清华大学线性代数 讨论课3
清华考研书单
清华考研书单清华考研书单是指在准备清华大学研究生考试时需要阅读的书籍清单。
由于清华考研的难度较高，所以考生需要准备一些权威的教材和参考书来进行学习。
以下是一些与清华考研相关的参考书目。
1.《数学分析中的问题》李乃成著这是一本数学分析方向的经典教材，涵盖了大量清华考研数学分析的考点，包括极限、连续、导数、积分等内容。
其深入浅出的解释和大量的习题可以帮助考生巩固知识。
2.《概率论与数理统计》姜启源著这本书是清华大学教材，涵盖了清华考研概率论和数理统计的重要内容。
它以清晰的逻辑顺序和全面的知识体系，帮助考生建立起概率论和数理统计的基本框架。
3.《线性代数及其应用》 Gilbert Strang著线性代数是清华考研的必考科目之一，这本书系统全面地介绍了线性代数的基本概念和主要应用。
其中的数学性质、解题技巧和实例分析等部分对考生的学习和备考非常有帮助。
4.《数据结构（C语言版）》邓俊辉著数据结构是计算机科学与技术方向的重要内容之一。
这本书详细介绍了数据结构的基本概念和常用算法，并给出了大量的习题和实例。
通过学习这本书，考生可以提高对数据结构和算法的理解和掌握。
5.《计算机组成与设计：硬件/软件接口》 David A. Patterson、John L. Hennessy著考生考研计算机科学与技术方向时，需要了解计算机的组成和设计。
这本书详细介绍了计算机系统的硬件和软件接口，涵盖了计算机体系结构、指令集体系、存储器层次结构等内容。
通过学习这本书，考生可以对计算机系统有更深入的理解。
这些书籍只是清华考研的参考书目之一，考生在备考清华考研时还应该结合自身情况选择适合自己的教材和参考书。
此外，考生还可以参考往年的清华考研真题和专业课教材，参加模拟考试和刷题来提高自己的备考水平。
最重要的是合理安排时间和制定有效的学习计划，坚持不懈地学习和练习，才能取得好的成绩。
线性代数(2007年清华大学出版社出版的图书)
线性代数的研究对象是什么?线性代数的研究对象是线性空间，包括其上的线性变换.它与高等代数、近世代 数的研究对象略有所不同.
本书在内容的编排上考虑到下面几点：
1.主要内容以矩阵为主线，以向量和线性方程组为纽带，以矩阵的初等变换为基本方法，将线性代数的主要 内容紧密地结合起来，形成一个有机的整体。
2.结合多年的教学实践，将向量与线性方程组两部分内容分为两章介绍，而非按传统将两部分内容穿插安排。 这样做更能明确主题，便于教学。
感谢观看
13年出版
前言 图书简介
目录
线性代数本书涵盖了教育部非数学专业教学指导委员会最新制定的经济管理类本科数学基础课程教学基本要 求。全书共6章，内容包括行列式、矩阵、向量的线性相关性与秩、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次 型。每章分若干节，章末配有习题，书末附有习题参考答案。
本书可作为高等学校经济管理类、理工类、农学类等专业教材或教学参考书。
线性代数（2007年清华大学 出版社出版的图书）
2007年清华大学出版社出版的图书
01 清大出版
03 07年出版 05 14年出版
目录
02 05年出版 04 13年出版
《线性代数》是2007年5月清华大学出版社出版的图书，作者是陈殿友、术洪亮。
清大出版
目录 1．行列式 2．矩阵 3．线性方程组 4．向量空间与线性变换 5．特征值和特征向量、矩阵的对角化 6．二次型 7．应用问题
05年出版
内容简介
清华大学_运筹学_教案
一、课程概述课程名称：运筹学授课对象：清华大学经管学院管理科学与工程专业研究生授课时长：共16周，每周2学时教学目标：1. 理解运筹学的基本概念、原理和方法。
2. 掌握线性规划、整数规划、非线性规划等运筹学的基本模型和求解方法。
3. 培养学生运用运筹学解决实际问题的能力。
4. 提高学生的逻辑思维、分析问题和创新能力。
二、教学内容与安排第1-2周：运筹学的基本概念与数学基础1. 运筹学的基本概念、发展历程及应用领域。
2. 数学基础：线性代数、概率论与数理统计。
第3-4周：线性规划1. 线性规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 线性规划的求解方法：单纯形法、对偶理论。
3. 线性规划的应用实例。
第5-6周：整数规划1. 整数规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 整数规划的求解方法：分支定界法、割平面法。
3. 整数规划的应用实例。
第7-8周：非线性规划1. 非线性规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 非线性规划的求解方法：梯度法、牛顿法、共轭梯度法。
3. 非线性规划的应用实例。
第9-10周：网络优化1. 网络优化的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 网络优化的求解方法：最短路径法、最小生成树法、最大流问题。
3. 网络优化的应用实例。
第11-12周：动态规划1. 动态规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 动态规划的求解方法：动态规划表、状态转移方程。
3. 动态规划的应用实例。
第13-14周：排队论1. 排队论的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 排队论的求解方法：泊松过程、排队系统分析。
3. 排队论的应用实例。
第15-16周：案例分析1. 结合实际案例，分析运筹学在各个领域的应用。
2. 学生分组讨论，撰写案例分析报告。
三、教学方法与手段1. 讲授法：系统讲解运筹学的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：通过实际案例，让学生理解运筹学的应用。
3. 讨论法：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的思考能力。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。
2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。
3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。
2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。
3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。
4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。
数值分析实验报告-清华大学--线性代数方程组的数值解法
数值分析实验报告-清华大学--线性代数方程组的数值解法(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数方程组的数值解法实验1. 主元的选取与算法的稳定性问题提出：Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。
