高一数学上册第4章幂函数、指数函数和对数函数4.1幂函数的性质与图像2课件沪教
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沪教版(上海)数学高一上册-4.1 幂函数的性质与图像课件 教学课件
在（0，+∞)上是增函
数。
k< 0
（1）图象都过（1，1）点； （2）在第一象限内，函数值随
x 的增大而减小，即在 （0，+∞）上是减函数。 （3）在第一象限，图象向上与
y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。
观察
• 通过计算机快速作图，我们观察到更多的 幂函数图象。请注意幂函数的指数变化， 带来的幂函数图形在第一象限的变化
4、1幂函数性质与图像
一、 幂函数的定义：
一般地，函数
y=xk (k为常数，k∈Q)
叫做幂函数.
定义：函数y=xk(k为常数，k∈Q) 叫做幂函数. 概念辨析
1.指出下列哪些函数是幂函数：
(1) y x × (2) y x0 √ (3)y 3x ×
(5)
y
2
x3
√
(6)y (x 1)2 ×
，非奇非偶
(4) y
x 4 3
3
1 x4
定义域为
(5) y
x
1 2
1
定义域为
x
，偶函数 ，非奇非偶函数
研究 幂函数在第一象限的图像
图像
y x y y=x3 y=x2
k
y
y=x-4/3
y=x-1
1
y=x1/2
1
y=x-1/2
0
1
X
0
1
X
k>0
性质
（1）图象都过（0，0）点和 （1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值 随x 的增大而增大，即
2.若幂函数的图象经过点(2, 8 )
(4)y x 2 ×
则这个函数的解析式为________________。
二、幂函数的性质与图像 研究函数的定义域，奇偶性和单调性，
数。
k< 0
（1）图象都过（1，1）点； （2）在第一象限内，函数值随
x 的增大而减小，即在 （0，+∞）上是减函数。 （3）在第一象限，图象向上与
y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。
观察
• 通过计算机快速作图，我们观察到更多的 幂函数图象。请注意幂函数的指数变化， 带来的幂函数图形在第一象限的变化
4、1幂函数性质与图像
一、 幂函数的定义：
一般地，函数
y=xk (k为常数，k∈Q)
叫做幂函数.
定义：函数y=xk(k为常数，k∈Q) 叫做幂函数. 概念辨析
1.指出下列哪些函数是幂函数：
(1) y x × (2) y x0 √ (3)y 3x ×
(5)
y
2
x3
√
(6)y (x 1)2 ×
，非奇非偶
(4) y
x 4 3
3
1 x4
定义域为
(5) y
x
1 2
1
定义域为
x
，偶函数 ，非奇非偶函数
研究 幂函数在第一象限的图像
图像
y x y y=x3 y=x2
k
y
y=x-4/3
y=x-1
1
y=x1/2
1
y=x-1/2
0
1
X
0
1
X
k>0
性质
（1）图象都过（0，0）点和 （1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值 随x 的增大而增大，即
2.若幂函数的图象经过点(2, 8 )
(4)y x 2 ×
则这个函数的解析式为________________。
二、幂函数的性质与图像 研究函数的定义域，奇偶性和单调性，
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第四章4.1 幂函数的性质与图像课件
0 k 1
y
k 1
y
非奇非偶
O
y
x
O
y
x
O
x
y
O
x
y
O
x
O
x
y
O
x
O
x
奇
y
偶
O
x例3．请找出①y来自2x53
②y x4
, 0
④y
0,
x3
0, ⑤y
x
1 2
,0 0, 0,
③y x6
R
⑴是奇函数，且在 0, 上单调递减的为_④__y___x_3
⑵是偶函数，且在 0, 上单调递增的为_③__y___x_6
2
例2：研究幂函数 y x3 的定义域，奇
偶性，单调区间，值域．
1
练习2：研究幂函数 y x2 、y x2
的定义域，奇偶性，单调区间，值域
函数
yx
y x1 y x2
2
y x3
1
y x2
y x2
图像
定义域
R
(, 0) (0, )
R
R
[0, ) (,0) (0,)
奇偶性 奇
奇
偶
偶
非奇 非偶
y x y x1 y x2
2
1
y x3 y x2
例1：判断下列函数是否为幂函数
3
⑴ y x2
⑶ y x1.5
⑵ y 2x2
1
⑷ y x2
⑸ y x0
练习1：
已知函数 y t 1 xt2t为幂函数，
求 t 的值及函数解析式．
2
例2：研究幂函数 y x3 的定义域，奇
偶性，单调区间，值域．
高一数学上册 第4章 幂函数、指数函数和对数函数 4.1 幂函数的性质与图像1课件 沪教版
-5
1
-6
y x -6
2
y x2
-2
-2
-6
？能否根据幂函数-3 的奇偶性给出 -3 k的规律
