行列式Cramer法则

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克拉默(Cramer)法则

§7 克拉默(Cramer)法则现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.定理4 如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,, (1) 的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211(2) 的行列式0||≠=A d那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为dd x d dx d d x n n ===,,,2211 , (3) 其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21 所成的矩阵的行列式，即.,,2,1,1,1,121,221,22111,111,111n j a a b a a a a b a a a a b a a d nnj n nj n n n j j n j j j==+-+-+- (4)定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1. 把),,,(21dd d d d d n 代入方程组，验证它确是解. 2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出. 定理4通常称为克拉默法则. 例1 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+.0674,522,963,85243214324214321x x x x x x x x x x x x x x应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论.常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，因为)0,,0,0( 就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有定理5 如果齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (10) 的系数矩阵的行列式0||≠A ，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有0||=A .例2 求λ在什么条件下，方程组⎩⎨⎧=+=+0,02121x x x x λλ 有非零解.克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个n 个未知量n 个方程的线性方程组就要计算1+n 个n 级行列式，这个计算量是很大的.。

《线性代数》1.5第五节克莱姆法则

按第一行展开. 由于第一行第 j 1 列的元素 aij 的代数余子式为
b1 A1 j 1 1
1 j 1
a11 a21 an1
a1 j 1 a2 j 1 anj 1
a1 j 1 a2 j 1 anj 1
a1n a2 n ann
b2 bn
把 A1 j 1 的第1列依次与第2列、第3列、…、第j列互换，有所以有
现在验证（2）式是方程组（1）的解，也就是要证明
ai1
D1 D D ai 2 2 ain n bi , D D D
(i 1,2, , ,n)
即 ai1 D1 ai 2 D2 ain Dn bi D 考虑有两行相同的 n 1 阶行列式
bi b1 B b2 bn ai1 a11 a21 an1 ain a1n a2 n 0, ann (i 1, 2, , n)
D1
2 4 1 4 1 2 3 1
1 0 2 2 1 0 2 2
1 2 1 4 1 1 2 4 1 4 0 2 2 4 0 2
＝ 2，D2＝
1 2 3 1 1 2 3
2 4 1 4 1 0 2 2 1 1 1
1 2 1 4 1 1 2 4 1 0 2
线性代数
(第二版)
第五节克莱姆法则
现在，我们应用 n阶行列式来解含有n个未知量的 n 个线性方程的方程组. 一、克莱姆（Cramer）法则定理1.5.1（克莱姆法则）若线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , ann xn bn .

行列式克莱姆法则

详细描述
利用克莱姆法则，可以将一个行列式表示为一个数值，通过计算该数值即可得到行列式的值。这种方法适用于系数行列式不为零的情况，可以简化行列式的计算过程。
实例三：解的唯一性验证
总结词
克莱姆法则可以用于验证线性方程组解的唯一性。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式，利用克莱姆法则判断解的唯一性。如果行列式不为零，则线性方程组有唯一解；如果行列式为零，则线性方程组可能无解或有无穷多解。这种方法可以用于判断线性方程组解的情况，为求解问题提供依据。
03 适用范围
研究克莱姆法则的适用范围，探索其在更广泛领域的应用可能性。
应用领域的拓展
数值分析
将行列式克莱姆法则应用于数值分析中，解决大规模线性方程组的求解问题。
科学计算
将克莱姆法则与其他科学计算方法相结合，提高计算效率和精度。
工程领域
将克莱姆法则应用于工程领域，解决实际工程问题，如结构分析、流体动力学等。
线性方程组解的唯一性条件是克莱姆法则应用的重要前提之一，它确保了线性方程组的解是唯一的，从而使得行列式中的每个子式可以代表一个唯一的解向量。
03
克莱姆法则的推导过程
推导步骤一：行列式的计算
计算行列式的值
根据行列式的定义，按照行或列展开，计算得到行列式的值。
展开方式的选择
选择合适的展开方式，使得计算过程简化，提高计算效率。
计算方法的改进
算法优化
优化克莱姆法则的计算方法，提高计算效率，减少计算量。
并行计算
利用并行计算技术，实现克莱姆法则的高效计算，处理大规模数据。
软件实现
开发适用于克莱姆法则的软件或库，方便用户进行实际应用和计算。
THANKS