但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss 消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss 消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。
主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。
实验内容：考虑线性方程组 n n n R b R A b Ax ∈∈=⨯,,编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的Gauss 消去过程。
实验要求：（1）取矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1415157,6816816816 b A ，则方程有解T x )1,,1,1(* =。
取n=10计算矩阵的条件数。
让程序自动选取主元，结果如何？（2）现选择程序中手动选取主元的功能。
每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。
若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。
（3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。
（4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵，计算其条件数。
重复上述实验，观察记录并分析实验结果。
程序清单n=input('矩阵A 的阶数:n=');A=6*diag(ones(1,n))+diag(ones(1,n-1),1)+8*diag(ones(1,n-1),-1); b=A*ones(n,1);p=input('计算条件数使用p-范数,p='); cond_A=cond(A,p) [m,n]=size(A);Ab=[A b];r=input('选主元方式(0:自动;1:手动)，r=');Abfor i=1:n-1switch rcase(0)[aii,ip]=max(abs(Ab(i:n,i)));ip=ip+i-1;case (1)ip=input(['第',num2str(i),'步消元，请输入第',num2str(i),'列所选元素所处的行数：']);end;Ab([i ip],:)=Ab([ip i],:);aii=Ab(i,i);for k=i+1:nAb(k,i:n+1)=Ab(k,i:n+1)-(Ab(k,i)/aii)*Ab(i,i:n+1);end;if r==1Abendend;x=zeros(n,1);x(n)=Ab(n,n+1)/Ab(n,n);for i=n-1:-1:1x(i)=(Ab(i,n+1)-Ab(i,i+1:n)*x(i+1:n))/Ab(i,i);endx运行结果(1)n=10，矩阵的条件数及自动选主元Cond(A,1) =×103Cond(A,2) = ×103Cond(A,inf) =×103程序自动选择主元（列主元）a.输入数据矩阵A的阶数:n=10计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=0b.计算结果x=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T(2)n=10，手动选主元a. 每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元矩阵A 的阶数:n=10计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：1(2)(2) 6.0000 1.00007.00004.6667 1.0000 5.66678.0000 6.000015.0000[]8.00001.000015.00006.0000 1.00008.0000 6.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：2…（实际选择时，第k 步选择主元处于第k 行） 最终计算得x=[, , , , , , , , , ]Tb. 每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元 矩阵A 的阶数:n=10计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：2(2)(2)8.0000 6.0000 1.000015.0000-3.50000.7500-4.250008.0000 6.0000 1.000015.0000[]8.0000 6.000015.00008.0000 1.00006.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：3…（实际选择时，第k 步选择主元处于第k+1行） 最终计算得x=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T(3)n=20，手动选主元a. 每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元 矩阵A 的阶数:n=20计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：1(2)(2) 6.0000 1.00007.00004.6667 1.0000 5.66678.0000 6.000015.0000[]8.00001.000015.00006.0000 1.00008.0000 6.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：2…（实际选择时，第k 步选择主元处于第k 行） 最终计算得x=[，，，，，，，，，，，，，，，，，，，]T b. 每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元 矩阵A 的阶数:n=20计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：2(2)(2)8.0000 6.0000 1.000015.0000-3.50000.7500-4.250008.0000 6.0000 1.000015.0000[]8.0000 6.000015.00008.0000 1.00006.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：3…（实际选择时，第k步选择主元处于第k+1行）最终计算得x=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T(4)A分别为幻方矩阵，Hilbert矩阵，pascal矩阵和随机矩阵简要分析计算(1)表明：对于同一矩阵，不同范数定义的条件数是不同的；Gauss消去法在消去过程中选择模最大的主元能够得到比较精确的解。