-4
？幂函数还有没有-4 其他不同类-5 型的图像 -5
-6
6
8
10
8
10
19
7
5
5
6
4
4
四、幂函5 数的奇3偶性
3
4
3
2
2
奇数
0
k 奇数 -6
-8
-4
-12
-6-2
2
1
7
-10
-4
-1 6
-2
5 -3
0.1
1
2
3
4
5
1
2
1
2
0.7 1.0
1.4
0.3 1.0
4.0
y xk,k 0 图像必过 (0, 0), (1,1) 在 [0, ) 上为增函数
在 x 1 的右侧：
6
7
指数越大图像位置越高
在 x 1, x 0 之间则相反
3
1.7 9.0
x3
0.0
0.1 1.0
8.0 27.0
12
二、幂函数的图像研究
k 1
k 1
2.2
2
0 k 1
1.8
1.6
1.4
1.2
1
k 0
0.8
-1
-8 -10
-6
-6
-10 -4
0.6
0.4 7
k0
0.2
6
6
-0.5
0.5
1
1.5
沪教版(上海)数学高一上册-4.1幂函数的性质和图像(2)精品课件
4.1幂函数的性质和图像(2)
幂函数 y xk ( k 0 , k Q )
y
y xb y x
y xa
1
O1
x
例1. 判断下列函数是否是幂 函数：
（1）f (x) 2x2
4
(4) f (x) 3x 3
( 2) f (x)
1 x3
(3) f (x) 1 ; x
1
(5) f (x) (2x)2 (6) f (x) x3 1
y
O
x
(3) y x3
y
O
x
幂函数 y xk (k 0 , k Q) 的图像及性质：
y
1 O1
1
yx 2
y=x-1 y=x-2
x
幂函数y=xk (k<0，x>0)的图像及性质：
(1)图像都经过点(1,1)；
(2)在第一象限上都是单调递减的；
当x→+∞时，图(像3无限)趋当近于x轴x. →0时，图像无限趋近于y轴；
(3)当x→0时，图像无限趋近于y轴；
当x→+∞时，图像无限趋近于x轴. 研究下列幂函数的性质及图像:
当x→+∞时，图像无限趋近于x轴.
(4)当x>1时，指数越大，图象越向上；
(4)当x>1时，指数越大，图象越向上； 幂函数
的图像及性质：
(4)当x>1时，指数越大，图象越向上；
(1)图像都经过点(1,1)；
o
x
y x3
y
o
x
3
y x2
y
o
x
2
y x3
y
o
x
1
y x3
y
o
x
幂函数 y xk ( k 0 , k Q )
y
y xb y x
y xa
1
O1
x
例1. 判断下列函数是否是幂 函数：
（1）f (x) 2x2
4
(4) f (x) 3x 3
( 2) f (x)
1 x3
(3) f (x) 1 ; x
1
(5) f (x) (2x)2 (6) f (x) x3 1
y
O
x
(3) y x3
y
O
x
幂函数 y xk (k 0 , k Q) 的图像及性质：
y
1 O1
1
yx 2
y=x-1 y=x-2
x
幂函数y=xk (k<0，x>0)的图像及性质：
(1)图像都经过点(1,1)；
(2)在第一象限上都是单调递减的；
当x→+∞时，图(像3无限)趋当近于x轴x. →0时，图像无限趋近于y轴；
(3)当x→0时，图像无限趋近于y轴；
当x→+∞时，图像无限趋近于x轴. 研究下列幂函数的性质及图像:
当x→+∞时，图像无限趋近于x轴.
(4)当x>1时，指数越大，图象越向上；
(4)当x>1时，指数越大，图象越向上； 幂函数
的图像及性质：
(4)当x>1时，指数越大，图象越向上；
(1)图像都经过点(1,1)；
o
x
y x3
y
o
x
3
y x2
y
o
x
2
y x3
y
o
x
1
y x3
y
o
x
沪教版(上海)高中数学高一上册第四章4.1幂函数的性质与图像课件
c
1 b
c
例4.已知f (x) (m2 4m 4)xm2 ， m1 当m取何值时，f (x)是幂函数， 并说明该函数的单调性。
例5.若(a
3
3) 5
3
(1 2a) 5
求实数a的取值范围。 当k<0时，图像随x增大而下降。
如果k<0,则幂函数的图像过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数;
幂函数的定义
一般地，函数y xk k是常数，k Q
叫做幂函数，其中x是自变量，k是常数。
定义分析：
1、幂函数的解析式可以写成y xk的形式，
k是常数，k Q,只有1项，且系数为1.
2、定义域与k的值有关系.
例1、判断下列函数哪些是幂函数。
(1) y 1 x2
(3) y 2x
(2) y 2x2 (4) y 1(x 0)
1 a
c
与
1 b
c
解：(1)y x0.8在0， 上是增函数， a b 0, c 0
5.2 5.3 5.20.8 5.30.8
(2)
y
x
2
5在
0，
上是减函数，
2
2
2.5 2.7 2.5 5 2.7 5
(3)因为c 0,所以y xc在0， 上是减函数
ab0
ac bc
即： 1a
幂所函有数 的的幂定函义数域在、(0,奇+∞偶)都性有、定单义调,性并，且因函函数数图式像中都k通的过不点同(1而,1各); 异.
