2016年秋季新版湘教版九年级数学上学期2.4、一元二次方程根与系数的关系课件6
【湘教版】九年级数学上册：2.4《一元二次方程根与系数的关系》教案(含答案)
2.4一元二次方程根与系数的关系教学目标【知识与技能】掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题.【过程与方法】经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想.【情感态度】通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神.【教学重点】根与系数关系及运用.【教学难点】定理的发现及运用.教学过程一、情景导入，初步认知我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的值是由a、b、c来决定的.除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？【教学说明】由问题引入新课，提高学生学习兴趣.二、思考探究，获取新知1.探究规律先填空，再找规律：2.若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，你能猜想x1+x2=______，x1·x2=______.3.你能证明你的猜想吗？当Δ≥0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个根，分别为：12b x a +=－,22b x a=－【归纳结论】当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有以下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.即：这种关系称为韦达定理.【教学说明】通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法.三、运用新知，深化理解 1.教材P47例1、例2.2.利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2＋3x-1＝0的两个根的. （1）平方和（2）倒数和分析：根据一元二次方程的两根与系数之间的关系可求.3.已知方程5x 2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值.分析:根据一元二次方程的两根与系数之间的关系可求. 解：设方程的另一个根是x 1，那么2x 1=－6/5 ∴x 1=－3/5 又x 1+2=－k/5 ∴k=－74.已知一元二次方程x 2-6x-5=0的两根为a 、b ，则1/a+1/b 的值是多少？ 解：∵a ，b 是一元二次方程的两根，∴a+b=6，ab=-5，5.已知方程x2-4x-1=0有两个实数根x1，x2，要求不解方程，求值：(1)(x1+1)(x2+1)(2)x2x1+x1x2解：x1+x2=-b/a=4；x1x2=c/a=-1，（1）（x1+1）（x2+1），=x1x2+x1+x2+1，=-1+4+1=4；6.已知x，y均为实数，且满足关系式x2-2x-6=0，y2-2y-6=0，求x/y+y/x的值.解：当x≠y时，∵x、y满足关系式x2-2x-6=0，y2-2y-6=0，∴x、y是z2-2z-6=0的两根，∴x+y=2，xy=-6，当x，y的值相等时，原式=2．故答案为：-8/3或2．【教学说明】目的是考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题2.4”中第1、2、3题.教学反思此节课在研究方程的根与系数关系时，先从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数不是1的，由此，猜想一般的一元二次方程的根与系数关系，最后对此猜想的正确性作出证明.这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值.昨天我所在学校期中考试成绩，有个别同学考的不太理想，跟我发微信，自己在期中考试前已经非常努力的做题了，但最后的成绩却很差。
湘教版数学九年级上册2.4《一元二次方程根与系数的关系》说课稿2
湘教版数学九年级上册2.4《一元二次方程根与系数的关系》说课稿2一. 教材分析湘教版数学九年级上册2.4《一元二次方程根与系数的关系》是本节课的主要内容。
这部分内容是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的定义和判别式的意义等知识的基础上进行讲解的。
教材通过实例引导学生探究一元二次方程的根与系数之间的关系，让学生通过合作交流、探索发现，培养学生的抽象思维能力、归纳总结能力和解决问题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的解法和判别式的概念有一定的了解。
但是，对于一元二次方程根与系数之间的关系，他们可能还没有直观的认识。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的学习需求，引导他们通过实例探究，发现并理解一元二次方程根与系数之间的关系。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握一元二次方程根与系数之间的关系，能够运用这一关系解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过合作交流、探索发现，培养学生的抽象思维能力、归纳总结能力和解决问题能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极思考的良好学习习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程根与系数之间的关系。
2.教学难点：理解并运用一元二次方程根与系数之间的关系解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作交流法、探索发现法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习一元二次方程的解法和判别式的概念，引导学生进入新课。
2.探究活动：让学生通过合作交流、探索发现，总结出一元二次方程根与系数之间的关系。
3.讲解演示：教师对一元二次方程根与系数之间的关系进行讲解，并通过实例进行演示。
4.练习巩固：让学生通过练习题，巩固所学知识。
5.拓展应用：引导学生运用一元二次方程根与系数之间的关系解决实际问题。
6.课堂小结：教师和学生一起总结本节课的主要内容。
九年级数学上册2.4一元二次方程根与系数的关系(湘教版)
