简单多面体

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简单多面体——棱柱、棱锥和棱台高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册

底面(底)如图，多边形 ABCDEF 称为棱锥的底面．侧面：其余各面称为棱锥的侧面．顶点：各个侧面的__公__共__点__．高：顶点到底面的距离．四面体：三棱锥也叫做四面体．斜高：正棱锥各侧面都是
__全__等____的等腰三角形，这些
等腰三角形底边上的高都相
等．
棱台
用一个_平_行__于__棱__锥__底__面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台．正棱台：由正棱锥截得的棱台.
2．下面图形中，为棱锥的是( )
A．①③ C．①②④
B．①③④ D．①②
解析：根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选 C.
答案：C
3．下列图形中，是棱台的是( )
解析：由棱台的定义知，A、D 的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B 中两个面不平行，不是棱台，只有 C 符合棱台的定义，故选 C.
2．棱柱、棱锥和棱台
几何体
定义
棱柱
有两个面相互_平__行__ 其余各面都是 _平_行__四__边__形，由这些面围成的几何体称为棱柱．正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．平行六面体：底面是平行四边形的棱柱.
图形及表示
相关概念底面(底)：两个互相__平_行_____ 的面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的_公__共__边___；顶点：侧面与底面的公__共__顶__点_；对角线：既不在同一底面上也不在同一个侧面上的两个顶点的连线；
高：过上底面上一点 O1 作下
底面的垂线，这点和垂足 O
间的距离__O__O_1___．
棱锥
有一个面是多__边__形___，其余各面都是有一个公共顶点的 __三__角__形__，由这些面所围成的几何体叫作棱锥．正棱锥：底面是 _正_多__边__形__，且它的顶点过底面___中__心___且与底面垂直的直线上.

高中数学必修课件第一章简单多面体

对多面体的分类和特征理解不清，容易混淆不同的多面体。
改进建议1
加强对多面体定义和分类的学习，多观察、多比较不同多面体的特征，加深对它们的认识。
易混点2
在计算多面体的顶点数时，容易忽略欧拉公式的应用条件。
改进建议2
明确欧拉公式的应用条件，即适用于简单多面体，同时要注意公式中各个量的含义和计算
章节测试题及答案解析
题目2
一个多面体的面数为8，棱数为15，求该多面体的顶点数。
答案2
根据欧拉公式，多面体的顶点数V、面数F和棱数E之间满足关系V+F-E=2 。将已知的F=8，E=15代入公式，得到V=2+E-F=2+15-8=9，因此该多面体的顶点数为9。
易错易混点剖析及改进建议
易错点1
多面体的性质
多面体的面、棱、顶点数之间的关系，以及多面体的欧拉公式等。
简单多面体的识别和作图
能够识别常见的简单多面体，并掌握其作图方法。
章节测试题及答案解析
题目1
请列举出五种不同的简单多面体，并简述它们的特征。
答案1
五种不同的简单多面体包括三棱锥、四棱锥、正方体、长方体和五棱柱。它们的特征分别是三棱锥有一个面是三角形，其余三个面是三角形或四边形；四棱锥有一个面是四边形，其余四个面是三角形；正方体六个面都是正方形；长方体六个面都是矩形；五棱柱有两个平行的五边形底面，侧面是矩形。
蜂巢
蜂巢是由正六边形组成的简单多面体结构，这种结构既节省材料又具有良好的稳定性。
病毒
一些病毒粒子也呈现出多面体形态，如二十面体病毒，这些病毒粒子具有复杂的对称性和几何结构。
科技创新中简单多面体应用案例
纳米材料
科学家利用简单多面体结构设计出具有特定功能的纳米材料，如纳米立方体、纳米球等，这些材料在医药、环保等领域具有广泛应用。

