2012年矩阵分析与计算试卷B答案
矩阵分析报告课后习题解答(整理版)
第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。
1.10.证明同1.9。
1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。
若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B HH -==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行） 根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~~（ 故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。
矩阵分析所有习题及标准答案
习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A 与B相似的充要条件是A与B酉相似
证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, B=Vdiag(1,…,n)V*, 其中1,…, n,,1,…,n分别是A,B的特征值集 合的任意排列. 必要性：若A与B相似,则i=i,i=1…,n,于是 B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*Unn 即得证A与B酉相似. 充分性:显然,因为,酉相似必然相似.
解,得证AA*与A*A有相同的非零特征值.
习题3-28设A为正规矩阵.试证:①若 Ar=0,则A=0.②若A2=A,则A*=A.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, 其中1,…, n是A的特征值.于是, Ar=Udiag(1r,…,nr)U*=0 蕴涵ir=0,i=1,…,n.后者又蕴涵 1=…=n=0. ∴ A=Udiag(0,…,0)U*=0. 若 A2=A, 则i2=i,i=1,…,n. 后者又蕴涵i=0 或1, i=1,…,n,(即正规矩阵A的特征值全为 实数). ∴ A*=Udiag(1,…,n)U*=A.
1 0 3 5 1 3 6 1 1 0 W W* 0 1 10 A 1 1 1 0 0 1 0
6 1 3 6 1 3 8 3 0 0 3 8 , A 1 A 2 5 1 0 2 5 0
习题3-27
#3-27(1):A*A,AA*都是半正定Hermite矩阵. (2):若ACmn,则A*A,AA*的非零特征值相同 (它们的谱可能不一样) 证:(1): (A*A)*=A*A,(AA*)*=AA*. xCn,x*(A*A)x =(Ax)*Ax=(Ax,Ax)0. (2): 对AA*的任意非零特征值有 AA*x=x,x0. 于是 A*A(A*x)=(A*x). 因 x0,故A*x0,从而得证AA*的任意非零特 征值也是A*A的非零特征值. 同理可证:A*A的任意非零特征值也是AA*的非 零特征值.
2012-2013-1线代B卷答案
（答案要注明各个要点的评分标准）一. 填空题（3分⨯5）1. 13223441a a a a2. 1k ≠-3. 34. n,0,0,….05. 2M 二. 单选题（3分×5）1. B2. A3. D4. C5.B 三. 计算题1．解：1234234134124123 =111123411034124123……………………………………..4分111111110121012110101600121004003210044--===------- …………….10分2. 解：()2A E B A -=……………………………………………………………3分()2330332110110121123A E A ⎛-⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭初等行变换~100033010123001110⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭……… 8分 1033(2)123110B A E A -⎛⎫⎪∴=-=- ⎪ ⎪⎝⎭………………………………. 10分四、计算题1、解：设矩阵[]123A ααα= …………………………………………………2分因为 ()()212123101t A t t t ⎡⎤⎢⎥=-=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦……………………………………5分当3t =或者2t =-时，矩阵A 是不可逆的，因此向量组T 是线性相关的……….7分 当3t ≠且2t ≠-时，矩阵A 是可逆的，因此向量组T 是线性无关的…………….10分2、解：方程组的增广矩阵()111112,111111112111~B A b λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()()()2112112011311300242002122~~λλλλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--++-+⎝⎭⎝⎭……5分 (1) 若2λ≠-且1λ≠，()()3R A R B ==方程组有唯一解。
…………………8分 (2) 若()()1,R A R B λ=<，方程组无解。
研究生课程-《矩阵分析》试题及答案
第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。
由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。
故1x ，2x ，3x 是线性无关的。
（2）用反证法。
假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。
所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。
二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。
四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，； 显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。
2012年哈尔滨工程大学研究生试卷 矩阵论B试卷答案
