3.2 圆的轴对称性(1)

如图,AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O直径.
(1)该图是轴对称图形吗？
(2)能不能通过改变AB、CD的位置关系,使它成 为轴对称图形? C O D
E A
B
在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦AB,AB 与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠,你 发现哪些点、线互相重合? 如果把能够重合的圆弧叫做 相等的圆弧,那么在下图中,哪些圆弧相等? A
⌒⌒ D．BD=BC
O ． C E B D
目标训练
3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为 8cm，那么OM长为（ A ） A．3 B．6cm C． 41 cm D．9cm 4．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上 的动点，则OM的长的取值范围是（ A ） A．3≤OM≤5 C．3<OM<5 B．4≤OM≤5 D．4<OM<5
提问：圆是什么对称图形？
O
在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?
C D
O
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（
X）
结论1：
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 强调：
（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴; （2）圆的对称轴有无数条．
3.有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是 一条非常重要的辅助线．圆心到弦的距离、半径、弦长 构成直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题．
思考题
已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD， BF⊥CD 求证：EC＝DF
B
O
.
D F
A E C
目标训练
1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB的弦心距为5， 则这条弦的弦长等于 24 ． 2．如图，AB是⊙0的中直径，CD为弦，CD⊥AB于E， 则下列结论中不一定成立的是（ ） A C A．∠COE=∠DOE C．OE=BE B．CE=DE
得出结论： ⌒
⌒ ⌒ ⌒ ①EA=EB； ② AC=BC，AD=BD． 理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，
C
E B
O
D
根据圆的轴对称性，可得线段EA与EB重合，
∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ EA=EB， AC= BC， AD=BD．
请用命题的形式表述你的结论.
M B
．
O
N C
O
弦心距越短,所对应的弦就越长.
归纳：
1．作弦心距和半径是圆中 常见的辅助线； 2 ．半径（r)、半弦、弦心 距(d)组成的直角三角形是研 究与圆有关问题的主要思路， 它们之间的关系：
d A O
．
C
r
B
弦长AB 2 r 2 d 2 .
2、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，且
OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ D ）
D
⌒ ⌒ ∴AC =BC, AD =BD.
⌒
⌒
结论2： 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧．
A
垂径定理的几何语言叙述: ∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB）C E O
D
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
∴ EA=EB， AC=BC， AD=BD．
CD平分弦AB 条件 CD为直径
B
结论 CD平分弧A B CD平分弧ADB
a b
C
A
B
O
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
想一想:排水管中水最深多少? 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得:
OC OB BC 10 8 6
2 2 2 2
弦长AB 2 r 2 d 2 .
1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性 和定理 定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧． 2. 定理的证明，是通过“实验—观察—猜想—证明” 实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想 后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思 想方法．
A E B C
D
变式一： 求弧AB的四等分点．
C
m
F
E G
n
A
B
D
变式一： 求弧AB的四等分点．
错在哪里？
Ｅ
C
Ｍ
G
Ｐ
1．作AB的垂直平分线CD 2．作AT、BT的垂直平分 线EF、GH
Ｎ
强调：等分弧时一定 要作弧所对的弦的垂 直平分线．
A
Ｔ
B
F
D
Ｈ
变式二：你能确定弧AB的圆心吗？ 方法：只要在圆 弧上任意取三点， 得到三条弦，画 其中两条弦的垂 直平分线，交点 即为圆弧的圆 心．
思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OC平分AB吗？
证明 : 连接OA、OB,
则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称.
B O
C
A
M└
●
∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
A
M
O ．
B
目标训练
5． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12， CD=16，则AB和CD的距离为 2或14 ． 6．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， A ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的长． 思路：由垂径定理可得M、N分别是 1 AB、AC的中点，所以MN= BC=2． 2
5.过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦的中点, 然后作出弦所对的两条弧的中点 E
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.
O
C
A
B
D
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．
2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．
3．解题的主要方法： （1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm
O P
8
10 6
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径.
A
C 1 3D O
3
B
4、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。 ⌒ ⌒ 求证：AC=BD
O A C B D
CD⊥AB
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
你还认识我吗?
B O
A
M└
C
D
C
●
A
M└
●
B
A
M└
●
B O
O
C
A D
O A D E B
B
A
O D C B
O
C
A
B是AB所对的弦，AB的垂直平分线DG交 ⌒ AB于点D，交AB于点G，给出下列结论：
⌒ ⌒ ①BD=AD ②AG=BG ③DG⊥AB
8
C
10 8
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
1、已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm， 求
这条弦的长. 想一想：在同一个圆中，两条弦 的长短与它们所对应的弦心距之
B 13
A
D 5
.
C
间有什么关系？ 答:在同一个圆中， 弦心距越长,所对应的弦就越短;
①②③ 其中正确的是________（只需填写序号）
D A
G
B
例1 已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的 中点．(先介绍弧中点概念）
⌒
⌒ 分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这
条直径应在弦AB的垂直平分线上.因此画AB的 ⌒ 垂直平分线就能把AB平分.
作法： ⒈ 连结AB. ⒉ 作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E. 点E就是所求弧AB的中点．