离散数学课件 ch16
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离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
《离散数学》课件-第16章树
解：易见所求为该图的一棵最小生成树，如图所示 总造价为57
18
16.3 根树及其应用
19
定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
8
平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
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16.3 根树及其应用
19
定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
8
平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
离散数学PPT课件
定义2.1设A,B是两个命题公式，若A，B构成的等价 式AB为重言式，则称A与B等值，记为AB。
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
7
例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
16
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
1
离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
2
第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
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例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
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例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
1
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离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
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第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
离散数学课件-绪论
离散数学课件-绪论
目录
• 离散数学的概述 • 离散数学的主要分支 • 离散数学的基本概念 • 离散数学的研究方法 • 离散数学的学习意义和价值
01
离散数学的概述
离散数学的定义
• 离散数学：离散数学是研究数学结构中非连续、分离对象的数 学分支。它主要关注集合论、图论、逻辑、组合数学等领域， 用于描述和研究离散对象之间的关系和性质。
在离散数学中，形式化方法常用于描述集合、关系、图等数学对象，如集合论中的集合定义和关系定 义。
归纳法
归纳法是从个别到一般的推理方法， 通过对一些具体实例的分析，归纳出 一般规律或性质。
VS
在离散数学中，归纳法常用于证明一 些关于自然数的性质和定理，如归纳 法在证明阶乘性质中的应用。
反证法
反证法是一种间接证明方法，通过假设与要 证明的命题相矛盾的命题成立，推出矛盾， 从而证明原命题成立。
逻辑学
01
逻辑学是研究推理和论证的规则 和结构的数学分支。逻辑学为离 散数学的各个分支提供了推理和 证明的工具和方法。
02
逻辑学中的基本概念包括命题、 量词、推理规则、证明等，这些 概念为离散数学的各个分支提供 了推理和证明的工具和方法。
组合数学
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支。组合数学在计算机科学、统 计学和运筹学等领域有广泛应用。
离散数学的起源和发展
起源
离散数学的起源可以追溯到古代数学中的一些研究，如几何学和逻辑学。随着 时间的推移，离散数学的各个分支逐渐形成和发展，成为一门独立的学科。
发展
离散数学的发展与计算机科学的发展密切相关。随着计算机科学的兴起，离散 数学在理论和实践方面都得到了广泛的应用和发展。
离散数学的应用领域
目录
• 离散数学的概述 • 离散数学的主要分支 • 离散数学的基本概念 • 离散数学的研究方法 • 离散数学的学习意义和价值
01
离散数学的概述
离散数学的定义
• 离散数学：离散数学是研究数学结构中非连续、分离对象的数 学分支。它主要关注集合论、图论、逻辑、组合数学等领域， 用于描述和研究离散对象之间的关系和性质。
在离散数学中，形式化方法常用于描述集合、关系、图等数学对象，如集合论中的集合定义和关系定 义。
归纳法