1.4 克莱姆( Cramer )法则

24
1 1 6 1 1 1 6 1 D3 144, 1 2 6 8 1 2 6 8
1 1 1 1 D4 1 2 1 2
1 6 1 6 72, 4 6 4 6
D1 576 所以 a0 8, D 72
D3 144 a2 2, D 72
D2 72 a1 1, D 72
(1 ) (2 )
2
因为方程组有非零解, 则
D (1 )2 (2 ) 0
故 λ =1 或 λ= −2.
12
例3 问取何值时, 齐次线性方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0 2 x1 3 x2 x3 0 有非零解？ x x 1 x 0 2 3 1
其余 xi ( i j ) 的系数均等于0, 而等式右端为 D j 于是
Dx j Dj j 1, 2,
,n
2
当D≠0时, 方程组(2)有唯一的一个解为
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
3
(1)
的系数行列式 D
a21 a n1
0
则线性方程组(1)有唯一解，且
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D Dn , xn . D
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组
右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式, 即
a11 Dj a n1
解先求系数行列式，得
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
r1 2r2

高等代数课件--第二章行列式§2.7 克兰姆(Cramer)法则

解：方程组的系数行列式
1 d 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 2 1 4 5 11 142 0
5 d1 2 2 0
1 2 3 1
1 1 1 2
1 4 5 11 142
d 2 284, d 3 426, d 4 142
§2.7 克兰姆(Cramer)法则
一类特殊的线性方程组的求解问题—— 方程组中未知数个数与方程个数相同
一、n元线性方程组
a 1 1 x1 a 1 2 x 2 a 2 1 x1 a 2 2 x 2 a x a x n2 2 n1 1 a1 n x n b1 a 2 n x n b2 a nn x n bn ()
s
a 21 a n1
a 2 , j 1 a n , j 1
b1 A1 j b 2 A 2 j b n A n j
b
s 1
n
A sj .
分析：
本定理的证明分两个部分，其一是验证
(
d1 d
,
d2 d
, ,
dn d
) 是(1)的解，其二是
验证解的唯一性。
方程组有唯一解(1,2,3,1).
三、齐次线性方程组
a 1 1 x1 a 1 2 x 2 a 2 1 x1 a 2 2 x 2 a x a x n2 2 n1 1 a1 n x n 0 a2n xn 0 a nn x n 0 (3)
可简写为
a
j 1
n
ij
x j bi ,
i 1, 2, , n .
当b1, b2,…, bn不全为0时，称方程

克莱姆(Cramer)法则

0 2 1 2
1 4 7 6
又
8 1 5 1
9 3 0 6
D1 5
2
1
81 2
0 4 7 6
2 8 5 1
1 9 0 6
D2 0 5 1
108 2
1 0 7 6
21 8 1
1 3 9 6
D3 0
2
5
27 2
14 0 6
2 1 5 8
1 3 0 9
D4 0
2
27 1 5
Байду номын сангаас
1 4 7 0
1 cn cn2 cnn
为 n+1阶范德蒙行列式的转置,故D≠0 .由定
理1.4.2,齐次线性方程组(1.4.7)只有零解,从
而 an=0,此与题设条件矛盾.
n
bk Akj ( j 1,2,, n)
k 1
于是
n aij
j 1
Dj D
1 D
n j 1
aij
n
( bk
k 1
Akj )
1 D
nn
aijbk Akj
j1 k 1
1 D
n
(
k 1
n
aij Akj
j 1
)bk
1 D
bi
(
n
aij Aij
j 1
)
1 D
bi D
bi
(i 1,2,,n)
k1 1 D 1 k 1 (k 1)(k 4)
2 1 1
所以, k = 1或k=4 ，且易验证k = 1或k=4 时方程组确有非零解.
例1.4.4 试证: n次多项式
f (x) a0 a1x an x n (an 0)

crammer法则

crammer法则
Crammer法则，又称Kramer公式，是一种计算多元方程组的方法，它由德国数学家August Crammer于1909年提出，常用于求解2个或更多未知量之间的关系。

