高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法课时分层训练文新人教A版
高考数学一轮复习 第五章 数列 第1课时 数列的概念与简单的表示方法课时作业 理 新人教版-新人教版
第五章数列第1课时数列的概念与简单的表示方法考纲索引1.数列的概念与简单表示法.2.数列的通项公式.课标要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.知识梳理1.数列的定义按照排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数无穷数列项数按项与项间的大小关系分类递增数列a n+1a n其中n∈N*递减数列a n+1a n常数列a n+1=a n按其他标准分类有界数列存在正数M,使|a n|≤M摆动数列a n的符号正负相间如1,-1,1,-1,…3.数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是、和.4.数列的通项公式如果数列{a n}的第n项a n与之间的函数关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.5.S n与a n的关系基础自测2.(课本精选题)在数列{a n}中,a1=1,a n=2a n-1+1,则a5的值为().A.30B.31C.32D.333.设数列{a n}的前n项和S n=n2,则a8的值为().A.15B.16C.49D.644.(教材改编)已知数列{a n}的前4项为1,3,7,15,写出数列{a n}的一个通项公式为.5.若数列{a n}的前n项和S n=n2-10n(n=1,2,3,…),则此数列的通项公式为a n=.指点迷津◆一种特殊性数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.数列的图象是一群孤立的点.◆与集合的两个区别(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的两个数列,这有别于集合中元素的无序性.(2)数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重复出现.考点透析考向一由数列的前几项归纳数列的通项公式例1根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:【审题视点】观察数列中每项的共同特征及随项数变化规律,写出通项公式.【方法总结】求数列的通项时,要抓住以下几个特征:(1)分式中分子、分母的特征;(2)相邻项的变化特征;(3)拆项后的特征;(4)各项符号特征等,并对此进行归纳、联想.变式训练1.写出下面各数列的一个通项公式:考向二由S n求a n变式训练考向三由递推公式求前几项或通项公式【审题视点】对递推式“取倒数”转化为等差的递推关系求a n,根据b n的特点用裂项法求和.变式训练经典考题真题体验参考答案与解析知识梳理1.一定顺序2.有限无限> <3.列表法图象法通项公式法4.n f(n)5.S n-S n-1(n≥2)基础自测1.B2.B3.A4.a n=2n-15.2n-11考点透析变式训练经典考题真题体验word。
2020版高考数学大一轮复习第五章数列第1节数列的概念及简单表示法课件理新人教A版
【训练1】 写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1×1 2，2×1 3，－3×1 4，4×1 5，…； (2)12，2，92，8，225，…； (3)5，55，555，5 555，….
解 (1)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为 负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是 an＝(－1)n×n(n1＋1)，n∈N*.
a1＝________.
解析 ∵Sn＝a1(43n－1)，a4＝32，则 a4＝S4－S3＝32.
∴2535a1－633a1＝32，∴a1＝12.
答案
1 2
考点一 由数列的前几项求数列的通项
【例1】 (1)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( )
A.an＝(－1)n－1＋1 C.an＝2sinn2π
第1节 数列的概念及简单表示法
考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)； 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
知识梳理
1.数列的定义 按照____一__定__顺__序_____排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列 的项.
2.数列的分类 分类标准` 项数
令 bn＝an＋3，则 b1＝a1＋3＝4，且bbn＋n 1＝aan＋n＋1＋33＝2. 所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列. ∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.
(4)因为 an＋1＝a2n＋an2，a1＝1，所以 an≠0，
所以an1＋1＝a1n＋12，即an1＋1－a1n＝12.
的位置序号.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( ) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列. (3)数列可以是常数列或摆动数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
高考数学一轮复习 5.1数列的概念及简单表示法讲解与练
第一节数列的概念与简单表示法[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一类函数．数列的概念在高考试题中常与其他知识综合进行考查，主要有：(1)以考查通项公式为主，同时考查S n与a n的关系，如2012年江西T16等.(2)以递推关系为载体，考查数列的各项的求法，如2012年新课标全国T16等.[归纳·知识整合]1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．2．数列的分类分类原则类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n ＋1＞a n 其中n ∈N *递减数列 a n ＋1＜a n 常数列 a n ＋1＝a n摆动数列从第2项起有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项.3．数列的表示法数列的表示方法有列表法、图象法、公式法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[探究] 1.数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？提示：不唯一，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为a n ＝(－1)n或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n 为奇数，1，n 为偶数.有的数列没有通项公式．5．数列的递推公式若一个数列{a n }的首项a 1确定，其余各项用a n 与a n －1的关系式表示(如a n ＝2a n －1＋1，n ＞1)，则这个关系式就称为数列的递推公式．[探究] 2.通项公式和递推公式有何异同点？ 提示：不同点相同点通项公式法可根据某项的序号，直接用代入法求出该项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项递推公式法 可根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的项[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)已知数列{a n }的前4项分别为2,0,2，0，…，则下列各式不可以作为数列{a n }的通项公式的一项是( )A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1B ．a n ＝2sinn π2C ．a n ＝1－cos n πD ．a ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数解析：选B 若a n ＝2sinn π2，则a 1＝2sin π2＝2，a 2＝2sin π＝0，a 3＝2sin 3π2＝－2，a 4＝2sin 2π＝0.2．已知数列的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3( ) A ．不是数列{a n }中的项 B ．只是数列{a n }中的第2项 C ．只是数列{a n }中的第6项 D ．是数列{a n }中的第2项或第6项解析：选D 令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，解得n ＝2或6，故3是数列{a n }中的第2项或第6项．3．(教材习题改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n ≥2)，则a 5＝( )A.32 B.53 C.74D.85解析：选D 由题意知，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝32，a 4＝53，a 5＝85.4．(教材改编题)已知数列2，5，22，…，根据数列的规律，25应该是该数列的第________项．解析：由于2＝3×1－1,5＝3×2－1,8＝3×3－1，… 故可知该数列的通项公式为a n ＝3n －1 由25＝3n －1，得n ＝7. 答案：75．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为a n ＝________；数列{na n }中数值最小的项是第________项．解析：∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－10n )－[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9也满足a n ＝2n －11， ∴a n ＝2n －11.∴na n ＝2n 2－11n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－112n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1142－12116＝2⎝⎛⎭⎪⎫n －1142－1218.又∵n ∈N *，∴当n ＝3时，na n 取最小值． 答案：2n －11 3已知数列的前几项求通项公式[例1] 根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. [自主解答] (1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项a n ＝2(n ＋1)(n ∈N *)． (2)注意到分母分别是21,22,23,24,25，…，而分子比分母少1， 所以其通项a n ＝2n－12n (n ∈N *)．(3)分母规律明显，而第2,3,4项的绝对值的分子比分母少3，因此可考虑把第1项变为－2－32，这样原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，－25－325，26－326，…所以其通项a n ＝(－1)n 2n－32n (n ∈N *)．———————————————————用观察法求数列的通项公式的技巧用观察归纳法求数列的通项公式，关键是找出各项的共同规律及项与项数n 的关系．当项与项之间的关系不明显时，可采用适当变形或分解，以凸显规律，便于归纳．当各项是分数时，可分别考虑分子、分母的变化规律及联系，正负相间出现时，可用(－1)n或(－1)n ＋1调节．1．写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1)23，415，635，863，1099，…； (2)－1，13，－935，1763，－3399，…；(3)9,99,999,9 999，….解：(1)分子是连续的偶数，且第1个数是2，所以用2n 表示；分母是22－1,42－1,62－1,82－1,102－1，所以用(2n )2－1表示．所以a n ＝2n 2n2－1＝2n 4n 2－1(n ∈N *)． (2)正负交替出现，且奇数项为负，偶数项为正，所以用(－1)n表示； 1， 13， 935， 1763， 3399，…↕ ↕ ↕ ↕ ↕31×3， 53×5， 95×7， 177×9， 339×11，… 分母是连续奇数相乘的形式，观察和项数n 的关系，用(2n －1)(2n ＋1)表示； 分子是21＋1,22＋1,23＋1,24＋1，用2n＋1表示．所以 a n ＝(－1)n·2n＋12n －12n ＋1＝(－1)n ·2n＋14n 2－1(n ∈N *)．(3) 9， 99， 999， 9 999，… ↕ ↕ ↕ ↕101－1， 102－1， 103－1， 104－1，… 所以a n ＝10n－1(n ∈N *).由a n 与S n 的关系求通项公式[例2] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n－1，求它的通项公式a n . [自主解答] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n－1－(3n －1－1)＝2×3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2也满足a n ＝2×3n －1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1.若将“S n ＝3n －1”改为“S n ＝n 2－n ＋1”，如何求解？ 解：∵a 1＝S 1＝12－1＋1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－n ＋1)－[(n －1)2－(n －1)＋1]＝2n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n ＝1，2n －2n ≥2.———————————————————已知S n 求a n 时应注意的问题数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n－S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．2．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *.求数列{a n }的通项公式．解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2.由已知a 1＝S 1>1，因此a 1＝2. 又由a n ＋1＝S n ＋1－S n＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)， 得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n . 因为a n >0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去． 因此a n ＋1－a n －3＝0，即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.由递推关系式求数列的通项公式[例3] 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)； (3)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2. [自主解答] (1)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3. ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3. 