1.含字母系数一元二次方程复习题
一元二次方程专项训练
一元二次方程专题讲练一、知识点归纳及题型：概念——解法——实际应用——根的判别式、根系关系——二次函数 （一）概念：)0(02≠=++a c bx ax 叫一元二次方程。
相关题型：1、判断一个方程是否是一元二次方程；2、求一个一元二次方程中相关字母的值。
例：○1、下列方程中，不是一元二次方程的是_________．[ ] A ．2x 2+7=0 B ．2x 2+23x +1=0 C ．5x 2+x1+4=0 D ．3x 2+(1+x ) 2+1=0 小结：判断一个方程是否是一元二次方程的条件是：○1是整式方程；○2未知数的指数为2；○3二次项系数不等于0，即a ≠0。
○2、若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是_________． 判断a 的取值范围需要把方程整理为一般形式后才进行解答。
（二）解法：1、 直接开平方法：方程有根的前提：A ≥02、 配方法：（适用所有方程，但方程易化成022=++C kx x 的形式）3、 公式法：02=++c bx ax 有根的前提⊿≥0，aac b b x 2422,1-±-=一元二次方程根02=++c bx ax 的判别式：⊿另外：⊿≥0时，方程有实数根；4、因式分解法：提公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）、十字相乘法、5、换元法解方程解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，它可以化高次为低次、化分式为整式。
换元法体现了数学中的转化思想。
6、解含绝对值的方程。
相关题型：1、解方程；2、利用配方法求代数式的最值或证明恒为正（负）；3、利用根的判别式判断根的几种情况或相关字母的取值范围；4、用换元法解方程。
5、解含绝对值的方程 例：1、请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程ac b 42-=1、3x ² -1=02、x （2x +3）=5（2x +3）3、x ² - 3 x +2=04、2 x ² -5x+1=0小结：○1、形如（x-k ）²=h 的方程可以用直接开平方法求解○2、千万记住：方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个跟丢失了，要利用因式分解法求解。
人教版数学九年级上册：《一元二次方程》 复习题(附答案)
《一元二次方程》单元复习题1．下列是一元二次方程的是( )A ．x 2＋3＝0B ．xy ＋3x －4＝0C ．2x －3＋y ＝0 D. 1x＋2x －6＝0 2．若关于x 的方程(a －2)x 2－2ax ＋a ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值是( )A ．2B ．－2C ．0D ．不等于2的任意实数3．若关于x 的方程(a －1)x1＋a 2＝1是一元二次方程，则a 的值是________．4．若m 是方程2x 2－3x －1＝0的一个根，则6m 2－9m ＋2017的值为________．5.用直接开平方法解下列方程：(1)(x ＋1)2－49＝0； （2）4(x －2)2－36＝0.(3)x 2＋6x ＋9＝25； (4)4(3x －1)2－9(3x ＋1)2＝0.6.用配方法解下列方程：(1)x 2－32x －3＝0； (2)2x 2－4x －5＝0.(3)2x 2＋7x －4＝0； (4)x(x ＋4)＝6x ＋12.7.用公式法解下列方程：(1)2x 2－3x ＋1＝0； (3)12x 2－3x ＋1＝0.8.用因式分解法解下列方程：(1)x 2－32x ＝0； (2)x 2－12x ＋36＝0.(3)(2x ＋1)2－(x ＋2)2＝0； (4)x 2－1＝3x ＋3；(5)x 2－4x －5＝0； (6)x 2－3x ＝(2－x)(x －3)．(7)4(x －3)2－25(x －2)2＝0； (8)5(x －3)2＝x 2－9；9．已知实数a ，b 满足(a 2＋b 2)2－2(a 2＋b 2)＝8，则a 2＋b 2的值为( )A ．－2B ．4C ．4或－2D ．－4或210．若(a ＋b )(a ＋b －2)－8＝0，则a ＋b 的值为( )A ．－4或2B ．3或－32C ．－2或4D ．3或－211.不解方程，求下列方程两个根x 1，x 2的和与积：(1)x 2＋3x ＋1＝0; (2)3x 2－2x －1＝0； (3)－2x 2＋3＝0; (4)2x 2＋5x ＝0.12.已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1) x 1＋x 2; (2) x 1x 2； (3) x 12＋x 22; (4)1x 1＋1x 2.13.已知关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2.(1)求m 的取值范围；(2)若2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋10＝0，求m 的值．14．已知关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋4(k －12)＝0. 求证：无论k 取何值，这个方程总有实数根．15．已知关于x 的一元二次方程12mx 2＋mx ＋m －1＝0有两个相等的实数根．求m 的值；16．已知关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋k ＝0有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m －3＝0与方程x 2－3x ＋k ＝0有一个相同的根，求此时m 的值．17．已知关于x 的方程x 2＋mx ＋m －2＝0.求证：不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．18．已知关于x 的方程x 2－(2m ＋1)x ＋m(m ＋1)＝0.求证：方程总有两个不相等的实数根；19．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0.(1)证明：除0外，不论m 为何值，方程总有实数根；(2)当m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和．（1）求实数的取值范围；（2）当时，求的值．21. 已知关于的方程． （1）为何值时，此方程是一元一次方程？（2）为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程》 单元测试(含答案)
试卷第1页，总3页 第二十一章《一元二次方程》 测试题一、单选题（共12小题，每小题3分，共36分）1．下列方程为一元二次方程的是 ( )A ．ax 2+bx+c=0B ．x 2－2x －3C ．2x 2＝0D ．xy ＋1＝02．把方程x （3-2x ）+5=1化成一般式后二次项系数与常数项的积是（ ）A ．3B ．-8C ．-10D ．153．若关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个解是x ＝0，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．04．若a-b+c=0，则方程ax 2+bx+c=0(a 0≠)必有一个根是（ ）A ．0 B ．1C ．-1 D ．b a -5．用配方法解一元二次方程2x 2﹣4x+1=0，变形正确的是（ ）A ．（x ﹣12）2=0 B ．（x ﹣12）2=12 C ．（x ﹣1）2=12 D ．（x ﹣1）2=06．已知直角三角形的两边长是方程x 2﹣7x+12=0的两根，则第三边长为（ ） A ．7 B ．5C 7D ．577．若关于 x 的一元二次方程x 2﹣x ﹣3m ＝0有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（）A ．m 12>B ．m 112<C ．m ＞﹣112D ．m 112< 8．若方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1、x 2，则11x ＋21x 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．13 D ．－139．已知关于x 的一元二次方程(2a －1)x 2＋(a ＋1)x ＋1＝0的两个根相等，则a 的值等于( )A ．－1或－5B ．－1或5C ．1或－5D ．1或510．如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为（ ）A ．1米B ．2米C ．3米D ．4米11．是下列哪个一元二次方程的根（ ） A ．3x 2+5x+1=0、 B ．3x 2﹣5x+1=0、 C ．3x 2﹣5x ﹣1=0、 D ．3x 2+5x ﹣1=012．已知m ，n 是方程x 2﹣2018x +2019＝0的两个根，则（m 2﹣2019m +2018）（n 2﹣2019n +2018）的值是（ ）A ．1B ．2C ．4037D ．4038二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．一元二次方程4x 2= 3x 的解是_____________．14．圣诞节时，某班一个小组有x 人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为_____．15．关于a 的方程2420a a ++=的两个解为1a 、2a ，则2212a a +=_____. 16．已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.三、解答题（共6小题，第17题8分，第18题12分，第19题6分，第20题6分，第21题8分，第22题12分，共52分）17、解下列方程 (1) x 2-2x-5=0 (用配方法) (2)2x 2+3x=4(公式法)18、已知关于x 的方程||(2)210m m x x ++-=．（1）当m 为何值时是一元一次方程？（2）当m 为何值时是一元二次方程？19、 已知两个方程20x px q ++=和20x qx p ++=仅有一个相同的根，求p q +的值．20、小刚在做作业时，不小心将方程2350x bx --=的一次项系数用墨水覆盖住了，但从题目的答案中，他知道方程的一个解为5x =，请你帮助小刚求出被覆盖住的数试卷第3页，总3页 21、已知关于x 的一元二次方程22(51)40x m x m m -+++=. 求证：无论m 取任何实数时，原方程总有两个实数根；22、现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？参考答案1．考点：一元二次方程试题解析：解析：A 选二次项系数为字母，要强调不为0；B 选项不是等式；D 选项有两个未知数，故选C ．答案：C2．.考点：一元二次方程的一般形式试题解析：解析：x （3-2x ）+5=1 -2x 2+3x+4=0 -2×4=-8 故选B ．答案：B3．考点：一元二次方程的解试题解析：解析：将x ＝0代入原方程得a 2－1＝0且a ＋1≠0所以a=1故选A ．答案：A4．考点：一元二次方程试题解析：解析：A 选二次项系数为字母，要强调不为0；B 选项不是等式；D 选项有两个未知数，故选C ．答案：C5．考点：配方法答案第4页，总3页试题解析：解析x 2﹣2x+12=0 x 2﹣2x+1=12（x ﹣1）2=12故选C ．答案：C6．考点：解一元二次方程和勾股定理试题解析：解析：解方程得x 1 =3, x 2=4.当3和4为直角边时，第三边为5，当4为斜边故选D ．答案：D7．考点：一元二次方程根的判别式和一元一次不等式的解法试题解析：解析：∆= b ²-4ac >0即1+12m >0 m >﹣112故选C ． 答案：C8．考点：一元二次方程根与系数的关系 试题解析：解析：11x ＋21x =(x ₁+x ₂)/(x ₁x ₂)=﹣3 故选B ． 答案：B9．考点：一元二次方程根的判别式和解一元二次方程试题解析：解析：(a ＋1)²- 4(2a －1)=0解得a ₁=1a ₂=5故选D ．答案：D10．考点：一元二次方程的应用试题解析：解析：设路宽为x,依题可得：（20-x ）(33-x)=510解得x 1 =3, x 2=50（舍去）故选C ．答案：C11．考点：一元二次方程求根公式试题解析：解析：由一元二次方程求根公式与方程给出的根可找出a=3 b=5 c = - 1 故选D ．答案：D12．考点：一元二次方程的解和根与系数的关系试题解析：解析：将m 和n 分别代入方程变形得m 2﹣2018m =-2019n 2﹣2018n =-2019将原式变形后整体代入（-2019-m+2018(-2019-n+2018)=(-1-m)(-1-n)=1+m+n+mn∵m+n=2018 mn=2019∴原式=1+2018+2019=4038故选D ．答案：D13．考点：解一元二次方程(因式分解法)试题解析：解析：4x 2 -3x= 0 x(4x-3)=0 x 1 =0, x 2=34答案：x 1 =0, x 2=3414．考点：一元二次方程的应用试题解析：答案：x （x ﹣1）＝11015．考点：一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式试题解析：解析：2212a a +=（a ₁+a ₂）²-2a ₁a ₂答案：1216．考点：一元二次方程解法和根与系数的关系试题解析：解析：∵ x₁x₂=12 x₁²+x₂²=25∴x ₁+x ₂=7或-7答案：x 2-7x+12=0或x 2+7x+12=017．考点：一元二次方程解法答案：(1)11x =21x =；(2)134x -=，234x -= 18．考点：一元一次方程和一元二次方程的概念试题解析：解析：（1）注意分三种情况讨论（2）注意指数和系数答案：（1）-2或±1或0 （2）2 19．考点：一元二次方程根和方程组试题解析：解析：x ²+px+q= x ²+qx+p (p-q)x=p-q x=1代入原方程1+p+q=0 ∴p+q=-1答案：-1；.20．考点：一元二次方程解试题解析：解析：答案：1421．考点：一元二次方程根的判别式和完全平方公式试题解析：解析：答案：∵∆= b ²-4ac =（5m+1）²-4（4m ²+m ）=9m ²+6m+1=(3m+1)²≥0∴不论m 取任何实数，原方程总有两个实数根22．考点：一元二次方程的应用和一元一次不等式试题解析：解析：（1）设增长率为x ，依题可得10（1+x ）²=12.1解得x 1 =0.1, x 2=-2.1(舍去)故增长率为10％；（2）6月总数12.1×（1+10％）=13.31>21×0.6所以不能完成任务。
一元二次方程专项复习题
