清华大学线性代数 讨论课3
清华考研书单
清华考研书单清华考研书单是指在准备清华大学研究生考试时需要阅读的书籍清单。
由于清华考研的难度较高，所以考生需要准备一些权威的教材和参考书来进行学习。
以下是一些与清华考研相关的参考书目。
1.《数学分析中的问题》李乃成著这是一本数学分析方向的经典教材，涵盖了大量清华考研数学分析的考点，包括极限、连续、导数、积分等内容。
其深入浅出的解释和大量的习题可以帮助考生巩固知识。
2.《概率论与数理统计》姜启源著这本书是清华大学教材，涵盖了清华考研概率论和数理统计的重要内容。
它以清晰的逻辑顺序和全面的知识体系，帮助考生建立起概率论和数理统计的基本框架。
3.《线性代数及其应用》 Gilbert Strang著线性代数是清华考研的必考科目之一，这本书系统全面地介绍了线性代数的基本概念和主要应用。
其中的数学性质、解题技巧和实例分析等部分对考生的学习和备考非常有帮助。
4.《数据结构（C语言版）》邓俊辉著数据结构是计算机科学与技术方向的重要内容之一。
这本书详细介绍了数据结构的基本概念和常用算法，并给出了大量的习题和实例。
通过学习这本书，考生可以提高对数据结构和算法的理解和掌握。
5.《计算机组成与设计：硬件/软件接口》 David A. Patterson、John L. Hennessy著考生考研计算机科学与技术方向时，需要了解计算机的组成和设计。
这本书详细介绍了计算机系统的硬件和软件接口，涵盖了计算机体系结构、指令集体系、存储器层次结构等内容。
通过学习这本书，考生可以对计算机系统有更深入的理解。
这些书籍只是清华考研的参考书目之一，考生在备考清华考研时还应该结合自身情况选择适合自己的教材和参考书。
此外，考生还可以参考往年的清华考研真题和专业课教材，参加模拟考试和刷题来提高自己的备考水平。
最重要的是合理安排时间和制定有效的学习计划，坚持不懈地学习和练习，才能取得好的成绩。
线性代数(2007年清华大学出版社出版的图书)
线性代数的研究对象是什么?线性代数的研究对象是线性空间，包括其上的线性变换.它与高等代数、近世代 数的研究对象略有所不同.
本书在内容的编排上考虑到下面几点：
1.主要内容以矩阵为主线，以向量和线性方程组为纽带，以矩阵的初等变换为基本方法，将线性代数的主要 内容紧密地结合起来，形成一个有机的整体。
2.结合多年的教学实践，将向量与线性方程组两部分内容分为两章介绍，而非按传统将两部分内容穿插安排。 这样做更能明确主题，便于教学。
感谢观看
13年出版
前言 图书简介
目录
线性代数本书涵盖了教育部非数学专业教学指导委员会最新制定的经济管理类本科数学基础课程教学基本要 求。全书共6章，内容包括行列式、矩阵、向量的线性相关性与秩、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次 型。每章分若干节，章末配有习题，书末附有习题参考答案。
本书可作为高等学校经济管理类、理工类、农学类等专业教材或教学参考书。
线性代数（2007年清华大学 出版社出版的图书）
2007年清华大学出版社出版的图书
01 清大出版
03 07年出版 05 14年出版
目录
02 05年出版 04 13年出版
《线性代数》是2007年5月清华大学出版社出版的图书，作者是陈殿友、术洪亮。
清大出版
目录 1．行列式 2．矩阵 3．线性方程组 4．向量空间与线性变换 5．特征值和特征向量、矩阵的对角化 6．二次型 7．应用问题
05年出版
内容简介
清华大学_运筹学_教案
一、课程概述课程名称：运筹学授课对象：清华大学经管学院管理科学与工程专业研究生授课时长：共16周，每周2学时教学目标：1. 理解运筹学的基本概念、原理和方法。
2. 掌握线性规划、整数规划、非线性规划等运筹学的基本模型和求解方法。
3. 培养学生运用运筹学解决实际问题的能力。
4. 提高学生的逻辑思维、分析问题和创新能力。
二、教学内容与安排第1-2周：运筹学的基本概念与数学基础1. 运筹学的基本概念、发展历程及应用领域。
2. 数学基础：线性代数、概率论与数理统计。
第3-4周：线性规划1. 线性规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 线性规划的求解方法：单纯形法、对偶理论。
3. 线性规划的应用实例。
第5-6周：整数规划1. 整数规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 整数规划的求解方法：分支定界法、割平面法。
3. 整数规划的应用实例。
第7-8周：非线性规划1. 非线性规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 非线性规划的求解方法：梯度法、牛顿法、共轭梯度法。
3. 非线性规划的应用实例。
第9-10周：网络优化1. 网络优化的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 网络优化的求解方法：最短路径法、最小生成树法、最大流问题。
3. 网络优化的应用实例。
第11-12周：动态规划1. 动态规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 动态规划的求解方法：动态规划表、状态转移方程。
3. 动态规划的应用实例。
第13-14周：排队论1. 排队论的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 排队论的求解方法：泊松过程、排队系统分析。
3. 排队论的应用实例。
第15-16周：案例分析1. 结合实际案例，分析运筹学在各个领域的应用。
2. 学生分组讨论，撰写案例分析报告。
三、教学方法与手段1. 讲授法：系统讲解运筹学的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：通过实际案例，让学生理解运筹学的应用。
