2015年高考数学真题分类汇编:专题(11)概率和统计(文科)及答案
高考数学真题分类汇编专题11概率和统计文【含答案】

问题的能力 .
【名师点睛】样本抽样是现实生活中常见的事件,一般地,抽签法和随机数表法适用于样本
总体较少的抽样,系统抽样法适用于要将样本总体均衡地分为
n 个部分,从每一部分中按规
则抽取一个个体;分层抽样法则是当总体明显的分为几个层次时,在每一个层次中按照相同
的比例抽取抽取样本 . 本题条件适合于分层抽样的条件,故应选用分层抽样法
【答案】 B
-3-
【解析】甲地数据为: 26, 28, 29,31,31 ;乙地数据为: 28, 29,30,31,32 ;
所以, x甲 26 28 29 5
s2甲
1 [(26
5
29)2 (28
s2乙
1 [(28
30) 2
(29
5
31 31 29,x乙 29)2 (29 29) 2 30)2 (30 30) 2
的关键,是记清公式,细心计算 .
本题属于基础题,较全面地考查了统计的基础知识
.
7. 【 2015 高考湖北,文 2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收
粮,有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得
254 粒内夹谷 28 粒,则这批
米内夹谷约为(
)
A. 134 石 B .169 石 C . 338 石 D . 1365 石
本事件数,常用方法有列举法、树状图法、列表法法等,所求事件包含的基本事件数与样本
空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率
.
2. 【 2015 高考重庆,文 4】重庆市 2013 年各月的平均气温(° C)数据的茎叶图如下
089
1258
200338
312
则这组数据中的中位数是(
高考概率大题及答案

高考概率大题及答案【篇一:2015年高考数学概率与统计试题汇编】4.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:??a??0.76,a? ,据此估计,??bx? ,其中b???根据上表可得回归直线方程y该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )a.11.4万元 b.11.8万元c.12.0万元 d.12.2万元【答案】b考点:线性回归方程.13.如图,点a 的坐标为?1,0? ,点c 的坐标为?2,4? ,函数f?x??x2 ,若在矩形abcd 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于.【答案】5 12【解析】试题分析:由已知得阴影部分面积为4??x2dx?4?1275?.所以此点取自阴影3355部分的概率等于?. 412考点:几何概型.16.某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为x,求x的分布列和数学期望.15【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)分布列见解析,期望为. 22【解析】试题分析:(Ⅰ)首先记事件“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为a.则银行3卡被锁死相当于三次尝试密码都错,基本事件总数为a6?6?5?4,事件a包含3的基本事件数为a5?5?4?3,代入古典概型的概率计算公式求解;(Ⅱ)列出随机变量x的所有可能取值,分别求取相应值的概率,写出分布列求期望即可.试题解析:(Ⅰ)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为a,5431= 则p(a)=6542(Ⅱ)依题意得,x所有可能的取值是1,2,3151又p(x=1)=,p(x=2)=?6651542,p(x=3)=1=. 6653所以x的分布列为所以e(x)=1?1122?3?6635. 2考点:1、古典概型;2、离散型随机变量的分布列和期望.2015江苏理科5.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】5. 6考点:古典概型概率2015年重庆理科17.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分)端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取3个。
2015年重庆市高考数学试卷(文科)答案与解析

2015年市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2015•)已知集合A={1,2,3},B={1,3},则A∩B=( )A . {2}B . {1,2}C . {1,3}D . {1,2,3}考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:直接利用集合的交集的求法求解即可. 解答:解:集合A={1,2,3},B={1,3},则A∩B={1,3}. 故选:C .点评:本题考查交集的求法,考查计算能力.2.(5分)(2015•)“x=1”是“x 2﹣2x+1=0”的( )A . 充要条件B . 充分而不必要条件C . 必要而不充分条件D . 既不充分也不必要条件考点:充要条件. 专题:简易逻辑. 分析: 先求出方程x 2﹣2x+1=0的解,再和x=1比较,从而得到答案.解答: 解:由x 2﹣2x+1=0,解得:x=1, 故“x=1”是“x 2﹣2x+1=0”的充要条件,故选:A .点评:本题考察了充分必要条件,考察一元二次方程问题,是一道基础题.3.(5分)(2015•)函数f (x )=log 2(x 2+2x ﹣3)的定义域是( )A . [﹣3,1]B . (﹣3,1)C . (﹣∞,﹣3]∪[1,+∞)D . (﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)考点:一元二次不等式的解法;对数函数的定义域. 专题:函数的性质及应用;不等式. 分析:利用对数函数的真数大于0求得函数定义域. 解答: 解:由题意得:x 2+2x ﹣3>0,即(x ﹣1)(x+3)>0解得x >1或x <﹣3所以定义域为(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)故选D .点评:本题主要考查函数的定义域的求法.属简单题型.高考常考题型.4.(5分)(2015•)市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如,则这组数据的中位数是( )A.19 B.20 C.21.5 D.23考点:茎叶图.专题:概率与统计.分析:根据中位数的定义进行求解即可.解答:解:样本数据有12个,位于中间的两个数为20,20,则中位数为,故选:B点评:本题主要考查茎叶图的应用,根据中位数的定义是解决本题的关键.比较基础.5.(5分)(2015•)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.C.D.考点:由三视图求面积、体积.专题:空间位置关系与距离.分析:利用三视图判断直观图的形状,结合三视图的数据,求解几何体的体积即可.解答:解:由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱,底面半径为1,高为2,左侧与一个底面半径为1,高为1的半圆锥组成的组合体,几何体的体积为:=.故选:B.点评:本题考查三视图的作法,组合体的体积的求法,考查计算能力.6.(5分)(2015•)若tanα=,tan(α+β)=,则tanβ=()A.B.C.D.考点:两角和与差的正切函数.专题:三角函数的求值.分析:由条件利用查两角差的正切公式,求得tanβ=tan[(α+β)﹣α]的值.解答:解:∵tanα=,tan(α+β)=,则tanβ=tan[(α+β)﹣α]===,故选:A.点评:本题主要考查两角差的正切公式的应用,属于基础题.7.(5分)(2015•)已知非零向量满足||=4||,且⊥()则的夹角为()A.B.C.D.考点:数量积表示两个向量的夹角.专题:平面向量及应用.分析:由已知向量垂直得到数量积为0,于是得到非零向量的模与夹角的关系,求出夹角的余弦值.解答:解:由已知非零向量满足||=4||,且⊥(),设两个非零向量的夹角为θ,所以•()=0,即2=0,所以cosθ=,θ∈[0,π],所以;故选C.点评:本题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角;熟练运用公式是关键.8.(5分)(2015•)执行如图所示的程序框图,则输出s的值为()A.B.C.D.考点:循环结构.专题:图表型;算法和程序框图.分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的k,s的值,当k=8时不满足条件k<8,退出循环,输出s的值为.解答:解:模拟执行程序框图,可得s=0,k=0满足条件k<8,k=2,s=满足条件k<8,k=4,s=+满足条件k<8,k=6,s=++满足条件k<8,k=8,s=+++=不满足条件k<8,退出循环,输出s的值为.故选:D.点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题.9.(5分)(2015•)设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F做A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点,若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为()A.±B.±C.±1D.±考点:双曲线的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:求得A(﹣a,0),A2(a,0),B(c,),C(c,﹣),利用A1B⊥A2C,可得,求出a=b,1即可得出双曲线的渐近线的斜率.解答:解:由题意,A(﹣a,0),A2(a,0),B(c,),C(c,﹣),1∵A1B⊥A2C,∴,∴a=b,∴双曲线的渐近线的斜率为±1.故选:C.点评:本题考查双曲线的性质,考查斜率的计算,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.10.(5分)(2015•)若不等式组,表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为()A.﹣3 B.1C.D.3考点:二元一次不等式(组)与平面区域.专题:开放型;不等式的解法及应用.分析:作出不等式组对应的平面区域,求出三角形各顶点的坐标,利用三角形的面积公式进行求解即可.解答:解:作出不等式组对应的平面区域如图:若表示的平面区域为三角形,由,得,即C(2,0),则C(2,0)在直线x﹣y+2m=0的下方,即2+2m>0,则m>﹣1,则C(2,0),F(0,1),由,解得,即A(1﹣m,1+m),由,解得,即B(,).|AF|=1+m﹣1=m,则三角形ABC的面积S=×m×2+(﹣)=,即m2+m﹣2=0,解得m=1或m=﹣2(舍),故选:B点评:本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算,求出交点坐标,结合三角形的面积公式是解决本题的关键.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.(5分)(2015•)复数(1+2i)i的实部为﹣2 .考点:复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念.专题:数系的扩充和复数.分析:利用复数的运算法则化简为a+bi的形式,然后找出实部;注意i2=﹣1.解答:解:(1+2i)i=i+2i2=﹣2+i,所以此复数的实部为﹣2;故答案为:﹣2.点评:本题考查了复数的运算以及复数的认识;注意i2=﹣1.属于基础题.12.(5分)(2015•)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为x+2y﹣5=0 .考点:圆的切线方程;直线与圆的位置关系.专题:直线与圆.分析:由条件利用直线和圆相切的性质,两条直线垂直的性质求出切线的斜率,再利用点斜式求出该圆在点P处的切线的方程.解答:解:由题意可得OP和切线垂直,故切线的斜率为﹣==﹣,故切线的方程为y﹣2=﹣(x﹣1),即 x+2y﹣5=0,故答案为:x+2y﹣5=0.点评:本题主要考查直线和圆相切的性质,两条直线垂直的性质,用点斜式求直线的方程,属于基础题.(5分)(2015•)设△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=﹣,3sinA=2sinB,13.则c= 4 .考点:正弦定理的应用.专题:解三角形.分析:由3sinA=2sinB即正弦定理可得3a=2b,由a=2,即可求得b,利用余弦定理结合已知即可得解.解答:解:∵3sinA=2sinB,∴由正弦定理可得:3a=2b,∵a=2,∴可解得b=3,又∵cosC=﹣,∴由余弦定理可得:c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣2×=16,∴解得:c=4.故答案为:4.点评:本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.14.