浙江省杭州高级中学2013届高三第六次月考数学(理)试题

浙江杭州高级中学2013届高三第六次月考数学(理)试题命题人：吴连城一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集}1|{},03|{,2-<=>--==x x B x x x A R U ，则图中阴影部分表示的集合为 ( ) A.}0|{>x xB.}13|{-<<-x xC.}03|{<<-x xD.}1|{-<x x2．已知直线l 过定点（-1，1），则“直线l 的斜率为0”是“直线l 与圆122=+y x 相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 若复数i i ai -=++3)2)(1(，则实数a 的值为 ( ) A.1B.－1C.±2D. －24.设p ：x 2－x －20>0，q :212--｜｜x x<0，则p 是q 的A ．充分不必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知函数2()(42)46,f x ax a x a =+++-则使函数()f x 至少有一个整数零点的所有正整数a 的值之和等于 （ ）A ．8B ．20C ．26D ．286. 设偶函数)sin()(ϕω+=x A x f （,0>A )0,0πϕω<<>的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML =90°，KL ＝1，则1()6f 的值为 A ．43- B ．14-C ．12-D ．437. 设双曲线C ：22221x y ab-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，左，右顶点分别为A 1，A 2．过F(第1题)（第6题图）且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于P ，若P 恰好在以A 1A 2为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为 A． B ．2 CD ． 38. 已知约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥+-083,012043y x y x y x 若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为 ( )A.0＜a ＜13B. a ≥13C. a ＞13D.0＜a ＜129. 设平面向量a =(x 1,y 1),b=(x 2,y 2) ,定义运算⊙：a ⊙b =x 1y 2-y 1x 2 .已知平面向量a ，b ，c ，则下列说法错误的是A. (a ⊙b )+(b ⊙a )=0 B 存在非零向量a ，b 同时满足a ⊙b =0且a •b =0 C. (a +b )⊙c =(a ⊙c )+(b ⊙c ) D. |a ⊙b |2= |a |2|b |2-|a •b |210.已知函数3221,0()31,()468,0x x f x x x g x xx x x ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩，则方程[()]0g f x a -=（a 为正实数）的根的个数不可能．．．为（ ） A.3个 B. 4个 C. 5个D. 6个二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11. 在62)12(xx -的展开式中3x 的系数是___________ .12. 执行如图所示的程序框图所表示的程序，则所得的结果为 . 13. 已知圆的方程为08622=--+y x y x ，设该圆过点)5,3(的最长弦和最短弦 分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ．14. 已知函数|12|)(2-+=x x x f ，若1-<<b a ，且)()(b f a f =，则b a ab ++的取值范围是 .15. 正四面体的4个面分别写有4,3,2,1，将3个这样质地均匀的正四面体同时投掷于桌面上，记ξ为与桌面接触的3个面上的3个数中最大值与最小值之差的绝对值，则ξ的期望为 _________.16. 前12个正整数组成一个集合{}1,2,3,,12⋅⋅⋅，此集合的符合如下条件的子集的数目为m ：子集均含有4个元素，且这4个元素至少有两个是连续的．则m 等于 .17. 1A B C ∆和2ABC ∆是两个腰长均为 1 的等腰直角三角形，当二面角12C AB C --为60时，点1C 和2C 之间的距离等于 .(请写出所有可能的值)（第12题）三、解答题:本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算过程． 18. （本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A cB bC a c o s ,c o s ,c o s 成等差数列．（1）求角B 的大小；（2）若4=+c a ，求AC 边上中线长的最小值．19.设数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 满足121(1)2n n n b na n a a a -=+-+++ ，n ∈*N ，已知1b m =，232m b =，其中0m ≠.(1) 求数列{}n a 通项（用m 表示）；(2) 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有[1,3]n S ∈，求实数m 的取值范围.20. （本小题满分14分）如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点. 将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM . （1）求证：BM AD ⊥（2）点E 是线段DB 上的一动点，当二面角D AM E --大小为3π时，试确定点E 的位置.A（第21题图）21（本小题满分15分）已知点)2,0(-D ，过点D 作抛物线:1C )0(22>=p py x 的切线l ，切点A 在第二象限，如图．（1）求切点A 的纵坐标； (2)若离心率为23的椭圆)0(12222>>=+b a by ax 恰好经过切点A ，设切线l 交椭圆的另一点为B ，记切线OB OA l ,,的斜率分别为21,,k k k ，若k k k 4221=+，求椭圆方程．22. （本小题满分15分）函数()f x 定义在区间[a , b ]上，设“min{()|}f x x D ∈”表示函数)(x f 在集合D 上的最小值，“max{()|}f x x D ∈”表示函数)(x f 在集合D 上的最大值．