高斯求和公式,分组计算
四年级奥数——高斯求和
第1讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为，末项为，公差为的等差数列；（2）是首项为，末项为，公差为的等差数列；（3）是首项为，末项为，公差为的等差数列；对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项和末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
即为中项定理【例题讲解及思维拓展训练】例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？【思维拓展训练一】1、11＋12＋13＋…＋31＝？2、3＋7＋11＋…＋99＝？例2（2+4+6+......+2012）-（1+3+5+ (2011)【思维拓展训练二】1、（7+9+11+......+25）-（5+7+9+ (23)2、1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+58+59-60例3求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
【思维拓展训练三】1、求首项是34，公差是5的等差数列的前50项的和。
例4 求所有加6以后被11整除的三位数的和【思维拓展训练四】1、100以内所有加5后是6的倍数的数的和是多少？2、在1——400中，所有不是9的倍数的数的和是多少？3、求所有被7除余数是1的三位数的和？例5在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
高斯求和
德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
四年级奥数高斯求和
第3讲高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人;上学时;有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝老师出完题后;全班同学都在埋头计算;小高斯却很快算出答案等于5050..高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51..1～100正好可以分成这样的50对数;每对数的和都相等..于是;小高斯把这道题巧算为1+100×100÷2＝5050..小高斯使用的这种求和方法;真是聪明极了;简单快捷;并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题..11;2;3;4;5; (100)21;3;5;7;9;…;99；38;15;22;29;36;…;71..其中1是首项为1;末项为100;公差为1的等差数列；2是首项为1;末项为99;公差为2的等差数列；3是首项为8;末项为71;公差为7的等差数列..由高斯的巧算方法;对于任意一个项数为奇数的等差数列来说;中间一项的值等于所有项的平均数;也等于首项和末项和的一半；或者换句话说;各项和等于中间项乘以项数..即为中项定理例题讲解及思维拓展训练例1 1＋2＋3＋ (1999)分析与解：这串加数1;2;3;…;1999是等差数列;首项是1;末项是1999;共有1999个数..由等差数列求和公式可得原式=1＋1999×1999÷2＝1999000..注意：利用等差数列求和公式之前;一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列..思维拓展训练一1、11＋12＋13＋ (31)分析与解：这串加数11;12;13;…;31是等差数列;首项是11;末项是31;共有31-11＋1＝21项..原式=11+31×21÷2=441..2、3＋7＋11＋ (99)分析与解：3;7;11;…;99是公差为4的等差数列;项数=99－3÷4＋1＝25;原式=3＋99×25÷2＝1275..例2 求首项是25;公差是3的等差数列的前40项的和..解：末项=25＋3×40-1＝142;和=25＋142×40÷2＝3340..利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式;可以解决各种与等差数列求和有关的问题..思维拓展训练二1、求首项是34;公差是5的等差数列的前50项的和..例3 在下图中;每个最小的等边三角形的面积是12厘米2;边长是1根火柴棍..问：1最大三角形的面积是多少平方厘米2整个图形由多少根火柴棍摆成分析：最大三角形共有8层;从上往下摆时;每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出;各层的小三角形数成等差数列;各层的火柴数也成等差数列..解：1最大三角形面积为1＋3＋5＋…＋15×12＝1＋15×8÷2×12＝768厘米2..2火柴棍的数目为3＋6＋9+…+24＝3＋24×8÷2=108根..答：最大三角形的面积是768厘米2;整个图形由108根火柴摆成..