无穷小与无穷大关系共20页
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无穷小与无穷大和极限的关系
1 ∵ lim = 0, x →∞ x
2.无穷大 2.无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 无穷大 定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么
小),总存在正数 δ (或正数 X ),使得对于适合不等 式 0 < x x 0 < δ (或 x > X )的一切 x,所对应的函 数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) > M ,
三、
定理3
无穷小的运算性质
同一过程中，有限个无穷小的代数
和仍是无穷小. 证：设α及β是当x → ∞时的两个无穷小, 时的两个无穷小,
ε > 0, X 1 > 0, X 2 > 0, 使得
当 x > X 1时恒有 α <
ε
2
; 当 x > X 2时恒有 β < ;
2
ε
取 X = max{ X 1 , X 2 }, 当 x > X时, 恒有
但 y( xk ) = 2kπ sin 2kπ = 0 < M .
不是无穷大． 不是无穷大．
1 例 证明 lim = ∞. x →1 x 1
1 1 y= 证 M > 0. 要使 > M, x 1 x 1 1 1 , 取δ = , 只要 x 1 < M M 1 1 1 = ∞. 时, 就有 当0 < x 1 < δ = > M . ∴ lim x →1 x 1 M x 1
即： 无穷大的倒数为无穷小，非零无穷 无穷大的倒数为无穷小， 小的倒数是无穷大. 小的倒数是无穷大.
证 (2) lim f ( x ) = ∞ . 设
x → x0
∴ ε > 0, δ > 0, 使得当0 < x x0 < δ时 1 1 < ε. 恒有 f ( x ) > , 即 f ( x) ε 1 ∴ 当x → x0时, 为无穷小. f ( x)
大学数学无穷小与无穷大资料
f (x)
(2) lim
k 0
xx0 g ( x)
称x→x0 时， f (x) 与g (x) 是同阶的无穷小。
特别地，
当k=1 时,称 f (x) 与g (x)是等价无穷小。
记为: f (x) ~ g(x)
(x x0 )
x3
lim
x0
6x2
0
x0 时
x3 o( 6x2 )
lim sin x 1 x0 x
5x
lim
3x
3
x0 5x 5
lim
x0
tan
x sin x3
x
lim
x0
tan
x(1 cos x) x3
lim
x0
x 1 x2 2 x3
1 2
tan x sin x
lim
x0
x3 lim ( tan x sin x )
x0 x3
x3
lim
x0
tan x x3
lim
x0
sin x x3
lim x0
无穷小量相乘除的情况,对
于两个无穷小量相加减的情
况不能用替换定理。
lim
x0
tan
x sin x3
x
lim
x0
xx x3
例如：1 cos x
lim
x0
sin x 1 cos x ~ 1 x2
1 x2
2
lim 2 0
x0 x
常用等价无穷小 :
ln(1 x) ~ x ex 1 ~ x
上述式子中的 x 位置上可以是 x 本身, 也可以是x 的某个函数。
例如 :
函数 当
时为无穷小;
无穷小与无穷大和极限的关系
x x0
x x0
x x0
第八页，课件共16页
2. 无穷小与无穷大的关系
定理2 (1)若lim f (x) 0,( f (x) 0),则 x lim 1 . x f (x) (2)若lim f (x) ,则 x lim 1 0. x f (x)
即： 无穷大的倒数为无穷小，非零无穷小 的倒数是无穷大.
式 f ( x) A,误差为 ( x).
第十二页，课件共16页
三、 无穷小的运算性质
定理3 同一过程中，有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
证： 设及是当x 时的两个无穷小, 0, X1 0, X 2 0,使得
第十三页，课件共16页
当
x
X
时恒有
1
;
2
当
x
X
时恒有
2
;
2
取 X max{X1 , X 2 }, 当 x X时, 恒有
一无穷小与无穷大的概念定义如果对于任意给定的正数不论它多么小总存在正数那末称函数时为无穷小记作极限为零的变量称为无穷小
无穷小与无穷大和极限的关系
第一页，课件共16页
一、无穷小与无穷大的概念
1.无穷小 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总 存在 正数 ( 或正 数 X ), 使 得对 于适 合不 等式
当k充分大时,xk ,
但 y( xk ) 2kp sin 2kp 0 M . 不是无穷大．
第六页，课件共16页
例 证明 lim 1 . x1 x 1
证 M 0. 要使 1 M , x 1
y 1 x1
只要 x 1 1 , 取 1 ,
M
M
当0 x 1 1 时,就有 1 M .lim 1 .