九年级数学上册2.4一元二次方程根与系数的关系（湘教版）*2.4 一元二次方程根与系数的关系．理解并掌握根与系数关系：x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.．会用根的判别式及根与系数的关系解题．阅读教材P46～47，完成下列问题：知识探究当Δ≥0时，设ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝________，x1x2＝________.这个关系通常被称为韦达定理．自学反馈根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积：x2－3x－1＝0；x2＋3x－5＝0；3x2－2x＝0.活动1 小组讨论例1 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：x2－6x－15＝0；3x2＋7x－9＝0；x－1＝4x2.解：x1＋x2＝6，x1x2＝－15.x1＋x2＝－73，x1x2＝－3.x1＋x2＝54，x1x2＝14.先将方程化为一般形式，找对a，b，c的值．例2 已知方程2x2＋x－9＝0的一个根是－3，求另一根及的值．解：设另一根为x，由根与系数的关系得－3•x＝－92，解得x＝32.又∵－3＋32＝－2，解得＝3.∴另一根是32，的值是3.本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．活动2 跟踪训练．两根均为负数的一元二次方程是A．7x2－12x＋5＝0B．6x2－13x－5＝0c．4x2＋21x＋5＝0D．x2＋15x－8＝0两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．．已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，则•＝________.．利用根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：x2－3x＝15；x2－1＝4x2；x2－3x＋2＝10;4x2－144＝0；．已知x1，x2是方程x2－4x＋2＝0的两根，求代数式1x1＋1x2的值．活动3 课堂小结学生试述：今天学到了什么？【预习导学】知识探究－ba ca自学反馈x1＋x2＝3，x1x2＝－1.x1＋x2＝－32，x1x2＝－52.x1＋x2＝6，x1x2＝0.【合作探究】活动2 跟踪训练．c 2.－4 3.x1＋x2＝3，x1x2＝－15.x1＋x2＝0，x1x2＝－1.x1＋x2＝3，x1x2＝－8.x1＋x2＝0，x1x2＝－36.4.由根与系数的关系得，x1＋x2＝4，x1x2＝2.∴1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝42＝2.。
湘教版数学九年级上册2.4《一元二次方程根与系数的关系》说课稿1
湘教版数学九年级上册2.4《一元二次方程根与系数的关系》说课稿1一. 教材分析《一元二次方程根与系数的关系》是湘教版数学九年级上册2.4的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二次方程的解法的基础上进行学习的，旨在让学生通过探究一元二次方程的根与系数之间的关系，进一步理解和掌握二次方程的性质。
教材通过引入“根与系数的关系”的概念，引导学生运用归纳法总结出规律，并通过例题和练习题使学生熟练掌握这一规律。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和探究能力，对于二次方程的概念和解法已经有了一定的了解。
但是，对于根与系数之间的关系，他们可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
此外，学生可能对于归纳法的使用还不够熟练，需要教师在教学中进行引导和培养。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握一元二次方程根与系数之间的关系，能够运用这一规律解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过探究和归纳，培养学生运用数学规律解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣和探究精神，使学生感受到数学的内在联系和美感。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程根与系数之间的关系。
2.教学难点：对于根与系数之间关系的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和归纳法进行教学。
2.教学手段：利用多媒体课件和板书进行教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个具体的例子，引导学生思考一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.探究：让学生分组讨论，运用归纳法总结出根与系数之间的关系。
3.讲解：教师对根与系数之间的关系进行讲解，并通过例题进行演示。
4.练习：学生进行练习，教师进行解答和指导。
5.总结：教师对课堂内容进行总结，强调重点和难点。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出根与系数之间的关系。
可以设计一个，列出不同形式的二次方程的根与系数的关系，便于学生理解和记忆。
湘教版数学九年级上册2.4《一元二次方程根与系数的关系》教学设计
湘教版数学九年级上册2.4《一元二次方程根与系数的关系》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册2.4《一元二次方程根与系数的关系》是本册教材中非常重要的一部分。
本节内容主要让学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，了解根的判别式、根与系数的关系，以及如何应用这些知识解决实际问题。
通过本节内容的学习，学生可以进一步理解一元二次方程的求解过程，提高解题能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了二次方程的求解方法，对一元二次方程有一定的理解。
但学生在理解根与系数的关系方面可能存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过实际例子去发现、总结根与系数之间的关系，帮助学生建立直观的认识。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.学会运用根与系数的关系解决实际问题。