归纳法是从个别到一般的推理方法， 通过对一些具体实例的分析，归纳出 一般规律或性质。
VS
在离散数学中，归纳法常用于证明一 些关于自然数的性质和定理，如归纳 法在证明阶乘性质中的应用。
反证法
反证法是一种间接证明方法，通过假设与要 证明的命题相矛盾的命题成立，推出矛盾， 从而证明原命题成立。
逻辑学
01
逻辑学是研究推理和论证的规则 和结构的数学分支。逻辑学为离 散数学的各个分支提供了推理和 证明的工具和方法。
02
逻辑学中的基本概念包括命题、 量词、推理规则、证明等，这些 概念为离散数学的各个分支提供 了推理和证明的工具和方法。
组合数学
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支。组合数学在计算机科学、统 计学和运筹学等领域有广泛应用。
离散数学的起源和发展
起源
离散数学的起源可以追溯到古代数学中的一些研究，如几何学和逻辑学。随着 时间的推移，离散数学的各个分支逐渐形成和发展，成为一门独立的学科。
发展
离散数学的发展与计算机科学的发展密切相关。随着计算机科学的兴起，离散 数学在理论和实践方面都得到了广泛的应用和发展。
离散数学的应用领域
离散数学(精选优秀)PPT
二、命题的表示法
1、命题标识符：表示命题的符号称为命题标识符。在数理逻辑中，使 用大写字母，或带下标的大写字母，或用方括号括起的数字表示命题。
例：P： 今天下雨。 “今天下雨”是一个命题，P是命题标识符。
它形成于七十年代初期，是一门新兴的工具性学科。
离散数学的应用
◆关系型数据库的设计（关系代数） ◆表达式解析（树） ◆编译技术、程序设计语言（代数结构） ◆人工智能、自动推理、机器证明（数理逻辑） ◆网络路由算法（图论） ◆游戏中的人工智能算法（图论、树、博弈论） ◆专家系统（集合论、数理逻辑—知识和推理规则的计算机表达） ◆软件工程—团队开发—时间和分工的优化（图论—网络、划分） ◆(各种)算法的构造、正确性的证明和效率的评估（离散数学的
第一章 命题逻辑
目标语言：就是表达判断的一些语言的汇集。 目标语言和一些符号公式构成了数理逻辑的形式 符号体系。
1-1 命题及其表示法
一、命题
1、定义 能表达判断的陈述句，称作命题（Proposition）。 例：判断下列语句是否为命题: (陈1)述地句球：外述存说在一智件事慧情生的物句。子，句末用句号。 (祈2)使1＋句1：=要10求。或者希望别人做什么事或者不做什么事时用的 (句3)子今，天句下末雨用。句号或感叹号。 (疑4)问你句今：年提暑出假问去题的旅句行子吗，？句（末疑用问问号句。） (感5)叹克句里：特带岛有人浓说厚感：情“的克句里子特，岛句末人用是感说叹谎号话。者”。 悖（：相悖反论。）悖论：自相矛盾的陈述。
各分支）
教材
左孝凌，李为鉴，刘永才编著．离散数学．上海： 上海科学技术文献出版社,1982 主要参考教材: 孙吉贵，杨凤杰，欧阳丹彤，李占山编著．离散数 学．高等教育出版社，2002
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
精品课程《离散数学》PPT课件(全)
言1
为什么学习离散数学？
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术 的理论基础，所以又称为计算机数学，是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研 究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课？
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数： (3) 只有 a能被2整除， a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除， a才能被2整除。
解： 令r： a能被4整除， s： a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
26
19
1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，记作p ∨ q，符号∨称 为析取联结词。 运算规则：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
20
1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点：只有参与运算的二命题全为假时，运算结果才 为假，否则为真。 相容或：二者至少有一个发生，也可二者都发生 排斥或：二者只有一个发生，即非此即彼 例如： （1）小王爱打球或爱跑步。 设p：小王爱打球。 q：小王爱跑步。 则上述命题可符号化为：p ∨ q （2）张晓静是江西人或湖南人。 设p：江西人。 q：湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为：p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)
