弹性边界支承薄板在面内荷载下的屈曲

2002年12月第4期

河　北　工　

程　技　术　高　等　专　科　学　校　学　报J O URN AL OF HEB EI ENGIN EERING AN D T ECHNICAL CO LLEGE

Dec.2002No.4

文章编号:1008-3782(2002)04-0018-04

弹性边界支承薄板在面内荷载下的屈曲

押现中

(中国石化工程建设公司,北京　100101)

摘要:以工程设计中常见的H 型、T 型断面构件为力学模型,对于面内单向均匀受压作用下板组结构中的薄板,研究了非加载边支承刚度的变化对屈曲荷载的影响规律。采用有限条模式进行了计算与分析,并得出了一些可供实际工程设计参考的结论。

关键词:板组结构;边界支承刚度;屈曲荷载中图分类号:T U392.4 文献标识码:A

在目前工程实际的钢结构设计中,常用的构件断面形式H 型钢、T 型钢等组合断面,多是以薄板组成的板组结构构件。在由多块薄板组成的板组结构中,单块板件的屈曲直接影响构件的整体稳定性。在实际工程设计中,为保证构件的整体稳定不受局部板件屈曲的影响而提前失稳,一般采用局部屈曲应力大于整体失稳应力的设计方法,因而在板组体系中对单个板件的稳定控制,也是在实际工程设计中首先要解决的内容。

薄板在面内荷载作用下的屈曲的计算,在以前传统的理论研究和计算中,对薄板的屈曲研究和计算主要有平衡法、能量法及近代的数值方法,但主要是研究薄板在单向均布荷载作用下,边界条件为简支、自由、固定等三种情况下的屈曲,并且计算方法也比较成熟,计算结果也与实际比较接近。然而在实际工程中,常用的板组体系断面构件中,各相互关联的薄板在屈曲时,边界条件并非理想中的简支、自由或固定,而各板件间是相互作为边界条件,即各薄板是在弹性支承的情况下发生屈曲。如工程中常用的H 型钢柱,腹板的稳定问题,在设计中常用其宽厚比来保证其稳定性,而对其翼缘板对腹板的嵌固约束作用考虑的比较少。同一腹板,在面内均布受压作用下,其两非加载边固定时的屈曲承载力是其在两非加载边简支时的1.75倍,其非加载边界支承情况对其屈曲承载力的影响是相当可观的,对诸如此类组合断面构件,其翼缘对腹板的支承即非刚度为零的简支,也非刚度无穷大的固定,而是一种弹性支承。文中主要利用有限条法建立物理学模型,对板组结构进行强度及稳定分析,探讨在板组结构稳定分析中,各板件间相互影响的规律。

1　

模型的建立

图1　力学模型

以工程中常用的H 型、T 型断面构件为力学模型(见图1)。此类构件均是由多块薄板组成的板组结构。对于薄板结构,采用以下基本假定:①因板较薄,板的任何一点的挠度k 只与坐标x 和y 有关,与厚度方向的坐标z 无关,也就是说可以用板中面的挠度代表板沿厚度方向任何一点的挠度;②板在弯曲前垂直于板中面的直线,在弯曲过程中仍保持直线,而且仍垂直于已发生了凸曲变形的中面;③与板的厚度相比,垂

直于中面的挠度是微小的,则可忽略中面因弯曲变形伸长而产生的薄膜力;④由于板件为各向同性体,在弹性阶段服从虎克定律;⑤荷载不因板的变形而改变大小和方向;⑥由于加荷载基本为均布荷载,研究中可忽

略各板件由变形而引起的相互之间的剪切力。

有限条法作为用位移逼近的有限元法的一种特殊形式,同标准的有限元法比较,其不同点是:有限元法沿多个方向采用了多项式的位移函数,而有限条法只需沿某个方向采用简单的多项式,沿其他方向则为连续光滑的级数(且此级数须预先满足条单元的端部边界条件),位移函数的一般形式是以多项式和级数的乘积

