八年级第三章 小结与思考(第2课时)(王东)
八年级第三章 小结与思考(第1课时)(王东)
第三章 中心对称图形（一）小结与思考（第1课时）审核人:赵友忠、夏建平【目标导航】1. 回顾、思考本章所学的知识及思想方法，并能用自己喜欢的方式进行梳理，使所学知识系统化.2. 进一步丰富对平面图形相关知识的认识，能有条理的、清晰地阐述自己的观点.3. 通过“小结与思考”的教学，培养学生归纳、反思的意识.【要点梳理】1. 图形的旋转：在平面内，___________________________________，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为_____________，旋转的角度称为_____________. ①旋转前、后的图形全等.②对应点到旋转中心的距离相等.③每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等. 2. 中心对称.把一个图形绕着某一个点旋转180°，_____________________，那么称这两个图形关于这一点对称.也称这两个图形成中心对称，这个点叫做_____________，两个图形中的对应点叫做_____________.注意：①中心对称是旋转的一种特例，因此，成中心对称的两个图形具有旋转图形的一切性质.②成中心对称的2个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.3. 中心对称图形.把一个平面图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形.这个点就是它的对称中心.中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心______________. 4..1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形.（2）成中心对称的两个.【问题探究】知识点1.图形旋转的画法（重点，掌握）例1．已知线段AB 和点O 按下面的方法画出线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转100°后的图形 解:知识点2.成中心对称图形的画法（重点，运用）例2．△ABC 和一点O ，画△ABC 关于点O 成中心对称的三角形；（1）点O 在△ABC 外；（2）点O 与△ABC 的一个顶点重合 （3）点O 是△ABC 的一边 BC 的中点【变式】等边三角形ABC 的3个顶点都在圆上，请把这个图形补成一个中心对称图形. 知识点3.寻找旋转图形（重点，运用）例3．如图：△ABC 和△ADE 都是顶点为45°的等腰三角形，BC 、DE 分别是两个三角形的底边.图中的△ACE可以看成是哪个三角形通过怎样的旋转得到的？ 解:【变式】如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE ，将△BCE 绕点C •顺时针方向旋转90°得到△DCF ，连接EF ．若∠BEC =60°，则∠EFD 的度数为（ ）（A ）10° （B ）15° （C ）20° （D ）25° 知识点4.寻找中心对称图形（重点，运用）例4．如图：ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别与AD 、BC 相交于点E 、F 图中关于点O 成中心对称的三角形、四边形有多少对？请将它们分别表示出来. 解:知识点5.旋转图形中的计算（重点，掌握）例5．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC =120°，以BC 为边向形外作等边三角形△BCD ，把△ABD 绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD ，若AB =3，AC =2，求∠BAD 的度数与AD 的长. 解:【课堂操练】1. 在线段、等边三角形、等腰梯形、矩形、平行四边形、菱形、正方形、圆这些图形中，既是中心对称又是轴对称的有 （ ） A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 2. 下列图形中，是中心．．对称图形的是（ ）3. 如图，以左边图案的中心为旋转中心，将图案按 时针方向旋转 度即可得到右边图案.4. 如图，在正方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，点F 是BA 延长线上一点，AF =21AB ，△ABE 可以通过绕A 点逆时针旋转到△ADF 的位置，则旋转的最小角度为 .A5. 如图是一个平行四边形土地ABCD ，后来在其边缘挖了一个小平行四边形水塘EFGH，现准备将其分成两块，并使其满足：两块地的面积相等，分割线恰好做成水渠，便于灌溉，请你在图中画出分界线（保留作图痕迹），A EB简要说明理由.6. 画图题：已知□ABCD ，试用三种方法将□ABCD 分成面积相等的四部分.7. 如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DF=CF ，连结AF 并延长交BC 延长线于点E.（1）图中哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？（2）四边形ABCD 的面积与图中哪个三角形的面积相等？ （3）若AB=AD ＋BC ，∠B=70°，试求∠DAF 的度数.8. （2010·浙江台州市）如图1，Rt △ABC ≌Rt △EDF ，∠ACB =∠F =90°，∠A =∠E =30°．△EDF 绕着边AB 的中点D 旋转， DE ，DF 分别交线段．．AC 于点M ，K ．（1）观察： ①如图2、图3，当∠CDF =0° 或60°时，AM +CK _______MK (填“>”，“<”或“=”)． ②如图4，当∠CDF =30° 时，AM +CK ___MK (只填“>”或“<”)．（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF ＜60°时，AM +CK _______MK ，证明你所得到的结论． （3）如果222AM CK MK =+，请直接写出∠CDF 的度数和AMMK 的值．B CB CB C图1图2图3EEEB图4 A【参考答案】【要点梳理】1. 将一个图形绕一个定点旋转一定的角度 旋转中心 旋转角2. 如果它能够与另一个图形重合 对称中心 对称点3. 平分【问题探究】例1．略 例2．略 【变式】略例3．△ABD 绕点A 逆时针方向旋转45° 【变式】B 例4．略 例5．60°, 5【课堂操练】1. C2. C3. 顺，904. 90°5. 经过四边形ABCD 和四边形EFGH 对角线的交点6.7. △ADF 和△ECF ， △ABE ，55° 8. （1）① =② ＞ （2）＞证明：作点C 关于FD 的对称点G ， 连接GK ，GM ，GD ，则CD =GD ，GK = CK ，∠GDK =∠CDK ， ∵D 是AB 的中点，∴AD =CD =GD ． ∵=∠A 30°，∴∠CDA =120°，∵∠EDF =60°，∴∠GDM +∠GDK =60°， ∠ADM +∠CDK =60°． ∴∠ADM =∠GDM ， ∵DM =DM ，∴△ADM ≌△GDM ，∴GM =AM ． ∵GM +GK ＞MK ，∴AM +CK ＞MK ． （3）∠CDF =15°，23=AMMK ．。
小结与思考2
课题
课时数 教学目标 教学重点 教学难点
小结与思考 2 第 2 课时 共
主备人
2 课时
王东
复备人
时间：
王东
9 月 15 日
1、掌握等腰三角形的性质和判定方法，理解等边三角形的概念和性质。 2、掌握等腰梯形的有关性质和判定方法。 3、在探索图形性质，发展逻辑推理，进一步学习有条理地思考和表达。 发展逻辑推理，进一步学习有条理地思考和表达 发展逻辑推理，进一步学习有条理地思考和表达
例题 分析
2、 （1）如图，在Δ ABC 中，∠BAC＝900，AB＝AC，点 D 在 BC 上， 且 BD＝BA，点 E 在 BC 的延长线上，CE＝CA，试求∠DAE 的度数。 （2）如果把第（1）题中“AB＝AC”的条件舍去，其余条件不变， 那么∠DAE 的度数会改变吗？
A
B
D
C
E
1
上峰中学初二数学集体备课教案 23
教学过程
知识 回顾 小练 习 1、等腰三角形的性质和判定方法。 2、等边三角形的性质和判定。 3、直角三角形的性质 1、 （1）等腰三角形的一个角是32°，则底角为 。 （2）等腰三角形的一个角是100°，则底角为 。 2、若等腰三角形的一边长为4cm，周长为10cm，则另外两边长为__________。 3、等腰三角形底边长为6cm，一腰上的中线把它的周长分为两部分的差为2cm，则 该三角形的腰长为__________。 1、如图，AD 是△ABC 的中线，且∠ADC=60°，BC=4．把△ADC 沿直线 AD•折叠后，点 C 落在 C′的位置上，求 BC′的长。
2、如图，△ABC 是等边三角形，P 为△ABC 内部一点，将△ABP 绕点 A 逆时针 旋转后， 能与△ACPˊ重合， 如果 AP=3， 求 PPˊ的长． A P′ P B C
八上数学第三章第课时小结与思考
八上数学第三章第课时小结与思考第15课时小结与思考预学目标1．回顾、思考本章所学的知识及思想方法，并用自己喜欢的方式进行梳理，使所学知识系统化．2．进一步丰富对平面图形相关知识的认识，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．3．把握基本思想，即以中心对称为主线，利用中心对称的性质，研究平行四边形、特殊平行四边形及三角形中位线和梯形中位线的性质．知识梳理1．关于图形的旋转2．中心对称图形(1)图形的旋转—→绕着某点旋转_______°—→_______对称图形．(2)中心对称图形的画法：①_______；②_______；③______．(3)中心对称图形的性质：_____________________________________________________________________________________________________________________ _______．3．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质4．四边形与特殊四边形之间的关系5．三角形、梯形中位线的性质(1)三角形的中位线平行于_______并且等于_______；(2)梯形的中位线平行于_______并且等于_______．例题精讲例1 如图①，梯形ABCD是一块木板，木工师傅想把它分成几块后再拼成矩形，要求木板不能有剩余，拼接时不重叠、无空隙，请你设计一种分割和拼接方案．提示：利用中心对称图形的性质进行分割，解答：如图②，分别取AB、BC、CD、AD的中点E、N、F、G，连接EF，过点G作GH ⊥EF于H，过点N作NM⊥EF于M，则梯形被分成了4个部分(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ)．如图③，将Ⅲ绕点E旋转180°，将Ⅱ绕点G旋转180°，再将Ⅳ平移到左上方空缺处，所以矩形M2M1HH1即为所求作的矩形．点评：利用中心对称的性质，把某些图形“全等地”进行搬动，本题中处理图形的方法应用范围较广，同学们需要认真体会．例2如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，O是正方形A1B1C1O的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形A1B1C1O绕点O无论怎样运动，这两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的_______，想一想：为什么？提示：先从特殊位置考虑，若OA1与OA重合，则OC1与OB重合，如图①，此时两个正方形重叠部分的面积等于一个正方形面积的14，继续旋转到图②的位置，猜想此时两个正方形重叠部分的面积仍然等于一个正方形面积的14，只要说明△AOE≌△BOF．解答：这两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的14．∵在△AOE和△BOF中，AO＝BO，∠OAE＝∠OBF，∠AOE＝90°－∠BOE＝∠BOF．∴△AOF≌△BOF．∴S四边形OEBF＝S△AOB＝14S正方形ABCD．点评：解动态几何问题的一般方法是考查图形上的动点运动到某一特殊位置时的静止状态，再研究此时各元素之间的位置或数量关系，使问题得到解决，这就是由特殊到一般的数学思想．热身练习1．线段是轴对称图形，也是_______对称图形，它的对称中心是_______；当点A、B、O 满足条件：OA ＝OB且_______时，点A、B 关于点O成中心对称，反过来，若点A、B关于点O成中心对称，则必有_______．2．在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝25，BC ＝30，AC＝28，BD＝46，∠ABC＝70°，则AD＝______，CD＝_______，∠ADC＝______，∠BCD＝_______，△COD的周长为______．3．在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm，则对角线BD的长为_______，点A到对角线BD的距离为_______．4．如图，△OCD是由△OAB旋转得到的，那么∠B的对应角是_______，线段CD和线段_______是对应线段，旋转中心是_______，旋转角是_______．5．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点A处，两条直角边分别与CD交于点F，与CB的延长线交于点E，则四边形AECF的面积是_______．6．如图，在□ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE 向上翻折，点A正好落在CD上的点F处，若△FDE的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC的长为_______．7．菱形的两条对角线长分别是6 cm和8 cm，则菱形的周长是_______，面积是_______．8．矩形的两条对角线的夹角为60°，较短边的长为12 cm，则对角线长为_______cm．9．梯形的两底长分别为6 cm和8 cm，则中位线长为_______cm．若梯形的一底长为6 cm，中位线长为8 cm，则另一底长为_______cm．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE．四边形ACEF 是什么形状的四边形？并说明理由．11．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点，猜想四边形EHFG的形状，并说明理由．12．如图，AB∥CD，∠ACB＝90°，E为AB的中点，CE＝CD，DE与AC相交于点F．则DE、AC有怎样的位置关系？并说明理由．。
第3章 代数式 小结与思考 教案(2)
班级： 姓名：【学习目标】：在上节课的基础上继续复习规律题，方案类应用题，绝对值的化简题；掌握找规律的基本 花纹，其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻．若链子上有35个黑色六边形，则此链子共有几个白色六边形 （ ） A 、140 B 、142 C 、210 D 、2124、四个电子宠物排座位，一开始，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1，2，3，4号座位上（如图所示），以后它们不停地变换位置，第一次上下两排交换，第二次是在第一次换位后，再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换…这样一直下去，则第2005次交换位置后，小兔所在的号位是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 5、下图是某同学在的小房子：观察图形的变化规律，则第n 个小房子的块数为 个． 6、(1)当a>0时，|a|= ；当a<0时，|a|= 。
(2)当a>b 时,|a-b|= ；当a<b 时,|a-b|= 。
典型例题：例1、小时候我们就用手指练习过数数，一个小朋友按图中的规则练习数数，数到2009时应对应的指头是（ ）A 、大拇指B 、食指C 、中指D 、无名指例2、一质点P 从距原点1个单位的A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点A 1处，第二次从A 1点跳动到O A 1的中点A 2处，第三次从A 2点跳动到OA 2的中点A 3处，如此不断跳动下去，则第n 次跳动后，该质点到原点O 的距离为 。
例3、在小方格纸上按下面的方式涂色。
……① ② ③ ④（1）填写下表（2）像这样，第n 个图形要涂色的小方格数是 ，第100个图形要涂色的小方格数是 。
例4、化简|b a +|—|a b -|+|b a --|。
苏科版初二数学第三章勾股定理小结与思考(2)
怀文中学2013—2014学年度第一学期教学设计初 二 数 学 第三章小结与思考2主备：叶兴农 审校 ：吴树荣 日期：2013年10月22日教学目标：掌握勾股定理及其逆定理的内容，会利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。
教学重点：勾股定理及其逆定理的应用 教学难点：勾股定理及其逆定理的应用． 教学内容： 一、自主探究1.已知：如图，在Rt △ABC 中 ，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边． 问题1：直角三角形的周长 问题2问题3：直角三角形的角的关系问题4：直角三角形的边的关系2.已知：如上图，在△ABC 中 ， a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边． 问题1：从角来判断： 问题2：从边去判断：二、自主合作3.在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
4. 在Rt △ABC ，∠C=90°，c=25，a ：b=3：4，则a= ，b= 。
5.下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是( )A ．1.5，2，3 B. 8，15，17 C ．6，8，10 D. 3，4，5 6.如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆形水杯中，设筷子露在外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是三、自主展示7.已知，如图、∠ACB=90°，AD=BD, AB=5cm,AC=3cm.求BD 的长8.已知：如图，在△ABC 中，90ACB ∠=，10AB cm =，8BC cm =，CD AB ⊥于D ，求CD 的长．hDCBA四、自主拓展9.已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD 的面积。
10.如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm ，CD=12cm ，DA=13cm ，且∠ABC=90°，求四边形ABCD 的面积.11.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如下图，据气象观测，距沿海城市A 的正南方向260千米B 处有一台风中心，沿BC 的方向以15千米／时的速度向D 移动，已知AD 是城市A 距台风中心的距离最短，且AD ＝100千米，求台风中心经过多长时间从B 点移到D 点?五、自主评价课堂小结：布置作业：：课本习题P91第3题. 教学反思：ABCD。
苏科版八年级上册课件 第3章 勾股定理《小结与思考》(共14张PPT)
C s3 s
1
A B
s2
2021/4/18
9
综合运用 解决问题
变式：如图，分别以三角形ABC的三边为腰向 外作等腰直角三角形，其面积分别为S1、S2、S3, 且S1+S3=S2，试判断△ABC的形状。
C s3 s
1
勾股定理
互逆定理
勾股定理 的逆定理
直角三角形边 长的数量关系
直角三角 形的判定
2021/4/18
4
基础训练 巩固知识
练习1 在Rt△ABC中，已知a=5, b=12， ∠C=90°，则第三边c的长为 13 ．
．变式 在Rt△ABC中，已知a=5，b=12，则 第三边c的平方为 169或119 .
2021/4/18
A时 B时
2021/4/18
图2
14
苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，蜘蛛究
竟应该沿着怎样的路线爬上去，所走的路程会最短，
并求最短路径．
H G
BFBiblioteka B2021/4/18
D
A
C
E 12
课堂检测
1. 如图阴影部分是一个正方形，则此正方形的
面积为
.
2021/4/18
13
课堂检测
2. 如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B 时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂 直，则树的高度是多少m？
天凿隧道0.3 km，问几天才能把隧道凿通？
2021/4/18
7
综合运用 解决问题
例1 如图所示，在矩形ABCD中，AB=16， BC=8，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且 CE与AB交于点F，求线段AF的长。
八年级上册数学第三章知识点总结
第一篇嘿，小伙伴们！今天咱们来聊聊八年级上册数学第三章的那些知识点哟！先来说说位置与坐标。
你得知道平面直角坐标系这个超级重要的东西，就像给每个点都安了个家，有了它咱们就能准确找到每个点的位置啦。
横的叫 x 轴，竖的叫 y 轴，交点就是原点，记住原点的坐标是(0, 0)哟。
还有不同象限里点的坐标特点也得记住。
第一象限里的点，横坐标和纵坐标都是正数，那叫一个“正正得正”，开心得很。
第二象限呢，横坐标是负数，纵坐标是正数，一负一正，有点调皮。
第三象限，横纵坐标都是负数，惨兮兮的。
第四象限，横坐标正数，纵坐标负数，也是一正一负。
坐标平移也蛮好玩的。
向左平移，横坐标就减；向右平移，横坐标就加。
向上平移，纵坐标加；向下平移，纵坐标减。
可别弄混啦！关于轴对称和中心对称，也得好好琢磨琢磨。
轴对称就是沿着一条线对折，两边能完全重合。
中心对称呢，是绕着一个点旋转 180 度能重合。
怎么样，这些知识点是不是还挺有趣的？好好掌握，数学可难不倒咱们！第二篇亲爱的小伙伴们，咱们又见面啦，今天来唠唠八年级上册数学第三章的知识点哟！这一章啊，讲了好多和位置坐标相关的有趣东西。
你想想，平面直角坐标系就像一个大棋盘，每个点都能在上面找到自己的位置。
比如点(3, 4)，就表示在 x 轴上走 3 个单位，y 轴上走 4 个单位。
然后呢，不同象限里的点可有不同的特点哦。
第一象限里的点，都是正数组合，就像阳光灿烂的日子。
第二象限，负正组合，有点小特别。
第三象限，全是负数，感觉有点小可怜。
第四象限，正负组合，也挺有个性的。
再说坐标平移，这就像是让点在棋盘上走来走去。
往左走，横坐标变小；往右走，横坐标变大。
往上走，纵坐标变大；往下走，纵坐标变小。
可别搞错方向哟！还有对称这一块，轴对称图形美美的，沿着对称轴对折两边一样。
中心对称呢，绕着中心点转个圈能重合，也很神奇是不是？这一章的知识点虽然有点多，但只要咱们用心去理解，多做几道题练练手，肯定能轻松拿下！加油呀小伙伴们！。
北师大版数学八年级下册：3章回顾与思考(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们回顾了分式、函数和几何图形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
5.章节综合练习：
a.分式的化简与求值
b.函数解析式的求解与应用
c.几何图形的绘制与性质分析
d.实际问题中的函数与几何应用题
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过回顾分式、函数、几何图形的性质与判定，使学生掌握严密的逻辑推理方法，提高解决问题的能力。
2.培养学生的数据分析能力：让学生在解决实际问题时，能够运用所学函数知识进行数据整理、分析，并得出结论。
3.培养学生的空间想象能力：通过几何图形的绘制与分析，激发学生的空间想象力，为后续几何学习奠定基础。
4.培养学生的数学建模能力：引导学生利用所学知识解决实际问题，建立数学模型，提高解决实际问题的能力。
5.培养学生的数学抽象能力：让学生在探讨函数性质、几何图形性质的过程中，学会从具体实例中抽象出一般性规律，形成数学抽象思维。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要回顾分式、函数和几何图形的基本概念。分式是表示两个整式之间除法关系的表达式，它在比例计算、化学方程式等领域有重要应用。函数是描述两个变量之间依赖关系的数学模型，它在日常生活和科学技术中无处不在。几何图形则是我们认识世界、构建空间的基础。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，通过分析一次函数图像，我们可以了解商品价格与销售量之间的关系，为商家制定销售策略提供依据。
苏科版八年级数学上册《3章 勾股定理 小结与思考》公开课课件_2
第三章 勾股定理
【考点一：勾股定理及其验证】
3.用4张全等的直角三角形拼成如图所示 的正方形，试证明：a2 b2 c2
b
c
a
第三章 勾股定理
【当堂检测】
1.在Rt△ABC中，AC＝6，影部分面积为 ( A )
A． 24
B．24π
C．25 D．25π
2
2
第三章 勾股定理
【当堂检测】
2.如图所示,一根长2.5米的木棍(AB),斜靠在与地面 (OM)垂直的墙(ON)上,此时OB的距离为0.7米，设木 棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右 滑行。 (1)如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底 端B向外移动多少距离? (2)请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否 变化，并简述理由。
第三章 勾股定理
【考点二：勾股定理的逆定理】
1.下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是( D ) A. a=3，b=4，c=5 B. a=1.5，b=2，c=2.5 C. a=5, b=12, c=13 D. a=6， b=7，c=8
2.请你写出一组勾股数__3_，_4_，__5_（_答__案不唯一）
知识延伸：
已知，在△ABC中，三条边长分别是a、 b、c，且a=n2−1，b=2n，c=n2+1(n>1)， 试判断△ABC的形状，并证明你的结论
第三章 勾股定理
【考点三：勾股定理的应用】
1.如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面3 米处折断，树的顶端落在离树杆底4米处，那么这 棵树折断之前的高度是____8___米．
3.4 小结与思考
B A
C
Dl
活动四、用勾股定理解决实际问题
1、葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光， 其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上.如果把树干看 成圆柱体，它的底面周长是12㎝，当一段葛藤绕树干盘旋1圈 升高9㎝时，这段葛藤的长是多少？
2、如图，某学校(A点)与公路(直线l)的距离为300米，又与 公路车站(D点)的距离为500米，现要在公路上建一个小商店 (C点)，使之与该校A及车站D的距离相等， (1)试用直尺和圆规在图中作出点C(不写作法，保留痕迹)； (2)求出商店C与车站D之间的距离.
D l
A
A
B
D
C
活动三、用勾股定理解决几何图形的计算问题
1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BD＝5
A
，CD＝3，则AC＝ .
B
DC
2、已知：在△ABC中，AB＝15，AC＝20，边BC上的高AD＝
12，求BC的长.
3、如图，点A、B在直线l同侧，到l的垂线段AC＝1㎝，BD ＝3㎝，CD＝3㎝，如果点P在l上运动，那么点P在什么位置 时，线段PA与PB的和最短？PA＋PB的最小值是多少？
x
9
y
10
15
24
第1题
第2题
活动一、勾股定理
3、我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的 直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如
果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形
的两直角边分别为a、b，那么(a＋b)²的值是
．
活动二、勾股定理逆定理、勾股数
1、下列各组数中，不是勾股数的是( )
初中
【知识网络】
3第三章小结与思考2备课稿
江苏省盐城中学（教育集团）备课笔记备课时间：2018年11月2日（星期五）教学过程一次备课3.（课本93页第17题）如果代数式ba35+的值为-4，那么代数式()()baa+++24b2的值是多少？【学生活动】独立完成并小组交流自己的想法，进一步感受整体思想在解题中的优越性。
【教师活动】教师巡视，适当指导学生的解题。
【设计意图】让学生再一次感受整体的思想。
活动二：特殊到一般的思想1.（课本92页第10题）用正方形的白色水泥砖和灰色水泥砖按如图所示的方式铺人行道（1）图①中有灰色水泥砖块，图②中有灰色水泥砖块，图③中有灰色水泥砖块；（2）依次铺下去，第n个图形中有灰色水泥砖块．【学生活动】独立完成并小组交流自己的想法，感受由特殊到一般的数学思想。
【教师活动】教师巡视，适当点拨。
【设计意图】让学生感受特殊到一般的思想在解题中的应用。
2.（课本92页第11题）3个朋友在一起，每两人握一次手，他们一共握了几次手？4个朋友在一起呢？n个朋友在一起呢？【学生活动】独立完成并小组交流自己的想法，进一步感受由特殊到一般的数学思想。
【教师活动】教师巡视，适当点拨。
【设计意图】让学生再次感受特殊到一般的思想。
当待求值的式子不能直接代入求值时，可设法将其进行适当的整理变形，再利用整体代入的方法求值。
先从前几个简单的图形入手，观察图形的特点，将图形问题转化为一列数的问题，然后由这一列数找规律，或者观察图形的结构特点，归纳相对于某个基本图形的递推规律，从而将图形转化为一列数或等式，找出变化规律，进而推出一般性的结论。
先从前几个简单的问题入手，得出一列数，然后由这一列数找出一般性规律，活动三：函数的思想 1.填表，并回答问题：x－2 －1 0 1 2 23-x 6+-x（1）随着x 的值增大，代数式23-x 、6+-x 的值怎样变化？ （2）当x 为何值时，代数式23-x 与6+-x 的值相等？ （3）当x 为何值时，代数式-x+6的值为1？【学生活动】每组6位同学分成两小组完成（每三个同学计算一行）并组内共享计算的结果，再根据表格中的结果初步感受函数的思想。
2019-2020学年八年级数学 第三章 小结与思考导学案(2) 苏科版.doc
2019-2020学年八年级数学 第三章 小结与思考导学案（2） 苏科版
复习内容：第三章内容 复习目标：（1）通过复习平行四边形及特殊的平行四边形的性质及判定方法进一步巩固对平行四边形及各种特殊平四边形性质和判定的运用 （2）掌握三角形，梯形中位线性质并能灵活运用。
一、复习
正方形之间的关系： 2、各种四边形判定
3、各种平行四边
形性质，在具有的性质的空格中打“√”
对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分 二、例题讲解
如图：四边形ABCD的对角线相交于点O，
且AD∥BC ，AD=BC请补充2个条件，
使四边形ABCD为正方形，并说明理由。
三、小结
能对几何证明题的解题过程有所了解，自己能独立写出过程吗？
四、课后作业
小练习册P60至63
五、课堂作业
在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过点O作直线MN//BC, 设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）说明EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并说明你的结论．
A
E
B C
F
O N M
D。
苏科版八上 第三章小结与思考 教案
1、已知四边形ABCD，考虑条件（1）AB//CD（2）BC//AD（3）AB=CD（4）∠A=∠C（5）∠B=∠D.任取上述条件中的两个，问：能否得出四边形ABCD是平行四边形的结论？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。（分析：若将给出的5个条件盲目地取2个加以搭配，势必出现重复或遗漏的情况。因此，我们可以先将5个条件中任取2个条件的所有可能的搭配情况列举出来，然后再一一判断能否得出四边形ABCD是平行四边形的结论。）
年级初二科目数学姓名小段
2005年11月
课题
复习课（二）
课时
2/2
教学目标
1、回顾、思考本章所学的知识及思想方法，并能用自己喜欢的方式行梳理，使所学知识系统化。
2、进一步丰富对平面图形相关知识的认识，能有条理地、清晰地阐明自己的观点。
3、通过“小结与思考”的教学，培养学生归纳、反思的意识。
教学重难点
解：
2、 如图，在三角形ABC中，∠ACB=90度，DE是三角形ABC的中位线，点F在AC的延长线上，且AC=2CF；G在AC上，GE//AB。试说明：（1）四边形AGED是平行四边形吗？并说明理由。（2）三角形EFG是等腰三角形吗?说明理由，若是等边三角形，还需要什么条件？ B
解：
D E
A G C F
2、活动二、 回顾、思考本章所渗透的数学思考方法。
（1）回顾平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判别四边形是平行四边形、矩形、菱形、正方形的条件，三角形、梯形中位线的性质以及他们的探索过程：操作、观察——猜想、探索——说理（有条理地表达）.
（2）对平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质及判别条件的探索过程，渗透了特殊与一般的关系：在图形不断特殊化的过程中，图形的性质越来越多，而判定它的要求则越来越高。
八年级数学下册《第三章-分式(二)》回顾与思考-北师大版
八年级数学下册《第三章分式（二）》回顾与思考北师大版总体说明本节是第二章《分式》的最后一节，占两个课时，这是第二课时，它主要让学生回顾在分式方程解法的基本步骤与解分式方程应用题的基本步骤，让学生能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示，发展学生的符号感．通过螺旋式上升的认识，让学生逐步了解怎样解决现实生活中的实际问题，培养学生的代数表达能力，使学生对实际问题的解决能有更深的认识和更强的数学能力及数学素养．一、学生知识状况分析学生的技能基础：学生已经学习了分式方程及分式方程应用题等有关概念，对解决与分式方程相关的实际问题有了一定的基础与认识．学生活动经验基础：在学习解方程及解决方程的应用题等实际问题的过程中，学生已经经历了观察、探究、讨论等活动方法，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．二、教学任务分析在本章的学习中，学生已经掌握了分式方程和它的应用，本课时安排让学生对本部分内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对就的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的目标是：知识与技能：（1）能熟练地解分式方程；（2）能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示．数学能力：（1）通过解分式方程，使学生了解转化的思想方法；（2）关注对算理的理解，发展学生的代数表达能力，运算能力和有条理地思考问题的能力；（2）提高学生解决实际问题的能力，发展学生的符号感，提高分析问题和解决问题的能力．情感与态度：（1）让学生了解数学与生活是不可分离的，生活是数学的载体；（2）通过经历观察、归纳、类比、猜想等思维过程，进而学会反思自己的思维过程．三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：回顾——做一做——试一试——想一想——反馈练习——课后练习．第一环节 回顾活动内容：1、解分式方程有哪些步骤？2、解分式方程应用题有哪些步骤？活动目的：通过学生的回顾与思考，加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识．教学效果：有了前几节课的学习，学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤有了较清楚的认识与理解．第二环节 做一做活动内容：解下列分式方程：（1）12112-=+x x （2）21315=--+-xx x （3）14145=-+--x x x （4）1613122-=--+x x x 活动目的：通过对分式方程的解答，使学生明白解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程．教学效果：学生能够理解解分式方程的步骤，但有部分学生在去分母时，会出现整数不乘公分母，如第（2）（3）两小题．第三环节 试一试活动内容：1、在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．2、A、B两地相距80千米，甲骑车从A地出发1小时后，乙也从A地出发，用相当于甲1.5倍的速度追赶，当追到B地时，甲比乙先到20分钟，求甲、乙的速度．活动目的：（1）让学生能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示，发展学生的符号感．（2）通过解决生活中的实际问题，提高分析问题和解决问题的能力．教学效果：由于在前一阶段学生已经有了一些解决实际问题的基础，学生在解决比较简单的问题时较好，但也有少数学生很难把生活中的实际问题与数学结合到一起，思维上有一定的障碍．第四环节想一想活动内容：某顾客第一次在商店买了若干件小商品花去了5元，第二次再去买该小商品时，发现每一打（12件）降价0.8元，他这一次购买该小商品的数量是第一次的两倍，这样，第二次共花去2元，问他第一次买的小商品是多少件？活动目的：通过螺旋式上升的认识，进一步发展学生的符号感，提高解决实际问题的能力．教学效果：学生对抽象思维较难理解，但可以进行现场模拟这个情景，使学生从感性认识中发展到抽象思维，让大多数学生能够找到解决问题的钥匙．第五环节反馈练习活动内容：1、选择题：（1）一个工人生产零件，计划30天完成，若每天多生产5个，则在26天里完成且多生产10个，若设原计划每天生产x个，则这个工人原计划每天生产多少个零件？根据题意可列方程（）A 、2651030=+-x xB 、2651030=++x xC 、1026530+=+x x D 、31802180=--x x （2）几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设参加旅游的学生共有x 人，则根据题意可列方程 （ ）A 、32180180=+-x x B 、31802180=-+x x C 、32180180=--x x D 、31802180=--xx 2、解下列方程：（1）2121x x x+=+ （2）4223=-+-x x x 3、某厂第一车间加工一批毛衣，4天完成了任务的一半，这时，第二车间加入，两车间共同工作两天后就完成了任务并超额完成任务的121，求第二车间单独加工这批毛衣所用的天数． 活动目的：通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求．教学效果：部分学生能举一反三，较好地掌握分式方程及其应用题的有关知识与解决生活中的实际问题等基本技能．第六环节 课后练习课本第96页复习题第4、9、10、11题；四、教学反思数学来源于生活，并应用于生活，让学生用数学的眼光观察生活，除了用所学的数学知识解决一些生活问题外，还可以从数学的角度来解释生活中的一些现象，面向生活是学生发展的“源头活水”．在解决实际生活问题的实例选择上，我们尽量选择学生熟悉的实例，如：学生身边的事，购物，农业，工业等方面，让学生真切地理解数学来源于生活这一事实。
2019-2020学年八年级数学上册第三章回顾与思考教案（新版）北师大版.doc
2019-2020学年八年级数学上册第三章回顾与思考教案（新版）北师大版.doc2019-2020学年八年级数学上册第三章回顾与思考教案（新版）北师大版1．.熟练掌握本章的知识网络结构及相互关系，在现实情境中灵活地运用不同的方式确定物体的位置2．会建立适当的直角坐标系，在此坐标系中会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标.3．通过描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，发展学生的数形结合意识，合作交流意识.教学重、难点：理解平面直角坐标系的有关概念，根据点的位置写出点的坐标，由点的坐标描出点的位置，建立适当的直角坐标系，写出图形各顶点坐标，掌握图形变换与点的坐标的变化之间的相互关系．教法及学法指导：复习本单元知识，将以由浅入深的练习为主线，通过精选典型例题指导学生练习，充分暴露学生的思维过程，发现学生在学习过程中的问题和疑惑，一方面巩固基础知识，一方面解决新问题，促进学生在该知识点的发展，帮助学生形成完整的知识结构，达到复习的目的.教学时首先对本章知识进行一个简单的测试以便教师了解学生的掌握知识的情况，然后再侧重于解题方法的指导，思路灵活多样，充分调动学生的积极性，引导学生从问题出发再通过典型的例题讲解进一步巩固所学知识，增强学生对知识的综合应用能力.发扬学生的自主探究、合作交流的意识，培养学生自学能力及参与意识．课前准备：多媒体课件，三角板等教具准备教学过程：一、复习回顾，梳理知识几个概念：1、平面内，确定点的位置一般需要______个数据：如确定座位用______、_____ 表示，确定战舰位置用_____+_____表示，地图上的城市用_______、_______表示，方格纸上的点用_______向、______向位置表示等．2、在平面内，两条______ 且______的_____组成平面直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于______位置与_____位置，取向_____与向_____ 的方向分别为两条数轴的正方向，水平的数轴叫做_____ 轴或_____ 轴，铅直的数轴叫做_____ 轴或_____ 轴，两条数轴的交点O称为直角坐标系的_____ 。
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第三章 中心对称图形（一）小结与思考（第2课时） 审核人:赵友忠、夏建平【目标导航】1. 复习平行四边形、矩形、菱形、正方形性质和判定，进一步巩固所学知识，并用所学知识解题.2. 复习三角形的中位线和梯形的中位线的概念和性质，进一步巩固所学知识，并用所学知识解题.3. 通过具体习题的辅导，帮助学生进一步熟悉、巩固所学的知识、技能和方法，加深对相关知识、方法的理解和应用.【要点梳理】1. 平行四边形（1）平行四边形的定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.记作：□ ABCD ，读作平行四边形ABCD.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. （2）平行四边形的性质：________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ （3）平行四边形的判定：________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 2. 矩形（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，通常也叫长方形. （2）矩形的性质：________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ （3）矩形的判定：________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 3. 菱形（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. （2）菱形的性质：________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ （3）菱形的判定：________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ （4）菱形的面积：S 菱形＝21AC·BD 4. 正方形1、正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2、正方形的性质：①正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质.②正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点. 3、正方形的判定：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ②有一组邻边相等矩形形是正方形；③有一个角是直角的菱形是正方形.5. 三角形的中位线： ⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． ⑵三角形中位线的性质 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 梯形的中位线⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线. ⑵梯形中位线的性质梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.【问题探究】知识点1.正方形的判定（重点，掌握）例1．如图：四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ∥BC ，AD ＝BC 请补充2个条件，使四边形ABCD 为正方形，并说明理由. 解:知识点2.菱形的性质（重点，掌握） 例2．如图：在菱形ABCD 中，∠B = 60°，点E 、F 分别在AB 、AD 上，且BE = AF .你能说明 △ECF 是等边三角形吗？解:知识点3.矩形的判定（重点，掌握） 例3．如图，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交外角∠DCA 的平分线于点F ．（1）猜想线段OE 与线段OF 的关系，并说明理由．（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？为什么？解:DF ABA CD 知识点4.正方形、矩形的性质（重点，掌握）例4．如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是AC 上的点EG ⊥BC ，EF ⊥AB ，（1）试猜测DE 与FG 关系如何？并说明理由.（2）如果正方形ABCD 的边长为4㎝，求四边形BGEF 的周长解:知识点5.三角形中位线的性质（重点，掌握）例5．如图，等腰梯形ABCD 对角线交于点O ,点E 、F 、G 分别是AO 、BO 、DC 的中点，∠AOD =60°，试说明△EFG 是等边三角形. 解:【课堂操练】1. 在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆这6种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）（A ）6种 （B ）5种 （C ）4种 （D ）3种2. 已知△ABC 的中线BE 、CF 相交于点O ，M 、N 分别是OB •、•OC •的中点，•则四边形EFMN 是_______形．3. 矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，E 为矩形 ABCD 外一点，若AE ⊥CE ，求证BE ⊥DE ．4. 在梯形ABCD 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，CD ＝4cm ， AD ＝2cm ，求梯形ABCD 的周长及面积．AB DAEDCBC D5. △ABC 中E 是AB 的中点，CD 平分∠ACD ，AD ⊥CD 与点D ，求证：DE ＝21（BC-AC ）．6. 如图：AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，AE 分别交BD 、BC 于F 、E ，AC 、BD 相交于O ，求证： OF ＝21CE ．7. 如图（1）所示，△ABC 是直角三角形，∠C =90°，现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的2个顶点为矩形一边的2个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出2个，如图（2）所示，这2个矩形的面积和周长都分别相等吗？8. （2010·贵州毕节）如图，已知：平行四边形 ABCD 中，BCD ∠的平分线CE 交边AD 于E ，ABC ∠的平分线BG 交CE 于F ，交AD 于G ．求证：AE DG =．A B C EF G【每章一测】（完成时间：90分钟，满分：120分）一、选择题（每题3分，共24分）1． 下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是 （ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 2． 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线互相平分C ．对角线相等D ．对角线平分一组对角3． 平行四边形的对角线长为x 、y ，一边长为12，则x 、y 的值可能是（ ）A ．8和14B ．10和14C ．18和20D ．10和34 4． 下面说法正确的是（ ）A ．一个三角形中，至多只能有一个锐角B ．一个四边形中，至少有一个锐角C ．一个四边形中，四个内角可能全是锐角D ．一个四边形中，不能全是钝角5． 一个凸n 边形的边数与对角线条数的和小于20，且能被5整除，则n 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．5或66． 如图：在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F .若AE ＝4，AF ＝6，且□ABCD 的周长为40，则ABCD 的面积为 （ ）A ．24B ．36C ．40D ．487． （2010·宁夏回族自治区）点A 、B 、C 是平面内不在同一条直线上的三点，点D 是平面内任意一点，若A 、B 、C 、D 四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D 有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8． （2010·湖南怀化）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝4，∠BAD ＝120°，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．15二、填空题（每题3分，共24分）9． 一个菱形的两条对角线长分别为6cm 、8cm ，则这个菱形的面积S 为___________． 10． 若矩形的一个角的平分线分一边为4cm 和3cm 的两部分，则矩形的周长为__________．11． 把边长为3、5、7的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成____________种不同的四边形，其中有____________个平行四边形． 12． 如图：点E 、F 分别是菱形ABCD 的边BC 、CD 上的点且∠EAF ＝∠D ＝60°，∠F AD ＝45°，则∠CFE ＝___________． 13． 矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为 15，则长边的长为___________．AB EC FD D C（第12题） （第8题）（第14题）14． （2010·江苏苏州）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 边上的中点．若∠ABE ＝∠EBC ，AB ＝2，则平行四边形ABCD 的周长是 ．15． （2010·浙江嘉兴）如图，已知菱形ABCD 的一个内角︒=∠80BAD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在AB 上，且BO BE =，则EOA ∠= 度．16. （2010·上海）已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ＝2，EC ＝ 1（如图所示） 把线段AE 绕点A旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________. E D CBAFF三、解答题（8+8+8+8+8+10+10+12） 17. （2010·浙江嘉兴）如图，在□ABCD 中，已知点E 在AB 上，点F 在CD 上，且CF AE =．（1）求证：BF DE =；（2）连结BD ，并写出图中所有的全等三角形．（不要求证明）18. 如图：□ABCD 中，MN ∥AC ，试说明MQ ＝NP ．19. 矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ．若∠CAE ＝15°，求∠BOE 的度数．DD C B A O E20. 如图：菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB ＝a ．求：① ∠ABC 的度数；② 对角线AC 的长；③ 菱形ABCD 的面积．21. 矩形ABCD 中AB ＝6cm,BC ＝8cm,AE 平分∠BAC 交BC 于E ，CF 平分∠ACD 交AD 于F ．① 说明四边形AECF 为平行四边形； ② 求四边形AECF 的面积．22. 点D 是等腰Rt△ABC 的直角边BC 上一点，AD 的中垂线EF 分别交AC 、AD 、AB 于E 、O 、F ，且BC ＝2．①当CD ＝2时，求AE ；②当CD ＝2（2-1）时，试证明四边形AEDF 是菱形．23. （2010·辽宁丹东市）如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF＝EC ，DE ＝4cm ，矩形ABCD 的周长为32cm ，求AE 的长． 24. （2010·四川眉山）如图，O 为矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ．（1）试判断四边形OCED 的形状，并说明理由； （2）若AB ＝6，BC ＝8，求四边形OCED 的面积．B D BC A E DF【参考答案】【要点梳理】1．①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等；③平行四边形的对角相等；④平行四边形的对角线互相平分.①2组对边分别平行的四边形是平行四边形；②2组对边分别相等的四边形是平行四边形；③2组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.2．①矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；②矩形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是对边中点连线所在直线，有两条，对称中心是对角线的交点.③矩形的对角线相等；④矩形的四个角都是直角①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有3个角是直角的四边形是矩形.3．①菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；②菱形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，对称中心是对角线的交点.③菱形的四条边相等；④菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【问题探究】例1．（1）AB = AD，AB⊥AD；（2）AB = AD，AC = BD；（3）AB⊥AD，AC⊥BD等，都可以说明四边形ABCD 是正方形例2．因为四边形ABCD是菱形，所以AB = BC = CD = DA，又因为∠B = 60°，所以△ABC、△ACD都是等边三角形，所以BC = A V，∠B = ∠CAD = 60°，又因为BE = AF ，所以根据“SAS”得：△CBE≌△CAF，从而得：CE = CF、∠BCE = ∠ACF，又因为∠BCA =60 °，所以∠ECF= 60°，所以△ECF是等边三角形例3．（1）OE=OF，提示：∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC；（2）O•为AC中点时，此时AC、EF互相平分，又可证∠ECF=90°，故为矩形例4．DE=FG，8例5．可证三边相等【课堂操练】1. C2. 平行四边3.提示：连结OE，证OE＝OA，又OA＝OB＝OC＝OD，则OE＝OB＝OD即得；4.周长为10+6+5.提示：延长AD交BC于F，说明AC＝CF，DE是△ABF的中位线；6.提示：过O点作OP∥BC交AE于P，则OP＝12CE，再证OP＝OF.7.面积相等；以AB为边的矩形周长最小（如图），作CG⊥AB，则AB·CG=AC·BC．设矩形ACBD、AEFB的周长分别为L1、L2，BC=a，AE=b，且a<b．因为这两个矩形的面积相等，设其面积为S ，则有：L 1=2S a +•2a ，L 2=2S b+2b ， 因为L 1-L 2=2S a +2a-（2S b +2b ）=2（a-b ）·ab Sab-，又因为ab>S ，a>b ，所以L 1-L 2<0，即L 1<L 2，•所以以AB 为边的矩形周长最小．8. 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形（已知），AD BC ∴∥，AB CD =（平行四边形的对边平行，对边相等） GBC BGA ∴∠=∠，BCE CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 又∵ BG 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠（已知）ABG GBC ∴∠=∠，BCE ECD ∠=∠（角平分线定义） ABG GBA ∴∠=∠，ECD CED ∠=∠．AB AG ∴=，CE DE =（在同一个三角形中，等角对等边） AG DE ∴=AG EG DE EG ∴-=-，即AE DG =．【每章一测】 1．A 2．C 3．C 4．D 5．D 6．D 7．C 8．C9． 24cm 210．22㎝或20cm 11．6、3 12．45°13．14．1215．2516. CF=1或517.（1）在□ABCD 中，AB //CD ，AB =CD ．∵AE =CF ，∴BE =DF ，且BE //DF ．∴四边形BFDE 是平行四边形．∴BF DE =．（2）连结BD ，如图，图中有三对全等三角形：△ADE ≌△CBF ，△BDE ≌△DBF ，△ABD ≌△CDB ． 18. 提示：先证AMQC 为平行四边形，得AC ＝MQ ，再证APNC 为平行四边形，得AC ＝NP ； 19.∠BOE＝75°；20. ①∠ABC＝120°②BD＝③22a21. ①（略）②平行四边形AECF 的面积等于30BE22. ①AE＝32②提示：过D 作DG⊥AB 于G ，通过计算得DG ＝CD ，则AD 平分∠CAB，从而得证. 23. 解：在Rt △AEF 和Rt △DEC 中， ∵EF ⊥CE ， ∴∠FEC =90°，∴∠AEF +∠DEC =90°，而∠ECD +∠DEC =90°， ∴∠AEF =∠ECD ． 又∠F AE =∠EDC =90°．EF =EC ∴Rt △AEF ≌Rt △DCE ． AE =CD ． AD =AE +4．∵矩形ABCD 的周长为32 cm ， ∴2（AE +AE +4）=32． 解得， AE =6 （cm ）． 24. 解：（1）四边形OCED 是菱形．∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 是平行四边形，又 在矩形ABCD 中，OC =OD ， ∴四边形OCED 是菱形．（2）连结OE ．由菱形OCED 得：CD ⊥OE ， ∴OE ∥BC 又 CE ∥BD∴四边形BCEO 是平行四边形 ∴OE =BC =8∴S 四边形OCED =11862422OE CD ⋅=⨯⨯=DC BAOE。