思维拓展训练三1、盒子里放有三只乒乓球;一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球;将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球;将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球;将每只球各变成3只球后放回到盒子里..这时盒子里共有多少只乒乓球分析与解：一只球变成3只球;实际上多了2只球..第一次多了2只球;第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球..因此拿了十次后;多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×1＋2＋…＋10＝2×55＝110只..加上原有的3只球;盒子里共有球110＋3＝113只..综合列式为：3-1×1＋2＋…＋10＋3＝2×1＋10×10÷2＋3＝113只..例题4 建筑工地有一批砖;码成如下图的形状;最上层2块砖;第2层6块砖;第3层10块砖…;依次每层都比它上面一层多4块砖;已知最下一层2106块砖;问中间一层有多少块砖这堆砖共有多少块思维拓展训练三1、求从1到2000的自然数中;所有偶数之和与所有奇数之和的差..2、连续九个自然数的和为54;则以这九个自然数的末项作为首相的连续九个自然数的和是多少课堂巩固训练题1.计算下列各题：12＋4＋6＋ (200)217＋19＋21＋ (39)35＋8＋11＋14＋ (50)43＋10＋17＋24＋…＋101..2.求首项是5;末项是93;公差是4的等差数列的和..3.求首项是13;公差是5的等差数列的前30项的和..4.时钟在每个整点敲打;敲打的次数等于该钟点数;每半点钟也敲一下..问：时钟一昼夜敲打多少次5.求100以内除以3余2的所有数的和..6.在所有的两位数中;十位数比个位数大的数共有多少个7、100个连续自然数从小到大排列的和是8450;取出其中第1个;第3个;…;第99个数;再把剩下的50个数相加;和是多少8、把210拆成7个自然数的和;使这7个数从小到大排成一行后;相邻两个数的差都是5;那么第1个数和第6个数各是多少9、把27枚棋子放入7个不同的空盒中;如果要求每个盒子都不空;且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多;问能否办到;若能;写出具体方案;若不能;说明理由..。
高斯速算公式
高斯速算公式高斯是德国著名的数学家、物理学家和天文学家。
在他小时候，就展现出了非凡的数学天赋，其中最让人津津乐道的就是他的速算本领。
话说有一次，高斯的老师给全班同学出了一道算术题：1 加 2 加 3一直加到 100 等于多少？老师心里想着，这题可够孩子们算一阵子的啦。
可没想到，小高斯没一会儿就给出了答案：5050！老师和同学们都惊呆了。
原来啊，高斯发现这 1 到 100 的数字，可以两两配对相加，1 加 100 等于 101，2 加 99 也等于 101，3 加 98 还是 101，以此类推，从1 加到 100 总共有 50 组这样的和为 101 的组合，所以答案就是 50×101 = 5050。
这就是高斯速算的魅力所在。
其实，这种速算方法背后隐藏着一个公式，咱们把它叫做“高斯速算公式”。
这个公式用文字表述就是：对于一个连续的整数序列相加，首项加上末项，乘以项数，再除以 2，就能得到总和。
用数学式子来表示就是：（首项 + 末项）×项数 ÷ 2 。
比如说，咱们要计算 1 加到 50 的和。
首项是 1，末项是 50，项数就是 50，那按照公式就是（1 + 50）× 50 ÷ 2 = 1275 。
是不是很快就能得出答案啦？在咱们的学习中，高斯速算公式可太有用啦！比如考试的时候，遇到那种让你求一堆连续数字相加的题目，如果一个一个去加，那得多浪费时间呀。
但要是会用这个公式，几秒钟就能算出答案，节省下来的时间就可以去思考其他难题，说不定就能多拿几分呢！我曾经在课堂上给学生们出了一道题：计算 1 加到 80 的和。
大多数同学一开始都准备一个一个去加，皱着眉头在草稿纸上写写画画。
这时候，有个聪明的小家伙突然眼睛一亮，想到了高斯速算公式。
只见他迅速在本子上写下（1 + 80）× 80 ÷ 2 ，然后算出答案 3240 ，得意地举起了手。
其他同学看到他的做法，恍然大悟，纷纷感叹这个公式的神奇。
奥数知识十二——高斯求和（等差数列）
奥数知识十二——高斯求和（等差数列）高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
二年级高斯求和目标
二年级高斯求和目标
摘要：
1.二年级高斯求和的目标
2.高斯求和的公式
3.高斯求和的实际应用
正文：
【二年级高斯求和的目标】
二年级高斯求和目标是指，在数学中，求解一系列数的和的问题。
这个问题可以被广泛地应用于许多实际生活场景中，例如在统计学中，求解一组数据的和是一种常见的计算方式。
【高斯求和的公式】