（1）星期天天气好，带儿子去了动物园； （2）星期天天气好，却没带儿子去动物园； （3）星期天天气不好，却带儿子去了动物园； （4）星期天天气不好，没带儿子去动物园。
离散数学课件第一章
图的连通性
04
CHAPTER
逻辑基础
命题逻辑中的基本概念包括命题、真值和逻辑运算，通过这些基本概念可以表达和推理复杂的命题关系。
命题逻辑在计算机科学、人工智能、自动化等领域有广泛应用，是形式化方法的重要基础。
命题逻辑是研究命题之间关系的逻辑分支，主要涉及命题的否定、合取、析取、蕴含等基本运算。
命题逻辑
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等。并集是指两个或多个集合合并为一个新的集合，包含所有元素；交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合；差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合。这些运算在离散数学中有着广泛的应用。
总结词
集合的运算
集合的基数是指集合中元素的个数，通常用大写字母表示。
鸽巢原理
THANKS
感谢您的观看。
集合论
图论是研究图（由节点和边构成的结构）的数学分支，它广泛应用于计算机科学和工程学科。
图论
逻辑是离散数学的另一个重要分支，它研究推理的形式和规则，是计算机科学和人工智能的基础。
逻辑
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支，它在计算机科学和统计学中有重要的应用。
组合数学
离散数学的研究内容
02
CHAPTER
离散数学课件第一章
目录
绪论 集合论基础 图论基础 逻辑基础 组合数学基础
01
CHAPTER
绪论
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树等）的数学分支，它不涉及连续的量或函数。
离散数学的定义
离散数学的起源
离散数学的特点
离散数学的起源可以追溯到古代数学，如欧几里得几何和数论。
离散数学强调结构、关系和组合，而不是连续性和微积分。
离散数学]PPT课件
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《定义》 设A是集合，A的所有子集（作为元素）的集合 称为A的幂集。
(c)同一集合可以用多种不同的形式表示。 (d)集合也可作为某一集合的元素。
例：S={a,{1,2},p,{q}}
§1集合的概念和表示法
(3)三个特殊集合：空集、全集合、集合族 《定义》如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合，
则称该集合为全集合，简称全集，用E表示。 E={x | p(x) ∨ p(x)} p(x)为任何谓词公式
§1集合的概念和表示法
注意：区分“”和“”的关系： “”关系是指集合和该集合中元素之间的关系。
例：S={a,{b},c} 则a S，{b}S，c S 而“”关系是指二个集合之间的关系。
例：S1={a, b} S2={a,b,1,2} 则S1 S2 若A不包含于B，则也可表示成AB 《定理》设E是全集，A是一个集合，则一定有
《定义》不拥有任何元素的集合称为空集（或称零集）， 用表示 ={x | p(x) ∧ p(x) }={ }
注意： ≠ {} 前者是空集，是没有元素的集合；后 者是以作为元素的集合。
§1集合的概念和表示法
《定义》集合中的元素均为集合，称这样的集合为集合 族。 例A={{a}，{b}，{c、d}}
2、集合之间的关系 《公理》给定二个集合A和B，当且仅当A和B具有同样
§1集合的概念和表示法
例：大于10的整数的集合：S1={x | x I ∧ x>10} 偶整数集合：S2={x | y (y I ∧ x=2y)} 有限个元素集合： S3={1,2,3,4,5}={x | x I ∧ (1 ≤ x ≤ 5) } S4={F,T}={x | x=T ∨ x=F} S5={1,4}={ x | (x²-5x+4=0) }
(c)同一集合可以用多种不同的形式表示。 (d)集合也可作为某一集合的元素。
例：S={a,{1,2},p,{q}}
§1集合的概念和表示法
(3)三个特殊集合：空集、全集合、集合族 《定义》如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合，
则称该集合为全集合，简称全集，用E表示。 E={x | p(x) ∨ p(x)} p(x)为任何谓词公式
§1集合的概念和表示法
注意：区分“”和“”的关系： “”关系是指集合和该集合中元素之间的关系。
例：S={a,{b},c} 则a S，{b}S，c S 而“”关系是指二个集合之间的关系。
例：S1={a, b} S2={a,b,1,2} 则S1 S2 若A不包含于B，则也可表示成AB 《定理》设E是全集，A是一个集合，则一定有
《定义》不拥有任何元素的集合称为空集（或称零集）， 用表示 ={x | p(x) ∧ p(x) }={ }
注意： ≠ {} 前者是空集，是没有元素的集合；后 者是以作为元素的集合。
§1集合的概念和表示法
