12.3 角的平分线的性质(第1课时)课件
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人教版八年级上册12.3角的平分线性质课件 (共24张PPT)
O
PC O
EB
DA PC
EB
猜想：角的平分线上的点 到角的两边的距离相等。
已知：PD⊥OA，PE ⊥OB，
D
A
∠DOP=∠EOP
求证：PD=PE
O
证明：∵PD⊥OA，PE ⊥OB，
PC
E
B
∴∠ODP=∠OEP=90°
在Rt△ODP和Rt△OEP中，
∵∠ODP=∠OEP ∠DOP=∠EOP OP=OP
Ａ
Ｏ Ｂ
按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，
•你画的是“甲”生的还是“乙”生的？
第二次折叠形成的两条折痕:
PD表示点P到_O_A_的距离; PE表示点P到_O_B_的距离.
O
由折叠知_P_D__＝_P_E__
A D
C P
EB
同样的做法再找一点Ｐ１, Ｐ２, Ｐ３.．．．． 上述结论还成立吗？
DA
A
Ｍ
两弧在∠AOB的内部交于点C。 Ｃ
（3）作射线OC。
射线OC即为所求。
Ｂ
Ｎ
O
B
试一试
两人结合，互相给对方画一个角，由对方用尺规 作图法作出角的平分线。
你想画什 么角？
你还能把一个角几等分？ 2等分，4等分，8等分……2n等分
操作实验 探究性质
活动 3
将∠AOB对折,以第一条折痕为斜边再 折出一个直角三角形,然后展开,两次折叠形 成几条折痕？把它画出来。
垂足分别为E，F.
A
求证：EB=FC.
E
F
B
D
C
方法：（1）∵AD平分 ∠BAC
方法：（2）∵AD平分 ∠BAC，DE⊥AB，
A
∴∠1=∠2 又∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠AED=∠AFD
【最新版】八年级数学上册课件：12.3 角的平分线的性质(第1课时)
PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
O
OP= OP，
A
D C
P
E
B
∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE.
探究新知
归纳总结
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照 类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证 明过程.
仔细观察步骤
A M
C
半径小于
1 2
MN或等于
1 2
MN，可以
吗？
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半
径画弧，交OA于点M，交OB于 B
点N.
N
O
（2）分别以点M，N为圆心，大
于
1 2
MN的长为半径画弧，两弧在
∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所
作角平分线是最 基本的尺规作图，大 家一定要掌握噢!
求.
探究新知
已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线.
C
BO
A
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这 条直线的垂线的方法.
探究新知
知识点 2 角平分线的性质
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点.
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
PD⊥OA，PE⊥OB ，点D,E为垂足，测量PD,PE的长.
人教版数学八年级上册 第十二章 12.3 角的平分线的性质 第一课时 课件(共33张PPT)
PD⊥OA，PE⊥OB，且
O
P
PD=PE
E B ∴OP是∠AOB的平分线
动脑想一想
• 我们之间就学习了三角形的角分线，之前 谈到过，三条角分线一定交于一点，不过 当时我们没有给出证明，而只是通过画图 的方法给出了印证。
• 现在我们学习了角分线的性质和判定定理， 怎样证明这个结论呢？我们先看下面的例 题。
DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（对应角相等） 即 AE平分∠BAD
动脑想一想
• 通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面 的角的平分线吗？
A
仅用尺规作图，
已知∠AOB，
求作∠AOB的
平分线
O
B
尺规法画角平分线
A M
O
NB
以点O为圆心，任意适当长度为半径画弧，
• 对折之后的折痕和 这个角有什么关系？
• 如果是木板不能对 折，该怎么平分？
动脑想一想
• 如图是一个平分角的仪器， 其中AB=AD，BC=DC，将 点A放在角的顶点，AB和 AD沿着角的两边放下，则 AC所在直线就是这个角的 平分线。
• 你能说明这是为什么吗？
动脑想一想
证明： 在△ADC和△ABC 中 AB=AD（已知） AC=AC（公共边相等）
角分线上的点到角两边的距离相等
A D
∵OC平分∠AOB，
O
P C PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
EB
动脑想一想
• 如图，要在S区建一个 集贸中心，使它到铁路、 公路的距离相等，并且 离公路与铁路的交叉处 500m，这个集贸中心应 建在哪里？
动脑想一想
• 角分线上的点到角两边的距离相等。 • 到角的两边的距离相等的点是否也在角的
人教版数学八年级上册12.3角的平分线的性质1-课件
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等直
思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到
公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉
处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20
000）
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
练习1：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平
分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于
∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边
的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
A
即点P到边AB、BC、
CA的距离相等 想一想，点P在∠A 的 平分线上吗？这 说明三角形的三条角平分线有什么关系？ B
D N PM F
E
C
畅谈收获
知识应用
1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB， 垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
A
分析:要证明PD=PE,只要证明
D
它们所在的△OPD≌△OPE，
而△OPD≌△OPE的条件由已 知易知它满足公理(AAS).
