2019-2020年中考数学复习方法技巧专题二：分类讨论思想训练含分类汇编解析
中考数学的备考方法和解题技巧
中考数学的备考⽅法和解题技巧如何有针对性的⾼效提分⾄关重要。
中考更像是⼀场竞技赛，除了不断提升⾃⼰，踏实做好训练，更重要的是找准进攻⽅向，知道中考命题规律，同时也要把握好⾃⼰的作战节奏。
好好把握，则马到成功；有所偏离，则功亏⼀篑！⼀、备考⽅法⼤胆取舍——确保中考数学相对⾼分“有所不为才能有所为，⼤胆取舍，才能确保中考数学相对⾼分。
”针对中考数学如何备考，著名数学特级⽼师说，这⼏个⽉的备考⼀定要有选择。
“⾸先，要进⾏⼀次全⾯的基础内容复习，不能有所遗漏；其次，⼀定要⽴⾜于基础和难易度适中，太难的可以放弃。
在全⾯复习的基础上，再次把掌握得似懂⾮懂，知道但⼜不是很清楚的地⽅搞清楚。
在做题练习上要学会选择，决不能不加取舍地做题，即便是⽼师布置的作业，也建议同学们选择性地做，已经掌握得很好的不要多做，把好像会做但⼜不能肯定的题认真做⼀做，把根本没有感觉的难题放弃不做。
千万不要到处去找各个学校的考试题来做，因为这没有针对性，浪费时间和精⼒。
”做到基本知识不丢⼀分某外国语学校资深中考数学⽼师建议考⽣在中考数学的备考中强化知识⽹络的梳理，并熟练掌握中考考纲要求的知识点。
“⾸先要梳理知识⽹络，思路清晰知⼰知彼。
思考中学数学学了什么，教材在排版上有什么规律，琢磨这两个问题其实就是要梳理好知识⽹络，对知识做到⼼中有谱。
”他说，“其次要掌握数学考纲，对考试⼼中有谱。
掌握今年中考数学的考纲，⽤考纲来统领知识⼤纲，掌握好必要的基础知识和过好基本的计算关，做到基本知识不丢⼀分，那就离做好中考数学的答卷⼜近了⼀步。
根据考纲和⾃⼰的实际情况来侧重复习，也能提⾼有限时间的利⽤效率。
”做好中考数学的最后冲刺距离中考越来越近，⼀⽅⾯需按照学校的复习进度正常学习，另⼀⽅⾯由于每个⼈学习情况不⼀样，⾃⼰还需进⾏知识点和丢分题型的双重查漏补缺，找准短板，准确修复。
压轴题坚持每天⼀道，并及时总结⽅法，错题本就发挥作⽤了。
最后每周练习⼀套中考模拟卷，及时总结考试问题。
中考数学答题技巧：分类讨论避免漏解
中考数学答题技巧：分类讨论避免漏解中考数学答题技巧：分类讨论避免漏解对于初中生来说中考就是一个重要的转折点，那么怎样才能在中考这场战役中取得胜利呢？别担心，看了中考数学答题技巧：分类讨论避免漏解以后你会有很大的收获：中考数学答题技巧：分类讨论避免漏解中考数学复习中要擅于运动学习技巧、解题技巧！分类讨论是中学数学中一种重要的思想方法，在每年的中考中都会涉及到有关分类讨论方面的试题，而许多同学在解答过程中经常会出现漏解、讨论不完整的现象。
临近中考，将同学中出现的部分漏解现象进行分析，希望能帮助同学们提高分类讨论的能力。
概念不清，导致漏解对所学知识概念不清，领会不够深刻，导致答题不完整。
例：已知(a-3)x6，求x的取值范围。
分析：根据不等式的性质不等式的两边同乘或同除以不为零的负数，不等号的方向要改变，而此题中(a-3)的符号并未确定，所以要分类讨论(a-3)的正负问题。
例：若y2+(k+2)y+16是完全平方式，求k。
分析：完全平方式中有两种情况：(ab)2=a22ab+b2,而同学们往往容易忽略k+2=-8这一解。
思维固定，导致漏解在日常解题过程中，许多同学往往受平时学习中习惯性思维用以上方法求解必定会被遗漏。
上述是同学们在解答基础题中经常出现的分类思考不全面的情况，而在利用分类讨论思想求解相关综合题有时比较复杂，在这里介绍一些方法，给同学们一些启示。
首先，要严密审题，一字一句阅读，切勿匆匆看题。
有时疏忽了一字一句，使该讨论的不讨论，即使讨论了也不全面，如题中出现的线段、射线或直线都是有区别的，不能把它们都当作线段去求解，例如：方程(a-1)x2-6x+4=0有实数根，则a的取值范围是多少?对此题，同学们往往认为只要利用△求解一元二次方程，但题中出现方程，应该既要考虑它可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程，不应人为地缩小了a的范围仅当作一元二次方程去求解。
其次，对可能出现的几种情况要全面考虑到，是否还有其他可能情况，争取做到全面、完整、勿缺、勿漏。
2019中考数学专题复习攻略指导
2019中考数学专题复习攻略指导
专题复习攻略指导
复习主要记忆课本中的公式，定义，要熟练，做到张口就来。
要多做习题，目的是要从习题中掌握学习的技术和巧门，不同的题有不同的方法，用不同的技巧，由其是函数中的动点题是现在出题的热点要多做，但不要做太难的题，以会为主。
的学习重点是函数(包括一次函数，正比例函数，反比例函数，二次函数)，重点是意义和性质;三角形(包括基本性质，相似，全等，旋转，平移，对称等);四边形(包括平行四边形，梯形，棱形，长方形，正方形，多边形)的性质，定义，面积。
对于模拟考130分以上的同学，做题要立足一个“透”字。
要以题代知识，每一题不要蜻蜓点水式过一下，要会举一反三，一题多解，一解多题。
要掌握的是题目的知识点和几何背景。
要留下自我纠错和消化的时间，做好自我整理，并有跟踪练习，确保下次遇到类似题型绝不再错。
学数学的目的是为了用数学，近年来各地中考涌现出了大量的形式活跃、趣味有益、启迪智慧的好题目，各位同学应在老师的指导下，对这些热点题型认真复习，专项突破。
重视数学思想方法，是培养自己分析问题和解决问题的能力的重要措施。
由此我们建议，在初三第二轮的复习中能否以思想方法为主线，通过专题讲座的形式，概括数学思想方法，将知识点融会贯通起来。
在复习中，从数学思想方法的高度，概括、总结、揭示了一类问题的解题规律，从而提高了解题能力，提高了自身的思维品质，使我们不仅会梳理知识，更会用数学思想方法进行反思，培养能在千变万化的问题情景中，善于握着数学思想方法这把金钥匙，灵活运用知识，发展思维。
中考数学复习方法技巧九大专题：中考数学复习方法技巧专题二：分类讨论思想解析
方法技巧专题二 分类讨论思想解析在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．当数学问题中的某一条件模糊而不确定时，需要对这一条件进行分类讨论，然后逐一解决．常见的分类讨论有概念的分类、解题方法的分类和图形位置关系的分类等．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．1：分式方程无解的分类讨论问题【例题】（2017贵州）分式方程=1﹣的根为（ ）A．﹣1或3B．﹣1C．3D．1或﹣3【考点】B3：解分式方程．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x，解得：x=﹣1或x=3，经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3，故选C【同步训练】（2017山东聊城）如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为（ ）A．﹣2B．2C．4D．﹣4【考点】B5：分式方程的增根．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2=0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．【解答】解：﹣=1，去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：m+2x=x﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2，当x=2时，m+4=2﹣2，m=﹣4，故选D．2：“一元二次”方程系数或者函数最高次项系数的分类讨论问题【例题】（2017宁夏）关于x的方程（a﹣1）x2+3x﹣2=0有实数根，则a的取值范围是（ ）A． B． C．且a≠1 D．且a≠1【分析】根据方程的形式可以看出最高次是2次，当a﹣1≠0时，定义和判别式的意义得到a≠1且△=32﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．当a=1时，则方程为一次方程，故有a=1。
2021年中考中的数学思想方法---分类讨论思想(方法指导及例题解析)
中考中的数学思想方法----分类讨论思想一、概述：当我们面对一大堆杂乱的人民币时;我们一般会先分10元;5元;2元;1元;5角;…… 等不同面值把人民币整理成一叠叠的;再分别数出各叠钱数;最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。
这样做;比随意一张张地数的方法要快且准确的多;因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。
在数学中;分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点;把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想;正确应用分类思想;是完整解题的基础。
而在中考中;分类讨论思想也贯穿其中;几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题;命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度;很多压轴题也都涉及分类讨论;由此可见分类思想的重要性;下面精选了几道有代表性的试题予以说明。
二、例题导解：1、（上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时;斜边长为10;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 10 =5②当6是这个三角形的直角边;8是斜边时;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 8=42、（北京市中考题）在△ABC 中;∠B ＝25°;AD 是BC 边上的高;并且AD BD DC 2·;则∠BCA 的度数为____________。
解：①如图1;当△ABC 是锐角三角形时; ∠BCA=90°-25°=65°①如图2;当△ABC 是钝角三角形时; ∠BCA=90°+25°=115°图1 图2这是一道比较基础却很典型的分类 讨论题;关键是要注意题设中的“两条边长”。
这是一道非常容易出错的题目;很多同学由于看惯了图1所示的图形而漏解;一些难度并不很大的题目频频十分很多时候就是由于缺乏分类思想。
3、（济南市中考题）如图1;已知Rt ABC △中;30CAB ∠=;5BC =．过点A 作AE AB ⊥;且15AE =;连接BE 交AC 于点P ． （1）求PA 的长：（2）以点A 为圆心;AP 为半径作⊙A;试判断BE 与⊙A 是否相切;并说明理由：（3）如图2;过点C 作CD AE ⊥;垂足为D ．以点A 为圆心;r 为半径作⊙A ：以点C 为圆心;R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的;并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相切．．;且使D 点在⊙A 的内部;B 点在⊙A 的外部;求r 和R 的变化范围．（1）在Rt ABC △中;305CAB BC ∠==，;210AC BC ∴==．AE BC ∥;APE CPB ∴△∽△． ::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=;3101542PA ⨯==． （2）BE 与⊙A 相切．在Rt ABE △中;AB =15AE =;tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=． 又30PAB ∠=;9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，;BE ∴与⊙A 相切．（3）因为5AD AB ==，所以r的变化范围为5r <<当⊙A 与⊙C 外切时;10R r +=;所以R的变化范围为105R -<<： 当⊙A 与⊙C 内切时;10R r -=;所以R的变化范围为1510R <<+CＤ 图1 图24、（上海市普陀区中考模拟题）直角坐标系中;已知点P （－2;－1）; 点T （t ;0）是x 轴上的一个动点.(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标： (2) 当t 取何值时;△P 'TO 是等腰三角形？ 解：（1）点P 关于原点的对称点P '的坐标为（2;1）. （2）5='P O .（a ）动点T 在原点左侧.当51='=O P O T 时;△TO P '是等腰三角形∴点)0,5(1-T .（b ）动点T 在原点右侧.①当P T O T '=22时;△TO P '是等腰三角形.得：)0,45(2T .② 当O P O T '=3时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,5(3T .③ 当O P P T '='4时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,4(4T .综上所述;符合条件的t 的值为4,5,45,5-. 5、如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过这是济南市的中考数学压轴题;其中第（3）小题涉及圆的位置关系分类讨论;须分内切和外切两种情况加以讨论;只要解题时注意读题;“相切．．”两字是正确解题的关键字。
