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xb
0 a
此 极 限 为 f (x)在[a,b]上 的 广 义 积,记 分作
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
a
0 a
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(2)判敛法则
比较判敛法
比阶判敛法
柯西判敛准则 绝对值判敛法
3.两个重要的例
(1)a x 1pd(x a0)p , 1收敛 p1发 ，散 (2)ab(x 1a)pdx ,p1收 敛 p1 ， 发 散 。
5.若f (x)在[a,b]上有界，只有有限个 间断点，f则(x)在[a,b]上可积.
6.若f(x)在[a,b]上 单 调 有 界 f(x， ) 则 在[a,b]上 可.积
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(三)定积分的性质
1） bk(fx)dx k bf(x)dx ,k为常 . 数
a
a
2 ） b (f(x ) g (x )d ) xbf(x )d xb g (x )dx
n
若 xEI,极限 ln i m Sn(x)ln i m k1uk(x)S(x)

存,在 则称级 un数 (x)在 E上收 ,和 敛函S 数 (x)为 .
n1
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使级数 un(x)收敛的x称 点为级数的 n1
收敛,点 收敛点的集合称域 为. 收敛
a
a
a
3）af(x)dx0 a
4）bf(x)dx
a
f(x)dx
a
b
5 ） bf(x)d xcf(x)d xbf(x)dx
a
a
c
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6）若f (x) g(x), x[a, b],则
b
b
a f (x)dx a g(x)dx;
若f (x)、g(x)C[a, b], f (x) g(x)
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四、广义积分
1.无穷区间上的广义积分
(1)定义
设f (x)C[a, ),若 lim B f (x)dx存 在, B a
则 称 此 极 限f (为x)在[a, )上 的 广 义 积, 分
记 作 f (x)dx lim

f (x)dx.
a
x a
un

lim
n
Sn

S.

若{Sn}不 收 敛, 称 级 数 un发 散 。
n1
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(二)级数的基本性质

1.若 un收
n1
敛ln ， i m un则 0.


2.设un,vn收 敛 ， 则
n1
n1



(k1un k2vn) k1
（二）函数项级数的一致收敛性
1.定义：若对任意给定 的0,存在N()0,
使当n N()时，对 xE,恒有
Rn(x) S(x)Sn(x) ,则称

un(x)在区间 E上一致收.敛
n1
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2．一致收敛级数的判定： 定义 外氏准则 柯西准则
3.一致收敛级数的解析性质
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3.极限存在性判定
（1）夹逼定理 （2）单调有界定理 （3）子数列收敛准则：
（4）柯西收敛原理
（ 5） xl im x0 f(x)Axnx0, 都有 ln im f(xn)A。
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4.极限的运算法则
（1）四则运算法则
（2）复合函数的极限法则
下 积 分 等 于,即 上I积 I分 . 3.设f(x)在[a, b]上 有,界 则f(x)在[a, b]
上 可积 的 充分 必 是:要条 件
其中
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n
l i m 0 k1kxk 0
k M k m k su f(p ) f{ ()}
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4.若 f(x)C[a,b]，f则 (x)在 [a,b]上 可.积
bf(x)dx表示 f(x)与x轴及直x线 a, a
xb之间所围面积的. 代数和
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(二)函数的可积性与可积函数类
1.f(x)在 [a,b]上 可 积 f(x， )在 [a则 ,b]
上 有 . 界
2.设f(x)在[a, b]上 有,则 界f(x)在[a, b]
上 可 积 的 充 分是 必: 要 条 件
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微积分 (二)小结
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一.极限论
1.定义
（1）数列的极限
nl im an A:
0,N 0,当n N时, 恒 有an A .
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（2）函数的极限：
limf(x)A:
xx0
0,0，0当 xx0 时，
3.泰勒级数
f(x)在点 xx0处的泰勒:级数
f(x0)f(x0)(xx0)f2 (!x0)(xx0)2
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f(x)A(x),lim(x)0. xx0
1
(2 )lim (x)0 lim .
x x 0
x x0 (x)
(3)(x)~(x) (x)(x)
((x)或 )((x)).
（4）无穷大量与无界函数的关系.
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要求
(1)理解数集的确界概念、确界与最 大最小值的关系。
此 时 称 广 义 积 分 收否敛则，发 散 。
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(2)判敛法则
比较判敛法 比阶判敛法
绝对值判敛法 柯西判敛准则
2.无界函数的广义积分
(1)定 义: 设 f (x)C[a,b] ( 0),
lim f (x) ,若lim b f (x)dx存 在,则 称
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2.连续函数的性质
(1)两个连续函数经有限次四则运算
和复合得到的新函数仍是连续函数。
(2)若函数 f(x)C[a,b]，则有以下重
要定理：
1）有界定理
2）根值定理
3）介值定理
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4）最值定理 5）一致连续性定理
3.初等函数在其定义区间上是连续的
要求
(1)掌握连续函数的性质，并等够运 用它们分析证明简单的问题。 (2)对于简单情形，能够用定义证明 函数的一致连续性。
则
b
f (x)dx
b
g( x)d x.
a
a
7）bf(x)dx
b
f(x)dx
a
a
8） 估 值 定 理
若m f(x)M,则
b
m(ba)a f(x)dxM(ba)
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9）中值定理
若f(x)C[a,b],则存在 [a,b],
使得bf(x)dx f()(ba). a
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三.函数的可积性
(一)基本概念
1.定义
设f ( x)在[a, b]上有定义, 对[a, b]的任意
划
分{
xk
}n k0
:
a

x0

x1

x2

xn

b
及k [xk1, xk ] (k 1,2,, n) , 令
xk

xk

xk1
(k
1,2,, n),
an存
在
，
则
极限唯一。
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（2）有界性:
若 数a列 n有 极,则 限 an必 有. 界
（3）保号性:
设ln im an A
若A0(或A0),则对充分 n, 大
有an0(或an0); 若 对充n 分 ,有 an 大 0(或 a 的 n0),
则 A 0(或 A 0).
要求 掌握广义积分的概念及判敛法则
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五.数项级数
(一)数项级数的概念

n
设 级 数 un , 记Sn uk称 为 级 数 的n项
n1
k 1
部 分 和 。 若 数 列{Sn}存 在 极 限S , 则 称 级 数


n1
un收 敛, 且 和 为S ,即
n1
2）limex 1 1， x0 x
3）limln1(x)
x0
x
1，4）lxi m0 112cxo2sx
1，
5）liman 0, n n!
6） ln im nank 0,a1,
7） limloagn0,a1.
n n
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搞清以下关系
（1） limf(x)A xx0
比值和根值判定准则
3. 掌握任意项级数的绝对收敛和 条件收敛
4. 交错级数的莱布尼茨判定准则
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六.函数项级数
（一）函数项级数的基本概念
设{un(x)}是一个定义在区 I上间 的函数序, 列 则表达式

un(x) u1(x)u2(x)un(x)
n1
称为定义在区 I上间的函数项级 . 数
5.无穷小量、无穷大量
(1)若 ln i m an0，则 {an}称 为 n时的 无穷.小量
（2） 若对 M0， 存N在 0,当nN时,
有an M,则 称 {an}是n时 的 无
大 量 .
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