简单多面体的定义

简单多面体的定义
简单多面体（Simplex）是指由n个面组成的多边形，其中n > 3。

简单多面体可以定义为一个空间中的n个点，每个点都与其他点相关联，而且n个点之间不存在任何共同边。

一般来说，简单多面体的n 个点必须在同一个平面上。

简单多面体也可以在一个超平面上定义，其中超平面是一个超过n个维度的空间。

简单多面体的面数可能从3到无穷多，但它们的特点一定是简单多面体中的每个面都与另一个面的距离都不相等。

此外，简单多面体也要求每个面上的角度要与其他面相同，或者尽量相近。

简单多面体有许多种，其中最简单的形式是三角形，而最常用的是正多边形。

由此可见，简单多面体可以是一个多边形或者是一个立方体。

- 1 -。

高中数学课件-简单多面体

错误，侧面都是矩形，但不一定全等，因为底面边长不一定相等。
(3)侧棱长都相等的棱锥是正棱锥.
（3）错误. 因为不知道底面是否为正多边形.
(4)三棱锥的每一个面都可以作为它
的底面 (4)正确.
.
(5)底面是正多边形,各侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥.
(5)错误.反例如图所示. 如图所示的三棱锥中有AB=AD=BD=BC=CD. 满足底面三角形BCD为等边三角形,三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不定，三个侧面不一定全等.
思考
1.棱柱侧棱之间的关系如何?
2.棱柱的两个底面以及平行于底面的截面关系如何？
3.过不相邻的两条侧棱的截面是什么图形?
1.棱柱侧棱之间的关系如何?
2.棱柱的两个底面以及平行于底面的截面关系如何？
3.过不相邻的两条侧棱的截面是什么图形?
棱柱的性质
（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形；
（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台，分别叫作三棱台，四棱台，五棱台….由正棱锥截得的棱台叫作正棱台.
问题18：请仿照棱柱、棱锥的表示对棱台进行表示
棱台的表示方法：棱台用表示上、下底面各顶点的字母来表示，如图四棱台ABCD-A1B1C1D1 .
A1
D1
C1 B1
问题19：判断下列关于棱台的说法是否正确
练习
（2）判断下列命题是否正确： ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱； ②有一个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱； ③有一条侧棱垂直于底面的两条边的棱柱是直棱柱；（3）一个棱柱是正四棱柱的条件是： ①底面是正方形，有两个侧面是矩形； ②底面是正方形，有两个侧面垂直于底面； ③底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直； ④每个侧面都是全等的矩形的四棱柱

立体几何欧拉定理与球

1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数E有关系式：2V F E+-=．4．欧拉示性数：在欧拉公式中令()f p V F E=+-，()f p叫欧拉示性数（1）简单多面体的欧拉示性数()2f p=．（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数()0f p=（3）多面体所有面的内角总和公式：①()360E F-︒或②0(2)360V-5 球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面表示它的球心的字母表示，例如球O．6．球的截面：用一平面α去截一个球O，设OO'是平面α的垂线段，O'为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r截面是一个圆面球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆7．经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0 经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数；纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数8．两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离9．两点的球面距离公式： AB Rθ=（其中R为球半径，θ为A,B所对应的球心角的弧度数）10 半球的底面：已知半径为R的球O，用过球心的平面去截球O，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆O（包含它内部的点），叫做所得半球的底面11．球的体积公式：43V Rπ=12 球的表面积：24S Rπ=1 一个n 面体共有8条棱，5个顶点，求2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边6 ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为． ③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是．④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且AB =,A B 两点的球面距离为． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为．7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为；8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为；9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．10 球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的倍；11．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的倍； 12.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加倍；13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是； 14.正方体全面积是24，它的外接球的体积是，内切球的体积是．15 球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积17．正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．练习参考答案：1 一个n 面体共有8条棱，5个顶点，求解：∵2V F E +-=，∴25F E V =+-=，即5n =．2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求解：∵8V =，83122E ⨯==，∴26F E V =+-=，即6n =． 3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 证明：∵23F E ＝，V ＋F －E ＝2 ∴V ＋F －F 23＝2 ∴F ＝2V －4 4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由解：若E ＝7，∵V ＋F －E ＝2 ， ∴V ＋F ＝7＋2＝9 ，∵多面体的顶点数V ≥4，面数F ≥4∴只有两种情况V ＝4，F ＝5或V ＝5，F ＝4，但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，∴没有棱数是7的多面体 5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边解：设有一个多面体，有F （奇数）个面，并且每个面的边数F n n n 21,也都是奇数，则 E n n n F 221=+++ ，但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的 ∴不存在这样的多面体6 ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为． ③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是．④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且AB =,A B 两点的球面距离为． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为．答案：①一个或无数个 ②249m ③3 ④43π ⑤ 3π7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为；答案：3R π8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为；答案：3cm9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．分析：求A 、B 两点间的球面距离，就是求过球心和点A 、B 的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB 的长，所以要先求出A 、B 两点所在纬度圈的半径．解：连结AB ．设地球球心为O ，北纬45°圈中心为O 1，则 O 1O ⊥O 1A ，O 1O ⊥O 1B ．∴4511=∠=∠=∠AOC BO O AO O ．∴ O 1A ＝O 1B ＝O 1O ＝45cos ⋅OA ＝R 22． ∴ 两点间的纬线的长为：R R 42222=⋅π． ∵ A 、B 两点的经度相差90°， ∴ 901=∠B AO ．在B AO Rt 1△中，R AO AB ==12，∴ OB AB OA ==，3π=∠AOB ．∴ 两点间的球面距离是：R 3π．10 球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的倍；答案： 811．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的倍；答案： 312.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加倍；答案： 713.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是；答案： 614.正方体全面积是24，它的外接球的体积是，内切球的体积是．答案：，43π 15 球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可．解：设正方体棱长为a ，则三个球的半径依次为2a 、a 22，a 23 ∴ 三个球的表面积之比是3:2:1::321=S S S ．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积解：设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，则作轴截面如图，14AA '=，AC =，又∵24324R ππ=，∴9R =，∴AC ==8a =，∴6423214576S =⨯+⨯=表．17．正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．分析：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等．解：如图，设球O 半径为R ，球O 1的半径为r ，E 为CD 中点，球O 与平面ACD 、BCD 切于点F 、G ，球O 1与平面ACD 切于点H ．由题设 a GE AE AG 3622=-=． ∵ △AOF ∽△AEG ∴a Ra a R 233663-=，得a R 126=．∵ △AO 1H ∽△AOF ∴ R r R a rR a =---36236，得a r 246=． ∴ 3331728624634341a a r V O =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππ球．另法：以O 为顶点将正四面体分成相等体积的四个三棱锥，用体积相等法，可以得到1144R OG AG h ===，3h a =，111()428r h h ===。