不不如当管管果k<指 指 k0>时数数0,，则是是图幂多多像函少少随数,,图图x的增像像图大都都像而经经过下过过点降哪哪(。0个个,0定定),(点点1,??1)并在(0,+∞)上为增(函-1数,-;1)-1
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第四章4.1幂函数课件
1
在同一坐标系内画出函数 y x 3 和y Nhomakorabea1
x2
的图象·
1
y x y x2 y x3 y x2
1
y x3
y
x 1
y
1
x2
定义域 R
R
R 0, R x x 0 0,
值域 R 0, R 0, R x x 00,
奇偶性
奇
偶
奇
非
奇
奇
非
单调性 R
0, , 0
R
0,
R
0, , 0
(B)
5
y x3
5
(C) y x 4
4
(D) y x 3
变式1: 以上函数中，既是偶函数，又在区间 0, 内是增函数
的是哪一个?
变式2: 以上函数中，既是奇函数，又在区间 , 0 内是减函数
的是哪一个?
变式3: 试写出一个幂函数，使其既是偶函数，又在区间 , 0
内是减函数的解析式。
变式4：如果幂函数 y xm22m3 (m Z) 的图象关
(1) y x (2) y (2 x ) 3 2、如果正方形的面积为S,那么正方形的边长 a与面积有何关系？
(2)在(0,+∞)上单调递增；
3
（2）其定义域为
；
变式3: 试写出一个幂函数，使其既是偶函数，又在区间
内是减函数的解析式。
下列函数中，既是奇函数，又在区间
内是增函数的是( )
最早，在数学上给予幂现实意义的是明末数学家徐光启的译著《几何原本》中称“自乘之数为幂”。
于y轴对称，且与x、y轴均无交点，求此幂函数的解析 式。
变式5：试写出一个函数的解析式，使之满足： （1）由两个幂函数组成的和函数；
高一数学上册 第4章 幂函数、指数函数和对数函数 4_2 指数函数的图像与性质1课件 沪教版
x x
都是指数函数.
思考 常数 a 的范围的限定的必要性？
y a x ,(a 0, a 1) 是否为指数函数？
ex : y a 2 3a 3 a x 是指数函数，求a.
三、指数函数的定义
问题 ：函数 y 2 3 x 是指数函数吗？ 指数函数的解析式y= a 中，a 的系数是1. 有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如
(3) y (2)x
(4) y 3x
(5) y 1x
(6) y 2
x 1
答案：（1） ，（2）， （4）是指数函数。
例1.完成下列表格，并描点作图.
x
2 1
1 x y( ) 2
y2
x
y3
x
4
2
1
1 4 1 2
1
1 9 1 3
1
1 x y( ) 2
y
y 3x y 2x
y ax (a 1)
y 2x
0 a 1 时，在 R 上是减函数.
(4)y轴右，底数越大，图像越高 y轴左，底数越大，图像越低 (5)
x
1
1 x y a 与 y ( ) 的图像关于 y 轴对称. a
O
x
例2.利用指数函数的性质，比较大小. 1.2 0.8 0.6 0.5 1.73 3 0 . 8 (3) 1.5 与 (1) 2 与 2 (2) 0.6 与 0.6 (1) 解： y 2 是 R 上的增函数，且 3 1.73 3 1.73 2 2
x
x
y a k
x
(a 0且a 1, k z)
(a 0, 且a 1)
x
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如
都是指数函数.
思考 常数 a 的范围的限定的必要性？
y a x ,(a 0, a 1) 是否为指数函数？
ex : y a 2 3a 3 a x 是指数函数，求a.
三、指数函数的定义
问题 ：函数 y 2 3 x 是指数函数吗？ 指数函数的解析式y= a 中，a 的系数是1. 有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如
(3) y (2)x
(4) y 3x
(5) y 1x
(6) y 2
x 1
答案：（1） ，（2）， （4）是指数函数。
例1.完成下列表格，并描点作图.
x
2 1
1 x y( ) 2
y2
x
y3
x
4
2
1
1 4 1 2
1
1 9 1 3
1
1 x y( ) 2
y
y 3x y 2x
y ax (a 1)
y 2x
0 a 1 时，在 R 上是减函数.
