新教材高中数学4.2.1随机变量及其与事件联系4.2.2离散型随机变量的分布列课后提升训练含解析人教B版必修二

4.2 随机变量
4.2.1 随机变量及其与事件的联系 4.2.2 离散型随机变量的分布列
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X ;
②某人射击2次,击中目标的环数之和记为X ; ③测量一批电阻,阻值在950 Ω~1 200 Ω之间;
④一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为X.
其中是离散型随机变量的是( )
A.①
B.②
C.③
D.④
中变量X 所有可能取值是可以一一列举出来的,是离散型随机变量,而③④中的结果不能一一列出,故不是离散型随机变量.故选AB .
2.(2019天津高二期中)同时抛掷3个硬币,正面向上的个数是随机变量,这个随机变量的所有可能取值为( ) A.3 B.4 C.1,2,3 D.0,1,2,3
3个硬币,正面向上的个数可能取值为0,1,2,3.故选D .
3.设随机变量ξ等可能取值1,2,3,…,n ,如果P (ξ<4)=0.3,那么( ) A.n=3 B.n=4 C.n=10
D.n=9
ξ<4知ξ=1,2,3,所以P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)=0.3=3
n
,解得n=10.故选C .
4.(2020山东潍坊检测)随机变量X 的概率分布规律为P (X=n )=n
n (n +1)(n=1,2,3,4),其中a 为常数,则P 1
2
<X<5
2的值为( ) A.2
3
B.3
4
C.4
5
D.5
6
解析根据题意,由于P (X=n )=n n (n +1),那么可知,n=1,2,3,4时,则可得概率和为1,即n 2+
n 6
+n
12+
n
20
=1,解得a=54.∴P 12<X<52=P (X=1)+P (X=2)=54×12+54×16=5
6.故选D .
5.一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时总共拨的次数为ξ,则随机变量ξ的所有可能取值的种数为 .
,且都大于5,因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列,故有A 44=24种.
6.一批产品分为四级,其中一级产品是二级产品的两倍,三级产品是二级产品的一半,四级产品与三级产品相等,从这批产品中随机抽取一个检验质量,设其级别为随机变量ξ,则
P (ξ>1)= .
,P (ξ=1)=2P (ξ=2),P (ξ=3)=1
2P (ξ=2),P (ξ=3)=P (ξ=4),
由分布列性质得P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)+P (ξ=4)=1, 则4P (ξ=2)=1,即P (ξ=2)=1
4,P (ξ=3)=P (ξ=4)=1
8. 所以P (ξ>1)=P (ξ=2)+P (ξ=3)+P (ξ=4)=1
2.
能力提升练
1.(2020天津月考)袋中有3个白球、5个黑球,从中任取2个,可以作为离散型随机变量的是( ) A.至少取到1个白球
B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数
D.取到的球的个数
C 是离散型随机变量,其可以一一列出,其中随机变量X 的取值为0,1,2,故选C .
2.(多选)下列问题中的随机变量服从两点分布的是( ) A.抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量X B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量X
C.从装有5个红球,3个白球的袋中取1个球,令随机变量X={1,取出白球,
0,取出红球
D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X
中随机变量X 的取值有6个,不服从两点分布,故选BCD .
3.设随机变量X 的概率分布如下表所示,则P (|X-3|=1)=( )
A.7
12
B.1
6
C.1
4
D.5
12
1-1
3−1
4−1
6=1
4,P (|X-3|=1)=P (2)+P (4)=1
4+1
6=5
12.故选D .
4.(2019青海高二月考)离散型随机变量X 的分布列中的部分数据丢失,丢失数据以x ,y (x ,y ∈N )代替,分布列如下:
则P
3
2
<X<11
3等于( ) A.0.25
B.0.35
C.0.45
D.0.55
,随机变量的所有取值的概率和为1,因此0.1x+0.05+0.1+0.01y=0.4,
即10x+y=25,由x ,y 是0~9间的自然数可解得x=2,y=5,故P 3
2
<X<11
3=P (X=2)+P (X=3)=0.35.故
选B .
5.若P (ξ≤n )=1-a ,P (ξ≥m )=1-b ,其中m<n ,则P (m ≤ξ≤n )等于 .
(m ≤ξ≤n )=1-P (ξ>n )-P (ξ<m )=1-[1-(1-a )]-[1-(1-b )]=1-(a+b ).
-(a+b )
6.(2020浙江高三专题练习)设随机变量X 的分布列为P (X=i )=n
2n (i=1,2,3),则
P (X ≥2)= .
X 的分布列P (X=i )=n 2n (i=1,2,3),所以P (X=1)+P (X=2)+P (X=3)=n 2+
n 2
2
+
n 23
=
7
8
k=1,解得k=8
7, 因此P (X ≥2)=P (X=2)+P (X=3)=3
8
k=3
7.
7.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为1
7,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止所需要的取球次数. (1)求袋中所有的白球的个数; (2)求随机变量ξ的分布列; (3)求甲取到白球的概率.
设袋中原有n 个白球,由题意知1
7
=
C n 2C 7
2=
n (n -1)
2
7×62
=
n (n -1)7×6
,即n 2
-n-6=0.
解得n=3或n=-2(舍去),即袋中原有3个白球. (2)由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
P (ξ=1)=37,P (ξ=2)=4×37×6=27,P (ξ=3)=4×3×37×6×5=635,P (ξ=4)=4×3×2×37×6×5×4=335,P (ξ=5)=4×3×2×1×37×6×5×4×3=1
35.
所以ξ的分布列为
(3)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球,记“甲取到白球”为事件A ,则P (A )=P (ξ=1)+P (ξ=3)+P (ξ=5)=22
35.
素养培优练
1.(2020北京月考)抛掷两枚骰子一次,ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差,则ξ的所有可能的取值为( ) A.0≤ξ≤5,ξ∈N B.-5≤ξ≤0,ξ∈Z C.1≤ξ≤6,ξ∈N D.-5≤ξ≤5,ξ∈Z
1,第二枚的最大值为6,差为-5.第一枚的最大值为6,第二枚的最小值为1,差为5.故ξ的取值范围是-5≤ξ≤5,故选D .
2.已知随机变量ξ的分布列为
分别求出随机变量η1=1
2ξ,η2=ξ2
的分布列.
η1=12
ξ知,对于ξ取不同的值-2,-1,0,1,2,3时,η1的值分别为-1,-12
,0,12
,1,3
2
.
所以η1的分布列为
由η2=ξ2
知,对于ξ的不同取值-2,2与-1,1,η2分别取相同的值4与1,则P (η2=4)=P (ξ=-2)+P (ξ=2)=1
4,P (η2=1)=P (ξ=-1)+P (ξ=1)=1
3.
所以η2的分布列为。