正弦稳态混联电路分析
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Chp3-正弦稳态电路分析
u(t) 0
I k
0
U k 0
注意：这里用到了正弦量的有效值，以后没有特别说明，相量表示都用有效值
3 正弦稳态电路分析（ 3.2 正弦交流电的表示法）
相量的计算
正弦量+、－
复数+、－
u1(t ) 2 U1 sin(w t 1 ) Im( 2U1ejw t )
u2(t ) 2 U2 sin(w t 2 ) Im( 2U2ejw t )
jsin(
π)
j
2
2
-j π
-jA Ae 2
ej(π) cos(π) jsin(π) 1 - A Aejπ
Im
jA
A
0
Re
+j , –j , -1 都可以看成旋转因子 “一乘(j/-j/-1)就转” A jA
3 正弦稳态电路分析（3.2 正弦交流电的表示法） 对于每一个正弦量都可以找到与其对应的旋转向量 2. 旋转矢量法 对于正弦量的分析,可以用与之对应的旋转向量进行 w t1
的描述形式，不等同于正弦量
3 正弦稳态电路分析（ 3.2 正弦交流电的表示法）
例：已知 i1 12sin(314t 450 ) A i2 2sin(314t 450 ) A 计算i1+i2
解： 必须先将正弦量写成标准形式才能用相量表示
用+或-取决于初相 位结果不超过180
i2 2sin(314t 450 ) =2sin(314t 450 1800 ) 2sin(314t 1350 ) A
3 正弦稳态电路分析（3.3 单一元件的交流电路）
3. 纯电容电路
（1）元件约束关系（电流电压关系）
i (t)
+
5.1 正弦稳态电路分析
第五章 正弦稳态电路分析5.1 正弦量及其描述5-1 正弦量及其描述正弦稳态电路：激励为正弦量，且加入激励的时间为t=-∞时的电路。
正弦量：随时间按正弦规律变化的电流或电压或功率等。
→↑u(t)t→↑i(t)tu(t)=U m sin(ωt+ϕu1)或 u(t)=U m cos(ωt+ϕu2)1、正弦量的时域表示（三要素） （1）波形表示：其中：U m 、I m −− 最大值ω −− 角频率ϕi 、ϕu −− 初相位ω=2πf=2π/T→↑u(t)t0ωt T2π→↑i(t)02πI m-I mωt U m -U mϕ =±90º 正交 ϕ =±180º反相相位差：ϕ= ϕu - ϕi∣ϕ∣ ≤ ∣π∣u(t)=U m cos(ωt+ϕu ) i(t)=I m cos(ωt+ϕi)ϕ <0 滞后ϕ >0 超前（3）相位差ϕ =0 同向有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）（4）有效值：周期信号一个周期内的方均根值。
对于正弦量：电流：电压：物理意义：在一个周期内与其产生相等热量的直流电量。
i(t)=I m cos(ωt+ϕi )u(t)=U m cos(ωt+ϕ)有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）2、正弦量的频域表示（1）正弦稳态电路特点：若所有激励为频率相同的正弦量，则线性电路响应为同频率的正弦量。
相量为一个复数，它可表示为极坐标形式，也可表示为直角坐标形式。
（2）正弦量相量表示： i(t)=I m cos(ωt+ϕi ) u(t)=U m cos(ωt+ϕu )iI I ϕ∠=∙uU U ϕ∠=∙（3）相量图：在一个复平面表示相量的图。
∙I∙U+j→↑+1cos sin iiII jI ϕϕ=+ 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）（4）相量法：以相量表示正弦量对正弦稳态电路进行分析的方法。
电路原理-正弦稳态电路的分析
对记录的数据进行分析，验证正 弦稳态电路的原理和性质。
实验结果与讨论
实验结果
通过实验观察和数据记录，可以 得出正弦稳态电路中电压和电流 的波形关系，以及元件参数对波
形的影响。
结果分析
对实验结果进行分析，验证正弦稳 态电路的基本原理，如欧姆定律、 基尔霍夫定律等。
实验讨论
讨论实验中可能存在的误差来源， 如电源稳定性、示波器的测量误差 等。同时，可以探讨如何减小误差、 提高实验精度的方法。
04 正弦稳态电路的分析实例
单相交流电路分析
总结词
分析单相交流电路时，需要计算电流、电压的有效值以及功率等参数，并考虑阻 抗、导纳和相位角等因素。
详细描述