(4)y轴右，底数越大，图像越高 y轴左，底数越大，图像越低 (5)
x
1
1 x y a 与 y ( ) 的图像关于 y 轴对称. a
O
x
例2.利用指数函数的性质，比较大小. 1.2 0.8 0.6 0.5 1.73 3 0 . 8 (3) 1.5 与 (1) 2 与 2 (2) 0.6 与 0.6 (1) 解： y 2 是 R 上的增函数，且 3 1.73 3 1.73 2 2
x
x
y a k
x
(a 0且a 1, k z)
(a 0, 且a 1)
x
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如
沪教版(上海)数学高一上册-4.1 幂函数的性质与图像课件 最新课件PPT
• 努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。我受过 章。知世故而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世界深深的恶意，然后开启 意人生。第二名就意味着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累的时候，你正在 果每个人都理解你，那你得普通成什么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永远不要大于本事。你那能叫活着么？你那“你 藏着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是家教的问题，和未成年没关系。总 那为什么不能是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果今天我取得了成功，一 了全部努力。阳光里做个孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度再少年世界 钱带父母去看看人情世故要看透，赤子之心不能丢。所有的人都在努力，不是只有你受 没有物质，但生活不行你才二十岁，你可以成为任何想成为的人。人生就像一杯茶，不 总会苦一阵子。中学时候本子上写的一句话：想看日出的人，必须守到拂晓。对人只说 抛一片心。看到的不要全信，知道的不要都说。我20岁，没有什么输不起，也没有什么 20岁和即将20岁的我们。小时候觉得这个世界不公平，后来发现这个世界就是不公平， 情，它会让你更努力……成熟不是心变老而且泪在打转还在笑。越努力，越幸运。牛羊 只会独行。智者寡言”越来越懂这句话了我只负责精彩，上天自有安排。你凭什么不努 不要到处宣扬自己的内心，这世上不止你一个人有故事。既然选择了远方，便只顾风雨 律，就有多自由。我喜欢海，可我不能跳海；我喜欢你，可我不能一直不要脸。提高一 一生不喜与人抢，但得到的也不会让。一百张嘴里一百个我，我是天使但也是恶魔。你 的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。一时的忍耐是为了更广阔的自由，一时的纪律约 成功。越是复杂的人，对简单越有特殊的需求；越是自己内心肮脏的人，越喜欢纯净的 自己，就发现不了别人的优点；过于赞赏别人的优点，就会看不见自己的长处。失去金 失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。谎言容易越说越爽，因为谎言比现实 言像多米诺骨牌一样，说一个慌要十个谎来圆，最后难以自拔。有些烦恼，只有你丢掉 轻的机会每个人心中所希望的，与最终所抵达的，都会有一段距离，这才是生活。成功 而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。财富是猫的尾巴，只要勇往直前，财富就 不要说没体力，不要说对手肘子硬，不要说球太滑，你只需做好基本功。就算对手难缠 多，就算他嘴里不干净，你只需做好基本功。创业前的准备，创业过程中的坚持都至关 始说你是疯子的时候，你离成功就不远了……当你感到悲哀痛苦时，最好是去学些什么 你永远立于不败之地。等待的方法有两种：一种是什么事也不做空等，一种是一边等一 动。互联网上失败一定是自己造成的，要不就是脑子发热，要不就是脑子不热，太冷了 一定能含笑收获。关于人的因素：这点相当重要。不管是蒙是骗还是软硬兼施，都一定 的相对稳定性。人员流失就像放血，开始没什么感觉，却会要你的命。地球是运动的，
沪教版(上海)数学高一上册-4.1幂函数精品课件_2
∴1.212>19012>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.
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比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同，则利用 指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大 小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以
1
是“0”或“1”，也可以是如例33中的1.82.
m2－2m－2＝1，
∴12m2＋m<0，
∴m＝－1.
【答案】 (1)B (2)3 (3)－1
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判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y＝xα(α 为常数)的形式， 即：(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为 1.
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[再练一题] 1．若函数 f(x)是幂函数，且满足 f(4)＝3f(2)，则 f12的值等于________.
(2)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233.
1
1
1
(3)∵函数y＝x2是增函数，且2＞1.8，∴22>1.82.
又∵y＝1.8x是增函数，且21>31，∴1.812>1.813，∴212>1.813.
(4)0.9－12＝19012，
1
1.1＝1.12.
∵1.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ>190>1.1，且y＝x12在[0，＋∞)上单调递增，
D. 2 设幂函数为 y＝xα.∵幂函数的图象经过点4，12，∴21＝4α，
∴α＝－21，∴y＝x－12，∴f(2)＝2－12＝ 22，故选 C.