为三维酉空间，,,εεε单位化321,,ααα得到Te)0,1,1(211=, Te)1,0,0(2=, Te)0,1,1(213-=;取),,(321eeeQ=,则正交变换Qyx=化),,(321xxxf为标准形23222132122),,(yyyxxxf++=;4、（10分）设矩阵211212112A--⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求A的若当标准型J，并求相似变换矩阵T，使得1T AT J-=。
解:()2111E Aλλλ⎡⎤⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,则A的初等因子为21,(1)λλ--，则A的若当标准型为100011001J⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，设相似变换矩阵为T，则1A TJT-=，即123123100,,,,011001AT A t t t t t t⎡⎤⎢⎥==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则有1122323At tAt tAt t t=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解方程111111222000111000A E----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，基础解系为12111,001αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，取1211211221211,k kt t k k kkααα+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，将2t代入方程32()A E t t-=，增广阵为()1212112211221211111122200021110002k k k kA E k k k k kk k kαα--+--+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+=--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦，当122,1k k=-=时方程有解，于是21,21t-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，再求方程的一个特解31,0t-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1226A H H=+6、（7分）设[]12Tnxξξξ=L，()ij n nA a⨯=为是对称阵，[]12Tnb b b b=L为n维向量，c为常数，求()T Tf x x Ax b x c=-+对x的导数.解：2()()()T Tdf x d x Ax d b x dcAx bdx dx dx dx=-+=-三、证明题：1、（10分）设12[,,,]m nnA Cααα⨯=∈，则（1）12()[,,,]nR A spanααα=（2）dim()R A rankA=（3）dim()dim()R A N A n+=证明：（1）12(){,}{[,,,],}n nnR A Ax x C y y x x C=∈==∈ααα1122{,}nn ny y x x x x C==+++∈ααα12[,,,]nspan=ααα（2）由12()[,,,]nR A spanααα=再由定理知1212dim()dim[,,,][,,,]nnR A spanrank rankAαααααα===（3）由于()N A是方程组0Ax=的解空间，所以dim()N A n rankA=-，所以由（2）dim()()N A n rankR A=-，即dim()dim()R A N A n+=2、证明(5分)对任意m nij m nA a C⨯⨯⎡⎤=∈⎣⎦，规定,||||max{,}max||M iji jA m n a=证明||||MA是m nC⨯上的一种矩阵范数，且它与向量1范数相容。
矩阵论试题参考答案(2012年)
n n 1 , det X xik X ik xij X ij xik X ik ，其中 X ik 是 xik 的代数 det X k 1 k j
余子式，
det X X ij ，从而 xij
det X 1 xij
xij
1 det X
2012 年矩阵论试题参考答案
一、(16 分) 已知 4 阶方阵 A 的特征值为 1, 2, 2, 2 ，且其一阶和二阶行列式因子分别为
D1 1, D2 2.
1.(6 分) 求 A 的不变因子和最小多项式； 2.(4 分) 求 A 的 Jordan 标准形； 3.(6 分) 求实数 t 的取值范围，使 cos At 为收敛矩阵. 解 . 1 ． 因 为 D4 即 为 A 的 特 征 多 项 式 ， 且 A 的 特 征 值 为 1, 2, 2, 2 ， 故
A 的最小多项式为 mA d 4 1 2 ．
2．由 A 的不变因子知， A 的初等因子为
1, 2, 2, 2 ，故 A 的 Jordan 标准形
1 2 ． 为 J 2 2
u1 1 , , m , v1 m 1 , , m n , u2 1 , , m , v2 m 1 , , m n ，则
T T T T
x y u1 u2
a
v1 v2
b
u1 a u2
D4 1 2 . 再由行列式因子与不变因子的性质与相互关系知 D3 2 ，
3 2
从而 A 的不变因子为
矩阵分析课后习题解答整理版
第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)R对m C满足加(AR是m C的非空子集，即验证)(A法和数乘的封闭性。
1.10.证明同1.9。
1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。
若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B HH-==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行） 根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~~（ 故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。
矩阵分析所有习题及标准答案
注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推 出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.