2019年中考数学复习方法总结
2019年中考数学复习方法总结2019年方法有哪些呢?如何快速提高数学成绩?下面，中考频道小编告诉你，希望能够快速提高你的数学成绩!一、注重考法研究，把握中考动向中考复习前，初三数学组要进行考法研究，研究近几年中考数学命题的走向，研究考纲，研究中考复习策略。
每位数学老师都进行专题发言。
原初三数学老师着重谈中考复习体会及中考后的反思;现初三数学教师着重谈近几年中考命题的走向及中考复习策略;其余数学老师根据中考数学命题的特点，着重谈如何及早把握中考动态，如何在平时的教学中进行数学思想方法的渗透。
中考考法研究的专题研讨会，将对初三老师的复习起到指导作用，对初三老师把握中考动向，纠正复习偏差，产生积极而深刻的影响。
平时考试中，教师可以模拟中考命题，试题来源于课本改编及自编，注重信息的收集和新题型的探索，着重考查学生基本的数学思想和方法。
每次考完后教师与学生都要及时做总结，这样既让教师对中考复习的把握更深，又有利于学生寻找差距，奋力拼争。
二、制定合理的复习计划切实可行的复习计划能让复习有条不紊地进行下去，起到事半功倍的效果。
我们认为，中考的数学复习最好是分四轮进行。
第一轮，摸清内容的脉络，开展基础知识系统复习。
近几年的中考题安排了较大比例(70%以上)的试题来考查“双基”。
全卷的基础知识的覆盖面较广，起点低，许多试题源于课本，在课本中能找到原型，有的是对课本原型进行加工、组合、延伸和拓展。
复习中要紧扣教材，夯实基础，同时关注新教材中的新知识，对课本知识进行系统梳理，形成知识网络，同时对典型问题进行变式训练，达到举一反三、触类旁通的目的，做到以不变应万变，提高应能力。
近几年的中考题告诉我们学好课本的重要性。
在复习时必须深钻教材，在做题中应注意解题方法的归纳和整理，做到举一反三，有些中考题就在书上的例题和习题的基础上延伸、拓展，因此，教师要引导学生重视基础知识的理解和方法的学习。
基础知识就是初中所涉及的概念、公式、公理、定理等，掌握基础知识之间的联系，要做到理清知识结构，形成整体知识，并能综合运用。
中考数学复习需要掌握的技巧
2019年中考数学复习需要掌握的技巧一、重视构建知识网络——宏观把握数学框架要学会构建知识网络，数学概念是构建知识网络的出发点，也是数学中考考查的重点。
因此，我们要掌握好代数中的数、式、不等式、方程、函数、三角比、统计和几何中的平行线、三角形、四边形、圆的概念、分类、定义、性质和判定，并会应用这些概念去解决一些问题。
二、重视夯实数学双基——微观掌握知识技能在复习过程中夯实数学基础，要注意知识的不断深化，注意知识之间的内在联系和关系，将新知识及时纳入已有知识体系，逐步形成和扩充知识结构系统，这样在解题时，就能由题目所提供的信息，从记忆系统中检索出有关信息，选出最佳组合信息，寻找解题途径、优化解题过程。
三、重视强化题组训练——感悟数学思想方法除了做基础训练题、平面几何每日一题外，还可以做一些综合题，并且养成解题后反思的习惯。
反思自己的思维过程，反思知识点和解题技巧，反思多种解法的优劣，反思各种方法的纵横联系。
而总结出它所用到的数学思想方法，并把思想方法相近的题目编成一组，不断提炼、不断深化，做到举一反三、触类旁通。
逐步学会观察、试验、分析、猜想、归纳、类比、联想等思想方法，主动地发现问题和提出问题。
四、重视建立“病例档案”——做到万无一失准备一本数学学习“病例卡”，把平时犯的错误记下来，找出“病因”开出“处方”，并且经常地拿出来看看、想想错在哪里，为什么会错，怎么改正，这样到中考时你的数学就没有什么“病例”了。
我们要在教师的指导下做一定数量的数学习题，积累解题经验、总结解题思路、形成解题思想、催生解题灵感、掌握学习方法。
五、重视常用公式技巧——做到思维敏捷准确对经常使用的数学公式要理解来龙去脉，要进一步了解其推理过程，并对推导过程中产生的一些可能变化自行探究。
对今后继续学习所必须的知识和技能，对生活实际经常用到的常识，也要进行必要的训练。
例如：1-20的平方数；简单的勾股数；正三角形的面积公式以及高和边长的关系；30°、45°直角三角形三边的关系……这样做，一定能更好地掌握公式并胜过做大量习题，而且往往会有意想不到的效果。
分类讨论型问题-中考数学总复习讲义练习
第36讲 分类讨论型问题(建议该讲放第21讲后教学)类型一 由计算化简时，运用法则、定理和原理的限制引起的讨论例1(2016·南通模拟)矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为()A．3cm2B．4cm2C．12cm2D．4cm2或12cm2【解后感悟】解此题的关键是求出AB＝AE，注意AE＝1或3不确定，要进行分类讨论．1．(1)若关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为____________________．(2)已知平面上有⊙O及一点P，点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm.(3)若|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a＋b＝()A．5或－1 B．－5或1 C．5或1 D．－5或－1类型二在一个动态变化过程中，出现不同情况引起的讨论例2为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.根据这个购房方案：(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；(2)设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；(3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60时，求m的取值范围．【解后感悟】本题是房款＝房屋单价×购房面积在实际生活中的运用，由于单价随人均面积而变化，所以用分段函数的解析式来描述．同时建立不等式组求解，解答本题时求出函数解析式是关键．2．(1)在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋2与反比例函数y ＝1x 的图象有唯一公共点，若直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝1x的图象有2个公共点，则b 的取值范围是( )A ．b>2B ．－2<b<2C ．b>2或b<－2D ．b<－2 (2)如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t(秒)，下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是( )3．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴相交于点A ，B(点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A ，C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．类型三 由三角形的形状、关系不确定性引起的讨论例3 (2017·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx(k ＞0)分别交反比例函数y ＝1x 和y ＝9x 在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，交y ＝1x 的图象于点C ，连结AC.若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是________．【解后感悟】解题的关键是用k 表示点A 、B 、C 的坐标，再进行分类讨论．4．(1)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(1，3)，M 为坐标轴上一点，且使得△MOA 为等腰三角形，则满足条件的点M 的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．8(2) (2016·北流模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝6，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使△ABC 和△QPA 全等，则AP ＝ .(3) (2016·临淄模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 边上的动点，N 在CD 上，且CN ＝14CD ，若AB ＝1，设BM ＝x ，当x ＝ 时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．类型四由特殊四边形的形状不确定性引起的讨论例4(2017·鄂州模拟)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8cm，AD＝16cm，BC＝22cm，∠ABC＝90°，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C 同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．(1)当t为何值时，四边形ABQP成为矩形？(2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？(3)四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．【解后感悟】解本题的关键是用方程(组)的思想解决问题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意分类讨论及数形结合．5．(1)(2016·盐城模拟)在平面直角坐标系中有三点A(1，1)，B(1，3)，C(3，2)，在直角坐标系中再找一个点D，使这四个点构成平行四边形，则D点坐标为.(2)(2016·江阴模拟)如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t(s)，当t＝s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．(3) (2016·金华模拟)如图，B(6，4)在函数y ＝12x ＋1的图象上，A(5，2)，点C 在x 轴上，点D 在函数y ＝12x ＋1上，以A 、B 、C 、D 四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的D 点的坐标 .(4)(2016·萧山模拟)已知在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 、D 的坐标依次为(－1，0)，(m ，n)，(－1，10)，(－7，p)，且p ≤n.若以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是菱形，则n 的值是 .类型五 由直线与圆的位置关系不确定性引起的讨论例5 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP ＝10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q.A 、B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm /s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm /s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t(s )．(1)求PQ 的长；(2)当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？【解后感悟】本题是直线与圆的位置关系应用，题目设置具有创新性．解决本题的关键是抓住直线与圆的两种情况位置关系，及其对应数量关系进行分析．6．(2016·泗洪模拟)如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12x 2－1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 .【压轴把关题】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(－3，0)，(0，6)，动点P从点O 出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE＝AO，设点P运动的时间为t秒．(1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；(2)当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；(3)在线段PE上取点F，使PF＝1，过点F作MN⊥PE，截取FM＝2，FN＝1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，设▱PCOD的面积为S.