在单相交流电路中，电压和电流都是时间的正弦函数。为了分析电路，我们需要 计算电流和电压的有效值，以及功率等参数。此外，还需要考虑阻抗、导纳和相 位角等因素，以便更准确地描述电路的性能。
实验步骤与操作
3. 观察波形
2. 连接电源
将电源连接到电路中，为电路提 供稳定的交流电压。
使用示波器观察电路中各点的电 压和电流波形，并记录数据。
4. 调整元件参数
通过调整电阻器、电容器和电感 器的参数，观察波形变化，并记 录数据。
1. 搭建正弦稳态电路
5. 分析数据
根据实验要求，使用电阻器、电 容器和电感器搭建正弦稳态电路。
相量法
1
相量法是一种分析正弦稳态电路的方法，通过引 入复数相量来表示正弦量，将时域问题转化为复 数域问题，简化计算过程。
2
相量法的核心思想是将正弦电压和电流表示为复 数形式的相量，并利用相量图进行电路分析。
3
相量法的优点在于能够直观地表示正弦量的相位 关系和幅度关系，简化计算过程，提高分析效率。
第八章 正弦稳态电路分析
( 3) I m j CU m U m
(6) U L j LI L
di L (7) u C dt
例
解
图示为RC选频网络，试求u1和u0同相位的条 U1 件及 ? 设：Z1=R－jXC, Z2=R//(-jXC)
U1 Z 2 Uo Z1 Z 2 Z1 Z 2 Z1 1 Z2 Z2
i ( t ) 11.18 2 cos( t 10.3 )
0
例2 图示电路，已知：
u1 ( t ) 6 2 cos(t 300 )
u2 ( t ) 4 2 cos(t 600 )
求 u3(t)
+ u1(t) -
u2(t) +
u3 (t )
U 1 6 30 0
A0 ＝I0min=?
（2） Z 2为电阻，I 0max 8 6 14 A （3） Z 2 jX C , I 0min 8 6 2 A
I2
I0
U , I1
8-3 正弦稳态电路的分析--相量模型 413页
相量模型： 是一种运用相量能方便地对正弦稳态电路进行分析、 计算的假想模型；它和原正弦电路有相同的拓扑结构， 但愿电路中各个元件要用阻抗（或导纳）表示，即：
例
解
RL串联电路如图，求在＝106rad/s时的等效并 联电路。 50 RL串联电路的阻抗为：
X L L 106 0.06 103 60
0.06mH
Z R jX L 50 j60 78.150.2 0 Ω 1 1 Y 0.0128 50.20 Z 78.150.20 0.0082 j 0.0098 S 1 1 ' R ' 122Ω G 0.0082 1 ' L 0.102mH 0.0098
(6) U L j LI L
di L (7) u C dt
例
解
图示为RC选频网络，试求u1和u0同相位的条 U1 件及 ? 设：Z1=R－jXC, Z2=R//(-jXC)
U1 Z 2 Uo Z1 Z 2 Z1 Z 2 Z1 1 Z2 Z2
i ( t ) 11.18 2 cos( t 10.3 )
0
例2 图示电路，已知：
u1 ( t ) 6 2 cos(t 300 )
u2 ( t ) 4 2 cos(t 600 )
求 u3(t)
+ u1(t) -
u2(t) +
u3 (t )
U 1 6 30 0
A0 ＝I0min=?
（2） Z 2为电阻，I 0max 8 6 14 A （3） Z 2 jX C , I 0min 8 6 2 A
I2
I0
U , I1
8-3 正弦稳态电路的分析--相量模型 413页
相量模型： 是一种运用相量能方便地对正弦稳态电路进行分析、 计算的假想模型；它和原正弦电路有相同的拓扑结构， 但愿电路中各个元件要用阻抗（或导纳）表示，即：
例
解
RL串联电路如图，求在＝106rad/s时的等效并 联电路。 50 RL串联电路的阻抗为：
X L L 106 0.06 103 60
0.06mH
Z R jX L 50 j60 78.150.2 0 Ω 1 1 Y 0.0128 50.20 Z 78.150.20 0.0082 j 0.0098 S 1 1 ' R ' 122Ω G 0.0082 1 ' L 0.102mH 0.0098
正弦稳态电路分析PPT课件
Q，并计算电源的视在功率S和功率因素cos 。
2
解法二： 采用阻抗Z计算；
·IS
+ 1
U·
2 Z 2 (1 j)(2 j) 2 3 j
1 j 2 j
3
_ j1
-j1
3 j 1 ()
Z
•
U
ZIS
(3
3j 1)50 3
(15
j 5)(V ) 3
P IS 2 Re[Z ] 52 3 75(W )
3 32 (1/ 3)2
75(W )
Q UIS sin φ
152 (5 / 3)2 5