经管类34学时《线性代数》教学大纲
经管类34学时《线性代数》教学大纲线性代数（linearalgebra）（34学时）一、简要说明本大纲面向本三批院校农科及经济、管理类各专业，总学时34，学分2分后，线性代数属于必修课程。
二、课程的性质、地位与任务线性代数是讨论有限维空间线性理论的课程，它具有较高的抽象性与逻辑性和广泛的实用性，是高等农业院校教学计划中的一门基础理论课。
由于线性问题广泛存在于技术科学的各个领域，某非线性问题在一定条件下．可以转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科，尤其在计算机日益普及的今天，该课程的地位与作用更显得重要。
通过这门课程的学习，使学生获得该课程的基本知识和必要的基本运算技能，同时使学生在运用数学方法分析问题和解决问题的能力方向面得到进一步的培养和训练，为学习有关专业课程和扩大数学知识面提供必要的数学基础，为培养我国社会主义现代化建设所需要的高级人才服务。
三、教学基本要求和方法在传授科学知识的同时，必须通过各个教学环节逐步培育学生具备一定的逻辑推理能力、抽象思维能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培育学生具备比较娴熟的运算能力和综合运用科学知识回去分析总是问题和解决问题的能力。
四、课程考核方式本课程采用出勤、平时作业和期末考试相结合的方式，满分为100分。
期末考试成绩占考核成绩的60％~70%；出勤、平时作业占考核成绩的30%~40％。
五、授课教材和主要参考书目（一）授课教材《工程数学――线性代数》(第五版)同济大学数学教研室编成，高等教育出版社，2021.5（二）主要参考书(1)《线性代数》张良云主编，高等教育出版社，2021(2)《线性代数》（第三版）赵树主编，中国人民大学出版社，2021(3)《线性代数》陈殿友，之术洪亮编成，清华大学出版社，2021六、教学内容与学时分配（一）理论教学内容第一章行列式(6学时)第一节二阶与三阶行列式第二节全排列及其逆序数第三节n阶行列式的定义第五节行列式的性质第六节行列式按行（列）展开第七节克拉默法则第二章矩阵及其运算(6学时)第一节矩阵第二节矩阵的运算第三节逆矩阵第四节矩阵分块法第三章矩阵的初等变换与线性方程组(8学时)第一节矩阵的初等变换第二节矩阵的秩第三节线性方程组的求解第四章向量组的线性相关性(6学时)第一节向量组及其线性组合第二节向量组的线性相关性第三节向量组的秩第四节线性方程组的解的结构第五节向量空间第五章相似矩阵及二次型(8学时)第一节向量的内积、长度及正交性第二节方阵的特征值与特征向量第三节相似矩阵第四节对称矩阵的对角化第五节二次型及其标准型（二）实验教学内容编写人：信息与机电工程系石志高讲师。
大学《线性代数》第2版(清华大学出版社、居余马)课后习题详细答案-较完整精编版
= 10 ⋅ (−1)
1 1 1 −1 1 1 1 1 1 1
⋅1⋅ 2L 8 ⋅ 9 = 10!
11、
1 1 1 1 1 第2行 − 第1行 1 0 −2 0 0 第3行 − 第1行 = 1*(−2)3 = −8 −1 1 0 0 −2 0 第4行 − 第1行 1 −1 0 0 0 −2
12、该行列式中各行元素之和均为 10，所以吧第 2，3，4 列加到第 1 列，然后再把第 1 列 后三个元素化为零，再对第 1 列展开，即
1 0 0
18、 A = 1 2
0 = 1* 2*3 = 3!，
1 2 3
0 0 B =0
0 0 0
0 0
0 −1 −2 0 0 = (−1) 0 0 0 0
−3 0
5(5 −1) 2
(−1)(−2)(−3)(−4)(−5) = −5!
0 −4 0 −5 0 0
所以
* B
A = (−1)3*5 | A || B |= −3!5! 0
1 a2 可以看出， M 42 = (ab + bc + ca)M 44 ，即 1 b 2 1 c2
1 0 2 a a 0 2 1 a 2 0 b 0 第1，列 4 0 0 b 2 第2， 3行 5 23、 − 3 c 4 5 对换 5 c 4 3 对换 0 d 0 0 0 0 0 0 d 0
a3 1 a a2 b3 = (ab + bc + ca) 1 b b 2 ，得证. c3 1 c c2
所以n2n原式由公式得22n为阶范德蒙行列式nn原式n又1an所以原式31系数行列式njiij100110114220对换114220对换11145130110101112042204211111110114行1201111001111010113行112114行4120对换101110111121412053421001415d410110113210对换014321对换10145145110110011032102143110104行11101114行所以32系数行列式01111011101101011110112行对换011101110100110101001111101111101101014111001110410030010第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行120110000101511121第1行第5行10074第1行第3行111010101000第1行第4行110第1行第2行01111112111410115110第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行0111001101010100111按第1列展开17按第4列44展开14011510第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行1010100001110111100按第1列展开1113按第1列展开01111101111214111150第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行0101000011110101111按第1列0110展开101按第1列展开01111011111241105第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行01010000110111111按第1列展开001101110115按第1列展开所以d4d4d4d4d433因为齐次线性方程组有非零解所以其系数行列式即2111aa1b第2行第1行第3行第1行第4行第1行110100所以34设直线方程由于直线过点所以2
清华大学线性代数讨论课1答案
一、1. 下列命题是否正确 1 x1 x2 1 (1) 1 x2 x2 = (xi − xj ) = (x1 − x2 )(x1 − x3 )(x2 − x3 ) 2 1≤j<i≤3 1 x3 x2 3 答：不正确. 原行列式是 Vandermonde 行列式，第一个等号是正确的. 第二个等号不对， 正确的是 (xi − xj ) = (x2 − x1 )(x3 − x1 )(x3 − x2 ).
