中考数学专题15 代数中的极值与定值问题1

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《定值问题》专题精讲

《定值问题》专题精讲1.定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.2.探索圆锥曲线定值问题的两种方法(1)从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.解答的关键是认真审题,理清问题与题设的关系,建立合理的方程或函数,利用等量关系统一变量,最后消元得出定值.典例1如图,倾斜角为α的直线经过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.(1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;(2)若α为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明:|FP|−|FP|cos2α为定值,并求此定值.思路:理解抛物线与直线位置关系的定值问题,求|FP|−|FP|cos2α定值,属于求代数式为定值.依题意设条件,推测、分析、计算得到与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值. 解析:(1)焦点F(2,0),准线l:x=−2.(2)直线AB:y=tanα(x−2),①将28yx 代入①,整理得y2tanα−8y−16tanα=0,②设方程②的两根为y 1,y 2,则12128,tan 16.y y y y α⎧⎪⎨⎪==-⎩+设AB 中点为M (x 0,y 0),则120004,2tan 2,tan y y y y x αα⎧⎪⎪⎨⎪⎪+=+⎩== AB 的垂直平分线方程是21144(2)tan tan tan y x ααα-=---. 令y =0,则246tan x α=+,有24(6,0)tan P α+ 故|FP |=|OP |−|OF |=22241624(1)4cos tan tan ααα+-=+=, 于是24||||cos 2(1cos 2)8sin FP FP ααα-=-=,故为定值. 典例2 (陕西咸阳高三二模)已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)过点3(1,)2,且其离心率为12,过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别相交于M ,N 两点.(1)求椭圆C 的方程;(2)是否存在圆心在原点的定圆与直线MN 总相切？若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.思路:第(1)问根据所过点以及离心率,分析计算出椭圆方程;第(2)问考虑两种情况,即直线MN 的斜率存在与不存在,联立直线与椭圆方程,利用根与系数的关系分析计算即可.解析:(1)∵椭圆C 经过点3(1,)2, ∴221914a b+=. 又∵12c a =,解得a 2=4,b 2=3, ∴椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)当直线MN 的斜率不存在时,由对称性,设M (x 0,x 0),N (x 0,−x 0).∵M ,N 在椭圆C 上,∴2200143x x +=,∴20127x =. ∴O 到直线MN的距离为0||7d x ==,所以22127x y +=. 当直线MN 的斜率存在时,设MN 的方程为y =kx +m , 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得222(34)84120k x kmx m +++-=. 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 则21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++. ∵OM ⊥ON ,∴x 1x 2+y 1y 2=0,∴2212121212()()(1)()0x x kx m kx m k x x km x x m +++=++++=. ∴22222224128(1)0,3434m k m k m k k -+⋅-+=++即22712(1)m k =+. ∴O 到直线MN的距离为7d ===, 故存在定圆22127x y +=与直线MN 总相切.。

中考数学定值问题 ppt课件

C
A
E4 2 B
1 O
F3
D
在以AB为直径的半圆上任意取一点C，过C 点作切线CP交AB的延长线于点P，∠APC的平分线交AC于点D 求证：∠PDC为定值.
C
D
A
O
×
×
B
P
或最短时点P的位置；如果不发生变化，请给
出你的证明．
C’
C
A P
O1
O2
P
B D’ D
已知，如图10(甲)，正方形ABCD的边长为2,
点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点,
P不运动到M和C,以AB为直径做⊙O，过点P
作⊙O的切线交AD于点F,切点为E.
（1）求四边形CDFP的 D 周长；
C P
A( 2,0)
B
CAO45
AO
Mx
C 第25题图①
（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，同时，直线l绕点A顺时针匀速旋转。当⊙B第一次与⊙O相切时，直线l也恰好与⊙B第一次相切。问：直线AC绕点A 每秒旋转多少度？
y
B
B
1
AOD
( 2,0)
Mx
C 第25题图①
（3）如图②，过A、O、C三点作⊙O1，点E为劣弧AO上一点，连接EC、EA、EO，当点E在劣弧AO上运动时(不与A、O两点重合)， E C E A 的值是否发生变化？如果不
M
E
F
AO
B
已知，如图10(甲)，正方形ABCD的边长为2, 点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点, P不运动到M和C,以AB为直径做⊙O，过点P 作⊙O的切线交AD于点F,切点为E.
（2）试探索P在线段 D

中考数学中的极值问题

中考数学中的极值问题【摘要】最大最小值问题在初中阶段是一块较为复杂的内容，主要涉及到函数、不等式以及部分几何问题，对于学生来讲是一个较难理解和掌握的单元，本文就各地中考中出现的各种极值问题进行归类讨论，方便教师在进行极值问题教学的时候参考和举例。

【关键词】极值问题；一次函数；二次函数；平面几何；最短路线在历年的中考中极值问题是最为常见的题型，富有变化力、形势多样、考察内容全面。

对于学生来讲，需要掌握多种题型的解答方法。

例如：二次函数的性质、根据抛物线开口方向确定自变量、函数值、单调性和顶点坐标，说明二次函数在什么情况下取得最大（小）值等等，下面笔者例举几大常见的题型，方便教师教学时参考。

1.运用一次函数和二次函数来求最值此类题型最为常见，一次函数y=kx+b（k0）的最大最小值取决于自变量，只有x限定了范围则在该范围内才存在极值。

假定x1xx2，当k0（k<0），x=x1取最小（大）值，x=x2取最大（小）值。

二次函数y=ax+bx+c（a0），当a0时（a0），x=-b/2a时在其定点处取最小（大）值。

例1.y=x+x+1/2，求其最值。

解析：学生在做该题的时候要注意第一个问题，最值是最大还是最小值，这是一个采分点。

这种题最为简单，但是也最容易在这里丢分。

许多学生看到简单的题放松警惕，反而会在这些不起眼的地方摔跤。

所以该题的最小值为为顶点y 坐标（4ac-b）/4a=3/42.平面几何中的最值问题在这类问题中，一般是当一种或多种几何元素在给定的条件变动时，求一种或几种几何量：例如，图形面积、角的度数、线段长度的最大值或最小值问题，这种最值问题的解决方法通常有以下两种：（1）利用代数的证法：利用一元二次方程根的判别式。

运用配方法来求出二次三项式最值；利用几何的性质：在连接直线外的一点与直线上各点的所有连接线段中，垂线段最短；在定圆中的所有弦中，直径最长。

三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；两点之间线段最短；下面列举几道例题。

2024年中考数学专题复习定值与最值问题

定值与最值问题1、平面几何最值问题：在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

线段最值问题的解决通常方法：应用几何性质．①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长．基本类型有：将军饮马、选址造桥、线段之差的最大值，隐圆最值，瓜豆原理，胡不归最值，阿氏圆等。

2、立体几何最值问题：展开平面图形，根据平面几何最值问题方法去做！3、代数最值问题：无非就是根据完全平方公式或者二次函数的知识去求解！例1．如图，A、B两个机离线l的距离分别是3米，5米，CD＝6米，若由l上一点分别向A，B连线，最短为()A．11米B．10米C．9米D．8米1．如图Rt△ABC中，AB＝BC＝4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED、EB，则△BDE周长的最小值为()A．2 5 B．2 3 C．25＋2 D．23＋22．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB 的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为__ ．3．直线l1、l2交于点O，A、B是两直线间的两点，从点A出发，先到l1上一点P，再从点P到l2上一点Q，再回到点B，求作P、Q两点，使四边形APQB周长最小．4．A、B是位于河流两旁的两个村庄，要在这条宽度为d的河上建一条垂直的桥，使得从A村到B村的距离之和最短．试着画出桥应该建在何处？例2．如图，AC⊥BC于C，连接AB，点D是AB上的动点，AC＝6，BC＝8，AB＝10，则点C到点D的最短距离是（）A．6 B．8 C．403D．2451．如图，点A 的坐标为（1，0），点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（）A ．（0，0）B ．（21-，21-）C ．（22，22-）D ．（22-，22-） 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点A （﹣4，0）、B （0，4），⊙O 的半径为1，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为_________．例3．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，∠A ＝135°，点P 、M 、N 分别为对角线BD 及边BC ，CD 上的动点，则PM ＋PN 的最小值为__ ．1．如图，∠ABC ＝45°，BC ＝42，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，M 、N 分别是BD 和BC 上的动点(M 与B ，D 两点不重合，N 与B ，C 两点不重合)，则CM ＋MN 的最小值为__ ．2．如图，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一定点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA ，OB 上的动点，则△PQR 周长的最小值为__ ．例4．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，CD =4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于．1．如图所示，已知11(,)2A y ，2(2,)B y 为反比例函数1y x =图象上的两点，动点(,0)P x 在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（）A ．1(,0)2B ．(1,0)C ．3(,0)2D ．5(,0)22．点A 、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA +QB 的值最小的点，则OP *OQ = ．例5．在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC =2．设tan ∠BOC =m ，则m 的取值范围是_________．1．如图, △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，O 为AC 的中点，过O 作OE ⊥OF ，OE 、OF 分别交射线AB 、BC 于E 、F ，则EF 的最小值为．2．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF =90°，则EF 的最小值是_____________．例6．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+1．如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A ．13cmB ．12cmC ．10cmD ．8cm2．如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9cm π，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线最短为 cm ．第1题第2题例7．求二次三项式2x 2x +3的最小值．1．求代数式﹣2x 2+3x +5的最大值．例9．如果P 是边长为2的正方形ABCD 的边CD 上任意一点且PE ⊥DB ，PF ⊥CA ，垂足分别为E ，F ，则PE ＋PF ＝__ __．1．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( )A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定2．如图，在平面直角坐标系x O y 中，矩形AOCD 的顶点A 的坐标是（0,4），现有两动点P 、Q ，点P 从点O 出发沿线段OC （不包括端点O ，C ）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C 运动，点Q 从点C 出发沿线段CD （不包括端点C ，D ）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D 运动．点P ，Q 同时出发，同时停止，设运动时间为t 秒，当t =2秒时PQ =52．（1）求点D 的坐标，并直接写出t 的取值范围；（2）连接AQ 并延长交x 轴于点E ,把AE 沿AD 翻折交CD 延长线于点F ,连接EF ，则△A EF 的面积S 是否随t 的变化而变化？若变化，求出S 与t 的函数关系式；若不变化，求出S 的值．1．如图，在正方形ABCD 中，G 是正方形内一点，AD =4，P 是BC 的中点，且BG =BP ，则DG +12GC 的最小值是__________．（提示：考虑用相似转化，系数需要化成相同）。

初三数学中考专题极值问题

极值问题1.实数x 、y 满足5422=--y x x 求x-2y 的取值范围。

2. 阅读理解：对于任意正实数a 、b ，∵2≥0，∴a b -≥0，∴a b +≥a ＝b 时，等号成立．结论：在a b +≥a 、b 均为正实数）中，若ab 为定值p ，则a+b≥a ＝b 时，a+b 有最小值根据上述内容，回答下列问题： (1)若m ＞0，只有当m ＝时，1m m+有最小值． (2)思考验证：如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上任意一点（与点A 、B 不重合），过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，AD ＝a ，DB ＝b ．试根据图形验证a b +≥(3)探索应用：如图，已知A(－3，0)，B(0，－4)，P 为双曲线xy 12=（x ＞0）上的任意一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D ．求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．3.已知点A 的坐标为（-4,8），点B 的坐标为（2，2）,⑴请在y 轴上找到一点P ，使PA+PB 最小，求出最小值、此时P 点的坐标。

⑵请在x 轴上找到一点P ，使PA+PB 最小，求出最小值、点P 的坐标； ⑶请在y 轴上找到一点P ，使PB PA -最大，求出最小值、P 点的坐标。

⑷在y 轴上找一点M ，使点M 到点C （-2，0）的距离和到直线AB 的距离之和最小，请求出最小值; 延伸若点'C 的坐标为（2，0），在y 轴上找一点N ，使点N 到点'C 的距离和到直线AB 的距离之和最小，请求出最小值(2)图(3)图⑸已知点A 的坐标为（-4,8），点B 的坐标为（2，2）,点C 的坐标为（-2，0），把点A 和点B 向左平移m 个单位，得到点'A 和点'B ,使'A C+C 'B 最短，求m 的值。

（6）如图，已知点A 的坐标为（-4,8），点B 的坐标为（2，2）,点C 的坐标为（-2，0），点D 的坐标为（-4，0），把点A 和点B 向左或向右平移m 个单位，得到点'A 和点'B ,使四边形'A 'B CD 的周长最短，求m 的值。

初中数学代数最值问题

初中数学代数最值问题
在初中数学中，最值问题是一个非常重要的概念，尤其是在代数中。

最值问题主要是探究一个函数的最大值或最小值，并且通过运算来求得最值。

最值问题的求解方法有很多，其中比较常见的是函数图像法和代数法。

函数图像法主要是通过画出函数图像来找出最值，而代数法则是通过解方程来找出最值。

在具体的求解过程中，要根据问题中的条件和要求来选择合适的方法进行求解。

在代数中，最值问题主要涉及到函数的极值和最值。

函数的极值分为极大值和极小值，而最值则分为最大值和最小值。

一般来说，求极值和最值需要通过求导数的方法来进行，具体的求解过程需要根据不同的函数类型来选择不同的求导方法。

综上所述，初中数学代数最值问题涉及到的知识点非常广泛，需要同学们掌握一定的代数基础和求解方法。

只有通过不断的练习和学习，才能够在最值问题中游刃有余，轻松解决各种问题。

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初中数学定值定点最值问题

初中数学定值定点最值问题初中数学定值定点和最值问题是中考数学压轴题常考考点，对于定值定点问题可以采用特殊点，特殊值和特殊位置确定其值是多少，然后采用一般法去证明，最值问题一般是线段的和与差，最常用的方法是“化折为直”比如常见的“将军饮马问题”、“胡不归问题”、“阿氏圆问题”、“隐圆问题”。

例1.对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣6a总不经过点P（m+1，4﹣2m），则符合条件的点P的坐标为．变式1.若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则写出符合条件的点P的坐标：．变式2.若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣6a总不经过点P（m﹣2，m2﹣9），写出符合条件的点P的坐标：．变式3.若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0，2x0﹣6），写出符合条件的点P的坐标：．变式4.若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（m﹣3，m2﹣16），写出符合条件的点P的坐标：．变式5.若对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）总不经过点P（x0﹣3，x0﹣5）写出符合条件的点P的坐标：．变式6.若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），写出符合条件的点P的坐标：．例2.已知抛物线y＝ax2﹣2anx+an2+n+3的顶点P在一条定直线l上．求直线l的解析式；例3.我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．例4.如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧上任意一点，求证：为定值．例5.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sin A＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为．例6.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG ∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，求四边形ACGH周长的最小值例7如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．例8.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．例9.如图，A，B两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x轴上找一点P，使线段P A+PB的值最小，则点P的坐标是．例10.如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．当△OAB的面积为15时，P是抛物线上的动点，当P A﹣PB的值最大时，求P的坐标以及P A﹣PB的最大值．例11.如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．①求AG+GM的最小值；②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．例12.如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE ⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．。

中考数学专题19 几何中的极值与定值问题1

几何中的极值与定值问题（一）【考点精析】几何中的极值与定值问题是中考的重点内容，这类问题往往与圆的相关知识、分类讨论问题放在一起综合考查．通过一定量的针对训练，可以锻炼和提高我们的逻辑思维能力和综合分析的能力．【典型例题】例1．已知：如图，点P 是半径为5cm 的⊙O 外的一点，OP=13cm ；PT 切⊙O 于T 点，过P 点作⊙O 的割线PAB （PB ＞PA ）．设PA=x ，PB=y ．（1）求y 关于x 的函数解析式，并确定自变量x 的取值范围．（2）这个函数有最大值吗？若有，求出此时△PBT 的面积；若没有，请说明理由．（3）是否存在这样的割线PAB ，使得PBT PAT S S ∆∆=21？若存在，请求出PA 的值；若不存在，请说明理由．例2．已知：如图，△ABC 内接于一圆，∠ACB=90°，AB=2π，以C 点为圆心的⊙C 与AB 相切于D 点，与CA ，CB 分别相交于E ，F ，设∠CAB=α，∠CBA=β，且tan α，tan β是一元二次方程x 2+px+q=0的两个根．解答下列问题：（1）若p + q=－1，证明：方程x 2+px+q=0有两个相等的实数根；（2）设面积S=CEF ABC S S 扇形-∆，试求S 的最大值，当S 为最大值时，p ，q 的值各为多少？例3．已知：如图，⊙O 的半径为R ，锐角△ABC 内接于⊙O ，且BC=a ．（1）求证：R BACa2sin =∠；（2）若BC 边上的高为AD ．求证：AB ·AC=2R ·AD ，并指出点A 在什么位置时AB ·AC的值最大；（3）若32sin =∠BAC ，BC=4．求当AB ·AC 的值最大时△ABC 的面积．例4．如图，已知：在直角坐标系中，点E 从O 点出发，以1个单位∕秒的速度沿x 轴正方向运动，点F 从O 点出发，以2个单位∕秒的速度沿y 轴正方向运动．B （4，2），以BE 为直径作⊙O 1．（1）如图①，若点E ，F 同时出发，设线段EF 与线段OB 交于点G ，试判断G 与⊙O 1的位置关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，连结FB ，几秒时FB 与⊙O 1相切？（3）如图②，若点E 提前2秒出发，点F 再出发．当点F 出发后，E 点在A 点左侧时，设BA ⊥x 轴于A 点，连结AF 交⊙O 1于点P ，试问AP ·AF 的值是否会发生变化？若不变，请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围．①②【课堂练习】1．矩形ABCD 的周长为16，点P 是矩形上任一点，则点P 到对角线AC ，BD 的距离之和的最大值是（）． A ．8B ．4C ．24D ．222．△ABC 中，AB=6，AC=3，则∠B 最大是（）． A ．30°B ．45°C ．60°D ．无法确定3．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，⊙O 的半径为1，则AP ＋BP 的最小值是（）． A ．1B ．22C ．2D ．13-4．下列图形中，面积最大的是（）．A ．对角线为6的正方形B ．边长为2，高为1的平行四边形C ．对角线长分别为4和1的菱形D ．中位线为2，高为2的梯形5．如图D ，E 分别是△ABC 的边BC ，AC 上的点，若AB=AC ，AD=AE ，则（）． A ．当∠B 为定值时，∠CDE 为定值 B ．当∠α为定值时，∠CDE 为定值 C ．当∠β为定值时，∠CDE 为定值 D ．当∠γ为定值时，∠CDE 为定值 6．已知张村、李村分别位于直径为300m 的半圆弧的三等分点位置，现要在河边（直径所在直线）修建一个水泵站，分别向两村供水，则水管最少需要（）． A ．300mmB ．1502mC ．1503mD ．3003m7．某公司员工分别在A ，B ，C 三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人．三个区在同一条直线上．位置如图所示．该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（） A ．A 区 B ．B 区 C ．C 区D ．A ，B 两区之间3题5题7题A BC100m200m8．已知：如图，矩形QMNP 的一边在边长为2的正三角形ABC 的一边BC 上，点P ，N 分别在AB ，AC 上，设MN=x ，•y S Q MNP =矩形．（1）写出x 的取值范围；（2）用x 表示y ；（3）当y 取得最大值时，求证：PAN S ∆=BPQ S ∆+MNC S ∆．9．如图，在直角坐标系中，有四点A （－8，3），B （－4，5），C （0，n ），D （m ，0），当四边形ABCD 的周长最短时，求nm的值．10．已知：如图，边长为a的正三角形ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且∠ADE=60°，设AE=y，DC=x．（1）试写出y与x的函数关系式，并求出y的最小值；（2）当BD∶DC=1∶2，求△ADE的面积；（3）当∠DAE=45°，求x．。

定点定值最值问题

由题意知，3 k 2 0且 0.
设B(x1，y1)，C(x2，y2 )，
则x1
x2
4k 2 k2 3
，x1
x2
4k 2 3， k2 3
y1 y2 k 2 x1 2 x2 2 k 2 x1x2 2 x1 x2 4
k
2
(
4k 2 3 k2 3
8k 2 k2 3
4)
9k k2
例4已知椭圆C：x2 y2 1(a＞b＞0)的离心率为 6 ，
a2 b2
3
短轴一个端点到右焦点的距离为 3.
1 求椭圆C的方程；
2 设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到
直线l的距离为 3 ，求AOB面积的最大值. 2
解析:1设椭圆的半焦距为c，依题意
c a
6 3，
a 3
所以b 1，所以所求椭圆的方程为 x2 y2 1. 3
且x1
x2
2，当x1
x2时，由
x12 x22
2 y12 2 y22
4， 4
得 y1 y2 1 x1 x2 . x1 x2 2 y1 y2
设线段PQ的中点N (1，n)，所以kPQ
y1 x1
y2 x2
1， 2n
所以线段PQ的垂直平分线方程为y n 2n x 1，
所以2x 1n y 0.
9
9
9k k2
2
3
4
4
4k 2 3 k2 3
4k 2 k2 3
1
9 9 0， 44
所以FM FN，即FM FN.
综上所述，以MN为直径的圆必定过点F.
1．对圆锥曲线中定值的计算，一般利用相关公式或方程思想求解，如果求值对象有相关公式计算(如距离、斜率、面积等)，并且公式中所需数据可由已知或相关参变量表示，则套用公式求解，或将求值对象看成一个未知数，根据已知条件建立方程或方程组，再解方程求未知数的值． 2．对圆锥曲线中定点的确立，通常求相应曲线系(或直线系)方程，利用方程思想或曲线系(直线系)特征确定点或由特殊值确定一定点，再进行一般性证明．

中考数学中的极值问题

情感态度，培养人的道德情操，用快乐的心灵去对待一切，没有音乐修养的人是粗俗的。由此可见，音乐教育的普及和发展是至关重要的。音乐教育的现状纵观中国教育的发展，音乐教育作为教育手段和提升教育的质量途径，无论是从理论的发展上还是实践的实施上，都是比较薄弱的，在中国，大部分生和家长都觉得音乐教育无关紧要，中国教育就是考试，学好数语外才是正确的，高考会考你怎么唱歌吗？这样的思想就阻碍了音乐教育的发展。我国学生从小学到初中，又到高中１２年中一直都在上音乐课，学生音乐素质状况如果呢，简单而言有多少学生能认识五线谱呢？据扬州大学的一项统计，在校２００ｏ多学生，９７％的学生不识乐谱，只有３％的学生略知一点，很多人唱歌走调，还有唱的怪声陉调，而对于流行歌曲却乐此不疲，听他们的演唱会成了学生生活中必不可少的一部分，以上的种种情况说明，现今我国不分地区学生音乐素质仍然很低我国整体音乐教育水平有待提高。二、音乐教育在素质教育中的重要作用（一）音乐教育能够培养人追求心灵美的高尚情操音乐教育以它强烈的艺术感染力发挥着独特的育人功能，苟子认为音乐可以“ 正身行，广教化，美风俗” ，充分说明了优美高尚的云月能够塑造学生的灵魂是学生形成正确的审美观，作为美育手段之一的音乐教育，它对陶冶情操、品行修养，树立正确的审美观起到独特的作用。（二）音乐是一种以情感表现为主要特征的艺术爱因斯坦有旬名言：“ 之力的成就在很大程度上依赖于性格的伟大” ，音乐教学的过程就是心灵塑造的过程、是个性的发展养成的好帮手。音乐具有形象性、情感性、愉悦性三大基本特征，它主要是在因的运动与结构中让人们感知美、享受美，是一门最擅长表达情感的艺术，优美的音乐与

定值与最值问题

{{定值与最值问题}}
1.定值问题
解析几何中的定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决。

证明过程可总结为“标量-函数-定值”，具体操作程序如下：
（1）选择适当的量为变量
（2）把要证明为定值的量表示成上述变量的函数
（3）把得到的函数解析化简，消去变量得到定值
求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手、求出定值，再证明这个值与变量无关。

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。

2.求最值问题常见的两种方法：
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图像性质来解决，这是几何法。

（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值。

求函数的最值常见的方法有配方法、判别式法、基本不等式法、单调法、三角换元法等。

3.求定值、最值等圆锥曲线综合问题要四重视：
（1）重视定义在解题中的作用
（2）重视平面几何只是在解题中的作用
（3）重视根与系数的关系在解题中的作用
（4）重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用。

解密初中数学函数的极值与最值问题

解密初中数学函数的极值与最值问题在初中数学学习中，函数是一个非常重要的概念。

函数的极值和最值问题是函数章节的一个重要部分。

理解和解决这些问题有助于提升学生的数学思维能力和解题能力。

本文将为大家解密初中数学函数的极值与最值问题。

一、函数的极大值和极小值在初中数学中，函数的极值指的是函数在某个定义域内取得的最大值和最小值。

极大值是函数在某一点附近取得的最大值，极小值是函数在某一点附近取得的最小值。

要解决函数的极值问题，首先需要确定函数的定义域。

在定义域内，通过求函数的导数或者绘制函数的图像，可以找出函数的极值点。

导数为0的点或者导数不存在的点即为函数的极值点。

例如，对于函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，我们可以通过求导数来找出函数的极值点。

求导后得到f'(x) = 4x - 3，令f'(x) = 0，得到x = 3/4。

将x = 3/4代入原函数，得到f(3/4) = 25/8。

因此，函数f(x)在x = 3/4处取得极小值25/8。

二、函数的最值问题函数的最值问题是在函数的定义域内找出函数的最大值和最小值。

与函数的极值问题不同的是，最值问题并不要求极值点的存在，可以是函数的端点。

针对函数的最值问题，我们需要分两种情况进行讨论。

情况一：函数在定义域内没有极值点，只有端点。

例如，对于函数f(x) = x^2 - 4x + 5，我们可以通过求导数来找出函数的极值点。

求导后得到f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0，得到x = 2。

然而，将x = 2代入原函数后发现，f(2) = 5，并非函数的最值。

由于函数是抛物线，开口朝上，因此函数在定义域内没有最小值，最小值为函数的最值。

情况二：函数在定义域内存在极值点。

例如，对于函数f(x) = -x^2 + 4x - 3，我们可以通过求导数来找出函数的极值点。

求导后得到f'(x) = -2x + 4，令f'(x) = 0，解得x = 2。

中考数学专题训练：定值和最值问题解析汇报版

定值问题解1、如图，在平面直角坐标系x O y 中，矩形AOCD 的顶点A 的坐标是（0,4），现有两动点P 、Q ，点P 从点O 出发沿线段OC （不包括端点O ，C ）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C 运动，点Q 从点C 出发沿线段CD （不包括端点C ，D ）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D 运动.点P ，Q 同时出发，同时停止，设运动时间为t 秒，当t=2秒时PQ=52. （1）求点D 的坐标，并直接写出t 的取值范围；（2）连接AQ 并延长交x 轴于点E,把AE 沿AD 翻折交CD 延长线于点F,连接EF ，则△A EF 的面积S 是否随t 的变化而变化？若变化，求出S 与t 的函数关系式；若不变化，求出S 的值. （3）在（2）的条件下，t 为何值时，四边形APQF 是梯形？【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，在Rt △PCQ 中，由勾股定理得：PC=()2222PQ CQ 252-=-=4，∴OC=OP+P C=4+4=8。

又∵矩形AOCD ，A （0，4），∴D （8，4）。

t 的取值范围为：0＜t ＜4。

（2）结论：△AEF 的面积S 不变化。

∵AOCD 是矩形，∴AD ∥OE ，∴△AQD ∽△EQC 。

∴CE CQ AD DQ =，即CE t 84t =-，解得CE=8t4t-。

由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4－t ，则CF=CD+DF=8－t 。

S=S 梯形AOCF ＋S △FCE －S △AOE =12（OA+CF ）•OC+12CF •CE －12OA •OE =12 [4＋（8－t ）]×8+12（8－t ）•8t 4t -－12×4×（8＋8t 4t-）。

化简得：S=32为定值。

所以△AEF 的面积S 不变化，S=32。

（3）若四边形APQF 是梯形，因为AP 与CF 不平行，所以只有PQ ∥AF 。

九年级数学函数极值题型

九年级数学函数极值题型
1. 定义函数极值
函数的极值指的是函数在定义域内取得的最大值或最小值。

常见的函数极值类型有极大值和极小值。

2. 函数极值的求解方法
2.1 寻找函数的驻点
函数的驻点指的是函数导数为零或导数不存在的点。

为了求解函数的极值，我们首先需要找到函数的驻点。

2.2 确定函数的单调性
通过确定函数的单调性，我们可以判断函数在驻点附近的取值情况。

单调函数在单调区间内只有一个极大值或极小值。

2.3 将驻点带入函数求解极值
将函数的驻点带入原函数，求出对应的函数值，即可得到函数的极值。

3. 几种常见的函数极值题型
3.1 二次函数的极值问题
例如，求解函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的极值问题。

通过求导和分析函数的单调性，可以求得该二次函数的极值点。

3.2 分段函数的极值问题
对于分段函数，需要分别求解每个定义域内的极值点。

通过分析不同定义域的单调性，可以求得整个函数的极值点。

3.3 绝对值函数的极值问题
绝对值函数常常涉及分段函数的情况。

通过分析每个定义域内的函数形式，求解对应的极值点。

4. 注意事项
在求解函数的极值问题时，需要注意以下几点：
- 求解驻点时，要考虑函数导数为零和导数不存在的情况。

- 求解单调性时，要注意函数的增减性和凹凸性。

- 检查函数的边界情况，确保求解得到的极值是函数定义域内的实际极值。

以上为九年级数学函数极值题型的相关内容，希望能对同学们的学习有所帮助。

如果有任何疑问，请随时向老师请教。

初中数学中求极值的几种常见的方法

初中数学中求最值的几种常见方法仪陇县实验学校李洪泉在生活实践中,人们经常面对求最值的问题：如在一定方案中，往往会讨论什么情况下花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；在解数学题时也常常求某个变量的最大值或最小值.同时,探求最值也是中考或一些高中学校自主招生考试中的一个热点内容,是初高中知识衔接的重要内容。

这类问题涉及变量多，综合性强,技巧性强，要求学生要有较强的数学转化思想和创新意识。

下面从不同的角度讨论如何求一些问题的最值。

一、根据绝对值的几何意义求最值实数的绝对值具有非负性,0a ≥，即a 的最小值为0，但根据绝对值的代数意义求一些复杂问题的最值就要采用分类讨论法，比较麻烦.若根据绝对值的几何意义求最值就能够把一些复杂的问题简单化。

例1:已知13M x x =-++，则M 的最小值是 . 【思路点拨】用分类讨论法求出13x x -++的最小值是4，此时31x -≤≤。

如果我们从绝对值的几何意义来看此题，就是在数轴上求一点，使它到点1和点3-的距离之和为最短.显然,若3x <-,距离之和为[1(3)]2(3)4x --+-->；若31x -≤≤,距离之和为1(3)4--=；若1x >,距离之和为[1(3)]2(1)4x --+->。

所以，当31x -≤≤时,距离之和最短,最小值为4。

故M 的最小值为4。

二、利用配方法求最值完全平方式具有非负性，即2()0a b +≥。

一个代数式若能配方成2()m a b k ++的形式，则这个代数式的最小值就为k 。

例2:设,a b 为实数，求222a ab b a b ++--的最小值。

【思路点拨】一是将原式直接配方成与,a b 的完全平方式有关的式子可以求出最小值。

二是引入参数设222a ab b a b t ++--=，将等式整理成关于a 的二次方程，运用配方法利用判别式求最值。

解：（方法一) 配方得：当10,10,2b a b -+=-=即0,1a b ==时,上式中不等号的等式成立,故所求的最小值为222222222(1)21331()242413()(1)1124a ab b a b a b a b b b a b b b a b ++--=+-+--=++---=++--≥-1-。

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