1/ 3 32 (1/ 3)2
8.3(Var)
S UIS 152 (5 / 3)2 5 75.5(VA) cos φ 0.993
第6章 正弦稳态电路分析
例：如图电路中，已知 is 5 2 sin 2（t A ），求电源提供的P、
+
U·S_
·I1
5
j5
3 -j4
解：U s 100V I1 2 45（ A） I2 253.1（ A）
P1 I12R1 （ 2）2 5 10（W）
或： P1 USI1 cos φ1=10 2 cos 45 10(W)
P2
I
2 2
R2
22
3
12（W）
或： P2 USI2 cos φ2=10 2 cos 53.1 12（W）
例：电路如图，已知 us (t) 10 2 sin 5（t V） ，求电阻R1，R2
消耗的功率，并分析功率关系。
·I2
+ uS(t)_
R1 5 R2 3 L 1H C 0.05F
+
2
解法二： 采用阻抗Z计算；
·IS
+ 1
U·
2 Z 2 (1 j)(2 j) 2 3 j
1 j 2 j
3
_ j1
-j1
3 j 1 ()
Z
•
U
ZIS
(3
3j 1)50 3
(15
j 5)(V ) 3
P IS 2 Re[Z ] 52 3 75(W )
3 32 (1/ 3)2
75(W )
Q UIS sin φ
152 (5 / 3)2 5
1/ 3 32 (1/ 3)2
8.3(Var)
S UIS 152 (5 / 3)2 5 75.5(VA) cos φ 0.993
第6章 正弦稳态电路分析
例：如图电路中，已知 is 5 2 sin 2（t A ），求电源提供的P、
+
U·S_
·I1
5
j5
3 -j4
解：U s 100V I1 2 45（ A） I2 253.1（ A）
P1 I12R1 （ 2）2 5 10（W）
或： P1 USI1 cos φ1=10 2 cos 45 10(W)
P2
I
2 2
R2
22
3
12（W）
或： P2 USI2 cos φ2=10 2 cos 53.1 12（W）
例：电路如图，已知 us (t) 10 2 sin 5（t V） ，求电阻R1，R2
消耗的功率，并分析功率关系。
·I2
+ uS(t)_
R1 5 R2 3 L 1H C 0.05F
+
第五章正弦稳态电路分析
(b)
(c)
(a) 同相；(b)正交；(c)反相
图5-6 电压、电流的相位关系
§5-2 正弦量的相量表示法
5.2.1 复数的表示方法及其四则运算
一个复数 (complex number) A可以用几种形式来表示。用代数形式 (rectangular form) 时，有
A a1 ja2
j 1称为虚单位(imaginary unit ) (它在数学中用i代表，而在电工中， i已用来表示电流，故改用j代表)。
p ui
p
1 2
U
m
I
m
(1
cos
2t
)
UmIm 2
UmIm 2
cos 2t
§5-3 电阻、电感和电容元件的交流电路
5.3.1 电阻元件
2.功率(power)
通常所说的电路中功率是指瞬时功率在一个周期内的平均值，称为平
均功率(average power)，以大写字母 来表示：
P 1
T pdt 1
2 2 f
T
§ 5-1 正弦量
5.1.3 初相位和相位差
正弦量随时间变化的核心部分是ωt +φi ，它反映了正弦量的变化进程，称 为正弦量的相角或相位(argument)。
t=0时的相位称为初相位或初相(initial phase)，即
(t i ) t0 i
初相位的单位可以用弧度或度来表示。通常在|φi|≤π的主值范围内取值。 初相角的大小和正负与计时起点的选择有关。对任一正弦量，初相允许任意指 定，但对于一个电路中的多个相关的正弦量，它们只能相对于一个共同的计时 起点确定各自的相位。
§ 5-1 正弦量
5.1.1 最大值与有效值
第9章-正弦稳态电路的分析资料
KCL : i 0
KVL : u 0
元件约束关系:
u
Ri
或 i Gu
正弦电路相量分析:
KCL :
•
I 0
•
KVL : U 0
元件约束关系:
•
•
U ZI
•
•
或 I YU
可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦 电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应 用于正弦稳态的相量分析中。
IC
-
jω C
. 由KCL： I
(G j 1 L
. IR
. jC )U
.. IL IC
[G
. GU j
1
. U jC
L.
