推理与证明
推理证明与证明方法
推理证明与证明方法推理是指通过一系列逻辑性的推导和推论，从已有的前提得出结论的过程。
在数学、哲学、逻辑学和科学研究等领域中，推理是一种重要的思维方式和证明方法。
本文将探讨推理证明的基本概念、推理的类型以及常见的证明方法。
一、推理证明的基本概念推理证明是指基于已知事实和前提，通过逻辑推导和推论的方式，得出一个结论或者证明一个命题的过程。
其目的是通过合理和严密的推理，使得结论具有说服力，能够被他人接受。
推理证明的过程通常分为两个步骤：前提和推导。
前提是指已知的事实、定理或假设，推导是在前提的基础上通过逻辑关系进行推演，从而得到新的结论。
推演的过程中，可以使用各种推理方法和推理规则。
二、推理的类型根据推理的方式和形式，推理可以分为直接推理和间接推理两种类型。
1. 直接推理：直接推理是通过已知的前提和一系列逻辑推理规则，直接得出结论的推理方式。
例如，对于一个条件命题“A蕴含B”，如果已知“A为真”，那么可以直接推导出“B为真”。
2. 间接推理：间接推理是通过否定前提的逻辑关系，从而得到结论的推理方式。
例如，通过反证法可以证明一个命题的真伪。
假设目标命题为真，然后通过逻辑推理推导到一个矛盾的结论，从而推断目标命题为假。
三、常见的证明方法为了实现证明的目的，推理过程中常采用多种证明方法。
以下介绍几种常见的证明方法。
1. 直接证明法：直接证明法是通过直接推理的方式，从已知的前提出发，逐步推导证明目标命题的真伪。
例如，对于证明一个数是偶数的命题，可以通过直接证明“该数能被2整除”来得到结论。
2. 归谬法：归谬法是一种间接证明法，通过假设目标命题为假，然后逐步推导到一个矛盾的结论，从而证明目标命题为真。
这种方法常用于证明一个命题的唯一性或者不存在性。
3. 数学归纳法：数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法。
它分为基础步和归纳步两个阶段。
首先证明基础步，即证明当n取某个特定值时，命题成立；然后证明归纳步，假设当n=m时命题成立，再证明当n=m+1时命题也成立。
_高中数学第二章推理与证明2
跟踪练习
(2014～2015·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过
程：
已知正实数 a、b 满足 a＋b＝1，求 2a＋1＋ 2b＋1的最
大值．
解：∵
2a＋1· 2≤
2a＋12＋ 2
22＝a＋32，
2b＋1· 2
≤
2b＋12＋ 2
22＝b＋32，
相 加 得 2a＋1 · 2 ＋ 2b＋1 · 2 ＝ 2 ( 2a＋1 ＋ 2b＋1)≤a＋b＋3＝4.
综合法： ∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， ∴2(a2＋b2＋c2)≥(ab＋bc＋ac)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， ∴ a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
人教版 选修2-2
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
目标导航
• 了解综合法与分析法的特点，熟练应用分析法与综合法证明 命题．
重点难点
• 重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点． • 难点：综合法和分析法的应用．
新知导学
1.综合法证明不等式
• 1．定义 • 利用___已__知__条__件___和某些数学__定__义____、__定__理____、
、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
• (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明 ，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式 的证明，常用分析法；
• (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出 发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是 已知(或已证)的不等式；
推理与证明课件
归纳推理 （1） 组、祖、阻、诅 ） （2） ） 地球 围绕太阳运行 绕轴自转 有大气层 有季节更替 地球上有生命 爼 火星 围绕太阳运行 绕轴自转 有大气层 有季节更替 火星上有生命 类 比 推 理
合 情 推 理
归纳推理: 归纳推理 由某些事物的部分对象具有某些特征， 由某些事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理。 的推理。 类比推理： 类比推理： 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的 类对象 具有这些特征 某些已知特征， 某些已知特征，推出 的推理； 的推理； 注：合情推理的推理结果不一定正确。 合情推理的推理结果不一定正确。 如：组、祖、阻、诅 咀
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： 3 2 2 o 2 o sin α + sin (α + 60 ) + sin (α + 120 ) = 并证明 2 变式训练1： 变式训练 ： tan 5° • tan10° + tan 5° • tan 75° + tan10° • tan 75° = 1
1 (3) 三角形的面积为S = (a + b + c)r,r为三角形内切圆半径 为三角形内切圆半径 2
请类比出四面体的有关性质？ 请类比出四面体的有关性质？
二、演绎推理
（1）所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜 ）所有的金属都能导电，铜是金属， （2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王 ）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行， 星是太阳系的大行星， 星是太阳系的大行星，因此 演绎推理：从一般性的原理出发， 演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况 的结论的推理
_高中数学第二章推理与证明1
• 4．其他演绎推理形式 • (1)假言推理：“若p⇒q，p真，则q真”． • (2)关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”R表示一种传递性关系
，如a∥b，b∥c⇒a∥c，a≥b，b≥c⇒a≥c等． • 注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理
形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以 供学生扩展知识面．
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
目标导航
• 理解演绎推理的概念，掌握演绎推理的形式，并能用它们进行 一些简单的推理，了解合情推理与演绎推理的联系与区别．
重点难点
• 重点：演绎推理的含义及演绎推理规则． • 难点：演绎推理的应用．
新知导学
1.演绎推理
• 日常生活中我们经常接触这样的推理形式：“所有金属都导 电，因为铁是金属，所以铁导电”，它是合情推理吗？这种 推理形式正确吗？
• (2)利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有 性质P，S是M的一个子集，那么 __S_中__所__有__元__素__也__都__具__有__性__质__P__.