①当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC内部(不包括边界)时，直接写出S的取值范围．【方法与对策】本题是四边形的综合题，对于第(3)题解题的关键是正确分几种不同情况求解．①当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解；当点C在BO的延长线上时，第一种情况，当点M在DE边上时，由EMF∽△EDP求解，第二种情况，当点N 在CE 边上时，由△EFN ∽△EOC 求解；②当1≤t ＜94时和当92＜t ≤5时，分别求出S 的取值范围．这种双动点型、分类讨论问题是中考命题常用的策略．【分类讨论应不重复、不遗漏】在△ABC 中，P 是AB 上的动点(P 异于A ，B)，过点P 的一条直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线．如图，∠A ＝36°，AB ＝AC ，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的△ABC 的相似线最多有________条．参考答案第36讲 分类讨论型问题【例题精析】例1 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∴AB ＝AE ，①当AE ＝1cm 时，AB ＝1cm ＝CD ，AD ＝1cm ＋3cm ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是1cm ×4cm ＝4cm 2；②当AE ＝3cm 时，AB ＝3cm ＝CD ，AD ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是：3cm ×4cm ＝12cm 2；故选D .例2 (1)由题意，得三口之家应缴购房款为：0.3×90＋0.5×30＝42(万元)； (2)由题意，得①当0≤x ≤30时，y ＝0.3×3x ＝0.9x ；②当30＜x ≤m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3×(x －30)＝1.5x －18；③当x ＞m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3(m －30)＋0.7×3×(x －m)＝2.1x －18－0.6m.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.9x （0≤x ≤30）1.5x －18（30<x ≤m ）2.1x －18－0.6m （x>m ）(45≤m ≤60)． (3)由题意，得①当50≤m ≤60时，y ＝1.5×50－18＝57(舍)．②当45≤m ＜50时，y ＝2.1×50－0.6m －18＝87－0.6m.∵57＜y ≤60，∴57＜87－0.6m ≤60，∴45≤m ＜50.综合①②得45≤m ＜50.例3 ∵点B 是y ＝kx 和y ＝9x 的交点，y ＝kx ＝9x ，解得：x ＝3k ，y ＝3k ，∴点B 坐标为⎝⎛⎭⎫3k ，3k ，点A 是y ＝kx 和y ＝1x 的交点，y ＝kx ＝1x ，解得：x ＝1k ，y ＝k ，∴点A坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，k ，∵BD ⊥x 轴，∴点C 横坐标为3k，纵坐标为13k＝k3，∴点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ，k 3，∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①AB ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋（3k －k ）2＝3k －k 3，解得：k ＝377；②AC ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋⎝⎛⎭⎫k 3－k 2＝3k －k 3，解得：k ＝155；故答案为k ＝377或155.例4 (1)∵∠ABC ＝90°，AP ∥BQ ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，由运动知，AP ＝t ，CQ ＝3t ，∴BQ ＝22－3t ，∴t ＝22－3t ，解得t ＝112.∴当t ＝112时，四边形ABQP成为矩形； (2)当P 、Q 两点与A 、B 两点构成的四边形是平行四边形时，就是(1)中的情形，此时t ＝112.当P 、Q 两点与C 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，∵PD ∥QC ，∴当PD＝QC 时，四边形PQCD 为平行四边形．此时，16－t ＝3t ，t ＝4；当P 、Q 两点与B 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，16－t ＝22－3t ，t ＝3；当P 、Q 两点与A 、C 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，t ＝3t ，t ＝0，不符合题意；故当t ＝112或t ＝4或t ＝3时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． （3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：∵PD ∥BQ ，∴当PD ＝BQ ＝BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．由PD ＝BQ ，得16－t ＝22－3t ，解得t ＝3，当t ＝3时，PD ＝BQ ＝13，AP ＝AD －PD ＝16－13＝3.在Rt △ABP 中，AB ＝8，根据勾股定理得，BP ＝AB 2＋AP 2＝64＋9＝73≠13，∴四边形PBQD 不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为v cm /s 时，能够使四边形PBQD 在时刻t s 为菱形，由题意得，⎩⎨⎧16－t ＝22－vt ，16－t ＝64＋t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝6，v ＝2.故点Q 的速度为2cm /s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．例5 (1)连结OQ ，∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ ⊥PN ，即∠OQP ＝90°.∵OP ＝10，OQ ＝6，∴PQ ＝102－62＝8(cm )． (2)过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C.∵点A 的运动速度为5cm /s ，点B 的运动速度为4cm /s ，运动时间为t s ，∴PA ＝5t ，PB ＝4t.∵PO ＝10，PQ ＝8，∴PA PO ＝PB PQ ＝t2.∵∠P ＝∠P ，∴△PAB ∽△POQ ，∴∠PBA ＝∠PQO ＝90°.∵∠BQO ＝∠CBQ ＝∠OCB ＝90°，∴四边形OCBQ 为矩形，∴BQ ＝OC.∵⊙O 的半径为6，∴BQ ＝OC ＝6时，直线AB 与⊙O 相切．①当AB 运动到如图1所示的位置时，BQ ＝PQ －PB ＝8－4t ，由BQ ＝6，得8－4t ＝6，t ＝0.5.②当AB 运动到如图2所示的位置时，BQ ＝PB －PQ ＝4t －8，由BQ ＝6，得4t －8＝6，t ＝3.5.综上，当t ＝0.5s 或3.5s 时，直线AB 与⊙O 相切．【变式拓展】1．(1)0或－1 (2)4或2 (3)C 2.(1)C (2)D3．根据OC 长为8可得一次函数中的n 的值为8或－8.分类讨论：①n ＝8时，易得A(－6，0)，如图1，∵抛物线经过点A 、C ，且与x 轴交点A 、B 在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a ＜0，∵AB ＝16，且A(－6，0)，∴B(10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝－6＋102＝2，要使y 1随着x 的增大而减小，∵a ＜0，∴x ≥2；②n ＝－8时，易得A(6，0)，如图2，∵抛物线过A 、C 两点，且与x 轴交点A ，B 在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a ＞0，∵AB ＝16，且A(6，0)，∴B(－10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝6－102＝－2，要使y 1随着x 的增大而减小，且a ＞0，∴x ≤－2.4．(1)C (2)6或12 (3)12或455.(1)(3，0)或(－1，2)或(3，4) (2)2或6 (3)(2，2)或(－6，－2)或(10，6) (4)2，5，186.(6，2)或(－6，2)【热点题型】【分析与解】(1)∵OB ＝6，C 是OB 的中点，∴BC ＝12OB ＝3.∴2t ＝3，即t ＝32s .∴OE ＝32＋3＝92，E(92，0)． (2)如图1，连结CD 交OP 于点G ，在▱PCOD 中，CG ＝DG ，OG ＝PG ，∵AO ＝PE ，∴AG ＝EG .∴四边形ADEC 是平行四边形． (3)①(Ⅰ)当点C 在线段BO 上时，第一种情况：如图2，当点M 在CE 边上时，∵MF ∥OC ，∴△EMF ∽△ECO.∴MF CO ＝EF EO ，即26－2t ＝23＋t，解得t ＝1.第二种情况：如图3，当点N 在DE 边时，∵NF ∥PD ，∴△EFN ∽△EPD.∴FN PD ＝EF EP 即16－2t ＝23，解得t ＝94.(Ⅱ)当点C 在BO 的延长线上时，第一种情况：如图4，当点M 在DE 边上时，∵MF ∥PD ，∴EMF ∽△EDP.∴MF DP ＝EF EP 即22t －6＝23，解得t ＝92.第二种情况：如图5，当点N 在CE 边上时，∵NF ∥OC ，∴△EFN ∽△EOC.∴FN OC ＝EF EO 即12t －6＝23＋t ，解得t ＝5.综上所述，所有满足条件的t 的值为1，94，92，5.②278＜S ≤92或272＜S ≤20.【错误警示】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连结PC，∵∠A＝36°，AB＝AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB ＝72°，∴∠ACP＝∠PAC＝36°，∴∠PCB＝36°，∴∠B＝∠B，∠PCB＝∠A，∴△CPB ∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3.。
中考数学复习方法分享
中考数学复习方法分享中考数学复习方法分享一、制定合理的复习计划切实可行的复习计划能让复习有条不紊地进行下去，避免复习时的随意性和盲目性。
第一轮：基础知识系统复习。
1、在这里我们要求学生过“三关”，第一关“记忆关”必须做到记牢记准所有的公式、定理等，没有准确无误的记忆，就不可能有好的结果；第二关过基本方法关，如：待定系数法求二次函数基础知识；在这一阶段的教学把书中的内容进行归纳整理、组块，使之形成结构。
第二轮：专题复习第二轮专题复习的.主要目的是为了将第一轮复习知识点、线结合，交织成知识网，注重与现实的联系，以达到能力的培养和提高。
“专题复习”我们按照中考题型分为“填空、选择专题”、“规律性专题”、“探索性专题”、“阅读材料专题”、“开放性专题”等。
在进行这些专题复习时，我们根据历年中考试卷命题的特点，精心选择一些新颖的、有代表性的题型进行专题训练，就中考的特点我们从以下几个方面收集一些资料，进行专项训练：①实际应用型问题；②突出科技发展、信息资源的转化的图表信息题；③体现自学能力考查的阅读理解题；④考查学生应变能力的图形变化题、开放性试题；⑤考查学生思维能力、创新意识的归纳猜想、操作探究性试题；⑥几何代数综合型试题等。
第二阶段：重视“专题训练”，熟悉“真题”第二阶段的复习，从真题入手，对近年来本地区的中考数学真题进行分类，分析、比较、熟悉命题思路，明确重点及难点的内容。
每年的真题在形式和知识背景上面千变万化，但是其运用数学的思想方法还是相通，熟悉解这类题目的技巧，弄清楚它们的关系，归纳出它们的“通法”，而不必花大量的时间研究特殊的解题方法，钻难题、怪题。
在复习时，可以通过分专题训练的方式进行练习，做到举一反三，遇到不懂得专题要进行不断的强化训练、归纳和总结。
第三阶段：强化模拟训练。
2020年九年级数学中考复习——常用数学思想方法之【分类讨论思想】
2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情 况等.