Crammer 法则的基本思想是通过构造含有所有未知量的行列式来求解方程组的解，而不需要对各个未知量进行求值。

Crammer法则的步骤如下：
（1）给出n个方程，其中n个未知量分别为x1，x2，…，xn；
（2）把这n个方程放入n*n的矩阵中，其中每一行对应一个方程，要求每一行的系数都是未知量的系数，而最右边的一列是各个方程的右端的常数；
（3）将这个矩阵拆分为n个子矩阵，每个子矩阵都是(n-1)*(n-1)的矩阵，其中去掉未知量xi；
（4）对每一个子矩阵求其行列式，然后把这些行列式乘以未知量xi，形成n个新的行列式；
（5）将这n个行列式放入原来的n*n矩阵中，把最右边的一列空出来作为未知量xi的系数；
（6）最后求出这个n*n矩阵的行列式，然后根据每一个未知量的行列式求出未知量的值。

Crammer法则的优点在于只需要一次构造n*n的矩阵就可以求出多元方程组的解，而不需要进行多次求解，省时省力。

但是，Crammer法则也有一定的缺点，就是当n较大时，求行列式的过程会非常复杂，容易出错，而且效率也比较低下。

因此，我们应该根据具体的情况选择最合适的解决方案。

第三节 Cramer法则

1
9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
81,
108,
2
1
8
1
2
1
5
8
1 3 9 6 D3 0 2 5 2 1 4 0 6
1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
D1 81 x1 3, D 27
D3 27 x3 1, D 27
27,
D2 108 x2 4, D 27
D4 27 x4 1. D 27
例2 问取何值时，齐次方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x x 1 x 0, 1 2 3
再把 n 个方程依次相加，得
n n n ak 1 Akj x1 akj Akj x j akn Akj xn k 1 k 1 k 1 bk Akj ,
k 1 n
而其余xi i j 的系数均为 ; 又等式右端为Dj . 0
若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零, 则称此方程组为非
齐次线性方程组; 若常数项b1 , b2 ,, bn 全为零, 此时称方程组为齐次线性方程组.
二、重要定理
定理1 如果非齐次线性方程组1 的系数行列式
D 0, 则 1 一定有解,且解是唯一的 .
定理2 如果非齐次线性方程组1 无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.
有非零解.
例1 用克拉默则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3 x 6 x 9, 1 2 4 2 x2 x3 2 x4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0.

行列式_克莱姆法则

a21 an1
是一算式.当n=1时,定义D1 a11 a11 ;当n 2时, 定义 a22 Dn (1)11 a11 an 2 a23 a2 n a21
1+n + +(-1) a1n
a23 a2 n an 3 ann (2.5)
(1)1 2 a12 a22 a2, n 1 an 2 an ,n 1
即：
b1 d1 b2 d 2
b3 d3 b1
b3 d1 d 2
注：行列式加法与矩阵加法不同。
性质5：将行列式某一行（列）的每个元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式不变。
例如：
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 c3
性5
a1 c1 a1 c1 a2 b2 c2 a3 c3
0
推论 2
性2
c1 c2
性质4：如果行列式D中的某一行（列）的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别为这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置元素与D相同。
a1 c1 a2 c2 a3 c3 a1 a2 b2 c2 c1 a3 c3 a1 c1 a2 c2 a3 d3 c3
1 0 0 0 1 0 E3 0 0 1
等……
1 0...... 0 0 1......0 E n ...... 0 0......1
●上三角形矩阵——主对角线下方元素全为零、上方的
元素不全为0的方阵。如：
D
a11 a12 a1n
a21 an1 a22 an 2 a2 n ann

克莱姆法则求解行列式

克莱姆法则求解行列式1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括以下内容：概述部分应该介绍文章的主题和背景，同时概述克莱姆法则在求解行列式中的重要性和应用。