高斯求和的公式是求解一系列数的和的一种方法，也被称为等差数列求和公式。
这个公式是由德国数学家高斯发现的，它的公式为：(首项+ 末项) × 项数÷ 2。
通过这个公式，我们可以快速地求解一系列数的和。
【高斯求和的实际应用】
高斯求和的公式在实际生活中有许多应用，例如在计算一个星期的菜钱，我们可以用高斯求和的公式来计算。
假设每天菜的价格都是一样的，那么我们只需要将每天的菜价相加，然后除以天数，就可以得到每天的平均菜价。
另外，高斯求和的公式也可以用于计算一个三角形的面积，或者用于解决一些计算机算法问题。
高斯求和公式,分组计算
整数巧算问题 2- 高斯求和与分组求和授课时间：年月日错题题型错题题号一、知识要点（一）高斯求和公式当一个算式中每两个相邻数之间的差值一定时我们可以使用高斯求和公式达到简便运算的目的。
和 =（首项 +尾项）项数项数 =（尾项 - 首项）公差+1其中项数就是整个算式的数字个数，在运用高斯公式时，难点就是找准算式的项数。
（二）分组求和在数学计算特别是繁杂的计算中往往在题目之后隐藏着一些规律，我们可以按照规律对算式中的数字先进行分组，再计算，可以极大的节省我们的计算时间。
二、精讲精练（一）高斯求和公式【例题 1】计算 1+2+3+⋯⋯ +99练习 1：1、1+2+3+⋯⋯ +198+1992、2+3+4+⋯⋯+199+2003、2+3+4+⋯⋯ +997+998【例题 2】现在有一组数字为2,4,6 ⋯⋯ 98,100 请问这组数一共有多少个数字？1、现在有一组数字为3,4,5 ⋯⋯ 98,917 请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为98,100,102 ⋯⋯ 1234,1236 请问这组数一共有多少个数字？3、现在有一组数字为3,6,9 ⋯⋯ 99,102 请问这组数一共有多少个数字？【例题 3】计算 2+4+6+⋯⋯ +998+1000练习 3：1、1+3+5+⋯⋯ +97+992、3+6+9+⋯⋯+198+2013、7+14+21+⋯⋯ +994+1001【例题 4】有一组数为1，3,5 ⋯⋯ 97,99, 这组数中的第30 项是多少？1、有一组数为2， 4,6 ⋯⋯ 98,100, 在这组数中的第40 项是多少？2、有一组数为1， 3,5 ⋯⋯ 97,99, 在这组数中的第20 项和第 30 项的差是多少？3、有一组数为1， 3,5 ⋯⋯ 97,99 ⋯⋯ 999,1001, 在这组数中的第400 项和第 100 项的差是多少？【例题 5】 1+2-3-4+5+6-7-8+⋯⋯+97+98-99-100+101练习 5：1、1+2-3-4+5+6-7-8+9+102、1+2-3-4+5+6-7-8+⋯⋯+197+198-199-200+2013、1+3－ 5－7＋ 9＋ 11－ 13－ 15＋⋯⋯ -1999+2001【例题 6】已知一组数为2,3,4,6,6,9,8,12,10⋯⋯100,150,这组数的和是多少？练习 5：1、1+3+4+6+7+9+10+12+13+15+162、1+3+4+6+7+9+10+12+13+⋯⋯ +66+67+693、1+3+6+6+11+9+16+12+21+⋯⋯ +201+120三、课后巩固1、现在有一组数字为3,6,9 ⋯⋯ 99,189 请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为1,6,11 ⋯⋯ 1001,1006 请问这组数一共有多少个数字？3、有一组数为2， 4,6 ⋯⋯ 98,100, 请问这组数中的第25 项是多少？4、现在有一组数字为1,6,11 ⋯⋯ 1001,1006 请问这组数中的第48 项是多少？5、1+8+15+⋯⋯ +2101+210186、2+4+6+⋯⋯+20007、1+4+7+⋯⋯ +1008、10+11+12+⋯⋯+20099、1+10+20+30+⋯⋯ +200+21010、（ 1-9 ） - （ 2-10 ）- （ 3-11 ）- （ 4-12 ）- ⋯⋯ - （9-17 ） - （ 10-18 ）11、1+2+6+4+11+6+16+8+21+⋯⋯ +251+100。
奇数个高斯求和公式
奇数个高斯求和公式高斯求和公式是指将一组连续的奇数相加的公式，公式的结果可以用来表示自然数的和。
这个公式最早是由德国数学家高斯在他幼年时候被他的老师用作惩罚时给他出的一个问题而发现的。
在解这个问题的过程中，高斯发现了一种用于求解连续奇数和的方法。
下面将详细介绍高斯求和公式。
首先，我们来考虑一组连续奇数的和是如何推导出来的。
假设我们要求解的连续奇数序列从1开始，以2递增，一直加到第n个奇数。
那么这个序列可以表示为1,3,5,...,2n-1、我们的目标是求解这个序列的和。
如果我们将这个序列进行反序排列，在加法运算中，每个奇数都会得到两次。
例如，序列1,3,5可以看作是(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)。
由于求和公式是针对连续奇数序列而言的，所以我们可以将这个公式应用于任意奇数个数的和。
现在，我们考虑将这个序列进行反序排列后与原序列相加。