习题3*1试证：向量长度的齐次性
#3*1:试证 k k , k C, Cn
证:令=(a1,…,an)T ,则 k=(源自1,…,an)T.1
1 1
(1 , 1 , 1 , 1)T ; 2222
2
2 2
(1 , 1 , 1 , 1)T ; 22 2 2
3
3 3
( 1 , 1 , 1 , 1)T 22 22
1,2,3就是所要求的标正基.
习题3*5(i)用归纳法证明 1+3+5+…+(2n-1)2=n2
证:对k用归纳法证明.k=1时结论显然成立. 若n-1时结论成立
U=(A+E)(A-E)-1Unn.
习n.题试3证-2:6A设*AA的为特正征规值矩为阵|特1征|2值,…为,|1,n…|2,.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*,
其中1,…, n是A的特征值.于是, A*A=Udiag(|1|2,…,|n|2)U*.
因对角矩阵diag(|1|2,…,|n|2)酉相似于A*A, 故A*A的特征值为 |1|2,…,|n|2
习题3-27
#3-27(1):A*A,AA*都是半正定Hermite矩阵. (2):若ACmn,则A*A,AA*的非零特征值相同
(它们的谱可能不一样)
证:(1): (A*A)*=A*A,(AA*)*=AA*.
xCn,x*(A*A)x =(Ax)*Ax=(Ax,Ax)0.
2012年考研数学真题(完整版)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()xxnx y x e ee n =---L ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15 (B) 13(C) 25 (D) 45 (8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) 1 (B) 12 (C) 12- (D)1-二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x =(10)2x =⎰(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T E XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<-(16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数 (18)已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
2012全国数学建模b题参考答案
太阳能设计的小屋方案摘要太阳能电池板方阵安装角度怎样计算由于太阳能发电系统的成本还是较高的，从我国现阶段的太阳能发电成本来看，其花费在太阳电池组件的费用大约为60～70％，因此，为了更加充分有效地利用太阳能，如何选取太阳电池方阵的方位角与倾斜角是一个十分重要的问题。
1.方位角太阳电池方阵的方位角是方阵的垂直面与正南方向的夹角（向东偏设定为负角度，向西偏设定为正角度）。
一般情况下，方阵朝向正南（即方阵垂直面与正南的夹角为0°）时，太阳电池在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。
不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。
因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。
为了躲避太阳阴影时的方位角，以及布置规划、发电效率、设计规划、建设目的等许多因素都有关系。
如果要将方位角调整到在一天中负荷的峰值时刻与发电峰值时刻一致时，请参考下述的公式。
至于并网发电的场合，希望综合考虑以上各方面的情况来选定方位角。
方位角＝（一天中负荷的峰值时刻（24小时制）－12）×15＋（经度－116） 10月9日北京的太阳电池方阵处于不同方位角时，日射量与时间推移的关系曲线。
在不同的季节，各个方位的日射量峰值产生时刻是不一样的。
2.倾斜角倾斜角是太阳电池方阵平面与水平地面的夹角，并希望此夹角是方阵一年中发电量为最大时的最佳倾斜角度。
一年中的最佳倾斜角与当地的地理纬度有关，当纬度较高时，相应的倾斜角也大。
但是，和方位角一样，在设计中也要考虑到屋顶的倾斜角及积雪滑落的倾斜角（斜率大于50％-60％）等方面的限制条件。
