数学(文)一轮教学案第十三章 推理与证明 Word版含解析
推理与证明教案范文
推理与证明教案范文一、教学目标1.知识目标：了解推理与证明的基本概念和方法；掌握推理和证明的一些基本规则和技巧；了解数学证明的重要性和意义。
2.技能目标：培养学生运用推理和证明方法解决问题的能力；培养学生分析问题和推理证明的能力；提高学生的逻辑思维和数学表达能力。
3.情感目标：培养学生的探究精神和合作意识；培养学生的自主学习和解决问题的能力；培养学生的逻辑思维能力和创新精神。
二、教学内容1.推理的定义与基本概念：事实推理、逻辑推理、数学推理等。
2.推理的基本规则和方法：归纳法、演绎法、对偶法、反证法等。
3.证明的定义与基本概念：数学证明、逻辑证明等。
4.证明的基本思路和方法：直接证明法、间接证明法、归谬法、反证法等。
三、教学过程1.导入（10分钟）教师通过举例等方式引发学生对推理和证明的思考，例如“如果天上阴云密布、雷声隆隆，你能推断会下雨吗？为什么？”“如果我们想证明一个命题，应该怎么做？”等。
2.知识讲解（20分钟）通过讲解，教师向学生介绍推理和证明的基本概念，包括推理的定义与基本概念、推理的基本规则和方法，以及证明的定义与基本概念、证明的基本思路和方法。
同时，教师可以结合实际例子和数学例题解释推理和证明的重要性和意义。
3.操作示范（30分钟）教师通过示范，向学生展示如何进行推理和证明。
可以选择一些简单的例题，引导学生运用基本规则和方法进行推理和证明。
例如，给定一个条件，让学生推理出结论；或者给学生一个命题，让他们用直接证明或反证法进行证明。
4.学生练习（30分钟）学生进行练习，运用所学的推理和证明方法解决一些问题。
教师可以提供一些简单的练习题，要求学生分析问题、推理证明，并将结果进行展示和讨论。
同时，教师对学生的解答进行纠正和指导。
5.总结归纳（10分钟）教师引导学生总结归纳推理和证明的基本规则和方法，帮助他们提炼出问题的关键点、寻找推理和证明的线索，并培养学生总结归纳问题、方法和结论的能力。
高中数学复习课二推理与证明教案含解析北师大版选修1_2
复习课(二) 推理与证明[对应学生用书P43]其中归纳推理出现的频率较高，重点考查归纳、猜想、探究、类比等创新能力．[考点精要]1．归纳推理的特点及一般步骤2．类比推理的特点及一般步骤[典例] (1)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.(2)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， ……，据此规律，第n 个等式可为_________________________________． [解析] (1)正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127. (2)等式的左边的通项为12n －1－12n ，前n 项和为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；右边的每个式子的第一项为1n ＋1，共有n 项，故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n. [答案] (1)127 (2)1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n[类题通法](1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．[题组训练]1．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数．则f (4)＝________，f (n )＝________.解析：因为f (1)＝1，f (2)＝7＝1＋6，f (3)＝19＝1＋6＋12，所以f (4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f (n )＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n －1)＝3n 2－3n ＋1.答案：37 3n 2－3n ＋12．若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则有性质“若S m ＝S n (m ，n ∈N *且m ≠n )，则S m －n ＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n }为等比数列时，写出一个正确的性质：________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n ，(m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m －n ＝1(1)获得解题思路以及用综合法有条理地表达证明过程．(2)理解综合法与分析法的概念及区别，掌握两种方法的特点，体会两种方法的相辅相成、辩证统一的关系，以便熟练运用两种方法解题．[考点精要](1)综合法：是从已知条件推导出结论的证明方法；综合法又叫做顺推证法或由因导果法．(2)分析法：是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“只需证……”等分析到一个明显成立的结论P ，再说明所要证明的数学问题成立．[典例] 设a >0，b >0，a ＋b ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.[证明] 法一：综合法 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，所以1ab≥4，又1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4，所以1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．法二：分析法因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab≥8.只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab≥8， 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb≥4. 即证b a ＋a b≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋a b≥2成立， 所以原不等式成立．[类题通法]综合法和分析法的特点(1)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．[题组训练]1．若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ， 求证：d ＋a ＜b ＋c . 证明：要证d ＋a ＜b ＋c ， 只需证(d ＋a )2＜(b ＋c )2， 即a ＋d ＋2ad ＜b ＋c ＋2bc ， 因a ＋d ＝b ＋c ，只需证ad ＜bc ，即ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，故ad＜bc成立，从而d＋a＜b＋c成立．2．定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．(1)证明：f(0)＝1；(2)证明：对任意的x∈R，恒有f(x)>0.证明：(1)令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，又f(0)≠0，所以f(0)＝1.(2)由已知当x>0时，f(x)>1，由(1)得f(0)＝1，故当x≥0时，f(x)>0成立．当x<0时，－x>0，所以f(－x)>1，而f(x－x)＝f(x)f(－x)，所以f(x)＝1f －x，可得0<f(x)<1.综上，对任意的x∈R，恒有f(x)>0成立.(1)问．(2)反证法是间接证明的一种基本方法，使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾．[考点精要]1．使用反证法应注意的问题：利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．2．一般以下题型用反证法：(1)当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；(2)否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题；(3)有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法．[典例] (1)否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )A．a，b，c都是偶数B ．a ，b ，c 都是奇数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数(2)已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根．[解析] (1)自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．”答案：D(2)证明：假设两方程都没有实数根．则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )， 与已知矛盾，故原命题成立． [类题通法]反证法是利用原命题的否命题不成立则原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．[题组训练]1．已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1.证明：假设a ，b ，c 均小于1，即a ＜1，b ＜1，c ＜1， 则有a ＋b ＋c ＜3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋12＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3，两者矛盾，所以假设不成立， 故a ，b ，c 至少有一个不小于1.2．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中的a ，b ，c 都为整数，已知f (0)，f (1)均为奇数，求证：方程f (x )＝0无整数根．证明：假设方程f (x )＝0有一个整数根k ， 则ak 2＋bk ＋c ＝0，∵f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c 都为奇数， ∴a ＋b 必为偶数，ak 2＋bk 为奇数． 当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z)，则ak 2＋bk ＝4n 2a ＋2nb ＝2n (2na ＋b )必为偶数， 与ak 2＋bk 为奇数矛盾；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，则ak 2＋bk ＝(2n ＋1)·(2na ＋a ＋b )为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak 2＋bk 为奇数矛盾．综上可知方程f (x )＝0无整数根．1．用演绎推理证明函数y ＝x 3是增函数时的大前提是( ) A ．增函数的定义B ．函数y ＝x 3满足增函数的定义 C ．若x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2) D ．若x 1>x 2，则f (x 1)>f (x 2)解析：选A 根据演绎推理的特点知，演绎推理是一种由一般到特殊的推理，所以函数y ＝x 3是增函数的大前提应是增函数的定义．2．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －2B ．a n ＝n 2C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝4n －3解析：选B 求得a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.3．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋zca＝1C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：选A 类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．4．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B ．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C ．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D ．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：选A 分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B 选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C 选项，故选A.6．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AO OM＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3.7．观察下图，可推断出“x ”处应该填的数字是________．解析：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，所以“x ”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.答案：1838.如图，圆环可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r )×2π×R ＋r2.所以圆环的面积等于以线段AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：在平面直角坐标系xOy 中，若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．解析：平面区域M 的面积为πr 2，由类比知识可知：平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体的体积等于以半径为r 的圆为底面，以圆心为O 、半径为d 的圆的周长2πd 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr 2×2πd ＝2π2r 2d .答案：2π2r 2d9．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 .解析：分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…归纳可知，第n 个叠放图形中共有n 层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列， 所以S n ＝n ＋[n (n －1)×4]÷2＝2n 2－n ， 所以S 7＝2×72－7＝91. 答案：9110．已知|x |≤1，|y |≤1，用分析法证明：|x ＋y |≤|1＋xy |. 证明：要证|x ＋y |≤|1＋xy |， 即证(x ＋y )2≤(1＋xy )2， 即证x 2＋y 2≤1＋x 2y 2， 即证(x 2－1)(1－y 2)≤0，因为|x |≤1，|y |≤1， 所以x 2－1≤0,1－y 2≥0，所以(x 2－1)(1－y 2)≤0，不等式得证．11．已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：__________________________＝32，(*) 并给出(*)式的证明． 解：一般形式：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明如下：左边＝12(1－cos 2α)＋12[1－cos(2α＋120°)]＋12[1－cos(2α＋240°)]＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12[cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°]＝32－12cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α＝32＝右边． ∴原式得证．12．设函数f (x )＝e xln x ＋2ex －1x，证明：f (x )>1.证明：由题意知f (x )>1等价于x ln x >x e －x－2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .设函数h (x )＝x e －x －2e，则h ′(x )＝e －x(1－x )．所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0. 故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e .综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.。
高中数学复习课(二)推理与证明教学案新人教A版选修1-2(2021学年)
２017－2018学年高中数学复习课(二）推理与证明教学案新人教A版选修１-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(201７-2０１８学年高中数学复习课（二) 推理与证明教学案新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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复习课(二) 直接证明与间接证明合情推理(１）近几年的高考中归纳推理和类比推理有时考查,考查的形式以填空题为主,其中归纳推理出现的频率较高,重点考查归纳、猜想、探究、类比等创新能力．（2）处理与归纳推理相关的类型及策略①与数字有关：观察数字特点，找出等式左右两侧的规律可解.②与式有关:观察每个式的特点,找到规律后可解.③进行类比推理，应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比,提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键．[考点精要]1.归纳推理的特点及一般步骤2.类比推理的特点及一般步骤[典例］（1)在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S 2,则＼f(S1,S２)＝14,推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体ＰABＣ的内切球体积为V１,外接球体积为V２,则＼ｆ(V1,V２）=( ）A。
错误!B。
错误!Ｃ．＼f(1,64) ﻩD。
＼f(1,27）（２）（陕西高考）观察下列等式:1－＼f（1,2）＝错误!,1-错误!+错误!-错误!＝错误!+错误!,1－错误!＋错误!-错误!+错误!－错误!=错误!+错误!＋错误!，……，据此规律，第n个等式可为_＿_＿__＿_＿____＿_____＿_________＿__＿＿_＿_______＿__.［解析］(1)正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故错误!＝错误!.（２）等式的左边的通项为错误!-错误!，前n项和为1-错误!+错误!-错误!+…+错误!－错误!;右边的每个式子的第一项为错误!,共有n项，故为错误!+错误!+…+错误!．[答案] (1）D （2)１－１2＋错误!-错误!+…+错误!-错误!＝错误!＋错误!+…＋错误
设f(n)=n2+n+41,n∈N*,计算:f(1),f(2),f(3),f(4),…,f(10) 的值,同时作出归纳推理,并用n=40验证猜想是否正确.