可以简要介绍克莱姆法则的定义和原理，以及它在线性代数中的重要性和广泛应用的领域。

克莱姆法则是线性代数中解线性方程组的一种方法，通过利用行列式的性质来求解方程组中的变量。

它得名于法国数学家克莱姆，被广泛应用于数学、物理学、工程学等各个领域中。

在解决实际问题时，常常需要求解一些线性方程组，通过克莱姆法则，我们可以将这一过程转化为求解行列式的问题，从而简化求解过程。

克莱姆法则基于行列式的性质，将方程组的系数矩阵转化为行列式，然后通过计算行列式的值来求解方程组的解。

这种方法在一些具有特殊结构的方程组中特别有效。

克莱姆法则在求解行列式中具有一些重要的优势。

首先，它提供了一种简便的方法来求解行列式，避免了其他复杂的计算过程。

其次，它可以通过行列式的性质直接得到方程组的解，无需进行矩阵的求逆等运算。

这使得克莱姆法则在一些特殊情况下具有更高的效率和精度。

通过本文的研究，我们旨在深入探讨克莱姆法则在求解行列式中的原理和应用，分析其优势和局限性，并总结出一些有关克莱姆法则的重要结论。

在后续的章节中，我们将介绍克莱姆法则的详细原理和应用，并通过具体的例子来说明其实际应用的过程和效果。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下内容进行讨论和阐述克莱姆法则在求解行列式中的应用：1. 克莱姆法则的介绍和原理：我们将详细介绍克莱姆法则的基本概念和原理。

包括行列式的定义和性质，以及克莱姆法则的推导和证明过程。

通过深入理解克莱姆法则的基本原理，我们可以更好地应用该法则解决实际问题。

2. 克莱姆法则的应用：本节将重点讨论克莱姆法则在求解行列式中的具体应用。

我们将通过一些实例和案例来说明如何利用克莱姆法则求解各种规模的行列式。

同时，我们将介绍一些常见的应用场景，如线性方程组的求解和矩阵的逆运算等，以展示克莱姆法则在实际问题中的广泛适用性。

1.3 克莱姆(Cramer)法则

个方程相加，再将 n 个方程相加，得
n n n n ∑ ak 1 Ak 1 x1 + ∑ ak 2 Ak 1 x2 + L + ∑ a k n Ak 1 xn = ∑ bk Ak 1 . k =1 k =1 k =1 k =1
第一章行列式
§1.3 克莱姆(Cramer)法则
四、齐次线性方程组的有解问题
考虑齐次线性方程组
显然，它总存在一组全为零的解(称为零解) 显然，它总存在一组全为零的解(称为零解)：零解
x1 = x2 = L = xn = 0 .
定义若齐次线性方程组的一组解不全为零则称为非零解若齐次线性方程组的一组解不全为零, 则称为非零解非零解.
8
第一章行列式
§1.3 克莱姆(Cramer)法则
四、齐次线性方程组的有解问题
定理若齐次线性方程组的系数行列式 D ≠ 0 , 则它只有零解则它只有零解. 证明由于当线性方程组的系数行列式 D ≠ 0 时有惟一解，由于当线性方程组的系数行列式时有惟一解，线性方程组故齐次线性方程组的系数行列式 D ≠ 0 时只有零解. 齐次线性方程组的系数行列式时只有零解推论若齐次线性方程组有非零解则其系数行列式必为零若齐次线性方程组有非零解, 则其系数行列式必为零. (此为上述定理的逆否命题) 此为上述定理的逆否命题) 思考 (1) 若齐次线性方程组的系数行列式 D = 0 , 则它是否一定有非零解？即定理的否命题是否成立？一定有非零解？ (即定理的否命题是否成立？) (2) 齐次线性方程组有非零解和它对应的非齐次线性齐次线性方程组有非零解有非零解和它对应的非齐次线性方程组有无穷多解有何联系？方程组有无穷多解有何联系？有无穷多解有何联系 9

线性代数克莱姆(Cramer)法则

其中 b j 称为右端项 (或常数项)；
a11 a 21 D a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
简记为
ai j x j bi ,
j 1
n
i 1 , 2 , , n .
称为系数行列式 .
2
§1.3 克莱姆(Cramer)法则第二、克莱姆(Cramer)法则一 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , 章 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , 定理考虑线性方程组行列 P 18 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn . 定理式 1.3 若系数行列式 D 0 ，则方程组有惟一解
再将 n 个方程相加，得
n n n n ak 1 Ak 1 x1 ak 2 Ak 1 x2 ak n Ak 1 xn bk Ak 1 . k 1 k 1 k 1 k 1
4
§1.3 克莱姆(Cramer)法则第一章行列式
6
§1.3 克莱姆(Cramer)法则第三、齐次与非齐次线性方程组一 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , 章 a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 行定义设线性方程组为列 P 21 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn . 式 (1) 若常数项 b1 , b2 , , bn 不全为零，则称此方程组为非齐次线性方程组; (2) 若常数项 b1 , b2 , , bn 全为零，则称此方程组为齐次线性方程组; 注通常还称齐次线性方程组为它所对应的非齐次线性方程组的导出(方程)组. 7