3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这 种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想 方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决 问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
e
故答案为：5；
m
1 2
m s；
11. 24或 6 或 8
解：已知三角形的周长为 3 e 4 e m 12， 设另一个与它相似的三角形的周长为 x，
2 与 3 是对应边时， 两三角形相似，
m 2，
12 3
解得 m h； 与 4 是对应边时，
两三角形相似，
12
m
2，
4
解得 m ；
2 与 5 是对应边时，
A. 34
B. 30
C. 30 或 34
D. 30 或 36
【解】： 当 m 4 时， t h， 、b 是关于 x 的一元二次方程 2
4 e m 12， m h 不符合；
同理， m 4 时，不符合题意； 当 m 时， 、b 是关于 x 的一元二次方程 2
12 e s e 2 m 0 的两根， 12 e s e 2 m 0 的两根，
m
1 2
e 3 与坐标轴分别交于点 A、B，与直线
m
交于点 C，
线段 OA 上的点 Q 以每秒 1 个长度单位的速度从点 O 出发向点 A 作匀速运动，运动时
中考数学第二轮专题复习(解题思想方法)
值；若变化，说明变化规律。
y
C
E
y
C
E
G AO M
P
G
B
X
AO F
M
B
X
D
D
例5、已知⊙O过点D（4、3），点H与点D关于y轴对称，过H作 ⊙O的切线交y轴于点A（如图（1））
（1）求⊙O的半径；
（2）sin∠HAO的值；
（3）如图（2），设⊙O与y轴正半轴交于点为P，点E，F是线 段OP上的动点（与点P不重合），连结并延长DE、DF交⊙O于 点B、C、直线BC交y轴于点G，若△DEF是以EF为底的等腰三 角形，试探求sin∠CGO的大小怎样变化？请说明理由。
方程（组）模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型， 它可以通过数量关系准确、清晰地揭示问题的本质，认识现实生 活中的数学现象。
例2、某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购一个书包，赠 送1支水性笔；②购书包和水性笔一律9折优惠，书包每个定价20元， 水性笔每支定价5元。小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不 少于4支）
s
解： （1）①过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，则 ∠HPN=900，∵OM是∠AOB的平分线∴PH=PN，
又∵∠CPD=900，∴∠CPH=∠DPN
∴Rt△PCH≌Rt△PDN, ∴PC=PD
②∵PC=PD，∠CPD=900，∴∠PDG=450，而∠POD=450，
∠GPD=∠DPO，∴△POD∽△PDG，
例4、如图，在平面直角坐标系xoy中，点M在 x轴的正半轴上， ⊙M交x轴于A，B两点，交 y 轴与C，D两点，且C为弧AE的中点， AE交y轴于G点，若点A的坐标为（-2，0），AE=8。
初中数学中考数学中考复习分类讨论法(图文详解)
解：对于任何时刻t，AP=2t,DQ=t, QA=6－ｔ，当ＱＡ=AP时， △QAP为等腰直 角三角形， 即6－t=2t, 解得t=2（秒） A P B D Q C
初中数学中考数学
三.与相似三角形有关的分类
9.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以 2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、 Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0＜x＜6）那么：
C
B
O Q P
A
初中数学中考数学
3. 如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C在O上， 且∠AOC=300，点P是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线 PC与圆O相交于点Q，问点P在直线AB的什么位置时，QP=QO？这 样的点P有几个？并相应地求出∠OCP的度数。
C B O Q A
C
初中数学中考数学
10。已知二次函数ｙ＝２ｘ２－２的图像与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点（点 Ａ在点Ｂ的左边），与ｙ轴交于点Ｃ,直线ｘ＝ｍ（ｍ＞ １）与ｘ轴 交于点Ｄ。 （１）求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标； （２）在直线ｘ＝ｍ（ｍ ＞ １）上有一点Ｐ（点Ｐ在第一象限）， 使得以Ｐ、Ｄ、Ｂ为顶点的三角形与以Ｂ、Ｃ、Ｏ为顶点的三角形相 似，求点Ｐ的坐标。 ｙ
B
初中数学中考数学
解：对于任何时刻t，AP=2t,DQ=t, QA=6－ｔ，当ＱＡ=AP时，△QAP为等腰直 角三角形，即6－t=2t,解得t=2（秒） （2）在△QAC中，S= 1 QA· DC=1（ 6－t)· 12=36－６ｔ 2 2 在△APC中，S= 1 AP· BC=1·２ｔ· ６＝６ｔ D 2 2 QAPC的面积S=（３６－6t)+6t=36(cm2) Q 由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中， 四边形QAPC的面积始终保持不变。 P （3）根据题意，可分为两种情况来研究 QA AP 6 t 2t 在矩形ABCD中：①当 AB =BC 时，△QAP∽△ABC，则12 = 6 ， 6 解得t= 5 =1.2秒。所以当t=1.2秒时，△QAP∽△ABC。 QA AP 6 t 2t ②当 = AB 时，△PAQ∽△ABC，则 6 = 12 ， BC 解得t=3（秒）。所以当t=3秒时，△PAQ∽△ABC。 A B
九年级数学中考二轮专题思想方法复习——分类讨论思想
2021年九年级数学中考二轮专题思想方法复习——分类讨论思想一、分类思想：是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。
分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。
分类必须有一定的标准，标准不同分类的结果也就不同。
分类要做到不遗漏，不重复。
分类后，对每个类进行研究，使问题在各种不同的情况下，分别得到各种结论，这就是讨论。
分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通。
二、引起分类讨论的原因主要有：1．涉及的数学概念是分类进行的2．涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的3．解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论4．某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等三、分类讨论的步骤：第一，确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围；第二，正确选择分类标准，合理分类；第三，逐类、逐段分类讨论；第四，归纳并做出结论。
四、主要分类有：1.数与代数中的分类2.几何中图形位置关系不确定的分类。
3.动点引起的分类（一）.数与代数中的分类1.概念中的分类例.1.|m-n| =n-m,且|m| =4,|n| =3,则(m+n)²=（）解∵|m| =4,|n| =3,所以 m=±4,n=±3,又∵|m-n| =n-m,所以 n-m ≥0,n ≥m. 当 n=3时,m 可能取的值为-4, (m+n)²＝1; 当 n=-3 时,m 可能取值为-4,则(m+n)²＝49, 所以(m+n)²的值是 49 或 1.小结：绝对值概念是一个需要分类讨论的概念,只有通过分类讨论后,得到的结论才是完整的,正确的,如不分类讨论,就很容易出现错误.练习．（1）已知||3,||2,0,x y xy x y ==<+=且则______（2）已知a ，b 为有理数，且ab>0，则 的值为( )2..(2009 年钦州)当 b ≠0 时,比较1+b 与1 的大小; 解∵b ≠0 时, ∴ b>0 或 b<0. 当 b>0 时,1+b>1; 当 b<0 时,1+b<1.小结：用分类讨论可以判断大小。
2019-2020年中考数学二轮复习-分类讨论(附答案)
2019-2020年中考数学二轮复习-分类讨论（附答案）Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（南充，11分）如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）． 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ． 点A ，B 在一次函数图象上， ∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k则一次函数解析式是 .121--=x y点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）． 设反比例函数解析式为my x=． 点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4．故反比例函数解析式是：xy 4-=．点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。
【例2】（武汉实验，12分）如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。
以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D. （1）求直线l 的解析式；（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度； （3）将⊙O 2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x 轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。
2019-2020年中考数学复习方法指导
2019-2020年中考数学复习方法指导初三数学复习的主要目标是让学生全面掌握初中数学基础知识，提高基本技能，做到全面、扎实、系统地掌握初中阶段所学内容，形成知识网络.要想达到这一目标，就要求教师必须明确方向，突出重点，对中考“考什么”、“怎样考”应了如指掌；要对《课标》、《考试说明》等深入研究，清晰明了的知道中考的重点是什么，难点是什么，只有这样，教师才能正确的调整自己的复习内容，让学生把时间用在正确的地方.通过研究不难发现苏州的中考命题既体现素质教育的要求，强调与学生生活实际的联系，既重视对学生运用所学知识和技能分析问题、解决问题的能力的考查，有助于学生创造性的发挥，又重视对基础知识的考察，因而考题中有足量的基础题，全卷的难度控制在0.7左右.在xx中考题中，除第10、18、26(2)、27、28、29题外，其余题目共计92分左右均为基础题；在xx中考题中，除第10、18、25(2)、26(2)、27、28(2)(3)、29题外，其余题目共计91分左右均为基础题；在xx中考题中，除了第10、18、24(2)、27、28、29外，其余题目共计93分左右均为基础题，基础题都占总分数的70%左右.所以，在第一轮复习时，重点是复习巩固以前所学的基础知识.下面我就结合苏州市近几年的中考题，谈谈如何进行第一轮复习.一、以教材为蓝本，梳理整个知识点，过好基础知识关在一轮复习时必须以课本及能力自测为主，把书中的内容进行归纳整理，使之形成体系；让学生搞清课本上的每一个概念、公式、定理，抓住基本题型，记住常用公式，理解来龙去脉.对常用公式及典型例题和习题一定要重点复习，并对不放心的学生逐个过关.如：例1(xx•苏州•6)如图10-1，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC=4，则四边形CODE的周长是( )A.4B.6C.8D.10图10-1【说明】此题源自课本八年级下册第84页习题第9题.例2 (xx•南京•27)【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，∠B =∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.【深入探究】第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF .(1)如图10-2①，在△ABC 和△DEF ，AC=DF ，BC=EF ，∠B =∠E =90°，根据 HL ，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF .第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF .(2)如图10-2②，在△ABC 和△DEF ，AC=DF ，BC=EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角，求证：△ABC ≌△DEF .第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等.(3)在△ABC 和△DEF ，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等.(不写作法，保留作图痕迹)(4)∠B 还要满足什么条件，就可以使△ABC ≌△DEF ？请直接写出结论：在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，若 ∠B≥∠A ，则△ABC ≌△DE F .【说明】此题源自课本八年级上册第33页数学活动“关于三角形全等的条件”.【分析】(1)根据直角三角形全等的方法“HL ”证明；(2)过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于G ，过点F 作DH ⊥DE 交DE 的延长线于H ，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH ，再利用“角角边”证明△CBG 和△FEH 全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH ，再利用“HL ”证明Rt △ACG 和Rt △DFH 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D ，然后利用“角角边”证明△ABC 和△D EF 全等；(3)以点C 为圆心，以AC 长为半径画弧，与AB 相交于点D ，E 与B 重合，F 与C 重合，得到△DEF 与△ABC 不全等；(4)根据三种情况结论，∠B 不小于∠A 即可.