4.5第2节边缘分布

求 : (X,Y) 的联合概率密度与边缘概率密度. 解 : (1). 因为 ( X , Y ) 服从均匀分布
1 所以其概率密度为：f ( x , y ) = A 0 ( x , y )∈ D 其它
1 ( x, y ) ∈ D ∴ 其联合密度 f ( x, y ) = 其它 0
1 1 P11 = P ( X = 1,Y = 1)= ⋅ 1= 4 4
1 P12 = P ( X = 1,Y = 2)= ⋅ 0 = 0 4 P13 = P ( X = 1, Y = 3) = 0
P14 = P ( X = 1, Y = 4) = 0
P21 = P ( X = 2,Y = 1) = 1 1 1 ⋅ = 4 2 8
∴ ( X , Y ) 的联合分布律为：
X=1时 , y 的值取不到2, 故对y 来说是不可能事件, 其概率为0
X
Y
1
1 4 1 8 1 1 2 1 1 6 2 5 4 8
2
0 1 8 1 1 2 1 1 6 1 3 4 8
3
0 0 1 1 2 1 1 6 7 4 8
4
0 0 0 1 1 6 3 4 8
y − µ2 x − µ1 令：t = ( − ) 则有： −∞ σ1 1 − ρ 2 σ2
− 1 f X ( x) = e 2πσ 1 ( x −µ 1 ) 2 2 σ1 2 +∞ −∞
∫e
−
t 2
2
dt = 2π
∫e
−
t2 2
dt =
( y− µ 2 ) 2 2σ 2
2
1 2π σ 1
e
−
( x − µ 1 )2 2σ 12
注意： 1. 习惯上常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词. 2. 由联合分布律可以确定边缘分布律，但由边缘 分布律一般不能确定联合分布律 .
(1) Q
X 的取 值 1,2,3,4 ∴ Y 的取 值也是 1,2,3,4
x=1时， y只有 一个值，故对y 来说是必然事 件，其概率为1
同理有： fY ( y ) =
1 2π σ 2
e
−
− ∞ < x <+∞
−ຫໍສະໝຸດ Baidu∞ < y <+∞
作业四 •习题三： • 5、6、20
3
∞
y j ≤ y i =1
∑ ∑P
∞
ij
边缘分布函数: 则 X的
FX ( x ) = F ( x, +∞ ) = ∫ [∫
−∞ x +∞ −∞
边缘分布律 P = P (Y = y ) = .j j
∑p
i= 1
ij
j = 1,2L
f (x ,y ) dy ] dx
+∞ −∞
边缘概率密度: 边缘分布函数： 则 Y的
( 2 ) ( X ,Y ) 边 缘 分 布 律
X
Pk
1
1 4
2
1 4
3
1 4
4
1 4
Y
Pk
1
25 48
2
13 48
3
7 48
4
3 48
由题意可知 D 域图为: y D 2 0 x
∴ A=
1 ×1 × 2 = 1 2
例3. 设 (X,Y) 均匀分布在由直线 x + 和y 轴所围成的区域 D 上.
y = 1， x 轴 2
f X ( x) =
则得: 同理可得:
∫
+∞ −∞
1 ⋅ dy = ∫
2(1− x ) 0
dy = 2(1 − x)
=
1 2π σ1 σ 2 1 − ρ
2
[
e
2(1 − x ) 0 < x < 1 f X ( x) = 其它 0
− ∞ < x < + ∞,
解 : 由于:
2
− ∞ < y <+∞ ,
2
问： 二维联合分布律全面地反映了二维随机变量( X,Y) 的取值及其概率规律. 而单个随机变量 X,Y也具有 自己的概率分布. 那么此例中二者之间的关系怎么 体现呢？ 从表中不难求得: 注意这两个分布正好是 P(表中的行和与列和 X=0)=1/8, P( X=1)=3/8 . P( X=2)=3/8, P(X=3)=1/8, P( Y=1)=P( X=1, Y=1)+P( X=2, Y=1） =3/8+3/8=6/8, P( Y=3)=P( X=0, Y=3)+P( X=3, Y=3）=1/8+1/8=2/8.
FY ( y ) = F( +∞ , y ) = ∫ [∫
−∞
f (x ,y dx ) ]dy
+∞ −∞
边缘概率密度:
fY ( y ) = ∫
f ( x , y) dx
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设 X 为三次抛掷中 正面出现的次数，Y为正面出现次数与反面出现 次数之差的绝对值 求：( X,Y)的联合分布律 解： （ X, Y）可取值：(0,3), (1,1), (2,1), (3,3) P( X=0, Y=3） = ( 1 2 )3 = 1 8 P( X=1, Y=1） = 3( 1 ) 3 = 3
列表如下
8
P( X=2, Y=1)=3/8 P( X=3, Y=0)=1/8
1
如下表所示
例2. 设随机变量 X 在 1, 2, 3, 4 四个整数中等可能地 取值；另一随机变量Y 在 1 ~ X 中等可能地取一整 数 求 : 二维随机变量 (X,Y) 的边缘分布律 Pi. 与 P .j 解 : 由边缘分布律的定义，可知先得求出 (X,Y) 的联合分布律
y →+∞
−∞−∞
∫∫
x
y
−∞
∫
x
f ( t ) dt =
−∞
∫ dt ∫
x
+∞
f ( t , y ) dy
内层为广 义积分
分 别称为 二维随机变量 (X,Y) 关 于 X 和 关 于 Y 的 边缘分布函数 .
−∞
f ( t , v ) dtdv
二 . 当 (X,Y) 为离散型随机变量 已知 P ( X = x i , Y = y j ) = Pi j 为 ( X , Y )的联合分布律 则X 边缘分布函数 FX ( x ) = F ( x , +∞ ) = ∑
Pi.
1 4 1 4 1 4 1 4
1 2 3 4 P .j
1 1 1 ⋅ = , P23 = 0 , P24 = 0 4 2 8 1 1 1 1 P3 1 = ⋅ = , P32 = P33 = , P34 = 0 4 3 12 12 1 1 1 1 P4 1 = ⋅ = , P42 = P4 3 = P44 = 4 4 16 16 P22 =
=
于是:
f X ( x) =
1 2π σ1σ 2 1 − ρ
1
2
e
−
( x − µ 1 )2 +∞ 2σ 12 −∞
∫
e
−
y− µ 2 x − µ 1 2 1 ( − ) 2(1− ρ 2 ) σ 2 σ1
+∞
结论
dy
二维正态分布的两个边缘分布均是一维正态分 布，并且都不依赖于参数 ρ ，亦即对于给定 的 µ1 , µ 2 , σ 1 , σ 2 ，不同的 ρ 对应不同的二 维正态分布，但它们的边缘分布却都是一样的。 从而可得出：由 X 和 Y 的边缘分布一般是不 能 确定 X 和 Y 的联合分布的.
注:
P i . 表示是由 P i j关 于 j求和得到的 ； P . j 表 示 是 由 P i j 关 于 i 求和得到的 .
fX ( x ) = ∫
y +∞ −∞
f ( x , y) dy
三 . 当 (X,Y) 为连续型随机变量 已知连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度 f (x , y ) 及联合分布函数 F ( x , y )
1
(2). 因为边缘概率密度为:
f X ( x) = ∫
+∞
−∞
f ( x , y ) dy
2
Q x ≤ 0 或 x ≥ 1时 f (x , y ) = 0 ∴
Q 0 < x <1 时
f X ( x )= 0
例4. 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为：
f (x , y )
− 1 2(1 − ρ2 ) ( x −µ 1 ) 2 σ12 −2 ρ ( x − µ 1)( y − µ 2 ) ( y −µ 2) 2 + ] σ 1σ 2 σ2 2
第二节 边缘分布概念的引出 注意到:
边缘分布
积出的是变 量 t 的函数
一 . 边缘分布的定义
设 F ( x , y )为 X,Y 的联合分布函数 ， 则 FX (
x) = F ( x , +∞ ) , FY ( y ) = F (+∞, y )
FX ( x ) = P ( X ≤ x ) =
= lim
∞ j =1
= lim F ( x , y )
y →+∞
分布函数 的定义 分布函数 的连续性
= F ( x , +∞ )
边缘分布律 Pi . = P ( X = x i ) = ∑ Pi j i = 1,2L
xi ≤x j =1
∑P
∞
ij
边缘分布函数
则Y
FY ( y ) = F ( + ∞ , y ) =
求 : 二维正态随机变量(X, Y)的边缘概率密度
[ ( y − µ 2) (x − µ1 )( y − µ 2) − 2ρ ] σ2 2 σ 1σ 2 ( y− µ 2 ) ( x− µ 1 ) 2 ( x − µ 1 )2 [ −ρ ] − [ρ 2 ] 2 σ1 σ2 σ1 2
1 1 − y 0 < y < 2 fY ( y) = 2 其它 0