O
1 2
P C
故结论可证.
E
老师期望:你能写出规范的证明过程. B
于是我们得角的平分线的性质： 在角的 平分线上的点到角的两边的距离相等．
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角 的两边的距离相等”这句话．请填下表：
2 、 如 图 ,OC 是 ∠AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC
上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足，分别是D、E,PD=4cm,则 PE=__________cm.
A E
D
A
C
P
D B
E
12.3 角的平分线的性质 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册
∴∠AOC=∠BOC
求证：PE=PF
在△EOP和△FOP中
EA
∠AOC=∠BOC ∠OEP=∠OFP
PC
OP=OP
O
∴ △EOP≌△FOP（AAS)
∴ PE=PF
FB
角平分线的性质 角平分线 上的点 到角两边的距离 相等
几何语言
∵ OP是∠AOB的角平分线
PE⊥OA PF⊥OB
O
∴ PE=PF
EA P
∴ △OEC≌△OFC（SSS） ∴ ∠AOC=∠BOC 即 OC平分∠AOB
E
F
为什么？
新知学习二
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等
同学能用学过的知识证明它吗?
命题证明：角平分线上的点到角两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的角平分线，
点P在OC上，
证明：∵ OC是∠AOB的角平分线
PF⊥OB PE⊥OA
E
∴ PD=PE=PF
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
课堂小结
内容：1. 角平分线上的点到角两边的距离相等 2. 证明几何命题的步骤
应用角平分线性质的条件：1. 存在角平分线 2.涉及距离问题
布置作业
课本P51：第1、2题
配套练习前8题
感谢您的观看
人教版数学八年级上册
12.3第一课时
角平分线的性质
教材分析
情景导入
新知学习一
A
已知:∠AOB
求作∠AOB的平分线
O
B
③ ① ② 作以分射点别线以O为点O圆CM心、，N为适圆当心长，为大半于径画M弧N，为交半O径A于画点弧M，，两O弧B交于于点点NC
证明：在△OEC和△OFC中， OE=OF EC=FC OC=OC
《角的平分线的性质(1)》课件
PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 探究三：用角的平分线的性质解决简单问题 活动1 例1 (2)下图中,PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D、E，
则图中PD＝PE吗 不相等
【思路点拨】已知没有告诉OC为∠AOB的平分线， 由此PD与PE不相等.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 重难点归纳
（1）角的平分线的性质的探究. （2）角的平分线的性质的证明及应用. （3）证明线段相等通常证明线段所在的两个 三角形全等.