(5分)(2015•)设a,b>0,a+b=5,则的最大值为 3 .考点:函数最值的应用.专题:计算题;函数的性质及应用.分析:利用柯西不等式,即可求出的最大值.解答:解:由题意,()2≤(1+1)(a+1+b+3)=18,∴的最大值为3,故答案为:3.点评:本题考查函数的最值,考查柯西不等式的运用,正确运用柯西不等式是关键.15.(5分)(2015•)在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根的概率为.考点:几何概型.专题:开放型;概率与统计.分析:由一元二次方程根的分布可得p的不等式组,解不等式组,由长度之比可得所求概率.解答:解:方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根等价于,解关于p的不等式组可得<p≤1或p≥2,∴所求概率P==故答案为:点评:本题考查几何概型,涉及一元二次方程根的分布,属基础题.三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)(2015•)已知等差数列{a n}满足a3=2,前3项和S3=.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)设等比数列{b n}满足b1=a1,b4=a15,求{b n}前n项和T n.考点:等差数列与等比数列的综合.专题:等差数列与等比数列.分析:(Ⅰ)设等差数列{a}的公差为d,则由已知条件列式求得首项和公差,代入等差数n列的通项公式得答案;(Ⅱ)求出,再求出等比数列的公比,由等比数列的前n项和公式求得{b n}前n项和T n.解答:解:(Ⅰ)设等差数列{a}的公差为d,则由已知条件得:n,解得.代入等差数列的通项公式得:;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,.设{b n}的公比为q,则,从而q=2,故{b n}的前n项和.点评:本题考查了等差数列和等比数列的通项公式,考查了等差数列和等比数列的前n项和,是中档题.17.(13分)(2015•)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:年份2010 2011 2012 2013 2014时间代号t 1 2 3 45 储蓄存款y (千亿元) 567 810(Ⅰ)求y 关于t 的回归方程=t+.(Ⅱ)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.附:回归方程=t+中 .考点:回归分析的初步应用.专题:计算题;概率与统计.分析: (Ⅰ)利用公式求出a ,b ,即可求y 关于t 的回归方程=t+.(Ⅱ)t=6,代入回归方程,即可预测该地区2015年的人民币储蓄存款.解答:解:(Ⅰ)由题意,=3,=7.2,=55﹣5×32=10,=120﹣5×3×7.2=12,∴=1.2,=7.2﹣1.2×3=3.6,∴y 关于t 的回归方程=1.2t+3.6.(Ⅱ)t=6时,=1.2×6+3.6=10.8(千亿元).点评:本题考查线性回归方程,考查学生的计算能力,属于中档题.18.(13分)(2015•)已知函数f (x )=sin2x ﹣cos 2x .(Ⅰ)求f (x )的最小周期和最小值;(Ⅱ)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g (x )的图象.当x ∈时,求g (x )的值域.考点:三角函数中的恒等变换应用;函数y=Asin (ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质.分析:(Ⅰ)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f(x)=sin(2x﹣)﹣,从而可求最小周期和最小值;(Ⅱ)由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得g(x)=sin(x﹣)﹣,由x∈[,π]时,可得x﹣的围,即可求得g(x)的值域.解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣(1+cos2x)=sin(2x﹣)﹣,∴f(x)的最小周期T==π,最小值为:﹣1﹣=﹣.(Ⅱ)由条件可知:g(x)=sin(x﹣)﹣当x∈[,π]时,有x﹣∈[,],从而sin(x﹣)的值域为[,1],那么sin(x﹣)﹣的值域为:[,],故g(x)在区间[,π]上的值域是[,].点评:本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,属于基本知识的考查.19.(12分)(2015•)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=处取得极值.(Ⅰ)确定a的值;(Ⅱ)若g(x)=f(x)e x,讨论g(x)的单调性.考点:函数在某点取得极值的条件.专题:综合题;导数的综合应用.分析:(Ⅰ)求导数,利用f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=处取得极值,可得f′(﹣)=0,即可确定a的值;(Ⅱ)由(Ⅰ)得g(x)=(x3+x2)e x,利用导数的正负可得g(x)的单调性.解答:解:(Ⅰ)对f(x)求导得f′(x)=3ax2+2x.∵f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=处取得极值,∴f′(﹣)=0,∴3a•+2•(﹣)=0,∴a=;(Ⅱ)由(Ⅰ)得g(x)=(x3+x2)e x,∴g′(x)=(x2+2x)e x+(x3+x2)e x=x(x+1)(x+4)e x,令g′(x)=0,解得x=0,x=﹣1或x=﹣4,当x<﹣4时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;当﹣4<x<﹣1时,g′(x)>0,故g(x)为增函数;当﹣1<x<0时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;当x>0时,g′(x)>0,故g(x)为增函数;综上知g(x)在(﹣∞,﹣4)和(﹣1,0)为减函数,在(﹣4,﹣1)和(0,+∞)为增函数.点评:本题考查导数的运用:求单调区间和极值,考查分类讨论的思想方法,以及函数和方程的转化思想,属于中档题.20.(12分)(2015•)如题图,三棱锥P﹣ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=,点D、E 在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF∥BC.(Ⅰ)证明:AB⊥平面PFE.(Ⅱ)若四棱锥P﹣DFBC的体积为7,求线段BC的长.考点:直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.专题:开放型;空间位置关系与距离.分析:(Ⅰ)由等腰三角形的性质可证PE⊥AC,可证PE⊥AB.又EF∥BC,可证AB⊥EF,从而AB与平面PEF两条相交直线PE,EF都垂直,可证AB⊥平面PEF.(Ⅱ)设BC=x,可求AB,S△ABC,由EF∥BC可得△AFE≌△A BC,求得S△AFE=S△ABC,由AD=AE,可求S△AFD,从而求得四边形DFBC的面积,由(Ⅰ)知PE为四棱锥P﹣DFBC 的高,求得PE,由体积V P﹣DFBC=S DFBC•PE=7,即可解得线段BC的长.解答:解:(Ⅰ)如图,由DE=EC,PD=PC知,E为等腰△PDC中DC边的中点,故PE⊥AC,又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE⊂平面PAC,PE⊥AC,所以PE⊥平面ABC,从而PE⊥AB.因为∠ABC=,EF∥BC,故AB⊥EF,从而AB与平面PEF两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB⊥平面PEF.(Ⅱ)设BC=x,则在直角△ABC中,AB==,从而S△ABC=AB•BC=x,由EF∥BC知,得△AFE≌△AB C,故=()2=,即S△AFE=S△ABC,由AD=AE,S△AFD==S△ABC=S△ABC=x,从而四边形DFBC的面积为:S DFBC=S△ABC﹣S AFD=x﹣x=x.由(Ⅰ)知,PE⊥平面ABC,所以PE为四棱锥P﹣DFBC的高.在直角△PEC中,PE===2,故体积V P﹣DFBC=S DFBC•PE=x=7,故得x4﹣36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x>0,可得x=3或x=3.所以:BC=3或BC=3.点评:本题主要考查了直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积的求法,考查了空间想象能力和推理论证能力,考查了转化思想,属于中档题.21.(13分)(2015•)如题图,椭圆=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,且过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.(Ⅰ)若|PF1|=2+,|PF2|=2﹣,求椭圆的标准方程.(Ⅱ)若|PQ|=λ|PF1|,且≤λ<,试确定椭圆离心率e的取值围.考点:椭圆的简单性质.专题:开放型;圆锥曲线中的最值与围问题.分析:(I)由椭圆的定义可得:2a=|PF|+|PF2|,解得a.设椭圆的半焦距为c,由于PQ⊥PF1,1利用勾股定理可得2c=|F1F2|=,解得c.利用b2=a2﹣c2.即可得出椭圆的标准方程.(II)如图所示,由PQ⊥PF1,|PQ|=λ|PF1|,可得|QF1|=,由椭圆的定义可得:|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a,解得|PF1|=.|PF2|=2a﹣|PF1|,由勾股定理可得:2c=|F1F2|=,代入化简.令t=1+λ,则上式化为e2=,解出即可.解答:解:(I)由椭圆的定义可得:2a=|PF|+|PF2|=(2+)+(2﹣)=4,解得a=2.1设椭圆的半焦距为c,∵PQ⊥PF1,∴2c=|F1F2|===2,∴c=.∴b2=a2﹣c2=1.∴椭圆的标准方程为.(II)如图所示,由PQ⊥PF1,|PQ|=λ|PF1|,∴|QF1|==,由椭圆的定义可得:2a=|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|,∴|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a,∴|PF1|=4a,解得|PF1|=.|PF2|=2a﹣|PF1|=,由勾股定理可得:2c=|F1F2|=,∴+=4c2,∴+=e2.令t=1+λ,则上式化为=,∵t=1+λ,且≤λ<,∴t关于λ单调递增,∴3≤t<4.∴,∴,解得.∴椭圆离心率的取值围是.点评:本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理、不等式的性质、“换元法”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.。
2015高考数学(文科)试题汇编及答案----12概率与统计

2015高考数学(文科---概率统计)试题汇编及答案1.(15北京文科)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为()A.90 B.100 C.180 D.300【答案】C【解析】试题分析:由题意,总体中青年教师与老年教师比例为1600169009=;设样本中老年教师的人数为x,由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等,即320169x=,解得180x=.考点:分层抽样.2.(15北京文科)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注:“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升 B.8升 C.10升D.12升【答案】B【解析】试题分析:因为第一次邮箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量48V=升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S=-=千米. 所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升,故选B.考点:平均耗油量.3.(15北京文科)高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看,①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ; ②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是 . 【答案】乙、数学 【解析】试题分析:①由图可知,甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后;而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前,故填乙.