2.2三角形中的几何计算课件

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5_2.2三角形中的几何计算

2. △ABC的周长是20,面积是 10 3 ,
A=600,则BC的长度是(
A.5 B.6 C.7
)
D.8
3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所 a b 的取值范围是对的边,则 . c
4.在△ABC中,AB=2,BC=3,AC= 则△ABC外接圆的半径R=
7 ,
.
5.在△ABC中,求证:
2 2 2
2 R sin A 2 R sin B sin A sin B
2.三角形的面积公式 ① S 1 底高
1 1 1 ② S ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
2
③ S
pr
1 [其中p= (a b c ), r为内切圆半径] 2
2.在△ABC中,已知面积 S
则角C=______ 6
2
4 3
3.锐角△ABC中,B=2A,则b/a的取值范围是( A ) A.(-2,2)
C.( 2 ,2)
B.(0,2)
D.( 2, 3 )
4.若三角形中有一角为600,夹这个角的两边的边长分别是8和5,则它的内切圆 7 3 . 及外接圆半径分别等于 3和
3
三角形的综合问题 1.在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c,
a b sin( A B ) 证明: 2 c sin C
2 2
注：和差化积
2.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.
答案： 3 8
3.(09湖北)在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且 3a 2c sin A
abc ④ S 4R

2.2三角形中的几何计算课件(2013-2014年北师大版必修五)

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题型三
三角形中的综合问题
【例3】(本题满分 12 分)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别 3 为 a，b，c，设 S 为△ABC 的面积，满足 S＝ (a2＋b2－c2)． 4 (1)求角C的大小； (2)求sin A＋sin B的最大值．审题指导本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等基础知识，同时考查了三角运算求解能力．
π C.A，B，C≠ 2
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题型一
计算三角形的面积
B，且其对边分别为 a，【例1】已知角 A， C 为△ABC 的三个内角， 1 b，c，若 cos Bcos C－sin Bsin C＝ . 2 (1)求角 A； (2)若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC 的面积．
由 sin 2A＝sin 2B 得到 2A＝2B，而忘证了 2A＝π －2B，造成错选 A；由 sin 2A＝sin 2B 得 2A＝2B 或 2A＝π π －2B，即 A＝B 或 A＋B＝，但看成了等腰直角三角形，错 2 选 B.前者是正弦函数值相等两角关系不清；后者是对“或” 的理解不深入或读题不认真．
3 1 ＝sin A＋ cos A＋ sin A 2 2 ＝
π 3sinA＋ ≤ 6 2π 30<A< (9 3
分)
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π 当 A＝时，即△ABC 为等边三角形时取等号(11 分) 3 所以 sin A＋sin B 的最大值为 3.(12 分)
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2 2 2 1 × ＋ 3 2 3
题型二计算线段的长度
【例2】如图，在△ABC中，已知， B＝45°，D是BC边上的一点， AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB 的长． [思路探索] 解答本题可先由余弦定理求cos C，然后由同角三角关系求出sin C，最后由正弦定理求出AB的长．

三角形的周长和面积计算

三角形的周长和面积计算三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，每两条线段之间形成一个角。

计算三角形的周长和面积是我们在解决几何问题中常遇到的需求。

本文将介绍如何计算三角形的周长和面积，以及一些相关的知识和公式。

1. 三角形的周长三角形的周长指的是三角形三条边的长度之和。

假设三角形的三边长度为a、b、c，那么三角形的周长公式为：周长 = a + b + c2. 三角形的面积2.1 海伦公式海伦公式是一种计算三角形面积的常用公式，适用于所有三角形。

假设三角形的三边长度为a、b、c，那么三角形的面积公式为：面积= √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中s为三角形周长的一半，即s = (a + b + c) / 2。

2.2 直角三角形的面积直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

直角三角形的面积可以通过两条直角边的长度计算得到，公式如下：面积 = (直角边1 ×直角边2) / 22.3 等边三角形的面积等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。

等边三角形的面积可以通过边长计算得到，公式如下：面积 = (边长 ×边长× √3) / 43. 例题解析例题1：已知三角形的三边长度分别为3cm、4cm、5cm，求其周长和面积。

解析：周长 = 3cm + 4cm + 5cm = 12cms = (3cm + 4cm + 5cm) / 2 = 6cm面积= √(6cm × (6cm - 3cm) × (6cm - 4cm) × (6cm - 5cm)) = √(6cm × 3cm × 2cm × 1cm) = √(36cm^2) = 6cm^2例题2：已知直角三角形的两条直角边分别为6cm和8cm，求其周长和面积。

解析：周长= 6cm + 8cm + √(6cm^2 + 8cm^2) = 6cm + 8cm + 10cm = 24cm 面积 = (6cm × 8cm) / 2 = 24cm^2例题3：已知等边三角形的边长为9cm，求其周长和面积。

