第7章 第23课时 等腰三角形

求证：△BDE是等腰三角形．
图23-4
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证明：∵DE∥AC，∴∠1＝∠3. ∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3. ∵AD⊥BD， ∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°， ∴∠B＝∠BDE，BE＝DE. ∴△BDE是等腰三角形．
例3答图
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【点悟】 判定等腰三角形的一般方法是“两边相等”和“等角对等边”两种， 这就涉及证明线段相等或角相等的问题，因此，结合三角形全等可以解决线段相 等或角相等的问题．
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三、解答题(共15分)
14．(5分)[2018·嘉兴]如图23-11，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥
AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形． 证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEA＝∠DFC＝90°. ∵D为AC的中点，
图232
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[2019·南京]如图23-3，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ ACB.若AD＝2，BD＝3，则AC的长为 10 .
图23-3
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考点3 等腰三角形的判定 [2017·内江]如图23-4，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.
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归类探究
考点1 等腰三角形的性质 [2019·绥化]如图23-1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝
AD，则∠A＝ 36 度．
图23-1
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1．[2019·广安]等腰三角形的两边长分别为6 cm,13 cm，其周长为 32 cm. 2．[2019·怀化]若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为
图23-1
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【解析】 在△ABC中，∵AB＝AC，∠C＝72°， ∴∠ABC＝72°，∠A＝36°. ∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠C＝72°. ∴∠ABD＝∠BDC－∠A＝36°. ∴AD＝BD＝BC＝ 5.故选C.
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3．[2018·湖州]如图23-2，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝ AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( B ) A．20° B．35° C．40° D．70°
图23-11
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∴DA＝DC. 又∵DE＝DF， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)． ∴∠A＝∠C， ∴∠A＝∠B＝∠C. ∴△ABC是等边三角形．
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15．(5分)[2019·重庆A卷]如图23-12，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中 点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F. (1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数； (2)求证：FB＝FE.
全 效学 习
中考学练测·数学[GD]
第二部分 第七章 第23课时
第二部分 图形与几何
第七章 三角形 第23课时 等腰三角形
考点管理 归类探究 课时作业
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考点管理
1．等腰三角形的概念 定义：有 两边 相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的 两边 叫做腰，另一 边叫做底边，两腰的夹角叫做 顶角 ，腰与底边的夹角叫做底角． 2．等腰三角形的性质 性质：(1)等腰三角形的两个底角 相等 (简称为“等边对等角”)； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线 互相重合 (简称为 “三线合一”)．
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(2)解：图中有2个等边三角形，分别是△BDF，△AFE. 如选择△AFE是等边三角形，证明如下： 由题意知△ACE≌△ABF， ∴AF＝AE，∠FAB＝∠EAC. ∴∠FAB＋∠BAE＝∠EAC＋∠BAE， 即∠FAE＝∠BAC＝60°. ∴△AFE是等边三角形．
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解得x＝74. ∴AE＝8－74＝245(cm)． ∵AD＝12AB＝5(cm)， ∴DE＝ AE2－AD2＝145(cm)．
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13．[2017·淄博]如图23-10，在边长为4的等边△ABC中，D为BC边上的任意一 点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝ 2 3 .
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二、填空题(每题4分，共24分)
8．(1)[2018·成都]等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 80° ； (2)[2018·绥化]已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为 50°或 80° .
9．[2019·南充]在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B＝ 70 °.
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10．[2018·张家界]如图23-7，将△ABC绕点A逆时针旋转150°得到△ADE，这时点
B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为 15° .
图23-7
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【解析】 ∵△ABC绕点A逆时针旋转150°得到△ADE， ∴∠BAD＝150°，AB＝AD. ∴△BAD是等腰三角形． ∴∠B＝∠ADB＝12×(180°－∠BAD)＝15°.
图23-10
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【解析】 如答图，过点A作AG⊥BC于点G，连接AD. ∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°.∴AG＝ 23AB＝2 3. 易知S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， ∴12AB·DE＋12AC·DF＝12BC·AG. ∵AB＝AC＝BC＝4，
第10题答图
∴DE＋DF＝AG＝2 3.
图23-3
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【解析】 由作图可知，MN为线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∠DAB＝∠B ＝25°.∵∠CDA为△ABD的一个外角，∴∠CDA＝∠DAB＋∠B＝50°.∵AD＝ AC，∴∠C＝∠CDA＝50°.故选C.
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5．[2019·台湾]如图23-4，△ABC中，AC＝BC<AB.若∠1，∠2分别为∠ABC，∠
36° .