《定义》集合中的元素均为集合，称这样的集合为集合 族。 例A={{a}，{b}，{c、d}}
2、集合之间的关系 《公理》给定二个集合A和B，当且仅当A和B具有同样
§1集合的概念和表示法
例：大于10的整数的集合：S1={x | x I ∧ x>10} 偶整数集合：S2={x | y (y I ∧ x=2y)} 有限个元素集合： S3={1,2,3,4,5}={x | x I ∧ (1 ≤ x ≤ 5) } S4={F,T}={x | x=T ∨ x=F} S5={1,4}={ x | (x²-5x+4=0) }
离散数学课件ppt
随机性与概率
随机性表示试验结果的不 确定性，概率则表示随机 事件发生的可能性大小。
统计数据的收集和整理
数据来源
数据质量
数据可以来源于调查、实验、观测、 查阅文献等多种途径。
数据质量包括数据的准确性、可靠性 、完整性等方面，是数据分析的前提 和基础。
数据整理
数据整理包括数据的分类、排序、分 组、编码等步骤，以便更好地进行数 据分析。
必然事件
概率值为1的事件。
03
04
不可能事件
概率值为0的事件。
互斥事件
两个或多个事件不能同时发生 。
概率的加法原理和乘法原理
加法原理
对于任意两个互斥事件A和B，有 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
乘法原理
对于任意两个事件A和B，有 P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
条件概率和独立性
要点一
条件概率
离散数学课件
目录 CONTENTS
• 离散数学简介 • 集合论基础 • 图论基础 • 离散概率论基础 • 离散统计学基础 • 离散数学中的问题求解方法
01
离散数学简介
离散数学的起源
19世纪初
集合论的提出为离散数学的起源 奠定了基础。
20世纪中叶
随着计算机科学的兴起，离散数 学逐渐受到重视和应用。
子集、超集和补集
总结词
子集、超集和补集是集合论中的重要概念，它们描述了集合之间的关系。
详细描述
子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合，超集是指一个集合包含另一 个集合的所有元素，补集是指属于某个集合但不属于其子集的元素组成的集合。
集合的运算性质
总结词
集合的运算性质包括并集、交集、差集等，这些运算描述了 集合之间的组合关系。
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22
t
i 1
例 5 求带权为1, 1, 2, 3, 4, 5的最优树. 解题过程由图9给出，W(T)=38
23
最佳前缀码
定义16.10 设1, 2, …, n-1, n是长度为 n 的符号串 (1) 前缀——1, 12, …, 12…n1 (2) 前缀码——{1, 2, …, m}中任何两个元素互不为前缀 (3) 二元前缀码——i (i=1, 2, …, m) 中只出现两个符号，如0 与1. 如何产生二元前缀码？ 定理16.6 一棵2叉树产生一个二元前缀码. 推论 一棵正则2叉树产生惟一的前缀码（按左子树标0， 右子树标1）
15
最小生成树
定义16.5 T是G=<V,E,W>的生成树 (1) W(T)——T各边权之和 (2) 最小生成树——G的所有生成树中权最小的
求最小生成树的一个算法 避圈法（Kruskal）设G=<V,E,W>，将G中非环边按权从小 到大排序：e1, e2, …, em. (1) 取e1在T中 (2) 查e2，若e2与e1不构成回路，取e2也在T 中，否则弃e2. (3) 再查e3,…, 直到得到生成树为止.
定理16.1 设G=<V,E>是n阶m条边的无向图，则下面各命题 是等价的： (1) G 是树 (2) G 中任意两个顶点之间存在惟一的路径. (3) G 中无回路且 m=n1. (4) G 是连通的且 m=n1. (5) G 是连通的且 G 中任何边均为桥. (6) G 中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新 边，在所得图中得到惟一的一个含新边的圈.
21
最优二叉树
定义16.9 设2叉树T 有t片树叶v1, v2, …, vt，权分别为w1, w2, …, wt，称 W (t ) wi l (v i ) 为T 的权，其中l(vi)是vi 的层数. 在所有有t片树叶，带权w1, w2, …, wt 的2叉树中，权最小的2 叉树称为最优2叉树. 求最优树的算法—— Huffman算法 给定实数w1, w2, …, wt，且w1w2…wt. (1) 连接权为w1, w2的两片树叶，得一个分支点，其权为w1+w2. (2) 在w1+w2, w3, …, wt 中选出两个最小的权，连接它们对应的 顶点(不一定是树叶)，得新分支点及所带的权. (3) 重复(2)，直到形成 t1个分支点，t片树叶为止.
28
用2叉有序正则树存放算式
存放规则
最高层次运算放在树根 后依次将运算符放在根 子树的根上 数放在树叶上 规定：被除数、被减数 放在左子树树叶上
算式 ((b+(c+d))a)((ef)(g+h)(ij)) 存放在图所示2叉树上.