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f(1)=12+1+41=43, f(2)=22+2+41=47, f(3)=32+3+41=53, f(4)=42+4+41=61, f(5)=52+5+41=72, f(6)=62+6+41=83, f(7)=72+7+41=97, f(8)=82+8+41=113, f(9)=92+9+41=131, f(10)=102+10+41=151. ∵43,57,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数, ∴归纳猜想:当n∈N*时,f(n)=n2+n+41的值都为质数, 当n=40时,f(40)=402+40+41=40×(40+1)+41=41×41. ∴f(40)的值是合数,因此,由上面归纳推理得到的猜想不正确.
2
所以数列
1 { an
}是以
1 a1
=1为首项,公差为
1 2
的等差数列.
所以 1 = 1 + (n -1) • 1 = 1 n + 1 .
an
22 2
所以通项公式an=
2 nห้องสมุดไป่ตู้1
.
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通过归纳推理得出的结论可能正确，也可能不正确，它的正 确性需通过严格的证明，猜想所得结论即可用演绎推理给出 证明.虽然由归纳推理所得出的结论未必是正确的，但它所 具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程，对于数学 的发现、科学的发明是十分有用的.通过观察实验，对有限 的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，也是数学研究 的基本方法之一，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察 个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推 出一个明确表达的一般性命题（猜想）.
2020届高考数学一轮复习第十三章推理与证明教师用书文(PDF,含解析)
( ) ＝ ４πｒ２，三维测度（ 体积） Ｖ ＝
４ ３
πｒ３ ，
４ ３
πｒ３
′ ＝ ４πｒ２，四维空间
中，“ 超球” 的三维测度 Ｖ ＝ ８πｒ３ ，∵ （２πｒ４ ） ′ ＝ ８πｒ３ ，
第十三章
推理与证明
真题多维细目表
考题
涉分
题型
难度
考点
考向
解题方法
２０１９ 课标全国Ⅰ，４ ５ 分 选择题
中
推理
推理
直接推理
根据给出的说法进行
２０１４ 课标Ⅰ，１４
５ 分 填空题
中
合情推理与演绎推理
直接推理
推理
核心素养 数学抽象 逻辑推理
逻辑推理
命题规律与趋势
０１ 考查内容 以实际生活为背景考查逻辑推理能力．
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（２）二维空间中，圆的一维测度（周长）ｌ ＝ ２πｒ，二维测度（ 面
积） Ｓ ＝ πｒ２ ，（ πｒ２ ） ′ ＝ ２πｒ，三维空间中，球的二维测度（ 表面积） Ｓ
１ 的相同性质或变化规律
↓ 从已知的相同性质或变化规律中推出一个明确 ２
表达的一般性命题 ２．类比推理的一般步骤：
１ 观察两考察对象的部分类似属性
↓ ２ 推导出两个对象其他类似属性
（１） （２０１９ 安徽六校教育研究会第一次素质测试，８） 如
图，第 １ 个图形由正三角形扩展而成，共 １２ 个顶点．第 ｎ 个图形
内容
综合法
实质 由因导果（顺推证法）
最新2020八年级数学上册 第13章 13.2 命题与证明 第1课时 命题与证明教案
13.2命题与证明第1课时命题与证明◇教学目标◇【知识与技能】1.了解命题、真命题、假命题的意义,了解公理、定理、证明的概念;2.了解原命题、逆命题的意义;3.会判断一个命题的真假,能用举反例的方法判断命题的真假,会写出一个命题的逆命题.【过程与方法】通过一些简单命题的证明,训练学生的逻辑思维.【情感、态度与价值观】通过对命题真假的判断,培养学生科学严谨的学习态度和求真务实的作风.让学生积极参与教学活动,对数学定理、命题的由来产生好奇心和求知欲.◇教学重难点◇【教学重点】学习命题的概念和命题、公理、定理的区别.【教学难点】严密完整地写出推理过程.◇教学过程◇一、情境导入上一节课中,我们研究三角形的性质是通过折叠、剪拼或度量得到三角形的内角和为180°的,但这些做法都会出现很多误差,会存在疑问.有没有更准确更严格的方法得出结论呢?二、合作探究问题1:推理是一种思维活动,人们在思维活动中,常常要对事物的情况做出种种判断.例如:(1)长江是中国第一大河;(2)如果∠1和∠2是对顶角,那么它们相等;(3)2+3≠5;(4)如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数,那么这个数能被3整除.判断哪些是正确的,哪些是错误的?结论:(1)(2)(4)是正确的,(3)是错误的.问题2:什么叫命题?什么叫真命题?什么叫假命题?结论:对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题,其中正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.典例1判断下面语句中哪些是命题?(1)请关上窗户;(2)你明天上学吗?(3)天真冷啊!(4)昨天我们去旅游了。
[解析](4)是命题,(1)(2)(3)不是命题.【技巧点拨】在逻辑学中,凡是可以判断出真假的语句叫做命题,如果一个语句没有对某一事件的正确与否作出判断,那么它就不是命题,比如感叹句、疑问句、祈使句等.问题3:(1)命题的一般形式是什么?(2)什么叫原命题、逆命题?(3)什么叫反例?结论:(1)命题的一般形式是“如果p,那么q”或“如果p,则q”.(2)将命题“如果p,那么q”中的条件与结论互换,便得到一个新命题“如果q,那么p”,我们把这样的两个命题称为互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个就叫做原命题的逆命题.(3)符合命题条件,但不满足命题结论的例子,我们称之为反例.典例2指出下列命题的条件与结论:(1)两条直线都平行于同一条直线,这两条直线平行;(2)如果∠A=∠B,那么∠A的补角与∠B的补角相等.[解析](1)“两条直线都平行于同一条直线”是条件,“两条直线平行”是结论.(2)“∠A=∠B”是条件,“∠A的补角与∠B的补角相等”是结论.变式训练写出下列命题的逆命题,并判断所得逆命题的真假,如果是假命题,请举一个反例:(1)内错角相等,两直线平行;(2)如果a=0,那么ab=0.[解析](1)逆命题是“两直线平行,内错角相等”,是真命题.(2)逆命题是“如果ab=0,那么a=0”,是假命题.反例,当a=1,b=0时,ab=0.典例3已知:如图,直线c与直线a,b相交,且∠1=∠2.求证:a∥b.[解析]∵∠1=∠2,(已知)又∵∠1=∠3,(对顶角相等)∴∠2=∠3.(等量代换)∴a∥b.(同位角相等,两直线平行)变式训练已知:如图,∠AOB+∠BOC=180°,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC.求证:OE⊥OF.[解析]∵OE平分∠AOB,OF平分∠BOC,(已知)∴∠1=错误!未找到引用源。
备战2020年高考高三一轮单元训练金卷+数学+第13单元++算法、推理证明与复数+A卷++Word版含答案
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第13单元 算法、推理证明与复数注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复平面内，复数z i i 为虚数单位)，则复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．定义x x f sin )(0=，()()10cos f x f x x '==，()()1n n f x f x +'=，则=)(2017x f （ ）A ．x sinB ．x cosC ．x sin -D ．x cos -4．观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知复数512z =+i ，则复数z z -2的虚部为（ ） A ．-i B ．1- C ．2-i D ．2-6．对任意非零实数a ，b ，若a b ⊗的运算原理如右图程序框图所示，则(32)4⊗⊗的值是（ ）A ．0B ．12C ．32D ．97．关于复数()211z +=-i i ，下列说法中正确的是（ ）A ．在复平面内复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 的共轭复数1z =-iC ．若复数()1z z b b =+∈R 为纯虚数，则1b =D ．设a ，b 为复数z 的实部和虚部，则点(),a b 在以原点为圆心，半径为1的圆上8．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）A ．21B ．1-C ．2D ．19．已知222433+=⨯，333988+=⨯，444161515+=⨯，……，观察以上等式，若999k m n+=⨯(m ，n ，k 均为实数)，则m n k +-=（ ）A ．76B ．77C ．78D ．7910．阅读如图所示的程序框图，若输入919a =，则输出的k 值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．1211．网络工作者经常用网络蛇形图来解释网络的运作模式，如图所示，数字1出现在第一行;数字2，3出现在第二行;数字6，5，4(从左至右)出现在第三行;数字7，8，9，10出现在第四行;以此类推，则按网络运作顺序第63行从左到右的第2个数字(如第2行第1个数字为2，第3行第1个数字为4，…，)是（ ）A ．2014B ．2015C ．2016D ．201712．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}()n a n *∈N 的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则=++201720162015a a a （ ）A ．1008B ．1009C ．2017D ．2018第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若复数z 与2(2)4z -+i 都是纯虚数，则=-+22z z ________． 14．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是______．15．我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示的()()()()1234为刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是有相同的小正方形构成，小正方形越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图案包含)(n f 个小正方形，则)(n f 的表达式为 ．16．在计算“)1(3221-++⨯+⨯n n ”时，某位数学教师采用了以下方法： 构造等式：)]1()1()2)(1([31)1(+--++=+k k k k k k k k ，以此类推得：)210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯，)321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯， )432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯，…，…， )]1()1()2)(1([31)1(+--++=-⨯n n n n n n n n ， 相加得11223(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯++-=++． 