《简单多面体》PPT课件

B.四面体一定是三棱锥
C.棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一
定是正棱锥
D.底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱
相等的棱锥一定是正棱锥
解析 A是错误的，只要将底面全等的两个棱锥
的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是
三角形，但这个多面体不是棱锥；
B是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形是四面体也必定是个三棱锥； C是错误的，如下图，棱锥的侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥； D也是错误的，底面多边形既有内切圆又有外接圆，如果不同心，那么不是正多边形，因此不是正棱锥. 答案 B
B错误.如以下图，假设△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥. C错误.假设六棱锥的所有棱长都相等，那么底面多边形是正六边形.由几何图形知，假设以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长. D正确.
答案 D
2.以下命题中，成立的是
〔〕
A.各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
《简单多面体》PPT课件
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棱
面
面棱顶点
面
一、观察以下几何体并思考：它们具有哪些性质?
知能迁移1 以下结论正确的选项是〔〕 A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，那么此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析 A错误.如下图，由两个构造一样的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形，但它不一定是棱锥.

简单多面体

(1)
(2)
思考：棱柱、棱锥和棱台都是多面体，它们在结构上有那些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？
棱柱棱台棱锥变换
空间几何体:
对于空间的物体,如果只考虑它的的形状、大小和位置，而不考虑物体的其他性质,从中抽象出来的空间图形叫做空间几何体
柱、锥、台、球的结构特征
D1 A1
C1
B1
A1
C1 A1 B1 B1
E1 D1
C1
D C
A
BA
C A
B B
E
D C
1. 侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。 2.侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。 3. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……
我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……
有一个面是多
边形，其余各面都
是有一个公共顶点
的三角形。
侧棱
A
顶点 S
侧面
D
C
底面
B
棱柱棱锥棱台
圆柱圆锥圆台
球
结构特征
用一个平行于棱
D’
锥底面的平面去截棱
D
锥,底面与截面之间的 A’
部分是棱台.
A
C’
B’
C
B
棱柱棱锥棱台圆柱
圆锥圆台
球
结构特征
A’
以矩形的一边所母在直线为旋转轴,其线
不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线。
与两个底面都垂直的直线夹在两个底面间的线段长叫作棱柱的高。
E1 A1
D1 C1
B1
A
E DC

