第11讲 幂函数(讲义)

第11讲 幂函数（讲义）1.10.0 幂指对函数的算术背景让我们从乘方运算谈起，设变量r q p ,,满足等式r p q =（例如8,2,3===r q p ），则称“r 是p 的q 次方”. 若其中一个变量的值确定，则另外两个变量之间可能具有函数关系. 所谓“可能具有”，是指某些情况下一个变量的值不足以唯一确定另外一个值，例如当确定变量2=q 时，变量p 的值可以唯一确定变量r 的值，因此r 是p 的函数，即2p r =；但是反过来，变量r 的值不足以唯一确定p 的值. 在后一种情况下，我们可以通过引入某种“单值化”条件来保证函数关系成立，例如，引入算术平方根的概念（也就是要求变量p 只能取非负值），就可以使p 是r 的函数，即r p =.现在，我们设三个变量中已确定具体值的为a ，另外两个分别称为y x ,，则这样的表达式总共有6种形式：①y a x =，②x a y =，③y x a =，④x y a =，⑤a x y =，⑥a y x =. 我们认为其中三种是重要的（①②③），因此为它们赋予专门的名称并加以研究：（A ）幂函数：R a x y a ∈=,①；（B ）指数函数：R a a y x ∈=,；（C ）对数函数：*∈=R a x a y ,②；你可能会好奇另外三种为什么会被认为是不重要的？简单的代数变形可以帮我们看清楚上述选择的理由：④a a xy x y 1=⇒=与③本质上是一样的，⑤y y a x a x 1=⇒=与②本质上是一样的，⑥x x a y a y 1=⇒=本质上是一样的.补充：有理指数的乘方运算初中阶段我们已经学习过正整数指数的乘方运算，并给出了最重要的运算规则：()*+∈∈=⋅N n m R a a a a n m n m ,,下面我们将看到，如果保留这条基本性质并假设它对于指数不是正整数的情况也成立，就可以顺利地导出指数为任意有理数情况的意义.（1）整数指数考虑到n n n a a a a ==⋅+00，因此应该定义10=a ，同时保证除法运算n n n n a a aa ==-0的有效性，约定()010≠=a a . 接着，由于10==⋅-a a a n n ，定义()01≠=-a a a nn . 例如，① 不过在中学阶段，我们实际上只研究有理指数即Q a ∈的情况. 在各种场合下，如果没有特别加以说明，我们总是对Q a ∈的情况进行具体研究（并不加论证地假设研究结果可以推广到R a ∈的情况）. ② 关于每一种函数对a 的取值范围以及定义域的要求，我们会在后继内容中详细讨论.()441121121,4917172222===⎪⎭⎫ ⎝⎛==--. （2）分数指数 最容易理解的分数指数当属开方运算：()a a a a a =⇒==⋅1212221，实际上平方后得a 的数通常是两个符号相反的实数，我们约定只考虑其中非负的那个（即算术平方根），就使得1a 具有唯一的意义. 类似地，a N n 1,*∈∀具了唯一的意义. 而()m nn m a a 1=也随之具有了唯一确定的含义. 例如，()()23834834333122216,12525252883======⋅，，()91313332722-23-32-332-=====⋅.*（3）实数指数：以23为例. 我们对实数2的认识是：存在一族闭区间[][][][] 415.1414.142.1,41.15.1,4.12,1，，，，使得2始终位于这个闭区间内，且这族闭区间的“长度”（即闭区间两端点所对应实数的距离）可以小于任意给定的正数，因为它们每次比原先缩小10倍，因此一定能够变到足够小③. 在此基础上我们可以理解23是一个什么样的实数，即考虑闭区间族[]213,3，[]5.14.13,3，[] ，5.141.13,3，由于每个端点所代表的实数是唯一确定的，因此它们自身也是确定的，并且确实将23包含于其中；此外，由于指数之间的差距可以充分小，因此闭区间的长度也随之而变得充分小，由此可知它们最终必将唯一确定某一实数，即23④.利用上述思想我们可以知道，任意实数指数的乘方运算是有明确意义的，它可以唯一确定一个实数. 当然，大多数情况下，我们可以借助计算器来完成这一工作.1.11.1 幂函数的定义与基本性质我们称形如()R a x y a∈=的函数为幂函数. 但是在这个约定中，我们还没有说明函数的定义域，因此这个“定义”还不够完整. 在下面的讨论，我们将针对a 的不同取值情况来加以考察.