3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：如何引导学生发现并理解根与系数之间的关系。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设计富有思考性的问题，引导学生主动探究，发现并理解根与系数之间的关系。
同时，通过案例分析和小组合作，让学生在实际操作中运用所学知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.相关案例和练习题。
3.教学黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二次方程的求解方法，激发学生的学习兴趣。
然后，教师提出本节课要研究的问题：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示几个典型案例，让学生观察并分析案例中根与系数之间的关系。
教师引导学生总结出一元二次方程的根与系数之间的关系，并板书。
3.操练（15分钟）教师给出一些练习题，让学生分组讨论并解答。
教师巡回指导，帮助学生解决解答过程中遇到的问题。
4.巩固（10分钟）教师挑选几名学生回答练习题的解答过程，并对解答过程进行点评。
湘教版九年级上册教学设计：2.4 一元二次方程根与系数的关系
湘教版九年级上册教学设计：2.4一元二次方程根与系数的关系一. 教材分析《一元二次方程根与系数的关系》是湘教版九年级上册数学课程的一部分。
本节内容是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的定义等知识的基础上进行学习的。
通过本节内容的学习，使学生能够理解并掌握一元二次方程根与系数之间的关系，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的概念和求解方法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程根与系数之间的关系，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索并理解根与系数之间的关系。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.能够运用根与系数的关系判断一元二次方程的解的情况。
3.提高解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：如何引导学生理解并掌握根与系数之间的关系。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生自主探索。
2.引导发现法：引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主发现并理解根与系数之间的关系。
3.合作交流法：鼓励学生与他人交流、合作，共同解决问题，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，帮助学生直观地理解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.实际问题：准备一些与生活实际相关的问题，引导学生运用所学知识解决实际问题。
3.学习小组：将学生分成若干小组，便于合作交流。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，引导学生运用所学知识解决实际问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示一元二次方程的根与系数之间的关系，引导学生观察、分析，发现其中的规律。
3.操练（15分钟）让学生分组进行合作交流，共同解决一些与生活实际相关的问题，运用所学知识。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，巩固学生对一元二次方程根与系数之间的关系的理解。
湘教版数学九年级上册《2.4 一元二次方程根与系数的关系》教学设计
湘教版数学九年级上册《2.4 一元二次方程根与系数的关系》教学设计一. 教材分析《2.4 一元二次方程根与系数的关系》是湘教版数学九年级上册的一个重要内容。
这部分内容主要让学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系，掌握根的判别式、根与系数的关系公式，并能运用这些知识解决实际问题。
本节课的内容对于学生来说比较抽象，需要通过实例和练习来引导学生理解和掌握。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了一元二次方程的解法，对一元二次方程有一定的了解。
但他们对根与系数之间的关系可能还不太清楚，需要通过实例和练习来加深理解。
此外，学生可能对抽象的数学概念和公式有一定的恐惧心理，需要教师通过生动有趣的实例和耐心细致的讲解来激发他们的学习兴趣。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的根与系数之间的关系，掌握根的判别式、根与系数的关系公式。
2.能运用根与系数的关系解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系，根的判别式、根与系数的关系公式。
2.教学难点：对根与系数之间关系的理解和运用。
五. 教学方法1.实例教学：通过生动有趣的实例，让学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.小组合作：让学生在小组合作中探讨和发现根与系数之间的关系，培养学生的合作意识和团队精神。
3.练习巩固：通过大量的练习，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
4.引导探究：教师引导学生探究一元二次方程的根与系数之间的关系，培养学生的探究能力和创新精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，帮助学生直观地理解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.练习题：准备一定数量的练习题，让学生在课堂上进行练习和巩固。
3.小组讨论材料：准备相关的小组讨论材料，让学生在小组合作中探讨和发现根与系数之间的关系。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生动有趣的实例，引导学生思考一元二次方程的根与系数之间的关系。
湘教初中数学九年级上册《2.4一元二次方程根与系数的关系》课堂教学课件 (2)
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学生小组合作，交流完成. 学生观察实验交流归纳.
3.典型例题教材第16页例4. 引导： （1）不解方程； （2）利用根与系数的关系. 找3名同学板演.学生独立解决，同伴之间交流. 3位同学板演.