29
波兰符号法
波兰符号法 按前序行遍法访问存放算式的2叉有序正则树，其结果不加 括号，规定每个运算符号与其后面紧邻两个数进行运算，运 算结果正确. 称此算法为波兰符号法或前缀符号法. 对上图的 访问结果为 b+cdaef+ghij 逆波兰符号法 按后序行遍法访问，规定每个运算符与前面紧邻两数运算， 称为逆波兰符号法或后缀符号法. 对上图的访问结果为 bcd++aefgh+ij
16
实例
例4 求图的一棵最小生成树.
所求最小生成树如 图所示，W(T)=38.
17
பைடு நூலகம் 16.3 根树及其应用
定义16.6 T是有向树（基图为无向树） (1) T 为根树——T 中一个顶点入度为0，其余的入度均为1. (2) 树根——入度为0的顶点 (3) 树叶——入度为1，出度为0的顶点 (4) 内点——入度为1，出度不为0的顶点 (5) 分支点——树根与内点的总称 (6) 顶点v的层数——从树根到v的通路长度 (7) 树高——T 中层数最大顶点的层数 (8) 平凡根树——平凡图
W(T)=285， 传10n(n2)个 用二进制数字需 2.8510n个， 用等长码需 310n个数字.
27
波兰符号法与逆波兰符号法
行遍或周游根树T——对T的每个顶点访问且仅访问一次. 对2叉有序正则树的周游方式： ① 中序行遍法——次序为：左子树、根、右子树 ② 前序行遍法——次序为：根、左子树、右子树 ③ 后序行遍法——次序为：左子树、右子树、根 对图所示根树按中序、前序、 后序行遍法访问结果分别为： b a (f d g) c e， a b (c (d f g) e)， b ((f g d) e c) a
求基本割集的算法 设e为生成树T 的树枝，Te为两棵小树T1与T2，令 Se ={e | eE(G)且e的两个端点分别属于T1与T2} 则Se为e 对应的基本割集.
14
实例
例3 图5实线边所示为生成树，求基本回路系统与基本割集系统
解 弦e, f, g对应的基本回路分别为 Ce=e b c, Cf=f a b c, Cg=g a b c d, C基={Ce, Cf, Cg}. 树枝a, b, c, d对应的基本割集分别为 Sa={a, f, g}, Sb={b, e, f, g}, Sc={c, e, f g}, Sd={d, g}, S基={Sa, Sb, Sc, Sd}.
26
求最佳前缀码
解 用100个八进制数字中各数字出现的个数，即以100乘各频 率为权，并将各权由小到大排列，得w1=5, w2=5, w3=10, w4=10, w5=10, w6=15, w7=20, w8=25. 用此权产生的最优树如图所示. 01-----0 001-----2 101-----4 00000-----6 11-----1 100-----3 0001-----5 00001-----7
5
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T 中至少有两片树叶. 证 设 T 有 x 片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2( n 1)
由上式解出x 2.
d ( v ) x 2( n x )
i
6
例题
例1 已知无向树T中有1个3度顶点，2个2度顶点，其余顶点 全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同构的无向树. 解 解本题用树的性质m=n1，握手定理. 设有x片树叶，于是 n = 1+2+x = 3+x, 2m = 2(n1) = 2(2+x) = 13+22+x 解出x = 3，故T有3片树叶. T 的度数列应为 1, 1, 1, 2, 2, 3， 易知3度顶点与1个2度顶点相邻 与和2个2度顶点均相邻是非同 构的，因而有2棵非同构的无向 树T1, T2，如图所示.
18
根树实例
根树的画法——树根放上方，省去所有有向边上的箭头
19
家族树与根子树
定义16.7 T 为非平凡根树 (1) 祖先与后代 (2) 父亲与儿子 (3) 兄弟
定义16.8 设v为根树T中任意一顶点，称v及其后代的导出子 图为以v为根的根子树.