北师大版必修5高中数学2.2三角形中的几何计算(1)导学案

高中数学 2.2三角形中的几何计算（1）导学案北师大版必修5【学习目标】 1、能够运用正弦定理、余弦定理解斜三角形。

2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

【学习重点】 1、正弦定理与余弦定理及其综合应用 2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

[A] 2 请同学们写出余弦定理及其变形形式。

（一）学习探究探究一 [A] 在ABC ∆中，已知14b =，30A =，120B =，求a 及ABC ∆的面积S 。

（温馨提示：先由正弦定理求出a ，再结合三角形内角和定理及三角形面积定理求出ABC ∆的面积S ）个性笔记探究三[C] 在ABC ∆中，三边长为连续整数，最大角是最小角的两倍，求ABC ∆的三边a 、b 、c 。

（其中a b c <<）（温馨提示：,1,2,,a n b n c n n N +==+=+∈再由已知条件结合正余弦定理求出三边。

）（二）当堂检测[ A ]1.边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）（A ）90 （B ）120 （C ）135 （D ）150[ B ]2．在△ABC 中，AB=4，AC=8，BC 边上的中线AD=3，则BC 的长是（）（A ）213 （B ）231 （C ）231+ （D ）213+[ B ]3.设△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且1cos 3A =,,5,sin C=4B b π==则，ABC ∆的面积S = 。

[ B ]4.在△ABC 中，2545,10,cosC=.5B AC ==（1）求边BC 的长.（2）记AB 的中点为D ,求中线CD 长.教与学的反思。

§2 三角形中的几何计算

(10 分) (12 分)
栏目，c 间的关系，再利用余弦定理，是本题关键．
栏目导引
第二章解三角形
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．( √ ) (2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．( × ) (3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．( × )
栏目导引
第二章解三角形
在△ABC 中，若 a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC 的面积等于
栏目导引
第二章解三角形
(2)由 S△ABC＝12acsin B＝ 3，得 ac＝4. 又 b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16. 所以 a＋c＝2 5，所以△ABC 的周长为 4＋2 5.
栏目导引
第二章解三角形
解三角形综合问题的策略 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变形等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解． (2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变形等知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后要根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．
2.在△ABC 中，A，B，C 是三角形的三内角， a，b，c 是三内角对应的三边，已知 b2＋c2－a2＝bc.若 a＝ 13，且△ABC 的面积为 3 3，求 b＋c 的值．解：cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12，又 A 为三角形内角，所以 A＝π3.
栏目导引
第二章解三角形
＝
1－2

5
52＝

55，sin
A＝sin(B＋∠ACB)
＝sin Bcos ∠ACB＋cos Bsin ∠ACB

2.2《三角形中的几何计算》课件(北师大版必修5)

3 cosA=0, 2
∴sin(A-30°)=0, ∴A=30°. 答案：30°
三、解答题（每题8分，共16分） 7.在锐角三角形中，边a、b是方程x2-2 3 x+2=0的两根，角 A、B满足：2sin(A+B)- 3 =0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积.
【解析】由2sin(A+B)∵△ABC为锐角三角形, ∴A+B=120°,C=60°,
8
【解析】选C.c2＝a2+b2-2abcosC=9,c=3，B为最大角，
cosB=- 1 .
7
2.（2010·营口高二检测）已知△ABC中，AB= 3 ，AC=1，且
B=30°，则△ABC的周长等于(
（A）3+ 3 （B） 3 +1 （C）2+ 3 或 3 +1 （D）3+ 3 或2+ 3
)
【解析】选D.由余弦定理得，AC2=BC2+AB2-2AB·BCcosB，即12=BC2+(
2ab
又0°＜C＜180°，所以C＝45°.
二、填空题（每题4分，共8分）
5.在△ABC中,A=120°,a= 21 ,S△ABC= 3 ,则b=__________. 1 【解析】S= bcsin120°= 3 ,得bc=4 ①
2
又a2=b2+c2-2bccos120°=21，得b2+c2＝17
4
（2）求sin(2A+C)的值.
【解题提示】
【解析】（1）由余弦定理得， AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC =4+1-2×2×1× ∴AB= 2 .
3 =2, 4
9.（10分）半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝

【创新设计】2022-2021学年高二数学北师大版必修5学案：2.2 三角形中的几何计算

§2 三角形中的几何计算[学习目标] 1.会用正弦、余弦定理解决与三角形有关的几何计算问题.2.培育同学分析问题、独立解决问题的力量，并激发同学的探究精神．[学问链接]在下列各小题的空白处填上正确答案：(1)设等边三角形的边长为a ，则这个三角形的面积为． (2)梯形的四个内角中，两角和为180°的内角有对． (3)圆内接四边形的一组对角的和为．(4)设△ABC 三边的长分别为a ，b ，c ，△ABC 内切圆的半径为r ，则S △ABC ＝ . 答案 (1)34a 2 (2)2 (3)180° (4)12(a ＋b ＋c )r [预习导引]1．三角形的面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边 (1)若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2；(2)若cos A ＝cos B ，则A ＝B ； (3)若a 2>b 2＋c 2，则△ABC为钝角三角形；(4)若a 2＝b 2＋c 2，则△ABC 为直角三角形；(5)若a 2<b 2＋c 2且b 2<a 2＋c 2且c 2<a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形．要点一求平面几何图形中线段的长度例1 如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE .解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°，∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，得AE ＝2sin 30°cos 15°＝2×126＋24＝6－ 2.规律方法在平面几何中，求线段的长度往往归结为求三角形的边长，求三角形边长一般会涉及正弦、余弦定理及勾股定理，恰当地选择或构造三角形是解这类问题的关键．跟踪演练1 如图，在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．解在△ACD 中，由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋CD 2－AD 22AC ·CD ＝72＋32－522×7×3＝1114.∵C 为三角形的内角， ∴C ∈(0，π)， ∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－(1114)2＝5314.在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝7×5314sin 45°＝562.要点二实际问题向几何问题的转化例2 要测量对岸两点A 、B 之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离．解如图所示，在△ACD 中， ∠ACD ＝120°， ∠CAD ＝∠ADC ＝30°， ∴AC ＝CD ＝ 3 (km)．在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22 (km)．在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－23×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝ 5 (km)．答故A 、B 之间的距离为 5 km.规律方法解决实际生活问题就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把一个抽象、概括的问题建立数学模型．即把实际中的距离和角的大小问题转化为三角形中的几何元素，然后运用正弦、余弦定理加以解决．跟踪演练2 如图所示，为了测量正在海面匀速行驶的某轮船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观看点C 、D ，在某天10∶00观看到该轮船在A 处，此时测得∠ADC ＝30°，2分钟后该轮船行驶至B 处，此时测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，则该轮船的速度为多少千米/分钟？解在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝60°，∴∠BDC ＝90°. ∴△CDB 为等腰直角三角形， ∴BD ＝CD ＝1，在△ACD 中，由正弦定理得：AD sin (60°＋45°)＝1sin 45°.∴AD ＝3＋12，在△ABD 中，由余弦定理得，AB 2＝12＋(3＋12)2－2×3＋12×cos 60°＝32， ∴AB ＝62，则船速为64千米/分钟．要点三计算平面图形的面积例3 如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝θ，△BCD 是正三角形．(1)将四边形ABCD 的面积S 表示为θ的函数； (2)求S 的最大值及此时θ角的值．解 (1)△ABD 的面积S 1＝12×1×1×sin θ＝12sin θ，由于△BCD 是正三角形，则△BCD 的面积S 2＝34BD 2. 在△ABD 中，由余弦定理可知：BD 2＝12＋12－2×1×1×cos θ＝2－2cos θ，于是四边形ABCD 的面积S ＝12sin θ＋34(2－2cos θ)，∴S ＝32＋sin(θ－π3)，0＜θ＜π. (2)由S ＝32＋sin (θ－π3)及0＜θ＜π，得－π3＜θ－π3＜2π3.当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，S 取得最大值1＋32.规律方法最值问题是高考的重点之一，我们要能娴熟运用三角形基础学问，正弦、余弦定理，面积公式及三角函数公式协作，通过等价转化解答这类综合问题，并留意隐含条件的挖掘．跟踪演练3 已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求圆内接四边形ABCD 的面积．解连接BD ，则四边形的面积S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°， ∴sin A ＝sin C .∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )·sin A ＝16sin A .在△ABD 中，BD 2＝22＋42－2·2·4cos A ＝20－16cos A ，在△CDB 中，BD 2＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12.∴A ＝120°.∴S ＝16sin A ＝8 3.1．若平行四边形两邻边的长分别是3和6，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长分别是( ) A.3和 5 B ．23和2 5 C.3和15 D.5和15答案 C解析两条对角线的长分别为(3)2＋(6)2－2×3×6×cos 45°＝3和 (3)2＋(6)2－2×3×6×cos 135°＝15.2．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，假如2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b等于( ) A.1＋32B ．1＋ 3 C.2＋32D ．2＋ 3答案 B解析 ∵2b ＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝32，∴ac ＝6.∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac cos B －2ac . ∴b 2＝4b 2－63－12， ∴b 2＝23＋4，b ＝1＋ 3.3．已知AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，AC ＝1，AB ＝2，∠BAC ＝120°，求BD 的长．解如图，连接BC ，BC ＝22＋12－2×2×1×cos 120°＝7，在△ABC ，由正弦定理知：2sin ∠ACB ＝7sin 120°，∴sin ∠ACB ＝217.又∵∠ACD ＝90°， ∴cos ∠BCD ＝217，sin ∠BCD ＝277，由AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，∠BAC ＝120°得∠BDC ＝60°. 由正弦定理得，BD ＝BC ·sin ∠BCDsin 60°＝7×27732＝433.1.正弦定理、余弦定理主要用来解决三角形问题，有些平面几何问题通过转化变为解三角形问题，便需要用正弦定理、余弦定理解决．解决时抓住两点：①合理的运用题目中的三角形资源，②尽量将全部的条件集中到某个三角形之中，会使问题更简洁解决．2．