一、解下列一元二次方程1. 0632=+-y2.02562=-x3. 036)4(22=-+x4. x x 232=5. 04)4(2=-+-x x x6. 22)21()2(x x -=-7. 0)12()14(2=---x x x 8. 021292=+-x x 9. x x x 22)1)(1(=-+ 10. 01.021.009.02=+-x x11. 03832=-+x x12. 1)1)(2(=+-x x13. x xx =+-2322 14. 03522=--x x15、08121212=-+x x16、)(0422是已知数k k x x =--二、用配方法解下列一元二次方程 1.162=+x x2. 02632=+-x x3. 02322=+-x x4. 01242=++-x x5. 04212=--x x6.024232=-+x x 7. 0222=-+p px x 8.024422=--x x三、根据条件，解字母系数一元二次方程1. 已知关于x 的方程0522=--a x x 有两个相等的实数根，求a 的值并求出此时方程的根. 2. 已知关于x 的方程21)5(92-=--m x m x 有两个相等的实数根，求m 的值及此时方程的根.3. 已知关于x 的方程02=++c bx x 有两个相等的实数根，其中b 与c 互为相反数，求c b 、的值并求出此时方程的根. 4..0432的周长的值并计算这个三角形的两个根，求的方程是关于，已知、、长分别设等腰三角形的三条边m m x x x a c b a =+-=四、根的判别式1. 已知关于x 的方程01)1(22=-++-k x k kx 有两个实数根，求k 的取值范围. 2. 已知关于x 的方程0242=++k x x 有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值.3. 试判断关于x 的方程02)3(2=+++m x m x 是否一定有两个实数根，并说明理由. 4. 试判断关于x 的方程0)(22=---n x n m mx 是否一定有两个实数根，并说明理由. 5..101222的实数根，并说明理由是否一定用两个不相等的方程于没有实数根，试判断关的方程已知关于=++=+-+a ax x x a x x x第2题图五、一元二次方程的应用——因式分解 在实数范围内分解因式1. 52-x2. 2274y x -3. 494-x4. 142+-x x5. 1522+-x x6. 2422+-x x7. 242+-x x 8. 3332-+x x9. 412+-x x10. 21222--x x11. 181222+-x x12.1224-+x x 13. 2236y xy x ++14. 2422+-xy y x 15. 2210102y xy x +-16. 34222-+xy y x 17. 二次三项式13)16(32++-+k x k kx 在实数范围内可以分解因式，求k 的取值范围. 18.六、一元二次方程的应用——实际问题1、如图，在一块长55米，宽45米的长方形绿地中间修两条相互垂直宽度为x 米的小路，可建造绿地的面积总共为2000平方米，求小路的宽度。
中考数学专题练习 一元二次方程(含解析)
一元二次方程一、填空题1．一元二次方程（1+3x）（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：．2．关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m 时为一元一次方程；当m 时为一元二次方程．3．若（a+b）（a+b+2）=8，则a+b= ．4．x2+3x+ =（x+ ）2；x2﹣+2=（x ）2．5．直角三角形的两直角边是3：4，而斜边的长是20cm，那么这个三角形的面积是cm2．6．若方程x2+px+q=0的两个根是﹣2和3，则p= ，q= ．7．若代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，则x的值是．8．代数式2x2+3x+7的值为12，则代数式4x2+6x﹣10= ．9．当t 时，关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解．10．若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则= ．二、选择题11．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3（x+1）2=2（x+1）D． +﹣2=012．若2x+1与2x﹣1互为倒数，则实数x为（）A．± B．±1 C．±D．±13．若m是关于x的方程x2+nx﹣m=0的解，且m≠0，则m+n的值是（）A．1 B．﹣0.5 C．0.5 D．﹣114．关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（）A．m=0，n=0 B．m=0，n≠0 C．m≠0，n=0 D．m≠0，n≠015．关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤016．若方程ax2+bx+c=0（a≠0），a、b、c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定三、解答题17．（1）（x+4）2=5（x+4）；（2）（x+1）2=4x；（3）（x+3）2=（1﹣2x）2；（4）2x2﹣10x=3．18．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．19．已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，求m的值．20．已知方程x2﹣2ax+a=4（1）求证：方程必有相异实根（2）a取何值时，方程有两个正根？（3）a取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？（4）a取何值时，方程有一根为零？一元二次方程参考答案与试题解析一、填空题1．一元二次方程（1+3x）（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为：x2﹣8x﹣4=0 ，二次项系数为： 1 ，一次项系数为：﹣8 ，常数项为：﹣4 ．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】去括号、移项变形为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0，a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．【解答】解：去括号得，x﹣3+3x2﹣9x=2x2+1，移项得，x2﹣8x﹣4=0，所以一般形式为x2﹣8x﹣4=0；二次项系数为1；一次项系数为﹣8；常数项为﹣4．故答案为x2﹣8x﹣4=0，1，﹣8，﹣4．【点评】考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数），a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．2．关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m =1 时为一元一次方程；当m ≠1 时为一元二次方程．【考点】一元二次方程的定义；一元一次方程的定义．【专题】方程思想．【分析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程；含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程．可以确定m的取值．【解答】解：要使方程是一元一次方程，则m﹣1=0，∴m=1．要使方程是一元二次方程，则m﹣1≠0，∴m≠1．故答案分别是：m=1；m≠1．【点评】本题考查的是一元一次方程和一元二次方程的定义，根据定义确定m的取值．3．若（a+b）（a+b+2）=8，则a+b= 2或﹣4 ．【考点】换元法解一元二次方程．【专题】换元法．【分析】把原方程中的（a+b）代换成y，即可得到关于y的方程y2+2y﹣8=0，求得y的值即为a+b 的值．【解答】解：把原方程中的a+b换成y，所以原方程变化为：y2+2y﹣8=0，解得y=2或﹣4，∴a+b=2或﹣4．【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．4．x2+3x+ =（x+ ）2；x2﹣2x +2=（x ﹣）2．【考点】完全平方式．【专题】计算题．【分析】（1）根据首项是x的平方及中间项3x，利用中间项等于x与乘积的2倍即可解答．（2）根据首项与尾项分别是x与的平方，那么中间项等于x与乘积的2倍即可解答．【解答】解：（1）∵首项是x的平方及中间项3x，∴3x=2×x×，x2+3x+=，∴应填，．（2）首项与尾项分别是x与的平方，∴2×x×即为中间项．∴x2﹣2x+2=，故应填：2，﹣．故答案为：，，2，﹣．【点评】本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键要熟记完全平方公式．5．直角三角形的两直角边是3：4，而斜边的长是20cm，那么这个三角形的面积是96 cm2．【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的应用．【专题】几何图形问题．【分析】根据直角三角形的两直角边是3：4，设出两直角边的长分别是3x、4x，再根据勾股定理列方程求解即可．【解答】解：设两直角边分别是3x、4x，根据勾股定理得：（3x）2+（4x）2=400，解得：x=4，（负值舍去）则：3x=12cm，4x=16cm．故这个三角形的面积是×12×16=96cm2．【点评】此题主要根据勾股定理来确定等量关系，也考查了三角形的面积公式．6．若方程x2+px+q=0的两个根是﹣2和3，则p= ﹣1 ，q= ﹣6 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系，分别求出p、q的值．【解答】解：由题意知，x1+x2=﹣p，即﹣2+3=﹣p，∴p=﹣1；又x1x2=q，即﹣2×3=q，∴q=﹣6．【点评】已知了一元二次方程的两根求系数，可利用一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=，x1x2=解答．7．若代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，则x的值是1或﹣．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】根据题意先列出方程，然后利用因式分解法解方程求得x的值．【解答】解：∵代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，∴4x2﹣2x﹣5+2x2+1=0，即（x﹣1）（3x+2）=0，解得x=1或﹣．【点评】本题是基础题，考查了一元二次方程的解法．8．代数式2x2+3x+7的值为12，则代数式4x2+6x﹣10= 0 ．【考点】代数式求值．【专题】整体思想．【分析】先对已知进行变形，把所求代数式化成已知的形式，再利用整体代入法求解．【解答】解：∵2x2+3x+7=12∴2x2+3x=12﹣7∴4x2+6x﹣10=2（2x2+3x）﹣10=2×（12﹣7）﹣10=0．【点评】此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．9．当t ≤时，关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解，则△=b2﹣4ac≥0，即△=32﹣4×1×t=9﹣4t≥0，解不等式即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解，∴△=b2﹣4ac≥0，即△=32﹣4×1×t=9﹣4t≥0，∴t≤．故答案为≤．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则= ．【考点】解一元二次方程﹣公式法；一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】把b看成常数，解关于a的一元二次方程，然后求出的值．【解答】解：a2+ab﹣b2=0△=b2+4b2=5b2．a== b∴=．故答案是：【点评】本题考查的是用一元二次方程的求根公式解方程，把b看成是常数，用求根公式解关于a 的一元二次方程，然后求出的值．二、选择题11．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3（x+1）2=2（x+1）D． +﹣2=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足三个条件：（1）方程是整式方程；（2）未知数的最高次数是2；（3）只含有一个未知数．由这三个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：A、a=0时，不是一元二次方程，错误；B、原式可化为2x+1=0，是一元一次方程，错误；C、原式可化为3x2+4x+1=0，符合一元二次方程的定义，正确；D、是分式方程，错误．故选C．【点评】判断一个方程是否是一元二次方程，首先判断是否是整式方程，若是整式方程，再进行化简，化简以后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程就是一元二次方程．12．若2x+1与2x﹣1互为倒数，则实数x为（）A．± B．±1 C．±D．±【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】两个数互为倒数，即两数的积是1，据此即可得到一个关于x的方程，从而求解．【解答】解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得（2x+1）（2x﹣1）=1；整理得4x2﹣1=1，移项得4x2=2，系数化为1得x2=；开方得x=±．故选C．【点评】用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．本题开方后要注意分母有理化．13．若m是关于x的方程x2+nx﹣m=0的解，且m≠0，则m+n的值是（）A．1 B．﹣0.5 C．0.5 D．﹣1【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；将m代入原方程即可求得m+n的值．【解答】解：把x=m代入方程x2+nx﹣m=0得m2+mn﹣m=0，又∵m≠0，方程两边同除以m，可得m+n=1；故本题选A．【点评】此题中应特别注意：方程两边同除以字母系数时，应强调字母系数不得为零．14．关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（）A．m=0，n=0 B．m=0，n≠0 C．m≠0，n=0 D．m≠0，n≠0【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；一元二次方程的解．【分析】代入方程的解求出n的值，再用因式分解法确定m的取值范围．【解答】解：方程有一个根是0，即把x=0代入方程，方程成立．得到n=0；则方程变成x2+mx=0，即x（x+m）=0则方程的根是0或﹣m，因为两根中只有一根等于0，则得到﹣m≠0即m≠0方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，正确的条件是m≠0，n=0．故选C．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，以及因式分解法解一元二次方程．15．关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤0【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】根据直接开平方法的步骤得出x2=k，再根据非负数的性质得出k≥0即可．【解答】解：∵x2﹣k=0，∴x2=k，∴一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则k≥0，故选：C．【点评】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．16．若方程ax2+bx+c=0（a≠0），a、b、c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定【考点】一元二次方程的解．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．