• (3)为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或 小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段 论，把前一个三段论的___结__论___作为下一个三段论的前提．
互动探究
1.演绎推理的基本形式——三段论
• 例题1 用三段论的形式写出下列演绎推理． • (1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对
角线相互垂直． • (2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则
此两角不是对顶角． • [分析] 即写出推理的大前提、小前提、结论．大前提可能
环小数，所以e是无理数． • [答案] (1)a＝－8，(2)无限不循环小数都是无理数
数学中的推理与验证
数学中的推理与验证在数学领域中，推理与验证是基础且核心的概念。
数学通过逻辑推理和数学证明来建立和验证数学定理与结论，确保数学的准确性和可靠性。
本文将讨论数学中的推理与验证的重要性以及常用的证明方法和推理策略。
一、推理的基本概念推理是指通过逻辑思维和论证来得出结论的过程。
在数学中，推理是建立数学定理和结论的基础，它依赖于逻辑的正确性和数学原理的合理性。
推理的基本形式包括：1. 归纳推理：从特殊到一般的推理过程。
通过观察和实例推断，从有限个特例中总结出一个普遍规律。
例如，通过观察1、3、5、7等奇数的序列可以得出结论：每个奇数都可以表示为2n+1，其中n是一个整数。
2. 演绎推理：从一般到特殊的推理过程。
通过利用已知的事实和定理，从中得出新的结论。
例如，已知两个角相等，以及这两个角分别等于直角，则可以推导出这两个角都是直角。
推理的正确性和可靠性对于建立数学理论和应用数学具有重要意义。
一个正确的推理过程可以保证数学定理和结论的准确性，进而推动数学的发展和应用。
二、验证的重要性验证是指对已有的数学定理和结论进行证明，以确认其准确性和可靠性。
验证的过程是通过逻辑推理和论证，将已知的定理与推论联系起来，形成一个完整而严密的数学体系。
验证的重要性体现在以下几个方面：1. 保证数学的准确性：通过验证数学定理和结论，可以确保其准确性。
只有经过验证的数学理论才能被广泛接受和应用。
2. 推动数学的发展：通过验证已有的数学定理和结论，可以为数学研究提供基础和方向。
同时，验证还可以促进新的数学发现和创新。
3. 培养逻辑思维和严密性：验证过程需要严密的逻辑推理和论证，可以培养学生的逻辑思维和严谨性。
通过验证数学定理和结论，学生可以提高问题解决的能力和数学思维的灵活性。
三、常用的证明方法和推理策略在数学中，有多种不同的证明方法和推理策略可供选择。
以下是其中一些常用的方法和策略：1. 直接证明：即通过逻辑推理，从已知的前提出发，一步一步地推导出结论。
推理与证明演绎推理
推理与证明演绎推理ppt xx年xx月xx日CATALOGUE目录•推理与证明概述•推理的类型•证明的方法•演绎推理•推理与证明的应用•推理与证明的挑战与未来发展01推理与证明概述推理是指从已知的事实或前提中推导出结论的过程。
在逻辑学中，推理通常指形式逻辑或数理逻辑，它们是研究推理的有效性和正确性的学科。
推理的定义推理在我们的日常生活中无处不在，它帮助我们理解事物、解决问题、作出决策。
在科学、数学、法律等领域中，推理也扮演着至关重要的角色。
通过推理，我们可以探索未知、发现新知、验证假设。
推理的重要性推理的定义与重要性证明的定义证明是指通过一系列合乎逻辑的步骤，从已知的事实或前提中推导出结论的过程。
在数学和形式逻辑中，证明通常指的是一种结构化的过程，其中每个步骤都有明确的依据和逻辑关系。
证明的意义证明可以帮助我们确认某个结论是正确的或错误的。
通过证明，我们可以建立对某个结论的信任和信心。
此外，证明还可以帮助我们深化对某个领域的知识和理解，因为它要求我们对概念和原理有深入的理解和掌握。
证明的概念及意义推理和证明都是思维过程，它们都涉及到从已知的事实或前提中推导出结论。
在证明中，我们通常使用演绎推理来推导结论。
演绎推理是一种形式化的推理方法，它要求前提必须是确定无疑的，并且推导出的结论必须符合前提的逻辑关系。
推理与证明的区别虽然推理和证明都是从已知推导出未知的过程，但它们的目的和方法有所不同。
推理更注重思维过程和创造性思考，而证明更注重结构的严谨性和逻辑的正确性。
此外，推理往往涉及更多的事实和信息，而证明通常涉及更少的假设和更多的推导步骤。
推理与证明的联系推理与证明的关系VS02推理的类型定义直接推理是从一个或多个前提中直接得出结论的推理方法。
例子例如，如果所有的猫都是哺乳动物，并且小猫是猫，那么可以推断出小猫是哺乳动物。
直接推理定义间接推理是通过排除其他可能性来得出结论的推理方法。
例子例如，如果所有的狗都不会飞，而小狗会飞，那么可以推断出小狗不是狗。
推理与证明
推理与证明主讲：陈逸一周强化一、一周知识概述归纳推理和类比推理是合情推理的常用思维方法，前者是由部分到整体、个别到一般的推理，后者是由特殊到特殊的推理．演绎推理是由一般到特殊的推理，“三段论”是演绎推理的一般模式．数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明才能得到确认，本节介绍了两类基本的数学证明方法：直接证明与间接证明，要了解这些证明方法的思考过程与特点．二、重难点知识归纳1．合情推理(1)归纳推理①定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．②归纳推理的特点I．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；II．归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的；III．在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行．