我们常用正弦定理、余弦定理来解决三角形问题，但在实际解决问题过程中经常遇到四边形或多边形，这时需要通过适当的帮助线将多边形分割为多个三角形，从而将问题转化为三角形的问题来解决．一、基础达标1．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 答案 B解析设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求．2．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( )A.922B.924C.928D ．9 2答案 B解析设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13，∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924.3．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21 B.106 C.69 D.154 答案 B解析设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ，即72＝14a 2＋42－2×a2×4·cos ∠AMB ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC 即62＝42＋14a 2＋2×4×a2·cos ∠AMB ②①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a 2，∴a ＝106.4．如图，若圆内接四边形的边长依次为25,39,52和60，则这个圆的直径长度为．答案 65解析由余弦定理得BD 2＝392＋522－2×39×52cos C ， BD 2＝252＋602－2×25×60cos A ∵A ＋C ＝180°，∴cos C ＝－cos A ，∵(392－252)－(602－522)＋2×39×52cos A ＋2×25×60cos A ＝0，∴cos A ＝0.∵0°<A <180°，∴A ＝90°， ∵BD 2＝392＋522＝652，∴BD ＝65.5．平行四边形ABCD 中，AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°，则AD ＝ . 答案 4 3解析 BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos 45° ＝(43)2＋(46)2－2×43×46·cos 45°＝48. 从而AD ＝BC ＝4 3.6．在△ABC 中，∠ABC 的角平分线BD 交AC 边于点D .求证：BA BC ＝AD DC .证明如图所示，在△ABD 中，利用正弦定理，得AB AD ＝sin ∠ADBsin ∠ABD .①在△CBD 中，利用正弦定理，得BC CD ＝sin ∠BDCsin ∠DBC.②∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠CBD ，又∵∠ADB ＋∠CDB ＝180°， ∴sin ∠ADB ＝sin ∠CDB ，由①②，得AB AD ＝BC CD ，即BA BC ＝ADDC成立. 7．已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，求证：BC 边上的中线MA ＝122b 2＋2c 2－a 2.证明如图所示，BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，由余弦定理得 c 2＝MA 2＋⎝⎛⎭⎫a 22－2MA ·a 2·cos ∠AMB .在△ACM 中，由余弦定理得 b 2＝MA 2＋⎝⎛⎭⎫a 22－2MA ·a2·cos ∠AMC ， ∵cos ∠AMB ＋cos ∠AMC ＝0，以上两式相加，得b 2＋c 2＝2MA 2＋a 22.即MA 2＝12b 2＋12c 2－14a 2，∴MA ＝122b 2＋2c 2－a 2.二、力量提升8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为( ) A ．50 m B ．45 m C. 507 m D ．47 m答案 C解析依题意得OD ＝100 m ，CD ＝150 m ，连接OC ，易知∠ODC ＝180°－∠AOB ＝60°，因此由余弦定理有：OC 2＝OD 2＋CD 2－2OD ·CD cos ∠ODC ，即OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12，解得OC ＝507(m)．9．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 是BC 上的一点，且BD →＝3－12BC →，则AD 的长为( )A ．4(3－1)B ．4(3＋1)C ．4(3－3)D ．4(3＋3) 答案 C解析 ∵BD →＝3－12BC →，BC ＝8，∴BD ＝4(3－1)．又∵AB sin C ＝BC sin A ，∴AB sin 45°＝BC sin 75°，∴AB ＝sin 45°sin 75°×BC ＝226＋24×8＝8(3－1)．在△ABD 中，由余弦定理得 AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B＝[8(3－1)]2＋[4(3－1)]2－2×8(3－1)×4(3－1)×cos 60°＝48(3－1)2， ∴AD ＝4(3－3)．10．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为．答案27π5解析不妨设三角形三边为a ，b ，c 且a ＝6，b ＝c ＝12，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158. 由12(a ＋b ＋c )·r ＝12bc sin A 得r ＝3155. ∴S 内切圆＝πr 2＝27π5. 11．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC ＝60°，AC ＝7，AD ＝6，S △ACD ＝1532，求AB 的长．解在△ACD 中，S △ACD ＝12AC ·AD sin ∠CAD ，∴sin ∠CAD ＝2S △ACD AC ·AD ＝2×15327×6＝5314，∴sin ∠CAB ＝5314.在△ABC 中，BC ＝AC sin ∠BACsin 60°＝5.且cos ∠BAC ＝1－sin 2∠BAC ＝1114， ∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠CAB ＝25，即25＝AB 2＋49－11AB ，(AB －8)(AB －3)＝0， ∴AB ＝8或AB ＝3. 在△ABC 中，∵sin ∠BAC ＝5314<32＝sin 60°， ∴∠BAC <60°，∴∠ACB 最大，即AB 为最大边，故AB ＝3应舍去，∴AB ＝8.12．一条直线上有三点A ，B ，C ，点C 在点A 与点B 之间，P 是此直线外一点，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β.求证：sin (α＋β)PC ＝sin αPB ＋sin βP A .证明 ∵S △ABP ＝S △APC ＋S △BPC ， ∴12P A ·PB sin(α＋β) ＝12P A ·PC sin α＋12PB ·PC sin β. 两边同除以12P A ·PB ·PC ，得sin (α＋β)PC ＝sin αPB ＋sin βP A .三、探究与创新13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b ＝27，B ＝60°，a ＋c ＝10.(1)求sin(A ＋π6)；(2)若D 为△ABC 外接圆中弦AC 所对劣弧上的一点且2AD ＝DC ，求四边形ABCD 的面积．解 (1)由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝b sin B ＝473，∵a ＋c ＝10，∴sin A ＋sin C ＝5327.∵B ＝60°，∴C ＝120°－A ，∴sin A ＋sin(120°－A )＝sin A ＋sin 120°cos A －cos 120°sin A ＝5327，于是得sin(A ＋π6)＝5714.(2)∵A ，B ，C ，D 共圆，B ＝60°，∴D ＝120°. 在△ADC 中，由余弦定理可得 cos D ＝AD 2＋DC 2－b 22AD ·DC ＝－12，解之得AD ＝2，∴S △ACD ＝12AD ·CD ·sin 120°＝23，在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－2ac －b 22ac ＝12.解之得：ac ＝24.∴S △ABC ＝12ac sin 60°＝63，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝8 3.。

