概率论课堂教学课件——1.1 随机试验、随机事件及样本空间

试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6点”
“点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
基本事件:对于一个随机试验来说，它的每 一个结果（样本点）是一个最简单的随机事件， 称为基本事件。
(相对于观察目的不可再分解的事件)
例如 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”.
概率论与数理统计
乔高秀 Email: gxqiao@
一、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. 实例 “太阳不会从西边升起”, “水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
“函数在间断点处不存在导数” 等. 确定性现象的特征 条件完全决定结果
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定
性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有
偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现
具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现 象这种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
必然事件
四、事件的关系及其运算 1. 事件的包含：如果事件A的发生必然导致事 件B的发生，即属于A的每个样本点也都属于B， 则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B， 记作 B A 或 A B 。
如 A=“长度不合格” ，B= “产品不合格”
因为“长度不合格” 必然导致 “产品不合格” 所以 A 包含于B. 即
必然事件 随机试验中必然会出现的结果.
例如 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件.
不可能事件 随机试验中不可能出现的结果.
例如 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.
两点说明：
（1）当且仅当集合A中的一个样本点出现时, 称事件A发生. 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
样本空间为 : {1, 2,3, 4,5,6}
2. 随机试验通常用 E 来表示.
实例 “抛掷一枚硬币,观 察字面,花面出现的情况”. 分析
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果:
字面、花面;
(3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现. 同理可知下列试验都为随机试验. 故为随机试验.
1. 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
例3 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件
用A, B, C 表示出来.
(1) A 出现 , B, C 不出现; (2) A, B都出现, C 不出现;
(1) AB C ; ( 2) ABC ;
(3) 三个事件都出现; (4) 三个事件至少有一个出现;
(5) 三个事件都不出现;
( 3) ABC ;
B发生当且仅当 B中的样本点1, 3,5中的某一个 事件 B={掷出奇数点} 1,3,5
出现.
(2) 随机试验、样本空间与随机事件的关系
每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样
本空间的子集就是随机事件. 随机试验 样本空间
子集
随机事件
随 机 事 件
基本事件 复合事件
两个特殊事件 不可能事件
实例4 从一批含有正品
其结果可能为: 正品 、次品.
和次品的产品中任意抽取
一个产品. 实例5 过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯.
实例6 出生的婴儿可 能是男,也可能是女. 实例7 明天的天气可
能是晴 , 也可能是多云
或雨 . 随机现象的特征 条件不能完全决定结果
概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.
AB
B

同样，事件交运算也可以推广到有限个或可列 无穷个事件上去。
和事件与积事件的运算性质：
A A A, A A A,

A ,
A A,
A .
A A,
注：类似集合的证明方法可证明上述事件
的运算性质。
5. 事件的差 :
“事件A发生而事件B不发生”
A B
A
B

2. 事件的相等：如果事件A包含事件B，且事 件B也包含事件A，则称事件A与事件B相等。即事
件A与事件B的样本点完全相同。记作A=B 。
A B A B且B A
3. 事件的并(或和)：“事件A和B至少有一个 发生”是一个随机事件，这一事件称作事件A与B 的并(或和)，记作 A B 或 A B 。
( 4) A B C ;
(5) A B总个数 C ; 3-1
(6) 不多于（至多有）一个事件出现;
(6) ABC ABC ABC ABC ;
该事件的等价描述是“至少有两个事件不出现”。 所以该事件也可表示为
AB BC
解 记B= “甲产品畅销”，C=“乙产品滞销”， 则A=BC，由摩根律
A BC B C
所以， A的逆事件表述为“甲产品滞销或乙产品 畅销”。
A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B 、C的运算关系表示下列事件：
例2 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以
A1 “至少有一人命中目标 : ” :
A B C
A2 “恰有一人命中目标” : : ABC ABC ABC A3 “恰有两人命中目标” : : ABC ABC ABC A4 “最多有一人命中目标 : ” : ABC ABC ABC ABC
ABC A B C A6 “三人均未命中目标” : :
A5 “三人均命中目标” : :
H T H T
(H,H):
(H,T)： (T,H): (T,T)：
H H T T
在每次试验中必有 一个样本点出现且仅 有一个样本点出现 .
实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
S2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
实例3 记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数.
S4 {0, 1, 2,}.
, An , 满足以下两个条件：
A
i 1 i
n
则称事件 A1 , A2 ,
, An构成一个完备事件组。
例如 掷一枚骰子，记Ai = “骰子出现 i 点” (i= 1,2, …,6) 则A1, A2 , …,A6 构成一个完备事件组.
A3 A4
A2
A1 An1 An
B
化整为零 各个击破
完备事件组在简化事件概率的计算中有重要应用。
是一个随机事件，这一事件称作事件A与B的差。它 是由属于A但不属于B的那些样本点构成的集合。记 作A-B 。
例如 记C=“长度合格但直径不合格” ，A= “长度合 格”，B=“直径合格”.则 C = A - B。可以证明：
A B AB A AB
A B A
B
B A

B A A B
k 1
k 1
4. 事件的交(或积): 记作 A B 或 AB 。
“事件A和B都发生”是一
个随机事件，这一事件称作事件A与B的交(或积)，
例如 设某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径 是否合格所决定,记A= “产品合格”，B=“长度合格”，
C=“直径合格”.则
A BC
A
事件 A 与 B 的积 事件的文(Venn) 图
实例4 从一批灯泡中任取 一只, 测试其寿命.
S6 {t t 0}.
其中 t 为灯泡的寿命 .
实例5 记录某城市120 急
救电话台一昼夜接
到的呼唤次数.
S7 { 0, 1, 2,} .
说明 1. 试验不同, 对应的样本空间也不同. 2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样 本空 间也不同. 例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”. 若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间为
正确结论是 (A-B)+B=A+B 正确结论是 (A+B)-B=A-B
（2）对立事件与互斥事件的区别。 A、B 互斥 A、B 对立
A
B

A
B A
AB
互 斥
A B 且 AB
对 立
请自举一例说明互斥但不对立（不互逆）。
例1
设事件A表示“甲产品畅销，乙产品
滞销”，如何表述A的逆事件？
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象.
实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观
察正反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况. 结果: 弹落点会各不相同. 实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数. 1, 2, 3, 4, 5 或 6. 结果有可能为:

B A
6. 互不相容事件: 如果事件A与B不能同时发生，
即 AB ，则称事件A与B是互不相容的（或称事
件A与B是互斥的）。显然，任意两个基本事件是
互不相容的。
例如 抛掷一枚硬币, 记A=“出现花面”，B= “出现字面” 则，A、B是互不相容（互斥）的两个事件. 互斥事件 的文氏图
A
B

7. 对立事件 : “事件A不发生”是一个随机事件， 这一事件称作事件A的对立事件（或A的逆事件）。
记作
与
A 。由于A也是 A 的对立事件，因此，称A
“骰子不出现1点”
例如 “骰子出现1点”对立
A 互为对立事件。
显然有：
A A.
若 A 与 B 互逆,则有
A
B A

A B 且 AB .
8. 完备事件组 :若n个事件A1 , A2 ,