现设1()min{()|}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈， 2()m ax{()|}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数)(x f 为区间[,]a b 上的“第k 类压缩函数”．(1) 若函数32()3,[0,3]f x x x x =-∈，求)(x f 的最大值，写出)()(21x 、f x f 的解析式；(2) 若0m >，函数32()f x x m x =-是[0,]m 上的“第3类压缩函数”，求m 的取值范围．参考答案1-5BABAB 6-10DACBA 11160- 12 41-13 620 14 (-1,1) 15815218．解：(1)由题意得：C a A c B b cos cos cos 2+=，C A A C B B cos sin cos sin cos sin 2+=，B B B sin cos sin 2=3,21c o s ,0s i n π==∴≠B B B ．(2)设AC 边上的中点为E ，由余弦定理得：4)(22222AC BC ABBE-+=422acc a ++=34)2(164164)(22=+-≥-=-+=c a acacc a ，当c a =时取到”=”所以AC 边上中线长的最小值为3． 19．(1) 由已知11b a =，所以1a m =，2122b a a =+， 所以12322a a m +=，解得22m a =-，所以数列{}n a 的公比12q =-.1)21(--=n n m a(2)1[1()]212[1()]1321()2nnn m m S --==⋅----，因为11()02n-->，所以，由[1,3]n S ∈得1231131()1()22nnm ≤≤----，注意到，当n 为奇数时131()(1,]22n--∈，当n 为偶数时131()[,1)24n--∈，所以11()2n--最大值为32，最小值为34.对于任意的正整数n 都有1231131()1()22nnm ≤≤----，所以42233m ≤≤，23m ≤≤.即所求实数m 的取值范围是{23}m m ≤≤.20．取AM 的中点O ，AB 的中点B ，则OD OA ON ,,两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系，如图.根据已知条件，得)0,0,22(A ,)0,2,22(-B ,)0,0,22(-M ,)22,0,0(D k *s *5（1）由于)0,2,0(),22,0,22(-=-=BM AD ,则0=⋅BM AD ,故BM AD ⊥.(2)设存在满足条件的点E,并设DB DE λ=， 则)22,2,22()22,,(--=-λE E E z y x则点E 的坐标为)2222,2,22(λλλ--.（其中]1,0[∈λ）易得平面ADM 的法向量可以取)0,1,0(1=n ，设平面AME 的法向量为),,(2z y x n =，则)0,0,2(-=AM ,)2222,2,2222(λλλ---=AE则⎪⎩⎪⎨⎧=-++--=⋅=-=⋅0)2222()2()2222(0222λλλz y x AE n x AM n 则λλ2:)1(:0::-=z y x ，取)2,1,0(2λλ-=n *由于二面角D AM E --大小为3π，则|||,cos |3cos2121n n n n ⋅=><=π214)1(122=+--=λλλ，由于]1,0[∈λ，故解得332-=λ.故当E 位于线段DB 间，且332-=DBDE 时，二面角D AM E --大小为3π21解：(1)设切点),(00y x A ，且px y 220=，k s **5u由切线l 的斜率为px k 0=，得l 的方程为px x px y 220-=，又点)2,0(-D 在l 上，222=∴px ，即点A 的纵坐标=0y 2．(2)由(Ⅰ) 得)2,2(p A -，切线斜率pk 2-=，设),(11y x B ，切线方程为2-=kx y ，由23=e ，得224b a =，所以椭圆方程为142222=+by bx，且过)2,2(p A -，42+=∴p b由041616)41(442222222=-+-+⇒⎩⎨⎧=+-=b kx x k b y x kx y ， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+∴2210210414164116k b x x k k x x ， 1001101001101001110021423)2(2)2(222x x x x k x x kx x kx x x x y x y x x y x y k k +-=-+-=+=+=+k bk p k k kbp kkk x x x x x k 4416)41(4323414164413232)(232222210001=-+--=+--+-=++-=将pk 2-=，42+=p b 代入得：32=p ，所以144,3622==a b ，椭圆方程为13614422=+yx．22解：(1)由于2()36f x x x '=-，故)(x f 在[0,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增．所以，)(x f 的最大值为max{(0),(3)}0f f =． 3213,02()4,23x x x f x x ⎧-≤≤=⎨-<≤⎩， 2()0f x =，(2)由于2()32f x x m x '=-，故)(x f 在2[0,]3m 上单调递减，在2[,]3m m 上单调递增，而(0)()0f f m ==，324()327m m f =-，故32132,03()42,3273m x m x x f x m m x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，2()0f x =， 232132,03()()42,3273m m x x x f x f x m m x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪<≤⎪⎩． 设对正整数k 有21()()f x f x kx -≤对[0,]x m ∈恒成立，当x=0时，Nk*∈均成立；当23mx<≤时，21()()f x f xkx-≥恒成立，而222221()()()244f x f x m m mx m x xx-=-+=--+≤, 故24mk≥；当23mx m<≤时，21()()f x f xkx-≥恒成立，而332214()()4227279mf x f x m mx x x-==<；故229mk≥；所以，24mk≥，又)(xf是[0,3]上的“第3类压缩函数”，故2234m<≤，所以，m<≤。