③归纳推理的步骤首先，对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；然后，在此基础上提出带有规律性的结论，即猜想；最后，检验这个猜想．(2)类比推理①定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．②类比推理的特点I．类比推理是从特殊到特殊的推理；II．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．III．类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能．IV．由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特征．③类比推理的步骤首先，找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想．2．演绎推理．(1)定义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)演绎推理的特点演绎推理是由一般到特殊的推理，这也决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的．因此，演绎推理只要前提和推理形式正确，结论就必然正确．3．综合法证明不等式的特点从已知条件和某些学过的定义、公理、定理等出发，通过推理得出结论．“顺推证法”或“由因导果法”，是综合法的两种形象化的说法．4．分析法证明不等式的特点要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止．“逆推证法”或“执果索因法”，是分析法的两种形象化的说法．5．反证法(1)特点先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，经过正确的推理，得出矛盾，由此说明假设错误，从而得到原命题成立．(2)反证法主要适用于以下两种情形：①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、典型例题剖析例1．设，且，若，猜想的个位数字是多少？解析：根据条件可知此为归纳推理．当n=1时，有；当n=2时，有；当n=3时，有；当n=4时，有；据此猜想，得的个位数字是7．例2．在中，已知，求证为直角三角形．分析：条件中即有正弦余弦，又含有边长，那么可以利用正弦余弦定理进行化简．证明：根据正弦定理有，则可化简为，故有．因为，，故，所以cos(B＋C)=0.又，所以．故是直角三角形．例3．平面内的１条直线把平面分成两部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，n条彼此相交而无三条共点的直线，把平面分成多少部分？解析：本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况．设平面被n条直线分成部分，则当n=1时，=1＋1=2；当n=2时，=1＋1＋2=4；当n=3时，=1＋1＋2＋3=7；当n=4时，=1＋1＋2＋3＋4=11．据此猜想，得．例4．已知0<a<1，0<b<1，0<c<1，求证：b(1－a)，c(1－b)，a(1－c)中不可能都大于．分析：如果直接使用综合法证明，必须要分成若干类别，有一个不大于，有二个不大于，有三个不大于分别予以证明，显然繁琐，而它的反面很简单，全部大于，故用反证法证逆否命题简单明快．证明：假设b(1－a)， c(1－b)，a(1－c)全大于，即b(1－a)＞，c(1－b)＞，a(1－c)＞，，即．①而0<a<1，1－a>0，，同理b(1－b)，c(1－c) ，三式相乘得a(1－a)b(1－b)c(1－c)．②①与②矛盾，故假设不成立．b(1－a)，c(1－b)，a(1－c)中不可能都大于．例5．已知，求证：．分析：这道题目如果直接从条件入手比较麻烦，那么可以利用分析法由结论入手，进而找出一个恒成立的等式即可．证明：要证：．只需证．．只需证．只需证．，成立，原不等式成立．。
艺术生高考数学专题讲义：考点59 推理与证明
考点五十九 推理与证明知识梳理1．推理(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．(2)分类：推理⎩⎪⎨⎪⎧合情推理演绎推理2．合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理．(1)归纳推理：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确． 3．演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式：三段论⎩⎪⎨⎪⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断.4．归纳推理与类比推理的步骤 (1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同特征；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题． (2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． 5．合情推理与演绎推理的区别：归纳和类比是常用的合情推理．从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．6．平面到空间中的常见类比7．直接证明有两种基本方法：综合法和分析法．(1) 综合法：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法．(2) 分析法：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．8．间接证明间接证明的一种基本方法是反证法．(1)反证法：我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．