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考点2 等腰三角形的性质与线段的垂直平分线的结合 [2019·长沙]如图23-2，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和 1
点B为圆心，大于 2 AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交 BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( B ) A．20° B．30° C．45° D．60°
3 A. 2
B．2 5 3
3 C. 3
D．
3 4
图23-5
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7．如图23-6，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥
BC，分别交AB，AC于点M，N.若BM＋CN＝9，则线段MN的长为( D ) A．6
B．7
C．8
D．9
图23-6
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【解析】 ∵∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点E， ∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB. ∵MN∥BC， ∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB. ∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN. ∴BM＝ME，EN＝CN. ∵BM＋CN＝9，∴ME＋EN＝9， 即MN＝9.故选D.
(2)有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形．
相关规律：(1)边长为a的等边三角形的面积等于 43a2； (2)等边三角形的内心、外心、垂心和重心重合于一点．
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6．线段的垂直平分线 定义：经过线段的 中点 与这条线段 垂直 的直线叫做这条线段的垂直平分线． 注意：线段的垂直平分线的两个要点“垂直”和“平分”要同时存在． 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 相等 ． 判定：到一条线段两个端点距离 相等 的点，在这条线段的垂直平分线上．
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11．[2018·长春]如图23-8，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB的长为半径
作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD.若∠A＝32°，则∠CDB的大小为
37° .
【解析】 ∵AB＝AC，∠A＝32°，
∴∠ACB＝(180°－32°)÷2＝74°.
由作图过程知CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB.
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如图23-6，△ABC是等边三角形，D，E分别是AB，BC边上的两个动点(与点A， B，C不重合)，始终保持BD＝CE.
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(1)证明：∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝CA，∠B＝∠ECA＝60°. 又∵BD＝CE， ∴△BCD≌△CAE(SAS)． ∴CD＝AE.
图23-2
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【解析】 ∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC. ∵∠CAD＝20°，∴∠ACD＝70°. ∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE＝35°. 故选B.
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4．[2018·凉山]如图23-3，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆 心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN，交BC于点 D，连接AD.若AD＝AC，∠B＝25°，则∠C的度数为( C ) A．70° B．60° C．50° D．40°
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考点4 等边三角形的性质与判定 [2019·哈尔滨]如图23-5，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝
60°，点E为AD边上一点，连接BD，CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB ＝8，CE＝6，则BC的长为 2 7 .
图23-5
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【点悟】 在几何问题的解答过程中，有一部分思路来源于灵感，这种灵感建立 在对一些几何图形的基本性质(如本题是等边三角形的基本性质)的掌握之上，借 助这些图形的特性，可以启发我们寻找解决问题的思路和方法，从而达到解决问 题的目的．
又∵∠CBD＋∠CDB＝∠ACB，
图23-8
∴∠CDB＝12∠ACB＝37°.
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12．[2017·酒泉]如图23-9，一张三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 15
cm.现将纸片折叠，使点A与点B重合，那么折痕DE的长为 4 cm.
图23-9
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【解析】 在Rt△ABC中，∵AC＝8 cm，BC＝6 cm， ∴AB＝10 cm. 设CE＝x cm，由折叠的性质，得 DE⊥AB，BE＝AE＝(8－x)cm. 在Rt△BCE中，根据勾股定理，得 BC2＋CE2＝BE2， 即62＋x2＝(8－x)2.
ACB的外角，则下列角度关系正确的是( C ) A．∠1<∠2
B．∠1＝∠2
C．∠A＋∠2<180°
D．∠A＋∠1>180°
图23-4
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6．[2019·宜宾]如图23-5，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠ EOF的两边与△ABC的边交于E，F，∠EOF＝120°，则∠EOF与△ABC的边所围 成阴影部分的面积是( C )
课时作业
一、选择题(每题3分，共21分)
1．已知等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为( C )
A．16 cm
B．17 cm
C．20 cm
D．16 cm或20 cm
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2．[2018·雅安]如图23-1，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝ 5 ，以点B为 圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为( C ) A．2 2 B．2 3 C. 5 D． 6
图23-12
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(1)解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝36°. ∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝108°. ∵AB＝AC，D是BC边上的中点， ∴AD平分∠BAC. ∴∠BAD＝12∠BAC＝54°.
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3．等腰三角形的判定 判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为 “等角对等边”)． 注意：要正确区别等腰三角形的性质和判定．“性质”指的是由边相等得出角相 等，即“等边对等角”；而“判定”指的是根据一些条件来判定三角形是不是等 腰三角形，即最后得出边相等．
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4．等边三角形 定义： 三边 都相等的三角形叫做等边三角形． 注意：等边三角形是等腰三角形的特殊情况，它是底边与腰相等的等腰三角形． 5．等边三角形的性质和判定 性质：(1)等边三角形的三条边都 相等 ；
(2)等边三角形的每一个角都等于 60° .
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判定：(1)各边或角都相等的三角形是等边三角形；