4 y2
.
2xy d x (x)d y
【参考答案】设
L
x4 y2
I ，将曲线L 分割成两段L L1 L2 。设L0 不经过原点的
光滑曲线，使得 L0 L1 和 L0 L2 分别组成围绕原点的分段光滑闭曲线. 由已知条件可知 L0 L1 和
2010年全国高中数学联赛广东赛区预赛试卷及详细答案
2010年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及详细答案一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上. 1.方程2log sin 2x x π+=在区间(0,]2π上的实根个数为_________________.解：设2()log sin 2f x x x π=+-，则1()cos ln2f x x x π'=+，∵02x π<≤，∴0cos 1x ≤<，又0ln12π<<，∴()0f x '>，即在区间(0,]2π上单调递增，故方程2log sin 2x x π+=在区间(0,]2π上有且只有一个实根. 2.设数列118()3n -⎧⎫⨯-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则满足不等式1|6|125n S -<的最小整数n 是______. 解：易知数列118()3n -⎧⎫⨯-⎨⎬⎩⎭是首项是8，公比是13-的等比数列，∴18[1()]1366()131()3n n n S --==----，于是1|6|125n S -<⇔112132503125n n --<⇔>，∵53243250=<，63729250=>，故最小整数n 是7.3.已知n （n N ∈，2n ≥）是常数，且1x ，2x ， ，n x 是区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内任意实数，则函数1212231(,,,)sin cos sin cos sin cos n n f x x x x x x x x x =+++ 的最大值等于_________.解：∵222a b ab +≤，∴1212231(,,,)sin cos sin cos sin cos n n f x x x x x x x x x =+++22222223112sin cos sin cos sin cos 222n x x x x x x +++≤+++2222221122(sin cos )(sin cos )(sin cos )2n n x x x x x x ++++++= 2n =，故所求函数的最大值等于2n.4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有_________________个交点.解：圆周上任意四点构成一个四边形，四边形的两条对角线的交点必在圆内，所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等，故有410109872101234C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯个交点.5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在n 次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.解：由已知条件第n 次到达起始点的概率记为n a ，则到其他两点的概率为1n a -，则第1n +次到达起始点的概率为11(1)2n n a a +=-；所以接下来构造一个等比数列来进行计算.即1111()323n n a a +-=--，其中10a =，所以111()22(1)2332n n n n na ---+-==⋅.答案：22(1)32n n n +-⋅ 6.设O 是平面上一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AC ABOP OA AC AB λλ-=+，其中[0,)λ∈+∞，则点P 的轨迹为_________________. 解：∵||||AC AB OP OA AC AB λλ-=+ ，∴()||||AB ACOP OA AB AC λ-=++ ， 即()||||AB AC AP AB AC λ=+，又||AB AB ，||ACAC为单位向量，由向量加法的平行四边形法则，知点P 的轨迹为BAC ∠的平分线.7.对给定的整数m ，符号()m ϕ表示{}1,2,3中使()m m ϕ+能被3整除的唯一值，那么201020102010(21)(22)(23)ϕϕϕ-+-+-=_________________.解：由二项式定理知，20101005100524(31)31p ==+=+，即20102被3除余1，∴2010(21)3ϕ-=，2010(22)1ϕ-=2010(23)2ϕ-=， 故201020102010(21)(22)(23)6ϕϕϕ-+-+-=.8.分别以直角三角形的两条直角边a ，b 和斜边c 为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为a V ，b V ，c V ，则22a b V V +与2(2)c V 的大小关系是_________________.解： ∵222222222222222()()()3399a b V V b a a b a b a b a b c ππππ+=+=+=，224422242244(2)(2())()399c ab a b V h a b c c cπππ''=⋅+==⋅，∴作商，有22422222222222()(2)1(2)444a b c V V c a b ab V a b a b a b++==≥=，故222(2)a b c V V V +≥. 二、解答题：本大题共3小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.（本小题满分16分）是否存在实数a ，使直线1y ax =+和双曲线2231x y -=相交于两点A 、B ，且以AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点？解：设交点A 、B 的坐标为11(,)A x y 、22(,)B x y ，由22131y ax x y =+⎧⎨-=⎩消去y ，得 22(3)220a x ax ---=，由韦达定理，得12223a x x a +=-， ① 12223x x a -=-， ② ∵以AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点，∴OA OB ⊥，∴12120x x y y +=，即1212(1)(1)0x x ax ax +++=，整理，得21212(1)()10a x x a x x ++++=③将①②代入③，并化简得22103a a -=-，∴1a =±，经检验，1a =±确实满足题目条件，故存在实数a满足题目条件.2.（本小题满分20分）求证：不存在这样的函数{}:1,2,3f Z →，满足对任意的整数x ，y ，若{}||2,3,5x y -∈，则()()f x f y ≠.证明：假设存在这样的函数f ，则对任意的整数n ，设()f n a =，(5)f n b +=，其中{},1,2,3a b ∈，由条件知a b ≠.由于|(5)(2)|3n n +-+=，|(2)|2n n -+=，∴(2)f n a +≠且(2)f n b +≠，即(2)f n +是{}1,2,3除去a ，b 后剩下的那个数，不妨设(2)f n c +=又由于|(5)(3)|2n n +-+=，|(3)|3n n -+=，∴(3)(2)f n f n +=+.以1n +代替n ，得(4)(3)(2)f n f n f n +=+=+，但这与|(4)(2)|2n n +-+=矛盾！ 因此假设不成立，即不存在这样的函数f . 3.（本小题满分20分）设非负实数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求证：19(19)4abc ab bc ca abc ≤++≤+ 证明：先证左边的不等式.∵1a b c ++=，∴222222()()3ab bc ca ab bc ca a b c a b ab b c bc a c ac abc ++=++++=++++++639abc abc abc ≥+=再证右边的不等式. 不妨设a b c ≥≥，注意到条件1a b c ++=，得314()9()4()()9ab bc ca abc a b c a b c ab bc ca abc -+++=++-+++++()()()()()()a a b a c b b a b c c c a c b =--+--+--()[()()]()()0a b a a c b b c c c a c b =----+--≥，所以1(19)4ab bc ca abc ++≤+，综上，19(19)4abc ab bc ca abc ≤++≤+.。