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2×3n －1.∴a n ＝2×3n －1－1.(2)∵a n ＝n －1na n －1(n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1×12×23×…×n －1n ＝a 1n ＝1n .(3)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n 3n ＋12(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n 2.———————————————————由递推公式求通项公式的常用方法已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解． 当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋fn 时，用累加法求解；当出现a na n －1时，用累乘法求解.3．(2012·大纲全国卷)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n >1时有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1，将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋12.综上可知，数列{a n }的通项公式a n ＝n n ＋12.数列函数性质的应用[例4] 已知数列{a n }． (1)若a n ＝n 2－5n ＋4， ①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立．求实数k 的取值范围． [自主解答] (1)①由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.②∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94的对称轴方程为n ＝52.又n ∈N *，∴n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1>a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.———————————————————函数思想在数列中的应用(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决． (2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法．4．若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫nn ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________. 解析：法一：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧k k ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ≥k －1k ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫23k －1，kk ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ≥k ＋1k ＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ＋1，解得10≤k ≤1＋10. ∵k ∈N *，∴k ＝4.法二：设a n ＝n (n ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ，则 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)(n ＋5)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1－n (n ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23n ＋1n ＋5－n n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 10－n 23. 当n ≤3时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ， 当n ≥4时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n ， 故a 1＜a 2＜a 3＜a 4，且a 4＞a 5＞a 6＞…. 所以数列中最大项是第4项． 答案：41个关系——数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．3类问题——数列通项公式的求法及最大(小)项问题 (1)由递推关系求数列的通项公式常用的方法有： ①求出数列的前几项，再归纳出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用叠加法、累乘法、迭代法． (2)由S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路有：①利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式； ②转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 的关系，再求a n . (3)数列{a n }的最大(小)项的求法可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项.创新交汇——数列与函数的交汇问题1．数列的概念常与函数、方程、解析几何、不等式等相结合命题．2．正确理解、掌握函数的性质(如单调性、周期性等)是解决此类问题的关键． [典例] (2012·上海高考)已知f (x )＝11＋x .各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f (a n )．若a 2 010＝a 2 012，则a 20＋a 11的值是________．[解析] ∵a n ＋2＝11＋a n ，又a 2 010＝a 2 012＝11＋a 2 010，∴a 22 010＋a 2 010＝1. 又a n >0，∴a 2 010＝5－12. 又a 2 010＝11＋a 2 008＝5－12，∴a 2 008＝5－12，同理可得a 2 006＝…＝a 20＝5－12.又a 1＝1，∴a 3＝12，a 5＝11＋a 3＝23，a 7＝11＋a 5＝35，a 9＝11＋a 7＝58，a 11＝11＋a 9＝813. ∴a 20＋a 11＝5－12＋813＝135＋326. [答案]135＋326[名师点评]1．本题具有以下创新点(1)数列{a n }的递推关系式，以函数f (x )＝11＋x为载体间接给出；(2)给出的递推关系式不是相邻两项，即a n 与a n －1(n ≥2)之间的关系，而是给出a n 与a n＋2之间的关系式，即奇数项与奇数项、偶数项与偶数项之间的递推关系． 2．解决本题的关键有以下两点 (1)正确求出数列{a n }的递推关系式； (2)正确利用递推公式a n ＋2＝11＋a n，分别从首项a 1推出a 11和从a 2 010推出a 20. [变式训练]1．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为( ) A.172B.212C ．10D ．21解析：选B 由已知条件可知：当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝33＋2＋4＋…＋2(n －1)＝n 2－n ＋33，又n ＝1时，a 1＝33适合， 故a n ＝n 2－n ＋33.又a n n＝n ＋33n－1， 令f (n )＝n ＋33n－1，f (n )在[1,5]上为减函数，f (n )在[6，＋∞)上为增函数，又f (5)＝535，f (6)＝212， 所以f (5)>f (6)．故f (n )＝a n n 的最小值为212.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1x ≤0，f x －1＋1x >0，把函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n n －12(n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *) C ．a n ＝n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n－2(n ∈N *)解析：选C 据已知函数关系式可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1x ≤0，2x －10<x ≤1，2x －2＋11<x ≤2，…，此时易知函数g (x )＝f (x )－x 的前几个零点依次为0,1,2，…，代入验证只有C 符合.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n 是( )A.n2n ＋1 B.n 2n －1 C.n2n －3D.n 2n ＋3解析：选B 由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n2n －1.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)，则“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若数列{a n }为递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N *都成立，于是有3>2λ，即λ<32.由λ<1可得λ<32，但反过来，由λ<32不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件．3．数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大值是( )A ．310B ．19 C.119D.1060解析：选C 因为a n ＝1n ＋90n，运用基本不等式得1n ＋90n≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或10时，a n ＝119最大．4．(2013·银川模拟)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为T r ，则T 2 013的值为( )A ．－12B ．－1 C.12D ．2解析：选B 由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而T 2013＝(－1)671＝－1.5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝( ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6解析：选B 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S nn ＝1S n －S n －1n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧－8n ＝1，2n －10n ≥2，得a n ＝2n －10.由5<2k －10<8得7.5<k <9，由于k ∈N *，所以k ＝8. 6．(2012·福建高考)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 012等于( )A ．1 006B ．2 012C ．503D ．0解析：选A 由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，…，a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝2，k ∈N ，故S 2 012＝503×2＝1 006.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．根据下图5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n 个图中有________个点．解析：观察图中5个图形点的个数分别为1,1×2＋1,2×3＋1，3×4＋1,4×5＋1，故第n 个图中点的个数为(n －1)×n ＋1＝n 2－n ＋1. 答案：n 2－n ＋18．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤a n<12，2a n－1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤a n<1，若a 1＝67，则a 2 013＝________.解析：因为a 1＝67∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1，所以a 2＝2a 1－1＝2×67－1＝57.因为a 2＝57∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1，所以a 3＝2a 2－1＝2×57－1＝37.因为a 3＝37∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，所以a 4＝2a 3＝2×37＝67.显然a 4＝a 1，根据递推关系，逐步代入，得a 5＝a 2，a 6＝a 3，…故该数列的项呈周期性出现，其周期为3，根据上述求解结果，可得a 3k ＋1＝67，a 3k ＋2＝57，a 3k ＋3＝37(k ∈N )．所以a 2 013＝a 3×671＝a 3＝37.答案：379．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10＝________.解析：∵a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n， ∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＋2＝2a n .又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2，∴a 2＝2， ∴a 2n ＝2n，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)，∴b 10＝a 10＋a 11＝64. 答案：64三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3…·a n ＝n 2，求a 3＋a 5的值．解：∵a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2， ∴a 1a 2＝4，a 1a 2a 3＝9，解得a 3＝94.同理a 5＝2516.∴a 3＋a 5＝6116.11．已知数列{a n }的前n 项和S n ，分别求它们的通项公式a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ； (2)S n ＝2n＋1.解：(1)由题可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1. 当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，故a n ＝4n ＋1. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2＋1＝3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1)－(2n －1＋1)＝2n －1.当n ＝1时，21－1＝1≠a 1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2n －1n ≥2.12．