2.2三角形中的几何计算

2
ABC 为锐角三角形
A B 120 o C 60 o
例题讲解
边 a、 b是方程 x 2 2 3 x 2 0的两根
a b 2 3， ab 2
c 2 a 2 b 2 2ab cos C 2 a b） 3ab 12 6 6 c 6 （
(不合题意，舍去)
例题讲解
例3 锐角三角形中，边 a 、b 是方程x 2 3 x 2 0
2
的两根，角 A 、 B 满足 2 sin A B ） 3 0，求角 C （
的度数，边 c 的长度及 ABC 的面积.
解： 2 sin A B ） 3 0， sin A B ） 3 （（
S ABC 1 1 3 3 ab sin C 2 2 2 2 2
45°
A
BC 2 AB 2 AC 2 2 AB AC cos A
C
D
即 x 2 ( 4 2 ) 2 (17 2 x ) 2 2 4 2 (17 2 x ) cos 45
解得
所以
x1＝5 ( dm ),
23 3
x 2＝
37 3
( dm )
AC＝17－2 x 7 ( dm ), 或 AC＝－ ( dm )
2.2三角形中的几何计算
复习回顾
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
余弦定理： 2 2 2 a =b +c －2bccosA
b2= a2+c2－2accosB
c2 =a2+ b2－2abcosC
复习回顾
正弦定理： sin A sin B sin C 2 R （其中：R为△ABC的外接圆半径）三角形面积公式：

数学三角形的边长和角度计算

数学三角形的边长和角度计算在数学中，三角形是研究三边和三角的关系的基本形状之一。

在几何学和应用数学中，计算三角形的边长和角度是非常常见和重要的任务。

本文将介绍如何计算三角形的边长和角度，以及相关的公式和方法。

1. 三角形中的基本概念在开始计算三角形的边长和角度之前，我们首先需要了解三角形的基本概念。

三角形由三条边和三个角组成。

根据边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。

根据角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

2. 边长计算计算三角形边长的方法主要有两种：余弦定理和正弦定理。

2.1 余弦定理余弦定理用于计算任意三角形的边长。

设三角形的边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则余弦定理可表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中，C为角C的角度。

2.2 正弦定理正弦定理也适用于计算任意三角形的边长。

设三角形的边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则正弦定理可表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC以上两个公式可以根据实际问题来选择使用。

3. 角度计算计算三角形的角度通常使用正弦函数、余弦函数和正切函数。

3.1 正弦函数正弦函数可用于计算三角形的角度。

设三角形的边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则正弦函数可表示为：sinA = a/csinB = b/csinC = a/b3.2 余弦函数余弦函数也可以用于计算三角形的角度。

设三角形的边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则余弦函数可表示为：cosA = b/ccosB = a/ccosC = a/b3.3 正切函数正切函数适用于计算三角形的角度。

设三角形的边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则正切函数可表示为：tanA = a/btanB = b/atanC = c/a4. 示例问题为了更好地理解边长和角度的计算方法，我们来解决一个示例问题。

