2.3 基本初等函数(1)二次函数

2.3 基本初等函数（1）
二次函数
一、知识要点
1．二次函数的解析式
（1）一般式：___________________________________________________________________；
（2）顶点式：___________________________________________________________________；
（3）双根式（两点式）：___________________________________________________________；求二次函数解析式的方法：待定系数法。

2．二次函数的图像和性质
二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为__________________，顶点坐标是_______________________。

（1）当0a >时，_______________________________________________________________ ______________________________________________________________________________。

（2）当0a <时，_______________________________________________________________ ______________________________________________________________________________。

（3）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当240b ac ∆=-≥时，图像与x 轴有两个交
点11,(0)M x 、22,(0)M x ，1212M M x x =-=。

3．二次函数在闭区间上的最值
（1）当0a >时，()f x 在区间[],p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2
x p q =+。

①若2b p a
-
<，则：m =_____________，M =______________； ②若02b p x a
≤-<，则：m =_____________，M =______________； ③若02b x q a
≤-<，则：m =_____________，M =______________； ④若2b q a -≥，则：m =_____________，M =______________。

（2）当0a <时，()f x 在区间[],p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2
x p q =+。

①若2b p a
-
<，则：m =_____________，M =______________； ②若02b p x a
≤-<，则：m =_____________，M =______________； ③若02b x q a
≤-<，则：m =_____________，M =______________； ④若2b q a -≥，则：m =_____________，M =______________。

4．一元二次方程根的讨论
设实系数一元二次方程：2()(0)f x ax bx c a =++≠。

（1）方程有两个不等正根{⇔
（2）方程有两个不等负根{⇔
（3）方程有一正根一负根⇔
（4）一元二次方程：2()(0)f x ax bx c a =++≠的区间根问题，一般情况下需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴2b x a
=-
与区间端点的关系。

二、典型例题
1．已知()1()()()f x x a x b a b =---<，,m n 是()f x 的零点，且m n <，则,,,a b m n 从小到大的顺序是____________________。

2．已知22()1f x x x kx =-++，若关于x 的方程()0f x =在(0,2)上有两个解12,x x ，则k 的取值范围是____________________。

3．已知二次函数2()f x ax bx c =++满足条件：①(3)()f x f x -=；②(1)0f =；③对任意实数x ，11()42
f x a ≥
-恒成立。

求()f x 的解析式。

4．已知函数2()(0)f x ax bx a =+≠满足条件：(5)(3)f x f x -+=-，且方程()f x x =有等根。

（1）求()f x 的解析式；
（2）是否存在实数m 、n （m n <），使()f x 的定义域和值域分别是[],m n 和[]3,3m n ？如果存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由。

5．已知函数2()25(1)f x x ax a =-+>。

（1）若()f x 的定义域和值域均是[]1,a ，求实数a 的值；
（2）若()f x 在区间(],2-∞上是减函数，且对任意[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4f x f x -≤，求实数a 的取值范围。

6．设关于x 的方程210x mx --=有两个实根α、β，且αβ<。

定义函数22()1
x m f x x -=+。

（1）求()()f f ααββ+的值；
（2）判断()f x 在区间(),αβ上的单调性，并加以证明；
（3）若,λμ为正实数，证明不等式：(
)()f f λαμβμαλβαβλμλμ
++-<-++。

三、小结（这次课我学到了什么?）
二次函数作业
一、填空题
1．已知函数224,0,()4,0.
x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩若()2(2)f a f a ->，则实数a 的取值范围____________________________。

2．已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[]0,3上的最大值为2，则t =_______________。

3．二次函数2()f x ax bx c =++，a 为正整数，1c ≥，1a b c ++≥，方程2
0ax bx c ++=有两个小于1的不等正根，则a 得最小值为____________。

4．已知函数2()2f x x x a =++，2()962f bx x x =-+，其中x R ∈，,a b 为常数，则方程()0f ax b +=的解集为__________________________。

5．关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根；其中真命题有__________________。

（填序号）
6．已知函数2()f x ax bx c =++，满足(1)0f =，a b c >>。

（1）c a
的取值范围是_________________。

（2）若该函数的图像交x 轴与A ，B 两点，则AB 的取值范围是__________________。

二、解答题
1．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足关系1
109()(,0100)33
g t t t N t =-+∈<≤，在前40天里的价格为1()22(,040)4
g t t t N t =+∈<≤，在后60天里价格为1()52(,40100)2
g t t t N t =-+∈<≤，求这商品的日销售额的最大值。