类比上述计算方法，可以得到=+++⨯+⨯)2(4231n n ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设复数1z =+i ，若实数a ，b 满足2)2(2z a z b az +=+，其中z 为z 的共轭复数．求实数a ，b 的值．18．（12分）如图，已知单位圆221x y +=与x 轴正半轴交于点P ，当圆上一动点Q 从P 出发沿逆时针旋转一周回到P 点后停止运动．设OQ 扫过的扇形对应的圆心角为xrad ，当02x <<π时，设圆心O 到直线PQ 的距离为y ，y 与x 的函数关系式()y f x =是如图所示的程序框图中的①②两个关系式．（1）写出程序框图中①②处的函数关系式；（2）若输出的y 值为12，求点Q 的坐标．19．（12分）已知函数)()0,1f x a a =>≠且．（1）证明：函数)(x f y =的图象关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭对称； （2）求(2014)(2013)(1)(0)(1)(2014)(2015)f f f f f f f -+-++-+++++．20．（12分）已知数列{}n a 满足:211=a ，111)1(21)1(3++-+=-+n n n n a a a a ，()101n n a a n +<≥，数列{}n b 满足：()2211n n n b a a n +=-≥． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列．21．（12分）下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n 个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为)(n f ．（1）求出(2)f ，(3)f ，(4)f ，(5)f ；（2）找出)(n f 与)1(+n f 的关系，并求出)(n f 的表达式；（3）求证()111125111136(1)3(2)5(3)7()213333n f f f f n n *++++<∈+++++N ．22．（12分）将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：已知数表中每一行的第一个数1a ，2a ，5a ，…构成一个等差数列，记为{}n b ，且42=b ，105=b ．数表中每一行正中间一个数1a ，3a ，7a ，…构成数列{}n c ，其前n 项和为n S ．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数且113=a ，求数列{}n c 的前n 项和n S ；（3）在满足（2）的条件下，记{}(1),n M n n c n λ*=+≥∈N ，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围．单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ） 第13单元 算法、推理证明与复数 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】∵z ===i ，∴z ，故选C ． 2．【答案】D【解析】由题意得，这种树的从第一年的分枝数分别是1，1，2，3，5，，则112+=，213+=，325+=，即从第三项起每一项都等于前两项的和， 所以第6年树的分枝数是853=+，故选D ． 3．【答案】B【解析】()()10cos f x f x x '==，x x x f x f sin )(cos )()(''12-===，'3()(sin )cos f x x x =-=-，'40()(cos )sin ()f x x x f x =-==，'51()(sin )cos ()f x x x f x ===，同理)()(26x f x f =，)()(37x f x f =，)()(48x f x f =，周期为4， ∴20171()()cos f x f x x ==，故选B ． 4．【答案】A【解析】由所给图形的规律看出，空心的矩形、三角形、圆形都是一个，实心的图形应均为两个，∴空白处应填实心的矩形，故选A ． 5．【答案】D 【解析】55(12)5(12)1212(12)(12)5z --====-++⋅-i i i i i i ， ∴22(12)(12)42z z -=---=--i i i ，∴复数z z -2的虚部为2-，故选D ．6．【答案】C【解析】根据程序框图知221323=+=⊗，∴413(32)42422-⊗⊗=⊗==，故选C ．7．【答案】C【解析】由题意可知()212111z +===-+--i ii ii，若()1z z b b =+∈R 为纯虚数，则1b =， 故选C ． 8．【答案】B【解析】设每次循环所得到的a 的值构成数列{}n a ， 由框图可111n n a a +=-，02a =，112a =，21a =-，32a =，412a =，…， 所以{a n }的取值具有周期性，且周期为T ＝3． 又由框图可知输出的122012-===a a a ，故选B ． 9．【答案】D【解析】观察以上等式，类比出等式2(1)(1)(1)(1)x xx x x x x x +=⨯-+-+， 当9x =时，可得999818080+=⨯，所以80m =，80n =，81k =， 所以80808179m n k +-=+-=．故选D ． 10．【答案】C 【解析】当111119(1)1335171921919S =+++=-=⨯⨯⨯时，10=k ，若199>S ，则输出的k 值是11，故选C ． 11．【答案】B【解析】网络蛇形图中每一行的第一个数1，2，4，7，11，，按原来的顺序构成数列{}n a ，易知n a a n n =-+1，且11=a ， ∴22132121()()()1123(1)2n n n n n a a a a a a a n --+=+-+-++-=+++++-=． ∴第63行的第一个数字为19542263632=+-， 而偶数行的顺序为从左到右，奇数行的顺序为从右到左， ∴第63行从左到右的第2个数字就是从右到左的第62个数字， 这个数为2015611954=+．故选B ． 12．【答案】B【解析】观察点的坐标，写出数列{}n a 的前12项：1，1，1-，2，2，3，2-，4，3，5，3-，6．可提炼出规律，偶数项的值等于其序号的一半，奇数项的值有正负之分， 且n a n =-34，n a n -=-14，n a n =2，∴505350542017==-⨯a a ，504150442015-==-⨯a a ，10082016=a ， ∴2015201620171009a a a ++=，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】i 或-i【解析】由已知可设(),0z b b b =∈≠R i ，则222(2)4(2)44(44)z b b b -+=-+=-+-i i i i ，∴240440b b ⎧-=⎨-≠⎩，∴2b =±，∴2z =-i 或2z =i ，∴当2z =-i 时，2221(1)(1)22221(1)(1)2z z +--+-+⋅-=====---++⋅-i i i i ii i i i i ； 当2z =i 时，()()()222222222z z ++=====---+⋅-i+1i i+1i i i i-1i+1i-1． 14．【答案】5【解析】5=n ，16=n ，1=k ；8=n ，2=k ；4=n ，3=k ；2=n ，4=k ；1=n ，5=k ，输出5．15．【答案】1222+-n n【解析】我们考虑，4)1()2(=-f f ，42)2()3(⨯=-f f ，43)3()4(⨯=-f f ，…， 归纳得出)1(4)()1(-⨯=-+n n f n f ， ∴()(1)[(2)(1)][(3)(2)][()(1)]f n f f f f f f n f n =++-+-++--21424344(1)14[123(1)]221n n n n =++⨯+⨯++-=+++++-=-+．16．【答案】)72)(1(61++n n n 【解析】构造等式：)]2()2()4)(2([61)2(+--++=+n n n n n n n n ， ∴]31)1(531[6131⨯⨯--⨯⨯=⨯，)420642(6142⨯⨯-⨯⨯=⨯，)531753(6153⨯⨯-⨯⨯=⨯，……，)]1)(1)(3()3)(1)(1[(61)1()1(+---++-=+⨯-n n n n n n n n ，)]2()2()4)(2([61)2(+--++=+⨯n n n n n n n n ，相加得11324(2)[(1)13024(1)(1)(3)(2)(4)]6n n n n n n n n ⨯+⨯+++=--⨯⨯-⨯⨯+-+++++)72)(1(61++=n n n ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】42a b =-⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩．【解析】由1z =+i ，可知i z -=1，代入2)2(2z a z b az +=+得2(1)2(1)[2(1)]a b a ++-=++i i i ，即22(2)(2)44(2)a b a b a a ++-=+-++i i ，∴22(2)424(2)a b a a b a ⎧+=+-⎨-=+⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩．18．【答案】（1）①②的式子分别为cos 2xy =，cos 2x y =-；（2）当0x <≤π时，此时点Q 的坐标为12⎛- ⎝⎭；当2x π<<π时，此时点Q的坐标为12⎛- ⎝⎭，． 【解析】（1）当0x <≤π时，cos 2x y =；当2x π<<π时，cos cos 22x x y ⎛⎫=π-=- ⎪⎝⎭；综上可知，函数解析式为()(]()cos ,0,2cos ,,22x x f x x x ⎧∈π⎪⎪=⎨⎪-∈ππ⎪⎩，所以框图中①②处应填充的式子分别为cos 2xy =，cos 2x y =-．（2）若输出的y 值为12，则0x <≤π时，1cos22x =，得23x π=，此时点Q的坐标为12⎛- ⎝⎭； 当2x π<<π时，1cos 22x -=，得43x π=，此时点Q的坐标为12⎛- ⎝⎭，． 19．【答案】（1）见解析；（2）2015-．【解析】（1）函数aa a x f x+-=)(的定义域为R ，在函数)(x f 的图象上任取一点),(00y x ，它关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的对称点为)1,1(00y x ---，则aa a x f y x +-==0)(00，∴00(1)1f x y -====--，∴函数)(x f 图象上任意一点),(00y x 关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的对称点)1,1(00y x ---仍在函数)(x f y =的图象上．即函数)(x f y =的图象关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭对称．（2）由（1）得1)1()(00-=-+x f x f ，∴1)2015()2014(-=+-f f ；1)2014()2013(-=+-f f ；1)2013()2012(-=+-f f ；……；1)2()1(-=+-f f ；1)1()0(-=+f f ．∴(2014)(2013)(1)(0)(1)(2014)(2015)2015f f f f f f f -+-++-+++++=-．20．【答案】（1）(1)n n a -=-11243n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（2）见解析．