(2)反证法的证题步骤是：①反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)②归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)③立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)典例剖析题型一 归纳推理 例1 观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第五个等式应为_________________________________． 答案 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 解析 由于1＝12， 2＋3＋4＝9＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝25＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81. 变式训练 （2015陕西文）观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为_______________________________． 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .解题要点 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的； (3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用． 题型二 类比推理例2 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 答案 1∶8解析 V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 变式训练 在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ， 于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1.解题要点 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等． 题型三 演绎推理例3 如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________． 答案332解析 由题意知，凸函数满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.题型四 综合法和分析法的应用例4 在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ， 同理可得sin B ＞cos C ，sin C ＞cos A ， ∴sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .变式训练 设a 、b 、c 均为大于1的正数，且ab ＝10，求证：log a c ＋log b c ≥4lgc.证明：(分析法)由于a>1，b>1，c>1，故要证明log a c ＋log b c ≥4lgc ，只要证明lgc lga ＋lgclgb ≥4lgc ，即lga ＋lgb lga ·lgb≥4，因为ab ＝10，故lga ＋lgb ＝1.只要证明1lgalgb ≥4，由于a>1，b>1，故lga>0，lgb>0，所以0<lgalgb ≤⎝⎛⎭⎫lga ＋lgb 22＝⎝⎛⎭⎫122＝14，即1lgalgb ≥4成立．所以原不等式成立．解题要点 1.综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．分析法是“由果执因”，先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。
数学中的逻辑推理与数学证明方法总结
数学中的逻辑推理与数学证明方法总结数学作为一门严谨的学科，逻辑推理是其中不可或缺的一部分。
逻辑推理可以说是数学研究的基础，而证明方法则是数学中解决问题的关键。
本文将总结数学中常见的逻辑推理方法和证明方法，并探讨其应用。
一、逻辑推理方法1. 直接证明法直接证明法是一种较为常见的逻辑推理方法。
它以已知事实或前提为基础，通过一系列的推理步骤，得出结论。
例如，要证明某个数是偶数，可以先假设这个数是奇数，然后推导出矛盾的结论，从而得出所谓的假设是错误的，因此这个数必定是偶数。
2. 反证法反证法是逻辑推理中的一种常见方法。
它与直接证明法相反，通过假设结论不成立，推导出矛盾的结论，从而证明结论的正确性。
例如，要证明某个命题为真，可以先假设该命题为假，然后通过一系列的推理步骤得出矛盾的结论，从而证明该命题为真。
3. 归谬法归谬法又称为推理发散法或爆炸法，是一种通过假设逆否命题推导出矛盾结论的推理方法。
例如，要证明某个条件蕴含某个结论，可以先假设该结论不成立，然后通过一系列的推理推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
4. 数学归纳法数学归纳法是一种用于证明自然数性质的常见方法。
它分为数学归纳法的基本思想和数学归纳法的步骤。
基本思想是证明某个性质对于第一个自然数成立，并假设它对于第n个自然数也成立，再证明它对于第n+1个自然数也成立。
步骤一般是设定归纳假设、证明基础情况和归纳步骤。
数学归纳法在证明一些数学定理和命题时非常有用。
二、数学证明方法1. 直接证明法直接证明法是数学证明中最常见的一种方法。
它通过一系列的推理步骤，逐步论证问题的正确性，从而得出结论。
例如，要证明一个三角形的内角和等于180度，可以通过使用三角形的定义和性质，逐步推导得出结论。
2. 间接证明法间接证明法又称为反证法，它通过假设问题的反面，即假设问题不成立，然后利用逻辑推理得出矛盾的结论，从而证明问题的正确性。