本节课应掌握： 1.通过本节课的学习，你有哪些收获？ 2.你还有什么疑惑？说给大家听听.
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数2的比的相反数，两根的积等于常数项1与二次项系数2的比.
（2）对于一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）又有怎样的关系呢？ 结论：方程的两个根x1，x2和系数a,b,c有如下关系：
x1+x2=- ab，x1x2= ac.
教师出示探究问题，让学生通过特殊的例子入手，再通过一 般形式推导实验.
教师引导学生根据求根公式，进行探究，把结论说给同学听 听.
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第二章 一元二次方程
2.4 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系. 对根与系数的关关系，常常也称作韦达定理， 这是因为这个定2理是16世纪法国杰出的数学家韦达发现的.聪 明的同学们，你能发现这个定理吗？
2.探究
一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，二次项系数a
未必是1，它的两根的和、积与系数分别有怎样的关系？
（1）你可以通过具体方程试一试.
1 由2x2-3x+1＝0，得x1＝1，x2= 2，于是x1+x2=
，3x1x2=2. 1
湘教版-数学-九年级上册-《一元二次方程根与系数的关系》名校教案
*2.4 一元二次方程根与系数的关系教学目标：1、掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
2、经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
教学重难点重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用。
难点：定理的发现及运用。
教学过程一、自主学习 感受新知【问题】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x 1+x 2，x 1·x 2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？【探究】一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1、x 2 ，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1=a ac b b 242-+-，x 2=aac b b 242---， 能得出以下结果： x 1＋x 2=a b -，即：两根之和等于ab - x 1•x 2=ac ，即：两根之积等于ac 特殊的：若一元二次方程2x +px +q =0的两根为1x 、2x ，则：x 1＋x 2== x 1•x 2=如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为x 2＋ab x ＋ac ＝0(a ≠0)， 则以x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x 2-（x 1+x 2）x ＋x 1x 2＝0(a ≠0)三、自主应用 巩固新知【练习】教材P48练习题1、2题四、自主总结 拓展新知不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值。
1、先化成一般形式，再确定a,b,c .2、当且仅当b 2-4ac ≥0时，才能应用根与系关系.3、要注意比的符号：两个根的和－－比前面有负号，两个根的积－－比前面没有负号。
湘教版九年级数学 2.4 一元二次方程根与系数的关系(学习、上课课件)
感悟新知
知2－练
例3 [中考·来宾]已知实数x1，x2 满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，
则以x1，x2 为根的一元二次方程是( )
A. x2－7x＋12＝0
B. x2＋7x＋12＝0
C. x2＋7x－12＝0
D. x2－7x－12＝0来自悟新知知2－练解题秘方：直接用以x1，x2 为根的一元二次方程是x2－ (x1＋x2)x＋x1x2＝0 求解.
第二章 一元二次方程
*2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1 课时讲解 一元二次方程根与系数的关系
二次项系数为 1 的一元二次方程 的性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 一元二次方程根与系数的关系
知1－讲
1. 一元二次方程根与系数的关系： 一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0时，设方程的两个实数根
感悟新知
知1－练
例2 [期末·长沙开福区]已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m ＝ 0(m ＜ 0)． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程的一个根为 －1，求 m 的值和方程的另一个根．
感悟新知
知1－练
解题秘方：根据两根的和与积分别与系数的等量 关系，列关于未知根的方程求解 .
课堂小结
一元二次方程根与系 数的关系
判定两根的符号
使用条件 两根之和 两根之积
一元二次
意义 方程根与 应用 系数的
关系
已知一根求另一根 及字母的值
求涉根代数式的值
构建以两已知数为 根的一元二次方程
知1－练
九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.4 一元二次方程根与系数的关系教案 (新版)湘教版
2．已知方程x2＋ax＋b＝0的两个根分别为2和3，则a＝________，b＝________．
3．已知方程x2－2x－c＝0的一个根是3，求方程的另一根及c的值．
4．已知方程2x2－4x－5＝0的两个根分别为x1和x2，求下列式子的值．
(1)(x1＋2)(x2＋2)；(2)x x2＋x1x .
反思，更进一步提升.
x1＝ ，x2＝ ，
所以x1＋x2＝ ＋ ＝－ ＝－ ；
x1x2＝ × ＝ ＝ .
当Δ＝0时，x1＝x2＝－ ，
所以x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .
归纳：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1和x2，则x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .
1.进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性认识到理性认识打好基础.
2.4一元二次方程根与系数的关系
课题
*2.4一元二次方程根与系数的关系
授课人
教
学
目
标
知识技能
掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．
数学思考
通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
问题解决
根据根与系数的关系确定两根之和与两根之积，并能根据这一关系解决简单的数学问题．
活动
二：
实践
探究
交流新知
1.填写上表后思考：
(1)两根之和、两根之积与系数有何关系？
(2)你能运用发现的规律解答下列问题吗？
已知方程2x2－3x－2＝0的两根是x1和x2，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________.
(3)如何证明以上发现的规律呢？
2.教师与学生共同整理证明过程.
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2
b c 则x1 x2 , x1 x2 a a
推 论
以两个数x1 , x2为根的一元二次 方程（二次项系数为1）是 x （x1 x2）x x1 x2 0
2
2
拓展：方程2X2-mX+m-3=0有一个正根，一
1
例1. 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程 两根 x1 , x2 的和与积。
1 x 6 x 15 0 2 3 5 x 1 4 x
2
2 3x
2
7x 9 0
(4)2x2+5x+4=0
练习：
下列方程两根之和为2 的是 ( c ) A. x 2 x 2 0
2
B. x 2 x 1 0
2
C.x 2 x 4 0
2
D.x 2 x 4 0
2
例2、利用根与系数的关系，求作一个 一元二次方程，使它的两根为2和3.
X2-(2+3)X+2×3=0 即：X2-5X+6=0
推 论
以两个数x1 , x2为根的一元二次 方程（二次项系数为1）是 x （x1 x2）x x1 x2 0
2
2
练习：
2 : 设方程x 2 3x 2 0的两个根分别为 x1, x2 以2 x1 ,2 x2为根的一元二次方程是 ________ X2-6x-8=0
例3、设
X1、X2是方程X －4X+1=0的两个根，则
4 1 ， X1+X2 = ___ ,X1X2 = ___ 14 X12+X22 =( X1+X2)2 - 2X __4ac) 2 4a 2
=
4ac 4a 2
c = a
一元二次方程根与系数的关系 (韦达定理）
若方程ax bx c 0(a 0)的两根为x1 , x2 ,
2
b c 则x1 x2 , x1 x2 a a
推 论
特别地：
2
若方程x px q 0的两根为x1 , x2， 则：x1 x2 p, x1 x2 q
1 1 4 2 2 x1 x2
2、已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0
的两根的平方和比两根之积的3倍少 10，求k的值.
例3、 已知方程x2-(k+1)x+3=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。 用两种解法
练习：
已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1， 求它的另一个根及m的值。
2 1 、如果 -1 是方程 2 X －X+m=0的一个根，则另 基 （还有其他解法吗？） 3 础 一个根是___ -3 。 练 2 ，m =____
习
3、判断正误：
以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （ × ） 4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 2和-1 。 _____
4.K取何值时,关于x的方程
b b 2 4ac x1 2a
X1+x2=
b b 2 4ac x2 2a
b 2b = = 2a a
X 1 x 2=
b b 2 4ac 2a
+
b b 2 4ac 2a
b b 2 4ac 2a
●
b b 2 4ac 2a
2 (X1-X2)2 =( X___ 12 1+X2 ) -4X1X2 = ___
2
练习： 设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求下列式子的值。
1
1 1 x1 x2
2 2 2 x x 1 2
3 x1 1 x2 1
x2 x1 5 x1 x2
个负根，求m的取值范围。
一正根，一负根
两个正根
△≥0
两个负根
△≥0
△＞0
X1X2＜0
X1X2＞0 X1+X2＞0
X1X2＞0 X1+X2＜0
2 2
3x 2(3k 1) x 3k 1 0
(1)有一根为0 (2)有两个互为相反数的实数根 5.已知x1、x2是一元二次方程
2 x 2 x 1 3m 0
2
x1 x2 2( x1 x2 ) 0
求实数m的取值范围。
的两个实数根，且x1、x2满足不等式
课堂小结
方程ax bx c 0(a 0)的求根公式是
2
b b 4ac (b 2 4ac 0) x 2a
2
设方程ax bx c 0(a 0)的两根
2
为x1 , x2 , 试求出x1 x2 , x1 x2的值. 你能看出x1 x2 , x1 x2的值与方程 的系数有何关系？