14第3章不定积分-概念性质
不定积分的概念与性质
式
任 意 常 数
例1 求 3x2dx 解: ( x3 ) 3x2 3x2dx x3 C
例2 求 cos xdx
解: (sin x) cos x cos xdx sin x C
例3
求
1dx x
解:
ln x 1
x
1dx x
ln
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) e xdx e x C (13) a xdx a x C
ln a
例5
求
1 x4
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
3. 设 k1 , k2 为非零常数
k1 f1( x) k2 f2( x)dx k1 f1( x)dx k2 f2( x)dx
三、基本积分表1
(1) kdx kx C(k是常数)
(2) xdx x1 C( 1)
第四节 不定积分的概念与性质
一 不定积分的概念 二 不定积分的性质 三 基本积分表
一、不定积分的概念
定义 在区间 I 内，函数f ( x)的带有任意常
数项的原函数，称为 f ( x)在区间I 内
的不定积分，记为 f ( x)dx
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被积 积分 表变 达量
例9 解：
求
2x2 1 dx x2( x2 1)
x22 (xx2211)dx
不定积分的定义和性质
2 )dx 3 1 x2
1 1 x2
dx
2
1 dx
1 x2
3arctan x2arcsin x C 1 x x2
例6 求积分 x(1 x2 ) dx.
解： 1 x x2 dx x(1 x2 )
x (1 x2 )dx x(1 x2 )
F(x)dx F(x) C,
dF(x) F(x) C.
结论能：否微根分据运求算导与公求式不得定出积积分分的公运式算？是互逆的.
实例:
x 1
1
x
xdx x1 C. ( 1) 1
结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，
不定积分的概念： f (x)dx F(x) C
基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质
解:
x6 6
x5,
x5dx x6 C. 6
例2
求
1 1 x2 dx.
解:
arctan
x
1 1 x2
,
1 1 x2
dx
arctan
x
C.
二、不定积分的基本性质
由不定积分的定义，可知
d dx
f
(x)dx
f
(x),
d[ f (x)dx] f (x)dx,
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x（C为任意常数）
不定积分概念及性质
定义1 设为某区间I 上的函数，如果存在函数，使在该区
间上有或，则称为在区间I 上的一个原函数。
如：，则是的一个原函数；
，则是的一个原函数；
例1设的一个原函数是，则_________.
原函数存在定理如果在区间I 上连续，则在区间I 上的原函数一定
存在。
说明：如果是在区间I 的一个原函数，显然（为任意
常数）也是的原函数，这说明如果存在原函数，应有无穷多个，的
全体原函数是一个函数族。
为全体原函数的一般表达式。
定义2设是在区间I 的一个原函数，则的全体原函数
称为在区间I 的不定积分，记
其中叫积分号，叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，为任意常数叫积分常数。
例2
∵
例3
∵时，
性质1 或
或
性质2 （是常数，）
性质3
例4
解原式=
例5
例6
解原式=
例7
解原式=
例8
解原式=
例9
解原式=
例10有一通过原点的曲线，其上任一点处的切线斜率为
，为常数，且知其拐点的横坐标为-1/3，求曲线方程。
解由题意：
故：
因曲线通过原点，得：c=0，又：，而拐点的横坐标为-1/3，故：
从而
所以所求曲线方程为：
例11 已知求.
解法一
解法二令，则：。
于是。
不定积分的概念和性质
解： (1)( x2 ) 2x x2的全体原函数是 x２＋C
(2) 同理可得 ex的全体原函数是 ex＋C
(3) 当 x 0
时，
当 x 0时，
(ln x ) ln x 1 ,
x
(ln x ) [ln(x] 1 ,
5ex
1 1 x2
)dx
3x 2 dx
5
e xdx
1 1 x2
dx
x3 5ex arctan x C
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4.1 不定积分的概念和性质
例4 (3x ex 5sin x)dx
解
(3x ex 5sin x)dx
3xexdx 5sin xdx (3e)x dx 5 sinxdx
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4.1 不定积分的概念和性质
例8
cos2 x dx
2
解 利用三角函数的半角公式，有cos2 x 1 cosx 22
c os2
x 2
dx
1
c os xdx 2
1 2
dx
1 2
c os xdx
1 x 1 sin x C 22
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4.1 不定积分的概念和性质
1
例9
(1) f (x) cosx
(2) f (x) 3x2
解(1) 因为sin x cosx,
所以 f (x)dx cosxdx sin x C.