j(BL BC )U (G
. U
. jB)U
Y
I U
G
jC
j
1
L
G
jB
Y
Y— 复导纳；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)；
|Y|—复导纳的模； '—导纳角。
B<0， C<1/L ， ‘<0，电路为感性，电流落后电压； B=0， C=1/L ， =0，电路为电阻性，电流与电压同相
RLC并联电路会出现分电流大于总电流的现象
注意
①一端口N0的阻抗或导纳是由其内部的参数、结 构和正弦电源的频率决定的，在一般情况下， 其每一部分都是频率的函数，随频率而变。
②一端口N0中如不含受控源，则有
例2-1 用相量图确定图示电路对外呈现感性还是容
性？
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解 取电感电流为参考相量
U 2
I I2
I 3 －j6 I2
＋
U
正弦稳态电路的分析
正弦稳态电路的分析1.复数法分析：a. 复数电压和电流表示：将正弦波电流和电压表示为复数形式，即I = Im * exp(jωt)，V = Vm * exp(jωt)，其中Im和Vm为幅值，ω为角频率，j为虚数单位。
b.使用欧姆定律和基尔霍夫定律来建立复数表达式。
c.找到电路中的频域参数，如电阻、电感和电容等，并使用复数法计算电路中的电流和电压。
d.计算电源电压和电流的相位差，这会决定电路中的功率因数。
2.相量法分析：a.相量表示：将电路中的电流和电压表示为相量形式，即以幅值和相位角表示，例如I=Im∠θ，V=Vm∠θ。
b.使用欧姆定律和基尔霍夫定律来建立相量表达式。
c.对电路中的频域参数应用相量法，计算电路中的电流和电压。
d.计算电源电压和电流的相位差，以确定电路中的功率因数。
无论是复数法还是相量法，分析正弦稳态电路的关键是计算电路中的电流和电压的幅值和相位。
在计算过程中，需要使用复数代数、欧姆定律、基尔霍夫定律以及频域的电路参数等相关知识。
在实际应用中，正弦稳态电路的分析主要包括以下几个方面：1.交流电路中的电阻：电阻对交流电流的影响与直流电路相同，即按欧姆定律计算。
复数法计算时，电流和电压与频率无关，可以直接使用欧姆定律计算。
2.交流电路中的电感：电感器对交流电流的响应取决于电流的频率。
复数法计算电感电压和电流时，需要将频率变量引入到电感的阻抗中。
3.交流电路中的电容：电容器对交流电压的响应取决于电压的频率。
复数法计算电容电压和电流时，需要将频率变量引入到电容的阻抗中。
4.交流电路中的复数阻抗：电路中的电感、电容和电阻组成复数阻抗。
复数阻抗可以用来计算电路中的电流和电压。
根据欧姆定律和基尔霍夫定律，可以建立复数电流和电压之间的关系。
5.交流电路中的功率因数：功率因数是电路中有功功率与视在功率之比。
在分析正弦稳态电路时，可以计算电路中电源电压和电流的相位差，从而确定功率因数。
总结起来，正弦稳态电路的分析步骤包括选择复数法或相量法、建立复数或相量表达式、计算电流和电压的幅值和相位、计算功率因数等。
电路原理 第7章 正弦稳态电路的分析
7.2 正弦量的相量表示 在正弦稳态电路（sinusoidal steady-state circuits）中，按正弦规律变化的电压 电压u和电 电压 电 流i，统称为正弦量，它们都是时间的正弦函 正弦函 数（sinusoidal function），正弦电压和正弦 电流一般可表示式为
i = I m sin(ωt + ϕ i ) u = U m sin(ωt + ϕ u ) 也可以用余弦函数（cosinoidal function）来表 示，即
第7章正弦稳态电路的分析
对正弦稳态电路的分析，主要采用相量 相量 变换，即相量法 相量法。正弦函数用相量表示后， 相量法 动态元件伏安关系的微分或积分形式就转变 代数形式。 成了代数形式。 代数形式
7.1 复数的基本概念
正弦函数用相量 相量来表示，电路方程就由 相量 微分方程变成了复数代数方程 . 复数代数方程 相量就是复数 复数，相量法分析要涉及到复数 相量 复数 及复数运算 . 复数运算
正弦电流i的有效 值I和最大值的关 系是： 2
I= 2 Im
Um
Im
u i t
φu
φi
或者可写成 ：
φui
I m = 2I
同样地，正弦电压 的有效值为
Um 2 U= = Um 2 2 或
图7.2-1 正弦函数的波形
Um =
2U
因此，正弦电流和正弦电压也可以表示为
i = 2 I sin(ωt + ϕ i ) u = 2U sin(ωt + ϕ u )
i
i
同理，对于一个 正弦电压
＋j
u = 2U sin(ωt + ϕ u )
它的相量表示为
I φi O
电路课件第九章正弦稳态电路的分析
04
正弦稳态电路的谐振
串联谐振
串联谐振的定义
在串联电路中，当电路的感抗等 于容抗时，电路呈现纯电阻性质， 此时电路中的电流与电压同相位，
这种现象称为串联谐振。