②由图可知,比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多;而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少,所以丙的数学成绩的排名更靠前,故填数学. 考点:散点图.4.(15北京文科)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.甲乙丙丁100 √ × √ √ 217× √ × √ 200 √ √ √ × 300√ × √ × 85√ × × × 98×√××(Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率;商品 顾 客 人 数(Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大? 【答案】(1)0.2;(2)0.3;(3)同时购买丙的可能性最大. 【解析】试题分析:本题主要考查统计表、概率等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数200,计算出概率;第二问,先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的人数100+200,再计算概率;第三问,由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为200,顾客同时购买甲和丙的人数为100+200+300,顾客同时购买甲和丁的人数为100,分别计算出概率,再通过比较大小得出结论.试题解析:(Ⅰ)从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=. (Ⅱ)从统计表可以看出,在在这1000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=.(Ⅲ)与(Ⅰ)同理,可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=, 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=,所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大. 考点:统计表、概率.5.(15年广东文科)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )A .0.4B .0.6C .0.8D .1 【答案】B 【解析】试题分析:5件产品中有2件次品,记为a ,b ,有3件合格品,记为c ,d ,e ,从这5件产品中任取2件,有10种,分别是(),a b ,(),a c ,(),a d ,(),a e ,(),b c ,(),b d ,(),b e ,(),c d ,(),c e ,(),d e ,恰有一件次品,有6种,分别是(),a c ,(),a d ,(),a e ,(),b c ,(),b d ,(),b e ,设事件A =“恰有一件次品”,则()60.610P A ==,故选B .考点:古典概型.6.(15年广东文科)已知样本数据1x ,2x ,⋅⋅⋅,n x 的均值5x =,则样本数据121x +,221x +,⋅⋅⋅,21n x +的均值为 .【答案】11考点:均值的性质.7.(15年广东文科)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[)160,180,[)180,200,[)200,220,[)220,240,[)240,260,[)260,280,[]280,300分组的频率分布直方图如图2.()1求直方图中x 的值;()2求月平均用电量的众数和中位数;()3在月平均用电量为[)220,240,[)240,260,[)260,280,[]280,300的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户?【答案】(1)0.0075;(2)230,224;(3)5. 【解析】试题解析:(1)由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得:0.0075x =,所以直方图中x 的值是0.0075考点:1、频率分布直方图;2、样本的数字特征(众数、中位数);3、分层抽样.8.(15年福建文科)如图,矩形ABCD 中,点A 在x 轴上,点B 的坐标为(1,0).且点C 与点D 在函数1,0()11,02x x f x x x +≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩的图像上.若在矩形ABCD 内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率等于( ) A .16 B .14 C .38 D .12xyOBCDAF【答案】B考点:古典概型.9.(15年福建文科)某校高一年级有900名学生,其中女生400名,按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为_______.【答案】25【解析】试题分析:由题意得抽样比例为45190020=,故应抽取的男生人数为15002520⨯=.考点:分层抽样.10.(15年福建文科)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标.根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.组号分组频数1 [4,5) 22 [5,6)83 [6,7)74 [7,8] 3(Ⅰ)现从融合指数在[4,5)和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在[]7,8的概率;(Ⅱ)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.【答案】(Ⅰ)910;(Ⅱ)6.05.解法一:(I )融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ,2A ,3A ;融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B ,2B .从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是:{}12,A A ,{}13,A A ,{}23,A A ,{}11,A B ,{}12,A B ,{}21,A B ,{}22,A B ,{}31,A B ,{}32,A B ,{}12,B B ,共10个.其中,至少有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是:{}12,A A ,{}13,A A ,{}23,A A ,{}11,A B ,{}12,A B ,{}21,A B ,{}22,A B ,{}31,A B ,{}32,A B ,共9个.所以所求的概率910P =. (II )这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于28734.5 5.5 6.57.5 6.0520202020⨯+⨯+⨯+⨯=. 解法二:(I )融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ,2A ,3A ;融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B ,2B .从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是:{}12,A A ,{}13,A A ,{}23,A A ,{}11,A B ,{}12,A B ,{}21,A B ,{}22,A B ,{}31,A B ,{}32,A B ,{}12,B B ,共10个.其中,没有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是:{}12,B B ,共1个. 所以所求的概率1911010P =-=. (II )同解法一.考点:1、古典概型;2、平均值.11.(15年新课标2文科)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年A.逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C.2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关【答案】D考点:柱形图12.(15年新课标2文科)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A地区用户满意度评分的频率分布直方图(I)在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.(不要求计算出具体值,给出结论即可)B地区用户满意度评分的频率分布直方图(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】(I)见试题解析(II)A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.考点:1.频率分布直方图;2.概率估计.13.(15年陕西文科)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93 B.123 C.137 D.167(高中部)(初中部)男男女女60%70%【答案】C 【解析】试题分析:由图可知该校女教师的人数为11070%150(160%)7760137⨯+⨯-=+= 故答案选C 考点:概率与统计.14.(15年陕西文科)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:(I)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;(II)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率. 【答案】(I) 1315; (II) 78.【解析】试题分析:(I)在容量为30的样本中,从表格中得,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率是26133015=. (II)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日,2日与3日等)这样在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16对,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为147168=,以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为78.试题解析:(I)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率是1315.(II)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日,2日与3日等)这样在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16对,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为78, 以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为78. 考点:概率与统计.15.(15年天津文科)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛. (I )求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数;(II )将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.(i )用所给编号列出所有可能的结果;(ii )设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率. 【答案】(I )3,1,2;(II )(i )见试题解析;(ii )35【解析】 试题分析:(I )由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2;(II )(i )一一列举,共15种;(ii )符合条件的结果有9种,所以()93.155P A ==. 试题解析:(I )应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2; (II )(i )从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共15种.(ii )编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A ,{}25,A A ,{}26,A A , {}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,所以事件A 发生的概率()93.155P A == 考点:分层抽样与概率计算.16.(15年江苏)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________. 【答案】6考点:平均数17.(15年江苏) 袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.【答案】5 . 6考点:古典概型概率。