图10-2【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细.由此，初三第一轮复习时一定要紧扣课本、用好课本上的例题、练习及数学活动.二、全面复习，提升重点，抓住必考题，尽量少失分，争取不失分，过好质量关初中数学分为数与代数、空间与图形、统计与概率三大部分，共176小项.所以我们在中考复习的时候要实行“全面”和“重点”结合的策略，其中“全面”是根据中考全面性原则，要把初中所有的知识点都要复习；“重点”是指在复习的过程中要有侧重的复习，因为在176项知识点中，在中考中不可能全部都列为考点，所以，我们对于其中不太重要的部分可以简单复习，而对于重要的部分则要详细复习.纵观 xx 年至xx 年的中考，有一些知识无论从题型还是难度看，基本不变.此类题目，第一轮复习时，不宜挖深，要保证一定量的练习，训练要到位，保证每人都会做且做对.如：有理数的概念、概率、求自变量的取值范围、有理数的计算、解不等式(组)、解分式方程、简单的几何计算或证明．例1 (xx•苏州•4)若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( )A .x ≤−4B .x ≥−4C .x ≤4D .x ≥4例2 (xx•苏州•5)如图10-3，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是( )A .B .C .D .【点评】 本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n ，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m ，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率为.例3 (xx•苏州•11) 的倒数是 .例4 (xx•苏州•12)已知地球的表面积约为510 000 000km 2，数510 000 000用科学记数法可表示为 .例5 (xx•苏州•19)计算：22+|−1|−.例6 (xx•苏州•20)解不等式组：.图10-3例7 (xx•苏州•21)先化简，再求值：，其中.例8 (xx•苏州•22)解分式方程：.例9 (xx•苏州•23)如图10-4，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 、F 分别在AB 、AC 上，CF=CB ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF .(1)求证：△BCD ≌△FCE ；(2)若EF ∥CD ，求∠BDC 的度数.这些题目一共39分，假如这些题目学生都能做对的话，我相信中考的平均分一定会有大幅度提高.三、强调数学思想方法，淡化解题技巧，过好数学思想方法关中考数学命题除了着重考查基础知识外，还十分重视对数学思想方法的考查，并且我们每位老师都很清楚，紧靠最后的一两个月去强调思想和方法，是远远不够的，而且很容易让学生所学的知识发生错乱，因此在第一轮复习时就一定要将基本思想方法都要复习透，以便所有的学生都能掌握.数学中常用的基本方法有：配方法、换元法、待定系数法、公式法、因式分解法割补法等；基本思想有：函数思想、方程思想、数形结合的思想、分类讨论思想、化归思想等，这些思想方法在中考试中常有体现.如：例1 (苏州•xx•16)某地准备对一段长120m 的河道进行清淤疏通.若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天.设甲工程队平均每天疏通河道xm ，乙工程队平均每天疏通河道y m ，则x +y 的值为 .【分析】本题主要是通过工程问题的数量关系列二元一次方程组解决实际问题，这一个知识点是初中学生必须要掌握的.其具体的做法为：设甲工程队平均每天疏通河道x m ，乙工程队平均每天疏通河道y m ，就有4x +9y =120，8x +3y =120，然后用整体思想，两式相加直接求出x +y 即可.【说明】本题运用了列二元一次方程组解决实际问题，二元一次方程组的解法，工程问题的数量关系，解答时由工程问题的数量关系建立方程组求出其解是关键.同时本题还用到了方程思想和整体思想.图10-4例2 (苏州•xx•22)解方程：.【分析】将看成整体，换为t ，则原方程可化为t 2−t −2=0，解得t 的值为2或−1，从而解得，再检验即可.【说明】本题考查了一元二次方程的解法、分式方程的解法及注意点，同时用到了换元法、因式分解法和整体思想.例3 (xx•无锡•28)如图10-5-1，已知点A (2，0)，B (0，4)，∠AOB 的平分线交AB 于C ，一动点P 从O 点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y 轴向点B 作匀速运动，过点P 且平行于AB 的直线交x 轴于Q ，作P 、Q 关于直线OC 的对称点M 、N .设P 运动的时间为t (0＜t ＜2)秒.(1)求C 点的坐标，并直接写出点M 、N 的坐标(用含t 的代数式表示)；(2)设△MNC 与△OAB 重叠部分的面积为S .①试求S 关于t 的函数关系式；②在图10-5-2的直角坐标系中，画出S 关于t 的函数图象，并回答：S 是否有最大值？若有，写出S 的最大值；若没有，请说明理由.【说明】 本题是运动型综合题，涉及轴对称、正方形的性质与判定、相似的性质与判定、求一次函数的交点、二次函数的图像与性质、图形面积计算、动点问题函数图象等知识点，综合性较强，有一定难度，运用待定系数法、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想解题是解决本题的关键.四、充分利用中考命题的导向性，挖掘题目之间的内在联系，提高复习的效率中考命题对初中学生学习数学具有鲜明的导向性.因此，认真研究中考命题有利于全面落实《课程标准》所设立的课程目标，有利于改善学生的数学学习方式，提高学生数学学习的效率.经研究发现：每年的中考题中都有一部分是由前面考过的题目变化而来的，如果大图10-5-1 图10-5-2家认真研究并应用到复习中，对所做的每一到题都能精讲、精练、精评，相信对提高复习效果一定有很大帮助.如：(一)14年的第18题与12年的第27题例1 (xx•苏州•27)如图10-6，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x (2<x <4).(1)当x =时，求弦P A 、PB 的长度；(2)当x 为何值时PD ·CD 的值最大？最大值是多少？例2 (苏州•xx•18)如图10-7，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点(不与点A 重合)，过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连接P A .设P A =x ，PB =y ，则(x −y )的最大值是 2 .【分析】作直径AC ，连接CP ，得出△APC ∽△PBA ，利用，得出y =x 2.所以x −y =x −x 2=−x 2+x ，当x =4时，x −y 有最大值是2.【说明】 这两题都考查了圆周角定理、切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，同时本题还用到配方法、函数思想、数形结合思想.只是今年考得更灵活些，需要自己添加辅助线才能解决.(二)12年、13年、14年的最后一题例1 (xx•苏州•29)如图10-8-1，已知抛物线y =x 2−(b +1)x +(b 是实数且b >2)与x 轴的正半轴分别交于点A 、B (点A 位于点B 的左侧)，与y 轴的正半轴交于点C .(1)点B 的坐标为 ，点C 的坐标为 (用含b的代数式表示)；(2)请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；E图10-7 图10-8-1(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.【分析】(1)令y =0，即y =x 2−(b +1)x +=0，解关于x 的一元二次方程即可求出A ，B 横坐标，令x =0，求出y 的值即C 的纵坐标；(2)存在，先假设存在这样的点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形.设点P 的坐标为(x ，y )，连接OP ，过P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，利用已知条件证明△PEC ≌△PDB ，进而求出x 和y 的值，从而求出P 的坐标；(3)存在，假设存在这样的点Q ，使得△QCO ，△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似，有条件可知：要使△QOA 与△QAB 相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA ⊥x 轴；要使△QOA 与△OQC 相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°；再分别讨论求出满足题意Q 的坐标即可.例2 (xx•苏州•29)如图10-9-1，已知抛物线y =x 2+bx +c (b ，c 是常数，且c ＜0)与x 轴分别交于点A 、B (点A 位于点B 的左侧)，与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(−1，0).(1)b = +c ，点B 的横坐标为 −2c (上述结果均用含c 的代数式表示)；(2)连接BC ，过点A 作直线AE ∥BC ，与抛物线y =x 2+bx +c交于点E ，点D 是x 轴上的一点，其坐标为(2，0).当C ，D ，E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；(3)在(2)条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB ，PC ，设所得△PBC 的面积为S .①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为整数，则这样的△PBC 共有 个.【分析】(1)将A (−1，0)代入y =x 2+bx +c ，可以得出b =+c ；根据一元二次方程根与系数的关系，得出−1•x B =，即x B =−2c ；(2)由y =x 2+bx +c ，求出此抛物线与y 轴的交点C 的坐标为(0，c )，则可设直线BC 的解析式为y =kx +c ，将B 点图10-9-1图10-9-2坐标代入，运用待定系数法求出直线BC 的解析式为y =x +c ；由AE ∥BC ，设直线AE 得到解析式为y =x +m ，将点A 的坐标代入，运用待定系数法求出直线AE 得到解析式为y =x +； 解方程组211,221122y x c x c y x ⎧⎛⎫=+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩， 求出点E 坐标为(1−2c ，1−c )，将点E 坐标代入直线CD 的解析式：y =−x +c ，求出c =−2，进而得到抛物线的解析式为y =x 2−x −2；(3)①分两种情况进行讨论：(Ⅰ)当﹣1＜x ＜0时，由0＜S ＜S △ACB ，易求0＜S ＜5；(Ⅱ)当0＜x ＜4时，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，交CB 于点F .设点P 坐标为(x ，x 2−x −2)，则点F 坐标为(x ，x −2)，PF=PG −GF =−x 2+2x ，S =PF •OB =−x 2+4x =−(x −2)2+4，根据二次函数的性质求出S 最大值=4，即0＜S ≤4.则0＜S ＜5；②由0＜S ＜5，S 为整数，得出S =1，2，3，4.分两种情况进行讨论：(Ⅰ)当−1＜x ＜0时，根据△PBC 中BC 边上的高h 小于△ABC 中BC 边上的高AC =，得出满足条件的△PBC 共有4个；(Ⅱ)当0＜x ＜4时，由于S =−x 2+4x ，根据一元二次方程根的判别式，得出满足条件的△PBC 共有7个；则满足条件的△PBC 共有4+7=11个.例3 (xx•苏州•29)如图10-10-1，二次函数y =a (x 2−2mx −3m 2)(其中a ，m 是常数，且a ＞0，m ＞0)的图象与x 轴分别交于点A 、B (点A 位于点B 的左侧)，与y 轴交于C (0，−3)，点D 在二次函数的图象上，CD ∥AB ，连接AD ，过点A 作射线AE 交二次函数的图象于点E ，AB 平分∠DAE .(1)用含m 的代数式表示a ；(2)求证：为定值； (3)设该二次函数图象的顶点为F ，探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，连接GF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.【分析】(1)由C 在二次函数y =a (x 2﹣2mx ﹣3m 2)上，则其横纵坐标必满足方程，代入即可得到a 与c 的关系式.图10-10-1(2)求证为定值，一般就是计算出AD、AE的值，然后相比.而求其长，过E、D作x轴的垂线段，进而通过设边长，利用直角三角形性质得方程求解，是求解此类问题的常规思路，如此易得定值.(3)要使线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，且(2)中=，则可考虑若GF使得AD：GF：AE=3：4：5即可.由AD、AE、F点都易固定，且G在x轴的负半轴上，则易得G点大致位置，可连接CF并延长，证明上述比例AD：GF：AE=3：4：5即可.【说明】这三题都是含有字母参数的二次函数的综合题，都运用到解含字母系数的方程、用待定系数法求函数解析式、二次函数性质、勾股定理及相似三角形的性质等知识，另外这几题也都用到了待定系数法、因式分解法，数形结合、分类讨论及方程思想.只是xx年的这道题更难更灵活一些，且问题之间的提示性较明显.当然，象这样的题目还有很多，如14年的第9题与13年的第25题等等，因此我们老师必须认真专研试卷，研究试题的变与不变，并且在评讲题目时一定要评讲到位，尽可能让绝大多数的学生弄懂，并尽量做到举一反三，通过一道题掌握一类题，从而以不变应万变.总之，初三数学第一轮复习，要力争让学生全面掌握初中数学的核心知识、基本思想、基本方法、基本技能，从而形成全面、扎实、系统的知识网络，提高学生的综合能力.。
2019年浙江中考数学复习方法技巧专题二：分类讨论思想训练