【解答】解：在这个式子中，如果把x=1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c=0可知：当x=1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．故选C．【点评】本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．三、解答题17．（1）（x+4）2=5（x+4）；（2）（x+1）2=4x；（3）（x+3）2=（1﹣2x）2；（4）2x2﹣10x=3．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题．【分析】（1）运用提取公因式法分解因式求解；（2）运用公式法分解因式求解；（3）运用平分差公式分解因式求解；（4）运用公式法求解．【解答】解：（1）（x+4）2=5（x+4），（x+4）2﹣5（x+4）=0，（x+4）（x+4﹣5）=0，∴x1=﹣4，x2=1．（2）（x+1）2=4x，x2+2x+1﹣4x=0，（x﹣1）2=0，∴x1=x2=1．（3）（x+3）2﹣（1﹣2x）2=0，（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）=0，（4﹣x）（3x+2）=0，∴x1=4，x2=﹣．（4） 2x2﹣10x=3，2x2﹣10x﹣3=0，x=，x1=，x2=．【点评】此题考查了选择适当的方法解一元二次方程的能力，属基础题．18．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．【考点】等腰三角形的性质；一元二次方程的解；三角形三边关系．【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系得到x=4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形，确定等腰三角形腰长为5．【解答】解：x2﹣9x+20=0，解得x1=4，x2=5，∵等腰三角形底边长为8，∴x=4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形，∴等腰三角形腰长为5．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的边长，不能盲目地作出判断，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．19．已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，求m的值．【考点】一元二次方程的解；解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】由于一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，那么把x=0代入方程即可得到关于m的方程，解这个方程即可求出m的值．【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，∴把x=0代入方程中得m2+3m﹣4=0，∴m1=﹣4，m2=1．由于在一元二次方程中m﹣1≠0，故m≠1，∴m=﹣4【点评】此题主要考查了方程解的定义和解一元二次方程，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到所求字母的方程，再解此方程即可解决问题．20．已知方程x2﹣2ax+a=4（1）求证：方程必有相异实根（2）a取何值时，方程有两个正根？（3）a取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？（4）a取何值时，方程有一根为零？【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】计算题．【分析】（1）根据△＞0恒成立即可证明．（2）由方程有两个正根，根据根与系数的关系即可求出a的取值．（3）由方程有两根相异，并且负根的绝对值较大，根据根与系数关系解答．（4）令x=0代入方程求解即可．【解答】解：（1）方程x2﹣2ax+a=4，可化为：x2﹣2ax+a﹣4=0，∴△=4a2﹣4（a﹣4）=4+15＞0恒成立，故方程必有相异实根．（2）若方程有两个正根x1，x2，则x1+x2=2a＞0，x1x2=a﹣4＞0，解得：a＞4．（3）若方程有两根相异，并且负根的绝对值较大，则可得：x1+x2=2a＜0，x1x2=a﹣4＜0，解得：a ＜0．（4）若方程有一根为零，把x=0代入方程x2﹣2ax+a=4，得：a=4．【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键是熟记x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．。
一元二次方程练习题及答案
一元二次方程练习题及答案一、选择题（每小题3分，共30分）1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A。
3，2,1 B. C. D.2。
用配方法解一元二次方程x2-4x=5时，此方程可变形为（）A。
（x+2）2＝1 B。
(x-2)2＝1C。
（x+2)2=9 D。
（x-2）2＝93。
若为方程的解，则的值为（）A.12 B。
6 C.9 D.164.若的值为（）A。
0 B。
—6 C。
6 D.以上都不对5。
某品牌服装原价为173元，连续两次降价后售价为127元，下面所列方程中正确的是（）A。
B.C.D。
6.根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是( ）A。
＜3.24 B.3。
24＜＜3。
25C.3.25＜＜3。
26 D。
3。
25＜＜3。
287。
以3，4为两边的三角形的第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为( ）A。
15或12 B。
12 C。
15 D.以上都不对8。
已知是方程的两个根,则的值为（）A. B.2 C. D.9.关于x的方程的根的情况描述正确的是（)A.k为任何实数，方程都没有实数根B。
k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C.k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D.根据k的取值不同,方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种10。
某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌,绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44％,这两年平均每年绿地面积的增长率是（）A。
19％B。
20% C。
21％ D.22%二、填空题(每小题3分，共24分）11。
(2013·山东临沂中考）对于实数a，b，定义运算“*”:例如:4＊2,因为4＞2，所以4＊2=42—4×2=8.若x1,x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1＊x2= 。
12.(2013·山东聊城中考）若x1=－1是关于x的方程x2+mx－5=0的一个根，则此方程的另一个根x2= .13。
(完整版)一元二次方程经典习题及深度解析
一元二次方程及解法经典习题及解析知识技能： 一、填空题：1．下列方程中是一元二次方程的序号是 ．42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④5232=+x x ⑤ 412=+x x⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。
⑧⑦ ◆答案：⑤④③①,,,◆解析：判断一个方程是否是一元二次方程，要根据一元二次方程的定义，看是否同时符合条件 ①含有一个未知数；②未知数的最高次数是③;2整式方程．若同时符合这三个条件的就是一元次方程，否则缺一不可．其中方程②含两个未知数,不符合条件①;方程⑥不是整式方程，lil 不符合条件③；方程⑦中未知数的最高次数是3次,不符合条件②；方程⑧经过整理后;次项消掉，也不符合条件②． 2．已知,关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a◆答案：5-=/◆解析：方程12)5(2=-+ax x a 既然是一元二次方程，必符合一元二次方程的定义，所以未知数 的最高次数是2，因此，二次项系数,05=/+a 故.5-=/a 3．当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程．◆答案：2±◆解析：方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于2的一元二次方程，则二次项系数.042=-k 故.2±=k4．解一元二次方程的一般方法有 ， ， ， ·◆答案：直接开平方法；配方法；公式法;因式分解法 5．一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为： ．◆答案：◆解析：此题不可漏掉042≥-ac b 的条件．6．（2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是 ．◆答案：3.1-◆解析：.4)1(,412,032222=-=+-=--x x x x x 所以.3,121=-=x x7．不解方程,判断一元二次方程022632=+--x x x 的根的情况是 ．◆答案：有两个不相等的实数根◆解析：原方程化为,02)26(32=++-x x,04864348234)]26([422>-=-=⨯-+-=-ac b．‘．原方程有两个不相等的实数根．8．(2004·锦州市）若关于X 的方程052=++k x x 有实数根,则k 的取值范围是 ．◆答案：425≤k ◆解析：‘．．方程有实根，⋅≤∴≥-=-∴425,045422k k ac b 9．已知:当m 时,方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根．◆答案:43≥◆解析：.．‘方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根．⋅≥∴≥-=-+-++=--+=-∴43,0152016164144)2(4)12(42.2222m m m m m m m m ac b 10．关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 ．◆答案:无实根 ◆解析:,)2(4)44(4162044)4)(1(4)2(422242422222+-=++-=---=++--=-k k k k k k k k k ac b∴<-∴>+∴≥,04,02,0222ac b k k 原方程无实根． 二、选择题：11．(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(422-+=++x a x x 成立,则a 的值为（ ) A ．5 8．4 C ．3 D ．2◆答案:C◆解析：,341441)2(222++=-++=-+x x x x x a 的值使得,3,341)2(4222=∴++=-+=++a x x x a x x 故C 正确．12．把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后,a 、b 、c 的值分别为( ）3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D◆答案：C ◆解析:方程x x 332-=-化为.0332=-+x x 故.3.3.1-===c b a 故C 正确． 13．方程02=+x x 的解是( )x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D◆答案：C◆解析:运用因式分解法得,0)1(=+x x 故.1,021-==x x 故C 正确．14．（2006·广安市)关于X 的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( )1.->k A 1.>k B 0.=/k C 1.->k D 且0=/k ◆答案：D◆解析：由题意知⎩⎨⎧>+=/.044,0k k 解得1->k 且.0=/k15．(2006·广州市）一元二次方程0322=--x x 的两个根分别为（ )3,1.21==x x A 3,1.21-==x x B 3,1.21=-=x x C 3,1.21-=-=x x D◆答案：C16．解方程.251212;0)23(3)32(;0179;072222x x x x x x x =+=-+-=--=-④③②① 较简便的方法是( )A ．依次为：开平方法、配方法、公式法、因式分解法B ．依次为：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法①.C 用直接开平方法，②④用公式法,③用因式分解法 ①.D 用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法 ◆答案:D17．(2004·云南省）用配方法解一元二次方程.0782=++x x 则方程可变形为（ ）9)4.(2=-x A 9)4.(2=+x B 16)8.(2=-x C 57)8.(2=+x D ◆答案：B18．一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( ）2.>k A 2.<k B 且1=/k 2.<k C 2.>k D 且1=/k◆答案:B◆解析:‘．‘方程有两个不相等的实根4)2(4,22--=-∴ac b(1,048)1()>-=-⨯-k k 2<∴k 且,1=/k 故B 正确．19．下列方程中有两个相等的实数根的方程是( ）09124.2=++x x A 032.2=-+x x B 02.2=++x x C 072.2=-+x x D ◆答案：A◆解析:只有A 的判别式的值为零，故A 正确．20．(2004·大连市）一元二次方程0422=++x x 的根的情况是( ） A ．有一个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．没有实数根 ◆答案:D◆解析：∴<-=⨯-=-,012442422ac b 方程没有实数根，故D 正确 21．下列命题正确的是( )x x A =22.。
《一元二次方程》各节知识点及典型例题
第二章 一元二次方程第一节 一元二次方程 第二节 一元二次方程的解法 第三节 一元二次方程的应用 第四节 一元二次方程根与系数的关系 五大知识点：1、一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解的概念及应用2、一元二次方程的四种解法（因式分解法、开平方法和配方法、配方法的拓展运用、公式法）3、根的判别式4、一元二次方程的应用（销售问题和增长率问题、面积问题和动态问题）5、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【课本相关知识点】1、一元二次方程：只含有 未知数，并且未和数的 是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。
2、能使一元二次方程 的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）3、一元二次方程的一般形式：任何一个一元二次方程经过化简、整理都可以转化为 的形式，这个形式叫做一元二次方程的一般形式。