1
(9) 若 A 为 n 阶方阵，k 为任意常数，则 |kA| = k |A|. 答：错误. 应该为 |kA| = k n |A|. (10) 若 A 可逆，且 |A + AB | = 0，则 |B + I | = 0. 答：正确。因为 0 = |A + AB | = |A(B + I )| = |A||B + I |，而 |A| = 0， 故 |B + I | = 0. (11) 若 n 阶方阵 A 的行列式等于零，则 A∗ = 0. 1 1 答：错误。比如：A = . 知 |A| = 0. 但 A∗ = 1 1 0. (12) 对方阵进行初等行变换，不改变该方阵的行列式. 答：错误. 交换两行和把一行乘以一个非零常数都会改变行列式. (13) 设 A 为 n 阶方阵，则 | − A| = −|A|. 答：错误. 原因同第 (9) 题. (14) 若 n 阶方阵 A, B, A + B 都是可逆阵，则 (A + B )−1 = A−1 + B −1 . 答：错误. 反例：A, B 同为二阶单位阵. 0 1 a14 0 1 . 都是四阶方阵. 试 . . ，J = 0 1 a44 0 2 3 4 计算 AJ, JA, J , J , J ，并讨论当 A, J 都是 n 阶方阵时有何结论. 解： 0 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a24 0 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a34 AJ = 0 a31 a32 a33 JA = a41 a42 a43 a44 0 a41 a42 a43 0 0 0 0 a11 . 2. 设 A = . . a41 ... .. . ... J2 = 0 1 0 1 0 J3 = 0 1 0 J4 = 0 0 0 0 当 A, J 都是 n 阶方阵时，有 0 a11 . . . AJ = . . . 0 an1 2 J = 0 0 .. . 1 .. . 0 ··· .. . ··· a1,n−1 . . . an,n−1 .. . a21 . . JA = . an1 0 0 0 .. . 0 .. . 0 ··· .. . ··· ··· 1 .. . 0 0 a2n . . . ann 0 .. 0 0 0 . 1 , 0 0 0
线性代数课程教学大纲
“线性代数”课程教学大纲一、课程基本信息开课单位：管理学院课程名称：线性代数课程编号：英文名称：Linear Algebra课程类型：学科基础课（请按我校教学计划安排表中的课程类型进行规范填写，即填写公共基础课、学科基础课、专业基础课、专业方向限选课、专业任选课、公共选修课等）总学时：60 理论学时： 60 实验学时： 0学分：3开设专业：先修课程：无二、课程任务目标（一）课程任务（本项编写要求：写明该课程的性质和任务）本课程是高等学校理工科本科学生一门必修的重要学科基础理论课，是讨论代数学中线性关系的一门经典理论课程。
它具有较强的抽象性与逻辑性，可以广泛应用于科学技术的各个领域。
本课程的任务是通过教学的各个环节，运用各种教学手段与方法，使学生掌握该课程的基本理论与计算方法。
培养学生分析问题、解决问题的能力。
提高学生的抽象思维能力、逻辑思维能力以及运用计算机解决与线性代数相关的实际问题的能力，为学生学习后继课程奠定坚实的数学基础。
（本参考编写样式为“微机原理与应用”课程）（二）课程目标（本项编写要求：写明学生在知识和能力方面应达到的目标要求）在学完本课程之后，学生能够：1.能较好地掌握行列式、矩阵特有的分析概念；2. 能够用行列式、矩阵的方法解决与线性代数相关的实际问题；三、教学内容和要求（一）理论教学的内容及要求（本项编写要求：以基本内容为主线，对各知识点分按“了解”、“理解”、“掌握”三个层次提出要求，并说明教学重点及难点）第一章行列式第一节行列式的概念1．了解行列式的概念；2．会求二阶与三阶行列式。
第二节行列式的性质1．了解余子式与代数余子式的概念；2．掌握行列式的性质。
第三节行列式的计算1．了解三角形行列式与对角形行列式的概念；2．掌握范德蒙（Vandermonde）行列式；3．掌握行列式的计算方法。
第四节行列式的应用1．了解线性方程组的概念；2．掌握克拉默法则。
第二章矩阵第一节矩阵的概念1．了解矩阵的概念；2．理解几类特殊的矩阵。
线性代数教学大纲及教学月历
（三）《线性代数》课程简介及教学大纲一、课程简介1.课程编号：JA01032.课程名称：线性代数3.开课学院：数学课程组4.学时：345.类别：必修6.先修课程：无7.课程简介：《线性代数》课程是高等学校经济管理类和理工类本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，属于基础数学类课程。
是大部分经济管理类和理工类课程的必备基础。
通过本课程的学习，要使学生掌握行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、矩阵特征值特征向量及二次型等基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
