一题多变

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一题多变

“一题多变”（类比、拓展、延伸）、――――精彩无限―――一题多变天地宽
一题多变,可使学生克服思维定式的影响,不局限于某一方面的思考,多角度多方位分析
问题、解决问题。

它有利于培养学生的创造性思维,更有利于培养他们的发散性思维,达到提
高综合能力的目的。

“一题多变”的常用方法有：
1、变换命题的条件与结论；
2、保留条件，深化结论；
3、减弱条件，加强结论；
4、探讨命题的推广；
5、考查命题的特例；
6、生根伸枝，图形变换；
7、接力赛，一变再变；
8、解法的多变等。

一题多变看“回归”
通过变式思考和分析，不难发现不管如何变化，万变不离其宗，解决一类问题最好、最
简单的办法就是回归到基础中去。

“一题多用”（即用同一个问题做不同的事情）和“多题归一”（所谓“一”就是具有普遍意义和广泛迁移性的、“含金量”较高的那些策略性知识），更多地注重思考题目的“核心”是什么，从题目中“提炼”反映数学本质的东西。

掌握好数学模式题的通用方法。

在习题教学中注意一题多解、一题多变、一题多问

在习题教学中注意一题多解、一题多变、一题多问
1 “ 一题多解” 是指通过不同的思维途径，采用多种解题方法解决同一个实际问题的教学方法。

它有利于培养学生辨证思维能力，加深对概念、规律的理解和应用，提高学生的应变能力，启迪学生的发散性思维。

在物理解题过程中，我们可以通过“ 一题多解” 训练拓宽自己的思路，在遇到新的问题时能顺利挖掘出物理量间的相互关系和物理规律间的内在联系，培养求异思维，使自己的思维具有流畅性。

2 注意一题多变诱导学生思路
在习题课中的“ 一题多变” 是指从多角度、多方位对例题进行变化，引出一系列与本例题相关的题目，形成多变导向，使知识进一步精化的教学方法．思维的变通性是指摆脱定势的消极影响，不局限于问题的某一方面，能够随机应变，举一反三，触类旁通。

在二轮复习的解题过程中主动出击，运用变式，通过“ 一题多变” 演绎问题的产生过程，能够摆脱由生活习惯中原有思维方式和平时解题所带来的思维定势，使思维具有变通性。

3 “ 一题多问” 培养思维的严密性
思维的严密性，主要表现在通过细致缜密的分析，从错综复杂的联系与关系中认识事物的本质。

在题目解完后再通过“ 一题多问” 自己考虑问题更全面细致，让自己的思维具有严密性。

这种“ 多题归一” 的方法还可以培养思维的概括性。

思维的概括性是指思维能够反映一类事物的共同的本质的特征，以及事物之间的本质联系和规律。

许多物理习题具有物理过程、规律和性质类似的问题，它们间只有不同程度的量的差异而无质的区别，在复习过程中做过一定量的习题后进行反思，通过“ 多题归一” ，进行有的放矢的精解和拓宽，可以使思维具有概括性。

一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考

一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考
一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考是在我们解决问题的过程中，充分探索问题本质的方法。

它可以帮助我们从多个角度理解问题，找到更好的解决方案。

一题多问可以帮助我们深入挖掘问题，了解各种因素和影响，从而更全面地理解问题和寻找解决方案。

例如，在解决一个企业的销售问题时，我们可以提出以下问题：销售情况如何？客户需要什么？竞争对手的情况如何？市场变化的影响是什么？等等。

一题多变可以帮助我们在不同情况下灵活应对问题，并根据不同情况调整解决方案。

例如，在解决一个销售问题时，如果是年底大促销，我们需要不同的解决方案，而如果是平时销售问题，则需要不同的解决方案。

一题多解可以帮助我们拓展思路，从不同方向考虑问题，找到更多的解决方案。

例如，在解决一个企业的成本问题时，我们可以提出以下解决方案：降低原材料成本、改变生产流程、优化运营成本等等。

总之，一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考可以帮助我们更全面地理解问题、更多角度考虑解决方案，从而找到更好的解决方案。