其中ax 2是 ，a 是 ，bx 是 ，b 是 ，c是常数项【典型例题】【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值例1、当a 为何值时，关于x 的方程（a-1）x |a|+1+2x-7=0是一元二次方程？【题型二】一元二次方程解的应用例1、关于x 的一元二次方程（a-1）x 2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．-1D ．-1或1例2、已知多项式ax 2-bx+c ，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是1（1）试求a+b 的值（2）直接写出关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根【题型三】一元二次方程拓展开放型题例1、已知关于x 的方程（k 2-1）x 2-（k+1）x-2=0（1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根（2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。
巩 固 练 习1、下列方程中，是一元二次方程的为（ ）A. x 2= -1B. 2x （x-1）+1=2x 2C. x 2+3x=2x D. ax 2+bx+c-0 2、已知关于x 的方程mx 2+(m-1)x-1=2x 2-x ，当m 取什么值时，这个方程是一元二次方程？3、若关于x 的一元二次方程（a-2）x 2是一元二次方程，则a 的取值范围是4、把方程 (x-1)2-3x （x-2）=2（x+2）+1化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项5、若a 是方程x 2-3x+1=0的一个根，求2a 2-5a-2+231a +的值 6、若关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，abc 满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是（ ）A. 1，0B. -1，0C. 1，-1D. 1，27、已知x=1是一元二次方程ax 2+bx-40=0的一个解，且a ≠b ，求2222a b a b --的值【课本相关知识点】（一）1、利用因式分解的方法实现“降次”，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的方法，叫做因式分解法。
一元二次方程专题复习资料
一元二次方程专题复习 知识盘点1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。
2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。
如果n ＜0，则原方程 。
（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根,即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x ,（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。
4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。
5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。
含字母系数的一元二次方程专题二中1
含字母系数的一元二次方程一、填空题：1、关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是（）A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 22、若方程22(1)110m x m x -++-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值X 围是_____________.3、已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+a=0的两个解，若（m ﹣1）（n ﹣1）=﹣6，则a 的值为。
4、已知关于x 的一元二次方程（m －2）x 2＋3x ＋m 2－4=0有一个解是0，则 m 的值为.5、已知m 方程220x x --=的一个实数根，则代数式22()(1)m m m m--+的值为. 二、解答题1.若k 为正整数，且关于x 的方程(k 2-1)x 2-6(3k-1)x+72=0有两个不相等的正整数根，求k 的值．解：原方程变形为 (k+1)(k-1)x 2-6(3k-1)x+72=0，[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0，4，7．所以k=2，3使得x 1，x 2同时为正整数，但当k=3时，x 1=x 2=3，与题目不符，所以，只有k=2为所求．2、求k 的值，使得两个一元二次方程x 2+kx-1=0，x 2+x+(k-2)=0有相同的根，并求两个方程的根．解：设a 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有a 2+ka-1=0，①a 2+a+(k-2)=0．②①-②有 ka-1-a-(k-2)=0，即 (k-1)(a-1)=0， 所以k=1，或a=1．(1)当k=1时，两个方程都变为x2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根没有相异的根；(2)当a=1时，代入①或②都有k=0，此时两个方程变为x2-1=0，x2+x-2=0．解这两个方程，x2-1=0的根为x1=1，x2=-1；x2+x-2=0的根为x1=1，x2=-2．x=1为两个方程的相同的根．3、已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；（2）当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．解：∵方程有两个实数根，∴△解这个不等式，得≤0设方程两根为则，∵∴∴整理得：解得：又∵，∴6、已知关于的一元二次方程（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
新人教版21章一元二次方程知识点及典型题目总结
一元二次方程知识题型总结一、知识与技能的总结（一）概念一元二次方程--“整式方程”;“只含一个未知数,且未知数的最高次数是2"．一元二次方程的一般形式-—，按未知数x降幂排列方程的根（解）—-是使方程成立的未知数的取值，了解一元二次方程的根的个数．（二）一元二次方程的解法-—把一元二次方程降次为一元一次方程求解1．直接开平方法-—适用于的方程．2．配方法——适用于所有的一元二次方程；（1）“移项”-—使得（2)“系数化1”——使得（3）“配方”——使得(4)“求解”—-利用解方程3．公式法—-适用于的方程．反映了一元二次方程的根与系数的关系，（1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确找出各项系数a、b、c；（2）先求出的值，若,则代入公式．若,则；4．因式分解法--适用于的方程．用因式分解法解一元二次方程的依据是：．通过将二次三项式化为两个一次式的乘积，从而达到降次的目的，将一元二次方程转化为求两个方程的解．（三）其它知识方法1．根的判别式: ，（1）若，则方程有解；（2）若，则方程有解;(3）若，则方程有解;2．换元法（1）；（2）(3)．3．可化为一元二次方程的分式方程解方程二、典型题型的总结（一）一元二次方程的概念1．(一元二次方程的项与各项系数）把下列方程化为一元二次方程的一般形式：(1）；(2);（3）；（4) ；（5）；2．（应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值)（1)= 时,关于的方程是一元二次方程。
(2)若分式，则3．（由方程的根的定义求字母或代数式值）(1）关于的一元二次方程有一个根为0，则(2）已知关于的一元二次方程有一个根为1,一个根为,则，(3）已知2是关于的方程的一个根,则的值是(4)已知c为实数,并且关于的一元二次方程的一个根的相反数是方程的一个根，则方程的根为,c=（二）一元二次方程的解法4．开平方法解下列方程：(1）（2)（3) （4)（5）；（6)；（7）．（8)5．用配方法解下列各方程：（1）; (2）;（3) (4）（5）；（6）．6．用公式法解下列各方程:（1）; （2）；(3）；（4）．（5）(6）（7）（8）（9）7．用因式分解法解下列各方程：(1）；（2）(3）（4）（5) （6）(7）；(8）．（9）(10）(11）8．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：(1）（2）（3）（4）（5）9．解关于x的方程（含有字母系数的方程）：(1）（2）(3)（）(4）（三）一元二次方程的根的判别式10．不解方程，判别方程根的情况：(1）4 —-(2）-—（3）—-11．为何值时，关于x的二次方程（1）满足时，方程有两个不等的实数根(2）满足时，方程有两个相等的实数根(3）满足时，方程无实数根12．已知关于的方程,如果，那么此方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定13．关于的方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定14．已知关于的方程有实根，则的取值范围是（）．A．B．且C．D．15．已知,且方程有两个相等实根,那么的值等于（）．A．B．C．3或D．316．若关于的方程有实根,则的非负整数值是（）．A．0,1 B．0，1，2 C．1 D．1，2，317．已知关于ｘ的方程有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．18．方程有实数根，求正整数a.19．对任意实数m，求证：关于x的方程无实数根。
人教版数学九年级上册 第21章 一元二次方程 求一元二次方程中字母系数的值或范围 专题练习 含
第21章一元二次方程求一元二次方程中字母系数的值或范围专题练习1. 若方程(m－1)x|m|＋1－2x＝3是关于x的一元二次方程，则有( )A．m＝1 B．m＝－1 C．m＝±1 D．m≠±12．已知(m－3)x2＋m＋2x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )A．m≠3 B．m≥3 C．m≥－2 D．m≥－2且m≠33. 已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为( )A．－1 B．0 C．1 D．24. 若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是( )A．0 B．－1 C．2 D．－35. 若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是( ) A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥16. 关于x的方程ax2－(3a＋1)x＋2(a＋1)＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1－x1x2＋x2＝1－a，则a的值是( )A．1 B．－1 C．1或－1 D．27. 于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1，则n m的值为( )A．－8 B．8 C．16 D．－168. 关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x21＋x22＝7，则(x1－x2)2的值是.9. 已知关于x的方程x m－3－2x＋1＝0是一元二次方程，则m＝.10. 一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后，一次项的系数为－1，求m的值．11. 已知关于x 的一元二次方程(k ＋4)x 2＋3x ＋k 2＋3k －4＝0的一个根为0，求k 的值及另一个根．12. 已知关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋4(k －12)＝0.(1)求证：这个方程总有两个实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边长a ＝4，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根时，求△ABC 的周长．13. 已知：关于x的方程kx2－(3k－1)x＋2(k－1)＝0.(1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根；(2)若此方程有两个实数根x1、x2，且|x1－x2|＝2，求k的值．参考答案： 1---7 BDADB BC 8. 13 9. 510. 解：2x 2－(m ＋1)x ＋1＝x(x －1)，2x 2－(m ＋1)x －x 2＋x ＋1＝0，x 2－mx ＋1＝0，即一般形式为x 2－mx ＋1＝0.则题意得，－m ＝－1，则m ＝1.11. 解：把x ＝0代入(k ＋4)x 2＋3x ＋k 2＋3k －4＝0，得k 2＋3k －4＝0，解之，得k 1＝1，k 2＝－4，∵k ＋4≠0，∴k≠－4，∴k ＝1，∴这个一元二次方程为5x 2＋3x ＝0，∴另一个根为－ 35.12. (1)证明： Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×4(k－12)＝4k 2－12k ＋9＝(2k －3)2≥0，∴这个方程总有两个实数根 ；(2)解：若底边长为a ，则b ＝c ，Δ＝(2k －3)2＝0，∴k ＝32，易得x 1＝x 2＝2，有b ＋c ＝a ，不能构成三角形；若腰长为a ，显然4是该方程的一个根，代入求得k ＝52，从而解得x 1＝2，x 2＝4，∴三边长为4,4,2.故△ABC 的周长为10.13. (1)证明：①当k ＝0时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠0时，方程是一元二次方程，∵Δ＝[－(3k －1)]2－4k×2(k－1)＝(k ＋1)2≥0，∴无论k 为何实数，方程总有实数根；(2)解：∵此方程有两个实数根x 1、x 2，∴x 1＋x 2＝3k －1k ，x 1x 2＝2k －1k.∵|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝4，∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4，即9k 2－6k ＋1k 2 －4×2k －1k＝4.解得： k ＝1或k ＝－13.经检验符合题意．∴k 的值是1或－13.。
专题1.1一元二次方程九大考点精讲精练