2015年全国高考数学试题分类汇编§11.1 随机事件及其概率

11.1随机事件及其概率1.(2015湖北,2,5分)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1365石答案B6.(2015北京,17,13分)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?解析(1)从统计表可以看出,在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和=0.2.丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000(2)从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+2001 000=0.3.(3)与(1)同理,可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+3001 000=0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000=0.1.所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.7.(2015湖南,16,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果;(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认为正确吗?请说明理由.解析(1)所有可能的摸出结果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1 },{B,b2}.(2)不正确.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1,a1},{A1,a2},{A2,a1},{A2,a2},共4种,所以中奖的概率为412=13,不中奖的概率为1-13=23>13,故这种说法不正确.8.(2015陕西,19,12分)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:的概率;(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨···开始举行连续2天的运动会,估计运动会(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天··的概率.期间不下雨···解析(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率为13.15(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的.次日不下雨的频率为78.以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为78。
2015高考数学真题及答案

2015高考数学真题及答案高三数学 (文科)本试卷共5页,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) (1)在复平面内,复数12i z =-对应的点的坐标为(A )(1,2) (B )(2,1) (C ) (1,2)- (D )(2,1)-(2)双曲线2214x y -=的渐近线方程为(A )12y x =±(B )y =(C )2y x =± (D )y =(3)记函数)(x f 的导函数为)(x f ',若()f x 对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线方程为1y x =-+,则(A )0()=2f x ' (B )0()=1f x ' (C )0)(0='x f(D )0()=1f x '-(4)已知命题p :直线a ,b 不相交,命题q :直线a ,b 为异面直线,则p 是q 的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件(C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件(5)在区间[0,2]上随机取一个实数x ,则事件“310x -<”发生的概率为(A )12 (B )13(C )14(D )16(6)执行如图所示的程序框图,若输出的b 的值为4,则图中判断框内①处应填(A )2 (B )3(C )4 (D )5(7)设集合1,(,) 1.x y D x y x y ⎧⎫+≥⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-≤,则下列命题中正确的是(A )(,)x y ∀D ∈,20x y -≤ (B )(,)x y ∀D ∈,22x y +≥- (C )(,)x y ∀D ∈,2x ≥(D )(,)x y ∃D ∈,1y ≤-(8)某学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A ,B 两种菜可供选择.调查资料表明,凡是在星期一选A 种菜的学生,下星期一会有20%改选B 种菜;而选B 种菜的学生,下星期一会有30%改选A 种菜.用n a ,n b 分别表示在第n 个星期的星期一选A 种菜和选B 种菜的学生人数,若1300a =,则+1n a 与n a 的关系可以表示为 (A )111502n n a a +=+ (B )112003n n a a +=+ (C )113005n n a a +=+ (D )121805n n a a +=+第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标i)答案与解析

2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标I)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为()A.5B.4C.3D.2考点:交集及其运算.专题:集合.分析:根据集合的基本运算进行求解.解答:解:A={x|x=3n+2,n∈N}={2,5,8,11,14,17,…},则A∩B={8,14},故集合A∩B中元素的个数为2个,故选:D.点评:本题主要考查集合的基本运算,比较基础.2.(5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(﹣4,﹣3),则向量=()A.(﹣7,﹣4)B.(7,4)C.(﹣1,4)D.(1,4)考点:平面向量的坐标运算.专题:平面向量及应用.分析:顺序求出有向线段,然后由=求之.解答:解:由已知点A(0,1),B(3,2),得到=(3,1),向量=(﹣4,﹣3),则向量==(﹣7,﹣4);故答案为:A.点评:本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用;注意有向线段的坐标与两个端点的关系,顺序不可颠倒.3.(5分)已知复数z满足(z﹣1)i=1+i,则z=()A.﹣2﹣i B.﹣2+i C.2﹣i D.2+i考点:复数代数形式的乘除运算.专题:数系的扩充和复数.分析:由已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z﹣1,进一步求得z.解答:解:由(z﹣1)i=1+i,得z﹣1=,∴z=2﹣i.故选:C.点评:本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.4.(5分)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.B.C.D.考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率.专题:概率与统计.分析:一一列举出所有的基本事件,再找到勾股数,根据概率公式计算即可.解答:解:从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10种,其中只有(3,4,5)为勾股数,故这3个数构成一组勾股数的概率为.故选:C点评:本题考查了古典概型概率的问题,关键是不重不漏的列举出所有的基本事件,属于基础题.5.(5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=()A.3B.6C.9D.12考点:圆锥曲线的综合;直线与圆锥曲线的关系.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标,求出椭圆的半长轴,然后求解抛物线的准线方程,求出A,B坐标,即可求解所求结果.解答:解:椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点(c,0)与抛物线C:y2=8x 的焦点(2,0)重合,可得c=2,a=4,b2=12,椭圆的标准方程为:,抛物线的准线方程为:x=﹣2,由,解得y=±3,所以a(﹣2,3),B(﹣2,﹣3).|AB|=6.故选:B.点评:本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.6.(5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著,书中有如下问题:”今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?“其意思为:”在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.专题:空间位置关系与距离.分析:根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可.解答:解:设圆锥的底面半径为r,则×2×3r=8,解得r=,故米堆的体积为××3×()2×5=,∵1斛米的体积约为1.62立方,∴÷1.62≈22,故选:B.点评:本题主要考查椎体的体积的计算,比较基础.7.(5分)已知{a n}是公差为1的等差数列;S n为{a n}的前n项和,若S8=4S4,则a10=()A.B.C.10 D.12考点:等差数列的前n项和.专题:等差数列与等比数列.分析:利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出.解答:解:∵{a n}是公差为1的等差数列,S8=4S4,∴=4×(4a1+),解得a1=.则a10==.故选:B.点评:本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.(5分)函数f(x)=cos(ωx+ϕ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.(kπ﹣,kπ+,),k∈z B.(2kπ﹣,2kπ+),k∈zC.(k﹣,k+),k∈z D.(,2k+),k∈z考点:余弦函数的单调性.专题:三角函数的图像与性质.分析:由周期求出ω,由五点法作图求出φ,可得f(x)的解析式,再根据余弦函数的单调性,求得f(x)的减区间.解答:解:由函数f(x)=cos(ωx+ϕ)的部分图象,可得函数的周期为=2(﹣)=2,∴ω=π,f(x)=cos(πx+ϕ).再根据函数的图象以及五点法作图,可得+ϕ=,k∈z,即ϕ=,f(x)=cos(πx+).由2kπ≤πx+≤2kπ+π,求得2k﹣≤x≤2k+,故f(x)的单调递减区间为(,2k+),k∈z,故选:D.点评:本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值;还考查了余弦函数的单调性,属于基础题.9.(5分)执行如图的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=()A.5B.6C.7D.8考点:程序框图.专题:算法和程序框图.分析:由题意可得,算法的功能是求S=1﹣﹣≤t 时n的最小值,由此可得结论.解答:解:由程序框图知:算法的功能是求S=1﹣﹣≤t 时n的最小值,再根据t=0.01,可得当n=6时,S=1﹣﹣=>0.01,而当n=7时,S=1﹣﹣=≤0.01,故输出的n值为7,故选:C.点评:本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键,属于基础题.10.(5分)(2015春•河南校级月考)已知函数f(x)=且f(a)=﹣3,则f(6﹣a)=()A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣考点:分段函数的应用;函数的零点.专题:函数的性质及应用.分析:由f(a)=﹣3,结合指数和对数的运算性质,求得a=7,再由分段函数求得f(6﹣a)的值.解答:解:函数f(x)=且f(a)=﹣3,若a≤1,则2a﹣1﹣2=﹣3,即有2a﹣1=﹣1<0,方程无解;若a>1,则﹣log2(a+1)=﹣3,解得a=7,则f(6﹣a)=f(﹣1)=2﹣1﹣1﹣2=﹣.故选:A.点评:本题考查分段函数的运用:求函数值,主要考查指数和对数的运算性质,属于中档题.11.(5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.8考点:由三视图求面积、体积.专题:立体几何.