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解：(1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)， 故b n＝⎩⎪⎨⎪⎧1n n ≥2，23n ＝1.(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝－n －12n ＋22n ＋3n ＋1<0.∴{c n }是递减数列．1．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (1)0.8,0.88,0.888，…； (3)32，1，710，917，…； (4)0,1,0,1，….解：(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…故a n ＝89⎝⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，故可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.(4)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 为奇数，1 n 为偶数或a n ＝1＋－1n2或a n ＝1＋cos n π2.2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n (n ∈N *)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最小项的项数；若没有，说明理由．解：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n·9－n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ； 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…∴数列中有最大项，最大项为第9、10项， 即a 9＝a 10＝1010119.3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n(n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .解：(1)依题意得，S nn＝3n －2，即S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5.所以a n ＝6n －5(n ∈N *)． (2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝36n －5[6n ＋1－5]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1，故T n ＝∑i ＝1nbi＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1.因此，使得12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1<m 20(n ∈N *)成立的m 必须且仅需满足12≤m 20，即m ≥10，故满足要求的最小正整数m 为10.4．(2012·浙江高考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解：(1)由S n ＝2n 2＋n ，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1，易知当n ＝1时也满足通式a n ＝4n －1， 所以a n ＝4n －1，n ∈N *.由4n －1＝a n ＝4log 2b n ＋3，得b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N *，所以T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)·2n －1，2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)·2n －1＋(4n －1)·2n，2T n －T n ＝(4n －1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n －1)]＝(4n －5)2n＋5.故T n ＝(4n －5)2n＋5，n ∈N *.。
高三一轮复习第五章 第一节数列的概念与简单表示法
课时作业1．在数列{a n }中，a n ＝n 2－9n －100，则最小的项是( ) A ．第4项 B ．第5项C ．第6项D ．第4项或第5项【解析】 ∵a n ＝(n －92)2－814－100，∴n ＝4或5时，a n 最小．【答案】 D2．数列{a n }：1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n (n ∈N ＋)B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n (n ∈N ＋)C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N ＋)D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N ＋)【解析】 观察数列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D ．【答案】 D3．(2022·福建福州质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 019＝( )A ．1B ．0C ．2 019D ．－2 019【解析】 ∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2 019＝a 1＝1．【答案】 A4．(2022·大庆二模)已知数列{a n }满足：a n ＝{（3－a ）n －3，n ≤7a n －6，n >7(n ∈N *)，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(94，3)B ．[94，3)C ．(1，3)D ．(2，3)【解析】 根据题意，a n＝f(n)＝{（3－a）n－3，n≤7a n－6，n>7，n∈N*，要使{a n}是递增数列，必有{3－a>0a>1（3－a）×7－3<a8－6，据此有：{a<3a>1a>2或a<－9，综上可得2<a<3．【答案】 D5．(2022·黄冈模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2－2n＋2，则数列{a n}的通项公式为( )A．a n＝2n－3 B．a n＝2n＋3C．a n＝{1，n＝12n－3，n≥2D．a n＝{1，n＝12n＋3，n≥2【解析】 当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－3，由于a1的值不适合上式，故选C．【答案】 C6．(多选)(2022·常州期末)已知数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝1＋a n1－a n，使a n＝－12的n可以是( )A．2 019 B．2 021C．2 022 D．2 023【解析】 由题意可知，a1＝2，a2＝－3，a3＝－12，a4＝13，a5＝2，a6＝－3，a7＝－12，a8＝13，可得数列{a n}的周期为4，所以a2 019＝a3＝－12，a2 021＝a1＝2，a2 022＝a2＝－3，a2 023＝a3＝－12，所以使a n＝－12的n可以是2 019，2 023，故答案选AD．【答案】 AD7．(2022·石家庄二模)在数列{a n}中，已知a1＝2，a2＝7，a n＋2等于a n a n＋1(n∈N*)的个位数，则a2 015＝( )A．8 B．6C．4 D．2【解析】 由题意得a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8．所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a2 015＝a335×6＋5＝a5＝2．【答案】 D8．(多选)已知数列{a n}满足a1＝－12，a n＋1＝11－a n，则下列各数是{a n}的项的有( )A．－2 B．2 3C．32D．3【解析】 ∵数列{a n}满足a1＝－12，a n＋1＝11－a n，∴a2＝11－(－12)＝23，a3＝11－a2＝3，a4＝11－a3＝－12＝a1，∴数列{a n}是周期为3的数列，且前3项为－12，23，3，故选BD．【答案】 BD9．(多选)下列四个命题中，正确的有( )A．数列{n＋1n}的第k项为1＋1kB．已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项C．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为a n＝2n－1D．数列{a n}的通项公式为a n＝nn＋1，n∈N*，则数列{a n}是递增数列【解析】 对于A，数列{n＋1n}的第k项为1＋1k，A正确；对于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确；对于C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为{b n}，则其通项公式为b n＝2n(n∈N*)，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为a n＝b n＋1＝2n＋1(n∈N*)，C错误；对于D，a n＝nn＋1＝1－1n＋1，则a n＋1－a n＝1n＋1－1n＋2＝1（n＋1）（n＋2）>0，因此数列{a n}是递增数列，D正确．故选ABD．【答案】 ABD10．(2022·太原二模)已知数列{a n}满足a1＝1，a n－a n＋1＝na n a n＋1(n∈N*)，则a n＝________．【解析】 由已知得1a n＋1－1a n＝n，∴1a n－1a n－1＝n－1，1a n－1－1a n－2＝n－2，…，1a2－1a1＝1，∴1a n －1a1＝n （n －1）2，∴1an ＝n 2－n ＋22，∴a n ＝2n 2－n ＋2．【答案】 2n 2－n ＋211．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________．【解析】 由题意知a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝(nn －1)2(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝6116． 【答案】 611612．数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋…＋12n a n ＝2n ＋5，n ∈N *，则a n ＝________．【解析】 在12a 1＋122a 2＋…＋12n a n ＝2n ＋5中，用n －1代换n 得12a 1＋122a 2＋…＋12n －1a n －1＝2(n －1)＋5 (n ≥2)，两式相减得12n a n ＝2，a n ＝2n ＋1，又12a 1＝7，即a 1＝14，故a n＝{14，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.【答案】 {14，n ＝1，2n ＋1，n ≥213．根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＋1＝(n ＋1)a n ； (3)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln (1＋1n)．【解】 (1)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2， ∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1．(2)∵a n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1an ＝n ＋1．∴a nan －1＝n ，a n －1a n －2＝n －1，…a 3a 2＝3，a 2a1＝2，a 1＝1． 累乘可得，a n ＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1＝n! 故a n ＝n!(3)∵a n ＋1＝a n ＋ln (1＋1n )，∴a n ＋1－a n ＝ln (1＋1n )＝ln n ＋1n．∴a n －a n －1＝ln nn －1，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，…a 2－a 1＝ln 21，∴a n －a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＝ln n ．又a 1＝2，∴a n ＝ln n ＋2．14．设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a (a ∈R 且a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *． (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 【解】 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )， 又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n }是首项为a －3，公比为2的等比数列， 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *． (2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *， 于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2， a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2[12·(32)n －2＋a －3]，当n≥2时，a n＋1≥a n 12·(32)n－2＋a－3≥0 a≥－9．又a2＝a1＋3＞a1．综上，所求a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．。
高考数学一轮复习 第五章 数列 第1讲 数列的概念与简单表示法课件 文 新人教版
(4)
将
原
数
列
改
写
为
5 9
×9
，
5 9
×99
，
5 9
×999
，
…
，
易
知
数
列
9,99,999，…的通项为 10n－1，故所求的数列的一个通项公式为 an＝ 59(10n－1)．
题型二 an 与 Sn 关系的应用(重点保分题，共同探讨) 考向一 利用 an 与 Sn 的关系求 an 1．(2018·南昌月考)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝23an＋13，则{an} 的通项公式 an＝________.
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式(重点保分题，共 同探讨)
考向一 形如 an＋1＝an＋f(n)求 an 1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋nn1＋1，求数列{an}的通 项公式． [解] 由题意，得 an＋1－an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝n－1 1－n1＋n－1 2－n－1 1＋…＋12－31＋1－12＋2＝3－1n.
【针对补偿】
3．已知数列{an}中，Sn 是其前 n 项和，若 Sn＝3n＋2n＋1，则 an ＝________.
[解析] 因为当 n＝1 时，a1＝S1＝6；当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1] ＝2·3n－1＋2，由于 a1 不适合此式，所以 an＝62·，3nn－＝1＋12，，n≥2.
