第三章第一节振动理论基础

外因——激励（振源）
内因——系统振动
• 阻尼：阻碍物体振动的因素，如空气的阻力，材料的内阻， 物体之间的摩擦等。 动力学是研究系统动态行为的学科。包括： • 已知振源和系统振动特性，求系统响应（输出）； • 已知系统振动特性和响应，求系统激励（输入）； • 已知系统的输入和输出，确定系统动态特性（模态分析， 系统识别）。

k m
得系统固有圆频率为：
k 100000 100 rad / s 10 m
15.92（Hz） 固有频率为： f 2
二、单自由度系统的自由振动
又已知初始条件为： x0 = -0.01m，v0 = 0。得：
A
2 2 2 x0 v0

x0 0.01(m)
2 2
0 令v A cos( ), x0 A sin( )
v0 2 x0
x(t ) A sin(t )

x0 , arctan( ) v0
二、单自由度系统的自由振动
• 无阻尼自由振动的固有频率和固有圆频率
物块振动一次经历的时间Τ称为周期。根据正弦函数的性 质，时间每经历一个周期，正弦函数的相位角增加2π，故：
二、单自由度系统的自由振动
• 当n ＜ω时，设 j 1 ，故
n j 2 n 2
将上式代入
x et 中得： x e nt e j
x1 e nt cos 2 n 2 t x2 e nt sin 2 n 2 t
2 n2 t
二、单自由度系统的自由振动
• 作用在质量块上的弹性力总是指向平衡位置（恢复力） 。 • 若没有能量损耗，振动时离开平衡位置的最大位移不变， 称之为振幅。 • 自由振动具有周期性。 从某一位置开始运动，总是在一个固定的时间 T 内回到 开始位置，这一时间 T 叫做振动的周期，单位为秒。 为了描述振动的快慢程度，引入振动的频率 f ，它定义为 单位时间内振动的次数，单位为赫兹（Hz）。 频率 f 和周期 T 互为倒数，即：
k 解：系统的固有圆频率为： 2 f m k 100 rad / s 得无阻尼固有圆频率为： m
阻尼系数为： n 100 0.05 5 振动周期为：T
2
1
2
0.063 s
二、单自由度系统的自由振动
又已知初始条件为：x0 =－0.01m，v0 = 0 得 A x02
阻尼对自由振动的影响主要表现在振幅。设相邻两次振动 的振幅分别为 Ai 和 Ai 1 ，则前后两次的振幅比为：
Ai Ae nT1 d n t T e Ai 1 Ae i 1
d 称为减幅系数，由上式得：
nti
Ai A1 A2 A1 …… Ai 1 i A3 2 d d d d 因为d ＞1 ，所以小阻尼自由振动的振幅按几何级数的规律 迅速衰减。
将它按欧拉公式展开，得到两个特解：
将这两个特解线性组合，即得通解为
x Ae nt sin

2 n2 t

二、单自由度系统的自由振动
由上式可以看出： • 小阻尼n ＜ω时质量块系统的运动规律为正弦波形； • 因为-1≤ s i n


2
n2t
nt
≤1，所以质量块系统的位移
由于包装缓冲系统都是有阻尼的，所以，分析有阻尼单自由 度系统的自由振动具有十分重要的作用。
• 力学模型
• 建立运动方程
质量块m作自由振动，在任一 瞬时t，作用在质量块上的力有： 重力 弹性力 阻力 mg
F k st x
R cx
根据牛顿第二定律，质量块的运动微分方程为：
F R mg k ( st x) cx mg kx cx mx
k 因为 m
所以，周期为 T
2