分析:通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱,计算即可.解答:解:由几何体三视图中的正视图和俯视图可知,截圆柱的平面过圆柱的轴线,该几何体是一个半球拼接半个圆柱,∴其表面积为:×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2,又∵该几何体的表面积为16+20π,∴5πr2+4r2=16+20π,解得r=2,故选:B.点评:本题考查由三视图求表面积问题,考查空间想象能力,注意解题方法的积累,属于中档题.12.(5分)(2015春•河南校级月考)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称,且f(﹣2)+f(﹣4)=1,则a=()A.﹣1 B.1C.2D.4考点:函数的图象与图象变化.专题:开放型;函数的性质及应用.分析:先求出与y=2x+a的反函数的解析式,再由题意f(x)的图象与y=2x+a的反函数的图象关于原点对称,继而求出函数f(x)的解析式,问题得以解决.解答:解:∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数,x=log2y﹣a(y>0),即g(x)=log2x﹣a,(x>0).∵函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称,∴f(x)=﹣g(﹣x)=﹣log2(﹣x)+a,x<0,∵f(﹣2)+f(﹣4)=1,∴﹣log22+a﹣log24+a=1,解得,a=2,故选:C.点评:本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法,属于基础题二、本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)在数列{a n}中,a1=2,a n+1=2a n,S n为{a n}的前n项和,若S n=126,则n=6.考点:等比数列的前n项和;等比关系的确定.专题:计算题;等差数列与等比数列.分析:由a n+1=2a n,结合等比数列的定义可知数列{a n}是a1=2为首项,以2为公比的等比数列,代入等比数列的求和公式即可求解.解答:解:∵a n+1=2a n,∴,∵,a1=2,∴数列{a n}是a1=2为首项,以2为公比的等比数列,∴S n===2n+1﹣2=126,∴2n+1=128,∴n+1=7,∴n=6.故答案为:6点评:本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,解题的关键是熟练掌握基本公式.14.(5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=1.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:导数的综合应用.分析:求出函数的导数,利用切线的方程经过的点求解即可.解答:解:函数f(x)=ax3+x+1的导数为:f′(x)=3ax2+1,f′(1)=3a+1,而f(1)=a+2,切线方程为:y﹣a﹣2=(3a+1)(x﹣1),因为切线方程经过(2,7),所以7﹣a﹣2=(3a+1)(2﹣1),解得a=1.故答案为:1.点评:本题考查函数的导数的应用,切线方程的求法,考查计算能力.15.(5分)若x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为4.考点:简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.解答:解:作出不等式对应的平面区域如图,由z=3x+y,得y=﹣3x+z,平移直线y=﹣3x+z,由图象可知当直线y=﹣3x+z,经过点A时,直线y=﹣3x+z的截距最大,此时z最大.由,解得,即A(1,1)此时z的最大值为z=3×1+1=4,故答案为:4.点评:本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.16.(5分)已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF周长最小时,该三角形的面积为12.考点:双曲线的简单性质.专题:计算题;开放型;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:利用双曲线的定义,确定△APF周长最小时,P的坐标,即可求出△APF周长最小时,该三角形的面积.解答:解:由题意,设F′是左焦点,则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2 ≥|AF|+|AF′|+2(A,P,F′三点共线时,取等号),直线AF′的方程为与x2﹣=1联立可得y2+6y﹣96=0,∴P的纵坐标为2,∴△APF周长最小时,该三角形的面积为﹣=12.故答案为:12.点评:本题考查双曲线的定义,考查三角形面积的计算,确定P的坐标是关键.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.(Ⅰ)若a=b,求cosB;(Ⅱ)设B=90°,且a=,求△ABC的面积.考点:正弦定理;余弦定理.专题:解三角形.分析:(I)sin2B=2sinAsinC,由正弦定理可得:b2=2ac,再利用余弦定理即可得出.(II)利用(I)及勾股定理可得c,再利用三角形面积计算公式即可得出.解答:解:(I)∵sin2B=2sinAsinC,由正弦定理可得:>0,代入可得(bk)2=2ak•ck,∴b2=2ac,∵a=b,∴a=2c,由余弦定理可得:cosB===.(II)由(I)可得:b2=2ac,∵B=90°,且a=,∴a2+c2=2ac,解得a=c=.∴S△ABC==1.点评:本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18.(12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.(Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面BED;(Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E﹣ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.考点:平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.专题:空间位置关系与距离.分析:(Ⅰ)根据面面垂直的判定定理即可证明:平面AEC⊥平面BED;(Ⅱ)根据三棱锥的条件公式,进行计算即可.解答:证明:(Ⅰ)∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∵BE⊥平面ABCD,∴AC⊥BE,则AC⊥平面BED,∵AC⊂平面AEC,∴平面AEC⊥平面BED;解:(Ⅱ)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,得AG=GC=x,GB=GD=,∵AE⊥EC,∴△EBG为直角三角形,则BE=x,∵三棱锥E﹣ACD的体积V===,解得x=2,从而得AE=EC=ED=,∴△EAC的面积为3,∴△EAD的面积和△ECD的面积均为,故该三棱锥的侧面积为3+2.点评:本题主要考查面面垂直的判定,以及三棱锥体积的计算,要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公式.19.(12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(x i ﹣)2(w i ﹣)2(x i ﹣)(y i﹣)(w i ﹣)(y i ﹣)46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中w i =1,=(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?(ii)年宣传费x为何值时,年利率的预报值最大?附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…..(u n v n),其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=,=﹣.考点:线性回归方程.专题:概率与统计.分析:(Ⅰ)根据散点图,即可判断出,(Ⅱ)先建立中间量w=,建立y关于w的线性回归方程,根据公式求出w,问题得以解决;(Ⅲ)(i)年宣传费x=49时,代入到回归方程,计算即可,(ii)求出预报值得方程,根据函数的性质,即可求出.解答:解:(Ⅰ)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型;(Ⅱ)令w=,先建立y关于w 的线性回归方程,由于==68,=﹣=563﹣68×6.8=100.6,所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为=100.6+68,(Ⅲ)(i)由(Ⅱ)知,当x=49时,年销售量y的预报值=100.6+68=576.6,年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32,(ii)根据(Ⅱ)的结果可知,年利润z的预报值=0.2(100.6+68)﹣x=﹣x+13.6+20.12,当==6.8时,年利润的预报值最大.点评:本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题,准确的计算是本题的关键,属于中档题.20.(12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1交于点M、N两点.(1)求k的取值范围;(2)若•=12,其中O为坐标原点,求|MN|.考点:直线与圆的位置关系;平面向量数量积的运算.专题:开放型;直线与圆.分析:(1)由题意可得,直线l的斜率存在,用点斜式求得直线l的方程,根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值,可得满足条件的k的范围.(2)由题意可得,经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1,根据直线和圆相交的弦长公式进行求解.解答:(1)由题意可得,直线l的斜率存在,设过点A(0,1)的直线方程:y=kx+1,即:kx﹣y+1=0.由已知可得圆C的圆心C的坐标(2,3),半径R=1.故由=1,解得:k1=,k2=.故当<k<,过点A(0,1)的直线与圆C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1相交于M,N两点.(2)设M(x1,y1);N(x2,y2),由题意可得,经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1,代入圆C的方程(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,可得(1+k2)x2﹣4(k+1)x+7=0,∴x1+x2=,x1•x2=,∴y1•y2=(kx1+1)(kx2+1)=,由•=x1•x2+y1•y2==12,解得k=1,故直线l的方程为y=x+1,即x﹣y+1=0.圆心C在直线l上,MN长即为圆的直径.所以|MN|=2.点评:本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,以及直线和圆相交的弦长公式的计算,考查学生的计算能力.21.(12分)(2015春•河南校级月考)设函数f(x)=e2x﹣alnx.(Ⅰ)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数;(Ⅱ)证明:当a>0时,f(x)≥2a+aln.考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;根的存在性及根的个数判断;导数的运算.专题:开放型;导数的综合应用.分析:(Ⅰ)先求导,在分类讨论,当a≤0时,当a>0时,根据零点存在定理,即可求出;(Ⅱ)设导函数f′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0,根据函数f(x)的单调性得到函数的最小值f(x0),只要最小值大于2a+aln,问题得以证明.解答:解:(Ⅰ)f(x)=e2x﹣alnx的定义域为(0,+∞),∴f′(x)=2e2x﹣.当a≤0时,f′(x)>0恒成立,故f′(x)没有零点,当a>0时,∵y=e2x为单调递增,y=﹣单调递增,∴f′(x)在(0,+∞)单调递增,又f′(a)>0,当b满足0<b<时,且b<,f(b)<0,故当a>0时,导函数f′(x)存在唯一的零点,(Ⅱ)由(Ⅰ)知,可设导函数f′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时,f′(x)<0,当x∈(x0+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(0,x0)单调递减,在(x0+∞)单调递增,所欲当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0),由于﹣=0,所以f(x0)=+2ax0+aln≥2a+aln.故当a>0时,f(x)≥2a+aln.