2.2三角形中的几何计算.doc

2。

2三角形中的几何计算教学目的：1. 能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。

2. 通过对全章知识的总结提高，帮助学生系统深入地掌握本章知识及典型问题的解决方法。

教学重点、难点：1。

重点：解斜三角形问题的实际应用；全章知识点的总结归纳。

2。

难点：如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。

教学过程：例题讲解：例1. 在△ABC 中，已知45,a b B ==求边c 。

解析：解法1（用正弦定理）a Ab B sin sin =∴==⨯=s i n s i n s i n A a B b 345232 又 b a B A A <∴<∴=，，或60120 当A ＝60°时，C ＝75°∴===+c b C B s i n s i n s i n s i n 27545622当A ＝120°时，C ＝15°∴===-c b C B s i n s i n s i n s i n 21545622解法二： b a c ac B 2222=+-cos∴=+-2323452c c cos即c c 2610-+=解之，得c =±622点评：此类问题求解需要注意解的个数的讨论，比较上述两种解法，解法2较简单。

例2. 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状。

解析：解法一由正弦定理，得2sin sin sin B A C =+∵B ＝60°，∴A+C ＝120°A ＝120°－C ，代入上式，得260120sin sin()sin =-+C C展开，整理得： 32121s i n cos C C +=∴+=∴+=s i n ()CC 3013090 ， ∴C ＝60°，故A ＝60°∴△ABC 为正三角形解法二由余弦定理，得b a c ac B 2222=+-cosB b a c==+602，∴+=+-()cos a c a c ac 2260222整理，得()a c a c -=∴=20，从而a ＝b ＝c∴△ABC 为正三角形点评：在边角混合条件下判断三角形形状时，可考虑利用边化角，从角的关系判断，也可考虑角化边，从边的关系判断。

三角形的面积计算与角度计算

三角形的面积计算与角度计算三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条线段组成，这三条线段相交于三个顶点。

计算三角形的面积和角度是研究和应用三角形的重要内容。

在本文中，我们将介绍三角形面积计算和角度计算的方法和公式。

一、三角形的面积计算1.1 面积计算方法三角形的面积计算可以使用不同的方法，其中常用的方法有以下三种：1.1.1 海伦公式海伦公式是一种计算任意三角形面积的公式，它基于三角形的三条边的长度来计算。

假设三角形的三条边分别为a、b、c，半周长为s，那么三角形的面积S可以通过以下公式计算：S = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))其中s = (a + b + c) / 2。

使用海伦公式可以计算任意形状的三角形的面积。

1.1.2 底边高公式对于底边为a、高为h的三角形，它的面积可以通过以下公式计算： S = (a * h) / 2底边高公式适用于已知底边和高的等腰三角形或直角三角形。

1.1.3 正弦公式对于已知两条边a、b和它们夹角的三角形，可以使用正弦公式来计算面积。

假设夹角为θ，那么三角形的面积S可以通过以下公式计算：S = (a * b * sin(θ)) / 2正弦公式适用于已知两边和夹角的任意三角形。

1.2 面积计算示例为了更好地理解三角形面积的计算方法，我们来看一个具体的示例。

假设我们要计算一个三角形ABC的面积，已知三边分别为AB=5、BC=7、AC=8。

我们可以使用海伦公式来计算：首先计算半周长s：s = (5 + 7 + 8) / 2 = 10然后套用海伦公式计算面积S：S = √(10 * (10 - 5) * (10 - 7) * (10 - 8)) = √120 = 10.95所以，三角形ABC的面积约为10.95平方单位。

二、三角形的角度计算2.1 角度计算方法三角形的角度计算是确定三个内角或外角的大小和关系。

常用的方法有以下几种：2.1.1 正弦定理正弦定理是用于计算三角形任意角度的公式之一。

《三角形的内角和》课件

普通三角形
三边长度和角度均不相等。
按边长分类
按角度分类
• 等边三角形 • 等腰三角形 • 普通三角形
• 直角三角形 • 锐角三角形 • 钝角三角形
直角三角形的性质
1
定义
其中包含一个90°的角。
2
内角和的特殊性质
其余两个角的和为90°，两直角三角形互相相似。
不规则三角形
定义
三边长不相等，三个角也不相等。
应用广泛
在日常生活和各个领域中，我们都会遇到三角形相关的问题。
内角和求解
将不规则三角形划分为多个小三角形，分别计算每个小三角形的内角和，最后相加得到结果。
三角形的内角和公式
公式
任意三角形的内角和为180°
证明
留给读者自行思考
结语
简洁又实用
通过几何的基本知识，我们轻松掌握了三角形的性质和分类，并学习了如何计算内角和。
提升理解能力
掌握几何学知识有利于我们培养对空间的直觉和判断力。
图解三角形的内角和
三角形是几何学中最基本的图形之一。在这个PPT中，我们将学习如何定义和分类三角形，并探究如何计算内角和。
三角形的简介
1 定义
由三条线段连接成的三角形形状。
2 特点
三边围成的图形，任意两Байду номын сангаас之和大于第三边。
三角形的分类
等边三角形
等腰三角形
三边都相等，每个角度均为60°。两边相等，对应角度相等。