第五节 无穷小与无穷大
1 lim f ( x ) lim A 0. x x x
一、填空题:
练 习 题
1、 凡无穷小量皆以________为极限.
2、在 __________条件下, 直线 y c 是函数 y f ( x ) 的水平渐近线 .
3、lim f ( x ) A _______ f ( x ) A ,
例如，
x2 lim 0， x 0 3 x
sin x lim 1， x 0 x
即 x 2 o( 3 x ) ( x 0 ).
当 x 0 时，x 2 是比 3 x 高阶的无穷小 ;
即 sin x ~ x ( x 0 ).
当 x 0 时， sin x 与 x 是等价无穷小 ．
2 2
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小, 记作 o( )；
( ２ ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小． ( 3) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小 ; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;
第 2章
极限与连续
§2.2无穷小与无穷大
§2.2无穷小与无穷大
一、无穷小
1、定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 当 x x 0 (或 x )时,如果函数 f ( x ) 的 极限为零， 则称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时 为无穷小,记作
x x0
四、无穷小的比较
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x 2 x 2 lim 0, x 比3 x要快得多; 观 x0 3 x 察 各 lim sin x 1, sin x与x大致相同; 极 x0 x 1 2 限 x sin 1 x 0 lim lim sin 不存在. 不可比. 2 x 0 x 0 （ 型） x x 0 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
高等数学无穷小和无穷大PPT
1-4 无穷小和无穷大
2022/11/17
1
一、无穷小
• 定义1： → 0 时（或 → ∞时）， 有() → 0，
称()是 → 0 （或 → ∞）时的无穷小。
lim
=
0
.
→
0
(→∞)
2022/11/17
2
一、无穷小
• 误区：很小的数、-9999999、0.0000001、…
• 0也是无穷小，是可作为无穷小的唯一常数。
2022பைடு நூலகம்11/17
3
一、无穷小
• 无穷小+无穷小= 无穷小
• 无穷小-无穷小= 无穷小
C 无穷小=无穷小
• 无穷小无穷小= 无穷小
（不用区分C是否为0）
• 无穷小/无穷小= 不一定
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4
一、无穷小
• 定理1： lim = ⟺ = + ，其中为
• 无穷大无穷大= 无穷大
0 =0
C 无穷大=ቊ
∞ ≠0
• 无穷大/无穷大= 不一定
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7
二、无穷大
• 定理2： ()无穷大 ⟺
()无穷小 ⟺
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1
无穷小
()
1
无穷大
()
8
→0
→ 0 时的无穷小量。
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5
二、无穷大
• 定义2： → 0 时（或 → ∞时）， 有() → ∞，
称()是 → 0 （或 → ∞）时的无穷大。
lim = ∞
→0
(→∞)
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6
二、无穷大
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1
一、无穷小
• 定义1： → 0 时（或 → ∞时）， 有() → 0，
称()是 → 0 （或 → ∞）时的无穷小。
lim
=
0
.
→
0
(→∞)
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2
一、无穷小
• 误区：很小的数、-9999999、0.0000001、…
• 0也是无穷小，是可作为无穷小的唯一常数。
2022பைடு நூலகம்11/17
3
一、无穷小
• 无穷小+无穷小= 无穷小
• 无穷小-无穷小= 无穷小
C 无穷小=无穷小
• 无穷小无穷小= 无穷小
（不用区分C是否为0）
• 无穷小/无穷小= 不一定
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4
一、无穷小
• 定理1： lim = ⟺ = + ，其中为
• 无穷大无穷大= 无穷大
0 =0
C 无穷大=ቊ
∞ ≠0
• 无穷大/无穷大= 不一定
2022/11/17
7
二、无穷大
• 定理2： ()无穷大 ⟺
()无穷小 ⟺
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1
无穷小
()
1
无穷大
()
8
→0
→ 0 时的无穷小量。
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5
二、无穷大
• 定义2： → 0 时（或 → ∞时）， 有() → ∞，
称()是 → 0 （或 → ∞）时的无穷大。
lim = ∞
→0
(→∞)
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6
二、无穷大
无穷小与无穷大的关系
推论1 在同一过程中 有极限的变量与无穷小的乘 推论 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 积是无穷小 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论 有限个无穷小的乘积也是无穷小
1 2 1 例如,当x → 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x
一,填空题: 填空题:
练 习 题
凡无穷小量皆以________为极限. ________为极限 1, 凡无穷小量皆以________为极限.
2,在 __________ 条件下, 直线 y = c 是函数 y = f ( x ) 的水平渐近线 .