在课程的教学过程中，要通过各个教学环节培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
Course Code:JA0103Name of Course:Linear AlgebraFaculty: Mathematics Course GroupCredit Hours: 34Classification: Compulsory coursePrerequisite:NoneCourse Outline:Linear Algebra is a compulsory basic theory course for undergraduate students who are major in Economic Management or Science and Engineering. It is a part of fundamental mathematic courses and is a necessary foundation for most Economic Management and Science and Engineering courses.Through studying this course, the students will gain basic concepts, basic theories, and basic computing ability on determination, matrix, linear algebraic equations, vector space, the eigenvalue and eigenvector of matrix, quadratic etc. These are key to understanding the subsequent courses and further study in mathematics.In the process of teaching the course, we will gradually train the students through various teaching methods to gain skilled operational capability and the ability to analyze and solve problems through comprehensive use of the learned knowledge.二、课程教学大纲1. 课程编号：JA0103 5. 先修课程：无2. 课程类别：基础数学类，必修 6. 课内总学时：343. 开课学期：第一学年二学期 7. 实验/上机学时：4. 适用专业：各工科、管理类专业 8. 执笔人：柳金甫,安玉冉1．课程教学目的《线性代数》课程是高等学校经济管理类和理工类本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，属于基础数学类课程。
清华大学数学专业所学课程
数学科学系00420033 数学模型3学分48学时Mathematical Modelling建立数学模型是用数学方法解决实际问题的关键步骤。
本课程从日常生活的有趣问题入手，介绍数学模型的一般概念、方法和步骤，通过实例研究介绍一些用机理分析方法建立的非物理领域的模型及常用的建模数学方法，培养同学用建模方法分析和解决实际问题的意识和能力。
00420152 数学建模引论2学分32学时Introduction of Mathematical Modelling本课程以案例分析的方式组织教学，主要面向低年级的学生，各个学期根据对学生数学基础的不同要求，选择案例。
我们这里所选择的都是实际应用价值非常突出的案例。
00420163 数理科学与人文3学分48学时Mathematical and Physical Sciences and Humanities本课程旨在加强学生以通识教育为目标的思维和训练，提高学生的科学素质。
该课程虽然以知识为载体，却并不以传授理论知识为主要目的，而是以启迪思想，养成思考的习惯，以提升学生的创新意识。
00420172 数学与人类文明2学分32学时Mathematics and Civilization本课程不以讲述数学专门知识为目标，着重讲述数学发展对人类文明发展的地位、作用和影响，人类认识客观世界的能力，非数学专业学者如何理解和看待和欣赏数学。
10420095 微积分(1) 5学分80学时Calculus(1)内容包括：实数，函数，极限论，连续函数，导数与微分，微分中值定理，L'Hospital法则，极值与凸性，Taylor公式，不定积分与定积分，广义积分，积分应用，数项级数，函数级数，幂级数，Fourier级数。
10420115 微积分(2) 5学分80学时Calculus(2)n维空间中的距离、邻域、开集与闭集，多元函数的极限与连续，多元函数微分学，空间曲线与曲面，重积分、曲线与曲面积分、向量分析，常微分方程、初等积分法、高阶线性方程、线性常微分方程组。
清华大学线性代数 讨论课2答案