3. 讨论法：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的思考能力。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。
2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。
3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。
2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。
3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。
4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。
数值分析实验报告-清华大学--线性代数方程组的数值解法
数值分析实验报告-清华大学--线性代数方程组的数值解法(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数方程组的数值解法实验1. 主元的选取与算法的稳定性问题提出：Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。
但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss 消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss 消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。
主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。
实验内容：考虑线性方程组 n n n R b R A b Ax ∈∈=⨯,,编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的Gauss 消去过程。
实验要求：（1）取矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1415157,6816816816 b A ，则方程有解T x )1,,1,1(* =。
取n=10计算矩阵的条件数。
让程序自动选取主元，结果如何？（2）现选择程序中手动选取主元的功能。
每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。
若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。
（3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。
（4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵，计算其条件数。
重复上述实验，观察记录并分析实验结果。
程序清单n=input('矩阵A 的阶数:n=');A=6*diag(ones(1,n))+diag(ones(1,n-1),1)+8*diag(ones(1,n-1),-1); b=A*ones(n,1);p=input('计算条件数使用p-范数,p='); cond_A=cond(A,p) [m,n]=size(A);Ab=[A b];r=input('选主元方式(0:自动;1:手动)，r=');Abfor i=1:n-1switch rcase(0)[aii,ip]=max(abs(Ab(i:n,i)));ip=ip+i-1;case (1)ip=input(['第',num2str(i),'步消元，请输入第',num2str(i),'列所选元素所处的行数：']);end;Ab([i ip],:)=Ab([ip i],:);aii=Ab(i,i);for k=i+1:nAb(k,i:n+1)=Ab(k,i:n+1)-(Ab(k,i)/aii)*Ab(i,i:n+1);end;if r==1Abendend;x=zeros(n,1);x(n)=Ab(n,n+1)/Ab(n,n);for i=n-1:-1:1x(i)=(Ab(i,n+1)-Ab(i,i+1:n)*x(i+1:n))/Ab(i,i);endx运行结果(1)n=10，矩阵的条件数及自动选主元Cond(A,1) =×103Cond(A,2) = ×103Cond(A,inf) =×103程序自动选择主元（列主元）a.输入数据矩阵A的阶数:n=10计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=0b.计算结果x=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T(2)n=10，手动选主元a. 每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元矩阵A 的阶数:n=10计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：1(2)(2) 6.0000 1.00007.00004.6667 1.0000 5.66678.0000 6.000015.0000[]8.00001.000015.00006.0000 1.00008.0000 6.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：2…（实际选择时，第k 步选择主元处于第k 行） 最终计算得x=[, , , , , , , , , ]Tb. 