例1、画图象找规律（1）在同一坐标系内画出函数32x y x y x y ===、、的图象；（2）将函数5.25.1x y x y ==、的图象添加到该坐标系中；③这里我们实际上使用了实数的“阿基米德公理”：b an N n R b a >∈∃∈∀*+,,,. ④ 我们所使用的想法可以概括为：一族长度趋近于0的闭区间套唯一确定了一个实数，它是实数理论中一个具有基础性地位的定理.（3）将函数11x y x y ==、的图象添加到该坐标系中；接着观察图象，看看能发现哪些规律？将你的发现归纳出来. 解答：右图中包含12132x y x y x y x y x y =====、、、、的图象；（1）定义域：图中所有函数的定义域都包含()∞+，0，或者说，包含()∞+，0是一个必要条件；（2）在区间()∞+，0上各函数的值域是()∞+，0；（3）在5.1x y =的图象时，需保证它始终位于函数x y =与2x y =的图象之间，类似地，5.2x y =始终介于2x y =与3x y =之间；（4）()0>=a x y a 在()∞+，0上是增函数；（5）()02>=x x y 与21x y =关于x y =轴对称，()03>=x x y 与31x y =关于x y =轴对称；猜测更一般地，在()+∞,0上，()0>=a x y a 与()01>=a x y a 关于x y =轴对称； 例2、画图象研究性质：32xy =. 分析：由()122x x y ==可知它是偶函数，考虑到()23132x x y ==，列表描点时不妨代入一些可以开立方的x 值。

如 82,375.35.1,11,512.08.0,125.05.033333=====解答：（1）定义域为R ，值域为[)+∞,0；（2）在区间()0,∞-上是减函数，区间()+∞,0上是增函数；（3）()0,0点的“奇异”之处——以前在哪里见过？从直观上看，考虑函数图象位于y 轴右侧部分上的某点00>x 处的切线，它沿着函数图象向原点移动，会逐渐“竖起来”，因而其斜率趋近于很大的正数；另一方面，位于y 轴左侧部分上的某点01<x 处的切线沿着函数图象向原点移动时，其斜率趋近于绝对值很大的负数. 这时麻烦来了，原点处的切线斜率究竟应该是多少？ 我们来求函数32x y =的导函数：根据232x y y y x y =⋅⋅⇒=，等式两边同时对x 求导，左边()()y y y y y y y y y y y '='⋅+⋅'='⋅⋅232，右边()x x 22='，得到x y y 232='，于是()31313423232323232-===='='x x x x y x x y . 结果也是一个单项式，其中常系数恰好是原来的指数，指数则是原来的指数减1，与正整数指数的情况是一致的.画出导函数的图象，可以看到它的形状与反比例函数有类似之处，在0=x 处没有定义，或者说这一点处是“不连续的”. 也许你还能记得，我们在研究绝对值函数()x x f =时也遇到过这样的情况：导函数在某一点处不连续，从图象上，函数图象在这一点处显得“不光滑”.在刚才的求导计算中我们实际上已经遇到了()0<=a x y a 的情况，现在我们就来重点研究它们.例3、画图象找规律：在同一坐标系内画函数2121---====x y x y x y x y 、、、的图象.解答：函数图象如右图（你能分辨出对应关系吗？⑤）观察结果归纳如下：（1）图中所有函数的定义域都包含()∞+，0；（2）在区间()∞+，0上各函数的值域是()∞+，0；（3）()0<=a x y a在()∞+，0上是减函数； （4）()02>=-x x y 与21-=x y 关于x y =轴对称，()01>=-x x y 以x y =为对称轴；猜测更一般地，在()+∞,0上，()0>=a x y a 与()01>=a x y 关于x y =轴对称；将前述结果汇总起来，我们对于函数()R a x y a∈=可以有较为一般的认识： （1）定义域：一般只研究()+∞,0，对于某些在()0,∞-上有定义的幂函数，可以借助奇偶性来理解，不需要专门研究；（2）值域：在定义域()∞+，0上，函数()R a x y a∈=的值域是()∞+，0； （3）单调性：当0<a 时，在()∞+，0上减；当0>a 时，在()∞+，0上增； （4）两个幂函数之间的关系：在()+∞,0上，a x y =与a x y 1=关于x y =轴对称⑥.⑤提示：可以从奇偶性、轴对称性质以及在特定点取值的大小关系等方面来考察. ⑥ 这实际上意味着二者互为反函数.（5）一件显然但未必不重要的事情是：所有()R a x y a ∈=的图象必过()1,1点.下面，我们应用幂函数的单调性质来建立一些不等关系.