20
根树的分类
(1) T 为有序根树——同层上顶点标定次序的根树 5． (2) 分类 ① r 叉树——每个分支点至多有r 个儿子 ② r 叉有序树——r 树是有序的 ③ r 叉正则树——每个分支点恰有r 个儿子 ④ r 叉正则有序树 ⑤ r 叉完全正则树——树叶层数相同的r叉正则树 ⑥ r 叉完全正则有序树
3
证明思路
(1)(2). 关键一步是, 若路径不惟一必有回路. (2)(3). 若G中有回路，则回路上任意两点之间的路径不 惟一. 对n用归纳法证明m=n1. n=1正确. 设nk时对，证n=k+1时也对：取G中边e， Ge有且仅有两个连通分支G1,G2(为什么?) . nik，由归纳 假设得mi=ni1, i=1,2. 于是，m=m1+m2+1=n1+n22+1=n1. (3)(4). 只需证明G连通. 用反证法. 否则G有s（s2）个连 通 分支都是小树. 于是有mi=ni1, ，
7
例题
例2 已知无向树T有5片树叶，2度与3度顶点各1个，其余顶 点的度数均为4，求T的阶数n，并画出满足要求的所有非同 构的无向树.
解 设T的阶数为n, 则边数为n1，4度顶点的个数为n7. 由握手定理得 2m = 2(n1) = 51+21+31+4(n7) 解出n = 8，4度顶点为1个.
24
图所示二叉树产生的前缀码为 { 00, 10, 11, 011, 0100, 0101 }
25
用Huffman算法产生最佳前缀码
例6 在通信中，八进制数字出现的频率如下： 0：25% 1：20% 2：15% 3：10% 4：10% 5：10% 6：5% 7：5% 求传输它们的最佳前缀码，并求传输10n（n2）个按上述比 例出现的八进制数字需要多少个二进制数字？若用等长的 （长为3）的码字传输需要多少个二进制数字？
8
例题
T的度数列为1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4，共有3棵非同构的无向树， 如图所示.
9
16.2 生成树
定义16.2 设G为无向图 (1) G的树——T 是G 的子图并且是树 (2) G的生成树——T 是G 的生成子图并且是树 (3) 生成树T的树枝——T 中的边 (4) 生成树T的弦——不在T 中的边 (5) 生成树T的余树 T ——全体弦组成的集合的导出子图
12
基本割集的存在
定理16.5 设T是连通图G的一棵生成树，e为T的树枝，则G 中存在只含树枝e，其余边都是弦的割集，且不同的树枝对 应的割集也不同. 证 由定理16.1可知，e是T的桥，因而Te有两个连通分支T1 和T2，令 Se={e | eE(G)且 e 的两个端点分别属于V(T1)和V(T2)}， 由构造显然可知Se为G的割集，eSe且Se中除e外都是弦， 所以Se为所求. 显然不同的树枝对应的割集不同.
第十六章 树
t
i 1
例 5 求带权为1, 1, 2, 3, 4, 5的最优树. 解题过程由图9给出，W(T)=38
23
最佳前缀码
定义16.10 设1, 2, …, n-1, n是长度为 n 的符号串 (1) 前缀——1, 12, …, 12…n1 (2) 前缀码——{1, 2, …, m}中任何两个元素互不为前缀 (3) 二元前缀码——i (i=1, 2, …, m) 中只出现两个符号，如0 与1. 如何产生二元前缀码？ 定理16.6 一棵2叉树产生一个二元前缀码. 推论 一棵正则2叉树产生惟一的前缀码（按左子树标0， 右子树标1）
15
最小生成树
定义16.5 T是G=<V,E,W>的生成树 (1) W(T)——T各边权之和 (2) 最小生成树——G的所有生成树中权最小的
求最小生成树的一个算法 避圈法（Kruskal）设G=<V,E,W>，将G中非环边按权从小 到大排序：e1, e2, …, em. (1) 取e1在T中 (2) 查e2，若e2与e1不构成回路，取e2也在T 中，否则弃e2. (3) 再查e3,…, 直到得到生成树为止.