例如，要证明根号2是无理数，可以先假设它是有理数，然后通过一系列的推理得出矛盾的结论，从而证明了它是无理数。
数学推理与证明
数学推理与证明数学是一门逻辑性极强的学科，而数学推理与证明则是数学学科中最为重要的一部分。
数学推理与证明通过一系列的推理步骤和逻辑推断，来证明数学命题的正确性。
在数学推理与证明中，我们需要运用各种数学概念、定义、定理和公理，以及推理规则和方法，从而达到推理证明问题的目的。
一、黎曼猜想的证明黎曼猜想是数学领域中一个备受关注的命题，至今尚未被证明。
黎曼猜想与素数分布有关，它表明在一定范围内的素数个数与自然对数的对数函数之间存在着某种联系。
虽然许多数学家都尝试过证明黎曼猜想，但至今为止，该命题仍然是一个数学难题。
二、归纳法的应用归纳法是数学推理与证明中常用的一种方法。
归纳法通过证明命题对于某一个基本情况成立，并假设命题对于某一个情况成立，然后证明在此基础上可以得出命题对于下一个情况也成立。
归纳法的使用需要具备递推性质，即能够从前一个情况推导出下一个情况。
三、数学归纳法的举例我们通过一个具体的例子来说明数学归纳法的应用。
假设我们要证明命题P(n)在正整数集合上成立，首先证明P(1)成立，即命题在n=1的情况下成立。
然后假设P(k)成立，即命题在n=k的情况下成立。
接下来通过数学推理证明P(k+1)成立，即命题在n=k+1的情况下也成立。
通过这样的证明，我们可以得出结论，命题P(n)在正整数集合上成立。
四、数学推理与证明的重要性数学推理与证明在数学学科中具有重要的地位。
它不仅可以帮助我们证明数学命题的正确性，还可以培养我们的逻辑思维和推理能力。
在学习数学过程中，运用推理与证明的方法可以帮助我们更好地理解数学概念和定理，提高数学问题解决的能力。
五、欧几里得几何的证明方法欧几里得几何是数学推理与证明的经典范例。
欧几里得几何通过公设、定义和公理，以及一系列的演绎推理，从而建立了一套完整的几何理论系统。
其中，欧几里得的五大公设（如直线上任意两点可连成一条直线）是欧几里得几何的基础，通过这些公设和公理，我们可以推导出众多的几何定理。
32推理与证明
6.已知函数 是 上的增函数， .
（1）若 ，则
（2）若 ，则a+b0 (以上两题填<,>, )
【我的疑问】
【课内探究】
一、讨论、展示、点评、质疑
探究1．合情推理
(1)在平面上,如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下一个直角三角形,按图所示边长由勾股定理有: ,设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 ,如果用 表示三个侧面面积, 表示截面面积,则类比得到的结论是.
（2）在等差数列 中,若 则有等式 成立,类比上述性质,相应地:在等比数列 中,若 则有等式.
（3）观察下列等式：
，
，
，
，
………
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于 ， ．
拓展提升：
1.（2011江西理7）观察下列各式： =3125， =15625， =78125，…，则 的末四位数字为( )
A．3125B．5625C．0625D．8125
A假设a ,b,c都是偶数B假设a ,b,c都不是偶数
C假设a ,b,c至多有一个偶数D假设a ,b,c至多有两个偶数
10.设a >0,b>0,且a+b 4,则有（）
B C D
11.设x>0,y>0,且 则有（）
A B C D
12.已知下列等式：①x +3>2x (x为正数)② ③ 其中正确的个数是（）
A.小前提错误B.大前提错误C.结论错误D.正确的
4.”金导电,银导电,铜导电,锡导电,所以一切金属都导电”,此推理方法是( )
A．完全归纳推理B.归纳推理C.类比推理D.演绎推理
数学中的推理与证明
数学中的推理与证明数学作为一门严谨的学科，其核心之一就是推理和证明。
推理与证明是数学思维的重要组成部分，也是数学发展的关键。
通过推理与证明，数学家们能够发现和建立新的数学理论，并解决各种实际问题。
一、推理的重要性推理是数学思维的基石，它包括归纳推理和演绎推理两部分。
1. 归纳推理归纳推理是通过从个别情况中总结出普遍规律。
当我们对一系列例子进行观察和分析后，可以发现其中隐藏的规律，并通过归纳推理将其应用到更多的情况中。
例如，当我们对正整数进行归纳观察时，可以发现其和的规律，从而得出等差数列的求和公式。
2. 演绎推理演绎推理是通过已知条件和逻辑规则进行推断。
演绎推理是一种从一般性原理到特殊性结论的推理方式。
例如，当我们知道一个三角形的两条边相等时，可以利用已知的几何定理推导出第三条边也相等。
推理在数学中具有重要的意义，它使我们能够从已知事实出发，逻辑推导出新的结论，进而扩展数学知识的边界。
二、证明的实质证明是数学推理的核心环节，也是数学研究的重要手段。
数学证明是一种通过逻辑推理和推导，使命题变为真实的论证过程。
1. 直接证明直接证明是通过从已知条件和已有定理出发，逐步推导得出结论的过程。
它通常采用假设法，以假设待证结论为假，然后推导出与已知条件矛盾的结论，从而证明原结论为真。
例如，当我们要证明两个平行线的夹角为90度时，可以通过假设夹角不为90度，推导出与已有平行线性质相矛盾的结论，从而得出结论为真。
2. 反证法反证法是数学证明中常用的一种方法，它通过假设待证的命题为假，然后推导出与已有事实矛盾的结论，从而证明原命题为真。
反证法常用于证明一些定理或命题的唯一性。
例如，当我们要证明根号2为无理数时，可以假设根号2为有理数，然后推导出与有理数的定义和性质相矛盾的结论，从而得出根号2为无理数的结论。
通过证明，数学家能够确保数学理论的正确性和可靠性。
证明不仅要严密，还要简洁明了，使人易于理解和接受。
三、数学证明的分类数学证明可以分为直接证明、间接证明、反证明、归纳证明等多种形式。
数学中的推理和证明 共77页
证明：先考虑特殊情形：
（１）当 n3 ,pqr1 时不等 a3b 式 3c3 即 3 a,b 是 不 c ： 等 .
