人教版2013届高三一轮复习课时训练53：古典概型

人教版2013届高三一轮复习课时训练53
古典概型
1．从集合A ＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数记
为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的概率为( )
A.29
B.13
C.49
D.59
解析：选A.依题意得，共可得数组(k ，b )有3×3＝9组，其中满足直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的数组分别是(－1,1)、(－1,2)(注：结合题意与图形分析可知，相应直线不经过第三
象限，只能是k <0且b >0时)，因此所求的概率等于29
. 2．(2011·高考福建卷)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．
解析：从5个球中任取2个球有10种取法，2个球颜色不同的取法有3×2＝6(种)，故所求
概率为610＝35
. 答案：35
3．袋内装有6个球，每个球上都标有从1到6的一个号码，设号码为n 的球重n 2－6n ＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里被取出(不受重量、号码的影响)．
(1)如果任意取出1个球，求其重量大于号码数的概率；
(2)如果不放回地任意取出2个球，求它们重量相等的概率．
解：(1)由题意，任意取出1个球，共有6种等可能的情况．
由不等式n 2－6n ＋12>n ，得n >4或n <3.
所以n ＝1,2或n ＝5,6，于是所求概率为46＝23
. (2)从6个球中任意取出2个球，共有15种等可能的情况，列举如下：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)．
设第p 号与第q 号的两个球的重量相等，且p ≠q ，则有p 2－6p ＋12＝q 2－6q ＋12，即(p －q )(p ＋q －6)＝0.
∵p ≠q ，∴p ＋q ＝6，∴(p ，q )＝(1,5)或者(2,4)．
故所求概率为215.
一、选择题
1．(2012·金华十校联考)下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，如果没有2位同学一块走，则第二个走的是男同学的概率是( )
A.12
B.13
C.14
D.15
解析：选A.每个同学均可能第二个走，故共有4种情况，而男同学有2个，故所求概率为P ＝24＝12
，故选A. 2．(2011·高考陕西卷)甲、乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从
1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )
A.136
B.19
C.536
D.16
解析：选D.最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点
有6种，所以P ＝636＝16
，所以选D. 3．从1,2,3,4,5中随机取出三个不同的数，则其和为奇数的概率为( )
A.15
B.25
C.35
D.45
解析：选B.可能的情况有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10种，其中和为奇数的有(1,2,4)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,5)共4种，故所求
概率P ＝410＝25
. 4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是
( )
A.45
B.35
C.25
D.15
解析：选D.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数有5种选法，从{1,2,3}中随机选取一个数有3种选法，有5×3＝15种选法．而满足b >a 的选法有：当b ＝3时，a 有2种；当b ＝2时，a
有1种，共有2＋1＝3种选法．由古典概型知b >a 的概率P ＝315＝15
，故选D. 5．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( ) A.512 B.712
C.13
D.12
解析：选A.∵(m ，n )·(－1,1)＝－m ＋n <0，∴m >n .
基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．
∴P ＝1536＝512
，故选A. 二、填空题
6．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．
解析：从1,2,3,4中任取两个数的不同取法数为6，满足一个数是另一个数的两倍的组合为
(1,2)，(2,4)，故P ＝26＝13
. 答案：13
7．在平面直角坐标系中，从五个点：A (0,0)、B (2,0)、C (1,1)、D (0,2)、E (2,2)中任取三个，则这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示)．
解析：从五个点中任取3个点有10种不同的取法，其中A 、C 、E 和B 、C 、D 共线．故能
构成三角形10－2＝8(个)，所求概率为P ＝810＝45
. 答案：45
8．若集合A ＝{a |a ≤100，a ＝3k ，k ∈N *}，集合B ＝{b |b ≤100，b ＝2k ，k ∈N *}，在A ∪B 中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在A ∩B 中的概率为________．
解析：易知A ＝{3,6,9，…，99}，B ＝{2,4,6，…，100}，则A ∩B ＝{6,12,18，…，96}，其中有元素16个．
A ∪
B 中共有元素33＋50－16＝67(个)，
∴所求概率为1667
. 答案：1667
三、解答题
9．(2010·高考山东卷)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．
解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．
从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个．因此所求事件
的概率为P ＝26＝13
. (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n ≥m ＋2的事件有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．
所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316
. 故满足条件n <m ＋2的事件的概率为
1－P 1＝1－316＝1316
. 10．从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动．
(1)求所选2人中恰有一名男生的概率；
(2)求所选2人中至少有一名女生的概率．
解：记2名女生为a 1，a 2,3名男生为b 1，b 2，b 3，从中选出2人的基本事件有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共10种．
(1)设“所选2人中恰有一名男生”的事件为A ，则A 包含的事件有：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，
b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，共6种，∴P (A )＝610＝35
. 故所选2人中恰有一名男生的概率为35
. (2)设“所选2人中至少有一名女生”的事件为B ，则B 包含的事件有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，
(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，共7种，∴P (B )＝710
， 故所选2人中至少有一名女生的概率为710
. 11．(2012·洛阳质检)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是
2的小球的概率是12
. (1)求n 的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球
标号为b .记事件A 表示“a ＋b ＝2”，求事件A 的概率．
解：(1)由题意可知：n 1＋1＋n ＝12
，解得n ＝2. (2)不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A 包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．
∴P (A )＝412＝13
.。