方法技巧专题二分类讨论思想训练当数学问题中的某一条件模糊而不确定时，需要对这一条件进行分类讨论，然后逐一解决．常见的分类讨论有概念的分类、解题方法的分类和图形位置关系的分类等．一、选择题1．⊙O中，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为( ) A．50° B．80°或50°C．130° D．50°或130°2．[2019·荆门] 已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为( )A．7 B．10C．11 D．10或113．[2019·聊城] 如图F2－1是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连结PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是( )图F2－1A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题4．[2019·西宁] 若点A(m，n)在直线y＝kx(k≠0)上，当－1≤m≤1时，－1≤n≤1，则这条直线的函数解析式为________．5．[2019·西宁] ⊙O的半径为1，弦AB＝2，弦AC＝3，则∠BAC的度数为________．6．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为________．图F2－27．[2019·江西]如图F2－2是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是________．8．[2019·齐齐哈尔] 如图F2－3，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是________．图F2－39．[2019·鄂州] 如图F2－4，AB ＝6，O 是AB 的中点，直线l 经过点O ，∠1＝120°，P 是直线l 上一点．当△APB 为直角三角形时，AP ＝________．图F2－410．[2019·荆门] 如图F2－5，已知点A(1，2)是反比例函数y ＝kx 图象上的一点，连结AO 并延长交双曲线的另一分支于点B ，点P 是x 轴上一动点，若△PAB 是等腰三角形，则点P 的坐标是________．图F2－511．[2019·义乌] 如图F2－6，∠AOB ＝45°，点M ，N 在边OA 上，OM ＝x ，ON ＝x ＋4，点P 是边OB 上的点，若使P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是________．图F2－6参考答案1．D 2.D 3.B 4．y ＝x 或y ＝－x 5．75°或15°6．2 3或4 3或6 [解析] ①当∠ABC＝60°时，如图①，求得CP ＝2 3或4 3；②当∠ACB＝60°时，如图②，此时CP ＝6.7．5 2或4 5或5 [解析] 如图所示．①当点P 在AD 边上时，△AEP 是等腰直角三角形，底边PE ＝2AE ＝5 2； ②当点P 在BC 边上时，P 1E ＝AE ＝5，BE ＝AB －AE ＝8－5＝3， ∴P 1B ＝P 1E 2－BE 2＝4.∴AP 1＝AB 2＋P 1B 2＝82＋42＝4 5； ③当点P 在DC 边上时，P 2A ＝P 2E ，底边AE ＝5.综上所述，等腰三角形AEP 的底边长为5 2或4 5或5.8．10或4 13或2 73 [解析] ∵AB＝AC ＝10，BC ＝12，底边BC 上的高是AD ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，BD ＝CD ＝12BC ＝12×12＝6，∴AD ＝102－62＝8.∴用这两个三角形拼成平行四边形，可以分三种情况：(1)按照如图所示的方法拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是10.(2)按照如图所示的方法拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是82＋122＝4 13.(3)按照如图所示的方法拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是62＋162＝2 73.综上所述，这个平行四边形较长的对角线的长是10或4 13或2 73.9．3或3 3或3 7 [解析] 如图，分类讨论如下：(1)当∠APB＝90°时，以AB为直径作⊙O，与直线l交于点P1，P2，则AP1＝3，AP2＝3 3；(2)当∠PAB＝90°时，AP3＝3 3；(3)当∠ABP＝90°时，BP4＝3 3，AP4＝AB2＋BP42＝62＋（3 3）2＝3 7.综上所述，当△APB为直角三角形时，AP＝3或3 3或3 7.10．(－5，0)或(－3，0)或(3，0)或(5，0)①11．x＝0或x＝4 2－4或4＜x＜4 2 [解析] 分三种情况：①如图①，当M与O重合时，即x＝0时，点P恰好有三个；②如图②，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，②∴MC⊥OB，∵∠AOB＝45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC＝OC＝4，∴OM＝4 2，当M与D重合时，即x＝OM－DM＝4 2－4时，同理可知：点P恰好有三个；③如图③，取OM＝4，以M为圆心，以OM为半径画圆，③则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x＝4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N为圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；∴当4＜x＜4 2时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，使P，M，N构成等腰三角形，此时，满足条件的点P恰好有三个．综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是x＝0或x＝4 2－4或4＜x＜4 2.故答案为x＝0或x＝4 2－4或4＜x＜4 2.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在等边ABC △中，已知6AB =，N 为AB 上一点，且2AN =，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM MN +的最小值是( )A ．8B ．10C ．D ．2．如图所示的几何体的主视图是（ ）A. B.C. D.3．在一条笔直的公路上有A 、B 两地，甲乙两人同时出发，甲骑自行车从A 地到B 地，乙骑自行车从B 地到A 地，到达A 地后立即按原路返回B 地.如图是甲、乙两人离B 地的距离(km)y 与行驶时间(h)x 之间的函数图象，下列说法中①A 、B 两地相距30千米；②甲的速度为15千米/时；③点M 的坐标为(23，20)；④当甲、乙两人相距10千米时，他们的行驶时间是49小时或89小时. 正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如果a+b=2，那么代数式22212b a b a b a ab b-⎛⎫+⋅ ⎪-++⎝⎭的值是（ ）A ．12B ．1CD ．25．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．在平面直角坐标系中，已知两点()75A ，，()43B ，，先将线段AB 向右平移1个单位，再向上平移1个单位，然后以原点O 为位似中心，将其缩小为原来的12，得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标为（ ） A.()4,3B.()4,3或()4,3--C.()4,3--D.()3,2或()3,2--7．如图，抛物线()()142L y x t x t =---+：（常数0t >），双曲线6(0)y x x=>.设L 与双曲线有个交点的横坐标为0x ，且满足034x <<，在L 位置随t 变化的过程中，t 的取值范围是（ ）A ．322t << B ．34t << C ．45t << D ．57t <<8．计算()23a -的正确结果是（ ）A ．6a -B ．6aC ．5a -D ．5a9．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD ，若测得A ，C 之间的距离为12cm ，点B ，D 之间的距离为16m ，则线段AB 的长为( )A.9.6cmB.10cmC.20cmD.12cm10．如图，CE 是□ABCD 的边AB 的垂直平分线，垂足为点O ，CE 与DA 的延长线交于点E 、连接AC ，BE ，DO ，DO 与AC 交于点F ，则下列结论：①四边形ACBE 是菱形；②∠ACD ＝∠BAE ；③AF ：BE ＝2：3；④S 四边形AFOE：S △COD ＝2：3．其中正确的结论有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．411．一幅美丽的图案是由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为（ ） A ．正三角形 B ．正四边形 C ．正五边形 D ．正六边形12．不等式组3213x x >-⎧⎨-⎩… 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A.B.C.D.二、填空题13．如图，△ACB 中，∠ACB=90°，在AB 的同侧分别作正△ACD 、正△ABE 和正△BCF. 若四边形CDEF 的周长是24，面积是17，则AB 的长是_______.14．甲骑自行车从A 地出发前往B 地，同时乙步行从B 地出发前往A 地，如图的折线OPQ 和线段EF 分别表示甲、乙两人与A 地的距离y 甲、y 乙与他们所行时间x (h) 之间的函数关系，且OP 与EF 相交于点M.则经过_____小时，甲、乙两人相距3km.15．如图，直线l 1，l 2，l 3相交于点A 、B 、C ，得到△ABC ，其中∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点O 在线段AC 上，且OA=2OC ，将△ABC 绕点O 旋转得到△A 1B 1C 1，当点A 1落在这三条直线上时，线段AA 1长是_______.16．已知反比例函数y ＝，若y ＜3，则x 的取值范围为_____．17．在-2，3π，227，0中，是无理数的有______个． 18．若点P （m ，2）与点Q （3，n ）关于x 轴对称，则P 点关于原点对称的点M 的坐标为_____． 三、解答题19．我市组织开展“遵纪守规明礼，安全文明出行”为主题的“交通安全日”活动，引起了市民对交通安全的极大关注，某学校积极响应号召，以答卷的形式对全校学生就交通安全知识的了解情况进行了调查，并随机抽取部分学生的成绩绘制如下不完整的统计图表：请根据所给信息回答下列问题：(1)这次参与调查的学生人数为(2)频数分布表中a＝，b＝(3)请补全条形统计图(4)学校准备对成绩不高于70分的学生进行交通安全教育，若全校共有学生1680人，请你统计该校来参加这次教育活动的学生约有多少人？20．蔬菜基地为选出适应市场需求的西红柿秧苗，在条件基本相同的情况下，将甲、乙两个品种的西红柿秧苗各500株种植在同一个大棚．对市场最为关注的产量进行了抽样调查，随机从甲、乙两个品种的西红柿秧苗中各收集了50株秧苗上的挂果数（西红柿的个数），并对数据（个数）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.a. 甲品种挂果数频数分布直方图（数据分成6组：25≤x<35，35≤x<45，45≤x<55，55≤x<65，65≤x<75，75≤x<85）.b. 甲品种挂果数在45≤x<55这一组的是：45，45，46，47，47，49，49，49，49，50，50，51，51，54c. 甲、乙品种挂果数的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题:(1)表中m= ；(2)试估计甲品种挂果数超过49个的西红柿秧苗的数量；(3)可以推断出品种的西红柿秧苗更适应市场需求，理由为（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）.21．某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类（记为A）、音禾类（记为B）、球类（记为C）、其他类（记为D）．根据调査结果发现该班每个学生都进行了登记且每人只登记了一种自己最喜欢的课外活动．班主任根据调査情况把学生进行了归类，并制作了如下两幅统计图．请你结合图中所给信息解答下列同题：（1）七年级（1）班学生总人数为______人，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为______度，请补全条形统计图；（2）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名学生擅长绘画．班主任现从A类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率．（3）如果全市有5万名初中生，那么全市初中生中，喜欢球类的学生有多少人？22．为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识某校数学兴趣小组设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试，根据测试成绩分布情况，将测试成绩分成A、B、C、D四组，绘制了如下统计图表问卷测试成绩分组表（1）本次抽样调查的样本总量是 ； （2）样本中，测试成绩在B 组的频数是 ，D 组的频率是 ；（3）样本中，这次测试成绩的中位数落在 组；（4）如果该校共有880名学生，请估计成绩在90＜x≤100的学生约有 人．23．计算：||+（﹣13）﹣1﹣2sin45°+（π﹣2015）0．24．计算：()022)sin 45︒25．如图，10×10的网格中，A ，B ，C 均在格点上，诮用无刻度的直尺作直线MN ，使得直线MN 平分△ABC 的周长（留作图痕迹，不写作法）（1）请在图1中作出符合要求的一条直线MN ；（2）如图2，点M 为BC 上一点，BM ＝5．请在AB 上作出点N 的位置．【参考答案】***一、选择题二、填空题1314．38或5815．8或8或416．x＞2或x＜017．218．（﹣3，﹣2）三、解答题19．(1)50；(2)0.24，15；(3)见解析；(4)估计该校来参加这次教育活动的学生约有672人．【解析】【分析】（1）（2）根据频率，频数，总人数之间的关系即可解决问题．（3）利用（2）中结论，画出条形图即可．（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可．【详解】(1)因为8÷0.16＝50，故这次参与调查的学生人数为50人．