每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元 矩阵A 的阶数:n=10计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：2(2)(2)8.0000 6.0000 1.000015.0000-3.50000.7500-4.250008.0000 6.0000 1.000015.0000[]8.0000 6.000015.00008.0000 1.00006.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：3…（实际选择时，第k 步选择主元处于第k+1行） 最终计算得x=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T(3)n=20，手动选主元a. 每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元 矩阵A 的阶数:n=20计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：1(2)(2) 6.0000 1.00007.00004.6667 1.0000 5.66678.0000 6.000015.0000[]8.00001.000015.00006.0000 1.00008.0000 6.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：2…（实际选择时，第k 步选择主元处于第k 行） 最终计算得x=[，，，，，，，，，，，，，，，，，，，]T b. 每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元 矩阵A 的阶数:n=20计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：2(2)(2)8.0000 6.0000 1.000015.0000-3.50000.7500-4.250008.0000 6.0000 1.000015.0000[]8.0000 6.000015.00008.0000 1.00006.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：3…（实际选择时，第k步选择主元处于第k+1行）最终计算得x=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T(4)A分别为幻方矩阵，Hilbert矩阵，pascal矩阵和随机矩阵简要分析计算(1)表明：对于同一矩阵，不同范数定义的条件数是不同的；Gauss消去法在消去过程中选择模最大的主元能够得到比较精确的解。
经管类34学时《线性代数》教学大纲
经管类34学时《线性代数》教学大纲线性代数（linearalgebra）（34学时）一、简要说明本大纲面向本三批院校农科及经济、管理类各专业，总学时34，学分2分后，线性代数属于必修课程。
二、课程的性质、地位与任务线性代数是讨论有限维空间线性理论的课程，它具有较高的抽象性与逻辑性和广泛的实用性，是高等农业院校教学计划中的一门基础理论课。
由于线性问题广泛存在于技术科学的各个领域，某非线性问题在一定条件下．可以转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科，尤其在计算机日益普及的今天，该课程的地位与作用更显得重要。
通过这门课程的学习，使学生获得该课程的基本知识和必要的基本运算技能，同时使学生在运用数学方法分析问题和解决问题的能力方向面得到进一步的培养和训练，为学习有关专业课程和扩大数学知识面提供必要的数学基础，为培养我国社会主义现代化建设所需要的高级人才服务。
三、教学基本要求和方法在传授科学知识的同时，必须通过各个教学环节逐步培育学生具备一定的逻辑推理能力、抽象思维能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培育学生具备比较娴熟的运算能力和综合运用科学知识回去分析总是问题和解决问题的能力。
四、课程考核方式本课程采用出勤、平时作业和期末考试相结合的方式，满分为100分。
期末考试成绩占考核成绩的60％~70%；出勤、平时作业占考核成绩的30%~40％。
五、授课教材和主要参考书目（一）授课教材《工程数学――线性代数》(第五版)同济大学数学教研室编成，高等教育出版社，2021.5（二）主要参考书(1)《线性代数》张良云主编，高等教育出版社，2021(2)《线性代数》（第三版）赵树主编，中国人民大学出版社，2021(3)《线性代数》陈殿友，之术洪亮编成，清华大学出版社，2021六、教学内容与学时分配（一）理论教学内容第一章行列式(6学时)第一节二阶与三阶行列式第二节全排列及其逆序数第三节n阶行列式的定义第五节行列式的性质第六节行列式按行（列）展开第七节克拉默法则第二章矩阵及其运算(6学时)第一节矩阵第二节矩阵的运算第三节逆矩阵第四节矩阵分块法第三章矩阵的初等变换与线性方程组(8学时)第一节矩阵的初等变换第二节矩阵的秩第三节线性方程组的求解第四章向量组的线性相关性(6学时)第一节向量组及其线性组合第二节向量组的线性相关性第三节向量组的秩第四节线性方程组的解的结构第五节向量空间第五章相似矩阵及二次型(8学时)第一节向量的内积、长度及正交性第二节方阵的特征值与特征向量第三节相似矩阵第四节对称矩阵的对角化第五节二次型及其标准型（二）实验教学内容编写人：信息与机电工程系石志高讲师。
大学《线性代数》第2版(清华大学出版社、居余马)课后习题详细答案-较完整精编版
= 10 ⋅ (−1)
1 1 1 −1 1 1 1 1 1 1
⋅1⋅ 2L 8 ⋅ 9 = 10!