3,lim f ( x ) = A _______ f ( x ) = A + α ,
0
则有 lim α( x ) = 0,
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论. 的讨论
四,小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1,主要内容: 两个定义 四个定理 三个推论 ,主要内容 两个定义;四个定理 三个推论. 四个定理;三个推论 2,几点注意: ,几点注意
2,无穷小与函数极限的关系: ,无穷小与函数极限的关系
定理 1
x → x0
1 2 1 例如,当x → 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x
一,填空题: 填空题:
练 习 题
凡无穷小量皆以________为极限. ________为极限 1, 凡无穷小量皆以________为极限.
2,在 __________ 条件下, 直线 y = c 是函数 y = f ( x ) 的水平渐近线 .
3,lim f ( x ) = A _______ f ( x ) = A + α ,
0
则有 lim α( x ) = 0,
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论. 的讨论
四,小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1,主要内容: 两个定义 四个定理 三个推论 ,主要内容 两个定义;四个定理 三个推论. 四个定理;三个推论 2,几点注意: ,几点注意
2,无穷小与函数极限的关系: ,无穷小与函数极限的关系
定理 1
x → x0
无穷小量和极限的关系
1 x
?
2 3
13
(四)无穷小量的阶 2 x , x , 2 x 都是无穷小量, 比较它们趋向 x 0 当 时，
于 0 的速度，
观 察 各 极 限
x2 l i m 0, x0 x
x 2 比 x 要快得多；
2x lim 2, x 0 x x lim 2 ， x 0 x
2 x 与 x 大致相同；
x 比 x 要慢得多。
2
比值极限不同, 反映了两者趋向于零的“快慢” 程度不同。
14
定义：设α和β是某一极限过程中的无穷小量，
如果 lim 0 ，则称β是比α高阶的无穷小量， 记为 o( ) ；
如果 lim ,则称β是比α低阶的无穷小量； 如果 lim c 0 ，则称β是与α同阶的无穷小量； 特别地, 如果lim 1 , 则称β与α是等价无穷小量, 记作 ~ 。
19
2) lim f ( x ) ：
x
M 0 , X 0 , 当 | x | X时， 有 | f ( x) | M .
注： 1、无穷大量是一个变量，不可与绝对值很大很 大的数混为一谈； 2、称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变化趋势。
2
1 例1 证明 lim . x 0 x
y
1 证 M 0 , 欲使 M , x
1 1 即 | x| , 所以取 , M M
1 M. 当 0 | x | 时 ,恒有 x
得证.
o
x
3
性质
（1）无穷大与有界变量之和仍为无穷大量； （2）两个无穷大量的积仍为无穷大量； （3）不为零的常数与无穷大量之积仍是无穷大量；
15
1 是同阶无穷小。 例6 证明：当 n 时， n 1 n 与 n n1 n 证 lim n 1 n
?
2 3
13
(四)无穷小量的阶 2 x , x , 2 x 都是无穷小量, 比较它们趋向 x 0 当 时，
于 0 的速度，
观 察 各 极 限
x2 l i m 0, x0 x
x 2 比 x 要快得多；
2x lim 2, x 0 x x lim 2 ， x 0 x
2 x 与 x 大致相同；
x 比 x 要慢得多。
2
比值极限不同, 反映了两者趋向于零的“快慢” 程度不同。
14
定义：设α和β是某一极限过程中的无穷小量，
如果 lim 0 ，则称β是比α高阶的无穷小量， 记为 o( ) ；
如果 lim ,则称β是比α低阶的无穷小量； 如果 lim c 0 ，则称β是与α同阶的无穷小量； 特别地, 如果lim 1 , 则称β与α是等价无穷小量, 记作 ~ 。
19
2) lim f ( x ) ：
x
M 0 , X 0 , 当 | x | X时， 有 | f ( x) | M .
注： 1、无穷大量是一个变量，不可与绝对值很大很 大的数混为一谈； 2、称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变化趋势。
2
1 例1 证明 lim . x 0 x
y
1 证 M 0 , 欲使 M , x
1 1 即 | x| , 所以取 , M M
1 M. 当 0 | x | 时 ,恒有 x
得证.
o
x
3
性质
（1）无穷大与有界变量之和仍为无穷大量； （2）两个无穷大量的积仍为无穷大量； （3）不为零的常数与无穷大量之积仍是无穷大量；
15
1 是同阶无穷小。 例6 证明：当 n 时， n 1 n 与 n n1 n 证 lim n 1 n
无穷小与无穷大
三、无穷小与无穷大的关系
定理2 在自变量的同一变化过程中, 定理2 在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒 数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
f (x)记作 lim f ( x) = ∞ (或lim f ( x) = ∞).
x→x0 x→∞
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
lim f ( x ) = +∞ (或 lim f ( x ) = −∞ )
x → x0 ( x→∞ )
1）无穷大不能与很大的数混淆; 注意 （1）无穷大不能与很大的数混淆;
（2）切勿将 lim f ( x ) = ∞认为极限存在 .
x → x0
若lim f (x)=∞, 则表示在该极限过程 中f (x)的极限不存在.
