【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.1.2 余弦定理课后知能检测 新人教B版必修5
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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.1.2 余弦定
理课后知能检测 新人教B 版必修5
一、选择题
1.在△ABC 中,已知a 2
=b 2
+bc +c 2
,则角A 为( ) A.π
3
B.π
6 C.
2π
3
D.
π3或2π3
【解析】 由a 2
=b 2
+bc +c 2
, 得b 2
+c 2
-a 2
=-bc ,
由余弦定理的推论得:cos A =b 2+c 2-a 22bc =-1
2
,
∴∠A =2π
3.
【答案】 C
2.△ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,CA =6,则AB →·BC →
的值为( ) A .19 B .14 C .-18
D .-19
【解析】 由余弦定理的推论知
cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC =19
35
,
∴AB →·BC →=|AB →|·|BC →|·cos(π-B )=7×5×(-19
35)=-19.
【答案】 D
3.(2013·朝阳高二检测)在△ABC 中,若a cos B =b cos A ,则△ABC 的形状一定是( ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形
D .等腰三角形
【解析】 法一 由正弦定理有sin A cos B =sin B cos A , ∴sin A cos B -cos A sin B =0,即sin(A -B )=0. ∴∠A =∠B ,
∴△ABC 为等腰三角形.
法二 由余弦定理有a ·a 2+c 2-b 22ac =b ·b 2+c 2-a 2
2bc
,
∴a 2
+c 2
-b 2
=b 2
+c 2
-a 2
, ∴a 2
-b 2
=0,即a =b . ∴△ABC 为等腰三角形. 【答案】 D
4.在不等边三角形中,a 是最大的边,若a 2
<b 2
+c 2
,则角A 的取值范围是
( )
A .(π
2,π)
B .(π4,π
2)
C .(π3,π
2
)
D .(0,π2
)
【解析】 因为a 是最大的边,所以∠A >π
3,
又∵a 2
<b 2
+c 2
,
由余弦定理cos A =b 2+c 2-a 22bc >0,∴∠A <π
2
.
故π3<∠A <π
2. 【答案】 C
5.(2013·东营高二检测)如果将直角三角形三边增加同样的长度,则新三角形形状为( )
A .锐角三角形
B .直角三角形
C .钝角三角形
D .由增加长度决定
【解析】 设直角△ABC 三边为a ,b ,c 且满足a 2
+b 2
=c 2
,三边增加同样的长度m (m >0),则c +m 为最长边,
则(a +m )2
+(b +m )2
=a 2
+b 2
+2(a +b )m +2m 2
, (c +m )2
=c 2
+2mc +m 2
. ∵a +b >c ,
∴(a +m )2
+(b +m )2
>(c +m )2
, 由余弦定理: cos C =
a +m
2
+b +m 2-c +m
2
a +m
b +m
>0,
∴最大角C 为锐角. 【答案】 A 二、填空题
6.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c .若a =2,∠B =π
6,c =23,
则b =________.
【解析】 ∵a =2,∠B =π
6,c =23,
∴b =a 2
+c 2
-2ac cos B =4+12-2×2×23×
3
2
=2. 【答案】 2
7.在△ABC 中,∠B =60°,b 2
=ac ,则△ABC 的形状为________.
【解析】 由余弦定理得:cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+c 2-ac 2ac =1
2
,
∴(a -c )2
=0,∴a =c .
又∠B =60°,∴△ABC 为等边三角形. 【答案】 等边三角形
8.若三边分别为a ,a +1,a +2的三角形是钝角三角形,则a 的取值范围是________. 【解析】 由题意知a +2是三角形的最大边,则
⎩
⎪⎨⎪⎧
a
a +
a +a +
a 2
+a +2
-a +
2
2a a +
<0
,
∴1<a <3. 【答案】 (1,3) 三、解答题 9.在△ABC 中,
(1)a =3,b =4,c =37,求最大角. (2)b =6,c =2,∠B =60°,求a . 【解】 (1)显然角C 最大,
∴cos C =a 2+b 2-c 2
2ab
=32
+42
-372×3×4
=-12,
∴∠C =120°.
(2)法一 由正弦定理b sin B =c sin C ,得sin C =c sin B b =2sin 60°6=36=2
2
,
∴∠C =45°或∠C =135°. ∵b >c ,∴∠B >∠C ,
又∵∠B =60°,∴∠C =45°.
∵∠A +∠B +∠C =180°,∴∠A =180°-(60°+45°)=75°, ∴a 2
=b 2
+c 2
-2bc cos A =6+4-46×cos 75°=10-46×6-2
4
=4+23, ∴a =4+23=3+1. 法二 ∵b 2
=a 2
+c 2
-2ac cos B , ∴6=a 2
+4-4a cos 60°=a 2
+4-2a . ∴a 2
-2a -2=0.
解得a =1+3或a =1-3(不合题意,舍去), ∴a =1+ 3.
10.在△ABC 中,BC =a ,AC =b ,a 、b 是方程x 2
-23x +2=0的两个根,且2cos(A +B )=1.求:
(1)角C 的度数; (2)AB 的长度.
【解】 (1)cos C =cos[π-(A +B )]=-cos(A +B ) =-1
2,又∠C ∈(0°,180°),∴∠C =120°.
(2)由题知:⎩⎨
⎧
a +
b =23,ab =2,
∴AB 2
=AC 2
+BC 2
-2AC ·BC cos C
=b 2
+a 2
-2ab cos 120°=a 2
+b 2
+ab =(a +b )2
-ab =(23)2
-2=10, ∴AB =10.
11.a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边,且(sin B +sin C +sin A )(sin B +sin
C -sin A )=185
sin B sin C ,边b 和c 是关于x 的方程x 2-9x +25cos A =0的两根(b >c ).
(1)求角A 的正弦值; (2)求边a ,b ,c ; (3)判断△ABC 的形状.
【解】 (1)∵(sin B +sin C +sin A )(sin B +sin C -sin A )=18
5sin B ·sin C ,
结合正弦定理得
(b +c +a )(b +c -a )=185bc ,整理得b 2+c 2-a 2
=85
bc .
由余弦定理得:cos A =b 2+c 2-a 22bc =4
5
,
∴sin A =3
5
.
(2)由(1)知方程x 2
-9x +25cos A =0, 可化为x 2
-9x +20=0, 解之得x =5或x =4. ∵b >c ,∴b =5,c =4.
由余弦定理知:a 2
=b 2
+c 2
-2bc cos A ,∴a =3. (3)由(1)(2)知,a 2
+c 2
=b 2
, ∴△ABC 为直角三角形.。