边的垂线段. 哪个学生的作法正确？ 同学乙的画法是正确的．
同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线， 而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的 画法不符合要求．
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二：角的平分线的性质 活动2 问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？
角平分线上的点到角的两边的距离相等．
证明： ∵∠C＝90°，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E， ∴DC=DE 又∵△AD=DF △ ∴ DCF≌ DEA（HL）
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究三：用角的平分线的性质解决简单问题
活动3
练习：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE， CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
知识回顾 问题探究 探究二：角的平分线的性质 活动3
课堂小结
随堂检测
角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
符号语言：
∵∠AOC=∠BOC, PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为点D、E.（已知） ∴ PD=PE（角的平分线上的点到角的 两边的距离相等）
人教版八年级上册数学课件角平分线的性质优秀课件
八年级 上册
12.3 角的平分线的性质 （第1课时）
课件说明
• 角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特 征，常用来证明两条线段相等．角的平分线的性质 的研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质提供 了思路和方法．
• 学习目标： 1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理 性． 2．探索并证明角的平分线的性质． 3．能用角的平分线的性质解决简单问题．
人教版八年级上册数数学学课件课角件平1分2.线3角的平性分质线优的秀性pp质t 课(共件16张PPT)
解决简单问题，巩固角的平分线的性质
练习: 如图，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC
的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求
证：EB =FC．
A
在此题的已知条件下， 你还能得到哪些结论？
D
B
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
C
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的
E
对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
人教版八年级上册数数学学课件课角件平1分2.线3角的平性分质线优的秀性pp质t 课(共件16张PPT)
人教版八年级上册数数学学课件课角件平1分2.线3角的平性分质线优的秀性pp质t 课(共件16张PPT)
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概 括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符表示已知和
求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证
明过程．
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12.3 角的平分线的性质 （第1课时）
课件说明
• 角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特 征，常用来证明两条线段相等．角的平分线的性质 的研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质提供 了思路和方法．
• 学习目标： 1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理 性． 2．探索并证明角的平分线的性质． 3．能用角的平分线的性质解决简单问题．
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解决简单问题，巩固角的平分线的性质
练习: 如图，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC
的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求
证：EB =FC．
A
在此题的已知条件下， 你还能得到哪些结论？
D
B
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
C
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的
E
对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
人教版八年级上册数数学学课件课角件平1分2.线3角的平性分质线优的秀性pp质t 课(共件16张PPT)
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经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概 括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符表示已知和
求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证
明过程．
人教版八年级上册数数学学课件课角件平1分2.线3角的平性分质线优的秀性pp质t 课(共件16张PPT)
人教版数学八年级上册 角的平分线的性质(第1课时)
课堂小结
尺规 作图
属于基本作图，必须熟练掌握
角平分线 性 质 定理
一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等
为证明线段相等 提供了又一途径
辅助线 添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
巩固练习
如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，OD⊥AB于
点D，OE⊥AC于点E，则OD与OE的大小关系是( B)
A. OD>OE
B．OD＝OE
C. OD<OE
D．不能确定
探究新知
素养考点 1 角平分线的性质的应用
例1已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且
BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F.
O
课堂检测
4.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分
别是C，D，下列结论中错误的是(D )
A.PC＝PD
B. OC＝OD
C. ∠CPO＝∠DPO
D. OC＝PC
5. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为
E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长D是( C )
D
求证：EB=FC.
A
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF， ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF，
E B
D
F C
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
巩固练习
如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA＝OB， PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM＝PN.
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形12.3 第1课时 角平分线的性质课件
O （3）垂直距离.
C P
定理的作用： 证明线段相等.
应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB，
E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少
了任何一个.
∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
A
求证：EB=FC.
分析：先利用角平分线的性质定理得到
DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE
E
F
≌ Rt△CDF.
B
D
C
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD，
A D
C
P
O
E
B
验证结论
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE. 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， O
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
A
D C
P
E
B
OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE.
C
D
A
EB
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能
说明∠AOC=∠BOC的依据是（ A ）
A.SSS
B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
C P
定理的作用： 证明线段相等.
应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB，
E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少
了任何一个.
∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
A
求证：EB=FC.
分析：先利用角平分线的性质定理得到
DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE
E
F
≌ Rt△CDF.
B
D
C
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD，
A D
C
P
O
E
B
验证结论
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE. 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， O
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
A
D C
P
E
B
OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE.