串联谐振的特点
在串联谐振时，电路的阻抗最小， 电流最大；电感和电容上的电压大 小相等，方向相反，互相抵消。
串联谐振的应用
串联谐振在电子、通信、电力等领 域有广泛应用，如收音机的调谐电 路、无线电通信的滤波器等。
无功补偿作用
无功补偿能够提高电力系统的效率，减少能源浪费，并有助于维持电力系统的 稳定运行。
无功补偿的方法和实现
无功补偿方法
无功补偿的方法包括并联电容器、静止无功补偿器（SVC）、静止无功发生器 （SVG）等。
无功补偿实现
无功补偿的实现通常需要在电力系统中安装相应的无功补偿装置，并根据电力系 统的实际情况进行配置和控制。
分析的重要方法之一。
阻抗和导纳的概念
阻抗是表示电路对电流阻碍作用的物 理量，由电阻、电感和电容共同决定。
在正弦稳态电路中，阻抗和导纳都是 复数，可以用实部和虚部表示。
导纳是表示电路导通能力的物理量， 由电导和电纳共同决定。
阻抗和导纳是分析正弦稳态电路的重 要概念，对于理解电路的工作原理和 计算具有重要意义。
功率因数（Power Factor）是衡量电 力设备效率的指标，它表示了电力设 备在能量转换过程中，有功功率与视 在功率的比值。
功率因数计算
功率因数可以通过测量电压和电流的 波形，然后计算有功功率和视在功率 来实现。在实际应用中，功率因数通 常由电力表直接给出。
无功补偿的概念和作用
无功补偿概念
无功补偿（Reactive Power Compensation）是指在电力系统中，通过引入 无功电源，以改善电力系统的电压质量和稳定性，同时减少线路损耗和变压器 损耗。
电路分析基础-第六章-正弦稳态电路分析
故 对C支路，有
j
I2 jCU CU 90 CUe 2
由A2读数为10A，故 I2 10e j 2
30
由KCL的相量形式，有
I
I1
I2
10e j0
j
10e 2
10
j10 10
2e j45 A
故A的读数为10 2 A
解法2：用相量图求解
因R与C并联，两者端电压相等，故以电压作为参考相量
i(t) 5 sin(100t 15)
u(t) 10 cos(100t 30) i(t) 5 cos(100t 15)
8
6-1-3 正弦量的有效值
在工程上，常将周期量在一个周期内产生的平均效应换算 为在效应上与之相等的直流量，以衡量和比较周期量的效应， 这一直流量就称为周期量的有效值，用相对应的大写字母表 示。
11
6-2 正弦量的相量表示法
正弦量为什么要用相量表示？
正弦稳态电路中，电路中各支路的稳态响应是与激励同 频率的正弦量。激励的频率通常是已知的，因此要求响应， 只要确定它们的振幅和初相这两个量就行了
相量表示法就是用复数来表示正弦量的振幅和初相，将 描述正弦电路的微分方程变换为复数代数方程，而这些方程 在形式上又与直流电路的方程相类似，从而大大简化了正弦 稳态响应的分析与计算。
2
本章的主要内容
6-1 正弦量 6-2 正弦量的相量表示法 6-3 正弦稳态电路的相量模型 6-4 正弦稳态电路的相量分析法 6-5 正弦稳态电路的功率 6-6 三相电路
3
6-1 正 弦 量
6-1-1 正弦量的三要素
正弦电压的瞬时值可表示为：
u (t ) Um
u(t) U m cos(t u )
正弦稳态电路分析解读
i 10 2 cos(314 t 30 0 ) A
求：（1）正弦量的最大值、有效值； （2）角频率、周期、频率； （3）初相角、相位差。
解 ： （1）最大值 Um=220 2 V, Im=10
有效值 U=220V， I=10A
2A
（2）角频率ω=314 rad/s, 频率f=50Hz, 周期T=0.02s
根据有效值的定义有：
I 2 RT 0Ti2 Rdt
正弦电流的有效值为：
I
1 T
0Ti 2 dt
1 T
0T
I
2 m
cos2
(t
i)dt
I m 0.707 I m 2
同理，正弦电压的有效值为：
U Um 0.707Um 2
正弦电动势的有效值为：
E
Em 2
0.707 Em
在正弦量的三要素中，一般用有效值来代替最大值表示正 弦量的大小，在工程上，通常所说的正弦电压、电流的大 小都是指其有效值。
e Em cos(t e )
u U m cos(t u )
i I m cos(t i )
4.1.1 正弦量的三要素
正弦量的特征表现在变化的快慢、大小和初始值三个方面， 它们分别由角频率、幅值和初相来确定，统称为正弦量的 三要素。
以正弦电流为例
i Im cos(t i )
幅值
角频率
初相
的初始值
规定初相角的绝对值不超过
即 ≤≤
如果遇到初相角大于 时，应加 初相角小 于 时，应加 2
规定
2 ，如果遇到
来使初相角符合
4.1.2 正弦量的有效值
有效值用来表示正弦量大小
正弦电流的有效值：
让周期电流i和直流电流I分别通过两 个阻值相等的电阻R，如果在相同的 时间T内，两个电阻消耗的能量相等， 则称该直流电流I的值为周期电流i的 有效值。