例
1 lim = ∞. x →1 x − 1
x x0
定义 : 如果 lim f ( x ) = ∞ , 则直线 x = x 0是函数 y = f ( x ) 的图形的铅直渐近线 .
1 ∵ lim = 0, x→∞ x
1 ∴ 函数 是当x → ∞时的无穷小. x
(− (−1) n (−1) n ∵ lim = 0, ∴ 数列{( − }是当n → ∞时的无穷小. n→∞ n n
注意（1）无穷小不能与很小的数混淆 ）无穷小不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数 ）零是可以作为无穷小的唯一的数.
第四节
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
一、无穷小
定义 1 如果函数 f (x)当 x → x0(或 x →∞)时的极 限为零，那么称函数 f (x)为当 x → x0(或 x →∞)时 限为零， 的无穷小. 的无穷小.
无穷小无穷大课件
定义1. 若 则称函数
(或 x ) 时 , 函数
则
为
(或 x ) 时的无穷小 .
说明: 除 0 以外任何很小的常数函数都不是无穷小 ! 因为
C
当
时,
C 显然 C 只能是 0 !
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定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
lim f (x) A
x x0
证: lim f (x) A
x x0
f (x) A , 其中 为
x x0 时的无穷小量 .
0, 0, 当 0 x x0 时,有
f (x) A
f (x) A lim 0
x x0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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二、无穷大
定义2 . 若任给 M > 0 , 总存在
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内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2
作业 P41~42 2; 4；5
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
例如, 函数 当
但
所以
时,
不是无穷大 !
3. 若
则直线 x x0
为曲线
的铅直渐近线 .
铅直渐近线
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例 . 证明
证: 任给正数 M , 要使
只要取 1 , 则对满足
M
即 的一切 x , 有
所以
说明: 直线 x 1 为曲线
的铅直渐近线 .
渐近线
04第一章第4节无穷小与无穷大05657
x
x
14
四、无穷小与无穷大的关系
定理4 当 x x0或 x 时 ,
1)若 f(x)是无穷f(小 x)0，则 且 1 是无穷大 f(x)
2)若f(x)是无穷大1，是则无穷小。
f(x)
如 six n 0(x 0),
1 (x0); sinx
x219 (x3), x29 0 (x 3).
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无 穷小的讨论.
15
思考题
若 f(x)0， 且 lim f(x)A， x
问 ： 能 否 保 证 有 A0的 结 论 ？ 试 举 例 说 明 .
16
思考题解答
不能保证.
例 f (x) 1 x
x0, 有 f(x) 1 0 x
limf(x)lim1A0.
x
x x
17五、Βιβλιοθήκη 结无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
(2) 取 xk2k 1
(k1 ,2,3 , )
当k充 分 大 ,xk 时 ,
但 y(xk)2k si2k n 0M. 不是无穷大．
5
例 1 证明 lim1 . x 1x1
证 M0. 要使 1 M,
x1
y 1 x 1
只要x1 1 , 取 1 ,
M
M
当0x11时,就
M
有1 x1
M.l i m 1 . x1 x1
9
例2 证明 2x1为当 x1时的无穷小量。 2
证 0, 要 使 2x1, 2x12x1
2
只需2x1 ,即 x1 即可，
2
22
取
,
2
14无穷小与无穷大
注4 0 是唯一可称为无穷小量的数。
2020/1/21
2
例如：
limcos x 1, lim cos x 0
x0
x
lim 1 0, x x
2
(1)n
lim
0,
n n
x
例1 用定义证明
lim 0 x0 x 1
证明：x 0,取 1, x (1,1),即 x 1
2)lim f (x) x
M 0, X 0, 当 x X时，有 f ( x) M .
故 lim f (x) x
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8
注4 无穷大量是一个变量，绝对值无限增 大的变量；
注5 函数是无穷大量，必须指明其变化
趋势。 比如
lim 1 , lim 1 0
,
22
2020/1/21
17
故 lim( ) 0.