点评:本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系,以及函数的零点存在定理,属于中档题.四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.【选修4-1:几何证明选讲】22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线;(Ⅱ)若OA=CE,求∠ACB的大小.考点:圆的切线的判定定理的证明.专题:直线与圆.分析:(Ⅰ)连接AE和OE,由三角形和圆的知识易得∠OED=90°,可得DE是⊙O的切线;(Ⅱ)设CE=1,AE=x,由射影定理可得关于x的方程x2=,解方程可得x值,可得所求角度.解答:解:(Ⅰ)连接AE,由已知得AE⊥BC,AC⊥AB,在RT△ABC中,由已知可得DE=DC,∴∠DEC=∠DCE,连接OE,则∠OBE=∠OEB,又∠ACB+∠ABC=90°,∴∠DEC+∠OEB=90°,∴∠OED=90°,∴DE是⊙O的切线;(Ⅱ)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=,由射影定理可得AE2=CE•BE,∴x2=,即x4+x2﹣12=0,解方程可得x=∴∠ACB=60°点评:本题考查圆的切线的判定,涉及射影定理和三角形的知识,属基础题.五、【选修4-4:坐标系与参数方程】23.(2015春•新乐市校级月考)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=﹣2,圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.考点:简单曲线的极坐标方程.专题:坐标系和参数方程.分析:(Ⅰ)由条件根据x=ρcosθ,y=ρsinθ求得C1,C2的极坐标方程.(Ⅱ)把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0,求得ρ1和ρ2的值,结合圆的半径可得C2M⊥C2N,从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值.解答:解:(Ⅰ)由于x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴C1:x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2,故C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1的极坐标方程为:(ρcosθ﹣1)2+(ρsinθ﹣2)2=1,化简可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0.(Ⅱ)把直线C3的极坐标方程θ=(ρ∈R)代入ρ2﹣3ρ+4=0,求得ρ1=2,ρ2=,∴|MN|=ρ1﹣ρ2=,由于圆C2的半径为1,∴C2M⊥C2N,△C2MN的面积为•C2M•C2N=.点评:本题主要考查简单曲线的极坐标方程,点的极坐标的定义,属于基础题.六、【选修4-5:不等式选讲】24.已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.考点:绝对值不等式的解法.专题:不等式的解法及应用.分析:(Ⅰ)当a=1时,把原不等式去掉绝对值,转化为与之等价的三个不等式组,分别求得每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.(Ⅱ)化简函数f(x)的解析式,求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标,从而求得f(x)的图象与x轴围成的三角形面积;再根据f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,从而求得a 的取值范围.解答:解:(Ⅰ)当a=1时,不等式f(x)>1,即|x+1|﹣2|x﹣1|>1,即①,或②,或③.解①求得x∈∅,解②求得<x<1,解③求得1≤x<2.综上可得,原不等式的解集为(,2).(Ⅱ)函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|=,由此求得f(x)的图象与x轴的交点A (,0),B(2a+1,0),故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C(a,a+1),由△ABC的面积大于6,可得[2a+1﹣]•(a+1)>6,求得a>2.故要求的a的范围为(2,+∞).点评:本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.。
2015年山东省高考数学试卷(文科)答案与解析

2015年山东省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(5分)(2015•山东)已知集合A={x|2<x<4},B={x|(x﹣1)(x﹣3)<0},则A∩B=2.(5分)(2015•山东)若复数z满足=i,其中i为虚数单位,则z=()=i=i0.6 1.50.64.(5分)(2015•山东)要得到函数y=sin(4x﹣)的图象,只需将函数y=sin4x的图象向左平移向右平移单位向左平移向右平移单位﹣﹣﹣的图象向右平移5.(5分)(2015•山东)当m∈N*,命题“若m>0,则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题6.(5分)(2015•山东)为比较甲,乙两地某月14时的气温,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图,考虑以下结论:①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温;③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差;④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()时的平均气温:时的平均气温:时温度的方差为:=[时温度的方差为:=[>,7.(5分)(2015•山东)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“﹣1≤log(x+)≤1”Blog()∴解可得,﹣≤,P=8.(5分)(2015•山东)若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值=整理可得,>∴整理可得,9.(5分)(2015•山东)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在Bπ×π×π×(×=10.(5分)(2015•山东)设函数f(x)=,若f(f())=4,则b=(),若)),可得b=,可得(舍去)二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)11.(5分)(2015•山东)执行如图的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的y的值是13.12.(5分)(2015•山东)若x,y满足约束条件,则z=x+3y的最大值为7.解:作出不等式组13.(5分)(2015•山东)过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则=.PA=∴=故答案为:14.(5分)(2015•山东)定义运算“⊗”x⊗y=(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为.x=x==2=∴,故答案为:15.(5分)(2015•山东)过双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为2+.±b(∴=2+.三、解答题(共6小题,满分75分)16.(12分)(2015•山东)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情(Ⅱ)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.=这是一个古典概型,∴17.(12分)(2015•山东)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosB=,sin(A+B)=,ac=2,求sinA和c的值.cosB=,,所以sinB=sinAcosB+cosAsinB=,所以cosA=,结合平方关系得6sinA=a=2ac=218.(12分)(2015•山东)如图,三棱台DEF﹣ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC 的中点.(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.∴∴19.(12分)(2015•山东)已知数列{a n}是首项为正数的等差数列,数列{}的前n 项和为.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=(a n+1)•2,求数列{b n}的前n项和T n.分离分母,并项相加并利用数列{,=[﹣[﹣﹣+] [﹣,{项和为,∴2=,.20.(13分)(2015•山东)设函数f(x)=(x+a)lnx,g(x)=.已知曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线与直线2x﹣y=0平行.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由;(Ⅲ)设函数m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值.,=lnx+1+,﹣==,﹣<﹣==21.(14分)(2015•山东)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且点(,)在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设椭圆E:=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E 与A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求△ABQ面积的最大值.、及的方程为:+、,利用+及=+y+=1,∵=1,及,即()=2,=,=|m|t==2=,,.。
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2015年高考数学真题分类汇编专题11 概率和统计文1.【2015高考新课标1,文4】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()(A)310(B)15(C)110(D)120【答案】C【解析】从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法,其中的勾股数只有3,4,5,故3个数构成一组勾股数的取法只有1种,故所求概率为110,故选C.【考点定位】古典概型【名师点睛】求解古典概型问题的关键是找出样本空间中的基本事件数及所求事件包含的基本事件数,常用方法有列举法、树状图法、列表法法等,所求事件包含的基本事件数与样本空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率.2.【2015高考重庆,文4】重庆市2013年各月的平均气温(°C)数据的茎叶图如下0 8 91 2 5 82 0 03 3 83 1 2则这组数据中的中位数是()(A) 19 (B) 20 (C ) 21.5 (D )23【答案】B【解析】由茎叶图可知总共12个数据,处在正中间的两个数是第六和第七个数,它们都是20,由中位数的定义可知:其中位数就是20,故选B.【考点定位】茎叶图与中位数.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算,采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.本题属于基础题,注意运算的准确性.3.【2015高考四川,文3】某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是( )(A )抽签法 (B )系统抽样法 (C )分层抽样法 (D )随机数法 【答案】C【解析】按照各种抽样方法的适用范围可知,应使用分层抽样.选C【考点定位】本题考查几种抽样方法的概念、适用范围的判断,考查应用数学方法解决实际问题的能力.【名师点睛】样本抽样是现实生活中常见的事件,一般地,抽签法和随机数表法适用于样本总体较少的抽样,系统抽样法适用于要将样本总体均衡地分为n 个部分,从每一部分中按规则抽取一个个体;分层抽样法则是当总体明显的分为几个层次时,在每一个层次中按照相同的比例抽取抽取样本.本题条件适合于分层抽样的条件,故应选用分层抽样法.属于简单题. 4.【2015高考陕西,文2】某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )A .93B .123C .137D .167(高中部)(初中部)男男女女60%70%【答案】C【解析】由图可知该校女教师的人数为11070%150(160%)7760137⨯+⨯-=+=,故答案选C .【考点定位】概率与统计.【名师点睛】1.扇形统计图是用整个圆表示总数,用圆内各个扇形的大小表各部分数量占总数的百分数.2.通过扇形图可以很清晰地表示各部分数量同总数之间的关系.5.【2015高考湖南,文2】在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)如图I 所示;若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为( )A 、3B 、4C 、5D 、6 【答案】B【解析】根据茎叶图中的数据,得;成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20,用系统抽样方法从35人中抽取7人,成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取207435⨯= (人),故选B.【考点定位】茎叶图【名师点睛】系统抽样是指当总体中个数较多时,将总体分成均衡的几部分,然后按照预先定出的规则,从每一部分抽取1个个体,得到所需要的样本的抽样方法,其实质为等距抽样. 茎叶图的优点是保留了原始数据,便于记录及表示,能反映数据在各段上的分布情况.缺点为不能直接反映总体的分布情况. 由数据集中情况可以估计平均数大小,再根据其分散程度可以估测方差大小.6.【2015高考山东,文6】为比较甲、乙两地某月14时的气温状况,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论:①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温; ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温;③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差; ④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( ) (A )①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④ 【答案】B【解析】甲地数据为:26,28,29,31,31;乙地数据为:28,29,30,31,32; 所以,2628293131295x ++++==甲,2829303132305x ++++==乙,2222221s [(2629)(2829)(2929)(3129)(3129)] 3.65=-+-+-+-+-=甲,2222221s [(2830)(2930)(3030)(3130)(3230)]25=-+-+-+-+-=乙,即正确的有①④,故选B .【考点定位】1.茎叶图;2.平均数、方差、标准差.【名师点睛】本题考查茎叶图的概念以及平均数、方差、标准差的概念及其计算,解答本题的关键,是记清公式,细心计算.本题属于基础题,较全面地考查了统计的基础知识.7.【2015高考湖北,文2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )A .134石B .169石C .338石D .1365石 【答案】B .【解析】设这批米内夹谷的个数为x ,则由题意并结合简单随机抽样可知,282541534x=,即281534169254x =⨯≈,故应选B . 【考点定位】本题考查简单的随机抽样,涉及近似计算.【名师点睛】本题以数学史为背景,重点考查简单的随机抽样及其特点,通过样本频率估算总体频率,虽然简单,但仍能体现方程的数学思想在解题中的应用,能较好考查学生基础知识的识记能力和估算能力、实际应用能力.8.【2015高考山东,文7】在区间[]0,2上随机地取一个数x ,则事件“121-1log 2x ≤+≤()1”发生的概率为( ) (A )34 (B )23 (C )13 (D )14【答案】A【解析】由121-1log 2x ≤+≤()1得,11122211113log 2log log ,2,022222x x x ≤+≤≤+≤≤≤(),所以,由几何概型概率的计算公式得,332204P -==-,故选A . 【考点定位】1.几何概型;2.对数函数的性质.【名师点睛】本题考查几何概型及对数函数的性质,在理解几何概型概率计算方法的前提下,解答本题的关键,是利用对数函数的单调性,求得事件发生的x 范围. 本题属于小综合题,较好地考查了几何概型、对数函数等基础知识.9.【2015高考陕西,文12】 设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈,若||1z ≤,则y x ≥的概率( )A .3142π+ B . 112π+ C .1142π- D . 112π- 【答案】C【解析】2222(1)||(1)1(1)1z x yi z x y x y =-+⇒=-+≤⇒-+≤如图可求得(1,1)A ,(1,0)B ,阴影面积等于21111114242ππ⨯-⨯⨯=-, 若||1z ≤,则y x ≥的概率211142142πππ-=-⨯,故答案选C 【考点定位】1.复数的模长;2.几何概型.【名师点睛】1.本题考查复数的模长和几何概型,利用z a bi =+22||z a b ⇒=+把此题转化成几何概型,采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.2.求几何概型,一般先要求出实验的基本事件构成的区域长度(面积或体积),再求出事件A 构成区域长度(面积或体积),最后再代入几何概型的概率公式求解;求几何概型概率时,一定要分清“试验”和“事件”,这样才能找准基本事件构成的区域长度(面积或体积).3.本题属于题,注意运算的准确性.10.【2015高考湖北,文8】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≤”的概率,2p 为事件“12xy ≤”的概率,则( ) A .1212p p << B .1212p p << C .2112p p <<D .2112p p << 【答案】B .【解析】由题意知,事件“12x y +≤”的概率为11111222118p ⨯⨯==⨯,事件“12xy ≤”的概率02S p S =,其中11021111(1ln 2)222S dx x=⨯+=+⎰,111S =⨯=,所以0 21(1ln2)11 2(1ln2)1122S pS +===+>⨯,故应选B.【考点定位】本题考查几何概型和微积分基本定理,涉及二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域.【名师点睛】以几何概型为依托,融合定积分的几何意义、二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域等内容,充分体现了转化的数学思想在实际问题中的应用,能较好的考查学生灵活运用基础知识解决实际问题的能力.11.【2015高考广东,文7】已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1【答案】B【考点定位】古典概型.【名师点晴】本题主要考查的是古典概型,属于容易题.解题时要抓住重要字眼“恰有”,否则很容易出现错误.列举基本事件一定要注意按顺序列举,做到不重不漏,防止出现错误.解本题需要掌握的知识点是古典概型概率公式,即()AP A=包含的基本事件的个数基本事件的总数.12.【2015高考湖北,文4】已知变量x和y满足关系0.11y x=-+,变量y与z正相关. 下列结论中正确的是()A.x与y负相关,x与z负相关B.x与y正相关,x与z正相关C.x与y正相关,x与z负相关D.x与y负相关,x与z正相关【答案】A .【解析】因为变量x 和y 满足关系0.11y x =-+,其中0.10-<,所以x 与y 成负相关;又因为变量y 与z 正相关,不妨设z ky b =+(0)k >,则将0.11y x =-+代入即可得到:(0.11)0.1()z k x b kx k b =-++=-++,所以0.10k -<,所以x 与z 负相关,综上可知,应选A .【考点定位】本题考查正相关、负相关,涉及线性回归方程的内容.【名师点睛】将正相关、负相关、线性回归方程等联系起来,充分体现了方程思想在线性回归方程中的应用,能较好的考查学生运用基础知识的能力.其易错点有二:其一,未能准确理解正相关与负相关的定义;其二,不能准确的将正相关与负相关问题进行转化为直线斜率大于和小于0的问题.13.【2015高考福建,文8】如图,矩形ABCD 中,点A 在x 轴上,点B 的坐标为(1,0).且点C 与点D 在函数1,0()11,02x x f x x x +≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩的图像上.若在矩形ABCD 内随机 取一点,则该点取自阴影部分的概率等于( ) A .16 B .14 C .38 D .12【答案】B【解析】由已知得(1,0)B ,(1,2)C ,(2,2)D -,(0,1)F .则矩形面积为326⨯=,阴影部分面积为133122⨯⨯=,故该点取自阴影部分的概率等于31264=.【考点定位】几何概型.【名师点睛】本题考查几何概型,当实验结果由等可能的无限多个结果组成时,利用古典概型求概率显然是不可能的,可以将所求概率转化为长度的比值(一个变量)、面积的比值(两个变量)、体积的比值(三个变量或根据实际意义)来求,属于中档题.14.【2015高考北京,文4】某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为( )A .90B .100 C .180 D .300 类别 人数老年教师900xyOBCDAF中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300【答案】C【解析】由题意,总体中青年教师与老年教师比例为1600169009=;设样本中老年教师的人数为x ,由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等,即320169x =,解得180x =,故选C. 【考点定位】分层抽样.【名师点晴】本题主要考查的是分层抽样,属于容易题.解题时一定要清楚“320”是指抽取前的人数还是指抽取后的人数,否则容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是分层抽样,即抽取比例=样本容量总体容量.15.【2015高考重庆,文15】在区间[0,5]上随机地选择一个数p ,则方程22320x px p 有两个负根的概率为________. 【答案】32【解析】方程22320xpx p 有两个负根的充要条件是2121244(32)020320p p x x p x x p ⎧∆=--≥⎪+=-<⎨⎪=->⎩即21,3p <≤或2p ≥,又因为[0,5]p ∈,所以使方程22320x px p 有两个负根的p 的取值范围为2(,1][2,5]3,故所求的概率2(1)(52)23503-+-=-,故填:32. 【考点定位】几何概率.【名师点睛】本题考查几何概率及一元二次方程实根的分布,首先将方程22320x px p 有两个负根的充要条件找出来,求出p 的取值范围,再利用几何概率公式求解,本题属于中档题,注意运算的准确性.16.【2015高考湖北,文14】某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)直方图中的a =_________;(Ⅱ)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.【答案】(Ⅰ)3;(Ⅱ)6000.【解析】由频率分布直方图及频率和等于1可得0.20.10.80.1 1.50.120.1 2.50.10.11a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,解之得3a =.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内频率为0.20.10.80.120.130.10.6⨯+⨯+⨯+⨯=,所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为:0.6100006000⨯=,故应填3;6000. 【考点定位】本题考查频率分布直方图,属基础题.【名师点睛】以实际问题为背景,重点考查频率分布直方图,灵活运用频率直方图的规律解决实际问题,能较好的考查学生基本知识的识记能力和灵活运用能力.17.【2015高考广东,文12】已知样本数据1x ,2x ,⋅⋅⋅,n x 的均值5x =,则样本数据121x +,221x +,⋅⋅⋅,21n x +的均值为 .【答案】11【解析】因为样本数据1x ,2x ,⋅⋅⋅,n x 的均值5x =,所以样本数据121x +,221x +,⋅⋅⋅,21n x +的均值为2125111x +=⨯+=,所以答案应填:11.【考点定位】均值的性质.【名师点晴】本题主要考查的是均值的性质,属于容易题.解本题需要掌握的知识点是均值和方差的性质,即数据1x ,2x ,,n x 的均值为x ,方差为2s ,则(1)数据1x a ±,2x a ±,,n x a ±的均值为x a ±,方差为2s ;(2)数据1kx ,2kx ,,n kx 的均值为kx ,方差为22k s ;(3)数据1kx a ±,2kx a ±,,n kx a ±的均值为kx a ±,方差为22k s .18.【2015高考北京,文14】高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看,①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是;②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是.