(上海)数学高一上册-4.1 幂函数的性质与图像 课件
值域
[0, )
R
R
[0, )
R
单调性
图像区域 即所在象限
[0, ) ,递增 (, 0] ,递减 一、二象限 （且过原点）
递增
一、三象限 （且过原点）
递增
一、三象限 （且过原点）
递增
递增
一象限
一、三象限
（且过原点） （且过原点）
返回
练习2:指出下列幂函数所对应的函数图像
2
① y x3
3
② y x2
（1）幂指数k的变化 （2）函数的奇偶性与p，q奇偶性的关系
问题：幂指数 k 0 时，幂函数的图像是怎样的呢？
作业
练习册第41页习题4.1（A）组
思考
在同一个坐标系中，作出 y x-2, y x-1, y x-12, y x0 的图像，并利用图像探究：当指数变化时，幂函 数的图像特征。
分别在不同坐标系中，作出幂函数
1
1
y x2, y x3, y x, y x2 , y x3 的图像．并根据图
像探究：幂指数变化时幂函数的图像特征
(1)表格演示
(2)画板演示
函数解析式 定义域 奇偶性
y x2
R
偶
y x3
R
奇
yx
R
奇
1
y x2
[0, )非奇非偶1 Nhomakorabeay x3
R
奇
函数图像
（注意：选点的合理性）
解： x 0 0.25 0.5 1 2 3 f(x) 0 0.5 0.7 1 1.4 1.7
画板1演示
例2：
研究函数 y x3 的定义域、奇偶性与单调性．
并作出函数的大致图像。
解： x
沪教版(上海)数学高一上册-4.1 幂函数的性质与图像课件 精选课件
能了解别人心灵活动的人永远不必为自己的前途担心。志当存高远。绳锯木断，水滴石穿让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧！锲而舍之，朽木不
有天生的信心，只有不断培养的信心。路曼曼其修远兮，吾将上下而求索天行健，君子以自强不息。会当凌绝顶，一览众山小。丈夫志四海，万里犹比邻。也
言不信。善者不辩，辩者不善。知者不博，博者不知。挫其锐，解其纷，和其光，同其尘，是谓“玄同”。故不可得而亲，不可得而疏；不可得而利，不可得
2.若幂函数的图象经过点(2, 8 )
(4)y x 2 ×
则这个函数的解析式为________________。
二、幂函数的性质与图像 研究函数的定义域，奇偶性和单调性，
并且作出它们的图像
( 1 ) y=x3
定义域为R，奇函数
2
(2) y x 3 3 x2 定义域为
，偶函数
1
(3) y x 2 x 定义域为
，非奇非偶
(4) y
x 4 3
3
1 x4
定义域为
(5) y
x
1 2
1
定义域为
x
，偶函数 ，非奇非偶函数
研究 幂函数在第一象限的图像
图像
y x y y=x3 y=x2
k
y
y=x-4/3
y=x-1
1
y=x1/2
1
y=x-1/2
0
1
X
0
1
X
k>0
性质
（1）图象都过（0，0）点和 （1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值 随x 的增大而增大，即
4、1幂函数性质与图像
一、 幂函数的定义：
一般地，函数
y=xk (k为常数，k∈Q)
沪教版高一数学 上册4.1幂函数的性质和图像(共25张PPT)
4.1幂函数的性质 和图像
（3）函数图像间的关系
1 ) y x 1 ,y x 1 ;2 ) y x 2 2 x ,y x 2 2 x
图像y=f(x)和y=f(|x|),y=|f(x)|的关系
y=f(|x|)的图像是在y轴右侧和y=f(x)右侧一样， 左侧由y=f(x)图像在y轴右侧的翻折对称形成 的图像
，其图像在第一、二象限，且不过原点，则（
）
(A )p ,m 为 奇 数 ,n 为 偶 数 ; (B )p ,n 为 奇 数 ,m 为 偶 数 ; (C )p ,n 为 偶 数 ,m 为 奇 数 ； (D )p ,m 为 偶 数 ,n 为 奇 数
例 2 、 y x n (n Z )图 像 不 过 原 点 且 关 于 原 点 对 称 ， 则 n 为 _ _ _ _
(1)yx2 3;(2)yx1 2;(3)yx2 3;(4)yx;(5)yx3;
1
5
1
4
(6)yx3;(7)yx3;(8)yx2;(9)yx3;(10)yx2
小结
幂函数图像特点：
函数性质
定点：都经过点（1，1）
第一象限：
ｋ＞１， 图像为举手型 ———增函数 ０＜ｋ＜１，图像为眉毛型 ———增函数 ｋ＜０， 图像为双曲线型———减函数
研究函数的一般方法：定义域、奇偶性、单调性、图像 （特殊点，特殊的性质）
一、幂函数的概念
函数 yxkkQ 叫做幂函数
k为常数
例1、下面函数中，为幂函数的有____________
( 1 ) y 2 x ; ( 2 ) y x 1 ; ( 3 ) y x 0 . 3 ; ( 4 ) y x 2 ; ( 5 ) y ( x 2 ) 2
高一数学上册 第4章 幂函数、指数函数和对数函数 4.2 指数函数的图像与性质2课件 沪教版
经过2年 y 0.84 0.84 0.842 L L 经过 x 年 y 0.84x , x N * (2) 0.84x 0.6 Q y 0.84x 为单调减函数 利用计算器可知 0.842 0.6, 0.843 0.6
因此，经过3年剩余量不足最初的60%
例2.截止到1999年，我国人口约13亿.如果今后能 将人口年平均增长率控制在1%，那么到2011年， 我国人口数最多为多少？(精确到0.1亿) 如果印度2011年人口估计约为12.1亿，年平均增长 率保持在2.4%，那么到哪一年，印度人口将会超 过我国人口？
即经过14年，到2025年印度人口将超过我国人口.
指数型函数简介
实际问题中，经常会遇到例2这样的增长模型： 设原有量为 m ,每次的增长率为 p ,经过 x 次增长，
增长到 y ，则 y m(1 p)x , x N
形如 y kax (a 0, a 1, k 0,1) 的函数称为
指数型函数.
4.2.1 指数函数的图像与性质
4.2.2 指数函数的图像与性质
例1.某种放射性物质不断变为其他物质，每经过 1年，这种物质剩留的质量是原来的84%. (1)写出该物质剩留量关于经过年数的函数关系式； (2)经过多少年，剩留量不到最初的60%?