解： (1)
√ 2+ 2 0√ 0 0 2− 2 0 0 0 1 √ 2+ 2 0√ 0 α · β = (x1 , x2 , x3 ) · 0 2 − 2 0 · (y1 , y2 , y3 )T 0 0 1
(2)
2．在仿射坐标系 {0, e1 , e2 } 下，对任意向量 α = (x1 , x2 )，β = (y1 , y2 )，定义 α · β = x1 y1 − x2 y1 − x1 y2 + 3x2 y2 ， (1) 试验证它满足数量积的 4 条性质； (2) 写出它的度量矩阵； (3) 证明 (α · β )2 ≤ (α · α)(β · β ) 对任意向量 α, β 成立。 证明： (1) 容易验证对称性、线性性、分配律成立。对于正定性。知对于不为 0 的 α，有 α · α = x2 1 − x2 x1 − 2 2 2 x1 x2 + 3x2 = (x1 − x2 ) + 2x2 > 0。 (2) 1 −1 −1 3 (3) 对任意向量 α = (x1 , x2 )，β = (y1 , y2 )，有 (α · β )2 − (α · α)(β · β ) = (x1 y1 − x2 y1 − x1 y2 + 3x2 y2 )2
最新清华版线性代数课件线性代数§电子教案
例2计算 n 阶行列式副对角线以上的元素全为0 其中表示元素为任意数解由定义有递推关系递推公式由以上结论容易得到四n 阶行列式的性质行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式记性质1 行列式的行与列互换其值不变即 DT D 性质1说明行列式对行成立的性质都适用于列下面仅对行讨论由性质 1 和前面关于下三角行列式的结果马上可以得到上三角行列式主对角线以下的元素全为0 的值等于主对角元的积即性质2 行列式按任一行展开其值相等即其中是 D 中去掉第 i 行第 j 列的全部元素后剩下的元素按原来的顺序排成的 n－1 阶行列式称为的余子式称为的代数余子式即性质3 线性性质 1行列式的某一行列中所有的元素都乘以同一数k 等于用数 k 乘此行列式 2 若行列式的某一行列的元素都是两数之和那么该行列式可以写成两个行列式的和例如 1 若行列式的某一行列的元素都是 n 个数之和那么该行列式可以写成 n 个行列式的和例如说明 2 若行列式的某 m 行列的元素都是两例如说明个数之和那么该行列式可以写成个行列式的和由性质3马上得到推论1 某行元素全为零的行列式其值为零性质4 行列式中两行对应元素全相等其值为零对行列式的阶数用数学归纳法证明证明当D为二阶行列式时结论显然成立假设当 D 为 n－1 阶行列式时结论成立设行列式 D 的第 i 行和第 j 行元素对应相等则当D为 n 阶行列式时将 D 按第k 行展开得其中为 k－1 阶行列式且有两行元素对应相等故由归纳假设知推论2 行列式中两行对应元素成比例其值为零由性质 3 和性质 4 马上得到性质5 在行列式中把某行各元素分别乘以数 k再加到另一行的对应元素上行列式的值不变对行列式做倍加行变换其值不变即在行列式的计算中性质35以及下面的性质6经常用到为书写方便我们先引入几个记号用表示第 i 行表示第 i 列交换行列式的第 i j 两行列记作把行列式的第 j 行列的各元素乘以同一数 k 然后加到第 i 行列对应的元素上去记作行列式的第 i 行列乘以数k 记作注意和含义不同性质6 反对称性质行列式的两行对换行列式的值反号证明课程简介线性代数是代数学的一个分支主要处理线性关系问题线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式来表达的最简单的线性问题就是解线性方程组行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具也推动了线性代数的发展向量概念的引入形成了向量空间的概念而线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论因此向量空间及其线性变换以及与此相联系的矩阵理论构成了线性代数的中心内容它的特点是研究的变量数量较多关系复杂方法上既有严谨的逻辑推证又有巧妙的归纳综合也有繁琐和技巧性很强的数字计算在学习中需要特别加强这些方面的训练第一章行列式第二章矩阵第三章线性方程组第四章向量空间与线性变换基础基本内容用向量的观点讨论基本问题并介绍向量空间的有关内容第五章特征值与特征向量第六章二次型矩阵理论中心内容参考及辅导书目 1《线性代数学习指南》居余马林翠琴编著清华大学出版社 2《线性代数》第四版同济大学应用数学系编高等教育出版社一二阶行列式的引入用消元法解二元一次线性方程组§11 n阶行列式的定义与性质 1 2 1 a22 a11a22x1a12a22x2 b1a22 2 a12 a12a21x1 a12a22x2 b2a12 两式相减消去x2 得a11a22 – a12a21 x1 b1a22 – b2a12 当 a11a22 – a12a21 0时方程组的解为由方程组的四个系数确定 3 类似地消去x1 得 a11a22 –a12a21 x2 b2a11 – b1a21 若记 4 则方程组的解3可以表示为称主对角线副对角线二阶行列式的计算对角线法则 ad – bc 为二阶行列式对于二元线性方程组 D称为线性方程组 1 的系数行列式若记 1 注意分母都为原方程组的系数行列式则该二元线性方程组的解 3 式 3 可表示为例1 解二元线性方程组解 3 ––4 7 0 并称它为三阶行列式横为行竖为列二三阶行列式定义列标行标对于由9 33 个元素排成3行3列的式子 i为行标j为列标 1 沙路法三阶行列式的计算即 2 对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号蓝线上三元素的乘积冠以负号．