11、
1 1 1 1 1 第2行 − 第1行 1 0 −2 0 0 第3行 − 第1行 = 1*(−2)3 = −8 −1 1 0 0 −2 0 第4行 − 第1行 1 −1 0 0 0 −2
12、该行列式中各行元素之和均为 10，所以吧第 2，3，4 列加到第 1 列，然后再把第 1 列 后三个元素化为零，再对第 1 列展开，即
1 0 0
18、 A = 1 2
0 = 1* 2*3 = 3!，
1 2 3
0 0 B =0
0 0 0
0 0
0 −1 −2 0 0 = (−1) 0 0 0 0
−3 0
5(5 −1) 2
(−1)(−2)(−3)(−4)(−5) = −5!
0 −4 0 −5 0 0
所以
* B
A = (−1)3*5 | A || B |= −3!5! 0
1 a2 可以看出， M 42 = (ab + bc + ca)M 44 ，即 1 b 2 1 c2
1 0 2 a a 0 2 1 a 2 0 b 0 第1，列 4 0 0 b 2 第2， 3行 5 23、 − 3 c 4 5 对换 5 c 4 3 对换 0 d 0 0 0 0 0 0 d 0
a3 1 a a2 b3 = (ab + bc + ca) 1 b b 2 ，得证. c3 1 c c2
所以n2n原式由公式得22n为阶范德蒙行列式nn原式n又1an所以原式31系数行列式njiij100110114220对换114220对换11145130110101112042204211111110114行1201111001111010113行112114行4120对换101110111121412053421001415d410110113210对换014321对换10145145110110011032102143110104行11101114行所以32系数行列式01111011101101011110112行对换011101110100110101001111101111101101014111001110410030010第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行120110000101511121第1行第5行10074第1行第3行111010101000第1行第4行110第1行第2行01111112111410115110第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行0111001101010100111按第1列展开17按第4列44展开14011510第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行1010100001110111100按第1列展开1113按第1列展开01111101111214111150第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行0101000011110101111按第1列0110展开101按第1列展开01111011111241105第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行01010000110111111按第1列展开001101110115按第1列展开所以d4d4d4d4d433因为齐次线性方程组有非零解所以其系数行列式即2111aa1b第2行第1行第3行第1行第4行第1行110100所以34设直线方程由于直线过点所以2
清华大学线性代数讨论课1答案
一、1. 下列命题是否正确 1 x1 x2 1 (1) 1 x2 x2 = (xi − xj ) = (x1 − x2 )(x1 − x3 )(x2 − x3 ) 2 1≤j<i≤3 1 x3 x2 3 答：不正确. 原行列式是 Vandermonde 行列式，第一个等号是正确的. 第二个等号不对， 正确的是 (xi − xj ) = (x2 − x1 )(x3 − x1 )(x3 − x2 ).
1
(9) 若 A 为 n 阶方阵，k 为任意常数，则 |kA| = k |A|. 答：错误. 应该为 |kA| = k n |A|. (10) 若 A 可逆，且 |A + AB | = 0，则 |B + I | = 0. 答：正确。因为 0 = |A + AB | = |A(B + I )| = |A||B + I |，而 |A| = 0， 故 |B + I | = 0. (11) 若 n 阶方阵 A 的行列式等于零，则 A∗ = 0. 1 1 答：错误。比如：A = . 知 |A| = 0. 但 A∗ = 1 1 0. (12) 对方阵进行初等行变换，不改变该方阵的行列式. 答：错误. 交换两行和把一行乘以一个非零常数都会改变行列式. (13) 设 A 为 n 阶方阵，则 | − A| = −|A|. 答：错误. 原因同第 (9) 题. (14) 若 n 阶方阵 A, B, A + B 都是可逆阵，则 (A + B )−1 = A−1 + B −1 . 答：错误. 反例：A, B 同为二阶单位阵. 0 1 a14 0 1 . 都是四阶方阵. 试 . . ，J = 0 1 a44 0 2 3 4 计算 AJ, JA, J , J , J ，并讨论当 A, J 都是 n 阶方阵时有何结论. 解： 0 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a24 0 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a34 AJ = 0 a31 a32 a33 JA = a41 a42 a43 a44 0 a41 a42 a43 0 0 0 0 a11 . 2. 设 A = . . a41 ... .. . ... J2 = 0 1 0 1 0 J3 = 0 1 0 J4 = 0 0 0 0 当 A, J 都是 n 阶方阵时，有 0 a11 . . . AJ = . . . 0 an1 2 J = 0 0 .. . 1 .. . 0 ··· .. . ··· a1,n−1 . . . an,n−1 .. . a21 . . JA = . an1 0 0 0 .. . 0 .. . 0 ··· .. . ··· ··· 1 .. . 0 0 a2n . . . ann 0 .. 0 0 0 . 1 , 0 0 0
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代数与几何讨论课（三） （向量组的线性相（无）关性）
一、 基本概念
1．下列命题是否正确 (1) 若向量组
1, 2 ,, m
线性相关 , 则
1, 2 ,, m 中任意一个向量都可由其余
m 1个向量线性表出.