矩阵分析与计算试题
六、(10 分)求矩阵 A
0
2
1
-
1
的满秩分解。
1 0 2 1
20 5 0 . 8
七、(10 分)
已知矩阵 A
4
10
1
，
用盖尔圆分离特征值
A
。
1 2 10 i
1 3 2 八、(12 分)用 Householder 变换求矩阵 A 2 - 2 3 的 QR 分解。
2 2 2
九、(10 分) 已知 Cnn 中的两种范数 a 与 b ，对于 A Cnn ，证明：
A
A
a
AH
b 是 Cnn 中的矩阵范数。
3 1 -1
十、(10 分) 计算矩阵 A 1 2 -1 的 Jordan 标准型。 21 0
矩阵分析与计算试题（备用题）
（2018-2019 学年第二学期硕士研究生期末考试）
一、(8 分) 设 T 是数域 C 上的线性空间，已知线性变换 T 在 V3 的基 x1, x2 , x3 下的
3 1 0
矩阵为 A - 4
-1
0，计算线性变换T Nhomakorabea的特征值和特征向量。
4 - 8 - 2
二、(8 分) 设 R 22 A aij 22 aij R （数域 R 上的二阶实方阵按照通常矩
Ak 的收敛性，其中 A k
2
k
k 1
0
3 4 1
k k
k
1
，
1 0 0
1
五、(12 分)
已知 A
0
1
0
，
bt
0
。 计算
1 - 2 2
et
1 eAt 。
（完整版）矩阵练习（带答案详解）
（完整版）矩阵练习（带答案详解）一、填空题：1.若A ，B 为同阶方阵，则22))((B A B A B A -=-+的充分必要条件是BAAB =。
2. 若n 阶方阵A ，B ，C 满足I ABC =,I 为n 阶单位矩阵，则1 -C＝AB。
3. 设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，若=00A B C ,则1-C ＝--0011B A 。
4. 设A ＝?--1112，则1-A ＝2111。
5. 设???? ??--=111111A ，--=432211B .则=+B A 2--731733。
6.设=300020001A ，则1-A ＝310002100017．设矩阵 1 -1 3 2 0,2 0 10 1A B == ? ?，T A 为A 的转置，则B A T=-160222.8.=110213021A ，B 为秩等于2的三阶方阵，则AB 的秩等于 2 .二、判断题（每小题2分，共12分）1. 设B A 、均为n 阶方阵，则 kk k B A AB =)(（k 为正整数）。
……………（× ）2. 设,,A B C 为n 阶方阵，若ABC I =，则111CB A ---=。
……………………………（× ）3. 设B A 、为n 阶方阵，若AB 不可逆，则,A B 都不可逆。
……………………… ( × )4. 设B A 、为n 阶方阵，且0AB =，其中0A ≠，则0B =。
……………………… (× )5. 设C B A 、、都是n 阶矩阵，且I CA I AB ==,，则C B=。
……………………（√ ）6. 若A 是n 阶对角矩阵，B 为n 阶矩阵，且AC AB =，则B 也是n 阶对角矩阵。
…（× ）7. 两个矩阵A 与B ，如果秩（A ）等于秩（B ），那么A 与B 等价。
…………（× ）8. 矩阵 A 的秩与它的转置矩阵T A 的秩相等。
《矩阵分析》考试题1 2010解答 (1)
D 0 ，这里 0 0
D diag d1 , d2 ,
, dr ，且 d1 d2
dr 0 。 di i 1, 2,
, r 称为 A 的奇异值，而
D 0 H （P84） A P Q 称为矩阵 A 的奇异值分解式。 0 0
2
0 0 3、 ( 1) 2
1
4、下列命题不正确的是 。 （A）有相同特征多项式的两个矩阵一定相似； （B）有相同不变因子的两个矩阵一定相似； （C）有相同初级因子的两个矩阵一定相似； （D）有相同行列式因子的两个矩阵一定相似。 【分析】A。由 C 或 D 都能得到 B，而不变因子唯一确定矩阵的约当形。若矩阵的约当形相同， 则矩阵相似。A 的反例是显然的： M1
3
1
3
，
d1 1, d2 1 1 , d3 1 1
2
2
，
则
Smith
标 准
型 为
1
1 1
。 2 2 1 1
4、 lim A 0 的充要条件是： 其特征值的模的最大值（谱半径） A 1 。换言之， A 的所
3