解(2) 因为 x3 3x2,
所以 f (x)dx 3x2dx x3 C
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4.1 不定积分的概念和性质
例2 计算下列不定积分
➢ 4.1.1 原函数的概念
不定积分的概念与性质及基本积分公式
不定积分的概念与性质及基本积分公式不定积分是微积分中的重要概念，它是定积分的逆运算。
不定积分表示函数的原函数，也就是通过积分求导得到原函数。
在具体计算不定积分时，需要使用一些基本积分公式和性质。
一、不定积分的概念：不定积分是解决反向运动问题的方法，也就是求导的逆运算。
给定一个函数f(x)，它的不定积分表示为∫f(x)dx，其中f(x)称为被积函数，x为积分变量，∫表示不定积分。
二、不定积分的性质：1. 常数性质：∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为任意常数。
2. 线性性质：∫(u+v)dx = ∫udx + ∫vdx，其中u、v为可导函数。
3. 反向性质：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为任意常数。
三、基本积分公式：1.幂函数积分公式：a. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1b. ∫1/x dx = ln，x， + C。
c. ∫(1+x^2) dx = x + (1/3)x^3 + C。
d. ∫(1-x^2) dx = x - (1/3)x^3 + C。
e. ∫(1+x^2)^(-1/2) dx = arcsin(x) + C。
2.指数函数与对数函数积分公式：a. ∫e^x dx = e^x + C。
b. ∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C，其中a>0且a≠1c. ∫(1+x)^n dx = (1/(n+1))*(1+x)^(n+1) + C，其中n≠-1d. ∫(lnx) dx = xlnx - x + C。
3.三角函数积分公式：a. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
b. ∫cos(x) dx = sin(x) + C。
c. ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C。
d. ∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C。
e. ∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C。
不定积分的概念与性质
y x2 c
y = x2+1
o
x
那么 y = F (x) 一般，若 y = F (x) 是 f (x) 的一个原函数， 所表示的曲线称为 f (x) 的一条积分曲线. 由于不定积分
个，因此，不定积分表示为一族积分曲线 y = F (x)
+C，称它为f (x)的积分曲线族. 这就是不定积分 的几何意义．
例9. 求
2
2
1 - cos x 1 dx 1 - cos x dx 解: 原式 = 2 2 1 ( x - sin x) C. 2
例8. 求 解:
x 2 x 2 2 tan x dx 2 dx tan xdx 2x sec2 x - 1 dx ln 2
dx
2
arctanx C ;
(4) 因为 (e x ) e x , 所以得
e x dx e x C .
二、 基本积分公式
(1) (2)
利用逆向思维
k dx x
x
kx C
1 x 1 1
( k 为常数)
dx
C
( -1)
dx (3) ln x C x
1 6 ò x dx = 6 x + C x a x ò a dx = ln a + C (a > 0,a
5
1)
二、拓展练习
求下列函数的全体原函数 （1）
f ( x) 5
2
（2）
f ( x) -2 x
1 g ( x) x
（3） g ( x )
（4）
三、不定积分的性质
从不定积分定义可知: d 性质1 f ( x)d x f ( x) 或 d f ( x)dx f ( x) dx dx 性质2 F ( x) dx F ( x) C 或 d F ( x) F ( x) C 从此可见, 微分运算(以记号d表示)与求不定积分的 运算(简称积分运算,以记号 表示)是互逆的. 当记号 与d连在一起时, 或者抵消,或者抵消后差一个 常数.