例2 计算三阶行列式解按对角线法则有 D 12 –2 21 –3 –4 –2 4 ––4 2 –3 – 2 –2 –2 – 114 –4 – 6 32 – 24 –8 – 4 –14 对于三元线性方程组如果其系数行列式那么可求得方程组的解为其中是用常数项替换 D 中的第 j 列所得到的三阶行列式即说明2 二阶行列式包括2项每一项都是位于不同行不同列的两个元素的乘积其中一项为正一项为负三阶行列式包括3项每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积其中三项为正三项为负说明1 对角线法则沙路法只适用于二阶与三阶行列式．说明3 对于nn 3阶行列式不能用沙路法定义例3 求解方程解方程左端为一个三阶行列式其值为 D 3x2 4x 18 – 12 – 2x2 – 9x x2 – 5x 6 由D x2 – 5x 6 0 解得 x 2 或 x 3 对于一阶行列式我们规定这里是行列式符号不是绝对值符号问题如何定义一般的 n 阶行列式 n 阶行列式一般有三种定义方式第一种是抽象定义方法可以查阅同济大学线性代数教材第二种是公理化定义方法第三种就是本教材所采用归纳定义法方法首先对于三阶行列式我们可以用二阶行列式来表示它这里分别称为元素的余子式并分别称为元素的代数余子式于是余子式的余子式就是在 D 中去掉所在的行与列后由剩下的元素按原来的次序排列成的低一阶的行列式代数余子式的代数余子式就是在的余子式前加上符号例如对于二阶行列式同样也有从上面的分析可以看到如果分别把看作二阶行列式和三阶行列式的定义那么这种定义方式是统一的即用低阶行列式定义高一阶的行列式下面我们就用这种方法给出行列式的归纳定义和三n 阶行列式的定义定义由个数组成的 n 阶行列式是一个算式当n＝1 时定义当时定义其中称为元素的余子式为元素的代数余子式说明所在的对角线称为行列式的主对角线称为主对角元项且带正号的项和带负号的项各占一半每一项都是不同行不同列的 n 个元素的积 2n 阶行列式由个元素构成其展开式中共有例1证明 n 阶下三角行列式的值为 n 个主对角元的乘积即主对角线以上的元素全为0即当 i j 时证明对 n 用数学归纳法下三角行列式 1 当 n 2 时结论成立 2 假设结论对 n－1 阶下三角行列式成立那么对于 n 阶下三角行列式由定义有故所证结论成立 n 阶对角线行列式主对角线以外的元素全为0即当对角线行列式是下三角行列式的特例故也有i j 时。
清华大学线性代数 讨论课4答案
a1n . T . . , β = (b1 , b2 , · · · , bm ) , A = (A, β )。 amn 0 . AT . 则，（I）和（II）分别变为：AY = β 和AT X = . 。令B = βT 0 a11 . 证明：令A = . . am1 ··· .. . ···
Q−1 P −1 =
3. 设A, B 均为n阶方阵，且满足A2 = 0，B 2 = 0。 (1) 若A + B 可逆，证明r(A) = r(B )。 (2) 写出满足A + B 可逆的两个四阶幂零阵A和B 。 (3) 举例说明A + B 可逆不是r(A) = r(B )的必要条件。 证明： (1)由于r(A) + r(A) − n ≤ r(A2 )，以及A2 = 0，所以r(A) ≤ n 2 。同理，r (B ) ≤ 又r(A) + r(B ) ≥ r(A + B ) = n，所以，得到r(A) = r(B ) = n 2。 0 I2 0 0 ,B = (2) A = 0 0 I2 0 (3) n =3 0 0 0 0 0 1 A = 0 0 0 ,B = 0 0 0 1 0 0 0 0 0
(4) 已 知η1 , η2 是AX = β 的 两 个 解 ，ξ1 , ξ2 是AX = β 对 应 的 齐 次 线 性 方 程 组AX = 0的 基 础 解 η +η 系，k1 , k2 是两个任意常数，则k1 ξ1 + k2 (ξ2 − ξ1 ) + 1 2 2 是方程AX = β 的通解。 η2 答：正确。因为ξ1 , (ξ2 − ξ1 )也为齐次线性方程组AX = 0的基础解系， η1 + 2 为AX = β 的一个解。 (5) 已知A = (α1 , α2 , · · · , αn )是m × n实矩阵，若α1 , α2 , · · · , αn , β 线性相关，则非齐次线性方程 组AX = β 有解。 1 1 答：错误。如：A = ，β = (0, 1)T ，此时无解。 