收稿日期:2002-03-26

作者简介:押现中(1969-),男,河南禹州人,中国石化工程建设公司工程师,工学硕士,国家一级注册结构工程师。

DOI:10.16046/ k i .i ssn 1008-3782.2002.04.008

的形式给出。文中基于以上力学模型及基本假定,采用有限条法对力学模型进行离散(见图2),选取如下的位移表达式

:

图2　条单元及模型离散

u (x ,y )=∑

r

m =1

f um (x )sin(m πa y )

v (x ,y )=∑

r

m =1

f vm (x )co s(

m πa

y )w (x ,y )=

∑

r m =

1

f w m (x )sin(m π

a y )式中:f um (x )=(1-Z )u im +Z u jm ;

f vm (x )=(1-Z )v im +Z v jm ;

f wm (x )=(1-2Z 2

+2Z 3

)w im +b (Z -2Z 2

+Z 3

)θim +(3Z 2

-2Z 3

)w jm +b (Z 3

-Z 2

)θjm ,其中Z =x

b

,u im ,v im 和u jm ,v jm 为第i 条和第j 条结线m 项的平面内位移参数;w im ,θ

im 和w jm ,θjm 为第i 条和第j 条结线m 项的平面外位移参数。

基于以上位移表达式,则条单元的应变能:U =

1

2∫{X }T {W }d v =1

2

∫

{W }T [B ]T [D ][B ]{W }d v 外部表面分布载荷{q }的势能可缩写为:W =-∫{f }T

{q }d A =-∫{e }T

[N ]T

{q }d A

总势能:H =U +W =1

2

∫{W }T

[B ]T

[D ][B ]{W }d v -∫{W }T

[N ]T

{q }d A

式中:[B ]为条单元应变矩阵;[D ]为弹性矩阵,对各向同性板条为常数矩阵。由势能极小化原理,通过整刚集合,可得强度计算平衡方程:

[k ]{W }-{F }={0}

在稳定问题中,构件的屈曲是一个变形问题,其失稳变形主要是条平面外位移(k ,θ),而条平面内位移对

条的稳定性影响很小或者没有影响,要分析板的屈曲性质,只需考虑平面外位移的影响,所以在稳定分析中位移函数仅取w (x ,y )(其位移表达式同上)。

对于弯曲条,在条屈曲时受到从边界1到边界2线性变化的初应力N x ,N y ,N x y ,平面上各力的势能可表示为:

U =12∫A N x L w L x 2+N y L w L y 2+2w x y L w L x L w L y d A =12∫

A

[X G ]T

[T ][X G ]d A

式中:[T ]为板内初应力。

把初应力变形势能加入条总势能,求导积分可得([K E ]+[K G ]){W }={P },其中[K G ]=

∫

A

[B G ]T

[T ][B G ]d A 为几何刚度矩阵。

对弯曲条失稳时的平衡方程([K E ]+[K G ]){W }={P },由于条在平面外受力(即横向作用力)为零,即{P }=0,则条单元的特征方程为([K E ]+[K G ]){W }=0,即条单元的稳定特征方程。

对上述方程的求解过程,主要分两部分,第一部分求解结构的强度问题,即求解结构在每一级加荷步内的应力及位移;第二部分利用第一部分的计算结果,计算在相应荷载作用下结构的物理及几何矩阵,形成在此荷载作用下的稳定方程,求解此稳定方程,判别结构是否屈曲,及求解结构的屈曲荷载。基于上述的理论分析,编写了相应的计算程序对以上方程进行求解。

2　边界刚度对薄板在面内荷载作用下屈曲的影响

为验证文中所采用理论、数学物理模型及计算方法的正确性,首先对薄板在理想边界支承条件下的稳定性进行计算,并将文中计算结果与理论计算结果进行比较,其结果如表1所示。由表1可知,文中的计算结果与理论计算结果吻合较好,误差均在±5%以内,说明文中所采用的模型、计算方法及相应的计算程序正确并具有可靠性。

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