（２）当 n3 ,p2 ， q 1 ， r0 时不等 a3b 3 式 c3 即 a2bb2 是 cc2a .：
下证不(等 2)成 式立 .
受1（ ）的启发，可以得到：
在a3b3c3 3ab中 c ，a令 c有：
2a3b3 3 a3a3b3 a2b,同理有 2b3： c3 b2c,2c3a3 c2a.
3
3
3
三式相加a3有 b3： c3 a2bb2cc2a成立 .
(3)一般的情形：由（ 2），由于 n N ， p 、 q 、 r都 是非负整数，且 p q r n. 根据类比有：
归纳法.
特殊
一般
归纳 不 法 完 完全 全归 归 — — 纳 纳 纳 属 法 法 法 于 （ 、 演 实 经 绎 验 — 数 验 — 推 归 学 归 属 理 归 纳 于 （ 纳 法 归 比
我们借助于归纳推理可以从大量的个别事例中发现数学 真理，引出新的数学命题.但此时的数学命题还只是一种猜想， 它往往是冒风险的、有争议的和暂时成立的。要使它成为真 正的普遍命题，还要借助于论证推理进行严格的证明.
学习合情推理的意义——还数学的 本来面目，把数学知识的学术形态 的“冰冷的美丽”转化为数学知识 的教育形态的“火热的思考”.
数学中的合情推理主要有：归纳推 理、类比推理、直觉、顿悟等.
这里主要谈谈归纳推理与类比推理.
2. 归纳推理
1）定义
Байду номын сангаас
把某类事物中个别事物所具有的规律 作为该类事物的普遍规律，这种思维进程 中由特殊到一般的推理称为归纳推理或称
数学中的推理与证明
数学中的推理与证明在数学领域中，推理与证明起着至关重要的作用。
数学推理是在已知条件下，通过逻辑推导得出结论的一种思维过程，而数学证明则是对数学命题的确证过程。
本文将探讨数学中的推理与证明的重要性以及一些常用的证明方法。
一、推理的重要性推理是数学思维的核心，它能够帮助我们理解和解决复杂的问题。
通过推理，我们能够从已知事实中得出新的结论。
例如，在几何学中，我们可以通过已知的定理和性质，运用逻辑推理，得出关于角、线段、面积等的结论。
推理限制了我们对问题的猜测与假设，使我们得以准确地把握问题的本质，从而得出正确的结论。
二、常用的证明方法1. 直接证明法直接证明法是最常见的证明方法之一。
它通过列举事实和逻辑推理来证明一个命题的真实性。
首先，我们列举已知条件，然后运用定义、公理、定理等基本数学知识，逻辑地推导出结论。
最后，通过清晰、简明的论述和符号运算，将推理过程展示出来。
例如，我们要证明两个平行线之间夹角的对应角相等，可以列举平行线的性质，运用垂直线性质和同位角性质，通过逻辑推导证明这个结论。
2. 反证法反证法是一种常用的证明方法，在数学中被广泛应用。
它通过假设反命题的真实性，然后通过推理得出矛盾，从而推翻了反命题的真实性，从而证明了原命题的真实性。
反证法常用于证明某个数的唯一性、存在性或不等式的性质等。
例如，要证明根号2为无理数，我们可以假设根号2为有理数，然后通过逻辑推导得出矛盾，从而推翻了假设，证明了根号2为无理数。
3. 数学归纳法数学归纳法是一种用于证明一般性命题的方法。
它分为基本步骤（归纳起始步骤）和归纳步骤（归纳假设和归纳推理）。
基本步骤是验证当命题对某个特定数值成立时，下一个数值也成立。
而归纳步骤是假设命题对某个特定数值成立，通过逻辑推导证明对下一个数值也成立。
例如，要证明所有正整数的和公式Sn = n(n+1)/2，可以先验证n=1时成立，然后假设Sn成立，在此基础上推导出Sn+1成立，从而证明了所有正整数的和公式的正确性。
推理与证明
推理
1、合情推理：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理。
（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。
（由部分到整体，由个别到一般）（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。
（由特殊到特殊）
2、演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论。
证明
1、直接证明：
（1）综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理、等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立。
（2）分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止。
2、间接证明：
（1）反证法（归谬法）：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。
3、数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）：(归纳奠基)证明当n取第一个n0（n0为正整数）时命题成立；
（2）：(归纳递推）假设n=k（k≥n0，k为正整数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
证据法中的证明与推理
证据法中的证明与推理证据法是法律领域中的一个重要分支，其涉及到诸多案件审理和判决的关键问题。
证据法中的证明与推理是其核心内容，本文将探讨这一主题。
首先，我们需要搞清楚证明和推理在证据法中的具体意义和作用。
证明是指当事人以一定的方式提供证据，以使法庭、仲裁机构或其他法律机构能够确信某一事实的存在或真实性。
证明通过法庭审判的程序来实现，它涉及到证据的收集、提供、审查和评判等一系列活动。
证据法所关注的是如何确保证据的真实性和可靠性，以保证案件的公正和合法。
推理在证据法中的作用则是针对已收集到的证据进行分析和评判，从而推断出事实的真相。
推理过程一般依据逻辑和常识，通过对证据的分析、比对和判断，得出合乎逻辑的结论。
推理在证据法中具有着重要的作用，它可以在一定程度上填补证据的不完整性和不足。
然而，证明和推理在证据法中也存在一些挑战和争议。
首先，证据法中的证明要求较高。
根据我国的法律规定，证据必须以书面形式提交，且需要经过合法的方式获得。
这对当事人来说，可能增加了诉讼的成本和复杂度。
其次，证据的收集和维护也存在困难。