高等数学 第3章不定积分
4、基本积分表 由于微、积分是互逆的两种运算，故利用导数公 式，不难得到基本初等函数的积分公式。
例4
解：
练习：
答：
例5
解：
例6
解：
经验之一：
整理为“多项式”形式是解决只含有幂 函数的积分方法之一
例7 解：
例8 解：
经验之二： 当含有指数函数或对数函数时，尽可能 化为公式形式积分。
经验：当被积函数为三角函数的奇次方时，我 们常分离出其中一个，放在微分因子中。
例24
解：
例25
解：
例26
解：
例27
解：
经验：降次总是一种求三角函数积分的有效方法。
例28
解：
例29
解：
经验： 利用三角恒等式转化被积函数也是方法之一
例30 解：
例31 解：
（二）第二换元积分法
但必须满足：
定理3.4（第二换元积分法） 证明:
例32
根式代换法
解：
例33
解：
（待续）
续
此时，为了计 算其它三角函数值， 可以借助辅助三角 形（如右）。
例34
解：
（待续）
续
例35
解：
被积函数定 义域为：x>a 或x<-a 此处先讨论 x>a的情形
由上例可知
（待续）
续
原式
思考x<-a的情形
三角代换法
高等数学
第3章 不定积分
主要内容:
一、不定积分的概念与性质 二、换元积分法 三、分部积分法 四、积分表的使用
一、不定积分的概念与性质
1、原函数的定义
如：
又如：
★注意：
★注意：
不定积分的概念与性质
y=x3+1.
三、不定积分的几何意义
【例4】
一物体作直线运动，速度为v(t) 2t 2 1m / s,当t 1s时，物体所经过的 路程为 3m，求物体的运动方程。
解：设物体的运动方程为 s s(t).依题意有 s(t) v(t) 2t 2 1, 所以
7 sinx dx = cosx C ;
8 sec2x dx tanx C ;
9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ; 1 x2
11
dx arctanx C ;
1 x2
例2：求下列函数的不定积分
01
1 dx x3
解：
1 dx x3
x 3dx
一、原函数与不定积分
一、原函数与不定积分
定义1
设f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数F(x)，使得对 任意x∈I均有
F′(x)=f(x)或dFx=fxdx, 则称函数Fx为fx在区间I上的一个原函数.
例如，因为(sin x)′=cos x,故sin x是cos x的一个原函数.又 如，当x>0时，(ln x)′=1/x，所以ln x是1/x在区间0,+∞上的 一个原函数. 注意：如果函数f(x)有原函数，那么原函数有无数个。
（2）
sin 2
1 x cos2
dx x
解： sin2
1 x cos2
dx x
1 cos2
dx x
1 sin 2
x
dx
sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
dx
不定积分的概念与性质
运动规律 .
x
解 建立如图所示的坐标系. 设质点的
x x(t)
运动规律为 x = x(t)，设质x 点抛出时刻为
x0 x(0)
t
=
0，
t
=
0
时的位置为
x
x0
,
速x(t度) 为
v0
.
O
于是可得
dx
dt
v(t),
x
|t0
x0
,
d2x dt 2
x0 g ,
O
dx dt
t 0
v0
.
x(0) x
原函数称为 f (x) ( 或 f (x)dx ) 在区间 I 上的不定积分，
记作 f (x)dx . 其中
积分号，
f (x)
f (x)dx 被积表达式， x
被积函数， 积分变量.
若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的原函数，则
f (x)dx F(x) C .
第一节 不定积分的概念与性质
f (x)dx F(x) C ,
称 F(x) + C 的图形为 f (x) 的积分曲线. 积分曲线是 一簇平行曲线，它们在横坐标相同的点的切线平行.
例如，y = cos x 的积分曲线如下：
第一节 不定积分的概念与性质
y
O
x0
x
y = cos x 的积分曲线
第一节 不定积分的概念与性质
(2) 积分运算与微分运算是互逆运算
第一节 不定积分的概
例3 求 x(x3 7)dx .
例6 求求 ccooss22 22xxddxx ..
解
x(x3
7
1
第7)一dx节不定(x积2分的7解概x 2念)d与x性co质s2
不定积分的概念与基本性质
不定积分的概念与基本性质在微积分中，积分是一个重要的概念和工具。
它可以看作是微分的逆运算，用于求解函数的原函数。
在不定积分中，我们将讨论不定积分的概念以及其一些基本性质。
一、不定积分的概念不定积分，又称为反导数，表示对一个函数进行积分得到的结果。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的不定积分可以表示为∫f(x)dx。
二、基本性质1. 线性性质：对于任意常数C，以及可积函数f(x)和g(x)，有以下公式：（1）∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx（2）∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx这意味着我们可以将一个复杂的函数拆分成多个简单函数的和或差的形式进行积分计算。
2. 保号性质：若在[a,b]上，有f(x)≥0，则∫f(x)dx≥0。
这个性质告诉我们，如果函数在某个区间上始终保持非负，则其在该区间上的积分也将非负。
3. 常数项性质：若函数f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个原函数，则对于任意常数C，有∫f(x)dx=F(x)+C。
这个性质表明，不定积分的结果存在无穷多个，只相差一个常数项。
4. 换元法则：设函数f(u)在区间[a,b]上可积，且u=g(x)是可导函数，且导函数g'(x)连续，则有以下公式：∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C其中，F(u)是f(u)的一个原函数。
换元法则为我们提供了一种通过变量代换简化计算的方法。
5. 分部积分：若函数u(x)和v(x)在区间[a,b]上可导，且连续，则有以下公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx这个公式将一个积分变为了另一个积分和一个乘积的形式，通常用于解决无法直接积分的情况。
三、结论通过本文的论述，我们了解了不定积分的概念和基本性质。
不定积分是对函数进行积分的逆运算，可以求解函数的原函数。
不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分定义1 如果对任一I x ∈，都有 )()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。
例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。
2211)1l n ([xx x +='++，即)1ln(2x x ++是211x+的原函数。
原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。
注1：如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。
设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。
注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即 C x G x F =-)()( （C 为常数）注3：如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。
定义2 在区间I 上，)(x f 的带有任意常数项的原函数，成为)(x f 在区间I 上的不定积分，记为⎰dx x f )(。
如果)(x F 为)(x f 的一个原函数，则C x F dx x f +=⎰)()(，（C 为任意常数） 例1． 因为 23)3(x x='， 得⎰+=C xds x332例2． 因为，0>x 时，xx 1)(ln ='；0<x 时，xx xx 1)(1])[ln(='--='-，得xx 1)||(l n ='，因此有⎰+=C x dx x||ln 1例3． 设曲线过点)2,1(，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。
第3-1不定积分的概念和性质
(8)
(9)
tan x C sec x d x
2 csc x d x cot x C
(10) (11)
(12)
(13)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C dx 1 x arctan x C 或 arc cot x C
其中
— 积分号;
— 积分变量; C —积分常数
— 被积函数; — 被积表达式.
例如,
2 x dx x C cos xdx sin x C
2
例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解: 设此曲线方程为y f ( x ),
2
2
6. 求不定积分 解：
(e 2 x e x 1)
7. 已知 求A,B.
x
2
1 x2
dx A x 1 x B
2
dx 1 x2
解: 等式两边对 x 求导, 得
x
2
1 x2
A 1 x
2
Ax
2
2
1 x2
B 1 x2
( A B ) 2 Ax
2
dx 1 x2
arcsin x C 或 arc cos x C
例2. 求 解: 原式 = 3 2 dx 4
x
1 1 x2
dx 5 csc 2 xdx
3 x 2 4arcsin x 5cot x C ln 2
3 ( x 1 ) 例3. 求 x 2 dx . 3 2 x 3 x 3 x 1 解: 原式 = dx 2 x 3 1 ( x 3 2 )dx x x
不定积分的概念和性质
不定积分的概念和性质
也就是说，连续函数一定有原函数.下面我们进一步讨论原函数的相关知识.
由于 x2 x2 2 x2 35 2x，所以x2、x2 2、x2 35都为2x的原函数.
由此例可以看出：如果函数f x有一个原函数，则f x就有无穷多个原函数，而这些原
函数之间仅差一个常数，即
即不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式），一个函数的导数（或微分）的不定 积分与这个函数相差一个常数 .
不定积分的概念和性质
性质2
被积表达式中的非零常数因子，可以移到积分号前 .
kf xdx k f xd（x k 0，常数）.
性质3
两个函数代数和的不定积分，等于两个函数积分的代数和.
例3 解
设所求曲线方程为y F x，因为y F x 3x2，由不定积分定义，有
F x 3x2dx x3 C .
因所求的曲线过点1，3，代入得C 2，于是所求的曲线方程为 y x3 2.
不定积分的概念和性质
1.3 不定积分的性质 性质1
不定积分与求导数或微分互为逆运算.
（1） f xdx f x 或 d f xd x f xdx. （2） F xdx F x C 或 dF x F x C.
对于每一个给定的常数C，F x C表示坐标平面上的一条确 定的曲线，这条曲线称为f x的一条积分曲线 .由于C可以取任意
值，因此不定积分 f xdx表示f x的一族积分曲线 . 而其中任意
一条积分曲线都可以由曲线y F x沿 y 轴方向上、下平移得
到，如图4-1所示.
图4-1
不定积分的概念和性质
F x C F x f x (C为任意常数) . 所以F x C是f x的原函数.
第3章不定积分
例7 求 (ex 3cosx)dx 。
解：原式 exdx 3 cosxdx
ex 3sin x C
例8 求 2x exdx 。
解：原式 2ex dx
2ex C 2 x e x C
ln 2e
1 ln 2
经验之二： 当含有指数函数或对数函数时，尽可能 化为公式形式积分。
可有原函数。 连续函数必有原函数。
即若 f x 在 I 上 c.t. ，则必 Fx s.t.， 当 x I 时， Fx= f x 。
★注意：
2、若 Fx= f x ，则有 Fx C = f x
因此 f x 若有一个原函数，则必有无限多个原函数．
x2
1 x2 1 1 x2
1dx
x2
1
1 1 x2
dx
x2dx
dx
1 dx 1 x2
x3 x arctan x C 3
经验之三：
化有理式函数为“整式+真分式”是 一种必然的方法。
例11 求 tan2 xdx 。
解：原式 (sec2 x 1)dx
1 arctan x C
a
a
a
类似地，可以得到：
1 dx 1 dx
a2 x2
a
1
x
2
a
d x a
arcsin x C
1
x
2
a
a
例21 求 1 dx x2 a2
解：原式
(
x
1
a
x
1
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因为 F(x) 是 F(x) 的原函数
即：微分（以 d 表示）与积分（以 表示）是互逆
的两种运算，二者一起运算时，要么抵消运算符， 要么抵消之后相差一个常数。
练习：判断正误，并说明原因
1) d dx
ln a
5.
dx 1 x2
arctanx C1
arccot x C2
;
6.
dx 1 x2
arcsinx C1 arccosx C2 ;
7. cosx d x sin x C ;
8. sin x d x cosx C ;
9.
1 cos2
计算方法：
求函数的不定积分，只要求得它的 一个原函数，加上任意常数 C 即可。
3、不定积分的几何意义： 一个原函数对应于一条积分曲线 不定积分对应于积分曲线簇
——无穷多条积分曲线 被积函数对应于切线的斜率
——同一横坐标处切线平行
例1 求 x2 d x 。
解： 因为 ( x3 ) x2 3
若 (x) ， Fx 为 f x 的 两原函数，则
((x) F(x)) = f (x) f (x) 0 故 (x) F(x) C
2、不定积分的定义
在区间 I 内， f (x) 的带有任意常数项的原函
数 Fx C 称为 f (x) 在区间 I 内的不定积分，
x
d
x
sec2
x
d
x
tan
x
C
;
10.
1 s in 2
x
d
x
csc2
x
d
x
cot
x
C
;
11. secx tan x d x secx C 12. cscx cot x d x cscx C ;
例4
求
1 x3
d
x
。
解：
1 x3
d
x
x3 d x
例12
求
sin 2
xdx。 2
解：原式
1 2
1
cos
xd
x
1 2
1 cosxd x
1 2
dx
cosx d x
1 x sin x C
2
例13
求
1
dx。
sin 2 x cos2 x
22
解：原式=
1 sin x 2 d x
证明：两边取导数即可。 但要注意其中的任意常数。
三、基本积分表
由于微、积分是互逆的两种运算，故利用导数公 式，不难得到基本初等函数的积分公式。
1.
k d x kxC ;
2.
x
d
x
x 1
1
C
( 1)
3.