三角形的计算

三角形的计算三角形是几何学中基本的图形之一，它有着广泛的应用和计算方法。

在本文中，我们将深入探讨三角形的计算方法，包括计算三角形的面积、周长、角度等。

1. 三角形的面积计算三角形的面积计算是三角形计算中最基本的一部分。

常见的计算三角形面积的方法有以下几种：1.1 高乘以底除以2法对于任意三角形，我们可以通过计算三角形的底边长度和对应高的乘积，再除以2来求得三角形的面积。

公式如下：面积 = 0.5 * 底边长度 * 高1.2 海伦公式海伦公式适用于已知三边长度的情况下，通过半周长计算三角形的面积。

海伦公式的表达式如下：面积 = 根号(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))其中，p是三角形的半周长，a、b、c分别是三角形的三条边长。

2. 三角形的周长计算三角形的周长计算是指计算三角形三条边的长度之和。

常用的周长计算方法有以下两种：2.1 边长求和法直接将三角形的三条边长相加即可求得三角形的周长。

2.2 点到点距离法如果三角形的三个顶点的坐标已知，我们可以通过计算各顶点之间的距离，然后将距离相加得到三角形的周长。

3. 三角形的角度计算三角形的角度计算是指计算三角形内部三个角的大小。

根据三角形的性质和已知条件，我们可以使用以下方法来计算三角形的角度：3.1 三角函数法对于已知三角形的三边长度或者已知一个角和两边的情况，我们可以使用正弦定理、余弦定理等三角函数来计算三角形的角度。

3.2 角平分线法如果三角形的内切圆圆心坐标已知，我们可以通过连接圆心和三个顶点，得到三角形的三条角平分线。

然后利用平分线的性质计算角度大小。

综上所述，三角形的计算涉及到面积、周长和角度三个方面。

通过各种计算方法，我们可以准确地得出三角形的相关参数。

在实际应用中，这些计算方法被广泛运用于建筑设计、地理测量、物理学等领域，为我们提供了重要的数学工具和基础。

掌握三角形的计算方法，对于进一步深入理解几何学和应用数学有着重要的意义。

三角形的面积与周长计算

三角形的面积与周长计算教案：三角形的面积与周长计算1. 引言介绍三角形作为平面上最简单的几何形状之一，它的面积和周长计算是几何学中的基础知识。

本教案将帮助学生掌握计算三角形面积和周长的方法，并通过实际问题来应用。

2. 直角三角形的面积与周长计算2.1 介绍直角三角形的定义和性质2.2 推导直角三角形面积公式：面积 = (底边长度 ×高) / 22.3 推导直角三角形周长公式：周长 = 底边长度 + 直角边1长度 + 直角边2长度3. 任意三角形的面积计算3.1 介绍任意三角形的定义和性质3.2 推导三角形面积计算公式：海伦公式3.3 讲解公式中的各个参数的含义和计算方法4. 任意三角形的周长计算4.1 推导三角形周长计算公式：周长 = 边1长度 + 边2长度 + 边3长度4.2 提供几个具体的三角形问题，引导学生应用周长计算公式解题5. 结合实际问题的应用5.1 给出一个实际问题，例如计算房间地板的三角形面积5.2 引导学生思考如何应用已学的面积计算公式解决问题5.3 指导学生测量所需的参数，并进行计算6. 总结与拓展6.1 总结三角形面积和周长的计算方法6.2 给出几个进一步拓展的问题，例如如何计算不规则多边形的面积和周长6.3 鼓励学生自主学习和求解更复杂的几何问题7. 作业7.1 布置一些基础练习题，要求学生计算给定三角形的面积和周长7.2 提供一些挑战性题目，鼓励学生运用所学知识解决更复杂的问题通过本教案的学习，学生将能够掌握计算三角形面积和周长的方法，并能够应用于实际问题中。

同时，通过思考和解决问题，培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

三角形的三个外角和

三角形的三个外角和
目录：
1. 三角形三个外角和的定义
1.1 外角和与内角和的关系
1.1.1 外角和等于180度
1.1.2 内角和加外角和等于180度
1.2 三角形外角和的性质
2. 三角形外角和的计算方法
2.1 一般三角形外角和计算
2.1.1 根据已知内角求解
2.1.2 根据其他已知角度求解
2.2 直角三角形外角和计算
2.2.1 直角三角形外角和等于90度
2.2.2 外角和与直角边的关系
3. 三角形外角和在几何问题中的应用
3.1 判断三角形类型
3.1.1 基于外角和特性判断三角形类型
3.1.2 通过外角和判断三角形锐角、直角、钝角
3.2 应用于角平分线、垂直平分线问题
3.2.1 外角和在角平分线求角度中的应用
3.2.2 外角和在垂直平分线求角度中的应用
3.3 利用外角和求解夹角问题
3.3.1 外角和与夹角关系的应用
3.3.2 通过外角和解决夹角大小关系
三角形的外角和是三角形任意一个角的外角与其他两个内角的和，通过对外角和的定义、性质、计算方法以及在几何问题中的应用进行详细的讲解，可以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

几何中的三角形周长与面积计算与应用

几何中的三角形周长与面积计算与应用三角形是几何学中最基本、最常见的图形之一。

它具有简单的形状和明确的特征，使得三角形的周长与面积计算成为了几何学的基础知识之一。

在本文中，我们将探讨三角形周长与面积的计算方法以及其在实际应用中的重要性。

一、三角形周长的计算计算三角形的周长需要知道三个边长，我们可以根据三个边长之和来计算周长。

设三角形的三边分别为a、b、c，则三角形的周长P等于a+b+c。

例如，已知一个三角形的边长分别为5cm、7cm和8cm，我们可以使用上述公式计算其周长。

根据公式，周长P=5+7+8=20cm。

因此，该三角形的周长为20cm。

二、三角形面积的计算三角形的面积计算是通过三角形的底和高来完成的。

设三角形的底为b，高为h，则三角形的面积S等于底乘以高的一半，即S=1/2 * b * h。

例如，已知三角形的底为4cm，高为6cm，我们可以根据上述公式计算该三角形的面积。

根据公式，面积S=1/2 * 4 * 6=12cm²。

因此，该三角形的面积为12cm²。

三、三角形周长和面积的应用三角形周长和面积的计算方法不仅仅是在几何学中的理论知识，它们在日常生活和实际应用中也有着广泛的应用。

1. 建筑设计在建筑设计中，计算三角形的周长和面积是非常重要的。

建筑师需要准确计算出房间、墙壁或其他建筑物中的三角形的周长和面积，以确保设计符合规格要求，同时也为施工提供准确的数据。

2. 土地测量土地测量是另一个应用三角形周长和面积计算的领域。

通过确定三角形的周长和面积，测量员可以准确测算出地块的边界长度和总面积。

这对于土地分割、规划和开发至关重要。

3. 制作家具家具制造也是应用三角形周长和面积计算的领域之一。

设计师需要根据三角形的周长和面积来制定家具的尺寸和样式，以确保家具的大小和比例适合所在的空间。

4. 工程施工在工程施工中，三角形周长和面积的计算对于确定建筑物的尺寸、材料的用量以及施工进度的安排都十分重要。

三角形三条中线围成的三角形和元三角形的面积之比-概述说明以及解释

三角形三条中线围成的三角形和元三角形的面积之比-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：三角形是几何学中最基本的图形之一，由三条边和三个顶点组成。

在三角形中，中线是连接一个顶点和对边中点的线段。

在本文中，我们将探讨三角形三条中线围成的三角形以及元三角形的面积之比。

通过研究三角形三条中线的性质，我们可以了解到中线的作用和特点。

而三角形三条中线围成的三角形，其面积和原三角形之间存在一定的数学关系，这是我们本文要详细讨论的内容。

元三角形是指通过三角形的三个顶点构成的新三角形，它和原三角形在许多几何性质上有着密切联系。

我们将探究元三角形的特点，并通过比较元三角形和三角形三条中线围成的三角形的面积，得出它们之间的关系。

通过本文的研究，我们可以进一步理解三角形的特性和面积计算方法，同时也可以拓展对于几何学的认识和理解。

在实际应用中，这些知识也有着重要的意义，并可以帮助我们解决一些实际问题。

1.2 文章结构本文将以引言的方式介绍三角形三条中线、中线围成的三角形以及元三角形的性质。

首先，我们将详细讨论三角形三条中线的性质，包括中线的性质以及中线长度之间的关系。

接着，我们将探讨三角形三条中线所围成的三角形的性质，包括面积和角度之间的关系。

最后，我们将介绍元三角形的性质与特点，并探讨元三角形的面积与周长之间的关系。

通过对这些性质进行深入分析，我们将推导出三角形三条中线围成的三角形和元三角形的面积之比的公式，并探讨其实际应用及重要性。

1.3 目的：本文的目的在于探究三角形三条中线围成的三角形和元三角形的面积之比的关系。

通过对三角形三条中线和围成的三角形以及元三角形的性质进行分析和推导，我们希望能够深入理解这个几何问题，并得出结论。

同时，本文还将讨论该面积之比的实际应用，并总结研究结果，为读者提供更加全面的视角和认识。

通过本文的研究，希望可以为读者提供更深入的数学思考和启发，同时也对几何学知识的理解和应用能力有所提升。

三角形中的几何计算-高中数学知识点讲解

三角形中的几何计算1．三角形中的几何计算【知识点的知识】1、几何中的长度计算：（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判断三角形的形状；③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．2、与面积有关的问题：（1）三角形常用面积公式①S =12a•h a（h a 表示边a 上的高）；②S =12ab sin C =12ac sin B =12bc sin A．③S =12r（a+b+c）（r 为内切圆半径）．（2）面积问题的解法：①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．3、几何计算最值问题：（1）常见的求函数值域的求法：1/ 2①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：①当角度在 0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，且 0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且 0≤cosα≤1；正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．②当角度在 90°～180°间变化时，正弦值随着角度的增大而减小，且 0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．2/ 2。