【金版教程】2014届高考数学总复习 第8章 第7讲 抛物线课件 理 新人教A版

准形式为 x2＝1ay，所以其焦点坐标为(0，41a)．
填一填：(1)y2＝8x 提示：由抛物线的准线方程为 x＝ －2，得焦点 F(2,0)，
∴p2＝2. ∴p＝4. 故抛物线的标准方程为 y2＝8x. (2)(0，116)
核心要点研究
例1 [2012·陕西高考]右图是抛物线 形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米， 水面宽4米．水位下降1米后，水面宽 ________米．
抛物线的标准方程有四种形式，每种形式中都只含有一个参 数p，因此求抛物线的标准方程，一是确定方程形式，二是确 定 p 的 值 ． 对 于 焦 点 在 x 轴 上 的 抛 物 线 方 程 可 统 一 设 成 y2 ＝ ax(a≠0) ， 对 于 焦 点 在 y 轴 上 的 抛 物 线 方 程 可 统 一 设 成 x2 ＝ ay(a≠0)．
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右
向左
向上
向下
焦半径
|PF|＝x0＋p2
|PF|＝ ________
|PF|＝ ________
|PF|＝ ________
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是抛物线，其焦点坐标是什 么？
(1)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线 的方程是________．
(2)[2013·江苏徐州]抛物线 y2＝4mx(m>0)的焦点到双曲 线1x62 －y92＝1 的一条渐近线的距离为 3，则此抛物线的方程为 ________．
答案：y2＝20x 解析：y2＝4mx 的焦点为(m,0)，双曲线的一条渐近线方 程为 3x－4y＝0，由 d＝35m＝3，得 m＝5，∴抛物线方程为 y2＝20x.
[解] (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，|BD|＝ 2p，圆 F 的半径|FA|＝ 2p.
由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d＝|FA|＝ 2p. 因为△ABD 的面积为 4 2，所以12|BD|·d＝4 2， 即12·2p· 2p＝4 2，解得 p＝－2(舍去)或 p＝2. 所以 F(0,1)，圆 F 的方程为 x2＋(y－1)2＝8.
y2＝－
x2＝
x2＝－
2px(p>0) 2py(p>0) 2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 对称轴
O(0,0)
y＝0
x＝0
焦点 离心率
F(p2，0)
F________ F________ F(0，－p2) e＝1
准线方程 x＝______
x＝p2
y＝－p2 y＝______
AOB 的面积为( )
A.
2 2
B. 2
C.
32 2
D. 2 2
[解析] 焦点 F(1,0)，设 A，B 分别在第一、四象限，则 点 A 到准线 l：x＝－1 的距离为 3，得 A 的横坐标为 2，纵 坐标为 2 2，AB 的方程为 y＝2 2(x－1)，与抛物线方程联立 可得 2x2－5x＋2＝0，所以 B 的横坐标为12，纵坐标为－ 2， S△AOB＝12×1×(2 2＋ 2)＝322.
(2)由于直线 x＝－12为抛物线的准线， 故|PB|＋d＝|PB|＋|PF|≥|BF|， 当且仅当 B、P、F 共线时取等号． 而|BF|＝ 12＋122＋12＝ 2. ∴|PB|＋d 的最小值为 2.
例 2 [2012·安徽高考]过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线
交该抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点．若|AF|＝3，则△
[变式探究] 已知抛物线 y2＝2x 的焦点是 F，点 P 是抛 物线上的动点，又有点 A(3,2)．
(1)求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐 标；
(2)求点 P 到点 B(－12，1)的距离与点 P 到直线 x＝－12的 距离之和的最小值．
解析：(1)将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6. ∵ 6>2，∴A 在抛物线内部． 设抛物线上点 P 到准线 l： x＝－12的距离为 d，由定义知 |PA|＋|PF|＝|PA|＋d， 当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为72， 即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝2x，得 x＝2.∴点 P 坐标为(2,2)．
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【选题·热考秀】 [2012·重庆高考]过抛物线 y2＝2x 的焦点 F 作直线交抛物 线于 A，B 两点，若|AB|＝2152，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.