§1.1.2简单多面体

A
x
B
空间几何体的斜二测画法
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
就可得到长方体的直观图.
D
Z
C
A
y
M
D
P
O
BQ C N
A
x
B
空间几何体的斜二测画法
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
这个多边形面叫做棱锥的底面。有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面。各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
S A
B
D C
2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、……
A：大小：长对正（主视图与俯视图）,高平齐（主视图与左视图）,宽相等（左视图与俯视图）.
B：虚实:在画图时,看得见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线.
空间几何体的斜二测画法
空间几何体的直观图是一种平行投影下的图像，一般我们采用斜二测画法来作空间几何体的直观图。下面就让我们通过一个具体的例子来看下什么是斜二测画法以及它的作图要点和步骤。
3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥S-ABCD。
问题：有一个面是多边形，其余
各面都是三角形的几何体是棱锥吗？
F
如图：
E
D
C
A
B
注意棱锥的两个本质特征
正棱锥
S
如果棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面上的射影是底面的中心，则这个棱锥叫做正棱锥。斜高：SM

高中数学必修二 1简单几何体第2课时简单多面体课件

[自主解答] 对于①，长方体的底面不一定是正方形，故①错，②显然是正确的；对于③，一个图形要成为空间几何体，至少需有四个顶点．当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故③是正确的；对于④，棱台的侧棱所在的直线就是截得原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故④是正确的．
3．如图是一个矩形的游泳池，池底为一斜面，装满水后形成的几何体可由哪些简单几何体组成？
解：该几何体可由一个长方体补上一个三棱柱得到(如图①)；也可以由长方体切割去一个三棱柱得到(如图②)．
有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？
[错解] 因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行四边形，所以所围成的几何体是棱柱．
6．如图所示为长方体ABCD－A′B′C′D′，E、F分别为棱A′B′、C′D′上的点，且B′E＝C′F，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由．
4．用6根长度相等的木棒，最多可以搭成________个三角形．
5．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是________． ①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体； ②该几何体有12条棱、6个顶点； ③该几何体有8个面，并且各面均为三角形； ④该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形．
[正解] 满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示．
[错因] 棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱．显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．定义都是非常严格的，只要不满足所有的条件就会有特殊的例子出现．这提醒我们必须严格按照定义判定．

第1课时简单多面体

(3)(4).
答案:(3)(4)
探究点二
棱锥和棱台的结构特征
[例2] 下列关于棱锥、棱台的说法:
(1)棱台的侧面一定不会是平行四边形;
(2)棱锥的侧面只能是三角形;
(3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;
(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是
.
解析:(1)正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;
所示,侧棱延长线不能相交于一点,故②③错.故选A.
[备用例2] 下列说法中正确的是(
)
(A)棱锥的侧面不一定是三角形
(B)棱锥的各侧棱长一定相等
(C)棱台的各侧棱的延长线交于一点
(D)用一平面去截棱锥,得到两个几何体,一个是棱锥,一个是棱台
解析:根据定义,棱锥的侧面一定是三角形,故A不正确.在斜棱锥中侧棱
(1)所有的面都是平行四边形;
(2)每一个面都不会是三角形;
(3)两底面平行,并且各侧棱也平行;
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确的序号是
.
解析:(1)错误,棱柱的底面不一定是平行四边形;
(2)错误,棱柱的底面可以是三角形;
(3)正确,由棱柱的定义易知,两底面平行,并且各侧棱也平行;
(4)正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.所以说法正确的序号是
形;D折叠后有一个面重合,另外还少一个面,故不能折成正方体.故选A.
(2)(2020·广东韶关高一期末)如图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠
起来,变成正方体后的图形是(
解析:(2)将平面图形
)
折叠起来,变成正方体后的图形中,相
邻的平面中三条线段是平行线,排除A,C;相邻平面只有两个是空白面,排