一些证据可能受到损坏、篡改或丢失，这给当事人的证明工作带来了困扰。
此外，推理过程中的逻辑漏洞和错误也可能导致判决的不公正。
为了解决这些问题，可以从以下几个方面进行思考和改进。
首先，可以借鉴国际上一些先进的证据法制度，学习其优点，进一步完善我国的证据法律规定。
其次，judiciary 应加强对证据审查的制度建设和人才培养，提高相关从业人员的专业能力和素质。
此外，还可以利用现代科技手段，提高证据的收集、保存和分析的效率和准确性。
在证明和推理的过程中，法官作为一个中立的第三方，发挥着重要的角色。
法官应该根据法律规定和事实情况，秉持公正、客观和公正的原则，从而做出正确和公正的判决。
此外，还需要加强对法官的培训和教育，提高其专业能力和道德水平。
虽然在实践中，证明和推理过程可能存在一定的困难和不足，但是通过不断的探索和改进，我们可以逐渐完善证据法制度，保障公正和合法的司法实践。
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广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编16：推理与证明一、选择题1 ．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）观察(x 2)′=2x ,(x 4)′=4x 3,(cos x )′=-sin x ,由归纳推理可得:若定义在R 上的函数f (x )满足f (-x )=f (x ),记g (x )为f (x )的导函数,则g (-x )= （ ） A ．f (x ) B ．-f (x ) C ．g (x ) D ．-g (x )【答案】解:由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数,因此当f (x )是偶函数时,其导函数应为奇函数,故g (-x )=-g (x ).选 D ．二、填空题2 ．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）观察下列不等式: ①112<;②11226+<;③11132612++<;则第5个不等式为_______________.【答案】11111526122030++++< 3 ．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知1234212,21334,2135456,213575678,⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯… 依此类推,第n 个等式为_____________.【答案】)()3()2()1()12(5312n n n n n n n+⨯⨯+⨯+⨯+=-⨯⨯⨯⨯⨯ ;4 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）已知正三角形内切圆的半径是高的13,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是____________________.【答案】14三、解答题5 ．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））设n a 是函数()321f x x n x =+-()*n ∈N 的零点.(1)证明:01n a <<; (2)证明:1n n <+1232n a a a +++< . 【答案】(本小题主要考查函数的零点、函数的导数和不等式的证明等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力等,本小题满分14分)证明:(1)因为()010f =-<,()210f n =>,且()f x 在R 上的图像是一条连续曲线,所以函数()f x 在()01，内有零点 因为()2230f x x n '=+>,所以函数()f x 在R 上单调递增所以函数()f x 在R 上只有一个零点,且零点在区间()01，内. 而n a 是函数()f x 的零点, 所以01n a << (2)先证明左边的不等式: 因为3210n n a n a +-=, 由(1)知01n a <<, 所以3n n a a < 即231n n n n a a a -=<. 所以211n a n >+ 所以1222211111211n a a a n +++>++++++ 以下证明222111112111nn n +++≥++++ . ① 方法1(放缩法):因为()21111111n a n n n n n >≥=-+++, 所以1211111111223341n a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++ 方法2(数学归纳法):1)当1n =时,2111111=++,不等式①成立. 2)假设当n k =(*k ∈N )时不等式①成立,即222111112111kk k +++≥++++ . 那么()222211111121111k k +++++++++ ()21111k k k ≥++++. 以下证明()()()21111111k k k k k ++≥+++++. ② 即证()()()21111111k kk k k +≥-+++++. 即证22112232k k k k ≥++++. 由于上式显然成立,所以不等式②成立. 即当1n k =+时不等式①也成立.根据1)和2),可知不等式①对任何*n ∈N 都成立. 所以121n na a a n +++>+ 再证明右边的不等式: 当1n =时,()31f x x x =+-.由于31113102228f ⎛⎫⎛⎫=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,3333111044464f ⎛⎫⎛⎫=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以11324a << 由(1)知01n a <<,且3210n n a n a +-=,所以32211n n a a n n -=<因为当2n ≥时,()2111111n n n n n<=---, 所以当2n ≥时,12342311111114223341n a a a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭113122n =+-<. 