)
3
5
A.2
B.3
8
2
C.5
D.3
[解析] a2＝1＋－a11 2＝2，a3＝1＋－a213＝12，
高考数学 第五章 第一节 数列的概念与简单表示法课时
【全程复习方略】（广东专用）2014年高考数学第五章第一节数列的概念与简单表示法课时作业理新人教A版一、选择题1.已知数列错误!未找到引用源。
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,…,错误!未找到引用源。
,…,下面各数中是此数列中的项的是( )(A)错误!未找到引用源。
(B)错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
2.数列{a n}中,a n=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是( )(A)103 (B)108错误!未找到引用源。
(C)103错误!未找到引用源。
(D)1083.已知数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n+1,则a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10的值为( )(A)150 (B)161 (C)160 (D)1714.已知数列{a n}满足a1=1,且a n=错误!未找到引用源。
a n-1+(错误!未找到引用源。
)n(n≥2,且n ∈N*),则数列{a n}的通项公式为( )(A)a n=错误!未找到引用源。
(B)a n=错误!未找到引用源。
(C)a n=n+2 (D)a n=(n+2)3n5.(2012·西安模拟)在数列{a n}中,a1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则错误!未找到引用源。
的值是( ) (A)错误!未找到引用源。
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(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
6.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+ln(1+错误!未找到引用源。
),则a n= ( )(A)2+ln n (B)2+(n-1)ln n(C)2+nln n (D)1+n+ln n7.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-9n,第k项满足5<a k<8,则k等于( )(A)9 (B)8 (C)7 (D)68.(能力挑战题)定义:F(x,y)=y x(x>0,y>0),已知数列{a n}满足:a n=()()F n,2F2,n错误!未找到引用源。
2019版高考一轮复习文数(人教版A版)练习：第五章 第一节 数列的概念与简单表示法
课时规范练 A 组 基础对点练1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则a 4的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10解析：a 4＝S 4－S 3＝20－12＝8. 答案：C2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B.⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －1 解析：由已知S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n ＝32，而S 1＝a 1＝1，所以S n＝⎝⎛⎭⎫32n －1，故选B. 答案：B3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4，n ∈N *，则a n ＝( ) A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2n －2解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)，∴a n ＋1＝2a n ，∵a 1＝2a 1－4，∴a 1＝4，∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，故选A.答案：A4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38解析：由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.答案：C5．(2018·唐山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)3，若a 4＝32，则a 1＝__________.解析：∵S n ＝a 1(4n －1)3，a 4＝32，∴255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝12.答案：126．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ，则a 3＋a 4＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝2n －2n －1＝2n －1，所以a 3＋a 4＝22＋23＝12.答案：127．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解析：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1， 整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘， 整理得a n ＝n (n ＋1)2.显然，当n ＝1时也满足上式． 综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.8．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． 解析：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94， 由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．B 组 能力提升练1．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23D ．24解析：由3a n ＋1＝3a n －2得a n ＋1＝a n －23，则{a n }是等差数列，又a 1＝15，∴a n ＝473－23n .∵a k ·a k＋1<0，∴⎝⎛⎭⎫473－23k ·⎝⎛⎭⎫453－23k <0，∴452<k <472，∴k ＝23.故选C. 答案：C2．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( ) A.1210 B.129 C.15D.110解析：∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，∴1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，即a n a n －1＋a n a n ＋1＝2，∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．又∵d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a 10＝12＋9×12＝5，故a 10＝15.答案：C3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( ) A.13n －1 B.2n (n ＋1) C.6(n ＋1)(n ＋2)D.5－2n 3解析：由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，S n －1＋(n －1)a n －1＝2，∴(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，则a n ＝2n (n ＋1)，当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n (n ＋1)，故选B. 答案：B4．(2018·临沂联考)观察下列各图，并阅读图形下面的文字，则10条直线相交，交点的个数最多是()A ．40B ．45C ．50D ．55解析：设n 条直线的交点个数为a n (n ≥2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，……a 10－a 9＝9.累加得a 10－a 2＝2＋3＋…＋9， a 10＝1＋2＋3＋…＋9＝45. 答案：B5．现定义a n ＝5n ＋⎝⎛⎭⎫15n ，其中n ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫110，15，12，1，则a n 取最小值时，n 的值为__________． 解析：令5n ＝t >0，考虑函数y ＝t ＋1t ，易知其在(0,1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且当t ＝1时，y 的值最小，再考虑函数t ＝5x ，当0<x ≤1时，t ∈(1,5]，则可知a n ＝5n ＋⎝⎛⎭⎫15n在(0,1]上单调递增，所以当n ＝110时，a n 取得最小值．答案：1106．已知数列{a n }中，a 1＝1，若a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值是__________． 解析：∵a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴a n ＋1a n －1＋1＝2，又a 1＝1，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即a n ＋1＝2×2n－1＝2n ，∴a 5＋1＝25，即a 5＝31.答案：317．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝4S n －1(n ∈N *)． (1)证明：a n ＋2－a n ＝4； (2)求{a n }的通项公式．解析：(1)证明：∵a n a n ＋1＝4S n －1，∴a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－1，∴a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1，又a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝4. (2)由a n a n ＋1＝4S n －1，a 1＝1，求得a 2＝3，由a n＋2－a n＝4知，数列{a2n}和{a2n－1}都是公差为4的等差数列，∴a2n＝3＋4(n－1)＝2(2n)－1，a2n－1＝1＋4(n－1)＝2(2n－1)－1，∴a n＝2n－1.8．已知数列{a n}中，a1＝3，a2＝5，其前n项和S n满足S n＋S n－2＝2S n－1＋2n－1(n≥3)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝log2256a2n－1，n∈N*，设数列{b n}的前n项和为S n，当n为何值时，S n有最大值？并求最大值．解析：(1)由题意知S n－S n－1＝S n－1－S n－2＋2n－1(n≥3)，即a n＝a n－1＋2n－1(n≥3)，∴a n＝(a n －a n－1)＋…＋(a3－a2)＋a2＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋5＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋1＋2＝2n＋1(n≥3)，经检验，知n＝1,2时，结论也成立，故a n＝2n＋1.(2)b n＝log2256a2n－1＝log22822n＝log228－2n＝8－2n，n∈N*，当1≤n≤3时，b n＝8－2n>0；当n＝4时，b n＝8－2n＝0；当n≥5时，b n＝8－2n<0.故n＝3或n＝4时，S n有最大值，且最大值为S3＝S4＝12.。
高考数学一轮复习第五篇数列第1节数列的概念与简单表示法训练理新人教版
第1节数列的概念与简单表示法基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·山西二模)现在有这么一列数:2, , , , ,,,…,按照规律,横线中的数应为( B )(A)(B)(C) (D)解析:由题意可得,分子为连续的质数,分母依次为2n-1,故横线上的数应该为.故选B.2.在数列{a n}中,a1=,a n+1=1-,则a5等于( C )(A)2 (B)3 (C)-1 (D)解析:由题意可得a2=1-2=-1,a3=1+1=2,a4=1-=,a5=1-2=-1,故选C.3.(2017·湖南永州三模)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1a n+S n=5,则a2等于( C )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:因为a1=1,a n+1a n+S n=5,所以a2·a1+a1=5,即a2+1=5,解得a2=4.故选C.4.设a n=-3n2+15n-18,则数列{a n}中的最大项的值是( D )(A)(B)(C)4 (D)0解析:因为a n=-3(n-)2+,由二次函数性质得,当n=2或3时,a n最大,此时a n=0.故选D.5.(2017·湖南岳阳一模)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,S n=,则a2 017等于( B )(A)2 016 (B)2 017 (C)4 032 (D)4 034解析:因为a1=1,S n=,所以n≥2时,a n=S n-S n-1=-,可化为=,所以==…==1,所以a n=n,则a2 017=2 017.故选B.6.在数列{a n}中,已知a1=2,a2=7,a n+2等于a n a n+1(n∈N*)的个位数,则a2 017等于( D )(A)8 (B)6 (C)4 (D)2解析:由题意得a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现,周期为6,故a2 017=a335×6+7=a7=2.故选D.7.已知数列{a n}:2,-6,12,-20,30,-42,….写出该数列的一个通项公式: .解析:根据题意,a1=(-1)2×1×2=2,a2=(-1)3×2×3=-6,a3=(-1)4×3×4=12,…归纳可得a n=(-1)n+1×n×(n+1)=(-1)n+1×n·(n+1).答案:a n=(-1)n+1×n·(n+1)8.(2017·渭南一模)如果数列{a n}的前n项和S n=2a n-1,则此数列的通项公式a n= . 解析:当n≥2时a n=S n-S n-1=(2a n-1)-(2a n-1-1)=2a n-2a n-1,整理得a n=2a n-1,又因为当n=1时,a1=S1=2a1-1,即a1=1,所以数列{a n}构成以1为首项,2为公比的等比数列,所以a n=1·2n-1=2n-1.答案:2n-1能力提升(时间:15分钟)9.(2017·河北保定二模)已知数列{a n}中,前n项和为S n,且S n=a n,则的最大值为( C )(A)-3 (B)-1 (C)3 (D)1解析:因为S n=a n,所以n≥2时,a n=S n-S n-1=a n-a n-1,化为==1+,由于数列()单调递减,可得n=2时,取得最大值2.所以的最大值为3.故选C.10.若数列{a n}满足a1=2,a n+1=(n∈N*),则该数列的前2 017项的乘积是( C )(A)-2 (B)-3 (C)2 (D)-解析:因为数列{a n}满足a1=2,a n+1=(n∈N*),所以a2==-3,同理可得a3=-,a4=,a5=2,….所以a n+4=a n且a1a2a3a4=1.所以该数列的前2 017项的乘积为1504×a1=2.故选C.11.(2017·湖南永州二模)已知数列{a n}的前n项和S n=3n(λ-n)-6,若数列{a n}单调递减,则λ的取值范围是( A )(A)(-∞,2) (B)(-∞,3)(C)(-∞,4) (D)(-∞,5)解析:因为S n=3n(λ-n)-6,①所以S n-1=3n-1(λ-n+1)-6,n>1,②①-②得数列{a n}:a n=3n-1(2λ-2n-1)(n>1,n∈N*)为单调递减数列,所以a n>a n+1,且a1>a2,又a1=S1=3(λ-1)-6=3λ-9,a2=6λ-15,所以3n-1(2λ-2n-1)>3n(2λ-2n-3),且λ<2,化为λ<n+2(n>1),且λ<2,所以λ<2,所以λ的取值范围是(-∞,2).故选A.12.(2017·江西鹰潭二模)数列{a n}的前n项和是S n,a1=1,2S n=a n+1(n∈N+),则a n= .解析:因为a1=1,2S n=a n+1(n∈N+),①所以当n≥2时,2S n-1=a n,②①-②得2a n=a n+1-a n,所以=3(n≥2),又a2=2S1=2a1=2,所以数列{a n}从第二项起,是以2为首项,3为公比的等比数列,即a n=2·3n-2(n≥2), 所以a n=答案:13.根据下列条件,确定数列{a n}的通项公式.(1)a1=1,a n+1=3a n+2;(2)a1=1,a n+1=(n+1)a n;(3)a1=2,a n+1=a n+ln(1+).解:(1)因为a n+1=3a n+2,所以a n+1+1=3(a n+1),所以=3,所以数列{a n+1}为等比数列,公比q=3,首项a1+1=2,所以a n+1=2·3n-1,所以a n=2·3n-1-1.(2)因为a n+1=(n+1)a n,所以=n+1,所以=n,=n-1,…=3,=2,a1=1.累乘可得a n=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n!.故a n=n!.(3)因为a n+1=a n+ln(1+),所以a n+1-a n=ln(1+)=ln,所以a n-a n-1=ln,a n-1-a n-2=ln,…a2-a1=ln,累加可得a n-a1=ln+ln+…+ln=ln n.又a1=2,所以a n=ln n+2.14.(2017·贵州模拟)已知数列{a n}满足a1=1,且na n+1-(n+1)a n=2n2+2n.(1)求a2,a3;(2)证明数列{}是等差数列,并求{a n}的通项公式. 解:(1)由数列{a n}满足a1=1,且na n+1-(n+1)a n=2n2+2n, 所以a2-2×1=4,解得a2=6.2a3-3×6=2×22+2×2,解得a3=15.(2)因为na n+1-(n+1)a n=2n2+2n,所以-=2,又因为=1,所以数列{}是等差数列,首项为1,公差为2,所以=1+2(n-1)=2n-1,解得a n=2n2-n.。