克拉默法则（CramersRule）的证明

克拉默法则（CramersRule）的证明克拉默法则：先说⼀下为什么要写这个，作为⼀个⼤⼀新⽣，必须要学的就包括了线性代数，⽽且线性代数等数学知识对计算机专业也有很⼤帮助。

但是在学习过程中遇到⼀个讲解的不清楚的知识点（Cramer's Rule），于是上⽹查询，但是出乎意料的是⽹上的证明⽅法都复杂且⼤多数都是⽤验证法，这对于数学的学习是及其没有帮助的，我作为⼀个数学爱好者就开始探索了。

我坚信所有成⽴的公式都可以有⼀个显式的解读，不能读出来总是你打开的⽅式不对。

⼀、引理（⾏列式的性质）（参考书籍：Introduction to Linear Algebra,Gilbert Strang, Wellesley-Cambridge Press, ISBN：0980232775, 9780980232776, 2016.）1. 单位矩阵的⾏列式为1.2. 把矩阵A的⾏a加到矩阵A的⾏b，矩阵⾏列式不变（a≠b）.3. 对⾓矩阵的⾏列式等于对⾓线元素乘积.4. detAB=(detA)(detB).//两个矩阵乘积的⾏列式等于两个矩阵的⾏列式的乘积.以上引理均为转述，并⾮原⽂，有需要请查阅原书。

⼆、证明（注意表⽰单位矩阵，同某些书的 E）第⼀步，将其化为它真正表达的意思第⼆步，det（I）=1，没错这个就证明结束了。

可能最后⼀步有⼈没有看懂，我解释⼀下。

我们⽤(j=1,2,3....n)，来表⽰A的每⼀列,⽤稍微看⼀下矩阵乘法，我们明⽩即，⽽显然也就是⽽⽤引理2（把矩阵A的⾏a加到矩阵A的⾏b，矩阵⾏列式不变（a≠b）.）可以将第j列除第j⾏以外的所有值减为0，根据引理三（对⾓矩阵的⾏列式等于对⾓线元素乘积.），.(或者也可以利⽤提出⼀⾏的公因⼦)证毕。

引理的证明请看书或者⾃⾏百度。

如果以上结果有误，请联系我。

如果想要我证明其它公式的，请联系我。

如果有同样喜欢数学的，也可以⼀起探讨。

cramer法则

克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。

1、当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；
2、如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零
3、克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。

对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O（n·n！）。

即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的。

它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。

其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。

行列式的计算及克莱姆法则

CHAPTER 05
行列式的应用
在几何学中的应用
确定几何形状的面积和体积
行列式可以用于计算多边形的面积和立体的体积。
线性变换
行列式可以Байду номын сангаас述线性变换，如旋转、平移等。
方向场和梯度
行列式可以用于确定方向场和梯度的计算。
在物理学中的应用
线性弹性力学
行列式在描述物体的弹性性质和应力状态时起到关键作用。
系数行列式的值不为0时，线性方程组有唯一解；系数行列式的值为0时，线性方程组可能有无穷多解或无解。
系数行列式的计算
通过将线性方程组的系数按照某一行或列展开，得到一个数值，即为系数行列式的值。
利用行列式解线性方程组的方法
克拉默法则
当系数行列式不为0时，线性方程组有唯一解，且可以通过将系数行列式按某一行或列展开，得到线性方程组的解。
给定线性方程组$begin{cases}x + y = 3 2x + y = 4 end{cases}$，首先计算系数行列式$D = begin{vmatrix}1 & 1 2 & 1 end{vmatrix} = 1 times 1 - 2 times 1 = -1$，因为系数行列式的值为0，所以线性方程组无解。
克拉默法则的应用步骤
首先计算系数行列式的值，然后根据系数行列式的值是否为0，确定线性方程组的解的情况，最后通过展开系数行列式得到线性方程组的解。
克拉默法则的应用实例
要点一
实例1
要点二
实例2
给定线性方程组$begin{cases}2x + y = 5 x - y = 1 end{cases}$，首先计算系数行列式$D = begin{vmatrix}2 & 1 1 & -1 end{vmatrix} = 2 times (-1) - 1 times 1 = -3$，因为系数行列式的值不为0，所以线性方程组有唯一解。通过展开系数行列式得到$x = frac{D_{1}}{D} = frac{5 - 1}{-3} = -frac{4}{3}$，$y = 5 - 2x = 5 - 2 times (-frac{4}{3}) = frac{23}{3}$。