所以当*n ∈N 时,都有1232n a a a +++< . 综上所述,1n n <+1232n a a a +++<6 ．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）若函数()f x 对任意的实数1x ,2x D ∈,均有2121()()f x f x x x -≤-,则称函数()f x 是区间D 上的“平缓函数”. (1) 判断()sin g x x =和2()h x x x =-是不是实数集R 上的“平缓函数”,并说明理由;(2) 若数列{}n x 对所有的正整数n 都有 121(21)n n x x n +-≤+,设sin n n y x =,求证: 1114n y y +-<. 【答案】(本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识,考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识)(1) 解:()sin g x x =是R 上的“平缓函数”,但2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”;设()sin x x x ϕ=-,则()1cos 0x x ϕ'=-≥,则()sin x x x ϕ=-是实数集R 上的增函数, 不妨设12x x <,则12()()x x ϕϕ<,即1122sin sin x x x x -<-, 则2121sin sin x x x x -<-. ①又sin y x x =+也是R 上的增函数,则1122sin sin x x x x +<+, 即2112sin sin x x x x ->-, ②由①、②得 212121()sin sin x x x x x x --<-<-. 因此,2121sin sin x x x x -<-,对12x x <都成立 当12x x >时,同理有2121sin sin x x x x -<-成立 又当12x x =时,不等式2121sin sin 0x x x x -=-=, 故对任意的实数1x ,2x ∈R,均有2121sin sin x x x x -≤-. 因此 ()sin g x x =是R 上的“平缓函数”由于121212()()()(1)h x h x x x x x -=-+- 取13x =,22x =,则1212()()4h x h x x x -=>-, 因此, 2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数” (2)证明:由(1)得:()sin g x x =是R 上的“平缓函数”, 则11sin sin n n n n x x x x ++-≤-, 所以 11n n n n y y x x ++-≤- 而121(21)n n x x n +-≤+,∴ 12211111()(21)4441n n y y n n n n n +-≤<=-+++ ∵11111221()()()()n n n n n n n y y y y y y y y y y ++----=-+-+-++- ,∴1111221n n n n n y y y y y y y y ++---≤-+-++-∴11111111[()()(1)]4112n y y n n n n +-≤-+-++-+- 11141n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭14<7 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）设0,a >函数21()f x x a=+. (1)证明:存在唯一实数01(0,)x a∈,使00()f x x =; (2)定义数列11{}:0,(),n n n x x x f x +== *n N ∈① 对(1)中的0x ,求证:对任意正整数n 都有2102n n x x x -<<; ② 当2a =时,若10(2,3,4,)2k x k <≤= ,证明:对任意*m N ∈都有 1134m k k k x x +--<⋅【答案】(1)解:有321()10f x x x ax x a==⇒+-=+令3()1g x x ax =+-由2311()30,(0)10,()0g x x a g g a a '=+>=-<=>所以有且只有一个实数01(0,)x a∈,使00()f x x =;(1) (Ⅰ)(数学归纳法)先证: 2102n n x x x -<< 证明: ① 1201210,(,)x x x x x a==∴∈; ② 假设2102(1)k k x x x k -<<≥ 由21()f x x a=+递减性得: 2102()()(),(1)k k f x f x f x k ->>≥即2021(1)k k x x x k +>>≥又202121022()()()k k k k f x f x f x x x x +++<<∴<<所以1n k =+时命题成立 所以2102n n x x x -<<对*n N ∈成立 (2)(Ⅱ)解:当2a =时, 21()2f x x =+为减函数,且123140,,29x x x === 213211,218x x x x -=-=由10(2,3,4,)2k x k <≤= 111222211()1122(2)(2)k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x --+--+--=-=++++ ∴1k k x x +-2213211111()()()444184k k k k k x x x x ---<-<-=⋅< 1121m k k m k m k m k m k k k x x x x x x x x +++-+-+-+-≤-+-++-11111()()()444k k k m ++-<+++ 1134k -<⋅。