《简单多面体》课件

绘画构图
在绘画构图中，简单多面体可以作为视觉元素，增强画面的层次感和立体感。
装饰设计
简单多面体的几何美感在室内装饰设计中得到广泛应用，如墙面、地面、家具等的设计。
科学实验中的应用
物理实验模型
简单多面体的几何特性使其成为物理学中某些实验模型的理想选择，如力学、光学、电磁学等实
验。
材料科学
详细描述
每种类型的多面体都有其独特的几何特征和性质。例如，四面体由四个三角形组成，每个三角形都与其他三个三角形相连接；八面体则由八个四边形组成，每个四边形都与其他六个四边形相连接。此外，还有十二面体、二十面体等其他类型的多面体，它们的顶
点、面和边的数量各不相同，具有不同的几何属性和应用场景。
02
建筑结构优化
在建筑结构设计中，简单多面体的结构稳定性好，能够提高建筑的抗震性能和承载能力。
建筑空间利用
简单多面体的空间构成特点有助于实现建筑空间的合理利用，提高建筑的使用效率。
艺术创作中的应用
雕塑造型
简单多面体在雕塑创作中常被用作基本形体，通过组合、变形等手法创造出丰富的艺术形象。
在材料科学实验中，简单多面体可以作为材料结构的模型，有助于研究材料的性能和结构之间的关系。
数学研究
简单多面体在数学领域常被用作几何学、拓扑学等学科的研究对象，有助于深入探讨数学的基本原理和规律。
05
简单多面体的制作方法
材料选择
纸张
剪刀、胶水等工具
选择厚度适中、质地良好的纸张，以保证多面体的结实度和美观度。
详细描述
每个面都是一个正方形，所有的面都具有相同的面积，所有的顶点都
是等角的。
特性

简单多面体的外接球

简单多面体的外接球
目录
• 定义与性质 • 计算方法 • 实例分析 • 特殊情况
01
定义与性质
简单多面体的定义
由多个平面多边形围成的立体图形。
每个面都是凸多边形。
每个顶点都由相交的棱组成，且每个顶点处的多边形的边数相等。
外接球的性质
外接球是球心到多面体的所有顶点的距离相等的球。
外接球的球心是各顶点与各平面的垂足的交点。
详细描述
等边三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点即为外接圆的圆心，而三边的垂直平分线的长度即为圆的半径。
等腰三角形的外接圆
总结词
等腰三角形的外接圆是等腰三角形底边上的中垂线所围成的圆。
VS
详细描述
等腰三角形底边上的中垂线与顶角相对的底边上的中点相交，该交点即为外接圆的圆心，而底边上的中垂线的长度即为圆的半径。
计算顶点与外心的距离
利用勾股定理计算顶点到外心的距离，即外接球的半径。
计算半径
计算所有顶点到外心的距离
将每个顶点与外心的距离进行计算。
确定外接球的半径
取所有顶点到外心距离中的最小值，即为外接球的半径。
外接球的构造
根据外心和半径确定外接球的位置
将外心与多面体的一个顶点相连，并延长至与外接球相切，切点即为外接球的球心。
确定外接球的形状
根据多面体的形状，确定外接球的形状，可以是球、椭球等。
03
实例分析
正方体的外接球
总结词
正方体的外接球半径等于正方体对角线长度的一半。
详细描述
正方体具有六个面，每个面都是正方形。外接球的球心位于正方体的中心，且半径等于正方体对角线长度的一半。
长方体的外接球
总结词

多1.2简单多面体

A1
D1 B1C1
A1 D1
C B1
1
16
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1.棱台的定义观察下图，如何将棱锥变换成下方的几何体?
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台.
2.棱台的元素
参照棱柱的说法，棱台的底面、侧面、侧棱、顶点分别指什么？原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，
奋斗拼博相信自己
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。多面体按照它的面数的多少，可以分为：四面体、五面体、六面体……其中棱卢柱浮、宫棱锥、棱台是简单多面体.
1、我们常见的一些物体，例如三棱镜，方砖以及螺杆的头部，它们有什么共同特点:
1.棱柱的定义
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
埃及卡夫拉王金字塔
墨西哥太阳金字塔
1.棱锥的定义
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
这个多边形面叫做棱锥的底面。有公共顶点的侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
11
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2.棱锥的元素
底面侧面
A B
A B
类比棱柱，给棱锥各元素命名
C
S
顶点
由棱柱的一个底面收缩而成
CA
C
B
底面侧面
侧棱
相邻两侧面的公共边
棱锥另一种定义：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥.
侧棱
相邻两侧面的公共边
3.棱锥的性质观察下列棱锥，归纳它们的底面和侧面各有什么特征？