求：（1）正弦量的最大值、有效值； （2）角频率、周期、频率； （3）初相角、相位差。
解 ： （1）最大值 Um=220 2 V, Im=10
有效值 U=220V， I=10A
2A
（2）角频率ω=314 rad/s, 频率f=50Hz, 周期T=0.02s
根据有效值的定义有：
I 2 RT 0Ti2 Rdt
正弦电流的有效值为：
I
1 T
0Ti 2 dt
1 T
0T
I
2 m
cos2
(t
i)dt
I m 0.707 I m 2
同理，正弦电压的有效值为：
U Um 0.707Um 2
正弦电动势的有效值为：
E
Em 2
0.707 Em
在正弦量的三要素中，一般用有效值来代替最大值表示正 弦量的大小，在工程上，通常所说的正弦电压、电流的大 小都是指其有效值。
e Em cos(t e )
u U m cos(t u )
i I m cos(t i )
4.1.1 正弦量的三要素
正弦量的特征表现在变化的快慢、大小和初始值三个方面， 它们分别由角频率、幅值和初相来确定，统称为正弦量的 三要素。
以正弦电流为例
i Im cos(t i )
幅值
角频率
初相
的初始值
规定初相角的绝对值不超过
即 ≤≤
如果遇到初相角大于 时，应加 初相角小 于 时，应加 2
规定
2 ，如果遇到
来使初相角符合
4.1.2 正弦量的有效值
有效值用来表示正弦量大小
正弦电流的有效值：
让周期电流i和直流电流I分别通过两 个阻值相等的电阻R，如果在相同的 时间T内，两个电阻消耗的能量相等， 则称该直流电流I的值为周期电流i的 有效值。
第08章-正弦稳态电路的分析分析
(tg1
tg)
CU
C
P
U 2
(tg1
tg)
8.3 正弦稳态电路的功率
复功率
I.
+
N0
U._
设 U U u , I I i , 且 I I i
则：S U I U u I i UI( u i ) SZ
I U s 400 16 36.9 mA Zeq 2.536.9
j1
j1
190
IC
I I
16 36.9
(1 j2) j1 1 j1 2 45
8 298.1 mA
I L 1 j2 I I I C 25.3 55.3 mA (1 j2) j1
8.2 简单正弦稳态电路的分析及相量图
8.2 简单正弦稳态电路的分析及相量图
相量图
通常在未求出各相量的具体表达式之前，不可能准确地 画出电路的相量图，但可以依据元件伏安关系的相量形 式和电路的KCL、KVL方程定性地画出电路的相量图
在画相量图时，可以选择电路中某一相量作为参考相量， 其它有关相量就可以根据它来确定
8.2 简单正弦稳态电路的分析及相量图
1
I1 cos1 I cos I1 cos1
U
I
I 的有功分量
IC
IC
I1 sin 1
I1
I 1的无功分量
8.3 正弦稳态电路的功率
给定P1、cos1 , 要求将 cos1 提高到 cos ，求C = ?
IC
I1 sin 1 I
sin
P sin1 U cos1
P sin U cos
P U
I.
+
N0
U._
Z U I
正弦稳态电路分析课件
其中 e(t) Am cos(t )
y(t ) yh (t ) y p (t )
由特征根S决定
特解r p(t)：由输入决定
当S为单根时 yh (t ) k1es1t k2es2t knesnt
当所有特征根Sn≠±jω时
ω为激励信号的角频率
yP (t ) Ym cos(t )
特解是与激励同频率的正弦波
+j a2
a
0
A a1 +1
二）用数学式子表示
a) A a1 ja2 代数式
b) A a(cos jsin ) 三角式
c) A ae j a 指数式(读为a在角度）
e j cos j sin 欧拉公式
8.2.2 复数的运算
1）复数相等
2）复数加减
3）复数相乘
4）复数相除
5）复数的共轭
本章要重点讨论的方法
三）小结
1）渐稳电路（S = + jω， 0）存在正弦稳态响应。
正弦动态电路处于稳定状态时，电路各支路电压电流一 定为与激励同频率的正弦波。
2）正弦稳态响应=强制响应(特解)
注意：强制响应(特解) 不一定是正弦稳态响应
3）正弦稳态响应可用相量法求。
8.2 复数
8.2.1 复数及其表示 一）在复平面上 a）用一点表示 b）用一有向线段(矢量)表示
一）旋转矢量
e j cos j sin 欧拉公式
当 t 时
e j e j(t )
复指数函数,在复平面上是旋转矢量
e j e j(t ) cos(t ) j sin(t )
+1 t=0
+j t
t=t1
1
0 t1
-1
九章正弦稳态电路的分析
为参考，确定有关电压相量与电流相量之间的夹角。 作图依据：平行四边形法则
例. i + u -
R
L
+ uL -
C
已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F,
+ u 5 2 sin(ωt 60 ), f 3 104 Hz .
uC -
求 i, uR , uL , uC .