C
D
A
EB
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能
说明∠AOC=∠BOC的依据是（ A ）
A.SSS
B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
最新人教版八年级数学上册精品课件12.3角平分线的性质(第1课时)
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1. 操•作第测二量级： 取 点 P 的 三 个 不 同 的 位 置 ， 分 别 过 点 P 作 PD⊥OA，• 第PE三级⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三
次数据填入下• 表第四：级 • 第五级
A
PD PE
D
C
第一次
p
第二次
O
第三次
E
B
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写
单击此处编母版标题样式
变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分
∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.
（•2）单求击△此A处PB编的面辑积母. 版文本样式
由• 垂第直二级平分线的性质，可知，PD=PC=4，
• 第三1级
SPDB • 第2四• 级·第A五B级·PD=28.
C．4
D．3
解析：过• 点第三D作级DF⊥AC于F， ∵AD是△• A第B四• 级C第的五级角平分线，
C D
F
DE⊥AB，
∴DF＝DE＝2，
SABC
1 42 2
1 2
AC 2
7,
解得AC＝3.
A
E
B
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高， 再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．
PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解•：单过击点此P作处M编N⊥辑A母D于版点文M本，样交B式C于点N.
∵ ∴
AMDN•∥⊥第BB•二CC第，，级•三M第级四N级的长即为AD与BC之间
的距离.
• 第五级
∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB，
12_3角的平分线的性质(第1课时)
教学设计二次备课一、感悟实践经验，用尺规作角的平分线问题1在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？用量角器度量，也可用折纸的方法．追问1你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？追问2以下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC=DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？追问3从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？利用尺规作角的平分线的具体方法:追问4你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？二、经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质 问题2 利用尺规我们能够作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？如图，任意作一个角∠AOB ，作出∠A 的平分线OC ，在OC 上任取一点P ，过点P 画出OA ，OB 的垂线，分别记 垂足为D ，E ，测量 PD ，PE 并作比较，你得到什么结论？在OC 上再取几个点试一试．通过以上测量，你发现了角 的平分线的什么性质？追问1 通过动手实验、观察比较，我们发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？已知：∠AOC = ∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ． 求证：PD =PE ．追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；（3）经过度析，找出由已知推出求证的途径，写出证 ABO MN CABO PCDE明过程．追问3 角的平分线的性质的作用是什么？主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，使用此性质不需要先证两个三角形全等．三、解决简单问题，巩固角的平分线的性质练习1 以下结论一定成立的是 ．（1）如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，D ，E 分 别为OA ，OB 上的点，则PD =PE ．（2）如图，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足 分别为D ，E ，则PD =PE ．（3）如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ， 垂足为D ．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．练习2 如图，△ABC 中，∠B =∠C ，AD 是∠BAC 的平分线， DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：EB =FC ．在此题的已知条件下，你还能得到哪些结论？ 例 如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ．求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等． 四、课堂小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？（3）角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？ 在应用这个性质时要注意哪些问题？五、布置作业AB CD EF ABC PM N。
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练一练 教材第51页习题12.3第1题. 看一看 角平分线的性质.gsp
试一试
角平分线的识别.gsp
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探索新知，建立模型
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离 相等. 角平分线的判定： 角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上.
第十二章
全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第1课时
创设情境，导入新课
1.看教材第37页练习 第2题，回顾怎样用全等 三角形的知识来说明这种 画法的道理. 2.阅读教材第48页第 一个思考题.
A
D C E
B
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探索新知，建立模型
A
因为AB AD, DC BC , AC AC （公共边）， 所以ADC ຫໍສະໝຸດ ABC(SSS).D C E
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B
所以∠DAC= ∠BAC.
探索新知，建立模型
由上面的探究可以得出作已知角的平 分线的方法.
已知： ∠AOB. 求作： ∠AOB的平分线. N 作法：(1) 以O为圆心，适 当长为半径画弧，交OA于M，交 O OB于N. M (2) 分别以M,N为圆心，大 于1/2MN 的长为半径画弧，两 弧在∠AOB的内部交于点C. (3) 画射线OC.射线OC即为所求.
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布置作业
1.必做题： （1）教材第51页习题12.3第 2、4题. （2）教材第56页复习题12第 13题. 2.选做题： （1）教材第55页复习题12第 5题. （2）作一个三角形三个内角的平分线，你 发现了什么？与同伴进行交流.