定理16.1 设G=<V,E>是n阶m条边的无向图，则下面各命题 是等价的： (1) G 是树 (2) G 中任意两个顶点之间存在惟一的路径. (3) G 中无回路且 m=n1. (4) G 是连通的且 m=n1. (5) G 是连通的且 G 中任何边均为桥. (6) G 中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新 边，在所得图中得到惟一的一个含新边的圈.
21
最优二叉树
定义16.9 设2叉树T 有t片树叶v1, v2, …, vt，权分别为w1, w2, …, wt，称 W (t ) wi l (v i ) 为T 的权，其中l(vi)是vi 的层数. 在所有有t片树叶，带权w1, w2, …, wt 的2叉树中，权最小的2 叉树称为最优2叉树. 求最优树的算法—— Huffman算法 给定实数w1, w2, …, wt，且w1w2…wt. (1) 连接权为w1, w2的两片树叶，得一个分支点，其权为w1+w2. (2) 在w1+w2, w3, …, wt 中选出两个最小的权，连接它们对应的 顶点(不一定是树叶)，得新分支点及所带的权. (3) 重复(2)，直到形成 t1个分支点，t片树叶为止.
28
用2叉有序正则树存放算式
存放规则
最高层次运算放在树根 后依次将运算符放在根 子树的根上 数放在树叶上 规定：被除数、被减数 放在左子树树叶上
算式 ((b+(c+d))a)((ef)(g+h)(ij)) 存放在图所示2叉树上.
29
波兰符号法
波兰符号法 按前序行遍法访问存放算式的2叉有序正则树，其结果不加 括号，规定每个运算符号与其后面紧邻两个数进行运算，运 算结果正确. 称此算法为波兰符号法或前缀符号法. 对上图的 访问结果为 b+cdaef+ghij 逆波兰符号法 按后序行遍法访问，规定每个运算符与前面紧邻两数运算， 称为逆波兰符号法或后缀符号法. 对上图的访问结果为 bcd++aefgh+ij
16
实例
例4 求图的一棵最小生成树.
所求最小生成树如 图所示，W(T)=38.
17
பைடு நூலகம் 16.3 根树及其应用
定义16.6 T是有向树（基图为无向树） (1) T 为根树——T 中一个顶点入度为0，其余的入度均为1. (2) 树根——入度为0的顶点 (3) 树叶——入度为1，出度为0的顶点 (4) 内点——入度为1，出度不为0的顶点 (5) 分支点——树根与内点的总称 (6) 顶点v的层数——从树根到v的通路长度 (7) 树高——T 中层数最大顶点的层数 (8) 平凡根树——平凡图
W(T)=285， 传10n(n2)个 用二进制数字需 2.8510n个， 用等长码需 310n个数字.
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波兰符号法与逆波兰符号法
行遍或周游根树T——对T的每个顶点访问且仅访问一次. 对2叉有序正则树的周游方式： ① 中序行遍法——次序为：左子树、根、右子树 ② 前序行遍法——次序为：根、左子树、右子树 ③ 后序行遍法——次序为：左子树、右子树、根 对图所示根树按中序、前序、 后序行遍法访问结果分别为： b a (f d g) c e， a b (c (d f g) e)， b ((f g d) e c) a
求基本割集的算法 设e为生成树T 的树枝，Te为两棵小树T1与T2，令 Se ={e | eE(G)且e的两个端点分别属于T1与T2} 则Se为e 对应的基本割集.
14
实例
例3 图5实线边所示为生成树，求基本回路系统与基本割集系统
解 弦e, f, g对应的基本回路分别为 Ce=e b c, Cf=f a b c, Cg=g a b c d, C基={Ce, Cf, Cg}. 树枝a, b, c, d对应的基本割集分别为 Sa={a, f, g}, Sb={b, e, f, g}, Sc={c, e, f g}, Sd={d, g}, S基={Sa, Sb, Sc, Sd}.