[规范解答] F 点坐标为(12，0)，设 A，B 两点的横坐标 为 x1，x2.
因|AF|<|BF|，故直线 AB 不垂直于 x 轴． 设直线 AB 为 y＝k(x－12)，联立直线与抛物线的方程得 k2x2－(k2＋2)x＋k42＝0， ① 则 x1＋x2＝k2k＋2 2.
[变式探究] (1)[2011·辽宁高考]已知 F 是抛物线 y2＝x
的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段
AB 的中点到 y 轴的距离为( )
3
A. 4
B. 1
5
7
C. 4
D. 4
答案：C 解析：∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋12＝3， ∴xA＋xB＝52. ∴线段 AB 的中点到 y 轴的距离为xA＋2 xB＝54.
[审题视点] 本题考查了抛物线的知 识，解题关键是以拱顶为坐标原点，建立 平面直角坐标系，求抛物线方程．
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方 程为 x2＝－2py(p>0)，由点(2，－2)在抛物线上，可得 p＝1， 则抛物线方程为 x2＝－2y.
当 y＝－3 时，x＝± 6，所以水面宽 2 6米． [答案] 2 6
[审题视点] (1)根据B，D在准线上以及直角三角形的相关 知识可以将相关线段长用p表示出来，再结合三角形的面积即 可求出p的值，从而确定圆的方程．(2)根据三点共线及抛物线 定义可得到直线m的斜率，从而设出直线m，n的方程，由直线n 与抛物线只有一个公共点，根据判别式得到参数关系式，化 简，利用截距比得到所要求的比值．
由于 n 与 C 只有一个公共点，故 Δ＝43p2＋8pb＝0， 解得 b＝－p6. 因为 m 的纵截距 b1＝p2，||bb1||＝3，所以坐标原点到 m，n 距离的比值为 3. 当 m 的斜率为－ 33时，由图形对称性可知，坐标原点 到 m，n 距离的比值为 3.
(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线 的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的 弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代 入”“点差法”以及定义的灵活应用． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线 的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋ p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
又|AB|＝x1＋x2＋1＝2152，可解得 k2＝24，代入①式得 12x2
－13x＋3＝0，即(3x－1)(4x－3)＝0.而|AF|<|BF|，所以 x1＝13.
由抛物线的定义，得|AF|＝x1＋12＝56.
第7讲 抛物线
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1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性 质．
2.理解数形结合的思想． 3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
1个重要规律 一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系 数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号 决定开口方向”． 2种必会方法 1. 定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定 p的值，得到抛物线的标准方程． 2. 待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的 值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．
例 3 [2012·课标全国]设抛物线 C：x2＝2py(p>0)的焦点 为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，已知以 F 为圆心，FA 为半 径的圆 F 交 l 于 B，D 两点．
(1)若∠BFD＝90°，△ABD 的面积为 4 2，求 p 的值及 圆 F 的方程；
(2)若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行， 且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m，n 距离的比值．
由yy2＝＝24x2，x－1， 消去 y，得 2x2－5x＋2＝0， 解得 x1＝2，x2＝12. ∴|BF|＝x2＋1＝32.
(1)涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑 利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解． (2)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可 以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特 征．
(2)因为 A，B，F 三点在同一直线 m 上，
所以 AB 为圆 F 的直径，∠ADB＝90°.
由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝12|AB|，所以∠ABD Nhomakorabea30°，m
的斜率为
33或－
3 3.
当 m 的斜率为 33时，由已知可设 n：y＝ 33x＋b，代入
x2＝2py，得 x2－233px－2pb＝0.
[变式探究] [2013·武汉调研]已知过抛物线 y2＝2px(p>0) 的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2， y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程； (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若O→C＝O→A＋λO→B， 求 λ 的值．
[答案] C
奇思妙想：本例题条件不变，问题改为“求|BF|的值”， 如何解答？
解：设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3 及抛物线定义 可得，x1＋1＝3，∴x1＝2.∴A 点坐标为(2,2 2)．