《7.1.1简单多面体》中职数学基础模块

棱柱的结构特性
棱柱的两个平行的面叫做棱柱的底面；
其余各面叫做棱柱的侧面；
两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；
侧棱
侧棱与底面的公共点叫做棱柱的顶点；
顶点侧面
底面
7.1.1 简单多面体
情境导入探索新知例题辨析巩固练习
棱柱的结构特性
不在同一面上的两个顶点的连线叫做棱
柱的对角线；
高
两个底面所在平面的公垂线段或它的长
再见
情境导入探索新知例题辨析巩固练习
练习 P58 1，2
7.1.1 简单多面体
归纳小结
有两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱．
有一个面是多边形，其余各面都是由一个公共顶点的三角形所围成的多面体叫做棱锥．
7.1.1 简单多面体
连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线，如对角线DB．
7.1.1 简单多面体
情境导入探索新知例题辨析巩固练习
在生产实践中，棱柱和棱锥是最常见，也是最简单的多面体.下面，我们就对它们的结构特性分别进行说明.
我们常见的一些物体，如三棱镜、砖块、六棱铅笔，都是具有棱柱结构特性的物体.
那么这些物体有什么共同特征呢？
7.1.1 简单多面体
情境导入探索新知例题辨析巩固练习
棱柱的定义
通过观察，我们发现，有两个平面互相平
∙O'
行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边
形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何
体叫Байду номын сангаас棱柱．
O∙
7.1.1 简单多面体
情境导入探索新知例题辨析巩固练习

高二数学欧拉公式的发现、球例题解析试题

智才艺州攀枝花市创界学校高二数学欧拉公式的发现、球例题解析一.本周教学内容：欧拉公式的发现、球二.重点、难点1.简单多面概念：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，假设充以气体，那么它会连续〔不破裂〕变形，最后可变成一个球面。

像这样，外表经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。

简单多面体分类〔如以下图〕2.欧拉公式：假设简单多面体的顶点数为V ，面数为F ，棱数为E ，那么V ＋F －E ＝2 设各面的边数为n 1,n 2，…，n F ，那么n 1＋n 2＋…＋n F ＝2E设各顶点出发的棱分别为n 1,n 2，…，n V 那么n 1＋n 2＋…＋n V ＝2E3.球定义：半圆以它的直径为轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体。

〔简称球〕性质：〔1〕球心与截面圆心的连线垂直于截面。

〔2〕设球心到截面的间隔为d ，截面圆的半径为r ，球的半径为R ，那么：r ＝22d R 。

球面间隔：在球面上两点之间的最短间隔就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫两点间球面间隔。

P 点的经度——经过P 点的经线NB 与地轴NO 确定的半平面NBO 与本初子午线NA 与地轴NO 确定的半平面NAO 所成二面角的度数，即角AOB 的度数。

P 点的纬度——经过P 点的球半径PO 与赤道面所成角的度数，即角POB 的度数。

同纬度两点的球面间隔的求法〔如图〕〔1〕作出以球心O 为顶点的三棱锥O －O ′MN.〔2〕计算球心角∠MON 的大小〔弧度数〕〔3〕求出大圆上M 、N 两点间的劣弧长。

2.面积和体积的计算公式球外表积：S 球＝4πR 2球体积：V 球＝34πR 3＝61πd 3 【典型例题】例1.铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，假设铜的单晶有24个顶点，以每个顶点有一端都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目。

解：设三角形和八边形两种晶面的个数分别为x 、y 那么3x ＋9y ＝2E ①又24×3＝2E ②x ＋y ＝F ③V ＝24④由欧拉公式F ＋V ＝E ＋2⑤联立解得x ＝9，y ＝5例2.有一个各面都是三角形的正多面体，设顶点数V 、面数F 、棱数E ，〔1〕求证：F E 23=，22+=F V 〔2〕假设过各顶点的棱数都相等，那么此多面体是几面体？〔1〕证明：因为此正多面体有F 个面，每个面有3条边，所以F 个面总一共有3F 条边，但由于各棱是两个面的交线且被计算过两次，所以实际棱数为F E23=；由欧拉公式V ＋F －E ＝2得V ＝E －F ＋2＝F 23－F ＋2＝2F ＋2。