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求最佳前缀码
解 用100个八进制数字中各数字出现的个数，即以100乘各频 率为权，并将各权由小到大排列，得w1=5, w2=5, w3=10, w4=10, w5=10, w6=15, w7=20, w8=25. 用此权产生的最优树如图所示. 01-----0 001-----2 101-----4 00000-----6 11-----1 100-----3 0001-----5 00001-----7
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无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T 中至少有两片树叶. 证 设 T 有 x 片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2( n 1)
由上式解出x 2.
d ( v ) x 2( n x )
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例题
例1 已知无向树T中有1个3度顶点，2个2度顶点，其余顶点 全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同构的无向树. 解 解本题用树的性质m=n1，握手定理. 设有x片树叶，于是 n = 1+2+x = 3+x, 2m = 2(n1) = 2(2+x) = 13+22+x 解出x = 3，故T有3片树叶. T 的度数列应为 1, 1, 1, 2, 2, 3， 易知3度顶点与1个2度顶点相邻 与和2个2度顶点均相邻是非同 构的，因而有2棵非同构的无向 树T1, T2，如图所示.
18
根树实例
根树的画法——树根放上方，省去所有有向边上的箭头
19
家族树与根子树
定义16.7 T 为非平凡根树 (1) 祖先与后代 (2) 父亲与儿子 (3) 兄弟
定义16.8 设v为根树T中任意一顶点，称v及其后代的导出子 图为以v为根的根子树.
20
根树的分类
(1) T 为有序根树——同层上顶点标定次序的根树 5． (2) 分类 ① r 叉树——每个分支点至多有r 个儿子 ② r 叉有序树——r 树是有序的 ③ r 叉正则树——每个分支点恰有r 个儿子 ④ r 叉正则有序树 ⑤ r 叉完全正则树——树叶层数相同的r叉正则树 ⑥ r 叉完全正则有序树
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证明思路
(1)(2). 关键一步是, 若路径不惟一必有回路. (2)(3). 若G中有回路，则回路上任意两点之间的路径不 惟一. 对n用归纳法证明m=n1. n=1正确. 设nk时对，证n=k+1时也对：取G中边e， Ge有且仅有两个连通分支G1,G2(为什么?) . nik，由归纳 假设得mi=ni1, i=1,2. 于是，m=m1+m2+1=n1+n22+1=n1. (3)(4). 只需证明G连通. 用反证法. 否则G有s（s2）个连 通 分支都是小树. 于是有mi=ni1, ，
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例题
例2 已知无向树T有5片树叶，2度与3度顶点各1个，其余顶 点的度数均为4，求T的阶数n，并画出满足要求的所有非同 构的无向树.
解 设T的阶数为n, 则边数为n1，4度顶点的个数为n7. 由握手定理得 2m = 2(n1) = 51+21+31+4(n7) 解出n = 8，4度顶点为1个.
24
图所示二叉树产生的前缀码为 { 00, 10, 11, 011, 0100, 0101 }
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用Huffman算法产生最佳前缀码
例6 在通信中，八进制数字出现的频率如下： 0：25% 1：20% 2：15% 3：10% 4：10% 5：10% 6：5% 7：5% 求传输它们的最佳前缀码，并求传输10n（n2）个按上述比 例出现的八进制数字需要多少个二进制数字？若用等长的 （长为3）的码字传输需要多少个二进制数字？
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例题
T的度数列为1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4，共有3棵非同构的无向树， 如图所示.
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16.2 生成树
定义16.2 设G为无向图 (1) G的树——T 是G 的子图并且是树 (2) G的生成树——T 是G 的生成子图并且是树 (3) 生成树T的树枝——T 中的边 (4) 生成树T的弦——不在T 中的边 (5) 生成树T的余树 T ——全体弦组成的集合的导出子图
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基本割集的存在
定理16.5 设T是连通图G的一棵生成树，e为T的树枝，则G 中存在只含树枝e，其余边都是弦的割集，且不同的树枝对 应的割集也不同. 证 由定理16.1可知，e是T的桥，因而Te有两个连通分支T1 和T2，令 Se={e | eE(G)且 e 的两个端点分别属于V(T1)和V(T2)}， 由构造显然可知Se为G的割集，eSe且Se中除e外都是弦， 所以Se为所求. 显然不同的树枝对应的割集不同.
第十六章 树