2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题1.1一元二次方程九大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）【知识梳理】1．一元二次方程的有关概念：（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．（2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（3）一元二次方程的根：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．（2）配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为20++=（a≠0）的形式；ax bx c②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．（3）公式法：把x b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．3.一元二次方程根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．4.一元二次方程根与系数的关系：（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+ x2=-p，x1x2=q反过来可得p=-（x1+ x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，反过来也成立，x1+ x2=—ba ，x1x2=ca（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【典例剖析】【考点1】一元二次方程的定义【例1】（2022·安徽·滁州市第六中学八年级阶段练习）若（m+3）x|m|−1−(m−3）x−5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）A．3B．﹣3C．±3D．±2【变式1.1】（2021·天津市晟楷中学九年级阶段练习）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．a x2+bx+c=0B．x2−4=(x+3)2C．x2+3x−5=0D．3x(x−4)=0【变式1.2】（2022·新疆·和硕县第二中学九年级期末）关于x的方程(a+2)x a2−2−3x−1=0是一元二次方程，则a的值是（ ）A．a=±2B．a=−2C．a=2D．a为任意实数【变式1.3】（2022·江苏南通·八年级期末）若关于x的方程(a−1)x2+x=0是一元二次方程，则a的范围是（）A．a=1B．a>1C．a≠1D．a<1【考点2】一元二次方程的一般形式【例2】（2022·浙江温州·八年级期末）把一元二次方程x(2x−1)=x−3化为一般形式，正确的是（）A．2x2+3=0B．2x2−2x−3=0C．2x2−x+2=0D．2x2−2x+3=0【变式2.1】（2022·全国·九年级单元测试）将一元二次方程（x+1）（x+2）＝0化成一般形式后的常数项是___．【变式2.2】（2022·全国·九年级单元测试）一元二次方程(2+x)(3x−4)=5化为一般形式为______，它的二次项是_______，一次项是_______，常数项是_______．【变式2.3】（2022·山东淄博·八年级期末）关于x的一元二次方程(m−3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为__．【考点3】一元二次方程的根【例3】（2022·河北保定师范附属学校九年级期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022﹣2a+2b的值为_____．【变式3.1】（2022·广西崇左·八年级期末）已知x=1是一元二次方程x2+ax−2=0的一个根，则a的值为_________．【变式3.2】（2022·浙江绍兴·八年级期末）若a是方程2x2−x−5=0的一个根，则代数式2a−4a2+1的值是_________．【变式3.3】（2022·福建·莆田哲理中学九年级期末）关于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的根，则a+b的值为_____．【考点4】一元二次方程的解法—配方法选填题【例4】（2022·西藏·江达县第二初级中学校九年级期末）将一元二次方程x2−6x−6=0配方后可写为________．【变式4.1】（2022·山东烟台·八年级期末）把一元二次方程x2−4x−8=0化成(x−m)2=n的形式，则m+n的值为________．【变式4.2】（2022·四川宜宾·九年级期末）将方程x2−mx+8=0用配方法化为（x−3)2=n，则m+n的值是_______．【变式4.3】（2022·山东威海·八年级期中）对于二次三项式x2+6x+3，若x取值为m，则二次三项式的最小值为n，那么m+n的值为_________．【考点5】一元二次方程的解法—因式分解法选填题【例5】（2022·甘肃·张掖育才中学九年级期末）一元二次方程(2x−3)2＝9(x+1)2的根为x1＝_____，x2＝_____．【变式5.1】（2021·四川·荣县一中九年级阶段练习）x2=2x的根为_____．【变式5.2】（2021·黑龙江哈尔滨·八年级期末）若一个一元二次方程x2−5x+6=0的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，则Rt△ABC斜边长为___．【变式5.3】（2021·河南·邓州市城区第五初级中学校.九年级阶段练习）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=(a+b)2−(a−b)2．若（m+2）◎（m﹣3）=24，则m=_____．【考点6】一元二次方程的解法—解答题【例6】（2022·山东省泰安南关中学八年级期中）解下列方程(1)2x2−4x+1=0（用配方法）；(2)3x2−4x−1=0（公式法）；【变式6.1】（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级期中）按照指定方法解下列方程：(1)x2＋4x＋1＝13（配方法）；(2)3x2﹣4x﹣1＝0（公式法）；(3)（x＋1）2＝3（x＋1）(4)（x﹣3）（x＋2）＝6【变式6.2】（2022·浙江·吴宁第三中学八年级期中）解方程：(1)2x2+2x=1(2)2x2−3x−5=0【变式6.3】（2022·安徽·滁州市第六中学八年级阶段练习）阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2−3|x|−10=0．解：分两种情况：（1）当x≥0时，原方程化为x2−3x−10=0，解得x1=5，x2=﹣2（舍去）；（2）当x＜0时，原方程化为x2+3x−10=0，解得x1=﹣5，x2=2（舍去）；综上所述，原方程的解是x1=5，x2=﹣5．问题：仿照上面的方法，解方程：x2−2|2x+3|+9=0．【考点7】根的判别式【例7】（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x(x−2)=k．(1)若k=3，求此方程的解；(2)当k≥−1时，试判断方程的根的情况．【变式7.1】（2022·江苏南通·八年级期末）已知关于x的一元二次方程(a−1)x2+(2a+1) x+2=0．(1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根；(2)如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值．【变式7.2】（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的方程p x2+(2p+1)x+(p−1)=0有两个不相等的实根，判断关于x的方程x2−3x−2p=0的根的情况．【变式7.3】（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x的一元二次方程k x2+(3k+1)x+2k+2=0(k≠0)．(1)求证：无论x取何值，此方程总有两个实数根；(2)若该方程的两根都是整数，求整数k的值．【考点8】根与系数的关系【例8】（2022·广西玉林·二模）关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−2k+2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两根分为x1、x2，且x2+x22+x1x2=19，求k的值．1【变式8.1】（2022·陕西·西安铁一中分校九年级期末）已知关于x的一元二次方程kx2﹣6x＋9＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两根x1，x2满足x1＋x2＝12，请求出方程的两根．【变式8.2】（2022·山东淄博·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2−2kx+k−12=0．(1)判断该方程根的情况，并说明理由；(2)若方程的两个实数根之和等于两根之积，求k的值．【变式8.3】（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+m=0，(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．(2)若x1，x2是原方程的两根，且1x1+1x2=−2，求m的值．【考点9】配方法的综合应用【例9】（2022·福建·福州十八中八年级期末）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝(x+3)2﹣4∵(x+3)2≥0∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+5x﹣1＝(x+a)2+b，则ab的值是_______．(2)求证：无论x取何值，代数式x2+7的值都是正数；(3)若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．【变式9.1】（2022·广西北海·七年级期中）阅读材料：把代数式x2−6x−7因式分解，可以分解如下：x2−6x−7=x2−6x+9−9−7=(x−3)2−16=(x−3+4)(x−3−4)=(x+1)(x−7)(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2−8x+7因式分解．(2)拓展：当代数式x2+2xy−3y2=0时，求xy的值．【变式9.2】（2022·广西贺州·八年级期中）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的x2+2x−3最小值．x2+2x−3=x2+2x⋅1+12−12−3=(x+1)2−4∵(x+1)2≥0∴当x=－1时，x2+2x−3有最小值－4请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+5=x2+2+2+2=(x+a)2+b，则a＝__________，b＝__________；(2)若代数式x2−2kx+7的最小值为3，求k的值．【变式9.3】（2022·全国·九年级课时练习）先阅读，后解题．已知m2+2m+n2−6n+10=0，求m和n的值．解：将左边分组配方：(m2+2m+1)+(n2−6n+9)=0．即(m+1)2+(n−3)2=0．∵(m+1)2≥0，(n−3)2≥0，且和为0，∴(m+1)2=0且(n−3)2=0，∴m＝－1，n＝－3．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：x2+4x+y2−2y+5=0，求x和y的值．(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=8a+6b−25且△ABC为直角三角形，求c．。
第二十一章 一元二次方程 易错必考68题(10个考点)专练(解析版)
第二十一章 一元二次方程 易错必考68题（10个考点）专练易错必考题一、一元二次方程的一般形式1．（2023·全国·九年级专题练习）若关于x 的一元二次方程2(3)430m x x mx m +-+++=的常数项是6，则一次项是（）A ．x-B ．1-C ．x D ．1【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义可得36m +=，30m +¹，可得m 的值，再代入原方程，由此即可得结果．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(3)430m x x mx m +-+++=的常数项是6，∴36m +=，30m +¹，解得：3m =，把3m =代入原方程可得2660x x -+=，∴一次项是x -，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是20(0)ax bx c a ++=¹，其中，2ax 是二次项，bx 是一次项，c 是常数项．2．（2023春·八年级课时练习）将一元二次方程()11x x -=-化成()200ax bx c a ++=>的形式则a b c ++=．【答案】1【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．【详解】解：将一元二次方程()11x x -=-化成一般形式20(0)ax bx c a ++=>之后，变为210x x -+=，故1,1,1a b c ==-=，1111a b c \++=-+=，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．3．（2023·江苏·九年级假期作业）已知关于y 的一元二次方程()()223811my m my y y +-=-+，求出它各项的系数，并指出参数m 的取值范围．【答案】二次项系数是：28m -，一次项系数是：()31m --，常数项是：31m -；参数m 的取值范围是22m ¹±【分析】先将原方程化为一般式，再回答各项系数，根据“二次项系数不为零”可以求m 的取值范围．【详解】解：将原方程整理为一般形式，得：()()22383110m y m y m ---+-=，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件280m -¹，即22m ¹±．可知它的各项系数分别是二次项系数是：28m -，一次项系数是：()31m --，常数项是：31m -．参数m 的取值范围是22m ¹±．【点睛】本题考查一元二次方程的一般式和系数、二次项系数不为零，掌握化一般式的方法是解题的关键．注意：在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．易错必考题二、一元二次方程的解4．（2023春·吉林长春·八年级校考期末）如果关于x 的一元二次方程220ax bx ++=的一个解是1x =，则代数式2023a b --的值为（ ）A ．2021-B ．2021C ．2025-D ．2025【答案】D【分析】根据一元二次方程220ax bx ++=的一个解是1x =，得到20a b ++=即2a b +=-，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程220ax bx ++=的一个解是1x =，∴20a b ++=，∴2a b +=-，∴2023202322025a b --=+=，故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握定义是解题的关键．5．（2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期末）两个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=和20cx bx a ++=，其中a ，b ，c 是常数，且0a c +=，如果2x =是方程20ax bx c ++=的一个根，那么下列各数中，一定是方程20cx bx a ++=的根的是（ ）A ．2B ．2-C ．1±D ．