解：设该物质最初的量为1，经过 x 年后还剩 y (1) 经过1年 y 1 0.84 0.84
解: (1)经过1年(2000) y 13 131% 13(11%)
经过2年(2001) y 13(11%) 13(11%) 1%
13(11%)2 L L 经过12年(2011) y 13(11%)12 14.6 (亿)
即到2011年，我国人口最多为14.6亿
例2.截止到1999年，我国人口约13亿.如果今后能 将人口年平均增长率控制在1%，那么到2011年， 我国人口数最多为多少？(精确到0.1亿) ？ 如果印度到2011年人口估计达到12.1亿，年平均增 长率保持在2.4%，那么到哪一年，印度人口将会 超过我国人口？
因此，经过3年剩余量不足最初的60%
例2.截止到1999年，我国人口约13亿.如果今后能 将人口年平均增长率控制在1%，那么到2011年， 我国人口数最多为多少？(精确到0.1亿) 如果印度2011年人口估计约为12.1亿，年平均增长 率保持在2.4%，那么到哪一年，印度人口将会超 过我国人口？
即经过14年，到2025年印度人口将超过我国人口.
指数型函数简介
实际问题中，经常会遇到例2这样的增长模型： 设原有量为 m ,每次的增长率为 p ,经过 x 次增长，
增长到 y ，则 y m(1 p)x , x N
形如 y kax (a 0, a 1, k 0,1) 的函数称为
指数型函数.
4.2.1 指数函数的图像与性质
4.2.2 指数函数的图像与性质
例1.某种放射性物质不断变为其他物质，每经过 1年，这种物质剩留的质量是原来的84%. (1)写出该物质剩留量关于经过年数的函数关系式； (2)经过多少年，剩留量不到最初的60%?
解：设该物质最初的量为1，经过 x 年后还剩 y (1) 经过1年 y 1 0.84 0.84
解: (1)经过1年(2000) y 13 131% 13(11%)
经过2年(2001) y 13(11%) 13(11%) 1%
13(11%)2 L L 经过12年(2011) y 13(11%)12 14.6 (亿)
即到2011年，我国人口最多为14.6亿
例2.截止到1999年，我国人口约13亿.如果今后能 将人口年平均增长率控制在1%，那么到2011年， 我国人口数最多为多少？(精确到0.1亿) ？ 如果印度到2011年人口估计达到12.1亿，年平均增 长率保持在2.4%，那么到哪一年，印度人口将会 超过我国人口？
沪教版(上海)数学高一上册-4.1 幂函数的性质与图像 课件 精选课件
(注意：过程可以类比本节课内容)
向你的美好的希冀和追求撒开网吧，九百九十九次落空了，还有一千次呢人若软弱就是自己最大的敌人游手好闲会使人心智生锈。故天将降大任于斯人也，必
体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，增益其所不能。让生活的句号圈住的人，是无法前时半步的。少一点预设的期待，那份对人的关怀会更自在
4.1 幂函数的性质与图像
1．幂函数的定义
形如y xk（k为常数且k为有理数） 的函数叫做幂函数.
练习1
判断以下函数是否是幂函数：
①
1
y x2
② y4x3
③ y x2 x
④ y 1
x
是
否
否
是
2．探究幂函数的性质与图像
1
例1：研究函数 y x2 的定义域、奇偶性和单调性， 并且作出图像。
之争。是以圣人抱一为天下式。不自见，故明；不自是，故彰；不自伐，故有功；不自矜，故长。夫唯不争，故天下莫能与之争。故道大，天大，地大，人亦
焉修之於身，其德乃真；修之於家，其德乃余；修之於乡，其德乃长；修之於邦，其德乃丰；修之於天下，其德乃普。故以身观身，以家观家，以乡观乡，以
以知天下然哉？以此。慈故能勇；俭故能广；不敢为天下先，故能成器长。今舍慈且勇；舍俭且广；舍後且先；夫慈以战则胜，以守则固。天将救之，以慈卫
值域
[0, )
R
R
[0, )
单调性
图像区域 即所在象限
[0, ) ,递增 (, 0] ,递减 一、二象限 （且过原点）
递增
一、三象限 （且过原点）
递增
一、三象限 （且过原点）
递增
递增
一象限
一、三象限
（且过原点） （且过原点）
向你的美好的希冀和追求撒开网吧，九百九十九次落空了，还有一千次呢人若软弱就是自己最大的敌人游手好闲会使人心智生锈。故天将降大任于斯人也，必
体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，增益其所不能。让生活的句号圈住的人，是无法前时半步的。少一点预设的期待，那份对人的关怀会更自在
4.1 幂函数的性质与图像
1．幂函数的定义
形如y xk（k为常数且k为有理数） 的函数叫做幂函数.