注意：无限个无穷小量的和不一定 是无穷小。
例４：
n
n
n
lim(
nLeabharlann n2n2
2
...
n2
n
)1
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18
定理２ 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。 设g(x)在某定义域内有界，lim f ( x)存在，
20
五 小结与判断题
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 内容: 无穷小量和无穷大量，及其倒数关系 判断题
（1） 无穷小是变量，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）是无穷小.
（3） 无界变量是无穷大.
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21
0, 0, 当 x x0 时，
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2
例如：
limcos x 1, lim cos x 0
x0
x
lim 1 0, x x
2
(1)n
lim
0,
n n
x
例1 用定义证明
lim 0 x0 x 1
证明：x 0,取 1, x (1,1),即 x 1
2)lim f (x) x
M 0, X 0, 当 x X时，有 f ( x) M .
故 lim f (x) x
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8
注4 无穷大量是一个变量，绝对值无限增 大的变量；
注5 函数是无穷大量，必须指明其变化
趋势。 比如
lim 1 , lim 1 0
,
22
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故 lim( ) 0.
注意：无限个无穷小量的和不一定 是无穷小。
例４：
n
n
n
lim(
nLeabharlann n2n2
2
...
n2
n
)1
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定理２ 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。 设g(x)在某定义域内有界，lim f ( x)存在，
20
五 小结与判断题
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 内容: 无穷小量和无穷大量，及其倒数关系 判断题
（1） 无穷小是变量，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）是无穷小.
（3） 无界变量是无穷大.
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0, 0, 当 x x0 时，
无穷小与无穷大的关系
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大.
f ( x ) 总满足不等式 f ( x ) M ,
则称函数 f ( x ) 当 x x 0 ( 或 x ) 时为无穷大, 记作
x x0
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
又设是当x x0时的无穷小 ,
0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时 恒有 . M
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M , M 当x x0时, u 为无穷小.
0, N 1 0, N 2 0, 使得
当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2 取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 , 2 2 0 ( x )
0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 1 恒有 f ( x ) , 即 . f ( x) 1 当x x0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
无穷小于无穷大
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四、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
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特殊情形：正无穷大，负无穷大．
注意
1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
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证
第10页/共15页
第11页/共15页
无穷小与无穷大的关系
定理 在同一极限过程中,无穷大的倒为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
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推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
都是无穷小
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三.无穷小与函数极限的关系:
证
必要性
充分性
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这个定理也可表述为：
意义
将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
证
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意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
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四、小结
1、主要内容:
2、几点注意:
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
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例如,
注意
1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
2.零是可以作为无穷小的唯一的数.
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二.无穷小的运算性质
性质1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
证
第2页/共15页
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
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性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证
四、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
第8页/共15页
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
注意
1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
第9页/共15页
证
第10页/共15页
第11页/共15页
无穷小与无穷大的关系
定理 在同一极限过程中,无穷大的倒为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
第4页/共15页
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
都是无穷小
第5页/共15页
三.无穷小与函数极限的关系:
证
必要性
充分性
第6页/共15页
这个定理也可表述为：
意义
将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
证
第12页/共15页
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
第13页/共15页
四、小结
1、主要内容:
2、几点注意:
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
第14页/共15页
例如,
注意
1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
2.零是可以作为无穷小的唯一的数.
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二.无穷小的运算性质
性质1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
证
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注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
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性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证
1(4)无穷小与无穷大
f ( 2n ) 0.
所以 x 时, f (x)不是无穷大!
无穷小与无穷大
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
无穷小与无穷大
四、小结
无穷小的概念;
无穷小与函数极限的关系;
无穷小的运算;
无穷大的概念; 无穷小与无穷大的关系.
0
则称f (x)是为当 x x0 时的无穷大.
1 如, 当x 0时, 函 数 , x 3 是无穷大; x 当x 时,函数x 2 ,cot x 是无穷大.
无穷小与无穷大
注 (1) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
( 2) 切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
0
其中( x )是当x x0时的无穷小 .
3. 无穷小的运算性质 定理2 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
无穷小与无穷大
注 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1 1 但 如, n 时, 是 无 穷 小 ， n个 之 和 为1 n n
(3) 无穷大与无界函数的区别: 它们是两个不同的概念. 无穷大一定是无界函数, 但是无界函数 未必是某个过程的无穷大.
无穷小与无穷大
例如
y x sinx 是无界函数, 但不是无穷大.
因为取 x xn 2n
2
时,
当
f ( 2 n ) 2 n 2 2 而取 x xn 2n时,
无穷小与无穷大
注 1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆; “无穷小量”并不是表达量的大小,而是表 达它的变化状态的. “无限制变小的量” 2) 零是可以作为无穷小的唯一的数.
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