直线形中的常用公理和定理

直线形中的常用公理和定理1.定理：在连接两点的所有线中，线段最短（线段AB的长度叫做A和B两点之间的距离）。

2.特例：直线上作出一点P，使点P到直线外两点A和B的距离之和最短∵A＇和A关于直线对称∴A＇P＝AP∵A＇P＋BP最短∴AP＋BP最短3.定理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

PA叫做点到直线BC的距离4.定理：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等∵P O⊥AB，A O＝OB∴P A＝PB5.定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

∵P A＝PB∴点P在AB的垂直平分线上6.特例：在直线上作出一点M，使点M到直线外两点A和B的距离相等∵P O⊥AB，A O＝OB∴P A＝PB7.定义：两条平行线中，过一条直线上一点作另一条直线的垂线，两垂足之间线段的长叫做这两条直线的距离a与b的距离是：AB的长8.定义：两条直线所成的角等于90°时，叫做这两条直线互相垂直∵∠AO D＝90°∴AB⊥CD9.公理：两直线平行同位角相等（公理和定义可以用来证明定理）∵a∥b∴∠1＝∠210.定理：两直线平行内错角相等∵a∥b∴∠1＝∠211.定理：两直线平行，同旁内角互补∵a∥b∴∠1＋∠2＝180°12.公理：同位角相等两直线平行（公理和定义可以用来证明定理）∵∠1＝∠2∴a∥b13.定理：内错角相等两直线平行∵∠1＝∠2∴a∥b14.定理：同旁内角互补，两直线平行∵∠1＋∠2＝180°∴a∥b15.定理：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行∵a∥b，a∥c∴b∥c16.定理：如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行∵a⊥c，b⊥c∴a∥b17.定理：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等∵OP平分∠AOB，P A⊥OA，P B⊥OB∴P A＝P B18.定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上∵P A⊥OA，P B⊥OBP A＝P B∴OP平分∠AOB19.定义：两个角的和等于直角时，称两个角互为余角，两个角的和等于平角时，称两个角互为补角。