浙江专版高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法课时分层训练
课时分层训练(二十六) 数列的概念与简单表示法A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋ －1na n －1(n ≥2)，则a 5＝( )A.32B.53C.85D.23D [a 2＝1＋ －1 2a 1＝2，a 3＝1＋ －1 3a 2＝1＋－12＝12，a 4＝1＋1a 3＝3，a 5＝1＋－1a 4＝23.] 2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，nC [根据定义，属于无穷数列的是选项A ，B ，C ，属于递增数列的是选项C ，D ，故同时满足要求的是选项C.]3．(2017·台州期末)数列{a n }的首项a 1＝2，且(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则a 3的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8B [由(n ＋1)a n ＝na n ＋1得a n ＋1n ＋1＝a n n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为常数列，则a n n ＝a 11＝2，即a n ＝2n ，所以a 3＝2×3＝6，故选B.]4．(2017·温州3月测试)设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n＝( )A ．3(3n－2n) B ．3n＋2 C ．3nD ．3·2n －1C [当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32(a n －1)－32(a n －1－1)，整理，得a n ＝3a n －1，由a 1＝32(a 1－1)，得a 1＝3，∴a na n －1＝3，∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＝3n，故选C.] 5．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 017＝( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2C [由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，得a n ＋1＝1＋a n1－a n，而a 1＝2，则有a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，故数列{a n }是以4为周期的周期数列，且a 1a 2a 3a 4＝1， 所以T 2 017＝(a 1a 2a 3a 4)504a 1＝1504×2＝2.] 二、填空题6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n，则a 3＋a 4＝__________.【导学号：51062160】12 [当n ≥2时，a n ＝2n－2n －1＝2n －1，所以a 3＋a 4＝22＋23＝12.]7．在数列－1,0，19，18，…，n －2n ，…中，0.08是它的第______项．10 [令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0， 则(2n －5)(n －10)＝0，解得n ＝10或n ＝52(舍去)．∴a 10＝0.08.]8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝__________. 2n 2－n ＋2 [由已知得，1a n ＋1－1a n ＝n ，所以1a n －1a n －1＝n －1，1a n －1－1a n －2＝n －2，…，1a 2－1a 1＝1，所以1a n －1a 1＝n n －12，a 1＝1，所以1a n＝n 2－n ＋22，所以a n ＝2n 2－n ＋2.]三、解答题9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 【导学号：51062161】 [解] (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.4分 (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项.10分(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍去)． 所以从第7项起各项都是正数.14分 10．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．[解] (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.2分由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.6分(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.9分 于是a 1＝1，a 2＝31a 1， a 3＝42a 2，……a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.12分将以上n 个等式两端分别相乘， 整理得a n ＝n n ＋12.显然，当n ＝1时也满足上式．综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋12.14分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·衢州市二次质量预测)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是( )A.215 B.225 C.235D.245D [由2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1得na n －(n －1)a n －1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，又因为1×a 1＝1,2×a 2－1×a 1＝5，所以数列{na n }是首项为1，公差为5的等差数列，则20a 20＝1＋19×5，解得a 20＝245，故选D.]2．(2017·宁波一中月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝3S n ，则a n ＝__________. 【导学号：51062162】⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2 [由a n ＋1＝3S n ，得a n ＝3S n －1(n ≥2)，两式相减可得a n ＋1－a n ＝3S n －3S n －1＝3a n (n ≥2)， ∴a n ＋1＝4a n (n ≥2)． ∵a 1＝1，a 2＝3S 1＝3≠4a 1，∴数列{a n }是从第二项开始的等比数列， ∴a n ＝a 2qn －2＝3×4n －2(n ≥2)．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2.]3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． [解] (1)由n 2－5n ＋4<0， 解得1<n <4.因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.4分因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.6分(2)由a n＋1>a n知该数列是一个递增数列，9分又因为通项公式a n＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－k 2<32，即得k>－3.所以实数k的取值范围为(－3，＋∞).14分。
(新课标)高三数学一轮复习 第5篇 第1节 数列的概念与简单表示法课时训练 理
第五篇数列(必修5)第1节数列的概念与简单表示法课时训练理【选题明细表】一、选择题1.数列、、、,…的一个通项公式是( D )(A)a n=(B)a n=(C)a n=(D)a n=解析:观察数列的前四项可得该数列的一个通项公式是a n=.故选D.2.若S n为数列{a n}的前n项和,且S n=,则等于( D )(A)(B)(C)(D)30解析:a5=S5-S4=-=,∴=30.故选D.3.对于数列{a n},a1=4,a n+1=f(a n),依照下表则a2015等于( D )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:由题意a2=f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)=4,a6=f(a5)=f(4)=1.则数列{a n}的项周期性出现,其周期为4,a2015=a4×503+3=a3=5.故选D.4.(2015银川九中月考)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,则S n等于( B )(A)2n-1(B)()n-1(C)()n-1(D)解析:由S n=2a n+1得S n=2(S n+1-S n),所以S n+1=S n.所以{S n}是以S1=a1=1为首项,为公比的等比数列.所以S n=()n-1.故选B.5.已知a1=1,a n=n(a n+1-a n)(n∈N*),则数列{a n}的通项公式是( D )(A)a n=2n-1 (B)a n=()n-1(C)a n=n2 (D)a n=n解析:由已知得na n+1=(n+1)a n,所以=,所以{}是各项为1的常数数列.即=1,a n=n.故选D.6.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-2λn(n∈N*),则“λ<1”是“数列{a n}为递增数列”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:若数列{a n}为递增数列,则有a n+1-a n>0,即2n+1>2λ对任意的n∈N*都成立,于是有3>2λ,λ<.由λ<1可推得λ<,但反过来,由λ<不能得到λ<1,因此“λ<1”是“数列{a n}为递增数列”的充分不必要条件.故选A.7.设a n=-3n2+15n-18,则数列{a n}中的最大项的值是( D )(A)(B)(C)4 (D)0解析:a n=-3(n-)2+,由二次函数性质,得当n=2或n=3时,a n取最大值,最大值为a2=a3=0.故选D.二、填空题8.数列-,,-,,…的一个通项公式为.解析:观察各项知,其通项公式可以为a n=.答案:a n=9.已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=,则{a n}的通项公式a n= .解析:∵a n+1=,∴=+2.∴-=2,∴数列{}是以=1为首项,2为公差的等差数列,∴=1+(n-1)×2=2n-1.∴a n=.答案:10.已知a1+2a2+22a3+…+2n-1a n=9-6n,则数列{a n}的通项公式是.解析:令S n=a1+2a2+22a3+…+2n-1a n,则S n=9-6n,当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,2n-1·a n=S n-S n-1=-6,∴a n=-.∴通项公式a n=答案:a n=11.(2014辽宁大连测试)已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n+1(n∈N*).则a n= . 解析:S n=(n+1)2,当n=1时,a1=S1=4,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(n+1)2-n2=2n+1,所以a n=答案:12.已知数列{a n}的通项a n=n2(7-n)(n∈N*),则a n的最大值是.解析:设f(x)=x2(7-x)=-x3+7x2,当x>0时,由f′(x)=-3x2+14x=0得,x=.当0<x<时,f′(x)>0,则f(x)在上单调递增,当x>时,f′(x)<0,f(x)在上单调递减,所以当x>0时,f(x)max=f.又n∈N*,4<<5,a4=48,a5=50,所以a n的最大值为50.答案:5013.(2014上海八校联考)已知数列{a n}的首项a1=2,其前n项和为S n,若S n+1=2S n+1,则a n= .解析:由已知S n+1=2S n+1得S n=2S n-1+1(n≥2),两式相减得a n+1=2a n,又S2=a1+a2=2a1+1,得a2=3,所以数列{a n}从第二项开始为等比数列,因此其通项公式为a n=答案:三、解答题14.(2014陕西五校联考)已知数列{a n}中,a1=5且a n=2a n-1+2n-1(n≥2且n∈N*).(1)证明:数列{}为等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式a n.(1)证明:∵a1=5且a n=2a n-1+2n-1(n≥2且n∈N*).∴设b n=,则b1==2.b n+1-b n=-=[(a n+1-2a n)+1]=[(2n+1-1)+1]=1,由此可知,数列{}为首项是2、公差是1的等差数列.(2)解:由(1)知,=2+(n-1)×1=n+1,a n=(n+1)·2n+1.15.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,a n=0,a n>0,a n<0?(3)该数列前n项和S n是否存在最值?说明理由.解:(1)由a n=n2-n-30,得a1=12-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.设a n=60,则60=n2-n-30.解得n=10或n=-9(舍去).∴60是此数列的第10项.(2)令a n=n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).∴n=6时,a6=0.令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).∴当n>6(n∈N*)时,a n>0.令n2-n-30<0,n∈N*,解得0<n<6,n∈N*. ∴当0<n<6(n∈N*)时,a n<0.(3)S n存在最小值,不存在最大值.由a n=n2-n-30=-30,(n∈N*)知{a n}是递增数列,且a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…,故S n存在最小值S5=S6,不存在最大值.。
高考数学一轮复习 第5章 数列 第1节 数列的概念与简单表示法课时分层训练 文 北师大版
课时分层训练(二十七) 数列的概念与简单表示法A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋－na n －1(n ≥2)，则a 5＝( )A.32 B ．53 C ．85 D ．23D [a2＝1＋－2a 1＝2，a 3＝1＋－3a 2＝1＋－12＝12，a 4＝1＋1a 3＝3，a 5＝1＋－a 4＝23.] 2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，nC [根据定义，属于无穷数列的是选项A ，B ，C ，属于递增数列的是选项C ，D ，故同时满足要求的是选项C.]3．(2017·海淀期末)数列{a n }的首项a 1＝2，且(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则a 3的值为( )【导学号：66482234】A ．5B ．6C ．7D ．8B [由(n ＋1)a n ＝na n ＋1得a n ＋1n ＋1＝a n n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为常数列，则a n n ＝a 11＝2，即a n ＝2n ，所以a 3＝2×3＝6.]4．(2016·广东3月测试)设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n＝( )【导学号：66482235】A ．3(3n－2n)B ．3n＋2C ．3nD ．3·2n －1C [当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32(a n －1)－32(a n －1－1)，整理，得a n ＝3a n －1，由a 1＝32(a 1－1)，得a 1＝3，∴a na n －1＝3，∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＝3n，故选C.] 5．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 017＝( )【导学号：66482236】A.12 B ．－12C ．2D ．－2C [由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，得a n ＋1＝1＋a n1－a n，而a 1＝2，则有a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，故数列{a n }是以4为周期的周期数列，且a 1a 2a 3a 4＝1， 所以T 2 017＝(a 1a 2a 3a 4)504a 1＝1504×2＝2.] 二、填空题6．(2016·辽宁大连双基检测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n，则a 3＋a 4＝__________. 12 [当n ≥2时，a n ＝2n－2n －1＝2n －1，所以a 3＋a 4＝22＋23＝12.]7．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第______项．10 [令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0， 则(2n －5)(n －10)＝0，解得n ＝10或n ＝52(舍去)．∴a 10＝0.08.]8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝__________.【导学号：66482237】2n 2－n ＋2 [由已知得，1a n ＋1－1a n ＝n ，所以1a n －1a n －1＝n －1，1a n －1－1a n －2＝n －2，…，1a 2－1a 1＝1，所以1a n －1a 1＝n n －2，a 1＝1，所以1a n＝n 2－n ＋22，所以a n ＝2n 2－n ＋2.]三、解答题9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？[解] (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. 3分 (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项. 8分(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍去)． 所以从第7项起各项都是正数. 12分10．已知S n 为正项数列{a n } 的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1；3分 S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4. 5分 (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 8分 由于a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·郑州二次质量预测)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是( )【导学号：66482238】A.215 B ．225C.235D ．245D [由2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1得na n －(n －1)a n －1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，又因为1×a 1＝1,2×a 2－1×a 1＝5，所以数列{na n }是首项为1，公差为5的等差数列，则20a 20＝1＋19×5，解得a 20＝245，故选D.]2．(2016·甘肃白银会宁一中月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝3S n ，则a n ＝__________.⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2 [由a n ＋1＝3S n ，得a n ＝3S n －1(n ≥2)，两式相减可得a n ＋1－a n ＝3S n －3S n －1＝3a n (n ≥2)， ∴a n ＋1＝4a n (n ≥2)． ∵a 1＝1，a 2＝3S 1＝3≠4a 1，∴数列{a n }是从第二项开始的等比数列， ∴a n ＝a 2qn －2＝3×4n －2(n ≥2)．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2.]3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． [解] (1)由n 2－5n ＋4<0， 解得1<n <4.因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 2分因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. 5分(2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，7分又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3. 所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞). 12分。
(全国通用)近年高考数学一轮复习 第5章 数列 第1节 数列的概念与简单表示法教师用书 文 新人教A
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第五章数列[深研高考·备考导航］为教师授课、学生学习提供丰富备考资源［五年考情］1．从近五年全国卷高考试题来看:数列一般有两道客观题或一道解答题，其中解答题与解三角形交替考查,中低档难度．2．从知识上看：主要考查等差数列、等比数列、a n与S n的关系、递推公式以及数列求和,注重数列与函数、方程、不等式的交汇命题．3．从能力上看：突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查，加大对探究、创新能力的考查力度．[导学心语］1．重视等差、等比数列的复习，正确理解等差、等比数列的概念,掌握等差、等比数列的通项公式、前n项和公式，灵活运用公式进行等差、等比数列基本量的计算．2．重视a n与S n关系、递推关系的理解与应用，加强由S n求a n,由递推关系求通项，由递推关系证明等差、等比数列的练习．3．数列是特殊的函数，要善于用函数的性质，解决与数列有关的最值问题,等差(比）数列中共涉及五个量a1、a n、S n、d（q）、n，“知三求二”，体现了方程思想的应用．一般数列求和，首先要考虑是否能转化为等差(比)数列求和，再考虑错位相减、倒序相加、裂项相消、分组法等求和方法．重视发散思维、创新思维，有意识地培养创新能力．第一节数列的概念与简单表示法-—--——--——--————————————-———-——— [考纲传真］1。
高考数学一轮复习 第5章 数列 第1节 数列的概念与简单表示法教学案 理(含解析)新人教A版-新人教
第一节 数列的概念与简单表示法[考纲传真]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的有关概念概念 含义数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{a n }的第n 项a n通项公式数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系能用公式a n ＝f (n )表示，这个公式叫做数列的通项公式前n 项和数列{a n }中，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 叫做数列的前n 项和 列表法 列表格表示n 与a n 的对应关系 图象法 把点(n ，a n )画在平面直角坐标系中 公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a 1和a n ＋1＝f (a n )或a 1，a 2和a n ＋1＝f (a n ，a n －1)等表示数列的方法n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.4．数列的分类分类标准 类型 满足条件 项数有穷数列 项数有限无穷数列 项数无限项与项间的大小关系递增数列a n ＋1＞a n 其中n ∈N *递减数列a n ＋1＜a n常数列a n ＋1＝a n[常用结论]求数列的最大(小)项，一般可以利用数列的单调性，即用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.(n ≥2，n ∈N *)或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)求解，也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的．( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( ) [答案](1)× (2)× (3)× (4)√2．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n n ＋1，…，下列各数中是此数列中的项的是( )A.135B.142C.148D.154 B [该数列的通项a n ＝1nn ＋1，结合选项可知B 正确．] 3．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 A [a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.故选A.] 4．(教材改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋－1na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23 D [∵a 1＝1，∴a 2＝1＋－12a 1＝1＋1＝2；a 3＝1－1a 2＝1－12＝12；a 4＝1＋1a 3＝1＋2＝3； a 5＝1－1a 4＝1－13＝23.]5．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.5n －4 [{a n }是以1为首项，5为公差的等差数列，∴a n ＝1＋(n －1)×5＝5n －4.]由a n 与S n 的关系求通项公式1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝14n 2＋23n ＋3，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧4712，n ＝112n ＋512，n ≥2[当n ＝1时，a 1＝S 1＝14＋23＋3＝4712.又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝14n 2＋23n ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤14n －12＋23n －1＋3 ＝12n ＋512. ∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧4712，n ＝1，12n ＋512，n ≥2.]2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________.(－2)n －1[由S n ＝23a n ＋13得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，∴a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23a n －23a n －1. 即a n ＝－2a n －1，(n ≥2)．又a 1＝S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1.∴数列{a n }是以首项为1，公比为－2的等比数列， ∴a n ＝(－2)n －1.]3．已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋na n ＝3n 2－2n ＋1，求a n . [解] 设a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋na n ＝T n ， 当n ＝1时，a 1＝T 1＝3×12－2×1＋1＝2， 当n ≥2时，na n ＝T n －T n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5， 因此a n ＝6n －5n，显然当n ＝1时，不满足上式． 故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5n ，n ≥2.][规律方法] 已知S n 求a n 的三个步骤 1先利用a 1＝S 1求出a 1.2用n －1替换S n 中的n 得出S n －1，利用a n ＝S n －S n －1n ≥2便可求出当n ≥2时a n 的表达式.3看a 1是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段的形式.易错警示：利用a n ＝S n －S n －1求通项时，应注意n ≥2这一前提条件，易忽视验证n ＝1致误.由递推关系式求数列的通项公式【例1】 分别求出满足下列条件的数列的通项公式． (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＝nn －1a n －1(n ≥2，n ∈N *)；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．[解](1)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝n 3n ＋12(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n 2.(2)当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝1×21×32×…×n －2n －3×n －1n －2×nn －1＝n ，当n ＝1时，也符合上式， ∴该数列的通项公式为a n ＝n .(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，因此a n ＝2·3n －1－1.[规律方法] 由数列的递推关系求通项公式的常用方法 1已知a 1，且a n －a n －1＝f n ，可用“累加法”求a n .2已知a 1a 1≠0，且a na n －1＝f n ，可用“累乘法”求a n . 3已知a 1，且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q a n ＋k其中k 可由待定系数法确定，可转化为{a n ＋k }为等比数列.易错警示：本题1，2中常见的错误是忽视验证a 1是否适合所求式.(1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n(2)若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1，则a n ＝________.(1)A (2)n ·3n －2·3n －1[(1)∵a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ，∴a 2－a 1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21，a 3－a 2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，…，a n －a n －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －1，n ≥2，∴a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －a n －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21×32×…×n n －1＝ln n ，∴a n －a 1＝ln n ⇒a n ＝2＋ln n (n ≥2)．将n ＝1代入检验有a 1＝2＋ln 1＝2与已知符合，故a n ＝2＋ln n . (2)因为a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1，所以a n ＋13n ＋1＝a n3n ＋1，所以a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝1，又a 13＝13，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以13为首项，1为公差的等差数列．所以a n 3n ＝13＋(n －1)＝n －23，所以a n ＝n ·3n－2·3n －1.]数列的性质【例2】 (1)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2 018＝( )A ．－1 B.12 C ．1D ．