练习1
判断以下函数是否是幂函数：
①
1
y x2
② y4x3
③ y x2 x
④ y 1
x
是
否
否
是
2．探究幂函数的性质与图像
1
例1：研究函数 y x2 的定义域、奇偶性和单调性， 并且作出图像。
之争。是以圣人抱一为天下式。不自见，故明；不自是，故彰；不自伐，故有功；不自矜，故长。夫唯不争，故天下莫能与之争。故道大，天大，地大，人亦
焉修之於身，其德乃真；修之於家，其德乃余；修之於乡，其德乃长；修之於邦，其德乃丰；修之於天下，其德乃普。故以身观身，以家观家，以乡观乡，以
以知天下然哉？以此。慈故能勇；俭故能广；不敢为天下先，故能成器长。今舍慈且勇；舍俭且广；舍後且先；夫慈以战则胜，以守则固。天将救之，以慈卫
值域
[0, )
R
R
[0, )
单调性
图像区域 即所在象限
[0, ) ,递增 (, 0] ,递减 一、二象限 （且过原点）
递增
一、三象限 （且过原点）
递增
一、三象限 （且过原点）
递增
递增
一象限
一、三象限
（且过原点） （且过原点）
沪教版(上海)数学高一上册-4.1 幂函数的性质与图像课件 优秀课件PPT
用微笑告诉别人，今天的我，比昨天更强。瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。孤独是 每个强者必须经历的坎。有时候，坚持了你最不想干的事情之后，会得到你最想要的东西。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。只有经历人生 的种种磨难，才能悟出人生的价值。没有比人更高的山，没有比脚更长的路学会坚强，做一只沙漠中永不哭泣的骆驼！一个人没有钱并不一定就穷，但没 有梦想那就穷定了。困难像弹簧，你强它就弱，你弱它就强。炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。没有人能令你失望，除了你自己人生舞台的大幕随时都 可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双 脚也无法到达。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我成功因为我志在成功！再冷的石头，坐上三年也会暖。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 有福之人是那些抱有美好的企盼从而灵魂得到真正满足的人。如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。只有不断找寻机会的人才 会及时把握机会。人之所以平凡，在于无法超越自己。无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。你可以选择这样的“三 心二意”：信心恒心决心；创意乐意。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。如果一个人不知道他要驶向哪个码头， 那么任何风都不会是顺风。行动是理想最高贵的表达。你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。勇气是控制恐惧心理，而不是心里毫无恐惧。不举步， 越不过栅栏；不迈腿，登不上高山。不知道明天干什么的人是不幸的！智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印不要让安逸盗取我们的生命力。别人只能给 你指路，而不能帮你走路，自己的人生路，还需要自己走。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。后悔是一种耗费精神的情绪，后悔是 比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以，不要后悔！复杂的事情要简单做，简单的事情要认真做，认真的事情要重复做，重复的事情要创造性地做。 只有那些能耐心把简单事做得完美的人，才能获得做好困难事的本领。生活就像在飙车，越快越刺激，相反，越慢越枯燥无味。人生的含义是什么，是奋 斗。奋斗的动力是什么，是成功。决不能放弃，世界上没有失败，只有放弃。未跌过未识做人，不会哭未算幸运。人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到 达终点，而在乎你有没有跑完全程。累了，就要休息，休息好了之后，把所的都忘掉，重新开始！人生苦短，行走在人生路上，总会有许多得失和起落。 人生离不开选择，少不了抉择，但选是累人的，择是费人的。坦然接受生活给你的馈赠吧，不管是好的还是坏的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发 现其实那都不算事。要先把手放开，才抓得住精彩旳未来。可以爱，可以恨，不可以漫不经心。我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。你若不想 做，会找一个或无数个借口；你若想做，会想一个或无数个办法。见时间的离开，我在某年某月醒过来，飞过一片时间海，我们也常在爱情里受伤害。1、 只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。人生就像奔腾的江水，没有岛屿与暗礁，就难以激起美丽的浪花。别人能做到的事，我一定也能做到。不 要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。逆境中，力挽狂澜使强者更强，随波逐流使弱者更弱。凉风把枫叶吹红，冷言让强者成熟。努力不不一定成 功，不努力一定不成功。永远不抱怨，一切靠自己。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的 路。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就是被压在社会的底层。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的 损失，比错误更大的错误所以不要后悔。每个人都有潜在的能量，只是很容易:被习惯所掩盖，被时间所迷离,被惰性所消磨。与其临渊羡鱼，不如退而结网。 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。世界会向那些有目标和远见的人让路。不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不 能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。赚钱之道很多，但是 找不到赚钱的种子，便成不了事业家。最有效的资本是我们的信誉，它小时不停为我们工作。销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成
《对数与对数函数》指数函数、对数函数与幂函数PPT课件(对数函数的性质与图像)【品质课件PPT】
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4.2 对数与对数函数 4.2.3 对数函数的性质与图像 第1课时 对数函数的性质与图像
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
考点
学习目标
核心素养
理解对数函数的概念，会 对数函数的概念
判断对数函数
数学抽象
初步掌握对数函数的图
对数函数的图像
直观想象、数学运算
像与性质
对数函数的简单 能利用对数函数的性质
数学建模、数学运算
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问题导学
预习教材 P24－P27 的内容，思考以下问题： 1．对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？ 2．对数函数的图像是什么，通过图像可观察到对数函数具有哪 些性质？
栏目 导引
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
对数函数
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4.1.1 幂函数的性质与图像
4.1.2 幂函数的性质与图像
例1.根据幂函数 y x, y 1 的图像，在同一坐标系
x
中作函数 y x 1, y 1 1 的图像.