(2) 若
m
可由向量组 1, 2 ,, m
1. 已知： A M nm , B M mn 且 n m , AB I ,求证: 2.
B 的列向量组线性无关。
1, 2 ,, n 是 n 个线性无关的 n 维向量， n1 k11 k22 knn , 且 ki （ i 1,2,, n ）全不为零。 求证： 1 , 2 ,, n , n1 中任意 n 个 n 维向量均线性无关。
也线性无关.
1 1 ,2 2 ,,m m
(8) 若
n 维 向 量 组 1, 2 ,, m 及 1, 2 ,, m 都 线 性 相 关 , 则 向 量 组
也线性相关. 则
1 1 ,2 2 ,,m m
(9) 若 n 维列向量组
1, 2 ,, m 与 n 维列向量组 1, 2 ,, m 等价,
A 是 n 阶方阵,
n 1 * (1). 求证： A A
3.设
; (2). 求 (
A * ) * ; (3).求秩( A * )
4. 证明
1, 2 ,, m
(其中 a1
0) 线性相关的充要条件是至少有一个 i
线性表出, 且表出系数惟一.
(1 i m) 可被
a1, a2 ,, ai1
m 不能由 1,2 ,,m1
1, 2 ,, m 线性无关.
2. 已知：
1 2 , 2 3 , 3 1
线性无关， 求证：
1, 2 ,3 线性无关。
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讨论课 3—线性相关性
试判断下面的证法是否正确？为什么？
1 2 , 2 3 , 3 1 线性无关， 故 k1 (1 2 ) k2 ( 2 3 ) k3 (3 1 ) 0 k1 k2 k3 0 (k1 k3 ) 1 ( k 2 k ) 2 (k 3 k ) 因而 1 2 3 0 有 k1 k3 k2 k1 k3 k2 0 , 故 1 , 2 ,3 线性无关。
13
1, 2 ,, s 也线性无关,
则向量组
1, 2 ,, m , 1, 2 ,, s
(6) 向量组 (7) 若
1, 2 ,, m 线性无关 1, 2 ,, m 中任意两个向量都线性无关.
n 维 向 量 组 1, 2 ,, m 及 1, 2 ,, m 都 线 性 无 关 , 则 向 量 组
可由向量组
1, 2 ,, m
线性表出，但不能由向量组（I）
1,2 ,,m1
的是： （1 ） （2 ）
线性表出，记向量组（II）为
1, 2 ,, m1, ，则下列说法正确
（3 ）
（4 ） 二、
m m m m
不能由（I）线性表出，也不能由（II）线性表出。 不能由（I）线性表出，但可由（II）线性表出。 可由（I）线性表出，也可由（II）线性表出。 可由（I）线性表出，但不可由（II）线性表出。
B ( 1, 2 ,, m ) 等价( 相抵 ).
矩阵 A (1,2 ,,m ) 与 矩阵 (10) 若矩阵
A, B, C 满足 A BC ,则 A 的列向量组可由 B 的列向量组线性表示. A 必有一列向量是其余列向量的线性组合.
线性表出
(11)若 A 0 ,则 (12)
证：因 3. 设向量组 （1 ） （2） （3） （4）
, ,
线性无关，
, ,
线性相关，下列说法是否正确？为什么？
必可被
, , , ,
线性表出 . 线性表出 .
必不可由 必可由
, ,
, ,
线性表出 . 线性表出。
必不可由
4. 设 向 量
线性表示 , 则存在不全为零的数
k1, k2 ,, km 使
ki i .
i 1
(3) 若向量组 (4) 若向量组 (5) 若向量组
1, 2 ,, m
1, 2 ,, m 1, 2 ,, m
线性相关, 则它的任意一个部分组也线性相关. 线性无关, 则它的任意一个部分组也线性无关. 线性无关, 且向量组 线性无关.