初中数学“一题多变”的训练策略

初中数学“一题多变”的训练策略
初中数学是一门需要理解和运用的学科，而题目的多变性可以帮助学生灵活运用所学
的知识。

在解决数学问题时，我们通常采用一题多变的训练策略。

这种策略可以帮助学生
深入理解和掌握数学知识，提高解题的能力。

下面详细介绍一题多变的训练策略及其重要性。

一题多变的训练策略是指在解决一个问题时，通过改变问题的条件和要求，使得问题
的形式和难度发生变化。

这样做可以让学生从不同的角度思考和解决问题，培养他们的创
造思维和问题解决能力。

一题多变的训练策略可以帮助学生建立更加全面和深入的数学知
识结构，提高数学的学习效果。

在一题多变的训练策略中，我们可以改变问题的条件，例如改变数字的大小，改变图
形的形状或者改变问题的背景等，以此来改变问题的难度和形式。

对于一道求面积的问题，我们可以先给出一个简单的矩形，然后改变矩形的形状和大小，让学生在不同的情况下掌
握求解矩形面积的方法。

这样一来，学生可以从多个角度去理解和掌握矩形面积的概念和
计算方法。

在教学中，我们可以通过一些具体的实践来实施一题多变的训练策略。

我们可以选择
一些具有代表性的问题来进行训练，然后逐步改变问题的条件和要求，让学生从简单到复杂，从易到难地解决问题。

我们可以设计一些情境化的问题来激发学生的兴趣，让学生能
够主动思考和解决问题。

我们可以配备一些丰富的教学资源，例如教学软件和教学实验器
材等，以提供学生多样化的解题条件和方法。

拓展思维,一题多变,多题一解,一题多解

拓展思维,一题多变,多题一解,一题多解初三数学总复习是大家所关注的重要问题,确立复习的指导思想,选择正确的复习方法,使学生在毕业前把基础知识系统化,对所学教学内容有一个较全面的认识,并且得到综合和提高,以便为升学考试打好基础.在复习时间紧、内容多、任务重的情况下,选择典型题目进行精讲精练,探索研究揭示规律,训练解题技巧,以拓展学生思维,达到举一反三之功效,使知识融会贯通.因此,在复习解题中,应做到三个“一”,即一题多变,多题一解,一题多解.下面就举例说明.一、一题多变对培养学生分析问题和解决问题的能力,提高逻辑思维能力和发展创造性思维能力都是十分有效的如:农机厂职工距工厂15千米的农村检修农机,一部分人骑自行车先走40分钟后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车的速度是自行车的3倍,求两种车的速度.分析:设自行车的速度是x千米/时,则汽车的速度是3x千米/时,速度、时间、路程三者间的关系如下表:■因为汽车晚开出40分钟(即■小时),与自行车同时到达,说明行驶15千米,汽车比自行车少用■小时,即有如下等量关系:汽车所用时间=自行车所用时间-■小时于是得■=■-■,此题可变换成如下题目:变换1:若把条件中“他们同时到达”分别变换成如下条件:(1)汽车比自行车早到10分钟;(2)汽车到达时,自行车距目的地2千米.则可根据时间关系列出方程:设自行车速度是x千米/时,有:(1)■=■-■-■;(2)■=■-■.变换2:若把条件“汽车速度是自行车的3倍”,分别作如下变换:(1)已知汽车的速度是自行车的3倍多0.5千米;(2)汽车与自行车相同路程所用时间比为1∶3,则可列出方程:设自行车速度为x千米/时,有:(1)■=■-■;(2)■=■-■.变换3:农机厂职工骑自行车到距工厂15千米的农村检修农机.(1)行车5千米后,因有人车坏,因而以比原速度少1千米/时的速度骑行,结果比原计划晚15分钟到达;(2)行车5千米后,以后以速度的1.2倍骑行,因而比原计划早20分钟到达;(3)在回来的路中,用原速度行了半小时后,因事停留半小时,以后每小时多骑2千米,结果往来时间一样.分别求骑自行车原来的速度.设自行车原来的速度为x千米/时,则可列出相应的方程:(1)■=■+■;(2)■=■-■;(3)■=■-■.以上一组题都是同向而行,也可变换成异向而行,此时,只要掌握异向、相向而行与同向而行的区别,仍可按时间关系列出方程.又如:已知:如图1,点c为线段ab上一点,△acm,△cbn是等边三角形.求证:an=bm.■分析:为证结论,首先可按题中条件画出图形,让学生从直观上比较an与bm的大小关系,然后给予证明.证明:由∠acm=∠bcn得∠acn=∠bcm,又ac=mc,bc=nc,故△can≌△mcb,从而an=bm.此题可作如下变换:变换1:设an、bm交于d点,试求∠adb的度数.分析:根据三角形外角的性质和全等三角形的对应角相等,可得∠adb=120°.变换2:若an交cm于e,bm交cn于f,求证ce=cf.分析:△cen≌△cfb不难得出ce=cf.变换3:若连结ef,试证fe∥ab.分析:由ce与cf的关系和∠ecf为60°,可知△ecf是等边三角形,进而可得ef∥ab.变换4:若an的中点为p,bm的中点为q,试证:cp=cq.分析:因为cp是△can的一边an上的中线,而cq是△mcb的一边bm上的中线,又△acn≌△mcb,全等三角形对应边上的中线相等,故cp=cq.变换5:如图2,点c为线段ab上一点,且ac∶cb=2∶1,△acm、△cbn是等边三角形,连结mn,试证mn⊥cn.■分析:利用已知条件,ac∶cb=2∶1,再取ac中点h,连结mh,显然mh为等边△acm的中线,故可知mh⊥ac,由全等三角形判定定理(sas)可得△mcn≌△mch,故mn⊥cn.变换6:如图3,若ac=3,cb=1,试计算△cef的面积.■分析:仍从条件ac∶cb=3∶1入手,不难发现ec∥nb,故有ce∶bn=ac∶ab,即ce∶1=3∶4,解得ce=■,因为△cef为等边三角形,用勾股定理,可迅速求得s△cef=■.对这道几何题,从各个方面进行变换,对提高学生的思维能力大有裨益.下面一组题是利用图形位置的变化进行变换的,变换后的题与原题证法完全相似.例.如图4,在正方形abcd中,ae⊥bf,求证:ae=bf.■本题利用全等三角形的知识不难给出证明,若将bf平移,则有: 变换1:如图5,在正方形abcd中,ae⊥mn,求证:ae=mn.■若再将ae作类似的平移,即有:变换2:如图6,在正方形abcd中,若mn⊥gh,求证:mn=gh.■这两个变题,只需利用平行的有关知识,作出如各自图中所示的辅助线,即可仿照原题给出证明.本题还可给出下列变式:变换3:点h在正方形的一边上,将纸片折叠,使点h正好与所在边的对边上一点g重合,若折痕长10cm,试求hg的长度.在几何教学中,使用从一些基本题出发变换的相关题组,可帮助学生在解题过程中掌握知识间的联系,培养良好的思维习惯,提高解题效率.二、多题一解能训练学生的集中思维,揭示各方面知识的内在联系和规律,从而加深对各方面知识的理解和应用,使知识融会贯通如:如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之比为2∶3,求证6b2=25ac.本题有多种证法,这里从略.若将两根之比推广到一般,即有命题:如果一元二次方程的两根之比为m∶n,求证mnb2=(m+n)2ac.证明:设已知方程的两根分别为mk、nk,则mk+nk=-■,mk·nk=■(m+n)k=-■,①mnk2=■②若m+n=0,则b=0,等式仍然成立;若m+n≠0,则由①得:k=-■,③将③代入②中,消去k,得:mn-■2=■.所以mnb2=(m+n)2ac,综上可知,命题成立.特别地,若m=n,这个等式就是b2=4ac,与方程有等根的条件一致. 利用此结论,解某些与一元二次方程两根之比有关的问题非常简单。

一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考

一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考引言在学习中，我们经常会遇到一些问题，这些问题有时候并不是只有一个答案或一个解决方法。

一题多问、一题多变、一题多解的思想，就是针对这种情况而提出的。

本文将介绍这种思想的具体含义，及其在学习中的运用和思考。

一题多问在学习过程中，我们在掌握问题的基本内容后，有时候会遇到一些疑点。

这时候我们可以通过反复询问问题、寻找答案来更深入地理解问题。

一题多问的思想，就是在问题的基础上反复提出问题，追究问题的本质和细节，获得更深入的理解。

例如，我们在学习物理学中的牛顿第一定律时，可以从以下几个方面去思考问题：•什么是牛顿第一定律？•牛顿第一定律的实验验证的是什么？•牛顿第一定律的本质是什么？•牛顿第一定律与运动无关，那么万有引力定律是否也是与运动相关？通过一题多问的思想，我们可以深入地理解一个问题的本质和意义，从而更好地掌握其知识。

一题多变一题多变指的是在学习中，同一个问题可以有不同的表述方法或角度，通过不同的表述方法或角度来理解问题。

这种思想能够帮助我们更好地理解问题，从而更好地掌握知识。

例如，在学习数学中的解方程时，我们可以从以下几种不同的角度来表述同一个问题：•消元法：将未知数移项并整理，得到最终的解；•因式分解法：将多项式转化为一元二次方程组的形式，然后通过因式分解法得到最终的解；•公式法：对于某些特定的方程，我们可以使用特定的公式来求解。

通过一题多变的思想，我们可以更全面地理解一个问题，并且可以寻找不同的解决方法，从而更好地掌握知识。

一题多解一题多解指的是一个问题可以有不同的解决方法或答案。

在学习中，我们常常会遇到一些问题，即使是同一个问题，也可能有多个解决方法或答案。

一题多解的思想，就是鼓励我们去尝试不同的解决方法或答案，从而更好地掌握知识。

例如，在学习编程时，解决一个问题可能有多种不同的方法，我们可以通过不同的方法比较优劣性质，例如：代码复杂度、效率等，找到最佳的解决方法。

初中数学一题多变一题多解(一)

“一题多变”（一）一、“一题多变”的作用：在平时的数学教学过程中实施一题多变的训练，可以提高学生学习数学的积极性，增强学习数学的兴趣：1、新课中，实施一题多变，以简单题入手由浅入深，可使大部分学生对当堂课内容产生兴趣。

2、习题课中，把较难题改成多变题目，让学生找到突破口，对难题也产生兴趣。

3、学生自己能够将题目中的问题或某一条件改变，对知识进行重组，自己将题目中的问题或某一条件进行改变，对已学知识进行重组，探索出新知识，解决新问题。

不就题论题，能多思多变。

在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。

如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。

二、“一题多变”的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、变换题型；3、深化条件，保留结论；4、减弱条件，加强结论；5、探讨命题的推广；6、考查命题的特例；7、生根伸枝，图形变换；8、接力赛，一变再变等等。

三、一题多变，挖掘习题涵量：1、变换命题的条件与结论即通过对习题的条件或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究。

这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广阔性和深刻性，从而培养创新思维的品质。

例1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD中点。

求证：∠BEC=90°．变换1：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD中点。

求证：CE⊥BE．变换2：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CE⊥BE．, E是AD中点．求证：BC=AB+CD．变换3：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD, CE⊥BE．判断E是AD中点吗？为什么？变换4：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，CE⊥BE．求证：AE=ED．2、变换题型即将原题重新包装成新的题型，改变单调的习题模式，从而训练学生解各种题型的综合能力，培养学生思维的适应性和灵活性，有助于学生创新思维品质的养成。

初中数学一题多变一题多解(一)

2、习题课中，把较难题改成多变题目，让学生找到突破口，对难题也产生兴趣。

不就题论题，能多思多变。

在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。

如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。

三、一题多变，挖掘习题涵量：1、变换命题的条件与结论即通过对习题的条件或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究。

这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广阔性和深刻性，从而培养创新思维的品质。

例1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD中点。

求证：∠BEC=90°．变换1：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD中点。

一题多变

一题多变1、已知如图：在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。

分析：欲证四边形EFGH 是平行四边形，根据条件需从边上着手分析，由E 、F 、G 、H 分别是各边上的中点，可联想到三角形的中位线定理，连结AC后，EF 和GH 的关系就明确了，此题也便得证。

（证明略）变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。

变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。

变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。

变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。

变式5：若AC ＝BD ，AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是正方形。

变式6：在四边形ABCD 中，若AB ＝CD ，E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点，求证：EFGH 是菱形。

娈式6图娈式7图变式7：如图：在四边形ABCD 中，E 为边AB 上的一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，P 、Q 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形PQMN 是菱形。

2、在正方形ABCD 的CD 边上取一点G ，在CG 上向原正方形外作正方形GCEF ，求证：DE ⊥BG ，DE=BG 。

变式：如图，ABCD 、CEFG 是正方形，E 在CD 上，直线BE 、DG 交于H ，且HE ·HB＝4-BD 、AH 交于M ，当E 在线段CD （不与C 、D 重合）上运动时，下列四个结论：① BE ⊥GD ；② AH 、GD 所夹的锐角为45°；③；④ 若BE 平分∠DBC ，则正方形ABCD 的面积为4。

其中正确的结论个数有（D ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个由①对，知∠BHD=90,由∠BAD=90知：A 、B 、H 、D 四点共圆，∴∠AHD=∠ABD=45.∴②对。

小学数学一题多变例题

小学数学一题多变例题关键词一题多变一题多解每一类知识都有一丝联系，比方“认数与计算”包括整数、小数、分数、百分数认识与计算之间的联系。

只要找到这根丝，知识就可以从无序到有序的整合。

具体到每一节课，数学知识的内在联系主要表现在利用旧知识巧妙地引人新知，又在学生掌握新知后孕伏后续知识，特别在应用题是由此基础上引用一题多变或一题多解。

一题多变一题多变就是把一道题目改变条件或改变问题变换成许多题目。

通过一题多变的训练，可使学生从变化发展中掌握应用题之间的联系，构建新的知识结构。

1.小学数学一题多变有利于加强数学语言的训练在传授知识的过程中加强说的训练，加强规范语言的训练是教学基本要求。

数学家卡尔说：“一个没有几分诗人才气的数学家永远不会成为一个完全的数学家。

”这句话给我们的启示是：数学与语言是不可分的。

在小学数学教学系统中，“语言”起桥梁、媒介的作用。

如一道应用题，你不懂数学语言，就无法分析题意。

一题多变就是对数学语言的训练，加强数学语言的训练是数学老师自身的语言训练，即出题的语言技巧：如，给一个算式56/7。

（1）被除数是56，除数是7，商是多少？（2）老师有56个气球，平均分给7个小朋友，每个小朋友分几个气球？由于简单式题包容着丰富的内涵，就给知识的转移、教学过程的铺垫、教学内容的深化都带来了方便。

可见变化的数学语言可以培养发散思维，提高学生分析问题、解决问题的能力。

2．一题多问。

“变”在“问题”同一道题，同样的条件，从不同的角度出发，可以提出不同的问题。

如解答“五一班有学生４５人。

女生占４／９，女生有多少人？”这本来是一道很简单的题目。

教学中，老师往往会因学生很容易解答，而一晃而过，忽视发散思维的训练。

对于这样的题型，老师要执意求新，变换提出新的问题。

如再提出如下问题：（１）男生有多少人？（２）全班有多少人？（３）男生比女生多多少人？（４）男生是女生的几倍？（５）女生是男生的几分之几？等等。

这样，可以起到“以一当十”的教学效果。

初中数学一题多变的教案

初中数学一题多变的教案教学目标：1. 理解一题多变的含义，学会从不同角度思考问题。

2. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

3. 提高学生的数学解题技巧和解决问题的能力。

教学内容：1. 一题多变的定义和意义。

2. 一题多变的解题策略。

3. 实际例题讲解和练习。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾学过的数学知识，让学生思考一下自己遇到过哪些题目有多个解法。

2. 提问：什么是数学的一题多变？一题多变的意义在哪里？二、讲解一题多变的定义和意义（15分钟）1. 解释一题多变的含义：一题多变指的是一个数学题目可以通过不同的角度、不同的方法得到多个解法。

2. 讲解一题多变的意义：一题多变能够培养学生的逻辑思维能力和创新意识，提高学生的数学解题技巧和解决问题的能力。

三、讲解一题多变的解题策略（15分钟）1. 分析题目：在解题前，先分析题目的要求和条件，确定解题的方向。

2. 尝试不同的解法：在解题过程中，尝试从不同的角度和方法去解决问题，找到多个解法。

3. 比较和筛选：比较各个解法的优缺点，选择最合适的解法。

四、实际例题讲解和练习（15分钟）1. 给出一个实际例题，让学生独立思考和解答。

2. 引导学生尝试不同的解法，讨论并找出多个解法。

3. 对每个解法进行讲解和分析，让学生理解并掌握。

4. 给出几个类似题目，让学生进行练习和巩固。

五、总结和反思（5分钟）1. 让学生总结一下自己在解题过程中的收获和体会。

2. 引导学生反思一下自己在解题中遇到的问题和困难，思考如何解决。

教学评价：1. 学生能够理解一题多变的含义和意义。

2. 学生能够运用一题多变的解题策略解决问题。

3. 学生在练习中能够灵活运用一题多变的解法。

教学反思：在教学过程中，要注意引导学生从不同的角度思考问题，培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

同时，要关注学生在解题过程中的困难和问题，及时进行指导和帮助。

在练习中，要鼓励学生尝试不同的解法，培养学生的解题技巧和解决问题的能力。

小学作文一题多变

小学作文一题多变
《小学作文一题多变》
哎呀呀，说起小学作文一题多变呀，我就想到我小时候的一件事儿。

那时候老师经常让我们写作文，题目经常换来换去。

有一次，老师出了个题目叫《我最喜欢的动物》。

嘿，这可把我难住了，我喜欢的动物太多了呀，小狗呀、小猫呀、小兔子呀，我都喜欢呢！我纠结了好久，最后决定写小狗吧。

我就写我家那只胖乎乎的小狗，它叫毛毛，特别可爱。

我详细写它圆滚滚的身子，那跑起来一扭一扭的样子，还有那毛茸茸的尾巴摇来摇去。

我还写了它怎么调皮捣蛋，老是把我的鞋叼走藏起来，然后我找半天都找不到，等我气急败坏的时候，它又屁颠屁颠地把鞋给叼回来了，真是让我又好气又好笑。

然后呢，过了段时间，老师又让写《我的好朋友》，我一下就想到毛毛了呀，嘿，这不也是我的好朋友嘛。

于是我又把写毛毛的那些内容稍微改了改，变成了我的好朋友毛毛。

写它怎么陪着我玩呀，怎么在我难过的时候在我身边蹭来蹭去安慰我呀。

你说这是不是一题多变呀。

现在回想起来，还真是有意思呢，小学作文的题目虽然总是变来变去，但都能和我们的生活联系起来呀。

哈哈，这就是我关于小学作文一题多变的回忆啦！。

应用题的一题多变训练

应用题的一题多变训练1.五个同学有同样多的存款，若每人拿出16元捐给“希望工程”后，五位同学剩下的钱正好等于原来3人的存款数。

原来每人存款多少？_____________________________________2.把一堆货物平均值让给6个小组运，当每个小组都天方了68箱时，刚好运出了这堆上货物的一半。

这堆上货物一共存有多少箱？_____________________________________3.老师把一批树苗平均值让给四个小队柏树，当每队柏树了6棵时，辨认出剩的树苗刚好就是原来每队分给的棵数。

这批树苗一共存有多少棵？_____________________________________4.汽车从甲地驶往乙地，原计划每小时行40千米，实际每小时多行了10千米，这样比原计划提早2小时抵达了乙地。

甲、乙两地距离多少千米？_____________________________________5.小明骑车上学，原计划每分钟行米，刚好准时到达学校，有一天因下雪，他每分钟就可以行米，结果耽误了5分钟。

他家距学校存有多离？_____________________________________6.加工一批零件，原计划每天加工80个，刚好按期顺利完成任务。

由于改良了生产技术，实际每天加工个，这样，不仅提早4天顺利完成加工任务，而且还多加工了个。

他们实际加工零件多少个？_____________________________________7.甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工10个。

途中乙因事歇息了5天，20天后，甲加工的'帽子刚好就是乙加工的2倍，这时两人各加工帽子多少个？_____________________________________8.甲、乙两车同时从a、b两地相对送出，甲车每小时比乙车多行20千米。

途中乙因洗车用了2小时，6小时后甲车抵达两地中点，而乙车才行及了甲车圣贤路程的一半。

数学课堂巧用一题多变

数学课堂巧用一题多变数学课堂是学生们最容易感到枯燥的地方之一，但是通过巧妙地使用一题多变的方法，可以让数学课堂充满趣味和挑战，激发学生的求知欲和创造力。

本文将介绍数学课堂巧用一题多变的方法，并且分享一些实例，希望能够给数学教学提供一些新的思路和灵感。

一、什么是一题多变一题多变是指通过一个问题或者一个题目，设计多种不同难度和内容的拓展。

这些拓展可以是数学概念的延伸、不同层次的解题思路、或者是将数学问题与其他学科进行融合。

通过一题多变的设计，可以让学生在解题过程中不断深入思考，提高解决问题的能力，同时也能够增加数学知识的深度和广度。

而且，一题多变的方法可以很好地满足不同学生的学习需求，让每个学生都能够在自己的能力范围内找到适合自己的挑战。

二、如何巧妙地运用一题多变1. 拓展题目难度通过对一个简单题目的改变，可以设计出不同难度的拓展题目。

针对一个简单的整数加减乘除的运算题，可以设计出涉及负数、分数、小数、括号配对等各种变化，从而让学生在解答题目的过程中不断提升自己的解题能力。

2. 引申数学概念在一个问题的基础上，可以引申出更深层次的数学概念，比如在一个几何问题的基础上，可以引出相关的三角函数概念，或者是辅助线的应用等等。

这样不仅可以加深学生对数学概念的理解，还能够培养学生的数学思维。

3. 与其他学科融合数学是一门与其他学科联系紧密的学科，通过与其他学科的融合，可以使数学问题更加贴近学生的生活和学习，激发学生对数学的兴趣。

比如将数学问题与物理、化学、生物等学科进行融合，让学生在解题的过程中感受到不同学科之间的联系。

2. 针对一个几何问题，可以引申出相关的三角函数概念，或者是利用相似三角形的性质，设计出更深层次的拓展题目，让学生在解答题目的过程中感受到数学概念之间的联系。

通过以上实例，可以看到巧用一题多变的方法，可以使数学课堂更加有趣和富有挑战性，能够激发学生对数学的兴趣和求知欲，提高学生的解题能力和数学素养。

高三数学一题多解一题多变试题及详解答案

高三一题多解一题多变题目一题多解一题多变一原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R,求m 的取值范围解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0≤,得4≥m变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R,求m 的取值范围解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0<,得4>m变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R,求m 的取值范围解：令=t 482++x mx ,则要求t 能取到所有大于0的实数,∴ 当0=m 时,t 能取到所有大于0的实数当0≠m 时,0>m 且Δ0≥4≤0⇒m <变3：18223+++=x nx mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,,求m,n 的值解：由题意,令[]911822,∈+++=x n x mx y ,得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时,Δ0≥016-)(-2≤++⇒mn y n m y -∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根∴ 当m y =时,08==mn x - R x ∈ ,也符合题意一题多解-解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义,进行分类讨论求解 1当03-≥x 2时,不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒2当03-<x 2时,不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23,即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ,不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23,且小于25,由图得, 解集为}{0x 1-<<<<或43x x一题多解已知n s 是等比数列的前n 想项和,963s s s ,,成等差数列,求证：852a a a ,,成等差数列法一：用公式qq a s n n 一一111)(=,因为963s s s ,,成等差数列,所以9632s s s =+且1≠q 则所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀法二用公式qqa a s n n 一一11=,q q a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒,所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=解得213一=q 下略变题：已知54=αsin 且α是第二象限角,求αtan解：α是第二象限角,54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒ 变1：54=αsin ,求αtan解：054>=αsin ,所以α是第一或第二象限角若是第一象限角,则3453==ααtan ,cos 若是第二象限角,则3454一一==ααtan ,cos 变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤<m ,所以当 10<<m 时,α是第一或第二象限角若是第一象限角时2211mm αm α一一==tan ,cos 若是第二象限角2211mm αm α一一一一tan ,cos ==当1=m 时αtan 不存在变3：已知)(sin 1≤=m m α,求αtan 解：当11一,=m 时,αtan 不存在当0=m 时, 0=αtan当α时第一、第四象限角时,21mmα一=tan当α是第二、第三象限角时,21mm α一一=tan一题多解一题多变三题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域方法一：判别式法 --设xx y 1+= ,则01yx -=+2x ,由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时,2x -012=+x 1=⇒x , 因此当1=x 时,)()(01x xx x f +=有最小值2,即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性任取210x x ,则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时,即)()(21x f x f ,此时)(x f 在(]10,上时减函数当212x x 时,)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上是减函数,)(x f 在()∞,+1上是增函数,知 1=x时,)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ,当01=xx -时,1=x ,此时)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2变题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R,求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立,则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R,求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立,则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R,求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数,则 0=a 时,1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时,0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解一题多变四题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域方法一：判别式法 --设xx y 1+= ,则01yx -=+2x ,由Δ2y =-204≥⇒≥y当2=y 时,2x -012=+x 1=⇒x , 因此当1=x 时,)()(01x xx x f +=有最小值2,即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性任取210x x ,则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时,即)()(21x f x f ,此时)(x f 在(]10,上时减函数当212x x 时,)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数,)(x f 在()∞,+1上是增函数,知 1=x时,)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ,当01=xx -时,1=x ,此时)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2变题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R,求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立,则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R,求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立,则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R,求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数,则0=a 时,1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时,0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解一题多变五题目：椭圆1162522=+y x 的焦点是21F F 、,椭圆上一点P 满足21PF PF ⊥,下面结论正确的是——————————————————————— AP 点有两个 BP 点有四个 CP 点不一定存在 DP 点一定不存在解法一：以21F F 为直径构圆,知：圆的半径b c r =<==43,即圆与椭圆不可能有交点;故选D 解法二：由题知124321)(21max 21=⨯=•⨯=∆b F F S F pF ,而在椭圆中：164tan221==∆πb S F PF ,∴不可能成立,1612>故选D解法三：由题意知当p 点在短轴端点处21PF F <最大,设α221=<PF F ,∴<⇒<=,4,143tan παα此时21PF F <为锐角,与题设矛盾;故选D 解法四：设)sin 4,5(θθcon P ,由,21PF PF ⊥知02121=•⇒⊥PF PF PF PF ,而⇒-=⇒=+-=+-=•970sin 16925)sin 4,35)(sin 4,35(22221θθθθθθθcon con con con PF PF 无解,故选D解法五：设θ=∠21F PF ,假设21PF PF ⊥,则26)4sin(26sin 66||||21≤+=+=+πθθθcon PF PF ,而102||||21==+a PF PF即：2610≤,不可能;故选D解法六：=-=--+=-+=<||||2|||264||||236||||2)|||(|||||36||||21212121222121222121PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF F con 025*******)2||||(321||||3222121≠=-=-+≥-PF PF PF PF ,故212190PF PF PF F ⊥∴≠< 不可能;故选D解法七：设),(00y x P 由焦半径知：∴⊥-=-=+=+=21002001,535||,535||PF PF x ex a PF x ex a PF 2212221||||||F F PF PF =+962550251810)535()535(202022020=⇒=⇒=-++⇒x x x x 而在椭圆中5||0≤x 而325||0=x >8,故不符合题意,故选D解法八.设圆方程为：922=+y x椭圆方程为：1162522=+y x两者联立解方程组得：不可能故圆922=+y x 与椭圆1162522=+y x 无交点即 1PF 不可能垂直2PF 故选D一题多解一题多变六一变题：课本P110 写出数列}{n a 的前5项：1-111,14n n a a a =-=-变题：已知函数1()22,[,1]2f x x x =-+∈,设)(x f 的反函数为)(x g y =,)(,1211a g a a ==)(1-n n a g a =,求数列}{n a 的通项公式;解：由题意得,x x g y 211-)(==,1--n n a a 211=1212()323n n a a -∴-=-,令32-n n a b =,则}{n b 是以31为首项,21-为公比的等比数列,故)()-(1-12131≥=n b n n从而,)(23)-(1-n 1-11232≥×+=+=n b a n n n n 二、一题多解已知函数),[,)(+∞∈++=122x xax x x f 1当21=a 时,求函数)(x f 的最小值；-2若对于任意01>+∞∈)(),,[x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围, 解：1当21=a 时,222212+≥++=xx x f )(,当且仅当22=x 时取等号由)()(0>+=k xkx x f 性质可知,)(x f 在),[+∞22上是增函数 ),[+∞∈1x ,所以)(x f 在)∞,[+1是增函数,)(x f 在区间)∞,[+1上的最小值为271=)(f2法一：在区间上)∞,[+1,022>++=xax x x f )(恒成立022>++⇔a x x 恒成立设a x x ++=22y ,),[+∞∈1x 11222-)(y a x a x x ++=++=在)∞,[+1上增所以1=x 时,3min +=a y ,于是当且仅当03min >+=a y 时,函数0>)(x f 恒成立,故-3>a法二：),[,)(+∞∈++=12x xa x x f 当0≥a 时,函数)(x f 的值恒为正；当0<a 时,函数)(x f 为增函数,故当1=x 时,3min +=a y ,于是当且仅当03min >+=a y 时,函数0>)(x f 恒成,故-3>a法三：在区间)∞,[+1上,022>++=xax x x f )(恒成立022>++⇔a x x 恒成立 x x a 22- -⇔>恒成立,故a 应大于x x 22- -u =,)∞,[∈+1x 时的最大值-3,所以-3>a一题多解一题多变七原题：:若)()(0112>++=x x x xf ,则=)(x f 分析:用倒数换元解: 令tx xt 11==则, 所以将t 换成x 得到:变题1：设)(x f 满足关系式,)()(x xf x f 312=+求)(x f 的解析式解：tx xt 11==则将t 换成x 得到:与原式联立方程组消去)(xf 1得到变题2：已知()()af x f x bx +-=,其中12≠a 试求)(x f 的解析式解：用相反数换元令,t x x t =-=-代入到原式当中得到：将t 换成x 得到:与原式联立方程组,得到：变题3：已知22(43)(34)2,af x bf x x a b -+-=≠,试求)(x f 的解析式解：令43x t -=,则232+=t x 将()1 中t 换－t 得到: 与()1联立方程组得到：变题4：已知2()()1,n n af x f x bx a n +-=≠，其中为奇数，求)(x f解：设n n t x t x ==, 代入原式得：将t 换成—t 得到:n t b t f t af ——=+)()( 与上式联立方程组得到∴ )(x f 的解析式为：()f x ==一题多解题目：设二次函数)(x f 满足，———)()(22x f x f =且函数图象y 轴上的截距为1,被x 轴截的线段长为22,求)(x f 的解析式分析：设二次函数的一般形式)()(02≠++=a c bx ax x f ,然后根据条件求出待定系数a,b,c解法一：设)()(02≠++=a c bx ax x f由，———)()(22x f x f = 得：04=b a — 又2284a ac b =∴— 由题意可知 1=c 解之得：解法二：，———)()(22x f x f =故函数)(x f y =的图象有对称轴2—=x 可设k x a y ++=22)(函数图象与y 轴上的截距为1,则14=+k a又被x 轴截的线段长为22,则2221==dx x Δ—整理得：02=+k a 解之得：解法三：：，———)()(22x f x f =故函数)(x f y =的图象有对称轴2—=x ,又2221=x x —∴ )(x y =与x 轴的交点为： ∴故可设)(222++=x a y一题多解一题多变八原题设()x f y =有反函数)(-1x f y =,又)(2+=x f y 与)1-(-1x f y = 互为反函数,则__________)(-)(-1-1=01f f 教学与测试P 77变题设()x f y =有反函数)(-1x f y =,又)(1+=x f y 的图象与)(-11+=x f y 的图象关于x y =对称（1）求)(-)(01f f 及)(-)(-1-101f f 的值；（2）若b a ,均为整数,请用b a ,表示()()f a f b 及)(-)(-1-1b f a f解1因)(-11+=x f y 的反函数是()1-x f y =,从而()11-)(x f x f =+,于是有()11--)(=+x f x f ,令1=x 得-1(0)-)(=f f 1；同样,)(1+=x f y 得反函数为()1--1x f y =,从而()11-)(-1-1x f x f =+,于是,()11--)(-1-1=+x f x f ． 2-11)(-)(=++x f x f 2,而()11--)(=+x f x f ,故()12-1)-(-)(=+x f x f ,即()22--)(=+x f x f , …()n x f n x f --)(=+,从而()[]()a b a f a b a f b f a f --)-(-)(=+=．同理,()-1-1()f a f b b a -=-．一题多解1．函数2(),(1)(3)f x x bx c f f =++-=,则 A (1)(1)f c f >>- B (1)(1)f c f <<- C (1)(1)c f f >-> D (1)(1)c f f <-<解法 1. 由(1)(3)f f -=知()x f 的图象关于1=x 对称,得2b =-而22(1)1(2)11,(1)(-1)(2)(1)3f c c f c c =+-•+=--=+-•-+=+,且31c c c +>>-,因此(1)(1)f c f <<-.解法 2.由(1)(3)f f -=知()x f 的图象关于1=x 对称,而)(0f c =,而()x f 在－1,1上递减,易得答案为B ．y-1 0 1x一题多解一题多变九姜忠杰变题原题：若在区间y =2a -ax -2x 在区间)3-,1∞-(是减函数,则a 的取值范围是多少变1：若函数y =2a -ax -2x 在)3-,1∞-(上是减函数,则a 的取值范围是多少变2、若函数y =)a -ax -(log 2221x 在)3-,1-(∞上是增函数,则a 的取值范围是多少变3、若函数y =)a -ax -(log 2221x 在)3-,1∞-(上是增函数,且函数的值域为R,则a 的取值范围是多少解：函数2a -ax -2x y =的减区间为]-2a ，（∞,∴⊆)3-,1∞-(]-2a，（∞∴），∞32-2[+ -变1、设2a -ax -2x u =,则u 在)3-,1∞-(为减函数,且在)3-,1∞-(,u ≥0 所以有3-12a ≤且u 3-10≥,∴a 的取值范围是],[)51)(1-3()5-1)(1-(223+变2：设2a -ax -2x u =,则u 在为减函数,且在]3-,1∞-(,u ≥0- 所以有3-12a ≤且u 3-10≥,∴a 的取值范围是],[)51)(1-3()5-1)(1-(223+变3：设2a -ax -2x u =,则u 在)3-,1∞-(减区间,u 在)3-,1∞-(取到一切正实数3-12a ≤,01=)3-(u ,所以=a 23)5-1)(1-(或2)51)(1-3(+一题多解：设10=+a a lg ,1010=+b b ,求b a +的值;解法一构造函数：设x x x f lg )(+=,则)(lg )(b b b b f b a f 1010101010=+=+==,由于)(x f 在),(+∞0上是单调递增函数,所以b a 10=,故1010=+=+b b a b ; 解法二图象法因为a 是方程10=+x x lg 的一个根,也就是方程x x -lg 10=的一个根b 是方程1010=+x x 的一个根,也就是方程x -1010=x 的一个根令x x g lg )(=,x x h 10=)(,x x -)(10=Φ,在同一坐标系中作出他们的图象,如图所示：a 是方程)()(x x g Φ=的根,即图中OA=ab 是方程)()(x x h Φ=的根,即图中OB=b易得OA+OB=10,所以10=+b a解法三：方程10=+x x lg ,1010=+x x 的根为a ,b 由1010=+x x ,得x x -1010=,∴x)-lg(10=x ,又10=+x x lg 10lgx x)-lg(=+∴10, 1010x )-x (10=即,02=+101010x -x 即一题多解一题多变十课本P 102 证明：222221212122121)()(≤)(,)()(;)()()(,)(x f x f x x f b ax x x f x f x f x x f b ax x f ++++=+=++=则若则）若（变题：1、如图所示,),,,)((4321=i x f i 是定义在0,1上的四个函数,其中满足性质：“对0,1中的任意的21x x ,,任意1212[0,1],[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλλ∈+-≤+-恒成立”的只有 AA 、 )(),(31x f x fB 、)(2x fC 、)(),(32x f x fD 、)(4x f变题2、定义在R 上的函数)(x f 满足：如果对于任意Rx x ∈21,都有222121)()(≤)(x f x f x x f ++ 则称函数)(x f 是R 上的凹函数;已知二次函数),()(02≠∈+=a R a x ax x f 1求证：当0>a 时,函数)(x f 是凹函数；2如果],[10∈x 时,1≤|)(|x f ,试求实数a 的取值范围; 1证明：略2实数a 的取值范围是[2,0)- 二、一题多解不查表计算：5235233lg lg lg lg ++解法一：原式=3lg2lg55)lg lg2lg5-2lg )(lg (lg 22+++52 =523552222lg lg lg lg lg -lg ++ =5522222lg lg lg lg ++ =1522=+)lg (lg解法二：原式=322(lg 2lg5)3lg 2lg5-3lg 2lg 53lg 2lg5+-+=1-3lg 2lg5(lg 2lg51)+- =1解法三：原式=52352523523lg lg )lg (lg lg lg -)lg (lg +++=5235231lg lg lg lg -+ =1解法四：原式=52352352352352352222233lg lg lg lg -lg lg -lg lg lg lg lg lg ++++=)-lg (lg lg lg -)lg (lg 152523523++ =1解法五：原式=15235233×++lg lg lg lg=)lg (lg lg lg lg lg 525235233+×++ =352)lg (lg + =1一题多解一题多变十一一题多解- 1．已知212x x f -)(=-1)<x ,求-12()3f －的值解法1 先求反函数由221x y =－得221y x =－∴ y2-1-=x 且0<y故原函数的反函数是x2-1-)(1-=x f )(0<x 解法2从互为反函数的函数的关系看令32-x -2=12解得2±=x 即 -2)32-(1-=f变题 2．已知)(x f 对于任意实数y x .满足)()()(y f x f y x f +=+,当0>x 时,0<)(x f（1）求证)-(-)(x f x f = （2）判断)(x f 的单调性证明 1令,0==y x 得)()()(000f f f += -令-y =x ,得0-x)()()(=+=f x f f 02设21x x <,则)()-()()]-([)(11211212x f x x f x f x x x f x f <+=+= ∴ )(x f 在R 上是单调函数变题 1. 已知函数是定义R 在上的增函数,且满足-)()(x f yx f =)(y f（1）求)(1f 的值（2）若,)(16=f 解不等式215<+)(-)(xf x f 解 1 令1==y x ,得∴ 01=)(f -（3）在)(-)()(y f x f yx f =中,令61==y x ,得从而261636==)(-)()(f f f又原不等式可化为 )()]([365f x x f <+, 且)(x f 是),(+∞0上的增函数, ∴原不等式等价于又 0>x 05>+x 解得 40<<x∴ 原不等式的解集为0,4一题多解一题多变十二考查知识点：函数的对称中心原题：函数)lg(12++=x x y 的图象关于原点对称;解：该函数定义域为R,且))-(-lg()()-(12++=+x x x f x f +)lg(12++x x =))(-lg(1122++++x x x x =01=lg)(-)-(x f x f =∴,∴该函数图像关于原点对称变题1：已知函数)(x f y =满足)(-)-(11+=+x f x f 则)(x f y =的图象的关于),(01对称解： )(-)-(11+=+x f x f ∴)(1+=x f y 为奇函数,即)(1+=x f y 的图象关于原点),(00对称,故)(x f y =的图象关于),(01对称;变题2：已知函数)(x f y =满足2=+)-()(x f x f ,则函数)(x f y =的图象关于),(10对称解：由2=+)-()(x f x f 得,∴]-)([--)-(11x f x f =,)(x f y =－1为奇函数,即)(x f y =－1的图象关于0,0对称,∴)(x f y =的图象关于),(10对称变题3：已知函数)(x f y =满足22=++)()(x f x f ,则)(x f y =的图象关于1,1对称解：令1-t x =,则t x --1=,故由22=++)()(x f x f 得211=++)-()(t f t f ,即)(x f 满足211=++)-()(x f x f ,即]-)([--)-(1111+=+x f x f ,∴11-)(+=x f y 的图象关于原点0,0对称,故)(x f y =的图象关于1,1对称;结论：若函数)(x f y =满足b x c f x a f =++)-()(,则)(x f y =的图象关于()22bc a ,+对称;变题4：已知244+=x x x f )(求证：111=+)-()(x f x f 2指出该函数图象的对称中心并说明理由;3求)()()(100110001000210001f f f +++ 的值;1证明：1242244244244111=+++=+++=+xx x x x x x x f x f --)-()(,得证;- 2解：该函数图象的对称中心为），（2121,由11=+)-()(x f x f 得12121=++)-()(x f x f 即]-)([--)-(21212121+=+x f x f ,∴2121-)(+=x f y 的图象关于原点中心对称,故)(x f y =的图象关于），（2121对称; 3解：11=+)-()(x f x f ,故11001100010011=+)()(f f ,1100199910012=+)()(f f ,……,∴ )()()(100110001000210001f f f +++ =500变题5：求证：二次函数)()(02≠++=a c bx ax x f 的图象没有对称中心; 证明：假设),(n m 是)()(02≠++=a c bx ax x f 的图象的对称中心,则对任意R x ∈,都有n x m f x m f 2=++)-()(,即n c x m b x m a c x m b x m a 222=+++++++)-()-()()(恒成立,即有n c bm am ax =+++22恒成立,也就是0=a 且02=++n c bm am -与0≠a 矛盾所以)()(02≠++=a c bx ax x f 的图象没有对称中心;一题多解一题多变十三题目：已知函数[)∞∈+++=，）（122x xax x x f 若对任意[)01）＞（，，x f x ∞+∈恒成立,试求实数a 的取值范围;解法一：在区间[)∞+，1上,022>++=xax x x f ）（恒成立022>++⇔a x x 恒成立,设a x x y ++=22在[)∞+，1递增 ,∴当x=1时a y +=3min ,于是当且仅当03>+=a y min 时,函数恒成立,故 a>—3;解法二：[)∞+∈++=，，）（12x xax x f 当a 0≥的值恒为正,当a<0时,函数）（x f 为增函数故当x=1时a x f +=3）（min 于是当且仅当3+a>时恒成立, 故 a>—3;解法三：在区间[)∞+，1上xax x x f ++=22）（恒成立022>++⇔a x x 恒成立x x a 22——>⇔恒成立,故a 应大于[)∞+∈=，，——122x x x u 时的最大值—3, ()112++>∴x a — 当x=1时,取得最大值 —3 。