我们可以将两个序列表示为：1,3,5,...,2n-12n-1,2n-3,2n-5,...,1将上面两个序列对应的元素相加，我们可以得到一个具有n个2n的和的序列，即：(2n)+(2n)+(2n)+...+(2n)=n(2n)因此，原始的序列与反序排列后的序列的和为：S=(1+2n)+(1+2n)+(1+2n)+...+(1+2n)=n(2n)然而，我们在计算这个序列的和时，多加了一个2n。
因此，我们需要将多出来的2n从总和S中减去：S=n(2n)-2n=2n(n-1)+n以上就是高斯求和公式的推导过程。
这个公式表明，一组连续奇数的和等于该奇数的个数乘以这组数的平均数。
举例来说，如果我们要求解奇数序列1,3,5,7的和，根据高斯求和公式，我们可以得到：S=4(2*4-1)/2+4=16同样地，我们也可以用正常的加法运算来验证这个结果：1+3+5+7=16现在我们来考虑更一般化的情况。
假设我们要求解奇数序列1,3,5,...,(2n-1)的和。
根据高斯求和公式，我们可以得到：S=n(2n)=n^2+n例如，对于奇数序列1,3,5,7,9的和，我们可以得到：S=5(2*5-1)/2+5=25同样地，我们也可以用正常的加法运算来验证这个结果：1+3+5+7+9=25在解决数学问题或者计算奇数和时，高斯求和公式可以大大简化计算的过程。
四年级奥林匹克数学基础资料库第3讲高斯求和
第3讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋,＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝,＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5，,，100；（2）1，3，5，7，9，,，99；（3）8，15，22，29，36，,，71。
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋,＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，,，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋,＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，,，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
四年级奥数——高斯求和
第1讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为〔1+100〕×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列〞的求和问题。
例如：〔1〕1，2，3，4，5， (100)〔2〕1，3，5，7，9， (99)〔3〕8，15，22，29，36， (71)其中〔1〕是首项为，末项为，公差为的等差数列；〔2〕是首项为，末项为，公差为的等差数列；〔3〕是首项为，末项为，公差为的等差数列；对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项和末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
即为中项定理【例题讲解及思维拓展训练】例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？【思维拓展训练一】1、11＋12＋13＋…＋31＝？2、3＋7＋11＋…＋99＝？例2〔2+4+6+......+2012〕-〔1+3+5+ (2011)【思维拓展训练二】1、〔7+9+11+......+25〕-〔5+7+9+ (23)2、1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+58+59-60例3 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
【思维拓展训练三】1、求首项是34，公差是5的等差数列的前50项的和。
例4 求所有加6以后被11整除的三位数的和【思维拓展训练四】1、100以内所有加5后是6的倍数的数的和是多少？2、在1——400中，所有不是9的倍数的数的和是多少？3、求所有被7除余数是1的三位数的和？例5 在以下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
Gauss公式与散Stokes公式
有向封闭曲面
外侧的流量
v ndS
，其中n
为
外
侧的单位法向量 ， 所围成的区域为 。
总流量 流出的流量—流入的流量。
（1） 0 ，流出大于流入，表明 内 有“源”； （2） 0 ，流出小于流入，表明 内 有“洞”；
（3）0 ，流出等于流入。
比式
1 V
vndS
表示流速场中单位时间内从单位
体积内流出 的平均流量，称为流速场 v在内的
(1,1,0)
2
.