x 1
y x 1 y x
1
y x 向 x 轴负方向平移1单位 y x 1
例1.根据幂函数
y
例2.利用例1中函数图像，解不等式： x a,(a 1)
x 1
解： x a
x 1
a
x a
a 1
结合图像可知：
x a, (a 1) 的解集
x 1
为 (1, a ) 解毕
a 1
例3.作函数
y
|
x
1 | 1
的大致图像，并解不等式
1 1 | x | 1
解：y 1 是偶函数， | x | 1
3)
1 3
(1
2a)
1 3
a 3 1 2a 0 或 0 a 3 1 2a 或
a 3 0 1 2a
解得：a (, 4) ( 1 ,3)
解毕
2
(选用)例4.阅读不等式 (a 3)3 (1 2a)3 的解法.
尝试解不等式:
(a
3)
1 3
(1
2a)
1 3
解法二：因为 y x3在 (, )
(a
3)
1 3
(1
2a)
1 3
[(a
3)
1 3
]3
[(1
2a)
1 3
]3
1 1 a 3 1 2a
, 4) ( 1 ,3) 解毕 2
因此先作 y 1 , x 0 的图像 x 1
根据图像可知 1 1 的解集为 | x | 1
(, 1) {0} (1, ) 解毕
(选用)例4.阅读不等式 (a 3)3 (1 2a)3 的解法.
尝试解不等式: (a
3)
1 3
(1
2a)
1 3
解：因为 y x3 在(, )
上是单调增函数，
(a 3)3 (1 2a)3
a 3 1 2a a (4, )
解毕
(选用)例4.阅读不等式 (a 3)3 (1 2a)3 的解法.
尝试解不等式:
(a
3)
1 3
(1
2a)
1 3
解：因为
y
x
1 3
在
(0,
)
,
(,
0)
(a
1 x
的图像，在同一坐标系中作
函数 y 1 1的图像.
x 1
y 1 1 x 1
y1 x
y1 x
向 x 轴正方向平移1单位 y 1 1 向 y 轴正方向平移1单位 x 1
例2.利用例1中函数图像，解不等式： x 1 x 1
y x 1
y x 1
1
3
解： x 1 x 1 x 1 (x 1)2 x 3 或 0 结合图像可得 x 1 x 1 的解集为 [1,3)
4.1.2 幂函数的性质与图像
例1.根据幂函数 y x, y 1 的图像，在同一坐标系
x
中作函数 y x 1, y 1 1 的图像.
x 1
y x 1 y x
1
y x 向 x 轴负方向平移1单位 y x 1
例1.根据幂函数
y
例2.利用例1中函数图像，解不等式： x a,(a 1)
x 1
解： x a
x 1
a
x a
a 1
结合图像可知：
x a, (a 1) 的解集
x 1
为 (1, a ) 解毕
a 1
例3.作函数
y
|
x
1 | 1
的大致图像，并解不等式
1 1 | x | 1
解：y 1 是偶函数， | x | 1
3)
1 3
(1
2a)
1 3
a 3 1 2a 0 或 0 a 3 1 2a 或
a 3 0 1 2a
解得：a (, 4) ( 1 ,3)
解毕
2
(选用)例4.阅读不等式 (a 3)3 (1 2a)3 的解法.
尝试解不等式:
(a
3)
1 3
(1
2a)
1 3
解法二：因为 y x3在 (, )
(a
3)
1 3
(1
2a)
1 3
[(a
3)
1 3
]3
[(1
2a)
1 3
]3
1 1 a 3 1 2a
, 4) ( 1 ,3) 解毕 2
因此先作 y 1 , x 0 的图像 x 1
根据图像可知 1 1 的解集为 | x | 1
(, 1) {0} (1, ) 解毕
(选用)例4.阅读不等式 (a 3)3 (1 2a)3 的解法.
尝试解不等式: (a
3)
1 3
(1
2a)
1 3
解：因为 y x3 在(, )
上是单调增函数，
(a 3)3 (1 2a)3
a 3 1 2a a (4, )
解毕
(选用)例4.阅读不等式 (a 3)3 (1 2a)3 的解法.
尝试解不等式:
(a
3)
1 3
(1
2a)
1 3
解：因为
y
x
1 3
在
(0,
)
,
(,
0)
(a
1 x
的图像，在同一坐标系中作
函数 y 1 1的图像.
x 1
y 1 1 x 1
y1 x
y1 x
向 x 轴正方向平移1单位 y 1 1 向 y 轴正方向平移1单位 x 1
例2.利用例1中函数图像，解不等式： x 1 x 1
y x 1
y x 1
1
3
解： x 1 x 1 x 1 (x 1)2 x 3 或 0 结合图像可得 x 1 x 1 的解集为 [1,3)