2018届高三数学每天一练半小时：第25练 高考大题突破练—导数含答案

1.(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2

－mx .

(1)证明：f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；

(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1，求m 的取值范围．

2．(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14

，g (x )＝－ln x . (1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；

(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数．

3．已知函数f (x )＝(x ＋1)e －x (e 为自然对数的底数)．

(1)求函数f (x )的单调区间；

(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x ，存在实数x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值

范围．

4.(2016·山东)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性；

(2)当a ＝1时，证明f (x )>f ′(x )＋32

对于任意的x ∈[1,2]成立．

5．已知函数f (x )＝x ln x 和g (x )＝m (x 2

－1)(m ∈R )．

(1)m ＝1时，求方程f (x )＝g (x )的实根；

(2)若对任意的x ∈(1，＋∞)，函数y ＝g (x )的图象总在函数y ＝f (x )图象的上方，求m 的取值范围；

(3)求证：44×12－1＋4×24×22－1＋…＋4×n 4×n 2－1

>ln(2n ＋1) (n ∈N *)．

答案精析

1．(1)证明 f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x .

若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f ′(x )<0；

当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )>0.

若m <0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1>0，f ′(x )<0；

当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1<0，f ′(x )>0.

所以函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，

在(0，＋∞)上单调递增．

(2)解 由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1，0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是

⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1，

即⎩⎪⎨⎪⎧ e m －m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1.

① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，

则g ′(t )＝e t －1.

当t <0时，g ′(t )<0；当t >0时，g ′(t )>0.

故g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0，故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0.

当m ∈[－1,1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立；

当m >1时，g (m )>0，即e m －m >e －1；

当m <－1时，g (－m )>0，即e －m ＋m >e －1.

综上，m 的取值范围是[－1,1]．

2．解 (1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)，则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0，

即⎩⎪⎨⎪⎧ x 3

0＋ax 0＋14＝0，3x 2

0＋a ＝0，解得x 0＝12，a ＝－34

. 因此，当a ＝－34

时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线． (2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0，从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0，

故h (x )在(1，＋∞)上无零点．

当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋54

≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0， 故1是h (x )的一个零点；若a <－54

，则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0， 故1不是h (x )的零点．

当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x >0.所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数．

(ⅰ)若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)上无零点，故f (x )在(0,1)上单调．而f (0)＝14

，f (1)＝a ＋54

，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)上有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0,1)上没有零点． (ⅱ)若－3