2
m k
频率为
f
1 2
k m
二、单自由度系统的自由振动
• 无阻尼单自由度系统自由振动的速度与加速度方程 对位移方程 由振动的速度方程为 求一次导数，得系统自
V t A cost
求二次导数，得系统自
对位移方程 由振动的加速度方程为
一、振动系统
• 按系统自由度分——单自由度系统振动 多自由度系统振动 • 按微分方程分——线性振动 非线性振动 • 按系统输入类型分——自由振动 强迫振动（受迫振动） 自激振动 • 按输出规律分——周期振动 随机振动
二、单自由度系统的自由振动
• 自由振动
• 给弹簧一个初始位移后，如果没有外力干扰， 它按自身的特性进行的有规律的往复运动。
2
at A sin t
二、单自由度系统的自由振动
例：已知一包装件的产品质量m = 10 kg，缓冲垫等效弹 性系数为k = 100000 N/m，将其简化为无阻尼单自由度模 型，给缓冲垫一个初始位移x0 = -0.01m，使之从静止开始 振动，求固有频率和位移方程。 解：由公式
二、单自由度系统的自由振动
二、单自由度系统的自由振动
F R mg kx cx 将方程 mx
简化后得：
x
k c 0 x x m m
k c 2 令上式中 m ， 2n ，就得到有阻尼自由振动的 m 运动微分方程的标准形式
2x 0 x 2nx
——是质量块弹簧系统的固有圆频率； 式中：
• 力学模型
设弹簧的原长为L0，弹簧静 变形
弹簧总变形 • 物体所受 弹性力
x st
mg st k
F kx k st F kx mg
• 由牛顿第二定理得：
d 2x F F mg kx, F ma m dt 2 2 k k mx kx x m x 0, 设 m x 0 x
nt
被限制在两条曲线 x Ae
和 x Ae
之间；
• 质量块系统的振动随时间的增加而逐渐衰减，是衰减振 动。
二、单自由度系统的自由振动
设初始条件为：
nt 和 。计算公式为：x Ae sin

，由此可确定常数A
2 n2 t

，得：
衰减振动虽然不是真正地 周期性运动，但它仍具有 等时性，因此质量块来回 往复一次所经历的时间仍 然称为周期，用 T1 表示
-0.0075
x t 0.01e 5t sin 99.87t 1.555 nT 0.3146 1.37 因为 n 5 ， T 0.063 s ，所以振幅系数为：d e 1 e A1 1 有 Ai 1 i 0.05 A1 即要求 d i 20 i 9.52 d 0.05

2 n2 t

得位移方程为：
二、单自由度系统的自由振动
n n 2 2
• n ＞ω，特征方程的两个根全是实数，而且都是负的，假 设方程的两个特解为 x1 e 1t , x2 e 2t 方程的通解为： 根据初始条件： 代入上式得： 由此求得：
x c1e 1t c2 e 2t
第三章 包装动力学的振动理论
第一节 振动理论基础
一、振动系统 二、单自由度系统的自由振动 三刚性物块、线性弹簧和线性阻尼组成的振动系统称为线 性振动系统。 • 振动：是物体在其平衡位置附近所做的来回往复运动，描述 最基本参数是频率和加速度。
一、振动系统
振动是由振源向系统输入信号，系统所作的响应。
二、单自由度系统的自由振动
显然，由于阻尼的作用，振动的周期增大了，但是，当阻 尼很小时，周期的增加是微不足道的，例如，当
n 0.1 0.1, 时，T1 1.005T ,
仅仅增加了百分之五，所以当阻尼很小时，可以不计阻尼 对振动周期的影响，而近似认为 T1 T。
二、单自由度系统的自由振动
nx0 v0
n
2 2
2
0.01
0.01m
0.0075 0.005 0.0025
x0 2 n 2 tan 63.24 2 nx0 v0
0.1 -0.0025 -0.005
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
得 1.555 rad
nt x Ae sin 由公式
nti
因为d ＞1 ，所以小阻尼自由振动振幅按几何级数的规律迅 速衰减。
二、单自由度系统的自由振动
每振动一次，对振幅影响很大，振幅减少迅速。仍以
n 0.1 0.1, 时为例, 可算得 2 0.1 d exp 2 1 0 . 1 Ai 1.88, Ai 1 0.53 Ai d
可见，每振动一次，振幅就减少47%，只要振动6次，振幅 就小于0.05A1。可见在阻尼很小时，周期的变化虽然不大， 但振幅的衰减却非常迅速。
二、单自由度系统的自由振动
例：已知一包装件产品质量m =10kg，缓冲垫等效弹性系 数为k = 100000N/m，将其简化为有阻尼单自由度模型，设 阻尼比为 0.05 。给缓冲垫一个初始位移x0 =－0.01m ，使 之从静止开始振动，求振动周期、位移方程，并计算振动多 少次后的振幅小于初始振幅的5%。
2
• 位移方程的求解
2 x 0 x t 0时，初始位移和速度 (0) v0 x(0) x0 , x (0) v0 x(0) x0 , x
2x 0 x
x(t )
可得A
v0
sin( t ) x cos( t ) 0
v0 t 0, x x0 , x