【答案】乙;数学【解析】①由图可知,甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后;而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前,故填乙.②由图可知,比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多;而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少,所以丙的数学成绩的排名更靠前,故填数学.【考点定位】散点图.【名师点晴】本题主要考查的是散点图,属于容易题.解题时一定要抓住重要字眼“语文”和“更”,否则很容易出现错误.解此类图象题一定要观察仔细,分析透彻,提取必要的信息.19.【2015高考福建,文13】某校高一年级有900名学生,其中女生400名,按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为_______.【答案】25【解析】由题意得抽样比例为45190020=,故应抽取的男生人数为15002520⨯=.【考点】分层抽样.【名师点睛】本题考查抽样方法,要搞清楚三种抽样方法的区别和联系,其中分层抽样是按比例抽样;系统抽样是等距离抽样,属于基础题.20.【2015高考安徽,文17】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为[40,50],[50,60],,[80,90],[90,100](Ⅰ)求频率分布图中a的值;(Ⅱ)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;(Ⅲ)从评分在[40,60]的受访职工中,随机抽取2人,求此2人评分都在[40,50]的概率.【答案】(Ⅰ)0.006;(Ⅱ)0.4;(Ⅲ)110【解析】(Ⅰ)因为110)028.02022.00018.0004.0(=⨯+⨯+++a ,所以006.0=a(Ⅱ)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为4.010)018.0022.0(=⨯+,所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(Ⅲ)受访职工评分在[50,60)的有:50×0.006×10=3(人),即为321,,A A A ; 受访职工评分在[40,50)的有: 50×0.004×40=2(人),即为21,B B .从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是{}{}{}{},,,,,,,,21113121B A B A A A A A{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,2123132212312B B B A B A B A B A A A 又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即{}21,B B ,故所求的概率为101=p . 【考点定位】本题主要考查了频率分布直方图、概率和频率的关系、古典概型等基础知识. 【名师点睛】利用频率分布直方图解题的时,注意其表达的意义,同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识;在利用古典概型解题时,要注意列出所有的基本事件,千万不可出现重、漏的情况.21.【2015高考北京,文17】(本小题满分13分)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.甲乙丙丁100 √ × √ √ 217× √ × √ 200 √ √ √ × 300√ × √ × 85 √ × × × 98×√××(I )估计顾客同时购买乙和丙的概率;(II )估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率;(III )如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大? 【答案】(I )0.2;(II )0.3;(III )同时购买丙的可能性最大. 【解析】试题分析:本题主要考查统计表、概率等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.(I )由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数200,计算出概率;(II )先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的人数100200+,再计算概率;(III )由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为200,顾客同时购买甲和丙的人数为100200300++,顾客同时购买甲和丁的人数为100,分别计算出概率,再通过比较大小得出结论.试题解析:(Ⅰ)从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=. (Ⅱ)从统计表可以看出,在在这1000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=.(Ⅲ)与(Ⅰ)同理,可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=, 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=,商品顾 客人 数顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=, 所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大. 考点:统计表、概率.【名师点晴】本题主要考查的是统计表和古典概型,属于中档题.解题时一定要抓住重要字眼“估计”和“最大”,否则很容易失分.解此类统计表的试题一定要理解透彻题意,提取必要的信息.解本题需要掌握的知识点是古典概型概率公式,即()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数.22.【2015高考福建,文18】全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标.根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.组号分组 频数 1 [4,5) 2 2 [5,6) 8 3 [6,7) 7 4[7,8]3(Ⅰ)现从融合指数在[4,5)和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在[]7,8的概率;(Ⅱ)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数. 【答案】(Ⅰ)910;(Ⅱ)6.05. 【解析】解法一:(I )融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ,2A ,3A ;融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B ,2B .从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是:{}12,A A ,{}13,A A ,{}23,A A ,{}11,A B ,{}12,A B ,{}21,A B ,{}22,A B ,{}31,A B ,{}32,A B ,{}12,B B ,共10个.其中,至少有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是:{}12,A A ,{}13,A A ,{}23,A A ,{}11,A B ,{}12,A B ,{}21,A B ,{}22,A B ,{}31,A B ,{}32,A B ,共9个.所以所求的概率910P =. (II )这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于28734.5 5.5 6.57.5 6.0520202020⨯+⨯+⨯+⨯=. 解法二:(I )融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ,2A ,3A ;融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B ,2B .从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是:{}12,A A ,{}13,A A ,{}23,A A ,{}11,A B ,{}12,A B ,{}21,A B ,{}22,A B ,{}31,A B ,{}32,A B ,{}12,B B ,共10个.其中,没有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是:{}12,B B ,共1个. 所以所求的概率1911010P =-=. (II )同解法一.【考点定位】1、古典概型;2、平均值.【名师点睛】本题考差古典概型和平均数,利用古典概型的“等可能”“有限”性的特点,能方便的求出概率.由实际意义构造古典概型,首先确定试验的样本空间结构并计算它所含样本点总数,然后再求出事件A 所含基本事件个数,代入古典概型的概率计算公式;根据频率分布表求平均数,对于每组的若干个数可以采取区间中点值作为该组数据的数值,再求平均数.23.【2015高考广东,文17】(本小题满分12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[)160,180,[)180,200,[)200,220,[)220,240,[)240,260,[)260,280,[]280,300分组的频率分布直方图如图2.(1)求直方图中x 的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为[)220,240,[)240,260,[)260,280,[]280,300的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户? 【答案】(1)0.0075;(2)230,224;(3)5. 【解析】试题分析:(1)由频率之和等于1可得x 的值;(2)由最高矩形的横坐标中点可得众数,由频率之和等于0.5可得中位数;(3)先计算出月平均用电量为[)220,240,[)240,260,[)260,280,[]280,300的用户的户数,再计算抽取比例,进而可得月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取的户数.试题解析:(1)由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得:0.0075x =,所以直方图中x 的值是0.0075(2)月平均用电量的众数是2202402302+= 因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<,所以月平均用电量的中位数在[)220,240内,设中位数为a ,由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=得:224a =,所以月平均用电量的中位数是224(3)月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户,月平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户,月平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户,月平均用电量为[]280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户,抽取比例11125151055==+++,所以月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取12555⨯=户 考点:1、频率分布直方图;2、样本的数字特征(众数、中位数);3、分层抽样.【名师点晴】本题主要考查的是频率分布直方图、样本的数字特征(众数、中位数)和分层抽样,属于中档题.解题时一定要注意频率分布直方图的纵轴是频率组距,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是频率分布直方图、样本的数字特征(众数、中位数)和分层抽样,即在频率分布直方图中,各小长方形的面积的总和等于1,众数是最高矩形的横坐标中点,中位数左边和右边的直方图的面积相等,=⨯频率频率组距组距,=样本容量抽取比例总体容量. 24.【2015高考湖南,文16】(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,抽奖方法是:从装有2个红球12,A A 和1个白球B 的甲箱与装有2个红球12,a a 和2个白球12,b b 的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖。