线性方程组解的情况判定
线性代数第三章线性方程组第4节线性方程组解的结构
c1
1 0
c2
0 1
k1
1 1
k2
2 2
1
0
0
1
得 c1 k2
cc12
k1 k1
2k2 2k2
c1 k2
即 c1 k2 0
cc12
k1 k1
2k2 2k2
0 0
c1 k2 0
解得 c1 k2，c2 k2，k1 k2.
取
k2 k 0,
则方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的公共解为
(kk21
(k1 k2 )
k2 k2
)0 0
解之得到
k1 k2.
当k1 k2 0时，向量
k1(0,1,1, 0)T k2 (1, 2, 2,1)T k2[(0,1,1, 0)T (1, 2, 2,1)T
满足方程组(Ⅰ).
k2 (1,1,1,1)T
并且它也是方程组(Ⅱ)的解，故它是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的 公共解.
定理3.17 若0是非齐次线性方程组AX=b的一个解，则方程组 AX=b的任意一个解 都可以表示为 0 其中 是其导出组AX=0的某个解，0称为方程组
AX=b的一个特解.
例7 求线性方程组
x1 2x2 3x3 x4 3x5 5
3x1
2x1 4x2
x2 2x4 6x5 1 5x3 6x4 3x5
0 0
x1 5x2 6x3 8x4 6x5 0
的一个基础解系.并求方程组的通解.
解 方程组中方程个数小于未知量的个数，所以方程组有 无穷多解.
对方程组的系数矩阵施以初等行变换，化为简化的阶 梯形矩阵：
3 1 6 4 2
A 2
2
3 5
3
1 5 6 8 6
线性代数与概率论第3线性方程组
5 4
即方程组 的解为：
x1
1 4
,
x2
23 4
,
x3
5 4
【例2】解线性方程组：2x1x1 3xx22
5x3
0, 5,
x1 x2 4x3 3,
4x1 5x2 7x3 6.
4
2
0 0 1 3 1
0 0 0
1
0
1 0 0 0 1
0
1
0
0
2
0 0 1 0 1
0
0
0
1
0
于是得原方程组唯一的一组解：
x1=1，x2=2，x3=-1，x4=0. 根据第2章中利用初等行变换求矩阵的秩的 结论，上例中r(A）=r(B）=4，此组有解， 且有唯一解.显然，若r(A）<r(B)，则该线性 方程组无解
第三步，写出所得矩阵对应的方程组，再 整理出方程组的一般解。
实际上，第二步和求逆矩阵的第三步类似。
1、线性方程组AX = b的解的情况归纳如下：
(1.1)AX = b有唯一解 秩(A) 秩(A) n (1.2)AX = b有无穷多解 秩(A) 秩(A) n (1.3)AX = b无解 秩(A) 秩(A)
am1x1 am2 x2 amn xn 0.
的一组解。称为0解，或平凡解。否则称为 非零解。
方程组的解：
方程组的解是满足方程组的未知量的
一组取值： x1 c1, x2 c2,, xn cn. 也可记为：（c1, c2,, cn）
注意： 方程组的解可能有惟一解，也可能
2-3线性方程组有解的判定定理
组 Ax = 0 只有零解 ( 有非零解 )的充分必要 条件是系数行列式
定理 2 n 元非齐次线性方程组 Am×n x = b 有解 的充分必要条件是系数 矩阵 A 的秩等于增广矩 阵 B = ( A, b ) 的秩 .
证 设 A = (α 1 , α 2 , L , α n ), 这里 α 1 , α 2 , L , α n 是 A 的列向量组， 的列向量组，则 Ax = b 可写成 (4) x 1α 1 + x 2α 2 + L + x nα n = b .
5 1 0 − 2 − 1 2 2 1 3 r3 − r2 4 r1 − 2r2 4 0 1 2 0 1 2 3 r2 ÷ ( −3) 3 0 0 0 0 0 0 0 0 即得与原方程组同解的方程组
5 x1 − 2x3 − 3 x4 = 0, 4 x2 + 2x3 + x4 = 0, 3
L 从而方程组（ 从而方程组（ 2）有解 ⇔ b 可由 α 1 , α 2， , α n L 线性表示 ⇔ R ( A ) = rank (α 1 , α 2， , α n ) = 证毕 rank (α 1 , α 2， , α n， b ) = R ( B ). L
推论
Ax = b有唯一解 ⇔ R(A) = R(B ) = n Ax = b有无穷多解. ⇔ R(A) = R(B ) < n 有无穷多解.
三、线性方程组的求解
例1 求解齐次线性方程组 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 0 2 x1 + x2 − 2 x3 − 2 x4 = 0 . x − x − 4x − 3x = 0 1 2 3 4 解
线性方程组的解的 判定
线性方程组的解的判定
线性方程组的解的判定，是指对线性方程组的解进行判定，以确定其是否有解、是唯一解或者无解。
下面就来详细介绍线性方程组解的判定。
首先，我们来看一下线性方程组的定义：线性方程组是由一组线性方程组成的集合，并且每一个方程中变量的指数为1。
例如：2x + 3y = 5, 4x - 6y = 12.
对于线性方程组的解的判定，有三种常用的方法：
1. 通解法：通解法是求解线性方程组的一种常用方法，即令原方程组的所有方程式左端相加，右端相减，得到一个新的等式。
然后再将此等式化为标准形式，即将所有变量的系数变为正数，最后将方程组解为一个共同的标准型，从而得出线性方程组的解。
2. 秩的判定法：秩的判定法是根据矩阵的秩来判断线性方程组的解。
可以将线性方程组转换为矩阵形式，计算出矩阵的秩，然后根据矩阵的秩来判断线性方程组是否有解。
3. 间接判定法：间接判定法是一种在解线性方程组时，对方程组的解进行判定的一种方法。
这种方法既不求解方程组，也不求矩阵的秩，而是计算出方程组的系数矩阵的行列式，根据行列式的值来判定方程组是否有解，这
种方法的优点是求解简单易懂，但是缺点是计算量大，无法直接判断方程组是否有唯一解。
以上就是线性方程组解的判定的详细介绍，它是一种重要的数学解决问题的方法，可以有效地判定线性方程组的解是否有解，是唯一解或者无解，从而给出解决问题的有效方案。
2.6线性方程组解的一般理论
x4
0
,
1
,
0
x5 0 0 1
2 2 6
1
1
5
1
1
,2
0
,3
0
0
1
0
0
0
1
一般解 c11 c22 c33
(c1, c2, c3为任意常数.)
8
三、非齐次线性方程组解的结构
x11 x22 xnn (I) 0 (II)
第二章 线性方程组 §2.6 线性方程组解的一般理论
一、线性方程组有解的判定定理 二、齐次线性方程组解的结构 三、非齐次线性方程组解的结构
1
一、线性方程组有解的判定定理
定理1 线性方程组 x11 x22 xnn (I) 有解
r( A) r( A) 推论1 线性方程组(I)无解 r(A) r( A) 推论2 线性方程组(I)有唯一解 r(A) r(A) n 推论3 线性方程组(I)有无穷多解 r(A) r(A) n
方程组的三个解向量 1,2 ,3满足
1
0
1
1 2 2, 2 3 1, 3 1 0
3
1
1
求 非 齐 次 线 性 方 程 组 一 的 般 解.
19
解 A是m 3矩阵, r(A) 1,
导出组的基础解系中有 含3 1 2个线性无关的解向量.
令1 2 a, 2 3 b, 3 1 c,则
其中k1 , k 2为任意实数.
21
A
2 1
3 0
1 2
1 2
3 6
0 0
0 0
1 0
1 0
1 0
5 0
0
0
4
5
3
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解§3.1 线性方程组解的判定1.定理3.1:n 元线性方程组AX=b ，其中A=(a 12a 12a 1n a 21a 22a 2na m1a m2a mn),x=( x 1x 2??x n ) ,b=( b 1b 2??b m )(1)无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)；(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n ，(3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n.注：(1)R(A,b)先化为行阶梯形，判别。
有解时再化为行最简形求解。
(2)R(A)=m 时，AX=b 有解。
(3)R(A)=r 时，有n-r 个自由未知量，未必是后面n-r 个。
2.定理3.2:n 元线性方程组AX=0(1)有惟一解（只有零解）的充要条件是R(A)=n ； (2)有无穷多解(有非零解)充要条件是R(A)＜n .注：(1)m ＜n,AX=0必有非零解。
3.定理3.3:矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 求解线性方程组例1. {4x 1+2x 2?x 3=23x 1?x 2+2x 3 =1011x 1+3x 2 =8例2. {2x 1+x 2?x 3+x 4 =14x 1+2x 2?2x 3+x 4=22x 1+x 2 ?x 3?x 4 =1例3. 求解齐次线性方程组{3x 1+ 4x 2?5x 3+ 7x 4 =02x 1?3x 2+3x 3? 2x 4 =04x 1+11x 2?13x 3+16x 4=07x 1?2x 2+ x 3+ 3x 4 =0例4.写出一个以X=C 1(2?310)+C 2(?2401)为通解的齐次线性方程组。
例5（每年）.（1）λ取何值时，非齐次线性方程组{ λx 1+x 2+x 3=1x 1+λx 2+x 3=λx 1+x 2+λx 3=λ2（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并在有无穷多组解时求出通解.（2）非齐次线性方程组{x 1+x 2+2x 3=02x 1+x 2+ax 3=13x 1+2x 2+4x 3=b当a,b 取何值时，（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并求出通解.例5(12/13学年).设A=(λ110λ?1011λ), b=(a11),已知Ax=b 存在两个不同的解：(1)求λ,a;(2)求Ax=b 的通解。
4.1 线性方程组有解的条件
(1) 0, 3, R( A) R(B) 3, 方程组有唯一解； 故： (2) 0, R( A) 1, R(B) 2, 方程组无解；
(３) 3, R( A) R(B) 2, 方程组有无限多个解。
1 1 2 3 1 0 1 1
此时
B
r
0
3
3
6
r
0
1
1
2
,
0 0 0 0 0 0 0 0
x1 1 1 1 2
x2 x3
c1
1
0
c2
0
2
0
1 2
, c1
, c2
R.
x4 0 1 0
例4
对于线性方程组
(1 x1
)
(1
x1
)
x2 x2
x3 x3
0, 3,
书本P112,T6
x1 x2 (1 )x3 ,
问取何值时,有解?有无穷多个解? 并求无穷多解的通解。
c1n d1
c2n
d2
M M
crn
dr
0 0
d
r 1
0
M M
0 0
初等变换不改变矩阵的秩，故有：R( A) R( A) r,
增广矩阵B 通过初等行 变换化为阶
梯型矩阵B
R(B)
R(B)
r, r
1,
当dr1 0, 当dr1 0.
故：
方程组(1)有解的充分必要条件为 dr1 0 ，此时R(A)=R(B)。
令 x3 c1, x4 c2，把它写成通常的参数形式
x1
21
4 3
c2
,
x3 c1,
x4
c2 ,
5
线性方程组有解的判定条件
解 对增广矩阵B进行初等变换，
1 B =3
−2 −1
3 5
−1 −3
1 2
r2 r3
− −
2r1r1
1 0
−2 5
3 −4
−1 0
1 − 1
2 1 2 − 2 3 r3 − r2 0 05 −04 0 12
显然，R( A) = 2, R(B) = 3, 故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
λx1 + x2 x1 + λx2
+ +
x3 x3
= =
1
λ
x1 + x2 + λx3 = λ2
问λ取何值时,有解?有无穷多个解 ?
解 对增广矩阵 B = ( A,b) 作初等行变换，
λ 1 1 1 1 1 λ λ2
B=1 λ 1 λ ~1 λ 1 λ
1
1λ
λ2
λ
1
1
1
1 1
一、线性方程组有解的判定条件
问题：如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩， 讨论线性方程组 Ax = b 的解．
定理1 n 元齐次线性方程组 Am×n x = 0 有非零解
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R(A) < n.
证 必要性. 设方程组 Ax = 0 有非零解，
设R(A) = n,则在A中应有一个n阶非零子式Dn,从而
x2 x3
− −
x3 x4
= a2 = a3
由此得通解：
x4 − x5 = a4
x1 = a1 + a2 + a3 + a4 + x5
x2 = a2 + a3 + a4 + x5 x3 = a3 + a4 + x5
线性方程组解的判定
线性方程组解的判定
线性方程组解的判定是一个重要的数学问题，它涉及到对一组未知量的求解。
解的判定问题的主要内容如下：
1. 系数矩阵存在不等式：在求解线性方程组时，首先要判断系数矩阵是否存在不等式，即是否存在元素值为负的情况：若存在，则解不存在；如果全部元素值都不为负，则判定解存在。
2. 是否存在无穷解：通常情况下，一个线性方程组只有唯一解，即只有一组解。
但也有可能存在无穷多解，即系数矩阵存在元素值全为0，此时解可以是任意一组数，因此可以判定存在无穷解。
3. 闭解的确定：当系数矩阵存在不等式或存在元素值全为0时，可以判定存在无穷解；当系数矩阵存在唯一解时，需要通过计算、符号识别和几何意义的结合，来确定具体的闭解。
4. 压缩可行性：压缩可行性判定法是指将求解所求出来的解，压缩在基本解所构成的空间上，以便表达出更复杂的结果。
5. 方程式系数：也可以通过方程式系数的分析，来判定方程组的解的存在与否，这是一种常用的判定方法。
从上述内容可以看到，线性方程组解的判定是一个复杂的数学问题，要想判断线性方程组的解的存在性，需要结合不等式判定、无穷解判定、压缩可行性判定以及方程式系数等步骤，一步步进行判断，才能正确地确定某个线性方程组的解的存在性。
第2节 线性方程组解的情况
5 x1 x2 2 x3 x4 7 例2.1 解方程组 2 x1 x2 4 x3 2 x4 1 x1 3 x2 6 x3 5 x4 0
解 对方程组的增广矩阵只作初等行变换
1 3 6 5 0 5 1 2 1 7 2 1 4 2 1 2 1 4 2 1 5 1 2 1 7 1 3 6 5 0 1 3 6 5 0 1 3 6 5 0 0 7 16 12 1 0 7 16 12 1 0 14 32 24 7 0 0 0 0 5
（2.2）)
由Cramer法则，方程组（2.2）或（2.1）有唯一解。 情形3 假设 d r 1 0 且 r n. 此时阶梯形方程组为
c11 x1 c12 x2 c1r xr c1,r 1 xr 1 c1n xn d1 c22 x2 c2 r xr c2,r 1 xr 1 c2 n xn d 2 crr xr cr ,r 1 xr 1 crn xn d r
3 x1 3 x2 3 x3 2 x4 1 2 x1 x2 2 x3 x4 3 x1 2 x2 x3 x4 1 3 x1 3 x2 3 x3 2 x4 1 3 x1 3 x2 3 x3 2 x4 2 x1 2 x2 x3 x4 1
变量并且它们可以用自由未知量表示出来。
定理2.1 （1） n元线性方程组解的情况只有三种：
无解，有唯一解，有无穷多解。
（2）当线性方程组化成阶梯形方程组后 如果出现0=非0数的方程， 则方程组无解； 如果无0=非0数的方程且r=n，则方程组有唯一解；
第三章-线性方程组的解
线性代数——第 3章
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2 x2 = c 1 + c 0 + 0 . x3 2 0 4 2 1 2 其中c2 ,c4 任意. 0 1 0 x4
可写成矩阵方程:
Ax b
B ( A, b)
线性代数——第 3章
例
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 设A , b 3 2 4 2 3 3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
线性代数——第 3章
定理1 (1) (2) (3)
n元线性方程组Ax=b
无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)； 有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n； 有无穷多个解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n；
线性代数——第 3章
1 0 0 ~ B0 0 0 x1
5 x1 2c2 3 c2 , x 2c 4 c , 2 2 3 2 x c , 3 1 x4 c 2 ,
线性代数——第 3章
2、非齐次线性方程组 增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有 解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解. 例２ 求解非齐次线性方程组
线性代数——第 3章
解
对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 2 2 1 1 2 2 1 r2 2r1 A 2 1 2 2 0 3 6 4 1 1 4 3 r3 r1 0 3 6 4
d d
线性方程组的解
x1 x 2 xn
故方程组有唯一解, 故方程组有唯一解
= d1 , = d2 , M = dn ,
~ 3. 若R(A) =R(B)= r ＜n,则B中的 r+1= 0 中的d 则 中的 ~ 不出现),于是B对应的方程组 ),于是 对应的方程组B (或dr+1不出现),于是 对应的方程组
d1 d2 M dr d r +1 0 M 0
1. 若R(A)＜R(B), 则r+1行对应矛盾方程 行对应矛盾方程0=1, ＜ 行对应矛盾方程 故方程组无解. 故方程组无解 2. 若R(A) =R(B)= r = n,则B中的 r+1=0(或dr+1 中的d 则 ~中的 ( ~ 不出现), ),且 都不出现,于是B对应方程组 不出现),且bij都不出现,于是 对应方程组
由于参数c 可取任意值, 由于参数 1,···, cn-r可取任意值, 故方程组有 无限多个解.证毕. 无限多个解.证毕. 称为线性方程组的通解. 解(6)称为线性方程组的通解 称为线性方程组的通解
(6)
由定理4容易得出线性方程组理论中两个最 由定理 容易得出线性方程组理论中两个最 基本的定理: 基本的定理 定理5 定理5 n 元非齐次线性方程组 Am×n x = b 有解
的充分必要条件是系数 矩阵 A 的秩等于增广矩 阵 B = ( A, b ) 的秩.
定理6 定理 n 元齐次线性方程组 Am×n x = 0 有非零解
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R( A) < n.
下面把定理5推广到矩阵方程 下面把定理 推广到矩阵方程 定理7 矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是 定理 矩阵方程 有解的充分必要条件是 R(A) =R(A, B) . 矩阵, 矩阵, 证 设A为m×n矩阵 X为n×l矩阵 则B为m×l 为 × 矩阵 为 × 矩阵 为 × 矩阵. 按列分块, 矩阵 把X和B按列分块 记为 和 按列分块
线性代数 2_5线性方程组解的一般理论
线性方程组(1)有无穷解的充要条件是 线性方程组 有无穷解的充要条件是 r ( A) = r ( A ) < n
推论3 线性方程组(2)仅有零解的充要条件是 推论 线性方程组 仅有零解的充要条件是 r ( A) = n. 推论4 线性方程组(2)有非零解的充要条件是 推论 线性方程组 有非零解的充要条件是 r ( A) < n.
5
2、上述判定方法与以前判定方法的比较 、 对齐次线性方程组(2),若m<n，则存在非零解。 ① 对齐次线性方程组 若 ，则存在非零解。 【说明】当m<n时,一定有 r ( A) < n ,则齐次线性 说明】 时 方程组一定有非零解. 方程组一定有非零解. 推论1 保证了克莱姆法则的正确性: ② 推论 保证了克莱姆法则的正确性 n个未知量，n个方程的线性方程组有唯一解的充 个未知量， 个方程的线性方程组有唯一解的充 个未知量 分必要条件是系数行列式 D≠0. 说明】 【说明】 D≠0,一定有 r ( A) = r (α 1 , α 2 , L , α n ) = n r(Ā) , , = 则线性方程组有唯一解. 则线性方程组有唯一解.
x1α1 + x2α2 +⋅ ⋅ ⋅ + xnαn = β x1α1 + x2α2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xnαn = O
(1) (2)
2
系数矩阵与增广矩阵 系数矩阵与增广矩阵
a11 a12 a21 a22 A= L L a m1 am2 L a1n L a2n L L L amn
6
例1 线性方程组
a11 x1 + a12 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 n x n = b1 a x + a x + ⋅⋅⋅ + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ a n + 11 x1 + a n + 12 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n + 1 x n = bn + 1
线性方程组的解的判定
线性方程组的解的判定线性方程组是数学中常见的一类方程组，它的解的判定对于求解方程组和解释方程组所代表的实际问题具有重要意义。
本文将介绍线性方程组的解的判定方法，帮助读者更好地理解和应用线性方程组的解。
一、线性方程组的定义和形式线性方程组由多个线性方程组成，每个线性方程的形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b，其中a₁、a₂、...、aₙ和b都是已知的常数，x₁、x₂、...、xₙ分别表示未知数。
二、线性方程组的解的分类1. 无解的情况当线性方程组中存在矛盾的方程时，即使尝试任何的解法，也无法找到满足所有方程的解。
这种情况下，线性方程组被称为无解。
2. 唯一解的情况当线性方程组中的所有方程可以通过某种方法相互线性无关地表示出来时，存在唯一的解。
这种情况下，线性方程组被称为有唯一解。
3. 无穷多解的情况当线性方程组中的某些方程可以通过某种方法表示为其他方程的线性组合时，存在无穷多的解。
这种情况下，线性方程组被称为有无穷多解。
三、线性方程组解的判定方法1. 利用高斯消元法判定解的情况高斯消元法是一种常用的求解线性方程组的方法，通过将线性方程组化简为阶梯形矩阵，可以判定解的情况。
具体判定如下：- 如果阶梯形矩阵中存在行中全为0但右侧常数项不为0的情况，则线性方程组无解。
- 如果阶梯形矩阵中行的个数（非全0行）等于未知数的个数，则线性方程组有唯一解。
- 如果阶梯形矩阵中行的个数（非全0行）小于未知数的个数，则线性方程组有无穷多解。
2. 利用矩阵行列式判定解的情况根据线性代数的知识，矩阵行列式的值可以用来判定线性方程组的解的情况。
具体判定如下：- 如果线性方程组的系数矩阵的行列式不等于0，则线性方程组有唯一解。
- 如果线性方程组的系数矩阵的行列式等于0，且增广矩阵的行最简形式中，最后一列除了主元所在的行外，其他行均为全零行，则线性方程组有无穷多解。
- 如果线性方程组的系数矩阵的行列式等于0，但增广矩阵的行最简形式中，最后一列除了主元所在的行外，存在非全零行，则线性方程组无解。
3.2 线性方程组解情况的判定
3
第三章 线性方程组
§3.2 线性方程组解情况的判定
阶梯阵的形状与线性方程组的解. ~ ~ [A, b] Ax = b 解的数目 Ax = b 2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0=1 x1x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5 x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3 0=0 无解
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第三章 线性方程组
§3.2 线性方程组解情况的判定
定理2 设(1) 所对应的齐次线性方程组的系数
矩阵为A , 则: (1) 当 R( A) n 时, 齐次线性方程组只有零解；
(2) 当 R( A) n 时, 齐次线性方程组有非零解, 且通解中含有 n R( A) 个自由未知量.
特别地, 若齐次线性方程组中方程的个数少于 未知量个数时, 必有非零解.
进行初等行变换，将其化成阶梯形矩阵：
cii 0
(2)
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6
第三章 线性方程组
§3.2 线性方程组解情况的判定
或:
c11 0 0 0 0 c1, s 1 0 0 0 0 c1 s c1,t 1 c2 s c2,t 1 0 0 0 0 0 0 c1t c1n c2 t c2 n crt 0 0 crn 0 0 d1 d2 dr d r 1 0
a12 a22
线性方程组解的判别与解的结构
线性⽅程组解的判别与解的结构⼀.线性⽅程组求解定理1.线性⽅程组有解判别定理线性⽅程组a11 x1 + a12 x2 + … + a1n x n = b1 ,a21 x1 + a22 x2 + … + a2n x n = b2 , ......................................................as1 x1 + as2 x2 + … + asn x n = bs有解的充分必要条件是 : 它的系数矩阵与增⼴矩阵有相同的秩 .2. 齐次线性⽅程组a11 x1 + a12 x2 + … + a1n x n = 0,a21 x1 + a22 x2 + … + a2n x n = 0, ......................................................as1 x1 + as2 x2 + … + asn x n = 0有⾮零解的充分必要条件是: 它的系数矩阵的秩r ⼩于未知量个数n .齐次线性⽅程组求解⼀般步骤： 1.把系数矩阵通过初等变换，变换成阶梯形矩阵. 2.判断阶梯形矩阵中⾮零⾏的个数秩(r)，以及计算⾃由元个数m=n-r. 3.确定⾃由元位置，然后以次为它们赋值1,0... 4.求解出⽅程组的基础解系. 5.⽤基础解系表⽰出⽅程全解.⾮齐次线性⽅程组求解，与齐次线性⽅程组求解过程基本⼀致，只需要再求出⼀个特解。
⼆.如何⽤C语⾔计算线性⽅程组的解 那么如何⽤算法求出线性⽅程组的解呢？ 就是根据上⾯⽅程组求解⼀般步骤来的， 1.矩阵的初等变换(在上次⾏列式计算的基础上，这个很好实现). 2.求出矩阵的秩/⾃由元个数，然后确定⾃由元的位置(我认为这是⼀个难点) 3.初始化⾃由元(1,0,..)，计算变量，最终求出基础解系 4.⾮齐次线性⽅程 4.1.先求出齐次线性⽅程组的基础解系 4.2.再利⽤上⾯步骤求⼀个特解即可1.矩阵的初等变换//初等⾏变换void primaryRowChange(int s, int n, double **array){int i,j,k,ii,kk,flag;double temp;for(i=0,j=0;i<s-1;i++,j++)//s⾏，最外围只需要变换s-1{ii=i;//如果⾏的⾸元为0，向下查找⼀个不为0的，然后换⾏if(*(*(array+i)+j) == 0){{if(*(*(array+k)+j)!=0)//第k⾏与第i⾏交换{for(kk=j;kk<n;kk++){temp=*(*(array+k)+kk);*(*(array+k)+kk) = *(*(array+i)+kk);*(*(array+i)+kk) = temp;}flag =1;break;}}//判断是交换成功，如果没有成功，则i--if(!flag){i--;continue;}i--;j--;continue;}for(;ii<s-1;ii++){if(*(*(array+ii+1)+j)==0)continue;temp =-*(*(array+ii+1)+j) / *(*(array+i)+j);for(k=j;k<n;k++)*(*(array+ii+1)+k) += *(*(array+i)+k) * temp;}}}2.计算矩阵的秩//计算矩阵的秩int getRank(int s, int n, double **array){int flag;int i,j,r=s;//判断⾮零⾏个数for(i=0;i<s;i++){flag=0;for(j=0;j<n;j++){if(*(*(array+i)+j)!=0 && (*(*(array+i)+j)>0.01 || *(*(array+i)+j) <-0.01))//排除很⼩数， {flag=1;break;}}if(!flag)//当前⾏全为零,则r为i;{r=i;break;}}return r;}3.确定⾃由元位置 ⾃由元确定需要考虑两种情况： 1).系数梯形矩阵最后⼀⾏只有⼀个⾮零元素. 2) 系数梯形矩阵中某⾏的个数等于⾃由元的个数.//获取⾃由元信息int* getFreeElement(int r, int n, double **array, int **matrixPrimary, double **matrixCalc) {int i,j,k,o,p,q;int m=n-1-r;//n-1:int *freeElement =(int*)malloc(m*sizeof(int));j=-1;//判断是否有为0的变量q=0;//如果当前⾏⾮零个数与⾃由元个数相等，则标记为1,⾃由元选择起始位置左移⼀位if(*(*(matrixPrimary+i)+1)==1)//说明第i⾏只有⼀个变量，如果是齐次⽅程它的解⼀定为0 {j=*(*(matrixPrimary+i)+0);for(k=0;k<r;k++)*(*(matrixCalc+k)+j)=*(*(array+k)+n-1) / *(*(array+k)+j);}else if(n-1-matrixPrimary[i][0]==m){q=1;}else if(n-1-matrixPrimary[i][0]>m){o=matrixPrimary[i][0];//当前⾏的⾸元位置p=0;//次数for(k=n-2-q;k>=o;k--)//从后向前查找⾃由元位置{if(k==j)continue;freeElement[p++]=k;if(p==m)//说明已经找到 m个⾃由元return freeElement;}}}return freeElement;}求解⽰例图:1> p148-例42> 2.7(1)-13> 2.7(2)-1.14> 2.7(2)-1.25> 2.7(2)-1.36> 2.7(3)-1.17> 2.7(3)-1.28> 2.7(3)-1.39> 2.7(3)-1.410> p155-例6以下是C语⾔求解的全部源代码#include <stdio.h>#include <stdlib.h>double undefined=-999;//标志位void main(){int i,j,s,n;int res;double **array,*temp,**result;//tempdouble t1[6]={1,1,1,1,1,0};double t2[6]={3,2,1,0,-3,0};double t3[6]={0,1,2,3,6,0};double t4[6]={5,4,3,2,6,0};int homogeneous=1;//标识⽅程是否是齐次⽅程void primaryRowChange(int s, int n, double **array);void printfDouble1Dimension(int n, double *array);void printfDouble2Dimension(int s, int n, double **array);int homogeneousResolve(int s, int n, int homogeneous, double **array, double **result); int nonHomegeneousResolve(int s, int n, double **array, double **result,double *special); //void printfInt2Dimension(int s, int n, int ** array);//int* getPrimary(int n,double *temp);//输⼊说明printf("输⼊说明:⾏数代表S个线性⽅程,N代表未知数及常数项.\n");printf("例如⽅程如下：\n");printf("1x-2y+3z=4\n");printf("-2x-4y+5z=10\n");printf("如下输⼊2⾏,4列:\n");printf("1 -2 3 4\n");printf("-2 -4 5 10\n\n");//开始printf("输⼊⾏数:");scanf("%d",&s);printf("输⼊列数:");scanf("%d",&n);//s=4;//n=6;//动态分配内存空间array =(double**)malloc(s*sizeof(double*));result =(double**)malloc(s*sizeof(double*));special =(double*)malloc(n*sizeof(double));for(i=0;i<s;i++){temp=(double*)malloc(n*sizeof(double));printf("请输⼊第%d⾏数组:",i+1);for(j=0;j<n;j++)scanf("%lf",temp+j);/*switch(i){case 0:temp=t1;//{1,1,1,1,1,0};break;case 1:temp=t2;//{3,2,1,0,-3,0};break;case 2:temp=t3;//{0,1,2,3,6,0};break;case 3:temp=t4;//{5,4,3,2,6,0};break;}*/array[i]=temp;}//打印数组printf("初等⾏列变换之前:\n");printfDouble2Dimension(s,n,array);//判断⽅程是否是齐次⽅程for(i=0;i<s;i++){if(*(*(array+i)+n-1)!=0)//如果最后⼀列,有不为0的说明⽅程为⾮齐次⽅程{homogeneous=0;break;}}primaryRowChange(s,n,array);printf("初等⾏列变换之后:\n");printfDouble2Dimension(s,n,array);if(homogeneous)//齐次{switch (res){case -1:printf("⽅程⽆解.\n");break;case0:printf("⽅程只有零解.\n");break;default:printf("⽅程的基础解系如下:\n");printfDouble2Dimension(res,n-1,result);break;}}else//⾮齐次{res=nonHomegeneousResolve(s,n,array,result,special);if(res==-1)printf("⽅程⽆解.\n");else{printf("⽅程的基础解系如下:\n");printfDouble2Dimension(res,n-1,result);printf("⽅程的特解如下:\n");printfDouble1Dimension(n-1,special);}}system("pause");}//初等⾏变换void primaryRowChange(int s, int n, double **array){int i,j,k,ii,kk,flag;double temp;for(i=0,j=0;i<s-1;i++,j++)//s⾏，最外围只需要变换s-1{ii=i;//如果⾏的⾸元为0，向下查找⼀个不为0的，然后换⾏if(*(*(array+i)+j) == 0){flag=0;for(k=i+1;k<s;k++){if(*(*(array+k)+j)!=0)//第k⾏与第i⾏交换{for(kk=j;kk<n;kk++){temp=*(*(array+k)+kk);*(*(array+k)+kk) = *(*(array+i)+kk);*(*(array+i)+kk) = temp;}flag =1;break;}}//判断是交换成功，如果没有成功，则i--if(!flag){i--;continue;}i--;j--;continue;}for(;ii<s-1;ii++){if(*(*(array+ii+1)+j)==0)continue;temp =-*(*(array+ii+1)+j) / *(*(array+i)+j);for(k=j;k<n;k++)*(*(array+ii+1)+k) += *(*(array+i)+k) * temp;}}}//⾮齐次⽅程解的情况int nonHomegeneousResolve(int s, int n, double **array, double **result, double *special) {int i,j,k,l;int r1,r2;//系数矩阵/增⼴矩阵的秩int getRank(int s, int n, double **array);int homogeneousResolve(int s, int n, int homogeneous, double **array, double **result);r1=getRank(s,n-1,array);r2=getRank(s,n,array);if(r1!=r2)return -1;//⽆解//特解temp =(double**)malloc(r1*sizeof(double*));homogeneousResolve(r1,n,0,array,temp);for(i=0;i<n;i++)*(special+i)=*(*(temp)+i);return homogeneousResolve(r1,n,1,array,result);}//齐次⽅程解的情况int homogeneousResolve(int s, int n, int homogeneous, double **array, double **result){int i,j,k,l,o,p,flag;int r;//秩rankint m;//⾃由元个数int f;//最后⼀个⾮零⾏⾸元的位置double sum1=0,sum2=0;double *temp = (double*)malloc(n*sizeof(double));//临时⾏指针int **matrixPrimary;//存储矩阵⾸元位置及⾮零元个数double **matrixCalc;//计算基础解系int *freeElement;//⾃由元位置double **matrixTemp;//声明函数void printfDouble2Dimension(int s, int n, double **array);void printfInt2Dimension(int s, int n, int **array);int** getPrimary(int s, int n, double **array);int getRank(int s, int n, double **array);double** initMatrixCalc(int s, int n);int* getFreeElement(int r, int n,double **array, int **matrixPrimary, double **matrixCalc);void printfInt1Dimension(int n, int *array);void getPrimarySolution(int r, int n, int homogeneous, double **array, int **matrixPrimary, double **matrixCalc ,int *freeElement, double **result); //秩rankr = getRank(s,n,array);//判断解的情况m=n-1-r;if(m<0)return -1;//⽆解else if(m==0)return0;//只有零解else{//初始化计算矩阵matrixCalc = initMatrixCalc(r,n);//获取矩阵⾸元信息matrixPrimary = getPrimary(r,n,array);/*printf("打印计算矩阵:\n");printfDouble2Dimension(r,n,matrixCalc);printf("打印矩阵⾸元信息:\n");printfInt2Dimension(r,2,matrixPrimary);*/freeElement = getFreeElement(r, n, array, matrixPrimary,matrixCalc);//打印⾃由元位置//printf("打印⾃由元位置:\n");//printfInt1Dimension(m, freeElement);//计算基础解系getPrimarySolution(r, n, homogeneous, array, matrixPrimary, matrixCalc, freeElement ,result);//printfDouble2Dimension(m,n,result);return m;}}//init Matrix calcdouble** initMatrixCalc(int s, int n){int i,j;double **array=(double**)malloc(s*sizeof(double*));for(i=0;i<s;i++){array[i] =(double*)malloc(n*sizeof(double));*(*(array+i)+n-1)=1;{*(*(array+i)+j)=undefined;}}return array;}//计算矩阵的秩int getRank(int s, int n, double **array){int flag;int i,j,r=s;//判断⾮零⾏个数for(i=0;i<s;i++){flag=0;for(j=0;j<n;j++){if(*(*(array+i)+j)!=0 && (*(*(array+i)+j)>0.01 || *(*(array+i)+j) <-0.01))//排除很⼩数， {flag=1;break;}}if(!flag)//当前⾏全为零,则r为i;{r=i;break;}}return r;}//查找某⾏⾮零个数及⾸元位置int** getPrimary(int s, int n, double **array){int i,j;int num=0,index=0;int **result=(int**)malloc(s*sizeof(int*));int *temp;for(i=0;i<s;i++){temp =(int*)malloc(2*sizeof(int));num=0;index=0;for(j=0;j<n;j++){if(*(*(array+i)+j)!=0){if(num==0)index=j;num+=1;}}temp[0]=index;temp[1]=num;result[i]=temp;}return result;}//获取⾃由元信息int* getFreeElement(int r, int n, double **array, int **matrixPrimary, double **matrixCalc){int i,j,k,o,p,q;int m=n-1-r;//n-1:int *freeElement =(int*)malloc(m*sizeof(int));j=-1;//判断是否有为0的变量q=0;//如果当前⾏⾮零个数与⾃由元个数相等，则标记为1,⾃由元选择起始位置左移⼀位for(i=r-1;i>=0;i--)//查找⾃由元，及位置为0的{if(*(*(matrixPrimary+i)+1)==1)//说明第i⾏只有⼀个变量，如果是齐次⽅程它的解⼀定为0 {j=*(*(matrixPrimary+i)+0);for(k=0;k<r;k++)*(*(matrixCalc+k)+j)=*(*(array+k)+n-1) / *(*(array+k)+j);}else if(n-1-matrixPrimary[i][0]==m){q=1;}else if(n-1-matrixPrimary[i][0]>m)o=matrixPrimary[i][0];//当前⾏的⾸元位置p=0;//次数for(k=n-2-q;k>=o;k--)//从后向前查找⾃由元位置{if(k==j)continue;freeElement[p++]=k;if(p==m)//说明已经找到 m个⾃由元return freeElement;}}}return freeElement;}//计算基础解系void getPrimarySolution(int r, int n, int homogeneous, double **array, int **matrixPrimary, double **matrixCalc ,int *freeElement, double **result) {int i,j,k,l,p;int m=n-1-r;//⾃由元double sum1,sum2;double *temp,**matrixTemp;//计算基础解系for(i=0;i<m;i++){matrixTemp=(double**)malloc(r*sizeof(double*));//复制数组for(j=0;j<r;j++){temp =(double*)malloc(n*sizeof(double));for(k=0;k<n;k++)*(temp+k)=*(*(matrixCalc+j)+k);matrixTemp[j]=temp;}//设置⾃由元为0或1for(j=0;j<r;j++){*(*(matrixTemp+j)+freeElement[i])=1;//⾃由元为1for(k=0;k<m;k++){if(k!=i)*(*(matrixTemp+j)+freeElement[k])=0;//⾃由元为0}}//printfDouble2Dimension(r,n,matrixTemp);//计算for(j=r-1;j>=0;j--){p=*(*(matrixPrimary+j));//当前⾏起始位置for(k=p;k<n;k++){if(*(*(matrixTemp+j)+k)==undefined)//如果等于标志位，它可能是未知变量{sum1=sum2=0;for(l=p;l<n;l++){if(l==n-1){sum1=*(*(array+j)+l) * *(*(matrixTemp+j)+l);}else if(l!=k){sum2+=*(*(array+j)+l) * *(*(matrixTemp+j)+l);}}for(l=0;l<r;l++)*(*(matrixTemp+l)+k)=((homogeneous?0:sum1)-sum2)/ *(*(array+j)+k);//如果齐次sum1=0;//break;}}}result[i]=matrixTemp[0];//printfDouble2Dimension(r,n,matrixTemp);}}void printfDouble2Dimension(int s, int n, double **array) {//printf("%d,%d",s,n);int i,j;for(i=0;i<s;i++){for(j=0;j<n;j++){printf("%6.2lf",*(*(array+i)+j));}printf("\n");}}void printfDouble1Dimension(int n, double *array){int i;for(i=0;i<n;i++){printf("%6.2lf",*(array+i));}printf("\n");}//打印⼆维数组void printfInt2Dimension(int s, int n, int **array){int i,j;for(i=0;i<s;i++){for(j=0;j<n;j++){printf("%4d",*(*(array+i)+j));}printf("\n");}}//打印⼀维数组void printfInt1Dimension(int n, int *array){int i;for(i=0;i<n;i++){printf("%4d",*(array+i));}printf("\n");}View Code。
线性组合与线性相关
五、关于向量组线性相关性的主要结论
1.零向量是线性相关的，一个非零向量是线性无关的。 2.两个向量线性相关的充分条件是对应分量成比例。 3.含有零向量的向量组线性相关。 4.部分组线性相关，则整个向量组组线性相关；
向量组线性无关，则其部分组线性无关。 5. 线性无关向量组的“加长”向量组线性无关；
1 1 1
1 1 1
答案：1. A 1 2 3,| A | t 5 或 A 0 1 2
1 3 t
0 0 t 5
所以，t=5时线性相关，t≠5时线性无关。
2.t取任何值，向量组都线性相关。（4个3维向量）
即4可由1,2,3线性表示，
且表示方式不唯一。
对 A~ 继续施行初等行变换，
A~
1 1 2 2 1 1 2 2
0 2 1
5
0 1
1 2
5 2
1
0
3 2
1 2
0
1
1 2
5 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
最后一个矩阵对应的线性方程组为：
x1
x2
1
2 5
2
3
2 1
2
x3 x3
| A | 0 有非零解。
二、向量组的线性组合
1.线性表示：如果β=k11+k22+···+kss，则称β可由 1,2,···,s 线性表示，或称β是1,2,···,s 的线性组合。 2.β能由1,2,···,s线性表示的含义是线性方程组
x11+x22+···+xss=β
有解，其充要条件是 r(A)=r(A|β)
1,2,···,s,β线性相关 r(1,2,···,s ,β) <s+1 s= r(1,2,···,s)≤ r(1,2,···,s ,β) <s+1
3.3 线性方程组的消元解法
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
于是得到
x3=2， x2 =3-2x3 =-1， x1=3+2x2-4x3=-7。
方程组的解为
x1=x2=-
7 1。
x3= 2
—r3-—2r2
x1
-2x2+4x3 x2+2x3
= =
3 3，
x3 = 2 最新课件
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1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
11377
10499
0 0
1 -1 -2 -2 0000
，
00000
R (A )=R (A ,b)=2 4 , 故方程组有无穷多解.