∵∠1＋∠2＝180°∴∠1与∠2互补∴∠1与∠2互余∵∠1＋∠2＝90°20.定理：同角（或等角）的余角相等∵∠1＋∠A＝90°∵∠1＋∠2＝90°∴∠A＝∠221.内角和定理：三角形的内角和等于180°∠A＋∠B＋∠C＝180°22.外角和定理：三角形的内角和等于360°∠1＋∠2＋∠3＝360°23.三角形的外角定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和∵∠1是△ABC的外角∴∠1＝∠B＋∠C24.三角形的外角推论：三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角 ∵∠1是△ABC 的外角∴∠1＞∠B∠1＞∠C25.三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边 b a +＞c ，a ＋c ＞bb a -＜c ，a －c ＞bb ＋c ＞ab －c ＜a26．三角形的面积：S ＝ah 2127．推论：等底等高的三角形面积相等，等高三角形面积的比等于底的比 ∵BD ＝DC∴S △ABD ＝S △ADC ， S △EFH ∶S △EHG ＝FH ∶HG28．全等三角形的判别：公理：（1）边角边 （2）角边角 （3）边边边（1）∵AB ＝DE ， ∠B ＝∠E ， BC ＝EF∴△ABC ≌△DEF（2）∵∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E∴△ABC ≌△DEF（3）∵AB ＝DE ， BC ＝EF ，A C ＝DF∴△ABC ≌△DEF（4）定理：角角边∵∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ， BC ＝EF∴△ABC ≌△DEF29．公理：全等三角形的对应角相等，对应边相等∵△ABC ≌△DEF∴（1）∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F（2）AB ＝DE ，BC ＝EF ，A C ＝DF30．定理：（1）有两个角对应相等的两个三角形相似（2）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似（3）三边对应成比例的两个三角形相似（1）∵∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E∴△ABC ∽△DEF（2）∵AB ∶DE ＝BC ∶EF∴△ABC ∽△DEF（3）∵AB ∶DE ＝BC ∶E F ＝AC ∶DF∴△ABC ∽△DEF31．定理：相似三角形对应角相等，对应边成比例32．定理：相似三角形对应角平分线的比，对应中线的比，对应高的比，周长的比都等于相似比∵△ABC ∽△DEF∴AH ∶AD ＝EF ∶ BC33．定理：相似三角形面积的比等于相似比的平方∵AB ∥DC∴S △AOB ∶S △COD ＝（BO ∶OD ）234．三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半∵点D 和E 分别是AB 和AC 的中点∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，DE ＝BC 2135．等腰三角形的性质和判定：（1）有两个角相等的三角形是等腰三角形（2）等腰三角形的两个底角相等（1）∵∠B ＝∠C∴AB ＝AC（2）∵AB ＝AC∴∠B ＝∠C36．定理：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（三线合一）（1）∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC∴BD ＝DC ，AD ⊥BC（2）∵AB ＝AC ，BD ＝DC∴AD 平分∠BAC AD ⊥BC（3）∵AB ＝AC ，AD ⊥BC∴BD ＝DC ，AD 平分∠BAC37．等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（1）∵AB ＝BC ＝A C∴∠A ＝∠B ＝∠C（2）∵∠A ＝∠B ＝∠C∴AB ＝BC ＝A C（3）∵AB ＝A C ，∠C ＝60°∴AB ＝BC ＝A C38．定理：有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等∵∠C ＝∠F ＝90°，AC ＝DF ，CB ＝FE∴Rt △ABC ≌Rt △DEF39．勾股定理：直角三角形中，两条直角边平方的和等于斜边的平方∵∠C ＝90°∴222c b a =+40．勾股定理的逆定理：在三角形中，如果一条边的平方等于其它两边平方的和，那么这条边所对的角是90°∵222c b a =+∴∠C ＝90°41．(1)定理：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半(2)逆定理：在三角形中，如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形(1)∵∠C ＝90°，D 是AB 的中点∴CD ＝21AB (2)∵AD ＝DB ，CD ＝21AB ∴∠ACB ＝90°42．（1）定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（2）逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°，(1)∵∠C ＝90°，∠B ＝30°∴AC ＝21AB (2)∵∠C ＝90°，AC ＝21AB ∴∠B ＝30°43．三角函数：在直角三角形中，正弦，余弦，正切的值（已知两个值，可求出第三个值）B ca A cos sin == B cb A sin cos == B b a A tan 1tan ==44．（1）四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°（2）四边形的外角和定理：四边形的内角和等于360°∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝360°45．平行四边形的性质定理：（1）平行四边形的对边平行（2）平行四边形的对边相等（3）平行四边形的对角相等（4）平行四边形的对角线互相平分在平行四边形ABCD 中AB ∥CD ，AD ∥BCAB ＝CD ，AD ＝BC∠ABC ＝∠ADC ，∠BAC ＝∠BCAAO ＝OC ，BO ＝OD46．平行四边形的判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（5）对角线互相平分的四边形平行四边形（1）∵AB ∥CD ，AD ∥BC∴四边形ABCD 是平行四边形（2）∵AB ＝CD ，AD ＝BC ∴四边形ABCD 是平行四边形（3）∵∠ABC ＝∠ADC ，∠BAC ＝∠BCA ∴四边形ABCD 是平行四边形（4）∵AB ＝CD ，AB ∥CD ∴四边形ABCD 是平行四边形（5）∵AO ＝OC ，BO ＝OD ∴四边形ABCD 是平行四边形47．平行四边形的面积：S ＝ah49．等腰梯形的性质定理：（1）等腰梯形在同一底上的两个角相等(2) 等腰梯形的对角线相等（1）在梯形ABCD 中∵AB ＝CD∴∠ABC ＝∠DCB ，∠BAD ＝∠CDA(2) 在梯形ABCD 中∵AB ＝CD∴AC ＝BD48．等腰梯形的判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形在梯形ABCD 中∵∠ABC ＝∠DCB∠BAD ＝∠CDA∴AB ＝CD ，AC ＝BD49．等腰梯形的判定定理：对角线相等的梯形是等腰梯形在梯形ABCD 中∵AC ＝BD∴AB ＝CD梯形中常见的辅助线：（1）作出高（2）作出腰的平行线（平移腰）（3）作出对角线的平行线（平移对角线）50．梯形的面积：S ＝21（AD +BC ）AE51．矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）有三个角是直角的四边形是矩形（3）对角线相等的平行四边形是矩形52．矩形的性质定理：矩形的对边平行且相等，矩形的对角线相等且互相平分，矩形的四个角都是直角 在矩形ABCD 中：AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AC ＝BD ，AO ＝OC ，BO ＝OD ， ∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝∠BAD ＝90°53．菱形的性质定理：菱形的对边平行，菱形的四条边都相等，菱形的对角相等，菱形的对角线垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角。

在菱形ABCD 中（1）AB ∥CD ，AD ∥BC（2）AB ＝DC ＝AD ＝BC（3）∠BAC ＝∠BCD ，∠ADC ＝∠ABC（4）AC ⊥BD ，AO ＝OC ，BO ＝OD ，（5）AC 平分∠BAD 和∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC 。

54．菱形的判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）四条边都相等的四边形是菱形（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（1）在平行四边形ABCD 中，∵AC ＝BD∴四边形ABCD 是菱形（2）在四边形ABCD 中，∵AB ＝DC ＝AD ＝BC∴四边形ABCD 是菱形（3）在平行四边形ABCD 中，∵AC ⊥BD∴四边形ABCD 是菱形55．菱形的面积：（1）S ＝21AD ·BC （2）S ＝AD ·BE 56．正方形的性质：正方形具备菱形和矩形的所有性质。