2019-2020学年高中数学 2.1.4映射的概念学案 苏教版必修1

2019-2020学年高中数学 2.1.4映射的概念学案 苏教版必修1
1．映射的概念：设A ，B 是两个非空集合，如果按某种对应法则f ，对于A 中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A 到集合B 的映射．
2．映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，即函数是数集到数集的映射．
3．下列对应是从A 到B 的映射的是(D)
A ．A ＝R ，
B ＝R ，对应法则为“取倒数”
B ．A ＝Z ，B ＝N ＋，对应法则“取绝对值”
C ．A ＝R ＋，B ＝R ，对应法则为“开平方”
D ．A ＝R ，B ＝R ，对应法则为“平方加1”
解析：∵0无倒数|0|＝0∉N *，4→±2，
∴排除A 、B 、C 三项．
4．A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，从集合A 到集合B 的对应关系是f ：x →(x ＋1，
x 2＋1)，则在f 下2的象是________，⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，54的原象是________． 答案：(2＋1，3) 12
,
一、映射的概念
首先，要准确理解映射的概念，映射的概念可以概括为“取元任意性，成象唯一性”，即：①映射的三要素：原象、象、对应关系；②A 中元素不可剩，B 中元素可剩；③多对一行，一对多不行；④映射具有方向性：f ：A →B 与f ：B →A 一般是不同的映射． 其次，要准确把握映射与函数的关系．
(1)联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义的)的基础上引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，反过来，要善于用映射的语言来叙述函数的问题．
(2)区别：函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；而对于映射而言，A 和B 不一定是数集．
二、一一映射
一一映射即“一对一”，这是一种特殊的映射，除了要求是映射外，还必须同时满足两个条件：
(1)A 中不同元素在B 中有不同的象(即不能“多对一”)；
(2)B 中每一个元素都有原象(即B 中不能有“多余”的元素)．
基础巩固
1．设A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，如图，能表示集合A 到集合B 的映射的是(D )
解析：因为象集为{y |1≤y ≤2}，故A ，B 错，又根据映射的定义知C 错．
2．已知f ：A →B 是集合A 到B 的映射，又A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝x 2＋2x －3，k
∈B 且k 在A 中没有原象，则k 的取值范围是(A )
A ．(－∞，－4)
B ．(－1，3)
C ．[－4，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析：∵y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4≥－4，即象集为[－4，＋∞)，∴当k <－4时，k
就没有原象．
3．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，映射f ：M →N ，在f 作用下(x ，y )的象是(2x ，2y )，
则集合N 为(D )
A ．{(x ，y )|x ＋y ＝2，x >0，y >0}
B ．{(x ，y )|xy ＝1，x >0，y >0}
C ．{(x ，y )|xy ＝2，x <0，y <0}
D ．{(x ，y )|xy ＝2，x >0，y >0}
解析：2x ·2y ＝2x ＋y ＝21＝2.
4．给出以下对应：
(1)集合A ＝{P |P 是数轴上的点}，集合B ＝R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；
(2)集合A ＝{P |P 是平面直角坐标系中的点}，集合B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
(3)集合A ＝{x |x 是三角形}，集合B ＝{x |x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；
(4)集合A ＝{x |x 是新华中学的班级}，集合B ＝{x |x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．其中是从集合A 到B 的映射的是____________(填序号)．
答案：(1)(2)(3)
5．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b ，若5→5，且7→11，则当x →20时，x ＝________．
答案：解析：由⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋b ＝5，7a ＋b ＝11⇒⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－10， 即y ＝3x －10.当y ＝20时，易得x ＝10.
答案：10
6．从集合A ＝{1，2，3，4}到B ＝{5，6，7}可建立________个不同的映射．
答案：解析：1选象有3种选法，同样的，2，3，4都有3种选象的方法且互不影响． ∴共有3×3×3×3＝81个不同映射．
答案：81
7．已知M ＝{正整数}，P ＝{正奇数}，映射f ：a (a ∈M )→b ＝2a －1，则在映射f 下，M 中的元素11对应着P 中的元素________，P 中的元素11对应着M 中的元素________．
解析：由题知a ＝11，b ＝21，即M 中的元素11对应着P 中的元素21；又b ＝11，代入b ＝2a －1，a ＝6，即P 中的元素11对应着M 中的元素6.