故答案为50．(2)a＝1250＝0.24，b＝50×0.3＝15．故答案为：0.24，15．(3)条形图如图所示：(4)1680×2050＝672(人)，估计该校来参加这次教育活动的学生约有672人．【点睛】本题考查条形统计图，用样本估计总体，频数分布表等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识. 20．(1)m = 50.5； (2)估计甲品种挂果数超过49个的小西红柿秧苗的数量有270株；(3)甲，理由为：①甲品种挂果数的平均数高，说明甲品种平均产量高；②甲品种挂果数的中位数比乙高，说明甲品种有一半秧苗的产量高于乙品种；③甲品种产量的方差小于乙品种，说明甲品种的产量比较稳定，挂果数相差不大.【解析】【分析】（1）根据中位数和众数的含义：把这组数按从小到大的顺序排列，因为数的个数是偶数个（50个），即中间两个数（25和26个数）的平均数是中位数；（2）样品中，甲品种挂果数超过49个的西红柿秧苗有27株，由样本估计总体可得答案；（3）根据平均数、中位数、方差等数据的比较可以得出甲品种更适应市场需求.【详解】(1) 把这组数按从小到大的顺序排列，因为数的个数是偶数个（50个），即中间两个数（25和26个数）的平均数= 50512+＝50.5，故中位数m=50.5；(2)样品中，甲品种挂果数超过49个的西红柿秧苗有27株，2750027050⨯=∴估计甲品种挂果数超过49个的小西红柿秧苗的数量有270株.(3)可以推断出甲品种的小西红柿秧苗更适应市场需求，理由为：①甲品种挂果数的平均数高，说明甲品种平均产量高；②甲品种挂果数的中位数比乙高，说明甲品种有一半秧苗的产量高于乙品种；③甲品种产量的方差小于乙品种，说明甲品种的产量比较稳定，挂果数相差不大.【点睛】本题考查了平均数、中位数以及众数和方差，掌握众数、中位数以及平均数、方差的定义以及用样本估计总体思想是解题的关键．21．（1）48人，105°，见解析；（2）23；（3）18750.【解析】【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图可得七年级（1）班学生总人数为：12÷25%=48（人），继而可得扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为为：360°×1448=105°；然后求得C类的人数，则可补全统计图；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的情况，再利用概率公式即可求得答案．（3）利用样本估计总体思想求解可得．【详解】解：（1）七年级（1）班学生总人数为：12÷25%=48（人），扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为360°×1448=105°，；C类人数：48-4-12-14=18（人），如图：故答案为：48，105；（2）分别用A，B表示两名擅长书法的学生，用C，D表示两名擅长绘画的学生，画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的有8种情况，∴抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率为：23.（3）全市初中生中，喜欢球类的学生有500001848=18750（人）．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．(1)200；(2)72，0.15；(3)B；(4)132.【解析】【分析】(1)根据C组的人数和所占的百分比可以求得本次抽样调查的样本总量；(2)根据(1)中的结果和统计图中的数据可以分别求得测试成绩在B组的频数和D组的频率；(3)根据统计图中的数据可以得到中位数落在那一组；(4)根据统计图中的数据可以计算出成绩在90＜x≤100的学生人数．【详解】解：(1)本次抽样调查的样本总量是：60÷30%＝200，故答案为：200；(2)样本中，测试成绩在B组的频数是20×36%＝72，在D组的频率是：30÷200＝0.15，故答案为：72，0.15；(3)样本中，这次测试成绩的中位数落在B组，故答案为：B；(4)880×30200＝132(人)，故答案为：132．【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．-2【解析】【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】||+(﹣13)﹣1﹣2sin45°+(π﹣2015)0﹣3﹣2×2+1＝﹣2．【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂，特殊角的三角函数值，0指数幂，熟练掌握各运算的运算法则是解本题的关键．24．8【解析】【分析】根据二次根式的运算法则和特殊锐角三角函数值进行计算.【详解】原式341=+-=8【点睛】考核知识点：含有特殊锐角三角函数值的运算.25．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的中线的性质解决问题即可．（2）作△ABC的中线AG，连接AM，作GN∥AM，交AB于点N，点N即为所求．【详解】解：（1）如图，直线MN即为所求．（2）如图，点N即为所求．理由：由题意：BA＝BM＝5，NG∥AM，∴BN BG BA BM，∴BN＝BG，∴AN＝GN，∵AB＝AC，BG＝CG，∴BN+BM＝CM+AC+AN，∴直线MN平分△ABC的周长，【点睛】本题考查作图﹣应用与设计，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，属于中考常考题型．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．小明把一副45,30的直角三角板如图摆放，其中00090,45,30C F A D ∠=∠=∠=∠=，则αβ∠+∠等于 （ ）A ．0180B ．0210C ．0360D ．02702．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3B ．C ．D ．3．“山西八分钟，惊艳全世界”.2019年2月25日下午，在外交部蓝厅隆重举行山西全球推介活动．山西经济结构从“一煤独大”向多元支撑转变，三年累计退出煤炭过剩产能8800余万吨，煤层气产量突破56亿立方米．数据56亿用科学记数法可表示为（ ）A ．56×108B ．5.6×108C ．5.6×109D ．0.56×10104．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝2，D 点是△ABC 所在平面上的一个动点，且∠BDC ＝60°，则△DBC 面积的最大值是( )A.3B.3C.D.25．周末，小明带200元去图书大厦，下表记录了他全天的所有支出，其中小零食支出的金额不小心被涂黑了，如果每包小零食的售价为15元，那么小明可能剩下多少元？( ) A.5 B.10 C.15 D.306．我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O ，固定点A ，B ，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y 轴正半轴上点D ¢处，则点C 的对应点C '的坐标为（ ）A ．()2 B．()4,2 C ．(4, D ．(2, 7．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC 的顶点C 在x 轴上，函数y=k x（k ＞0，x ＞0）的图象经过点A （2，6），且与边BC 交于点D ．若点D 是边BC 的中点，则OC 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3.5D ．38．如果关于x 的不等式组347362x m x x -≤⎧⎪-⎨>-⎪⎩的解集为1x <，且关于x 的分式方程2311mx x x +=--有非负数解，则所有符合条件的整数m 的值之和是（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．2 9．下列各式：①a 0=1； ②a 2•a 3=a 5； ③2﹣2=﹣14；④﹣（3﹣5）+（﹣2）4÷8×（﹣1）=0；⑤x 2+x 2=2x 2，其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③⑤C ．②③④D ．②④⑤ 10．某村粮食总产量为a （a 为常量）吨，设该村粮食的人均产量y （吨），人口数为x （人），则y 与x 之间的函数图象应为图中的（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知AB ＝10，C 是射线AB 上一点，且AC ＝3BC ，则BC 的长为（ ）A.2.5B.103C.2.5或5D.103或5 12．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加了决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（ ）A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差二、填空题13．若圆锥的地面半径为5cm ，侧面积为265cm π，则圆锥的母线是__________cm ．14．如图，▱ABCD 中，E 是AD 边上一点，，CD=3，，∠A=45°，点P 、Q 分别是BC ，CD 边上的动点，且始终保持∠EPQ=45°，将△CPQ 沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，线段BP 的长为______.15．有一张三角形纸片ABC ，∠A ＝80°，点D 是AC 边上一点，沿BD 方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C 的度数可以是__________．16．已知扇形的弧长为2π，面积为8π，则扇形的半径为_____．17．如图，点P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，点M ，N 分别在射线OA ，OB 上（都不与点O 重合），且∠MPN 与∠AOB 互补．若∠MPN 绕着点P 转动，那么以下四个结论：①P M ＝PN 恒成立；②MN 的长不变；③OM+ON 的值不变；④四边形PMON 的面积不变．其中正确的为_____．（填番号）18．若代数式24x x --的值是2，则x ＝_____．三、解答题19．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3（a≠0）经过点A （3，0），B （﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A 为圆心的圆与直线BC 相切于点M ，求切点M 的坐标；（3）若点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以点B ，C ，Q ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，E 是线段AC 的中点，连接ED ．（1）求证：ED 是⊙O 切线．（2）求线段AD 的长度．21．如图，某数学兴趣小组准备测量长江某处的宽度AB ，他们在AB 延长线上选择了一座与B 距离为200 m 的大楼，在大楼楼顶的观测点C 处分别观测点A 和点B ，利用测角仪测得俯角（从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角）分别为8°和46°．求该处长江的宽度AB ．（参考数据：sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.16，sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）22．11()()m n m n x x --÷23．只用直尺（无刻度）完成下列作图：（1）如图1，过正方形ABCD 的顶点A 作一条直线平分这个正方形的面积；（2）如图2，不过正方形EFGH 的顶点作直线l 平分这个正方形的面积；（3）如图3，五个边长相等的正方形组成了一个“L 型”图形，作直线m 平分这个“L 型”图形的面积．24．已知关于x 的方程2(21)(21)10m x m x --++=. （1）求证：不论m 为何值，方程必有实数根；（2）当m 为整数时，方程是否有有理根？若有，求出m 的值；若没有，请说明理由.25．（探究）（1）观察下列算式，并完成填空：1=121+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+…+（2n-1）=______．（n 是正整数）（2）如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推．①第3层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖；②第n 层中含有______块正三角形地板砖（用含n 的代数式表示）．（应用）该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形和420块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，最多能铺多少层？请说明理由．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．1314．3，215．25°或40°或10°16．817．①③④18．6三、解答题19．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）M 36,55⎛⎫--⎪⎝⎭（3）P 的坐标为（3）或（13）或（2，﹣3）． 【解析】【分析】(1)把点A(3,0),B(-1,0)代入二次函数表达式,即可求解;(2)利用△AON ≌△COB(AAS),求出N(0,-1),即可求解;(3)分BC 为平行四边形的一条边、BC 为平行四边形的对角线两种情况,求解即可【详解】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3（a≠0）经过点A （3，0），B （﹣1，0）． ∴933030a b a b +-=⎧⎨--=⎩ ，解得：1{2a b ==- ， ∴该抛物线解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）若以点A 为圆心的圆与直线BC 相切于点M ，则AM ⊥BC ，如图，过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M ，交y 轴与点N ．