高三数学1.3函数的单调性复习课件.ppt
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1.3
函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性
[提出问题] 观察下列函数图象：
问题 1：从图象上看，自变量 x 增大时，函数 f(x)的值如何 变化？
提示：甲图中，函数f(x)的值随x增大而增大． 乙图中，函数f(x)的值随x增大而减小． 丙图中，在y轴左侧，函数f(x)的值随x的增大而减小； 在y轴右侧，函数f(x)的值随x的增大而增大．
2．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函 数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性 ，区间D叫做y＝f(x) 的 单调区间 ．
[化解疑难] 1．x1，x2的三个特征 (1)任意性，即x1，x2是在某一区间上的任意两个值，不能以 特殊值代换； (2)有大小，即确定的两个值x1，x2必须区分大小，一般令 x1<x2； (3)同属一个单调区间． 2．理解函数的单调性应注意的问题 (1)函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域 或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集．
∴函数y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单调减函数．
[随堂即时演练]
1．下列函数中，满足“对任意 x1，x2∈(0，＋∞)，都有fxx11－ －fx2x2>0”
的是
()
A．f(x)＝2x
B．f(x)＝－3x＋1
C．f(x)＝x2＋4x＋3
D．f(x)＝x(2－x)
来自百度文库
[类题通法] 利用定义证明函数单调性的步骤
活学活用
求证：函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单调减函数． 证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，则 y1－y2＝x1－1 1－x2－1 1＝x2x－1－11－x2x－1－11＝x1－x12－xx21－1. ∵x2>x1>1，∴x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0， ∴x1－x12－xx21－1>0，∴y1>y2，
问题 2：甲、乙图中，若 x1<x2，则 f(x1)与 f(x2)的大小关系 是什么？
提示：甲图中，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)； 乙图中，若x1<x2，则f(x1)>f(x2)． 问题3：丙图中，若x1<x2，f(x1)<f(x2)，则自变量x属于哪个 区间？ 提示：(0，＋∞)．
[导入新知] 1．定义域为I的函数f(x)的增减性
[类题通法] “函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别 单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指 的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调， 则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的 单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
函数单调性的证明 [例 2] 求证：函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数． [解] 证明：对于任意的 x1，x2∈(－∞，0)，且 x1<x2， 有 f(x1)－f(x2)＝x121－x122 ＝x22x－21x22x21＝x2－xx112xx222＋x1. ∵x1<x2<0，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． ∴函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数．
[例 1] 如图，定义在[-5,5]上的 f(x)，根据图象说出单调区间及 单调性.
解:
[类题通法] 由图象确定函数单调性的方法及注意事项
(1)图象从左向右上升，则函数递增；图象从左向右下降， 则函数递减．
(2)单调区间必须是函数定义域的子集，单调区间之间不能 用“∪”，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接．
(2)函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单 调性．
(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用 “∪”连接，而应该用“和”连接．如函数 y＝1x在(－∞，0)和(0， ＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数 y＝1x在(－∞，0)∪(0， ＋∞)上单调递减．
由函数图象说明函数的单调性
函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性
[提出问题] 观察下列函数图象：
问题 1：从图象上看，自变量 x 增大时，函数 f(x)的值如何 变化？
提示：甲图中，函数f(x)的值随x增大而增大． 乙图中，函数f(x)的值随x增大而减小． 丙图中，在y轴左侧，函数f(x)的值随x的增大而减小； 在y轴右侧，函数f(x)的值随x的增大而增大．
2．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函 数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性 ，区间D叫做y＝f(x) 的 单调区间 ．
[化解疑难] 1．x1，x2的三个特征 (1)任意性，即x1，x2是在某一区间上的任意两个值，不能以 特殊值代换； (2)有大小，即确定的两个值x1，x2必须区分大小，一般令 x1<x2； (3)同属一个单调区间． 2．理解函数的单调性应注意的问题 (1)函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域 或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集．
∴函数y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单调减函数．
[随堂即时演练]
1．下列函数中，满足“对任意 x1，x2∈(0，＋∞)，都有fxx11－ －fx2x2>0”
的是
()
A．f(x)＝2x
B．f(x)＝－3x＋1
C．f(x)＝x2＋4x＋3
D．f(x)＝x(2－x)
来自百度文库
[类题通法] 利用定义证明函数单调性的步骤
活学活用
求证：函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单调减函数． 证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，则 y1－y2＝x1－1 1－x2－1 1＝x2x－1－11－x2x－1－11＝x1－x12－xx21－1. ∵x2>x1>1，∴x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0， ∴x1－x12－xx21－1>0，∴y1>y2，
问题 2：甲、乙图中，若 x1<x2，则 f(x1)与 f(x2)的大小关系 是什么？
提示：甲图中，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)； 乙图中，若x1<x2，则f(x1)>f(x2)． 问题3：丙图中，若x1<x2，f(x1)<f(x2)，则自变量x属于哪个 区间？ 提示：(0，＋∞)．
[导入新知] 1．定义域为I的函数f(x)的增减性
[类题通法] “函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别 单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指 的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调， 则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的 单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
函数单调性的证明 [例 2] 求证：函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数． [解] 证明：对于任意的 x1，x2∈(－∞，0)，且 x1<x2， 有 f(x1)－f(x2)＝x121－x122 ＝x22x－21x22x21＝x2－xx112xx222＋x1. ∵x1<x2<0，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． ∴函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数．
[例 1] 如图，定义在[-5,5]上的 f(x)，根据图象说出单调区间及 单调性.
解:
[类题通法] 由图象确定函数单调性的方法及注意事项
(1)图象从左向右上升，则函数递增；图象从左向右下降， 则函数递减．
(2)单调区间必须是函数定义域的子集，单调区间之间不能 用“∪”，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接．
(2)函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单 调性．
(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用 “∪”连接，而应该用“和”连接．如函数 y＝1x在(－∞，0)和(0， ＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数 y＝1x在(－∞，0)∪(0， ＋∞)上单调递减．
由函数图象说明函数的单调性