克拉默法则换成常数项

克拉默法则换成常数项克拉默法则（Cramer's Rule）是一种用于解线性方程组的方法，它通过利用方程组的系数矩阵的行列式和各个未知数的常数项所构成的增广矩阵的行列式的比值来求解每个未知数的值。

具体步骤如下：1. 给定一个线性方程组：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，aᵢₙ为系数矩阵的元素，xᵢ为未知数，bᵢ为常数项。

2. 计算系数矩阵的行列式：D = |a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙ||a₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ||... ... ... ||aₙ₁ aₙ₂ ... aₙₙ|3. 逐个替换上述系数矩阵的列向量为常数项向量，并计算替换后的行列式值：D₁ = |b₁ a₁₂ ... a₁ₙ||b₂ a₂₂ ... a₂ₙ||... ... ... ||bₙ aₙ₂ ... aₙₙ|D₂ = |a₁₁ b₁ ... a₁ₙ||a₂₁ b₂ ... a₂ₙ||... ... ... ||aₙ₁ bₙ ... aₙₙ|...Dₙ = |a₁₁ a₁₂ ... b₁||a₂₁ a₂₂ ... b₂||... ... ... ||aₙ₁ aₙ₂ ... bₙ|4. 求解每个未知数的值：x₁ = D₁ / Dx₂ = D₂ / D...xₙ = Dₙ / D其中，D为系数矩阵的行列式值，D₁、D₂、...、Dₙ分别为替换对应列向量的常数项后的行列式值。

需要注意的是，当系数矩阵的行列式值（D）为0时，克拉默法则不能使用，此时方程组可能无解或有无穷多解。

此外，克拉默法则通过计算多个行列式来求解未知数的值，效率较低，因此对于较大的线性方程组不适用。

利用行列式的几何意义解释Cramer法则

别地，当Ａ为单位矩阵时，Ｖ（Ａ）表示以
（３）用一个数乘行列式某一列的所有元素就等
于用这个数乘此行列式。对Ａ＝（ ∞，ｔＯ：，ｔＯ３） ∈Ｒ，则相应的体积函数的
性质如下：
『ｌ１］ＩＩｆ０１ｆｌｆ０］【
【
， ●
利用行列式的几何意义解释Ｃｒａｍｅｒ法则
ＩＩ
，●Ｊ●● ●●●●● ， ●●● ●Ｊ、●● ●●●●● ●，●
● ● ● ● ● ， ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
【
虑分别由向量Ｊ，，幽和向量ｂ，ｘ２ｏｌ２，ｘ３ｏｔｓ生
，，
但ｄｅｔ（ａ）可正可负，而Ｖ（Ａ） ≥０，故考虑在一
质得
收稿日期：２０１５ —０６ —１７
作者简介：王
・
娇（１９８８一）女，山东济南人，硕士研究生，主要从事计算数学研究。
３８・
／Ｌ
Ａ
、Ｊ
王娇
王娇
０４６０１１）（长治学院数学系，山西长治摘
要：文章引入了体积函数的概念，给出了三阶行列式的几何意义，并利用该几何意义解释三元线
性方程组的Ｃｒａｍｅｒ法则。
关键词：体积函数；行列式；Ｃｒａｍｅｒ法则中图分类号：０１５１．２２文献标识码：Ａ文章编号：１６７３ — ２０１５（２０１５）０５ — ００３８ — ０２