把x ＝0代入y ＝x 2﹣2x ﹣3得，y ＝﹣3，∴C （0，﹣3），∵A （3，0），B （﹣1，0），∴OA ＝OC ，OB ＝1，∵AM ⊥BC ，∴∠AMB ＝∠AON ＝∠BOC ＝90°，∴∠BAM+∠OBC ＝∠BAM+∠ONA ＝90°，∴∠ONA ＝∠OBC ，∴△AON ≌△COB （AAS ），∴ON ＝OB ＝1，∴N （0，﹣1），设直线AM 解析式为y ＝k 1x+b 1，把A （3，0），N （0，﹣1）分别代入得1113+01k b b =⎧⎨=-⎩ ， 解得：11131k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ∴直线AM 解析式为y ＝13x ﹣1…①， 设直线BC 解析式为y ＝k 2x+b 2，同理可得：直线BC 解析式为y ＝﹣3x ﹣3…②， 联立①②并解得：3565x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则M （﹣35 ，﹣65）； （3）存在以点B ，C ，Q ，P 为顶点的四边形是平行四边形，①当BC 为平行四边形的一条边时，如图CBP′Q′，点C （0，﹣3）向上3个单位、向左1个单位得到点B （﹣1，0），同理点Q′（m ，0）向上3个单位、向左1个单位得到点P′（m ﹣1，3），将点P′坐标代入二次函数表达式并解得：x ＝2，故点P′坐标为（，3）或（13）；②当BC 为平行四边形的对角线时，如图CPBQ ，点P 的坐标为（2，﹣3）；P 的坐标为（3）或（13）或（2，﹣3）．【点睛】此题考查了二次函数的解，三角形全等和平行四边形的性质，利用已知的点代入方程是解题关键20．（1）见解析；（2）9 5【解析】【分析】（1）由切线长定理知EC＝ED，则∠ECD＝∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE＝DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE即可；（2）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．【详解】（1）证明：连接OD，DE，∵DE是Rt△ADC的中线；∴ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD；∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD；∴∠EDO＝∠EDC+∠ODC＝∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90°；∴ED⊥OD，∴ED与⊙O相切．（2）在Rt△ACB中，∵AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝90°，∴AB＝5cm；连接CD，∵BC为直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°；∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴Rt△ADC∽Rt△ACB；∴AC AD AB AC=，∴295ACADAB==．【点睛】此题综合考查了切线的判定和性质，圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、正确的作出辅助线是解题的关键．21．m．【解析】【分析】在Rt △CAD 中根据tan ∠CAD ＝CD AD 计算得到CD 的高度，然后在Rt △CAD 中根据AD ＝tan CD CAD∠可求出AD 的长度，相减即可求出AB.【详解】解：如图，连接AC ，BC ．.根据题意，得∠CAD ＝8°，∠CBD ＝46°．在Rt △CBD 中，∵tan ∠CBD ＝CD BD， ∴CD ＝BD·tan∠CBD ＝200×1.04＝208（m ）．在Rt △CAD 中，∵tan ∠CAD ＝CD AD， ∴AD ＝208tan 0.16CD CAD =∠＝1300（m ）． ∴AB ＝AD －BD ＝1300－200＝1100（m ）．答：该处长江的宽度是1100 m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握俯角的定义并构造出直角三角形是解题关键.22．m n x -+【解析】【分析】先根据幂的乘方去括号，再根据同底数幂的除法运算.【详解】原式=mn m mn n x x --÷n mn m m n x --+=m n x -+=【点睛】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方及同底数幂的除法是关键.23．（1）如图直线l 如图所示．见解析；（2）如图直线l 如图所示．见解析；（3）直线m 如图所示．见解析.【解析】【分析】（1）作正方形对角线所在的直线即为所求．（2）过正方形的中心作直线即可．（3）利用分割，补形，调整的策略解决问题即可．【详解】（1）如图直线l 如图所示．（2）如图直线l 如图所示．（3）直线m 如图所示．【点睛】本题考查作图﹣应用与设计，解题的关键是学会利用分割，补形，调整的策略解决问题．24．（1）见解析；（2）当m 为整数时，关于x 的方程2(21)(21)10m x m x --++=没有有理根. 理由见解析.【解析】【分析】（1）分两种情况分析，方程可能是一元一次方程或一元二次方程；（2）分情况分析①当210m -=时，12m =（不合题意舍去）；②当210m -≠且m 为整数时，假设关于x 的方程2(21)(21)10m x m x --++=有有理根.根据根判别式进行分析即可.【详解】（1）证明：当210m -=，即12m =时，原方程为210x -+=，此方程为一元一次方程，其根为12x =； 当210m -≠，即12m ≠时，22[(21)]4(21)1(21)40m m m ∆=-+--⨯=-+> ∴当12m ≠时，原方程必有两个不相等的实数根， 综上所述，不论m 为何值，方程必有实数根；（2）解：当m 为整数时，关于x 的方程2(21)(21)10m x m x --++=没有有理根.理由如下： ①当210m -=时，12m =（不合题意舍去）； ②当210m -≠且m 为整数时，假设关于x 的方程2(21)(21)10m x m x --++=有有理根.则要2(21)4m ∆=-+为完全平方数，设2n ∆=（n 为整数）， 即22(21)4m n -+=（n 为整数），所以有[(21)][(21)]4n m n m +---=， ∵(21)n m +-与(21)n m --的奇偶性相同，并且m 、n 都是整数，∴(21)2(21)2n m n m +-=⎧⎨--=⎩或(21)2(21)2n m n m +-=-⎧⎨--=-⎩， 解得12m =（不合题意舍去）. 综上所述，当m 为整数时，关于x 的方程2(21)(21)10m x m x --++=没有有理根.【点睛】考核知识点：一元二次方程根判别式.25．【探究】n 2；（2）① 6，30；②6（2n-1）或12n-6；【应用】铺设这样的图案，最多能铺8层，理由见解析【解析】【分析】一．探究（1）观察算式规律，1+3+5+…+（2n-1）=n 2；（2）①第一层6块正方形和6块正三角形地板砖，第二层6块正方形和6+12=18块正三角形地板砖，第三层6块正方形和18+12=30块正三角形地板砖；②第一层6=6×1=6×（2×1-1）块正三角形地板砖，第二层18=6×3=6×（2×2-1）块正三角形地板砖，第三层30=6×5=6×（2×3-1）块正三角形地板砖，第n 层6=6×1=6（2n-1）块正三角形地板砖，二．应用150块正方形地板砖可以铺设这样的图案150÷6=25（层），铺设n 层需要正三角形地板砖的数量为：6[1+3+5+…+（2n-1）]=6n 2，6n 2=420，n 2=70， ，8＜n ＜9，所以420块正三角形地板砖最多可以铺设这样的图案8层．因此铺设这样的图案，最多能铺8层．【详解】解：一.探究（1）观察算式规律，1+3+5+…+（2n-1）=n 2，故答案为n 2；（2）①∵第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖，第二层包括6块正方形和6+12=18块正三角形地板砖，∴第三层包括6块正方形和18+12=30块正三角形地板砖，故答案为6，30；。
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2019-2020年中考数学复习方法技巧专题二：分类讨论思想训练含分类汇编解
析
当数学问题中的某一条件模糊而不确定时，需要对这一条件进行分类讨论，然后逐一解决．常见的分类讨论有概念的分类、解题方法的分类和图形位置关系的分类等．
一、选择题
1．⊙O中，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为( )
A．50° B．80°或50°
C．130° D．50°或130°
2．[2016·荆门] 已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为( )
A．7 B．10
C．11 D．10或11
3．[2017·聊城] 如图F2－1是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连结PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是( )
图F2－1
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
4．[2017·西宁] 若点A(m，n)在直线y＝kx(k≠0)上，当－1≤m≤1时，－1≤n≤1，则这条直线的函数解析式为________．
5．[2016·西宁] ⊙O的半径为1，弦AB＝2，弦AC＝3，则∠BAC的度数为________．
6．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为________．
图F2－2
7．[2016·江西]如图F2－2是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是________．8．[2017·齐齐哈尔] 如图F2－3，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是________．
图F 2－3
9．[2016·鄂州] 如图F 2－4，AB ＝6，O 是AB 的中点，直线l 经过点O ，∠1＝120°，P 是直线l 上一点．当△APB 为直角三角形时，AP ＝________．
图F 2－4
10．[2016·荆门] 如图F 2－5，已知点A (1，2)是反比例函数y ＝k
x 图象上的一点，连结AO 并延长交双曲线的另一
分支于点B ，点P 是x 轴上一动点，若△PAB 是等腰三角形，则点P 的坐标是________．
图F 2－5
11．[2017·义乌] 如图F 2－6，∠AOB ＝45°，点M ，N 在边OA 上，OM ＝x ，ON ＝x ＋4，点P 是边OB 上的点，若使
P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是________．
图F 2－6
参考答案
1．D 2.D 3.B 4．y ＝x 或y ＝－x 5．75°或15°
6．2 3或4 3或6 [解析] ①当∠ABC ＝60°时，如图①，求得CP ＝2 3或4 3；②当∠ACB ＝60°时，如图②，此时CP ＝6.
7．5 2或4 5或5 [解析] 如图所示．
①当点P 在AD 边上时，△AEP 是等腰直角三角形，底边PE ＝2AE ＝5 2； ②当点P 在BC 边上时，
P 1E ＝AE ＝5，BE ＝AB －AE ＝8－5＝3，
∴P 1B ＝P 1E 2
－BE 2
＝4.
∴AP 1＝AB 2
＋P 1B 2
＝82
＋42
＝4 5； ③当点P 在DC 边上时，P 2A ＝P 2E ，底边AE ＝5.
综上所述，等腰三角形AEP 的底边长为5 2或4 5或5.
8．10或4 13或2 73 [解析] ∵AB ＝AC ＝10，BC ＝12，底边BC 上的高是AD ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，BD ＝
CD ＝12BC ＝12
×12＝6，
∴AD ＝102
－62
＝8.
∴用这两个三角形拼成平行四边形，可以分三种情况：
(1)按照如图所示的方法拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是10.
(2)按照如图所示的方法拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是82
＋122
＝4 13.
(3)按照如图所示的方法拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是62
＋162
＝2 73.
综上所述，这个平行四边形较长的对角线的长是10或4 13或2 73.
9．3或3 3或3 7 [解析] 如图，分类讨论如下：
(1)当∠APB＝90°时，以AB为直径作⊙O，与直线l交于点P1，P2，则AP1＝3，AP2＝3 3；
(2)当∠PAB＝90°时，AP3＝3 3；
(3)当∠ABP＝90°时，BP4＝3 3，
AP4＝AB2＋BP42＝62＋（3 3）2＝3 7.
综上所述，当△APB为直角三角形时，AP＝3或3 3或3 7.
10．(－5，0)或(－3，0)或(3，0)或(5，0)
①
11．x＝0或x＝4 2－4或4＜x＜4 2 [解析] 分三种情况：
①如图①，当M与O重合时，即x＝0时，点P恰好有三个；
②如图②，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，
②
∴MC⊥OB，
∵∠AOB＝45°，
∴△MCO是等腰直角三角形，
∴MC＝OC＝4，∴OM＝4 2，
当M与D重合时，即x＝OM－DM＝4 2－4时，同理可知：点P恰好有三个；
③如图③，取OM＝4，以M为圆心，以OM为半径画圆，
③
则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x＝4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N为圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；
点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；
∴当4＜x＜4 2时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，使P，M，N构成等腰三角形，此时，满足条件的点P恰好有三个．综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是x＝0或x＝4 2－4或4＜x＜4 2.
故答案为x＝0或x＝4 2－4或4＜x＜4 2.。