1【答案】B【分析】利用方程根的定义去验证判断即可．【详解】∵0a ¹，0c ¹，0a c +=，∴a c=-∴1c a =-，∴20b c x x a a++=，210c b x x a a ++=，∴210b x x a +-=，210b x x a--=，∵2x =是方程20ax bx c ++=的一个根，∴2x =是方程210b x x a+-=的一个根，即32b a =-，∴2231102b x x x x a --=+-=，∴2x =-是方程210b x x a --=的一个根，即2x =-时方程20cx bx a ++=的一个根．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．6．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）已知m 为方程2320230x x +-=的根，那么32220262023m m m +--的值为 ．【答案】4046-【分析】先根据一元二次方程解的定义得到232023m m =-+，再用m 表示3m 得到()2220262023m m m +--，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m 为方程2320230x x +-=的一个根，∴2320230m m +-=，∴232023m m =-+，∴()322220262023220262023m m m m m m +--=+--()()32023220262023m m m =-++--23620232023220262023m m m m =--++´--()33202392023m m =--+-+93202392023m m =-´-+4046=-，故答案为：4046-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握整体代入的方法是解题关键．7．（2023春·浙江温州·八年级校考期中）已知a ，b ，c 是非零实数，关于x 的一元二次方程204c ax bx ++=，204b cx ax ++=，204a bx cx ++=，有公共解，则代数式2c a b ab b a--的值为 ．【答案】2或1-【分析】设公共解为t ，根据一元二次方程根的定义得到204c at bt ++=，204b ct at ++=，204a bt ct ++=，三式相加可得：0abc ++=或12t =-，分别代入所求式可解答．【详解】解：设公共解为t ，则204c at bt ++=，204b ct at ++=，204a bt ct ++=，三式相加得()()204abc a b c t a b c t ++++++++=，即()2104a b c t t æö++++=ç÷èø，因为2211()042t t t ++=+³，所以0a b c ++=或12t =-，当0a b c ++=时，c a b =--，\原式222c a b ab--= 22222a ab b a b ab++--= 2=；当12t =-时，110424c a b -+=，110424b c a -+=，22c b a a b \=-=-，a b \=，\原式222244b ab a a b ab-+--=234b ab ab-= 22b b-= 1=-，综上，代数式2c a b ab b a--的值为2或1-．故答案为：2或1-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，理解方程解的定义是解题的关键．8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知x 是一元二次方程2810x x --=的实数根，求代数式24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø的值．【答案】117【分析】利用一元二次方程的解可得出281x x -=，将其代入24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø的化简结果中即可求出答案．【详解】解：∵x 是一元二次方程2810x x --=的实数根，∴281x x -=．24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø()()247137233x x x x x x +=+---+-¸()()2497343x x x x x +--=¸---()()2416343x x x x x +-=¸---()()()()444343x x x x x x +-+=¸---()()()()433444x x x x x x +-=×--+-()()144x x =--21816x x =-+1116=+17∴代数式24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø的值为117．【点睛】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简等知识，熟练掌握一元二次方程的解的定义和分式的运算法则是解题的关键．9．（2023春·湖南长沙·八年级统考期末）请阅读下列材料：问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x =，所以2y x =，把2y x =代入已知方程，得21022y y æö+-=ç÷èø；化简，得2240y y +-=；故所求方程为2240y y +-=．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：(1)已知方程2320x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；(2)已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a -+=¹有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．【答案】(1)2320y y --=(2)()200cy by a c -+=¹【分析】（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，将x y =-代入已知方程2320x x +-=，化简即可得到答案；（2）设所求方程的根为y ，则1y x=，将其代入已知方程，然后化为一般形式即可得到答案．【详解】（1）解：设所求方程的根为y ，则y x =-，x y \=-，把x y =-代入已知方程2320x x +-=，得()()2320y y -+´--=，化简得，2320y y --=，\这个一元二次方程为：2320y y --=；（2）解：设所求方程的根为y ，则1y x=，y 把1x y=代入已知方程()200ax bx c a -+=¹，得2110a b c y y æö-×+=ç÷èø，去分母得，20a by cy -+=，若0c =，则20ax bx -=，于是方程()200ax bx c a -+=¹有一根为0，不符合题意，0c \¹，\所求方程为：()200cy by a c -+=¹．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法．易错必考题三、换元法解一元二次方程10．（2023秋·全国·九年级专题练习）若整数x ，y 使()()22221212x y x y +---=-成立，则满足条件的x ，y 的值有（ ）A ．4对B ．6对C ．8对D ．无数对【答案】C【分析】先化简()()22221212x y x y +---=-可得()()22221212x y x y éùéù+--+=-ëûëû，设22x y a +=，则()()1212a a --=-；然后求得a 的值，最后列举出符合题意的x ，y 的整数值即可解答．【详解】解：由()()22221212x y x y éùéù+--+=-ëûëû，设22x y a +=，则()()1212a a --=-，∴23100a a --=，即()()520a a -+=，解得：5a =或2a =-（舍弃），∴225x y +=．∴满足条件的x ，y 的整数值有：12x y =ìí=î，12x y =-ìí=î，12x y =ìí=-î，12x y =-ìí=-î，21x y =ìí=î，21x y =ìí=-î，21x y =-ìí=î，21x y =-ìí=-î，共8对．故选C ．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、二元一次方程的解等知识点，掌握二元一次方程的解是解答本题的关键．11．（2023春·全国·八年级专题练习）用换元法解方程()()22212x x x x +++=时，如果设2x x y +=，那么原方程可变形为（ ）A ．2120y y ++=B ．2120y y --=C ．2120y y -+=D ．2120y y +-=【答案】D【分析】将原方程中的2x x +换成y ，再移项即可．【详解】解：根据题意，得212y y +=，即2120y y +-=；故选：D ．【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，实行等量代换．12．（2023秋·全国·九年级专题练习）如果关于x 的方程20ax bx c ++=的解是11x =，23x =，那么关于y 的方程()21a y by c b -++=的解是 ．【答案】12y =，24y =，【分析】根据关于x 的方程20ax bx c ++=的解是11x =，23x =，令关于y 的方程()()2110a y b y c -+-+=中1x y =-，即可得到112211y x y x -=ìí-=î，解这个方程组即可得到答案．【详解】解：∵()21a y by c b -++=,∴()()2110a y b y c -+-+=,Q 关于x 的方程20ax bx c ++=的解是11x =，23x =，令1x y =-，∴112211y x y x -=ìí-=î，∴1111y x -==或2213y x -==，解得12y =，24y =，故答案为：12y =，24y =．【点睛】本题考查换元法及一元二次方程解的定义，令关于y 的方程()()2110a y b y c -+-+=中1y x -=是解决问题的关键．13．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知方程210210x x -+=的根为13x =，27x =，则方程2(21)10(21)210x x ---+=的根是．【答案】12x =，24x =【分析】设21x t -=，可得210210t t -+=，根据210210x x -+=的根为13x =，27x =，可得213x -=或217x -=，即可得到答案；【详解】解：设21x t -=，可得210210t t -+=，∵210210x x -+=的根为13x =，27x =，∴213x -=或217x -=，解得：12x =，24x =，故答案为12x =，24x =；【点睛】本题考查换元法求方程的解，解题的关键是设21x t -=，得到210210t t -+=，结合方程210210x x -+=的根为13x =，27x =．14．（2022秋·全国·九年级专题练习）阅读下列材料：问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x =，所以2y x =，把2y x =，代入已知方程，得21022y y æö+-=ç÷èø．化简，得2240y y +-=，故所求方程为2240y y +-=这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：(1)已知方程2210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ；(2)已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=¹有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．【答案】(1)2210y y --=(2)20a by cy ++=()0c ¹【分析】（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，所以x y =-，代入原方程即可得；（2）设所求方程的根为y ，则1y x =()0x ¹，于是1x y =()0y ¹，代入方程20ax bx c ++=整理即可得．【详解】（1）解：设所求方程的根为y ，则y x =-，所以x y =-，把x y =-代入方程2210x x +-=，得：2210y y --=，故答案为：2210y y --=；（2）解：设所求方程的根为y ，则1y x =()0x ¹，于是1x y=()0y ¹，把1x y =代入方程()200ax bx c a ++=¹，得2110a b c y y æöæö++=ç÷ç÷èøèø，去分母，得20a by cy ++=，若0c =，有20ax bx +=，于是，方程20ax bx c ++=有一个根为0，不合题意，∴0c ¹，故所求方程为20a by cy ++=()0c ¹．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法．15．（2023秋·全国·九年级专题练习）阅读材料：为了解方程()22215140x x ---+=（），我们可以将21x -看作一个整体，设21x y -=，那么原方程可化为2540y y -+=①，解得121,4y y ==．当1y =，时，211x -=，∴22x =．∴2x =±；当4y =时，214x -=，∴25x =．∴5x =±．故原方程的解为12x =， 22x =-，35x =，45x =-．解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想；(2)请利用以上知识解方程：()()222540x x x x +-++=；(3)请利用以上知识解方程：42340x x --=．【答案】(1)换元；转化(2)123411711715152222,,,x x x x -+---+--====(3)122,2x x ==-【分析】（1）利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；（2）利用换元法解方程即可；（3）利用换元法解方程即可．【详解】（1）解：利用了换元法，体现了转化思想；故答案为：换元，转化；（2）设2x x y +=，原方程可变为2540y y -+=，则()()410y y --=，∴40y -=或10y -=，∴124,1y y ==，当4y =时，24x x +=，解得1172x -±=，当1y =时，21x x +=，解得152x -±=，∴原方程的解为123411711715152222,,,x x x x -+---+--====；（3）设2y x =，原方程可变为2340y y --=，解得124,1y y ==-，∵20x ³，∴24x =，解得122,2x x ==-．【点睛】本题考查解一元二次方程．解题的关键是理解并掌握换元法解方程．易错必考题四、配方法的应用16．（2023春·山东威海·八年级统考期末）用配方法解方程2610x x --=，若配方后结果为2()x m n -=，则n 的值为（ ）A ．10-B ．10C ．3-D ．9【答案】B【分析】利用配方法将方程2610x x --=配成2()x m n -=，然后求出n 的值即可．【详解】∵2610x x --=，∴261x x -=，∴26919x x -+=+，即2(3)10x -=， 10n \=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．17．（2023秋·全国·九年级专题练习）关于x 的一元二次方程新定义：若关于x 的一元二次方程：21()0a x m n -+=与22()0a x m n -+=，称为“同族二次方程”．如22(3)40x -+=与23(3)40x -+=就是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程：22(1)10x -+=与2(2)(4)80a x b x ++-+=是“同族二次方程”．那么代数式22015ax bx -++取的最大值是（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023【答案】A【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a 与b 的方程组，求出方程组的解得到a 与b 的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．【详解】解：∵22(3)40x -+=与23(3)40x -+=就是“同族二次方程”，∴22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x ++-+=+-+，即22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a ++-+=+-+++，∴2(2)438a b a -+=-ìí+=î解得510a b =ìí=-î∴22015ax bx -++＝25105201x x -+-＝25(1)2020x -++，则代数式22015ax bx -++能取的最大值是2020．故选：A ．【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．18．（2023秋·江苏·九年级专题练习）实数x 和y 满足2212521640x xy y y -+++=，则22x y -= ．【答案】384【分析】将已知等式左边第三项拆项后，重新结合利用完全平方公式变形后，利用两非负数之和为0，得到两非负数分别为0，求出x 与y 的值，代入所求式子中计算，即可求出值．【详解】解：∵()()()()222222212521641236161646420x xy y y x xy y y y x y y -+++=+++-+++-==，∴60x y +=且420y -=，解得：12y =，3x =-，则22139844x y ==--，故答案为：384．【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19．（2023秋·全国·九年级专题练习）设m 为整数，且420m <<，方程222(23)41480x m x m m --+-+=有两个不相等的整数根，则m 的值是 ．【答案】12【分析】将方程化为2(23)21x m m -+=+，根据m 为整数，且方程有两个不相等的整数根即可求解．【详解】解：222(23)(23)21x m x m m --+-=+，\[]2(23)21x m m --=+，\2(23)21x m m -+=+，Q 420m <<，92141m \<+<，\2(23)21x m m -+=±+，Q m 为整数，且方程有两个不相等的整数根，\当2125m +=时，符合题意，解得：12m =；故答案：12．【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，求参数的整数问题，掌握方法是解题的关键．20．（2023春·安徽池州·八年级统考期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：268a a ++． ②求2611x x ++的最小值．解：原式2691a a =++- 解：原式2692x x =+++2(3)1a =+- 2(3)2x =++．()()3131a a =+-++ 2(3)0x +³Q ，()()24a a =++ 2(3)22x \++³，即2611x ++的最小值为2．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：24a a ++_______________．(2)因式分解：21232a a -+．(3)求2443x x ++的最小值．【答案】(1)4(2)(4)(8)a a --(3)2【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半的平方进行配方即可；（2）将32化成364-，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解即可；（3）将式子进行配方，再利用平方的非负性即可求解．【详解】（1）解：∵()22442a a a ++=+，故答案为：4；（2）解：21232a a -+【答案】（1）8；（2）见解析；（3）252【分析】（1）利用配方法把22410x x ++变形为22(1)8x ++，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；（2）利用配方法得到22172()24x x x ++=++，则可判断220x x ++>，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x 取何实数，二次根式22x x ++都有意义；（3）利用三角形面积公式得到四边形ABCD 的面积12AC BD =××，由于10BD AC =-，则四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××-，利用配方法得到四边形ABCD 的面积2125(5)22AC =--+，然后根据非负数的性质解决问题．【详解】解：（1）()2224102210x x x x ++=++()2221110x x =++-+ 22(1)8x =++，Q 无论x 取何实数，都有22(1)0x +³，2(1)88x \++³，即223x x ++的最小值为8；故答案为：8；（2）22172()24x x x ++=++，21()02x +³Q ，220x x \++>，\无论x 取何实数，二次根式22x x ++都有意义；（3）AC BD ^Q ，\四边形ABCD 的面积12AC BD =××，10AC BD +=Q ，10BD AC \=-，\四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××- 2152AC AC =-+ 2125(5)22AC =--+21(5)02AC --£Q ，\当5AC =，四边形ABCD 的面积最大，最大值为252．【点睛】本题考查了配方法的应用：利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和，然后利用非负数的性质确定代数式的最值．易错必考题五、一元二次方程中的因式分解22．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()221340a x x a a -+++-=的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．4a =-或1B ．4a =-C ．1a =D ．0a =【答案】B【分析】根据一元二次方程的解的定义，把0x =代入()221340a x x a a -+++-=得2340a a +-=，再解关于a 的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a 的值．【详解】解：把0x =代入()221340a x x a a -+++-=，得2340a a +-=，解得1a =或4a =-，而10a -¹，所以a 的值为4-．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．23．（2023秋·全国·九年级专题练习）对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}max ,a b 表示a ，b 中的较大值，如：{}max 3,55=，因此，{}max 3,53--=-；按照这个规定，若{}2max ,35x x x x -=--，则x 的值是（ ）A ．5B ．5或16-C ．1-或16-D ．5或16+【答案】B【分析】根据题意进行分类讨论，当0x >时，可得2450x x --=，求出x 的值即可；当0x <时，可得2250x x --=求出x 的值即可．【详解】解：当0x >时，则0x x >>-，∴{}2max ,35x x x x x -==--，即2450x x --=，解得：125,1x x ==-（不符合题意，舍去），当0x <时，则0x x ->>，∴{}2max ,35x x x x x -=-=--，即2250x x --=，解得：116x =+（不符合题意，舍去），216x =-，综上：x 的值是5或16-，故选：B ．【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．24．（2022秋·全国·九年级专题练习）阅读下列解方程()2923x x -=-的过程，并解决相关问题．解：将方程左边分解因式，得()()()3323x x x +-=-，…第一步方程两边都除以()3x -，得32x +=，…第二步解得=1x -…第三步①第一步方程左边分解因式的方法是 ，解方程的过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ；②请直接写出方程的根为．【答案】 公式法 二 3x -可能为0 13x =，21x =-【分析】①根据公式法因式分解、等式的基本性质判断即可；②利用因式分解法求解即可．【详解】解：①第一步方程左边分解因式的方法是公式法，解方程的过程从第二步开始出现错误，错误的原因是：3x -可能为0，故答案为：公式法，二，3x -可能为0；②∵()2923x x -=-，∴()()()3323x x x +-=-，∴()()()33230x x x +---=，则()()310x x -+=，∴30x -=或10x +=，解得13x =，21x =-，故答案为：13x =，21x =-．【点睛】本题考查因式分解，解一元二次方程．运用平方差公式进行因式分解是解题的关键．25．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知：0a ¹且0b ¹，221003a b ab +-=，那么a b a b +-的值等于 ．【答案】2-或2【分析】先把已知条件化为2231030a ab b -+=，再利用因式分解法得到30a b -=或30a b -=，然后把3b a =或3a b =分别代入a b a b+-中计算即可．【详解】解：∵221003a b ab +-=，即2231030a ab b -+=，∴(3)(3)0a b a b --=，∴30a b -=或30a b -=，当30a b -=时，即33,23a b a a b a a b a a ++===---；当30a b -=时，即33,23a b b b a b b b a b ++=-==-，∴a b a b+-的值等于2-或2．故答案为：2-或2．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．26．（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）已知关于x 的一元二次方程2430x x k -+=有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程2(2)30m x x m -++-=与方程2430x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．【答案】(1)43k £(2)95m =【分析】（1）一元二次方程有实数根，则0D ³，由此即可求解；（2）根据（1）中k 的取值范围求出k 的值，由此可求出方程2430x x k -+=的解，把x 的值代入一元二次方程2(2)30m x x m -++-=即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：2(4)430k D =--´³，解得43k £，∴k 的取值范围43k £．（2）解：由（1）可知，43k £，∴k 的最大整数是1，∴方程2430x x k -+=可化为2430x x -+=，解得121,3x x ==，∵一元二次方程2(2)30m x x m -++-=与方程2430x x k -+=有一个相同的根，∴当1x =时，2130m m -++-=，解得2m =；当3x =时，(2)9330m m -´++-=，解得95m =，又20m -¹，∴95m =．【点睛】本题主要考查一元二次方程的知识，掌握一元一次方程的定义，有实根的计算方法，解一元二次方程的方法的知识是解题的关键．27．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为1x ，()212x x x >，且213x x +为整数，求整数m 所有可能的值．【答案】(1)见解析(2)4-或2-或0或2【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出10D =>，进而可证出方程有两个不相等的实数根；（2）解方程求出方程的两根为m ，1m +，得出11343111x m x m m ++==+++，然后利用有理数的整除性确定m 的整数值．【详解】（1）解：证明：Q 22[(21)]4()10m m m D =-+-´+=>，\无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）22(21)0x m x m m -+++=Q ，即()[(1)]0x m x m --+=，解得：x m =或1x m =+．\一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=的两根为m ，1m +，12x x >Q ，11x m \=+，\11343111x m x m m ++==+++，如果311m ++为整数，则4m =-或2-或0或2，\整数m 的所有可能的值为4-或2-或0或2．【点睛】本题考查了根的判别式、解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△0>时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用解方程求出m 的整数值．易错必考题六、根据一元二次方程根的情况求参数28．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）若关于x 的一元二次方程2160x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的值可以是（ ）A ．8B ．8-C ．4D ．10【答案】D【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，运用根的判别式进行解答即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2160x bx ++=，有两个不相等的实数根，∴22441160b ac m D =-=-´´>，∴264m >，∴8b >或8b <-，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹，若240b ac D =-＞，则原方程有两个不相等的实数根；若240b ac D =-=，则原方程有两个相等的实数根；若240b ac D =-＜，则原方程没有实数根．29．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）若关于x 的一元二次方程()22230k x x -++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（ ）A ．73k £B ．73k >C ．73k <且2k ¹D ．73k £且2k ¹【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 20k -¹且224(2)30,k D =--´>然后解两个不等式得到它们的公共部分即可；【详解】解：根据题意得 20k -¹ 且()2Δ24230k =--´>，解得 73k < 且 2k ¹，故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于k 的不等式是解此题 的关键30．（2023·辽宁阜新·校联考一模）若关于x 的方程29304kx x --=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）．A ．0k ¹B ．1k ³-且0k ¹C ．1k ³-D ．1k >-且0k ¹【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求出答案．【详解】解：由题意可知：当0k ¹时，990k D =+³，∴1k ³-，当0k =时，原方程是一元一次方程，有实数根，∴1k ³-故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ¹，，，为常数)的根的判别式24b ac D =-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0D >时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．31．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）已知关于x 的一元二次方程()()212204a x a x a --++=没有实数根，且a 满足25113a a -<ìí-£î，则a 的取值范围是（ ）A ．2a £-B ．23a<-C ．223a<-£-D ．233<a<-且2a ¹【答案】C【分析】由所给方程是一元二次方程可知20a -¹，由方程没有实数根可知Δ0<，再解不等组，找出交集即可．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程()()212204a x a x a --++=没有实数根，\()()212426404a a a a D =+--´=+<，20a -¹，\23a <-，2a ¹，Q a 满足25113a a -<ìí-£î，由251a -<得3a <，由13a -£得2a ³-，\23a -£<，\223a<-£-，故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式、解不等式组，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式，即Δ0<时，方程没有实数根；Δ0=时，方程有两个相等的实数根；0D >时，方程有两个不等的实数根．32．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）已知关于y 的一元二次方程2230ky y -+=有实根，则k 的取值范围是 ．【答案】13k £且0k ¹．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到0k ¹且△22120k =->，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：当0k ¹时，方程是一元二次方程，则△2(2)120k =--³有实数根，解得13k £且0k ¹．故答案为13k £且0k ¹．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和根与△=-24b ac 有如下关系：当△0>时，方程有两个不相等的实数根；当△0=时，方程有两个相等的实数根；当△0<时，方程无实数根．33．（2023春·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）已知关于x 的一元一次方程360x -=与一元二次方程20x bx c ++=有一个公共解，若关于x 的一元二次方程2(36)0x bx c x ++--=有两个相等的实数解，则b c +的值为．【答案】3-【分析】先解方程360x -=得2x =，再把2x =代入方程20x bx c ++=得420b c ++=，接着根据方程有两个相等的实数解，得到2(3)4(6)0b c D =--+=，然后通过解方程组求出b 、c ，从而得到b c +的值．【详解】解：解方程360x -=得2x =，Q 关于x 的一元一次方程360x -=与一元二次方程20x bx c ++=有一个公共解，2x \=为方程20x bx c ++=的解，420b c \++=，Q 关于x 的一元二次方程2(36)0x bx c x ++--=有两个相等的实数解，\2(3)4(6)0b c D =--+=，把24c b =--代入得2(3)4(246)0b b ----+=，解得121b b ==-，当1b =-时，242c =-=-，123b c \+=--=-．故答案为：3-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解与根的判别式关系：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹的根与24b ac D =-有如下关系：当0D >时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．34．（2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程()21210a x x --+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 ．【答案】2a <且1a ¹【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程2(1)210a x x --+=有两个不相等的实数根，\210Δ(2)4(1)0a a -¹ìí=--->î，解得：2a <且1a ¹．故答案为：2a <且1a ¹．【点睛】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a 的一元一次不等式组是解题的关键．35．（2023·辽宁抚顺·统考三模）若关于x 的方程2210kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的最大整数值是 ．【答案】1-【分析】根据方程2210kx x -+=有两个不相等的实数根，得到()20,240k k ¹--＞，确定符合题意的整数解即可．【详解】∵x 的方程2210kx x -+=有两个不相等的实数根，∴()20,240k k ¹--＞，∴0,1k k ¹＜，∵k 是整数，∴k 的最大整数值是1-，故答案为：1-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程满足的条件，解不等式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．36．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）已知关于x 的方程24m x mx x m -=-．(1)有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；(2)有两个相等的实数根，求m 的值，并求出此时方程的根；(3)有实根，求m 的最小整数值．【答案】(1)12m >-且0m ¹(2)12m =-，122x x ==-(3)0【分析】（1）分两种情况讨论：当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =；当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，根据方程根的情况可得2Δ40b ac =->，求解即可；（2）当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =；当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，根据方程根的情况可得2Δ40b ac =-=，求解即可；（3）当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =；当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，根据方程根的情况可得2Δ40b ac =-³，求解即可．【详解】（1）解：24m x mx x m -=-，移项合并同类项得：2(1)04m x m x m -++=，当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，由题意得：()22Δ41404m b ac m m éù=-=-+-´´>ëû，解得：12m >-；当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =，只有一个实数根，不符合题意；∴m 的取值范围是12m >-且0m ¹；（2）解：当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =，只有一个实数根，不符合题意；当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，由题意得：()22Δ41404m b ac m m éù=-=-+-´´=ëû，解得：12m =-，把12m =-代入24m x mx x m -=-得：21110822x x ---=，整理得：2440x x ++=，解得：122x x ==-；（3）解：当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =，有一个实数根，符合题意，当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，由题意得：()22Δ41404m b ac m m éù=-=-+-´´³ëû，解得：12m ³-，∴m 的最小整数值是0；【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握24Δb ac =-与一元二次方程根的情况是解题的关键．37．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）关于x 的一元二次方程2310kx x -+=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)是否存在k 的值，使k 为非负整数，且方程的两根均为有理数？若存在，请求出满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．。
解一元二次方程理解练习知识题
解一元二次方程练习题(配方法)1．用适当的数填空：①、x2+6x+ =（x+ ）2；②、x2－5x+ =（x－）2；③、x2+ x+ =（x+ ）2；④、x2－9x+ =（x－）22．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________．3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，•所以方程的根为_________．5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（）A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（）A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-17．把方程x+3=4x配方，得（）A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=28．用配方法解方程x2+4x=10的根为（）A．2±B．-2±C．-2+ D．2-9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（）A．总不小于2 B．总不小于7C．可为任何实数D．可能为负数10．用配方法解下列方程：1x2-x-4=0 （1）3x2-5x=2．（2）x2+8x=9 （3）x2+12x-15=0 （4）411.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。
一元二次方程解法练习题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1、0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()512=-x 4、()162812=-x二、 用配方法解下列一元二次方程。
1、.0662=--y y2、x x 4232=-3、9642=-x x4、0542=--x x5、01322=-+x x6、07232=-+x x7、01842=+--x x8、0222=-+n mx x9、()00222>=--m m mx x 三、用公式解法解下列方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
含字母系数一元二次方程复习题
1. 已知：关于x 的方程a x 2－(3a ＋1)x ＋2a ＋1=0(a 为常数)．
(1)若该有两个不相等的实数根，求a 的值；
(2)若该方程的两个实数根为x 1,x 2,并且满足x 2－x 1＝2．求a 的值
2.已知: 关于x 的方程0)2(2=+++-n m x n m mx ①.（n ≠0）
（1）求证: 方程①必有实数根;
（2）若2=+n m ，m 为正整数且方程①有两个不相等的整数根时，确定关于x 的二次函数
n m x n m mx y +++-=)2(2的解析式；
3.关于x 的方程()01)2(12
=--+-x m x m （m 为实数） （1）若方程有实数根，求m 的取值范围；
（2）求证：无论m 取何值，方程()01)2(12
=--+-x m x m 总有一个固定的根，并把这个根求出来；
4.已知关于x 的方程01442=++-k kx kx
（1）当方程有两个实数根时，求k 的取值范围
（2）如果1x ，2x 是方程的两个实数根，要使
21
221-+x x x x 的值为整数时，求整数k 的值.
答案
1.（1）a 1-≠且a 0≠
（2）()4221212=-=-x x x x 可得由 所以()44212
12=-+x x x x 求出a =1或a =3
1-
2.(1)当m=0时，x=1
当m ≠0时，Δ=02≥n
所以方程①必有实数根
（2）方程可解得 1,221==x m
x 要想方程为整数根，m 只能等于1或2 由于方程有两个不相等的整数根m=2舍 所以m=1
3.(1)当m=1,1-=x
当m ≠1, Δ=0m 2
≥
m 为全体实数
（2）当m=1,1-=x 当m ≠1 ，解得1,1
121-=-=
x m x 所以方程必有一根为1-=x
4.（1）方程有两个实数根 所以k ≠0, Δ= - 16k ≥0 解得k ＜0
(2)由根与系数关系可得
1
421221+-=-+k x x x x 要想为整数k 只能取-2，-3，-5。