解： 其相量模型为
_ U
Z1
Z2 102.11 j132.13
jL
166.99 52.3
I1
U Z
1000 166.99 52.3
0.652.3
A
I2
R1
j
1 C
j 1 C
I1
j318.47 1049.5 17.7
0.652.3
.
.
+
.
UR
IR IL
j L 1
IC
jω C
-
Y G j 1 jC L
G jB
Yeq Y1 Y2 Yn
由KCL：
.. . .
I IR IL IC
. GU j
1
.
.
U jC U
L
(G j
1
. jC )U
L
.
[G j( BL BC )U
0.652.3
0.181 20
A
I3
R1 1
R1 j C
I1
1000 1049.5 17.7
0.652.3
0.5770
A
瞬时值表达式为：
例. i + u -
R
L
+ uL -
C
已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F,
+ u 5 2 sin(ωt 60 ), f 3 104 Hz .
uC -
求 i, uR , uL , uC .
解： 其相量模型为
_ U
Z1
Z2 102.11 j132.13
jL
166.99 52.3
I1
U Z
1000 166.99 52.3
0.652.3
A
I2
R1
j
1 C
j 1 C
I1
j318.47 1049.5 17.7
0.652.3
.
.
+
.
UR
IR IL
j L 1
IC
jω C
-
Y G j 1 jC L
G jB
Yeq Y1 Y2 Yn
由KCL：
.. . .
I IR IL IC
. GU j
1
.
.
U jC U
L
(G j
1
. jC )U
L
.
[G j( BL BC )U
0.652.3
0.181 20
A
I3
R1 1
R1 j C
I1
1000 1049.5 17.7
0.652.3
0.5770
A
瞬时值表达式为：
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= |Z|
电路分析基础——第三部分：11-5
3/11
Ya =
1
arctg 1
R2
+
1 2C2
RC
= |Y|
=
C
arctg 1
1 + 2R2C2
RC
< 0， > 0
Zb = ZR + ZL = R + jL = R2 + 2L2
arctg
L R
= |Z|
Yb =
1 R2 + 2L2
– arctg
主要内容：简单串并联电路的相量法求解；一般混联电路的 相量法求解；混联电路的分解及单口网络的等效求解。
一般求解：在建立一般混联电路的相量模型后，根据上节与 电阻电路分析方法的对比，可以采用与电阻电路类似的分析 方法求解，唯一需要注意的是这里都是复数分析。
求解输入阻抗或导纳时应注意：
（1）同一元件或网络阻抗与导纳的唯一性及唯一的对应 关系，即唯一倒数关系：Z = 1/Y，Y = 1/Z；
下面在回到本章例11-17的求解上来。
电路分析基础——第三部分：11-5
10/11
例11-17 求图11-33所示移相电路常用于雷达指示器电路中，可
调电阻 r 中点接地。试证明在正弦电压 us 的作用下，若R = 1/
C，则正弦电压 u1、u2 、 u3 和 u4 的有效值相等，相位依次相差
90°。
举例 麦克斯韦尔平衡电桥。
显然，如果图中 5 个元件为电阻，那么这
就是惠更斯电桥。平衡条件： R1 : R3 = R2 : R4，
或R1R4 = R2R3。物理意义是 R5 两端等电位，
即 u5 = 0， u3 = u4 ，
R3us R1 + R3
=
R4us R2 + R4
Z
I•1
9/11
Z
1
3
Z
5
Uo =
RC 1+2R2C2
Us
o = arctg
1 RC
即相位差
=
o
–
s
=
arctg
1 RC
jy
解法二 用相量图解。设电路电流 为•I = I i A，根据电阻和电容元件 的相量欧姆定律：电阻电压即输出 电电压容电U• o压与U•电C流相同位相滞，后幅电度流为90R，I；幅 度为I/C
U•
•I
o
U• s x
us(t) + –
iL(t) iC(t)
1 3
H
1 6
F
解 写出已知正弦量的相量 U• s = 40 0° V
作相量模型如右图所示。
I• 1.5k a 1k
U• s +
I•L
I•C
j1k
–
–j2k
b
电路分析基础——第三部分：11-5
5/11
其中
ZL
=
jL
=
j3000×
1 3
= j1k
ZC
=
–
j
1 C
–
(–j
1C)I• =
1 C
90 •I
即
= 2 – 1 = 90
i =