0 1 1 2 0 0 1 2 阵 P 0 2 1 ， 约 当 标 准 形 J 0 1 1 （ 或 取 P3 0 ， 则 P2 4 ， 此 时 1 1 0 0 0 1 1 2 0 2 P 0 4 1 2 1 ） 。都有 P 1 AP J 。 0 1
2
1 1, 1 1 , 1 1
2
x,1 1 x 0 x 1dx 1 x 1 , 2 , 1 2 x 2 2 2 1 2 12 1,1 1 1 dx
2012考研真题及答案
2012考研真题及答案2012年的考研真题是许多考生备战考研的重要资料，了解这些真题并熟悉其中的答案对于备考考研的同学来说是至关重要的。
在本文中，将为您介绍2012年的考研真题及其答案。
第一部分：数学一2012年的考研数学一科目主要涵盖了数学分析、高等代数和概率论等内容。
以下是部分考题及其答案的概要。
题一：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=(b-a)f' ( ξ )。
解析：根据罗尔定理，由于f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么在[a,b]上有f(a)=f(b)。
根据拉格朗日中值定理，存在一点ξ∈(a,b)，使得f' ( ξ )=(f(b)-f(a))/(b-a)。
所以，f(b)-f(a)=(b-a)f' ( ξ )。
题二：已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-3^n+4^n-5^n，求证数列{a_n}是等差数列。
解析：我们可以通过数学归纳法来证明这个结论。
当n=1时，a_1=2-3+4-5=-2。
当n=k时，假设a_k=2^k-3^k+4^k-5^k成立。
当n=k+1时，我们需要证明a_(k+1) =2^(k+1)-3^(k+1)+4^(k+1)-5^(k+1)也成立。
根据等差数列的性质，我们有a_(k+1)-a_k = (2^(k+1)-3^(k+1)+4^(k+1)-5^(k+1)) - (2^k-3^k+4^k-5^k)。
化简后可得a_(k+1)-a_k= -2 × 3^k + 3^(k+1) -2 × 5^k + 5^(k+1)。
通过整理和变换，我们得到a_(k+1)-a_k = -3^k (2-3) + 5^k (5-2) = 0。
因此，数列{a_n}是等差数列。
通过以上两道题目，我们可以看出2012年考研数学一科目的难度适中，考察了数学分析和代数的基本概念和推导方法。
2012考研计算机真题及答案解析(详细)
2012年全国硕士研究生入学统一考试计算机科学与技术学科联考计算机学科专业基础综合试题一、单项选择题：第1～40小题，每小题2分，共80分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项最符合试题要求。
1．求整数n（n≥0）阶乘的算法如下，其时间复杂度是（）。
int fact(int n){if(n<=1)return 1;return n*fact(n-1);}A．O(log2n)B．O(n)C．O(nlog2n)D．O(n2)2．已知操作符包括‘+’、‘-’、‘*’、‘/’、‘(’和‘)’。
将中缀表达式a+b-a*((c+d)/e-f)+g转换为后缀表达式ab+acd+e/f-*-g+时，用栈来存放暂时还不能确定运算次序的操作符。
若栈初始时为空，则转换过程中同时保存在栈中的操作符的最大个数是（）。
A．5B．7C．8D．113．若一棵二叉树的前序遍历序列为a，e，b，d，c，后序遍历序列为b，c，d，e，a，则根结点的孩子结点（）。
A．只有e B．有e、b C．有e、c D．无法确定4．若平衡二叉树的高度为6，且所有非叶结点的平衡因子均为1，则该平衡二叉树的结点总数为（）。
A．12B．20C．32D．335．对有n个顶点、e条边且使用邻接表存储的有向图进行广度优先遍历，其算法的时间复杂度是（）。
A．O(n)B．O(e)C．O(n+e)D．O(n×e)6．若用邻接矩阵存储有向图，矩阵中主对角线以下的元素均为零，则关于该图拓扑序列的结论是（）。
A．存在，且唯一B．存在，且不唯一C．存在，可能不唯一D．无法确定是否存在7．对如下有向带权图，若采用迪杰斯特拉（Dijkstra）算法求从源点a到其他各顶点的最短路径，则得到的第一条最短路径的目标顶点是b，第二条最短路径的目标顶点是c，后续得到的其余各最短路径的目标顶点依次是（）。
A．d，e，f B．e，d，fC．f，d，e D．f，e，d8．下列关于最小生成树的说法中，正确的是（）。