基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”

基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”近年来，高考考题的设置越来越注重培养学生的创新思维和解决问题的能力。

高考试题中的“一题多解”和“一题多变”成为了备受关注的话题。

“一题多解”指的是一道题目有不同的解题思路和方法。

以数学题为例，考生可以通过代数、几何、概率等不同的数学方法来解答同一道题目。

这种题目设置，能够激发学生运用多种思维方式去解决问题，培养学生灵活运用知识的能力。

也能够让学生意识到问题的多元性和解决问题的灵活性，促使他们形成多角度思考问题的习惯。

以2019年高考数学试题为例，有一道题目要求考生计算某个复杂函数的导数。

这道题目存在多种解法，包括使用复合函数法、求导法则、泰勒级数等不同的方法。

这样的题目设置，鼓励学生运用多种数学方法去解题，培养他们的数学思维能力和解决问题的创新能力。

而“一题多变”则是指同一道题目在不同年份的高考试题中，可能会出现不同的考察要点和内容。

这种题目设置，能够考察学生对知识的掌握和灵活运用的能力，同时也能够鼓励学生广泛学习和积累知识，提高学习的深度和广度。

以语文试题为例，同一道文言文阅读题可能会在不同年份的高考试题中出现，但题目的难度、考察的重点和考点可能会有所变化。

这样的题目设置，要求学生对文言文的理解和运用能力有较高的要求，同时也促使学生全面了解文言文的知识和技巧。

通过“一题多解”和“一题多变”的设置，高考试题不再是一成不变的，而是多种思路和内容的集合。

这不仅考验了学生的学科能力，更体现了高考的公平性和科学性。

每个学生都有机会根据自己的知识掌握和思维方式来解答问题，从而展示个人的能力和潜力。

对于学生来说，面对“一题多解”和“一题多变”的考题，也存在一定的挑战和难度。

学生需要对知识有较深入的理解和掌握，才能够灵活运用不同的解题方法。

学生需要具备广泛的知识储备和丰富的经验积累，才能够应对不同年份的考察要点和内容变化。

这要求学生在学习过程中要注重知识的掌握和积累，提高自身的学科素养和应试能力。

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