2(2)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)，若b n ＋1＝(n －λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，b 1＝－λ，且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值X 围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(－∞，2)D ．(－∞，3)(3)已知数列{a n }满足a n ＝n ＋13n －16(n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是第________项．(1)D (2)C (3)5 [(1)由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n ，得a 2＝11－a 1＝2， a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4＝2，…，于是可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 018＝a 3×672＋2＝a 2＝2. (2)由a n ＋1＝a na n ＋2，知1a n ＋1＝2a n ＋1，即1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是首项为1a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，所以1a n＋1＝2n ，所以b n ＋1＝(n －λ)·2n，因为数列{b n }是递增数列，所以b n ＋1－b n ＝(n －λ)2n －(n －1－λ)2n －1＝(n ＋1－λ)2n －1＞0对一切正整数n 恒成立，所以λ＜n ＋1，因为n ∈N *，所以λ＜2，故选C.(3)因为a n ＝n ＋13n －16，所以数列{a n }的最小项必为a n ＜0，即n ＋13n －16＜0,3n －16＜0，从而n ＜163.又n ∈N *，所以当n ＝5时，a n 的值最小．] [规律方法] 1.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 2．判断数列单调性的二种方法(1)作差比较法：比较a n ＋1－a n 与0的大小． (2)作商比较法：比较a n ＋1a n与1的大小，注意a n 的符号． 3．求数列最大项或最小项的方法(1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项．(1)已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( ) A ．递减数列 B ．递增数列 C ．常数列D ．摆动数列(2)数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，则此数列的最大项是第________项．(3)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k 的取值X 围是________． (1)B (2)9或10 (3)(－3，＋∞) [(1)a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N *，易知{a n }是递增数列．(2)∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ×9－n 11，当n ＜9时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n ， ∴该数列中有最大项，且最大项为第9,10项．(3)由a n ＋1＞a n 知该数列是一个递增数列，又∵通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4， ∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4＞n 2＋kn ＋4， 即k ＞－1－2n ，又n ∈N *，∴k ＞－3.]1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. －63 [因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1，所以S 6＝－1×1－261－2＝－63.]2．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. －1n[∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.]3．(2014·全国卷Ⅱ)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________.12 [∵a n ＋1＝11－a n， a 8＝2，∴a 7＝12，a 6＝－1，a 5＝2，∴{a n }是周期为3的数列， ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.]。
(全国版)高考数学一轮复习 第5章 数列 第1讲 数列的概念与简单表示法学案-人教版高三全册数学学案
第1讲数列的概念与简单表示法板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．考点2 数列的分类考点3 数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．考点4 数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[必会结论]1．若数列{a n}的前n项和为S n，通项公式为a n，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( ) (2)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝1＋(－1)n ＋12.( )(3)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) (4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．[课本改编]数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n 是( )A.n 2n ＋1 B.n 2n －1 C.n 2n －3 D.n 2n ＋3答案 B解析 由已知得，数列可写成11，23，35，…，故该数列的一个通项公式为n 2n －1.故选B.3．[课本改编]在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516 B.158 C.34 D.38答案 C解析 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.故选C.4．已知f (1)＝3，f (n ＋1)＝f (n )＋12(n ∈N *)．则f (4)＝________.答案 54解析 由f (1)＝3，得f (2)＝2，f (3)＝32，f (4)＝54.5．[2018·山东师大附中月考]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 5＋a 6＝________. 答案124解析 a 5＋a 6＝S 6－S 4＝6＋16＋2－4＋14＋2＝78－56＝124.6．[课本改编]在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则数列a n ＝________.答案 3－1n解析 由题意，得a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2＝3－1n .板块二 典例探究·考向突破考向由数列的前几项求数列的通项公式例 1 写出下面各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)32，1，710，917，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (4)1,3,6,10,15，…； (5)3,33,333,3333，….解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，因此可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1. (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，所以a n ＝(－1)n·2n－32n .(4)将数列改写为1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n ＝n (n ＋1)2，也可用逐差法a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式累加得a n ＝n (n ＋1)2.(5)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n －1)．触类旁通观察法求通项公式的常用技巧求数列的通项公式实际上是寻找数列的第n 项与序号n 之间的关系，常用技巧有：(1)借助于(－1)n或(－1)n ＋1来解决项的符号问题；(2)项为分数的数列，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系；(3)对较复杂的数列的通项公式的探求，可采用添项、还原、分割等方法，转化为熟知的数列，如等差数列、等比数列等来解决．考向由a n 与S n 的关系求通项a n例 2 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝________. 答案 4n －5解析 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.(2)设S n 为数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝________.答案 3n解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32(a n －1)－32(a n －1－1)，整理，得a n ＝3a n －1，即a na n －1＝3，又a 1＝3，∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，∴a n ＝3n.(3)已知数列{a n }，满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n，则a n ＝________. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n，n ≥2解析 当n ＝1时，由已知，可得a 1＝21＝2， 当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n， ① 故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1， ②由①－②得na n ＝2n－2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －1n.显然n ＝1时不满足上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2.触类旁通给出S n 与a n 的递推关系，求a n 的常用思路：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .【变式训练】 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.(2)[2018·广州模拟]设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，则a n ＝________.答案13n 解析 因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，①则当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，②①－②得3n －1a n ＝13，所以a n ＝13n (n ≥2)．由题意知a 1＝13，符合上式，所以a n ＝13n .(3)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1解析 由已知S n ＝2a n ＋1，得S n ＝2(S n ＋1－S n )， 即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n ＝32，而S 1＝a 1＝1， 所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.考向由递推公式求数列的通项公式命题角度1 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n例 3 在数列{a n }中，a 1＝4，na n ＋1＝(n ＋2)a n ，求数列{a n }的通项公式． 解 由递推关系得a n ＋1a n ＝n ＋2n， 又a 1＝4， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n ＋1n －1·n n －2·n －1n －3·…·42·31·4＝(n ＋1)·n2·1·4＝2n (n ＋1)(n ∈N *)．命题角度2 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n例 4 (1)[2015·江苏高考]设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和． 解 由题意可得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，则1a n＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项的和为1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011.(2)若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n，求数列{a n }的通项公式． 解 由题意知a n ＋1－a n ＝2n，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.命题角度3 形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n 例 5 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n .解 设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，解得t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)． 令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列． 所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3.命题角度4 形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n 例 6 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式． 解 ∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0， ∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列，∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n ＋12，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． 触类旁通由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且a n－a n－1＝f(n)，可用“累加法”求a n.(2)已知a1且a na n－1＝f(n)，可用“累乘法”求a n.(3)已知a1且a n＋1＝qa n＋b，则a n＋1＋k＝q(a n＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{a n＋k}．(4)形如a n＋1＝Aa nBa n＋C(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．核心规律已知递推关系求通项，一般有以下方法：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)累加法、累乘法、待定系数法．满分策略1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列a n＝f(n)和函数y＝f(x)的单调性是不同的．2.数列的通项公式不一定唯一．3.在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成a n＝S n－S n－1的形式，但它只适用于n≥2的情形.板块三启智培优·破译高考数学思想系列6——用函数思想解决数列的单调性问题[2018·南京段考]数列{a n}的通项公式是a n＝n2＋kn＋4.(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，a n有最小值？并求出最小值．(2)对于n∈N*，都有a n＋1>a n.求实数k的取值范围．