3.5 斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯 (Stokes) 公式
高斯公式是格林公式在三维空间的推广，而格林 公式还可从另一方面推广，就是将曲面 的曲面积分 与该曲面 的边界闭曲线 C 的曲线积分 联系起来。
定理3.4（斯托克斯定理）
n
设分片光滑曲面 的边界是分段光滑闭曲线 C 。 空间
（2）若当积P分 x曲, 面Q y不, 封R 闭z，时则，添由加G辅au助ss 曲公面式使得之封闭；
当封闭xd曲y面dz取内yd侧z时dx，Gzdaxussd公y 式3中的dV符号3V应，为负号；
应用 Gauss 公式前首先要检验 P, Q,R, P , Q , R 的
x y z
故连续V条件。dV
Dxy
二、旋度
1、环量
定义设有向量场 A {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} ，
称 A 沿有向闭曲线 C 的 曲线积分
C Ads C Pdx Qdy Rdz
为向量场 A 沿有向闭曲线 C 的 环量。
环量表示了向量场 A 沿有向闭曲线 C 旋转的整体
则 1 是一个封闭曲面的内侧， 记其所围成的空间区域为 ，
高斯 求和公式的意义
高斯求和公式的意义
高斯求和公式（Gaussian sum formula）是指由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在童年时期发现的一种快速计算有限整数序列之和的方法，其中最著名的例子是关于算术级数的求和。
这个故事记载于高斯的生平中，他通过观察与思考发现了从1加到100的简便算法。
对于等差数列的求和，其通用的高斯求和公式为：
设等差数列首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d，则数列的和Sn可以通过以下公式计算：
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
或者使用更一般化的形式：
S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d]
其中，如果数列是从1开始连续的自然数（公差d=1），则有：
S_n = \frac{n(n+1)}{2}
例如，要求1到100所有整数的和，直接应用上述公式即可得到5050。
综上所述，高斯求和公式的重大意义在于它揭示了算术级数具有简洁且普适的求和规律，并体现了数学中的对称美和深刻内涵。
这一公式不仅简化了计算过程，而且有助于人们理解和掌握数学序列的本质属性，对于后来的数学研究和教育产生了深远的影响。
高斯求和公式,分组计算
整数巧算问题2-高斯求和与分组求和授课时间：年月日一、知识要点（一）高斯求和公式当一个算式中每两个相邻数之间的差值一定时我们可以使用高斯求和公式达到简便运算的目的。
和=（首项+尾项）项数项数=（尾项-首项）公差+1其中项数就是整个算式的数字个数，在运用高斯公式时，难点就是找准算式的项数。
（二）分组求和在数学计算特别是繁杂的计算中往往在题目之后隐藏着一些规律，我们可以按照规律对算式中的数字先进行分组，再计算，可以极大的节省我们的计算时间。
二、精讲精练（一）高斯求和公式【例题1】计算1+2+3+……+99练习1：1、1+2+3+……+198+1992、2+3+4+……+199+2003、2+3+4+……+997+998【例题2】现在有一组数字为2,4,6……98,100请问这组数一共有多少个数字？1、现在有一组数字为3,4,5……98,917请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为98,100,102……1234,1236请问这组数一共有多少个数字？3、现在有一组数字为3,6,9……99,102请问这组数一共有多少个数字？【例题3】计算2+4+6+……+998+1000练习3：1、1+3+5+……+97+992、3+6+9+……+198+2013、7+14+21+……+994+1001【例题4】有一组数为1，3,5……97,99,这组数中的第30项是多少？1、有一组数为2，4,6……98,100,在这组数中的第40项是多少？2、有一组数为1，3,5……97,99,在这组数中的第20项和第30项的差是多少？3、有一组数为1，3,5……97,99……999,1001,在这组数中的第400项和第100项的差是多少？【例题5】1+2-3-4+5+6-7-8+……+97+98-99-100+101练习5：1、1+2-3-4+5+6-7-8+9+102、1+2-3-4+5+6-7-8+……+197+198-199-200+2013、1+3－5－7＋9＋11－13－15＋……-1999+2001【例题6】已知一组数为2,3,4,6,6,9,8,12,10……100,150,这组数的和是多少？练习5：1、1+3+4+6+7+9+10+12+13+15+162、1+3+4+6+7+9+10+12+13+……+66+67+693、1+3+6+6+11+9+16+12+21+……+201+120三、课后巩固1、现在有一组数字为3,6,9……99,189请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为1,6,11……1001,1006请问这组数一共有多少个数字？3、有一组数为2，4,6……98,100,请问这组数中的第25项是多少？4、现在有一组数字为1,6,11……1001,1006请问这组数中的第48项是多少？5、1+8+15+……+2101+210186、2+4+6+……+20007、1+4+7+……+1008、10+11+12+……+20099、1+10+20+30+……+200+21010、（1-9）-（2-10）-（3-11）-（4-12）-……-（9-17）-（10-18）11、1+2+6+4+11+6+16+8+21+……+251+100。
第13讲：高斯求和归纳总结及例题讲解（适用于3年级）
第13讲：高斯求和归纳总结及例题讲解（适用于3年级）德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于'等差数列'的求和问题。
例11＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例211＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
例33＋7＋11＋…＋99＝？分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
例5在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
整数巧算问题2-高斯求和与分组求和
授课时间：年月日
一、知识要点
（一）高斯求和公式
当一个算式中每两个相邻数之间的差值一定时我们可以使用高斯求和公式达到简便运算的目的。
和=（首项+尾项）项数
项数=（尾项-首项）公差+1
其中项数就是整个算式的数字个数，在运用高斯公式时，难点就是找准算式的项数。
（二）分组求和
在数学计算特别是繁杂的计算中往往在题目之后隐藏着一些规律，我们可以按照规律对算式中的数字先进行分组，再计算，可以极大的节省我们的计算时间。
二、精讲精练
（一）高斯求和公式
【例题1】计算1+2+3+……+99
练习1：
1、1+2+3+……+198+199
2、2+3+4+……+199+200
3、2+3+4+……+997+998
【例题2】现在有一组数字为2,4,6……98,100请问这组数一共有多少个数字？
1、现在有一组数字为3,4,5……98,917请问这组数一共有多少个数字？
2、现在有一组数字为98,100,102……1234,1236请问这组数一共有多少个数字？
3、现在有一组数字为3,6,9……99,102请问这组数一共有多少个数字？
【例题3】计算2+4+6+……+998+1000
练习3：
1、1+3+5+……+97+99
2、3+6+9+……+198+201
3、7+14+21+……+994+1001
【例题4】有一组数为1，3,5……97,99,这组数中的第30项是多少？
1、有一组数为2，4,6……98,100,在这组数中的第40项是多少？
2、有一组数为1，3,5……97,99,在这组数中的第20项和第30项的差是多少？
3、有一组数为1，3,5……97,99……999,1001,在这组数中的第400项和第100项的差是多少？【例题5】1+2-3-4+5+6-7-8+……+97+98-99-100+101
练习5：
1、1+2-3-4+5+6-7-8+9+10
2、1+2-3-4+5+6-7-8+……+197+198-199-200+201
3、1+3－5－7＋9＋11－13－15＋……-1999+2001
【例题6】已知一组数为2,3,4,6,6,9,8,12,10……100,150,这组数的和是多少？
练习5：
1、1+3+4+6+7+9+10+12+13+15+16
2、1+3+4+6+7+9+10+12+13+……+66+67+69
3、1+3+6+6+11+9+16+12+21+……+201+120
三、课后巩固
1、现在有一组数字为3,6,9……99,189请问这组数一共有多少个数字？
2、现在有一组数字为1,6,11……1001,1006请问这组数一共有多少个数字？
3、有一组数为2，4,6……98,100,请问这组数中的第25项是多少？
4、现在有一组数字为1,6,11……1001,1006请问这组数中的第48项是多少？
5、1+8+15+……+2101+21018
6、2+4+6+……+2000
7、1+4+7+……+100
8、10+11+12+……+2009
9、1+10+20+30+……+200+210
10、（1-9）-（2-10）-（3-11）-（4-12）-……-（9-17）-（10-18）
11、1+2+6+4+11+6+16+8+21+……+251+100。