dx x
ln
x
C ;
4. ax d x ax C ; ex d x ex C;
如：当 x R 时有 sin x = cos x ，便称 sin x 为 cos x 在
R 上的一个原函数。
又如：
因为 (ln x) = 1 ，所以称 ln x 是 1 的一个原函数。
x
x
★注意：
1、这里 Fx可导，即原函数是可导的，但对 f x 来 说，它是 Fx 的导函数，那么 f x 什么条件有原
高等数学
主讲人：梅 挺
第3章 不定积分
第1节 不定积分的概念与性质
主要内容： 一、不定积分的概念 二、不定积分的性质 三、基本积分公式
一、不定积分的概念
1、原函数的定义
若对任意 x I ，有 F(x) f (x) 或 d F(x) f (x) d x ，
称 F(x) 为 f (x) 在区间 I 内的一个原函数。
x2
解：原式
x3 3x2 3x 1
x2
dx
x 3
3 x
1 x2
d x
x d x 3
d x 3
dx x
dx x2
x2
1
3x 3ln x C
2
x
经验一：
整理为“多项式”形式是解决只含有 幂函数的积分方法之一。
例7 求 (ex 3cosx) d x 。
x2
1
1
1 x
2
d x
x2 d x
dx
1 1 x2
dx
x3 x arctan x C 3
经验三：
化有理式函数为“整式+真分式”是 一种必然的方法。
例11 求 tan2x d x 。
解：原式 (sec2x 1) d x
tan x x C
1 x 31 C 31
1 C 2x2
练习： 1．求 x2
答：
1. x2 x d x
5
x2 d x
5 1
x2
C
5 1
2
2 x3 x C 7
x
d
x ；2．求
d x
x 3x
。
dx
2. x 3 x
4
x 3dx
1
4 1
x 3 C
2）预习：第3章第2节换元积分法
4 sin2 x d x
2
4 csc2x d x 4cot x C
经验四：
化弦、降次、利用恒等式是解决 三角函数积分的有效方法。
小结：
熟记所列全部积分公式 熟练运用积分性质计算不定积分 注意总结积分经验
课后作业
1）作业：课本第82页练习3-1： 1，2 ， 3（偶数项题目）
故有： f x 2x ，即： f x 2x d x ，
因为 x2 C 2x ， 所以f x x2 C
又曲线过点 1,2 ，即： 2 12 C ，所以： C 1，
故所求曲线方程为： y x 2 1
二、不定积分的性质
1、 ( f (x) d x) f (x) 或 d( f (x) d x) f (x) d x 因为 f (x) d x 为 f (x) 的原函数
4 1
3
3 3x
C
例5 求 x (x2 5) d x 。
5
1
解： 原式 (x2 5x2 ) d x
5
1
x2 d x 5x2 d x
5
1
x2 d x 5 x2 d x
2
7
x2
5
2
3
x2
C
7
3
例6 求 (x 1)3 d x 。
例9
求
1 x2 x(1
x3 x2)
d
x
。
解：原式
(
1 x
1
1
1 x2
)
d
x
1 x
d
x
d
x
1
1 x
2
dx
ln x x arctanx C
例10
求 x4
1 x2
dx。
解：原式
x4 1
1 x2
1
d
x
x2 1 x2 1 1d x 1 x2
即 x3 是 x 2 的一个原函数， 3
所以
x2
dx
x3 3
C
例2
求
1 1 x2dΒιβλιοθήκη x。解：因为
(arc
tanx)
1
1 x2
所以
1
1 x2 d x arctanx C
例3 某曲线过点 (1,2) ，且其上任一点切线之斜率为
该点横坐标之 2 倍，求此曲线方程。
解：设此曲线方程为 y f x， 因其上任一点的斜率为 f x
解：原式 ex d x 3 cosx d x
ex 3sin x C
例8 求 2x ex d x 。
解：原式 2ex d x
2ex C 2 x e x C
ln 2e
1 ln 2
经验二：
当含有指数函数或对数函数时，尽可能 化为公式形式积分。
记为： f (x)d x ， 即 f (x)d x F(x) C
f (x)d x F(x) C
积 分 号
被 积被 函积 数表
积 积原分 分函常 变数数
达量
式
★理解
1、 C 为任意常数，具有任意性， 故 C 2n1, kC 也是任意常数；
2、不定积分表示了 f (x) 的所有原函数。
函数？
连续函数必有原函数。
即若 f x 区间在 I 上连续，则必存在 Fx 使得， 当 x I 时， Fx= f x 。
★注意：
2、若 Fx= f x ，则有 Fx C = f x
因此 f x 若有一个原函数，则必有无限多个原函数．
3、 f (x) 的任意两原函数之间相差一个常数．
f (x)d x
f (x)
1）正确
2) f (x)d x f (x)
2) f (x) C