答案：21 6
8．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a ＋2b ，2b ＋c ，2c ＋3d ，4d .例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为________．
解析：由题目的条件可以得到a ＋2b ＝14，2b ＋c ＝9，2c ＋3d ＝23，4d ＝28，∴a ＝6，b ＝4，c ＝1, d ＝7.
答案：6，4，1，7
9．某次数学考试中，学号为i (1≤i ≤4，且i ∈N )的四位同学的考试成绩f (i )∈{91，93，95，97，99}，且满足f (1)<f (2)≤f (3)<f (4)，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有________种．
解析：若f (1)<f (2)<f (3)<f (4)，则有5种可能，若f (1)<f (2)＝f (3)<f (4)，则有10种可能，故成绩可能状况为5＋10＝15种．
答案：15
10．设A ＝{1，2，3，m }，B ＝{4，7，n 4，n 2＋3n }，f ：x →y ＝px ＋q 是从集合A 到集合
B 的一个映射，已知m ，n ∈N *，1的象是4，7的原象是2，试求p ，m ，q ，n 的值．
解析：由题知⎩
⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝4，2p ＋q ＝7，∴p ＝3，q ＝1. ∴y ＝3x ＋1.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧3×3＋1＝n 4，3m ＋1＝n 2＋3n 或⎩⎪⎨⎪⎧3×3＋1＝n 2＋3n ，3m ＋1＝n 4. ∵m ，n ∈N *，
∴⎩⎪⎨⎪⎧n 4＝10，3m ＋1＝n 2＋3n (舍去)或⎩
⎪⎨⎪⎧10＝n 2＋3n ，3m ＋1＝n 4. ∴m ＝5，n ＝2.∴p ＝3，q ＝1，n ＝2，m ＝5. 能力提升
11．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数，例如函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )就是单函数．下列命题：
①函数f (x )＝x 2(x ∈R )就是单函数；
②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；
③若f ：A →B 为单函数，则对任意b ∈B ，它至多有一个原象．
其中正确命题是__________(写出所有正确命题的序号)．
答案：②③
12．已知集合A 为实数集R ，集合B ＝{y |y ≥2}，x ∈A ，y ∈B ，对应法则f ：x →y ＝x
2－2x ＋2，那么f ：A →B 是A 到B 的映射吗？如果不是，可以如何变换集合A 或B (f 不变)使之成为映射．
解析：由于x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1，即在f 下，A 中的元素变换成集合{y |y ≥1}中
的元素，现在已知的集合B ＝{y |y ≥2}，所以A 中的部分元素x ∈(0，2)在B 中无对应元素．所以f ：A →B 不是A 到B 的映射．将B 改为{y |y ≥1}，A 与f 不变，则f ：A →B 成为A 到B 的一个映射．
13．由等式x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4＝(x ＋1)4＋b 1(x ＋1)3＋b 2(x ＋1)2＋b 3(x ＋1)＋b 4，定
义映射f ：(a 1，a 2，a 3，a 4)→(b 1，b 2，b 3，b 4)，求f (4，3，2，1)．
解析：为计算方便，在等式x 4＋4x 3＋3x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)4＋b 1(x ＋1)3＋b 2(x ＋1)2＋b 3(x
＋1)＋b 4中，分别令x ＝0，－1，－2，1得：⎩⎪⎨⎪⎧1＝1＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4，－1＝b 4，－7＝1－b 1＋b 2－b 3＋b 4，11＝16＋8b 1＋4b 2＋2b 3＋b 4⇒⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，
b 2＝－3，b 3＝4，b 4＝－1. ∴f (4，3，2，1)＝(0，－3，4，－1)．。