【解析】（1）由题意可知，)1(321221n n a a -=-+，令21n n a c -=，则2111++-=n n a c ，n n c c 321=+．又431211=-=a c ，则数列{}n c 是首项为431=c ，公比为32的等比数列，即13243n n c -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故1232143n na -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，∴1232143n na -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭．又0211>=a ，01<+n n a a ，故(1)n n a -=-，1122132321211434343n n n n n nb a a --+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅--⋅=⋅⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．（2）反证法：假设数列{}n b 存在三项r b ，s b ，t b ()r s t <<按某种顺序成等差数列， 由于数列{}n b 是首项为41，公比为32的等比数列，于是有r s t b b b >>， 则只能有t r s b b b +=2成立．∴1111212122434343s r t ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅+⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边同乘以r t --1123，化简得s t r s r t r t ----⋅=+32223． 由于t s r <<，∴上式左边为奇数，右边为偶数， 故上式不可能成立，导致矛盾．21．【答案】（1）(2)12f =，(3)27f =，(4)48f =，(5)75f =；（2）36)()1(+=-+n n f n f ，2()3f n n =；（3）见解析．【解析】（1）由题意有：3)1(=f ，12233)1()2(=⨯++=f f ，27433)2()3(=⨯++=f f ， 48633)3()4(=⨯++=f f ，75833)4()5(=⨯++=f f ．（2）由题意及（1）知，36)(233)()1(++=⨯++=+n n f n n f n f ， 即36)()1(+=-+n n f n f ．∴()(1)[(2)(1)][(3)(2)][()(1)]f n f f f f f f n f n =+-+-++--3(613)(623)[6(1)3]36[123(1)]n n n =+⨯++⨯+++-+=+++++-2(1)3633(1)32n nn n n n n -=+⨯=+-=． （3）∵23)(n n f =，∴2111111(1)(1)1()213n n n n n f n n =<=-+++++， ∴11111111(1)3(2)5(3)7()213333f f f f n n ++++<+++++11111111111111125()()()4934451493149336n n n ++-+-++-=++-<++=++， 所以对于任意n *∈N ，原不等式成立．22．【答案】（1）2n b n =；（2）2282n n n S -+=-；（3）(]4,5． 【解析】（1）设数列{}n b 的公差为d ，则114410b d b d +=⎧⎨+=⎩解得122b d =⎧⎨=⎩，所以n b n 2=．（2）设每一行组成的等比数列的公比为q ，由于前n 行共有2)12(531n n =-++++ 个数，且224133<<，又8410==b a ，所以18331013===q q a a ，解得21=q ．因此121222n n n n c n --⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以12110121232222n n n n n S c c c c ---=++++=++++，0121112122222n n n n nS ---=++++，所以10121111211111122412222222212nn n n n n n n n S -----⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-=-=--，即2228-+-=n nn S ．（3）由（1）知22-=n n n c ，不等式λ≥+n c n )1(，可化为λ≥+-22)1(n n n ．设22)1()(-+=n n n n f ， 计算得4)1(=f ，6)3()2(==f f ，5)4(=f ，415)5(=f ， 因为121(1)(2)(1)(2)(1)(1)()222n n n n n n n n n f n f n ---+++-++-=-=， 所以当3≥n 时，)()1(n f n f <+．因为集合M 的元素的个数为3，所以λ的取值范围是(]4,5．。
2019-2020学年高三数学一轮复习资料 第十三编 推理与证明13.3数学归纳法教案 理.doc
2019-2020学年高三数学一轮复习资料 第十三编 推理与证明13.3数学归纳法教案 理基础自测1.用数学归纳法证明：“1+a+a 2+…+a n+1=aa n --+112(a ≠1)”在验证n=1时，左端计算所得的项为 .答案1+a+a 22.如果命题P （n ）对n=k 成立，则它对n=k+1也成立，现已知P （n ）对n=4不成立，则下列结论正确的是 （填序号）.①P （n ）对n ∈N *成立；②P(n)对n ＞4且n ∈N *成立③P （n ）对n ＜4且n ∈N *成立；④P （n ）对n ≤4且n ∈N *不成立 答案 ④3.用数学归纳法证明1+2+3+…+n 2=224n n +，则当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上 .答案 （k 2+1）+（k 2+2）+（k 2+3）+…+（k+1）24.已知f(n)=n 1+ 11+n +21+n + (21)，则下列说法有误的是 . ①f(n)中共有n 项，当n=2时，f(2)=21+31；②f(n)中共有n+1项，当n=2时，f(2)=21+31+41 ③f(n)中共有n 2-n 项，当n=2时，f(2)=21+31；④f(n)中共有n 2-n+1项，当n=2时，f(2)= 21+31+41答案 ①②③5.用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n +y n能被x+y 整除”，在第二步时， .答案 假设n=k(k 是正奇数)，证明n=k+2命题成立例题精讲例1 用数学归纳法证明: n ∈N *时,311⨯+531⨯+…+)12)(12(1+-n n =12+n n . 证明 （1）当n=1时,左边=311⨯=31,右边=1121+⨯=31,左边=右边,所以等式成立. （2）假设当n=k(k ∈N *)时等式成立,即有311⨯+531⨯+…+)12)(12(1+-k k =12+k k , 则当n=k+1时,311⨯+531⨯+…+)12)(12(1+-k k +)32)(12(1++k k=12+k k +)32)(12(1++k k =)32)(12(13)2(++++k k k k =)32)(12(1322++++k k k k =321++k k =1）1(21+++k k , 所以当n=k+1时,等式也成立.由（1）（2）可知,对一切n ∈N *等式都成立.例2 试证：当n 为正整数时，f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.证明 方法一 （1）当n=1时，f(1)=34-8-9=64,命题显然成立.（2）假设当n=k (k ≥1,k ∈N *)时， f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由于32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1)即f(k+1)=9f(k)+64(k+1)∴n=k+1时命题也成立.根据（1）（2）可知，对任意的n ∈N *，命题都成立.方法二 （1）当n=1时，f(1)=34-8-9=64，命题显然成立.（2）假设当n=k (k ≥1,k ∈N *)时，f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由归纳假设，设32k+2-8k-9=64m(m 为大于1的自然数)，将32k+2=64m+8k+9代入到f(k+1)中得f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1),∴n=k+1时命题成立.根据（1）（2）可知，对任意的n ∈N *,命题都成立. 例3 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式（1+31）（1+51）…（1+121-n ）＞212+n 均成立.证明 （1）当n=2时，左边=1+31=34；右边=25.∵左边＞右边，∴不等式成立. （2）假设n=k (k ≥2,且k ∈N *)时不等式成立，即（1+31）（1+51）…（1+121-k ）＞212+k . 则当n=k+1时，（1+31）（1+51） (1)121-k ）＞]1)1(211[-++k ＞212+k ·1222++k k =12222++k k =1224842+++k k k ＞1223842+++k k k =1221232+++k k k =21)1(2++k . ∴当n=k+1时，不等式也成立.由（1）（2）知，对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.例4 （16分）已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2,a 5是方程x 2-12x+27=0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n =1-n b 21. （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较nb 1与S n+1的大小，并说明理由. 解 （1）由已知得⎩⎨⎧==+27125252a a a a ,又∵{a n }的公差大于0，∴a 5＞a 2,∴a 2=3,a 5=9.∴d=325a a - =339-=2，a 1=1.∴a n =2n-1.2分∵T n =1-21b n ，∴b 1=32，当n ≥2时，T n-1=1-21b n-1,∴b n =T n -T n-1=1-21b n -(1-21b n-1),化简，得b n =31b n-1,∴{b n }是首项为32,公比为31的等比数列，即b n =32·131-⎪⎭⎫⎝⎛n =n32,4分 ∴a n =2n-1，b n =n32. 5分 (2)∵S n =2)]12(1[-+n n =n 2,∴S n+1=（n+1）2，n b 1=23n .6分 以下比较nb 1与S n+1的大小： 当n=1时，11b =23，S 2=4，∴11b ＜S 2,当n=2时，21b =29,S 3=9,∴21b ＜S 3,当n=3时，31b =227,S 4=16,∴31b ＜S 4,当n=4时，41b =281,S 5=25,∴41b ＞S 5. 猜想：n ≥4时，nb 1＞S n+1. 8分下面用数学归纳法证明： ①当n=4时，已证.②假设当n=k (k ∈N *,k ≥4)时，k b 1＞S k+1,即23k ＞(k+1)2. 那么n=k+1时，11+k b =231+k =3·23k ＞3(k+1)2=3k 2+6k+3=(k 2+4k+4)+2k 2+2k-1＞［(k+1)+1］2=S (k+1)+1,∴n=k+1时，nb 1＞S n+1也成立. 11分 由①②可知n ∈N *,n ≥4时，nb 1＞S n+1都成立.14分综上所述，当n=1,2,3时，n b 1＜S n+1,当n ≥4时，nb 1＞S n+1.16分巩固练习1.用数学归纳法证明：对任意的n ∈N *,1-21+31-41+…+121-n -n 21=11+n +21+n +…+n 21.证明 （1）当n=1时，左边=1-21=21=111+=右边，∴等式成立. （2）假设当n=k(k ≥1,k ∈N *)时，等式成立，即1-21+31-41+…+121-k -k 21=11+k +21+k +…+k21. 则当n=k+1时, 1-21+31-41+…+121-k -k 21+121+k -221+k =11+k +21+k +…+k 21+121+k -221+k =111++k +211++k +…+k 21+121+k +(11+k -221+k )=111++k +211++k +…+k 21+121+k +)12(1+k , 即当n=k+1时，等式也成立，所以由（1）（2）知对任意的n ∈N *等式成立.2.求证：二项式x 2n -y 2n (n ∈N *)能被x+y 整除.证明 （1）当n=1时，x 2-y 2=(x+y)(x-y),能被x+y 整除，命题成立.（2）假设当n=k （k ≥1,k ∈N *）时，x 2k -y 2k能被x+y 整除，那么当n=k+1时， x 2k+2-y 2k+2=x 2·x 2k -y 2·y 2k =x 2x 2k -x 2y 2k +x 2y 2k -y 2y 2k =x 2(x 2k -y 2k )+y 2k (x 2-y 2),显然x 2k+2-y 2k+2能被x+y 整除，即当n=k+1时命题成立.由（1）（2）知，对任意的正整数n 命题均成立.3.已知m,n 为正整数.用数学归纳法证明：当x ＞-1时，(1+x)m≥1+mx. 证明 （1）当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左边=1+2x+x 2,右边=1+2x,因为x 2≥0,所以左边≥右边，原不等式成立；（2）假设当m=k(k ≥1,k ∈N *)时，不等式成立，即（1+x ）k≥1+kx,则当m=k+1时，∵x ＞-1,∴1+x ＞0.于是在不等式(1+x)k≥1+kx 两边同时乘以1+x 得(1+x)k ·（1+x ）≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx 2≥1+(k+1)x.所以(1+x)k+1≥1+(k+1)x, 即当m=k+1时，不等式也成立.综合（1）（2）知，对一切正整数m,不等式都成立.4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，S n =n 2a n （n ∈N *）. （1）试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； （2）证明你的猜想，并求出a n 的表达式. （1）解 ∵a n =S n -S n-1（n ≥2）∴S n =n 2（S n -S n-1），∴S n =122-n n S n-1（n ≥2）∵a 1=1，∴S 1=a 1=1.∴S 2=34，S 3=23=46，S 4=58，猜想S n =12+n n （n ∈N *）. （2）证明 ①当n=1时，S 1=1成立.②假设n=k （k ≥1,k ∈N *）时，等式成立，即S k =12+k k， 当n=k+1时， S k+1=（k+1）2·a k+1=a k+1+S k =a k+1+12+k k ，∴a k+1=()()122++k k ， ∴S k+1=（k+1）2·a k+1=()212++k k =()()1112+++k k ，∴n=k+1时等式也成立，得证.∴根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立.又∵a k+1=)1)(2(2++k k ，∴a n =)1(2+n n .回顾总结知识方法 思想课后作业 一、填空题1.用数学归纳法证明：“11+n +21+n +…+131+n ≥1(n ∈N *)”时，在验证初始值不等式成立时，左边的式子应是“ ”. 答案 21+31+412.如果命题P （n ）对于n=k(k ∈N *)时成立，则它对n=k+2也成立，又若P （n ）对于n=2时成立，P （n ）对所有 n 成立.①正整数 ②正偶数 ③正奇数 ④所有大于1的正整数 答案 ②3.利用数学归纳法证明不等式1+21+31+…+121-n ＜n(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n=k 变到n=k+1时，左边增加了 项. 答案 2k4.用数学归纳法证明“2n ＞n 2+1对于n ＞n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取 . 答案 55.凸n 边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f （n+1）= . 答案 f(n)+n-16.证明22+n ＜1+21+31+41+…+n 21＜n+1(n ＞1)，当n=2时，中间式子等于 . 答案 1+21+31+41 7.用数学归纳法证明不等式11+n +21+n +…+n n +1＜2413的过程，由n=k 推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子是 . 答案121+k +221+k -11+k 8.用数学归纳法证明1+21+31+…+121-n ＜2 (n ∈N ,且n ＞1)，第一步要证的不等式是 . 答案 1+21+31＜2 二、解答题9.用数学归纳法证明： 1+221+231+…+21n ≥123+n n (n ∈N *). 证明 （1）当n=1时，左边=1，右边=1，∴左边≥右边，即命题成立.（2）假设当n=k(k ∈N *,k ≥1)时，命题成立，即1+221+231+…+21k ≥123+k k. 那么当n=k+1时，要证 1+221+231+…+21k +21)(1+k ≥1)1(2)1(3+++k k ,只要证123+k k +21)(1+k ≥32)1(3++k k .∵32)1(3++k k -123+k k -21)(1+k =]11)(4[1)(1)(-1 222-+++k k k =3)84()1()2(22++++k k k k -k ＜0,∴123+k k +21)(1 +k ≥32)1(3++k k 成立，即1+221+231+…+21 k +21)(1+k ≥1)1(2)1(3+++k k 成立. ∴当n=k+1时命题成立.由（1）、(2)知，不等式对一切n ∈N *均成立.10.用数学归纳法证明（3n+1）·7n -1 (n ∈N *)能被9整除. 证明 （1）当n=1时，4×7-1=27能被9整除，命题成立.（2）假设n=k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即(3k+1)·7k-1能被9整除. 当n=k+1时，［(3k+3)+1］·7k+1-1=(3k+1+3)·7·7k -1=7·(3k+1)·7k -1+21·7k=［(3k+1)·7k -1］+18k ·7k +6·7k +21·7k =［(3k+1)·7k -1］+18k ·7k +27·7k，由归纳假设(3k+1)·7k -1能被9整除，又因为18k ·7k +27·7k能被9整除，所以［3(k+1)+1］·7k+1-1能被9整除，即n=k+1时命题成立. 由（1）（2）知，对所有的正整数n ，命题成立.11.数列{a n }满足S n =2n-a n (n ∈N *).(1)计算a 1,a 2,a 3,a 4,并由此猜想通项公式a n ; （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.（1）解 当n=1时，a 1=S 1=2-a 1,∴a 1=1.当n=2时，a 1+a 2=S 2=2×2-a 2,∴a 2=23. 当n=3时，a 1+a 2+a 3=S 3=2×3-a 3,∴a 3=47.当n=4时，a 1+a 2+a 3+a 4=S 4=2×4-a 4,∴a 4=815. 由此猜想a n =1212--n n (n ∈N *).（2）证明 ①当n=1时，a 1=1，结论成立. ②假设n=k(k ≥1且k ∈N *)时,结论成立，即a k =1212--k k ,那么n=k+1时，a k+1=S k+1-S k =2(k+1)-a k+1-2k+a k =2+a k -a k+1.∴2a k+1=2+a k ,∴a k+1=22ka +=221221-k k -+=kk -2121+,这表明n=k+1时，结论成立，由①②知猜想a n =1212--n n （n ∈N *）成立.12.是否存在常数a 、b 、c 使等式12+22+32+…+n 2+（n-1）2+…+22+12=an （bn 2+c ）对于一切n ∈N *都成立，若存在，求出a 、b 、c 并证明；若不存在，试说明理由.解 假设存在a 、b 、c 使12+22+32+…+n 2+（n-1）2+…+22+12=an （bn 2+c ）对于一切n ∈N *都成立.当n=1时，a （b+c ）=1；当n=2时，2a （4b+c ）=6；当n=3时，3a （9b+c ）=19.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,19)9(33)4(,1)(c b a c b a c b a 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.1,2,31c b a证明如下：①当n=1时，由以上知存在常数a,b,c 使等式成立.②假设n=k （k ∈N *）时等式成立，即12+22+32+…+k 2+（k-1）2+…+22+12=31k （2k 2+1）； 当n=k+1时， 12+22+32+…+k 2+（k+1）2+k 2+（k-1）2+…+22+12=31k （2k 2+1）+（k+1）2+k 2=31k （2k 2+3k+1）+（k+1）2=31k （2k+1）（k+1）+（k+1）2=31（k+1）（2k 2+4k+3） =31（k+1）［2（k+1）2+1］.即n=k+1时，等式成立.因此存在a=31，b=2，c=1，使等式对一切n ∈N *都成立.。
高三数学一轮复习教学案：推理与证明
推理与证明（一）合情推理与演绎推理1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。
2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。
3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
（二）直接证明与间接证明1．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
2．了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。
（三）数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1．推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。
2．推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。
第1课时 合情推理与演绎推理1. 推理一般包括合情推理和演绎推理；2.合情推理包括 和 ；归纳推理：从个别事实中推演出 ，这样的推理通常称为归纳推理；归纳推理的思维过程是： 、 、 .类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也 或 ，这样的推理称为类比推理，类比推理的思维过程是： 、 、 .3.演绎推理：演绎推理是 ，按照严格的逻辑法则得到的 推理过程；三段论常用格式为：①M 是P ，② ，③S 是P ；其中①是 ，它提供了一个个一般性原理；②是 ，它指出了一个个特殊对象；③是 ，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断.4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培养。
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程．23150sin 90sin 30222=++； 23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：________________________________________=23（ * ）并给出（ * ）式的证明.解：一般形式: 23)120(sin )60(sin sin 222=++++ααα证明：左边 = 2)2402cos(12)1202cos(122cos 1 +-++-+-ααα =)]2402cos()1202cos(2[cos 2123 ++++-ααα= -+-+-240cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 2[cos 2123ααα]240sin 2sin α =]2sin 232cos 212sin 232cos 212[cos 2123ααααα+----= 右边=23（将一般形式写成 2223sin (60)sin sin (60),2ααα-+++=2223sin (240)sin (120)sin 2ααα︒︒-+-+=等均正确。
高三数学一轮复习 推理与证明教案
江苏省徐州市贾汪区建平中学高三数学一轮复习教案：推理与证明教学目标1．了解推理与证明知识结构。
2．进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。
教学重难点 1. 进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。
2．认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力。
教学参考优化探究授课方法练习指导法教学辅助手段多媒体专用教室教学过程设计教学二次备课一、知识结构：二、探索研究我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎的推理形式及特点；揭示了分析法、综合法、数学归纳法和反证法的思维过程及特点。
通过学习，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。
三、例题讲解例1 已知、，a+b=1求证：. 114 a b+≥分析：练习：a,b,c 均为正数，且a ＞b 则b b x a a x++与 的大小关系为：教学过程设计 教 学 二次备课例2 设a,b,c 是不全为相等的正数，求证lg lg lg 222a b b c a c +++++＞lg lg lg a b c ++ 例3 已知非零向量 a b ⊥ 求证2a b a b +≤-变式训练已知a ＞0 11b a-＞1 求证1a +＞11b - 四、教学小结变式设a,b,c 是不全为相等的正数证明：222a b c b c a ++a b c ≥++教师适当点拨，学生完成。
学生独立完成，做好讲评解题回顾反思课外作业 优化探究 97页4,6教 学小 结第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
高三数学一轮复习推理与证明教案
推理与证明教学目标推理与证明（1）合情推理与演绎推理①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用；②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
（2）直接证明与间接证明①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法--反证法；了解反证法的思考过程、特点；命题走向部分内容主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小.教学准备多媒体课件教学过程1．推理(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．(2)分类：推理⎩⎪⎨⎪⎧合情推理演绎推理2．合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理3.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．(3)模式：三段论⎩⎪⎨⎪⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断.1．辨明两个易误点(1)演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．(2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．2．把握合情推理与演绎推理的三个特点(1)合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．(2)在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．(3)应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．1．数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于( )A．28 B．32C．33 D．27解析：选B.由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，则x－20＝12，因此x＝32.2．推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③三角形不是矩形”中的小前提是( )A．①B．②C．③D．①和②解析：选B.由演绎推理三段论可知，①是大前提，②是小前提，③是结论．3．(选修12 P30练习T1改编)已知数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是( )A．a n＝3n－1 B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1解析：选C.由a1＝1，a n＝a n－1＋2n－1，则a2＝a1＋2×2－1＝4；a3＝a2＋2×3－1＝9；a4＝a3＋2×4－1＝16；所以a n＝n2.4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V1V2＝13S1h113S2h2＝⎝⎛⎭⎪⎫S1S2·h1h2＝14×12＝18.答案：1∶8考点一归纳推理(高频考点)归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度稍大，属中高档题．高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度：(1)数值的归纳； (2)代数式的归纳； (3)图形的归纳．(1)(2015·高考陕西卷)观察下列等式：1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为____________________．(2)(2016·青岛模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．n 级分形图中共有________条线段．(1)等式的左边的通项为12n －1－12n ，前n 项和为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；右边的每个式子的第一项为1n ＋1，共有n 项，故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n. (2)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n －3(n ∈N *)．(1)1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n(2)3×2n－3(n ∈N *)常见的归纳推理及求解策略(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．解决的关键是抓住相邻图形之间的关系.1.(1)已知f (x )＝x1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2 014(x )的表达式为________．(2)(2016·山东省滕州第二中学模拟)在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在凸四边形ABCD中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在凸五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，…，依此类推，在凸n 边形A 1A 2…A n 中，不等式1A 1＋1A 2＋…＋1A n≥________成立．解析：(1)f 1(x )＝x1＋x，f 2(x )＝x1＋x 1＋x1＋x＝x1＋2x，f 3(x )＝x1＋2x1＋x1＋2x＝x1＋3x，…，由归纳推理得f 2 014(x )＝x1＋2 014x.(2)因为1A ＋1B ＋1C ≥9π＝32π，1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π＝422π，1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π＝523π，…，所以1A 1＋1A 2＋…＋1A n≥n 2（n －2）π(n ∈N *，n ≥3)．答案：(1)f 2 014(x )＝x 1＋2 014x (2)n 2（n －2）π(n ∈N *，n ≥3)考点二 类比推理(2016·西安模拟)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体S ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体S ABC 的体积为V ，则R ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4设四面体的内切球球心为O ，那么由V ＝V O ABC ＋V O SAB ＋V O SAC ＋V O SBC ， 即V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ，可得R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.C类比推理的分类(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解； (2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移.2.(2016·杭州模拟)已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n ＞0，则数列b n＝na 1a 2…a n (n ∈N *)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列， 则数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列．证明如下：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn＝na 1＋n （n －1）d 2n＝a 1＋d2(n －1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d2为公差的等差数列．考点三 演绎推理数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .(1)因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， 所以(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， 所以S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)．(大前提)又因为a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) 所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写；(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.3.已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数．证明：设x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， 所以x 1＋x 2>0， (x 2－x 1)>0，因为x 1<x 2，所以f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 2)>f (x 1)． 所以y ＝f (x )为R 上的单调增函数．交汇创新——例析归纳推理中的创新问题设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1，2，3，….若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( )A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 在△A 1B 1C 1中，b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1， 所以b 1>a 1>c 1.在△A 2B 2C 2中，a 2＝a 1，b 2＝c 1＋a 12，c 2＝b 1＋a 12，b 2＋c 2＝2a 1，所以c 1<b 2<a 1<c 2<b 1. 在△A 3B 3C 3中，a 3＝a 2＝a 1，b 3＝c 2＋a 22＝c 2＋a 12，c 3＝b 2＋a 22＝b 2＋a 12，b 3＋c 3＝2a 1，所以a 1<b 3<c 2，b 2<c 3<a 1， 所以c 1<b 2<c 3<a 1<b 3<c 2<b 1.由归纳知，n 越大，两边c n ，b n 越靠近a 1且c n ＋b n ＝2a 1，此时面积S n 越来越大，当且仅当c n＝b n ＝a 1时△A n B n C n 的面积最大．B(1)解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后对所得的一般性命题进行检验．(2)本题把归纳推理问题与数列及数列的性质巧妙地结合，体现了新课标下的交汇创新思想． 解决本题的关键有以下几点：①由条件a n ＋1＝a n ，确定三角形的一边为固定值；②由条件可推出b 1＋c 1＝b 2＋c 2＝b 3＋c 3＝2a 1，进而得出△A n B n C n 的周长为定值； ③利用“若三角形的一边不变及周长不变，则另外两边越接近，面积越大”推得结论．(2016·东莞模拟)请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.根据上述证明方法，若n个正实数满足a21＋a22＋…＋a2n＝1时，你能得到的结论为________(不必证明)．解析：构造f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋1.因为∀x∈R，f(x)≥0恒成立，所以Δ≤0，即4(a1＋a2＋…＋a n)2－4n≤0，所以(a1＋a2＋…＋a n)2≤n，即a1＋a2＋…＋a n≤n.答案：a1＋a2＋…＋a n≤n1．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法．(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又称为：由因导果法(顺推证法)．(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又称为：执果索因法(逆推证法)．2．间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．1．辨明两个易误点(1)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论．(2)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．2．证题的三种思路(1)综合法证题的一般思路用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论．(2)分析法证题的一般思路分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．(3)反证法证题的一般思路反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A，即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现．1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个解析：选D.由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确．2．(选修12 P43练习T1改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )A．三角形三个内角都不大于60°B．三角形三个内角都大于60°C．三角形三个内角至多有一个大于60°D．三角形三个内角至多有两个大于60°答案：B3．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足________．解析：由余弦定理cos A＝b2＋c2－a22bc<0，所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.答案：a2>b2＋c2考点一综合法的应用已知数列{a n }满足a 1＝12且a n ＋1＝a n －a 2n (n ∈N *)．证明：1<a n a n ＋1≤2(n ∈N *)．由题意得a n ＋1－a n ＝－a 2n <0，即a n ＋1<a n ， 故a n ≤12.由a n ＝(1－a n －1)a n －1得a n ＝(1－a n －1)(1－a n －2)…(1－a 1)a 1>0.由0<a n ≤12得a n a n ＋1＝a n a n －a 2n ＝11－a n ∈(1，2]， 即1<a n a n ＋1≤2(n ∈N *)．综合法的证题思路(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.1.在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且直线bx ＋y cos A＋cos B ＝0与ax ＋y cos B ＋cos A ＝0平行，求证：△ABC 是直角三角形．证明：法一：由两直线平行可知b cos B －a cos A ＝0，由正弦定理可知sin B cos B －sin A cosA ＝0，即12sin 2B －12sin 2A ＝0，故2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.若A ＝B ，则a＝b ，cos A ＝cos B ，两直线重合，不符合题意，故A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形．法二：由两直线平行可知b cos B －a cos A ＝0，由余弦定理，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ·a 2＋c 2－b 22ac，所以a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 所以c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)，所以(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，所以a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2. 若a ＝b ，则两直线重合，不符合题意， 故a 2＋b 2＝c 2，即△ABC 是直角三角形．考点二 分析法已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .要证明2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b 成立， 只需证2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0， 即2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)≥0， 即(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0.因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0，2a ＋b >0， 从而(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0成立， 所以2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .分析法的证题思路先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．要注意书写格式的规范性.2.△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ， b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，也就是证c a ＋b ＋ab ＋c＝1， 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°， 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立． 于是原等式成立．考点三 反证法设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1. 因为a 1≠0，所以2q k ＝qk －1＋qk ＋1.因为q ≠0，所以q 2－2q ＋1＝0， 所以q ＝1，这与已知矛盾．所以假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．用反证法证明数学命题需把握的三点(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证； (3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的.3.已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4>100，求证：a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25.证明：假设a 1，a 2，a 3，a 4均不大于25，即a 1≤25，a 2≤25，a 3≤25，a 4≤25，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4≤25＋25＋25＋25＝100， 这与已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4>100矛盾，故假设错误． 所以a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25.方法思想——转化与化归思想求证函数的综合问题设函数f(x)＝x3＋3bx2＋3cx有两个极值点x1，x2，且x1∈，x2∈．(1)求b，c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内画出满足这些条件的点(b，c)的区域；(2)证明：－10≤f(x2)≤－12.(1)f′(x)＝3x2＋6bx＋3c.依题意知，方程f′(x)＝0有两个根x1，x2，且x1∈，x2∈等价于f′(－1)≥0，f′(0)≤0，f′(1)≤0，f′(2)≥0.由此得b，c满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧c≥2b－1，c≤0，c≤－2b－1，c≥－4b－4.满足这些条件的点(b，c)的区域为图中阴影部分．(2)证明：由题设知f′(x2)＝3x22＋6bx2＋3c＝0，故bx2＝－12x22－12c.于是f(x2)＝x32＋3bx22＋3cx2＝－12x32＋3c2x2.由于x2∈，而由(1)知c≤0，故－4＋3c ≤f (x 2)≤－12＋32c .又由(1)知－2≤c ≤0， 所以－10≤f (x 2)≤－12.(1)本题在求证第(2)问时，利用了转化与化归思想，利用f ′(x 2)＝0得出bx 2＝－12x 22－12c ，进而转化为f (x 2)＝－12x 32＋3c2x 2，借助于(1)中c 的范围证明出结论．(2)解决此类问题，要培养观察能力，即观察条件、结论，且能从数学的角度揭示其差异，如“高次↔低次”“分式(根式)↔整式”“多元↔一元”等，从而为我们的化归转化指明方向，奠定基础．比较log 100 101与log 101 102的大小．解：因为n ≥2时，log n (n ＋1)>0，log n ＋1(n ＋2)>0. 又log （n ＋1）（n ＋2）log n （n ＋1）＝log (n＋1)(n ＋2)·log (n＋1)n <⎣⎢⎡⎦⎥⎤log （n ＋1）（n ＋2）＋log （n ＋1）n 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log （n ＋1）[n （n ＋2）]22<⎣⎢⎡⎦⎥⎤log （n ＋1）（n ＋1）222＝1，故log (n ＋1)(n ＋2)<log n(n ＋1)．令n ＝100，得log 101102<log 100101. 板书设计推理与证明 1．推理(1)定义： (2)分类：推理⎩⎪⎨⎪⎧合情推理演绎推理2．合情推理 (1) 归纳推理 (2) 类比推理 3.演绎推理三段论⎩⎪⎨⎪⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断.。
数学推理与证明教案
数学推理与证明教案引言：数学推理与证明是数学学科中至关重要的一部分，它培养了学生的逻辑思维、推理能力和问题解决能力。
本教案针对初中数学推理与证明的教学目标和内容，通过设计合理的教学活动和教学方法，旨在帮助学生提高数学推理和证明的能力。
一、教学目标1. 认识数学推理与证明的重要性，了解其应用领域；2. 掌握数学证明的基本方法和技巧；3. 培养学生的逻辑思维、推理能力和问题解决能力；4. 培养学生对数学的兴趣和探索精神。
二、教学内容1. 数学证明的概念及分类；2. 数学推理与证明的基本方法；3. 数学推理与证明的应用案例。
三、教学过程1. 导入环节介绍数学推理与证明的定义和重要性，引发学生对数学证明的兴趣和思考。
2. 知识讲授a) 数学证明的概念及分类详细介绍数学证明的概念和分类，包括直接证明、间接证明、反证法等，通过案例让学生了解不同类型的数学证明及其应用。
b) 数学推理与证明的基本方法介绍数学推理与证明的基本方法，如归纳法、逆否命题、等价命题等，通过具体的例子帮助学生理解和掌握这些方法。
c) 数学推理与证明的应用案例呈现一些数学推理与证明的实际应用案例，如几何相关问题、概率相关问题等，引导学生运用所学的数学推理和证明方法解决实际问题。
3. 教学实践a) 分组讨论将学生分成小组，给予一些具体的数学问题，要求他们合作进行推理和证明，鼓励学生发表自己的观点和想法。
b) 教师引导教师通过提问和引导，帮助学生加深对数学推理与证明的理解，并及时纠正他们的错误观念。
c) 学生展示鼓励学生将自己的推理和证明结果展示给全班，加强学生之间的交流和合作。
4. 巩固练习布置一些相关的课后习题，让学生自主巩固所学知识和技能，并及时反馈。
五、教学评价1. 观察学生在小组讨论和展示过程中的表现；2. 对学生的课后习题进行批改和指导；3. 利用小测验等方式对学生所学内容进行评估；4. 配合学校的评价体系，评估学生在数学推理与证明方面的能力。
2017年高考数学一轮复习 第十三章 推理与证明 第83课 合情推理教案
合情推理一、教学目标1．结合已经学过的数学实例和生活实例，了解合情推理的含义； 2．能利用归纳和类比等方法进行简单的推理； 3．体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 二、基础知识回顾与梳理 回顾要求1．阅读选修1-2第31~35页（理科：选修2-2第63~68页），完成下列任务：（1）了解什么是合情推理？归纳推理和类比推理的思维过程分别是什么？各有什么特点？（2）归纳推理和类比推理得到的结论一定是正确的吗？你能体会并认识合情推理在数学发现中的作用吗？2．在教材上空白处做以下题目：第33页练习第3、4题；第35页练习第2、3题（理科：第66页练习第3、4题；第68页练习第3、4题）． 要点解析1．归纳推理和类比推理是合情推理的两种常见形式，合情推理得到的结论都具有猜测的性质，不一定正确．2．归纳推理是从个别实事中推演出一般性的结论，是从特殊现象到一般现象的推理．通常归纳的个体数目越多，那么推广的一般性命题也会越可靠．3．类比推理是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同推演出它们在其他方面也相似或相同，是由特殊到特殊的推理．通常如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠．【教学建议】这部分主要是帮助学生复习、理解合情推理的概念，了解归纳推理与类比推理的区别与联系。
（1）教师可以自己或让学生举例说明什么是归纳推理与类比推理。
（2）联系：归纳推理与类比推理都是合情推理，由合情推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验。
因此，它不能作为数学证明的工具。
（3）区别：归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出这类事物的全部对象都具有这些特征的一种推理，它是由特殊到一般、由部分到整体的推理．而类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．例如，已知甲、乙两类对象都具有性质a b c ，，，且甲还具有性质d ，可以猜想乙也具有性质d ，这种推理就是类比推理．类比推理是由特殊到特殊的推理． 三、诊断练习1.数列 ,31,,13,7,3,1x 中的x 可以等于 ．【教学建议】本题考察归纳推理的相关知识。
高考数学一轮复习 第十三章 推理与证明 第84课 演绎推理教案(1)(2021年最新整理)
2017年高考数学一轮复习第十三章推理与证明第84课演绎推理教案(1) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年高考数学一轮复习第十三章推理与证明第84课演绎推理教案(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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演绎推理一、教学目标1．理解演绎推理的基本方法；2．会运用演绎推理进行一些简单的推理；3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系。
二、基础知识回顾与梳理回顾要求1．阅读教材选修1-2第36~38页（理科:选修2—2第70~72页），熟悉并搞清以下概念：大前提、小前提、结论，试举例说明。
2．演绎推理的特点是什么？对比归纳、类比的特点,它们有什么不同？3. 在教材上空白处做以下题目：第39页（理科:第72页）练习第3、4题．要点解析1．演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的,其结论一定是正确．2. 演绎推理的一般模式是三段论：⑴大前提---已知的一般原理;⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论---根据一般原理，对特殊情况做出的判断．应用“三段论”解决问题时,首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的,则可以省略.3。
三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.4。
合情推理和演绎推理在发现、证明每一个数学结论的过程中都起着非常重要的作用．在数学结论及其证明思路的发现中,主要依靠合情推理．而数学结论的证明、数学体系的建立，则主要依靠演绎推理．因此在数学学科的发展中,这两种推理都是不可缺少的．【教学建议】:知识梳理通过指导学生在课前复习回顾教材的内容和典型例题或练习，再由教师在课堂上帮助学生复习相关概念，最后由学生举出具体实例巩固概念.三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成3道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
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第十三章推理与证明
考纲展示命题探究
合情推理与演绎推理)
合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理，二者区别如下：
演绎推理是指从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．
它是由一般到特殊的推理，“三段论”是它的一般模式，包括：
()大前提——已知的一般原理；
()小前提——所研究的特殊情况；
()结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
注意点合情推理与演绎推理的结论的正确性
()合情推理得出的结论具有猜测性，不一定正确，但是，在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理能帮助猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理能提供证明的思路和方向．()在演绎推理中，若大前提、小前提、推理形式三者中有一个是错误的，所得的结论就是错误的.
．思维辨析
()归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．( )
()在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )
()“所有的倍数都是的倍数，某数是的倍数，则一定是的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( )
()在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )
答案()×()×()√()×
．因为对数函数＝(>，且≠)是增函数，而＝
是对数函数，所以＝是增函数，上面的推理错误的是( ) ．大前提．小前提
．推理形式．以上都是
答案
解析＝是增函数，这个大前提是错误的，从而导致结论错误．选.
．设函数()＝(>)，观察：
()＝()＝，
()＝(())＝，
()＝(())＝，
()＝(())＝，。