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O S
E
B D
3.你能用尺规作出一个45°的角吗？
小结归纳
（1）本节课学到了哪些角平分线的知识？ （2）角平分线有多种画法（借助量角器、 透明纸、角尺、平分角的仪器等)，但尺规作图 最佳，作图的道理可以通过三角形全等的证明 来获得.
（3）证明一个文字几何命题一般分三步走.
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探索新知，建立模型
一般情况下，我们要证明一个几何中的 命题时，会按照类似的步骤进行，即 （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号 表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途 径，写出证明过程.
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解析、应用与拓展
1.(教材第49页思考题) 分析：把公路、铁路看成两条 相交线，先作其角的平分线OB （O为顶点），再在OB上作OS， 使OS=2.5 cm，点S 即为所求. A 2.如图，在△ABC 中， ∠C =90°，AD平分∠BAC交BC 于点D，若BC=8，BD=5，则点D 到AB的距离DE长为多少？ C
探索新知，建立模型
如图， ∠AOC = ∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别为点D,E.求证PD=PE. 证明： ∵PD⊥OA,PE⊥OB, A ∴ ∠PDO = ∠PEO=90°. C D 在△PDO和△PEO中， P ∠PDO = ∠PEO， O ∠DOP = ∠EOP, E B OP = OP, ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴ PD ＝ PE.
A
C
B
探索新知，建立模型
练一练 教材第51页习题12.3第1题. 看一看 角平分线的性质.gsp
试一试
角平分线的识别.gsp
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探索新知，建立模型
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离 相等. 角平分线的判定： 角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上.
第十二章
全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第1课时
创设情境，导入新课
1.看教材第37页练习 第2题，回顾怎样用全等 三角形的知识来说明这种 画法的道理. 2.阅读教材第48页第 一个思考题.
A
D C E
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A
因为AB AD, DC BC , AC AC （公共边）， 所以ADC ຫໍສະໝຸດ ABC(SSS).D C E
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B
所以∠DAC= ∠BAC.
探索新知，建立模型
由上面的探究可以得出作已知角的平 分线的方法.
已知： ∠AOB. 求作： ∠AOB的平分线. N 作法：(1) 以O为圆心，适 当长为半径画弧，交OA于M，交 O OB于N. M (2) 分别以M,N为圆心，大 于1/2MN 的长为半径画弧，两 弧在∠AOB的内部交于点C. (3) 画射线OC.射线OC即为所求.
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布置作业
1.必做题： （1）教材第51页习题12.3第 2、4题. （2）教材第56页复习题12第 13题. 2.选做题： （1）教材第55页复习题12第 5题. （2）作一个三角形三个内角的平分线，你 发现了什么？与同伴进行交流.
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O S
E
B D
3.你能用尺规作出一个45°的角吗？
小结归纳
（1）本节课学到了哪些角平分线的知识？ （2）角平分线有多种画法（借助量角器、 透明纸、角尺、平分角的仪器等)，但尺规作图 最佳，作图的道理可以通过三角形全等的证明 来获得.
（3）证明一个文字几何命题一般分三步走.
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探索新知，建立模型
一般情况下，我们要证明一个几何中的 命题时，会按照类似的步骤进行，即 （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号 表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途 径，写出证明过程.
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解析、应用与拓展
1.(教材第49页思考题) 分析：把公路、铁路看成两条 相交线，先作其角的平分线OB （O为顶点），再在OB上作OS， 使OS=2.5 cm，点S 即为所求. A 2.如图，在△ABC 中， ∠C =90°，AD平分∠BAC交BC 于点D，若BC=8，BD=5，则点D 到AB的距离DE长为多少？ C
探索新知，建立模型
如图， ∠AOC = ∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别为点D,E.求证PD=PE. 证明： ∵PD⊥OA,PE⊥OB, A ∴ ∠PDO = ∠PEO=90°. C D 在△PDO和△PEO中， P ∠PDO = ∠PEO， O ∠DOP = ∠EOP, E B OP = OP, ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴ PD ＝ PE.