高等数学竞赛辅导

n1
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4.用定积分（二重积分）、导数 定义求极限：
n 1 n 例1 lim 2 lim 2 n n n k 1 n k k 1
n
1 1 dx 1 arc tan x k 2 0 1 x2 0 4 1 ( ) n
1 1 例2 求极限 lim n n 1 n 2
xn1 xn xn (3 xn ) xn xn ( 3 xn xn ) 0
{ xn }单调增加 lim xn l 存在
n
在xn1 xn (3 xn )两边取极限 l l (3 l )
3 l 2
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二、分段函数（连续、求导）
x 2 e n( x 1) ax b 例 设f ( x ) lim ，讨论f ( x )的连续性与可导性. n ( x 1) n 1 e
1) 构造F ( x ) f ( x ) (1 x ), 证明 是其零点.
F (0) 1, F (1) 1.
2) f ( x )在[0, ], [ , 1] 上分别用中值定理，
联系几何意义.

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1 例5 设f ( x )在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，f (0) f (1) 0, f ( ) 1， 2 1 证明： 1) ( , 1), 使得f ( ) ； 2 2) (0, ), 使得f '( ) f ( ) 1.（1届决赛 12分）
令F ( x ) e x [ f ( x ) x ] 证明F ( x )存在稳定点.
1 1 1 2 F (0) 0, F (1) e , F ( ) e . 2 2
0
1 2
1
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3、如果要证明的等式含有两个函数 f , g ，先化为一端为 0，再积分求 F ( x) .
1 n n
1 1 1 lim n n 1 2 1 1 n n
1 1 1 dx ln 2. n 0 1 x 1 n
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例3 设f ( x )在x 1的附近有定义，且在x 1处可导，f (1) 0, f (sin 2 x cos x ) f '(1) 2，求极限 lim . 2 x0 x x tan x
1]
x
e 2 ln(1 x ) x
e 2 ln(1 x ) lim e2; x 0 x
2 x
lim
x 0
e 2 [e
2 ln(1 x ) x
2
1]
x
2
ln(1 x ) 2 e lim x 0 x
2
ln(1 x ) x 2 2e lim e x 0 x2
f (sin 2 x cos x ) 解： lim x 0 x 2 x tan x f (1 sin 2 x cos x 1) f (1) sin 2 x cos x 1 = lim 2 x 0 sin x cos x 1 x 2 x tan x
sin 2 x cos x 1 cos x(1 cos x ) f '(1) lim 2lim 2 x 0 x 0 x 2 x tan x x x tan x 1 2 x x 2 lim 2lim 2 x 0 x tan x x 0 x x tan x
4、如果要证明存在一点 ，使得 f "( ) 0 ，一般都要对 f '( x) 应用罗尔定理
例 3 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续， (a, b) 内二阶可导，连接两点 A(a, f (a)), B(b, f (b)) 的直线交曲线 f ( x) 于点 C (c, f (c)) ，且 a c b ，证明在 (a, b) 内至少存在一点 ， 使得 f "( ) 0 .
1 证明： 1) 取F ( x ) f ( x ) x，在[ , 1]用零点定理； 2
2) 取G ( x ) e x f ( x ) x ，在[0, ]上用罗尔定理.
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例6 设f ( x )在( , )内具有二阶导数，f "( x ) 0， lim f '( x ) 0,
x , x 1; 1 a b 解：f ( x ) , x 1; 2 x 1. ax b,
2
f (1) 1, f (1) a b, 1 a b f (1) 2
当a b 1时， f ( x )在x 1处连续.
当a b 1时， f '(1) 2, f '(1) a ,
k k 3 3 n1 k 3 3 n1 3 3 (1 ) 6 3 2 0( n ). 6 n 6n 3n k 1 k 1 3n k 1 3n
n1
k k 5 lim (1 )sin 2 . n n 6 n k 1
5
k k 例 lim (1 )sin 2 n n n k 1
n1
1 3 1 5 sin x x x x 3! 5!
n1
k k 3 3 k k 2 sin 2 2 6 n 6n n n
n1 1 k k k k 5 lim (1 )sin 2 lim (1 ) 2 (1 x ) xdx , 0 n n n n 6 n n k 1 k 1
x x
lim f '( x ) 0, 且存在一点x0，使得f ( x0 ) 0.
证明方程f ( x ) 0在( , )内恰有2个实根. (2届预赛 15分)
lim
1 1 x0 tan x 2 1 x
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5.由递推关系求极限
例 设 0 x1 3 ， xn1 xn (3 xn ) ，证明 lim xn 存在，并求其值。
n
解： 0 xn 1
xn (3 xn ) 3 xn (3 xn ) { xn }有界 2 2
a 1 c 2 b
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5、如果要证明存在两点 , 满足 F ( f '( ), f '( )) 0 ，一般要在不同的 区间上用两次拉格朗日中值定理。
例4 设 f ( x) 在[0, 1]上连续，（0, 1）内可导，且 f (0) 0 ， f (1) 1 ，
证明：（Ⅰ）存在 (0, 1) ，使得 f ( ) 1 ； （Ⅱ）存在 , (0,1) ， ，使 f ( ) f ( ) 1 。
1 ln(1 x ) x
sin x 例 计算 lim x 0 x
1 1 cos x
.
1 1 cos x
=e .

1 3
sin x 先取对数， lim ln x 0 x
sin x sin x ln 1 1 ln x x lim lim x 0 x 0 1 cos x 1 2 x sin x 2 1 1 x lim x0 1 2 3 3 x 2
当 a 2, b 1时， f ( x )在x 1处可导.
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二、分段函数（连续、求导）
分段函数导数的计算，各区间内部用导数公式求导；
而在分点处，则需用导数定义计算两个单侧导数。若函
数在分点处连续，其单侧导数仍可以直接利用导数公式 求导。
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三、微分中值定理及应用（含泰勒公式、积分中值定理）
1 例 2 设 f ( x) 在 [0, 1] 上连续，在（0，1）内可导， f (0) f (1) 0 ， f ( ) 1 ， 2
试证：对任意实数 ，存在 (0,1) ，使得 f ( ) [ f ( ) ] 1 .
分析：f ( ) [ f ( ) ] 1 f ( ) 1 [ f ( ) ] 取( x ) f ( x ) x，恰满足 '( x ) f '( x ) 1.
0
1 2
1
1 1 F (0) 0, F (1) 1, F ( ) . 2 2
பைடு நூலகம்
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2、当要证明的结论里既有 f ( ) ，又有 f '( ) 时，一般都取 F ( x) e x( x) 。
因为 F '( ) e ( ) e '( ) e [( ) '( )] ，再根据问题确定 , ( x) .
1、应用罗尔定理证明 的存在性，关键在于要找出 f ( x) 在两点的函数值相等。
应用罗尔定理证明 （ f '( ) k 0 ）的存在性，把 f '( ) k 中的 换为 x ，两边对 x 积分， 构造出 F ( x) f ( x) kx ，再找出对 F 函数值相等的两点。
2
1 n 例 计算 lim n (1 ) e n n
1 1 1 e e n x lim n (1 ) e lim (1 x ) e lim n n x x 0 x x 0 1 1 ln(1 x ) 1 ln(1 x ) 1 e e(e x 1) x . lim e lim x 0 x 0 2 x x
1 例 1 设 f ( x) 在[0,1]上连续，在(0，1)内可导，且 f (0) f (1) 0, f ( ) 1 ， 2
证明 存在 (0, 1) 使 f ( ) 1 。
F ( x)
分析:由f '( x ) 1积分得f ( x ) x , 构造F ( x ) f ( x ) x , 证明F ( x )存在稳定点.
(1 x ) e 2 (1 ln(1 x )) 例 lim . x 0 x (1 x ) e 2 (1 ln(1 x )) e x
e 2 [e
2 ln(1 x ) x
2 x
2 x
2 ln(1 x ) x
e 2 e 2 ln(1 x ) x
2
(1 x ) e 2 (1 ln(1 x )) lim 0. x 0 x
4
2 x
1 x 4 例 lim x 5 x5
1 ( x 5) 1 1 ( x 5) 1 2 lim lim x 5 x 5 x5 x5 2 2 x ex 1 x 2 3.应用泰勒公式 例 lim x 0 x3 2 3 x x ex 1 x 0( x 3 )， 2 6 3 2 x x x 0( x 3 ) e 1 x 1 6 2 lim lim 3 3 x 0 x 0 6 x x
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1
一、极限的计算
1.变量替换
求极限
x 1 x e lim( ) ； lim 10 . x x 1 x 0 x

1 x2
2.等价无穷小替换
常用等价无穷小：
1 2 x arc sin x ~ x，arc tan x ~ x， 1 cos x ~ x ，e 1 ~ x， 2 1 2 ln(1 x ) ~ x， (1 x ) 1 ~ x，ln(1 x ) x ~ x . 2