例4、根据函数单调性质比大小（1）5.17和5.18；（2）322-和()3222-+a ；（3）4.131.0和4.135.0；（4）5.3-2和5.3-3；解答：（1）5.17＜5.18，因为()5.1x x f =在()+∞,0上是增函数，所以()()8787f f <⇒<； （2）322-≥()3222-+a ，()32-=x x f 在()+∞,0上是减函数；（3）4.131.0＜4.135.0，()4.1x x f =在()+∞,0上是增函数； （4）5.3-2＞5.3-3，()5.3-=x x f 在()+∞,0上是减函数.1.11.2 一种新性质：凸性观察函数2x y =与1x y =的图象，它们在()+∞,0上都是增函数，并且增长方式都不是线性的. 但是仅就直观而言，这两种“非线性”也是有显著差异的. 那么，如何用一种更精确的方式刻划这种差异呢？我们在函数图象上任选两点，连接它们形成一条线段，考察这条线段与函数图象的相对位置关系：对于2x y =，函数图象总是位于线段的下方，或者说图象“向下凸出”，而对于1xy =，函数图象总是位于线段的上方，或者说图象“向上凸出”.现在，我们可以尝试用代数语言来刻划它们各自的特征. 设()()222111,,y x M y x M 、为函数()x f 图象上两点，线段21M M 所对应的函数为()[]21,,x x x x g y ∈=；则当()()x g x f ≥时，称函数()x f 在区间[]21,x x 上向上凸，当()()x g x f ≤时，称函数()x f 在区间[]21,x x 上向下凸.例5、试说明：若函数()x f 1与()x f 2在[]b a ,上具有相同的凸性，则函数()()()x f x f x f 21+= 在此区间上也有相同的凸性.解答：以向上凸为例说明，设连接区间端点的线性函数为()[]b a x x g y ,,∈=，根据上述代数表示可以知道，()x f 1向上凸意味着()()x g x f ≥1，()x f 2向上凸意味着()()x g x f ≥2，从而有()()()x g x f x f 221≥+. 即()()()x f x f x f 21+=在区间上也向上凸. 下凸情况同理.例6、验证函数21x y =的凸性.分析：从图象上看，它在()+∞,0上是向上凸的，我们不妨取其中一段来看. 设m n <<0，则21x y =在[]n m ,上也是向上凸的，取图象上两点()n n N ,和()m m M ,，以中点为例加以检验，MN 中点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,2n m n m ，而该横坐标所对应的函数值为2n m +，根据凸性关系可知应该有22n m n m +>+. 将两边平方得到2n m +和42mn n m ++，由mn n m 2>+（这又是为什么？）可知左边确实比右边大. 点评：若换为具体数值，我们可以快速判断出诸如2.323.31.3<+之类的不等关系. 也许你觉得这本来也不难，那么将21x y =换成1x y =，那么333.31.3+与32.32哪个大，恐怕就不那么显然了吧？事实上，函数的凸性常常是我们建立一些较困难的不等关系的重要武器.1.11.3 幂函数的导数我们的目标是：对于任意有理指数a ，能够对函数()0>=x x y a 求导. 现有结果包括：()()0,010≠='='x x ，()*-∈='N a ax x a a ,1. 让我们借助已有的求导规律，探索推广之路.思路1、推导()*∈'N a x a ,1. 设a x y 1=，则x y a=，两边同时对x 求导，即可得到y '的表达式. 现在的问题是，如何对()*∈N a y a 求导？还记得我们在例2中曾得到()y y y '⋅='233吗？将这个结果用数学归纳法推广即可.思路2、推广至正有理指数. 刚才我们已经解决了()*∈'N a xa ,1的问题，而正有理数实际上就是()*∈'Nb a x a b ,,，即，设a x y 1=，求()'b y . 当然，你也可以设*∈=N q p x y q p ,，，接着变形为p q x y =，再将两边同时对x 求导.思路3、最后我们来看负有理指数的情况，即()*∈-'Q a x a ,，设*-∈-=Q a x y a ，，则()()21y y y x a'='='，注意到*-∈-=Q a x y a ，（即正有理指数）的求导是一个已解决问题.具体推导过程请大家在作业中完成，这里可以确定的是，对于任意有理指数a ，函数a x y =的导数都是1-='a ax y ，无疑，这是一个意料之中的优美结果.。