解题视点(1)求使a n<0的n值；从二次函数看a n的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N*上单调递增，可利用二次函数的对称轴研究单调性，但应注意数列通项中n的取值．解 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3，∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列， 又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.答题启示 (1)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取.,(2)本题易错答案为k >－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.跟踪训练已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)． ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，知5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.故a 的取值范围为(－10，－8)．板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．已知数列2，5，22，…，则25是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项 答案 C解析 由数列2，5，22，…的前三项2，5，8可知，数列的通项公式为a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1，由3n －1＝25，可得n ＝7.故选C.2．[2018·上饶模拟]已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝n ，若a 1＝2，则a 4－a 2＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 D解析 由a n ＋1＋a n ＝n ，得a n ＋2＋a n ＋1＝n ＋1，两式相减得a n ＋2－a n ＝1，令n ＝2，得a 4－a 2＝1.故选D.3．[2018·济宁模拟]若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝nn ＋1，则1a 5等于( ) A.56 B.65 C.130 D ．30 答案 D解析 ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，∴1a 5＝5×(5＋1)＝30.故选D.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1a n ＝2n(n ∈N *)，则a 10＝( ) A ．64 B ．32 C ．16 D ．8 答案 B解析 ∵a n ＋1a n ＝2n，∴a n ＋2a n ＋1＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2.又a 1a 2＝2，a 1＝1，∴a 2＝2. 则a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4a 2＝24，即a 10＝25＝32.故选B. 5．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1024答案 C解析 在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .∴a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.∴a 9＝a 6·a 3＝64×8，a 9＝512.故选C.6．[2018·辽宁实验中学月考]设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a n ＝( )A ．2nB ．2n －1C ．2nD ．2n －1答案 C解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴a n ＝2·2n －1＝2n .选C.7．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{na n }中数值最小的项是( )A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项答案 B解析 ∵S n ＝n 2－10n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －11； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9也适合上式．∴a n ＝2n －11(n ∈N *)．记f (n )＝na n ＝n (2n －11)＝2n 2－11n ，此函数图象的对称轴为直线n ＝114，但n ∈N *，∴当n ＝3时，f (n )取最小值．于是，数列{na n }中数值最小的项是第3项．故选B.8．已知数列{a n }中，a 1＝1，若a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值是________． 答案 31解析 ∵a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴a n ＋1a n －1＋1＝2，又a 1＝1，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，∴a 5＋1＝25，即a 5＝31.9．[2018·洛阳模拟]数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.答案 6116解析 由题意知：a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －12(n ≥2)， 所以a 3＋a 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝6116. 10．[2015·全国卷Ⅱ]设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.答案 －1n解析 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1， ∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n. [B 级 知能提升]1．[2018·天津模拟]已知正数数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋2)·a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，n ∈N *，则它的通项公式为( )A ．a n ＝1n ＋1 B ．a n ＝2n ＋1 C ．a n ＝n ＋12 D ．a n ＝n答案 B解析 由题意可得a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n n ＋1·n －1n ·…·23×1＝2n ＋1.故选B. 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k 2n ，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞) 答案 D解析 因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k 2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝3－3n －k 2n ＋1＜0， 所以k ＞3－3n 对任意n ∈N *恒成立，所以k ∈(0，＋∞)．故选D.3．[2018·重庆模拟]数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n ，0≤a n ≤12，2a n －1，12＜a n ＜1，a 1＝35，则数列的第2018项为_______． 答案 15解析 ∵a 1＝35，∴a 2＝2a 1－1＝15. ∴a 3＝2a 2＝25.∴a 4＝2a 3＝45. ∴a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝15，…. ∴该数列周期为T ＝4.∴a 2018＝a 2＝15. 4．已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝9－6n ，求数列{a n }的通项公式． 解 令S n ＝a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ，则S n ＝9－6n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，2n －1a n ＝S n －S n －1＝－6，∴a n ＝－32n －2.而n ＝1时，a 1＝3，不符合上式， ∴通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，n ＝1，－32n －2，n ≥2.5．[2018·贵阳模拟]已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n . (1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由S 2＝43a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2， 解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3， 解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n ＞1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1， 整理，得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…， a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘，整理，得a n ＝n (n ＋1)2. 综上，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.。
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【2019最新】精选高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简
单表示法课时分层训练文新人教A版
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝( )
【导学号：31222172】
A. B.
C. D.2
3
D [a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.]
2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
【导学号：31222173】A．1，，，，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，n
C [根据定义，属于无穷数列的是选项A，B，C，属于递增数列的是选项C，D，故同时满足要求的是选项C.]
3．(2017·海淀期末)数列{an}的首项a1＝2，且(n＋1)an＝nan＋1，则a3的值为
( ) A．5 B．6
C．7 D．8
B [由(n＋1)an＝nan＋1得＝，所以数列为常数列，则＝＝2，即an＝2n，所以a3＝2×3＝6，故选B.]
4．(2016·广东3月测试)设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，则an＝( )
A．3(3n－2n) B．3n＋2
C．3n D．3·2n－1
C [当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，整理，得an＝3an －1，由a1＝(a1－1)，得a1＝3，∴＝3，∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
∴an＝3n，故选C.]
5．数列{an}满足a1＝2，an＝，其前n项积为Tn，则T2 017＝( )
【导学号：31222174】
A. B．－
C．2 D．－2
C [由an＝，得an＋1＝，而a1＝2，
则有a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，
故数列{an}是以4为周期的周期数列，且a1a2a3a4＝1，
所以T2 017＝(a1a2a3a4)504a1＝1504×2＝2.]
二、填空题
6．(2016·辽宁大连双基检测)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则a3＋a4＝__________.
12 [当n≥2时，an＝2n－2n－1＝2n－1，所以a3＋a4＝22＋23＝12.]
7．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的第______项.
【导学号：31222175】
10 [令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，
则(2n－5)(n－10)＝0，解得n＝10或n＝(舍去)．
∴a10＝0.08.]
8．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝__________.
2
[由已知得，－＝n，所以－＝n－1，
n2－n＋2
1
－＝n－2，…，－＝1，所以－＝，a1＝1，所以＝，
an－1
所以an＝.]
三、解答题
9．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
[解] (1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.3分
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，
解得n＝16或n＝－9(舍去)，
即150是这个数列的第16项.8分
(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍去)．
所以从第7项起各项都是正数.12分
10．已知Sn为正项数列{an} 的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3，a4的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得
a1＝a＋a1，解得a1＝1；3分
S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；
同理，a3＝3，a4＝4.5分
(2)Sn＝a＋an，①
当n≥2时，Sn －1＝a ＋an －1，②
①－②得(an －an －1－1)(an ＋an －1)＝0.8分 由于an ＋an －1≠0， 所以an －an －1＝1， 又由(1)知a1＝1，
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an ＝n.12分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2017·郑州二次质量预测)设数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，且2nan ＝(n －1)an －1＋(n ＋1)an ＋1，则a20的值是( )
A. B.22
5 C.
D.245
D [由2nan ＝(n －1)an －1＋(n ＋1)an ＋1得nan －(n －1)an －1＝(n ＋1)an ＋1－nan ，又因为1×a1＝1,2×a2－1×a1＝5，所以数列{nan}是首项为1，公差为5的等差数列，则20a20＝1＋19×5，解得a20＝，故选D.]
2．(2016·甘肃白银会宁一中月考)已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝ 1，an ＋1＝3Sn ，则an ＝__________.
⎩
⎪⎨
⎪⎧ 1，n ＝1，3×4n－2，n≥2 [由an ＋1＝3Sn ，得an ＝3Sn －1(n≥2)，
两式相减可得an ＋1－an ＝3Sn －3Sn －1＝3an(n≥2)， ∴an ＋1＝4an(n ≥2)． ∵a1＝1，a2＝3S1＝3≠4a1，
∴数列{an}是从第二项开始的等比数列， ∴an ＝a2qn －2＝3×4n －2(n ≥2)． 故an ＝]
3．已知数列{an}的通项公式是an ＝n2＋kn ＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．
[解] (1)由n2－5n＋4<0，
解得1<n<4.
因为n∈N*，所以n＝2,3，
所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.2分
因为an＝n2－5n＋4＝2－，
由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.5分
(2)由an＋1>an知该数列是一个递增数列，7分
又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3.
所以实数k的取值范围为(－3，＋∞).12分。