方程组的一般解为
x1 = 9 - 4x3 x2 =- 2 + x3
- 9x4 + 2x4
(x3, x4任意)
则方程组的通解为：
x1=- 9 - 4c1 - 9c2
x2=- 2 + c1 + 2c2
x3 =
c1 c1
x4 =
c2
(c1,c2 R)
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铃
例3．解线性方程组
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1 x2 + x3 - 4x4 = 1 。
x1 + 2x2 + 3x3 - x4 = 4 2x1 + 2x2 - x3 - x4 =- 6
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第二节 线性方程组解的情况判定
教学目的：掌握线性方程组解的存在性的判别方法。
教学重点：线性方程组有解判别定理及其推论。
教学过程：
下面我们来说明如何利用初等变换来解一般的线性方程组。
第一步 对于方程组(9.1)，如果1x 的系数不全为零，那么利用初等变换1，可以设
110a ≠；
第二步 利用初等变换2，分别把第一个方程的1
11
i a a -倍加到第i 个方程(2,,)i s = ，于是方程组(9.1)变成
111122112222222n n n n s sn n s a x a x a x b a x a x b a x a x b +++=⎧⎪
'''++=⎪
⎨
⎪⎪
'''++=⎩
(9.2) 其中1
111
(2,,;2,,)i ij ij j a a a a i s j n a '=-
⋅== 。
这样，解方程组(9.1)就归结为解方程组
2222222n n s sn n s a x a x b a x a x b ⎧'''++=⎪⎪
⎨⎪'''
++=⎪⎩ (9.3)
方程组(9.1)有解的充分必要条件为方程组(9.3)有解；
第三步 对(9.2)上面的类似变换，最后得到一个阶梯形方程组
111122*********
100000r r n n r r n n rr r rn n r r c x c x c x c x d c x c x c x d c x c x d d ++++++=⎧⎪
+++=⎪⎪⎪
++=⎪
⎨
=⎪
⎪=⎪
⎪
⎪=⎩
(9.4) 其中0(1,2,,)ii c i r ≠= 。
方程组(9.4)中的“00=”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，去掉它们不影响(9.4)的解。
方程组(9.1)与方程组(9.4)是同解的。
下面讨论方程组(9.4)解的情况，即方程组(9.1)解的情况。
1．如(9.4)中有方程10r d +=，而10r d +≠，这是不管1,,n x x 取什么值都不能使它成为等式，所以(9.4)无解，从而(9.1)无解。
2．如(9.4)中10r d +=，或(9.4)中根本没有“00=”方程时，分两种情况： (1) 当r n =时，阶梯形方程组为
111122*********r r n n r r n n nn n n c x c x c x c x d c x c x c x d c x d +++++=⎧⎪
++++=⎪
⎨
⎪
⎪=⎩
(9.5) 其中0(1,2,,)ii c i n ≠=
由最后一个方程开始，11,,,n n x x x - 的值可以逐个惟一地确定了。
这时，方程组(9.5)也就是方程组(9.1)有惟一解。
如上面的例1，经过一系列初等变换后，它变成了阶梯形方程组
1232332315318x x x x x x -+=⎧⎪
-=⎨
⎪=-⎩
用13
乘最后一个方程，得36x =-；代入第二个方程，得21x =-；再把36x =-，21x =-代入第一个方程，得19x =。
即方程组有惟一的解(9,1,6)--。
(2) 当r n <时，阶梯形方程组为
11112211,1111
22222,1122,11r r r r n n r r r r n n rr r r r r rn n r c x c x c x c x c x d c x c x c x c x d c x c x c x d ++++++++++++=⎧⎪
+++++=⎪
⎨
⎪
⎪+++=⎩
0(1,2,,)ii c i r ≠=
把它改写成
111122111,111222222,112,11r r r r n n r r r r n n rr r r r r r rn n c x c x c x d c x c x c x c x d c x c x c x d c x c x +++++++++=---⎧⎪
+=---⎪
⎨
⎪
⎪=---⎩
(9.6) 这时任给1,,r n x x + 一组值，就惟一的定出12,,,r x x x 的值，也就是定出方程组(9.6)的一个解。
一般地，由(9.6)可以把12,,,r x x x 通过1,,r n x x + 表示出来，这样一组表达式称为方程组(9.1)的一般解，而1,,r n x x + 称为一组自由未知量。
由于自由未知量
1,,r n x x + 可以取任意实数，所以方程组(9.1)有无穷多个解。
例2 解方程组
123412
412341234235243232829521
x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪
+-=-⎪⎨
--++=⎪⎪+--=-⎩ 解 把方程组中的第1行的方程适当倍数加到其他3个方程，得
12343434342356313631312626x x x x x x x x x x +++=⎧⎪
--=-⎪
⎨
+=⎪
⎪--=-⎩
继续施行初等变换得
12343423511326x x x x x x +++=⎧⎪⎨+=⎪⎩
再施行一次初等变换，得
1243413222
11326x x x x x ⎧
+-=-⎪⎪⎨
⎪+=
⎪⎩
最后，得
1243
431222
13162x x x x x ⎧=--+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
其中24,x x 是自由未知量。
以上就是用消元法解线性方程组的整个过程。
总之，方程组(9.1)有解的充分必要条件是10r d +=，且r n =时有惟一的解；当r n <时有无穷多解。