I C
90
+i
V
jy U•
2
解法二 用相量图解。相量图如右，切记， 由于电容电压电流参考方向不一致，因此，
= 90U•1
• I
x
相量欧姆定律有负号，由此变成电容电压超 0
前电流 90 。即 = 2 – 1 = 90
电路分析基础——第三部分：11-5
Z I•2
Z
2
U•
4
us
s+
–
对于本题，情况也类似，所不同的是所有参量均为复数，
特别是电流电压等物理量需用相量表示。平衡物理意义为：
U• 5 = 0， U•3 = U•4 ，
Z3U• s Z1 + Z3
=
Z4U• s Z2 + Z4
平衡条件： Z1 : Z3 = Z2 : Z4， 或 Z1Z4 = Z2Z3。
解 相量模型如右图所示，显然， +
1
1U• 1
1、2、3、4四个节点构成一个电
jC
R
桥，若 R = 1/ C，则有
U• s r g
4 U• 4
2 U• 2
| Z12 | = | Z23 | = | Z14 | = | Z43 |
= R=
1 C
–
1 R jC
3U• 3
U• 1=U• 1g =
1 2
U• s=
I•
j1 j1+1–j2
= I•
j1 1–j1
=
I•
j1(1+j1) 2
=
I•(–
0.5+j0.5)
= 16 – 36.9×0.707 135 = 11.31 98.1 mA
电路分析基础——第三部分：11-5
6/11
由分流公式可得
I•L =
I•
1–j2 j1+1–j2
= 16
– 36.9×1.58
=
–
j
1
3000×
1 6
×10–6
=
–
j2k
由此可得
(j1)(1–j2) Z = 1.5 + Zab = 1.5 + j1+1–j2
= 1.5 +
2+j1 1–j1
= 2+j1.5
= 2.5 36.9
I• =
U• s Z
40 0 =
2.5 36.9
= 16 – 36.9 mA
由分流公式可得
I•C =
–18.4 = 25.28
–55.3 mA
各相量对应的 正弦量为
jy
i(t) = 16 2 cos(3000t – 36.9) mA
I•C
iC(t) = 11.31 2 cos(3000t + 98.1) mA
iL(t) = 25.28 2 cos(3000t – 55.3) mA
0
例11-14 图11-27所示电路，已知 us(t) = 2 Uscost V，求uo(t)，求输出电压 uo(t) 和 us(t) 的相位关系。
x I•
• IL
解法一 已知量的相量为 U•s = Us 0 V
作相量模型如右图所示。
+C
us(t)
R
–
++ 1
+
uo(t) U• s jC R U• o
––
–
电路分析基础——第三部分：11-5
7/11
U• o =
U• s
R R–j 1
= Us
C
R
1+2R2C2 C
–
arctg
1 RC
= Uo o
U• 3
U• 1
U• 2
U• C
电路分析基础——第三部分：11-5
8/11
I
由此可得
tg
=
UC Uo
=
C RI
=
1 RC
即
=
arctg
1 RC
•I
+
+
R
U• 1
例11-15 求图11-30所示相量模型中 U• 2 的相位关系。
U•1
和
解法一 U• 1 = RI• =RI i V
U•s –
1 jC
– –
+
U• 2
U• 2 =
L R
= |Y|
> 0， < 0
Yc = YR + YC = G + jC =
G2
+
2C2
arctg
C G
= 1 + 2R2C2 arctg RC = |Y| R
Zc =
R 1 + 2R2C2
– arctg RC = |Z|
> 0， < 0
电路分析基础——第三部分：11-5
4/11
Yd = YR + YL = G +
Z1Z2 Z1 + Z2
两个元件并联： Y = Y1 + Y2 ， Z =
Y1Y2 Y1 + Y2
+R
•I + R •I
+ •I
U• –
U•
C
–
L U• –
R C
+ •I
U•
–
RL
(a)
(b)
(c)
(d)
Za = ZR + ZC = R +
1 jC
=
R
–
j
1 C
=
1+2R2C2 C
–
arctg
1 RC
1 jL
=
1 R
–
j
1 L
=
G2 +
1 2L2
–
arctg
R L
= R2 + 2L2
–
arctg
R L
= |Y|
LR
Zd =
LR R2 + 2L2arctgFra bibliotekR L
= |Z|
< 0， > 0
i(t)1.5k 1k
例11-13 图11-25表示电路，已知 us(t) = 40 2 cos3000t V，求i(t)、iC(t)、iL(t)。
（2）基本元件的阻抗与导纳：
ZR = R