0 0 (6) 已知A是m × n矩阵，则存在矩阵B ，使得AB = 0且有r(A) + r(B ) = n。 答：正确。由AX = 0的基础解系组成的矩阵B ，便满足题意。 (7) 所有满足A2 = A的二阶方阵的全体是M2 (R)的子空间。 答：错误。加法和数乘封闭性都不满足。 (8) R3 中所有与向量(1, 1, 1)平行的向量的全体，构成R3 的一个子空间。 答：正确。用线性空间的定义逐条验证，容易证明结论正确。 (9) 全体复数构成的集合C 是实数域上的2维线性空间，1, i是C 的一个基，由基1, i 到基i, 1的过渡矩阵 1 0 是S = 。 0 1 0 1 答：错误。过渡矩阵应为：S = 。 1 0 二、 1. 已知A ∈ Mm×n ，B ∈ Mn×k 且r(A) = n，证明r(AB ) = r(B ) (又若r(B ) = n则r(BA) = r(A))。
线性代数教学设计
学习好资料欢迎下载教案2010—20XX年度第2学期教研室教师职称课程生物数学讲师线性代数学期授课计划主任签字：年月日教案(课时计划)课堂小结这节课我们学习了消元法求解线性方程组，归纳起来就是，首先用初等变换把方程组化为阶梯形方程组，若最后出现一些等式“0 = 0”，则将其去掉．如果剩下的方程当中最后一个方程是零等于一个非零的数，那么方程组无解，否则有解．方程组有解时，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，则方程组有唯一解；如果阶梯形方程组中方程个数小于未知量的个数，则方程组有无穷多个解．主板书设计一.导课▲二.消元法求解线性方程组※三.初等变换求解线性方程组教案(课时计划)课堂小结这节课我们学习了消元法解线性方程组，在对方程组作初等变换时，只是对方程组的系数和常数项进行运算，而未知量并没有参加运算，也就是说，线性方程组的解仅仅依赖于方程组中未知量的系数与常数项．用消元法解线性方程组就是对方程组反复地施行初等变换，反映在矩阵上，就是1) 交换矩阵的某两行的位置；2) 用一个非零的数去乘矩阵的某一行；3) 用一个数乘某一行后加到另一行上利用方程组的初等变换把线性方程组化为阶梯形方程组，相当于用矩阵的初等行变换至多利用第一种列变换，把方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵．主板书设计一. 导课※二. 线性方程组的矩阵表示▲三. 增广矩阵化阶梯型矩阵教案(课时计划)课堂小结本节课我们学习了线性方程组和齐次线性方程组解的情况，线性方程组解有三种情况，齐次线性的解有两种情况：唯一解，有无穷多个解。
方程组的全部解能通过它的有限个解的线性组合表示出来．称为齐次线性方程组的基础解系．主板书设计一.导课※二.线性方程组组解的结构▲三.齐次线性方程组解的结构教案(课时计划)课堂小结本章我们学习了一维，二维，n维空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间；向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式).主板书设计一. 导课※▲二.向量空间教案(课时计划)课堂小结这节课我们学习了向量组的线性关系，如何判断向量组的线性关系；齐次线性方程组和方程组解的情况和线性关系的判断；线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用主板书设计一．线性组合▲二．线性相关与线性无关※三．向量组的线性相关性的判断及其性质教案(课时计划)课堂小结这节课我们学习了极大线性无关组的概念，我们知道向量组的极大无关组可能不只一个．但任意两个极大无关组所含向量的个数相同；向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩；向量组线性无关．则它的极大无关组就是它本身；如果两个向量组的秩相等且其中一个向量组可由另一个线性表出，则这两个向量组等价主板书设计一.导课※二.向量组的极大无关组▲三.向量组的秩教案(课时计划)。
清华大学线性代数考试真题1
Exercise 6 设线性空间 V = σ (X ) = 1 1
1 2 −1 1
(1) 试证明 σ 是 V 的线性变换. (2) 求 Im(σ ) 和 ker(σ ) 的基和维数. 证明： (1) 易见 V 是到自身的线性映射，且由矩阵乘法和数乘的性质，可知对 于 α, β ∈ V, λ ∈ R,，有 σ (α + β ) = σ (α) + σ (β ), σ (λα) = λσ (α) 成立. (2) 可知 σ (X ) = x11 + x21 − x12 − x22 x11 + x21 − x12 − x22 a b a b 2x11 + 2x21 + x12 + x22 2x11 + 2x21 + x12 + x22 的形式，所以，可知 Im(σ ) 的维数
设 σ 关于基 ε1 , ε2 , ε3 的矩阵为 B ，有 −1 1 −1 1 −1 B = 0 1 −1 1 −1 1 0 1 −1 1 = 2 2 3 0
(2) 设 σ (α) 关于基 α1 , α2 , α3 的坐标为 (y1 , y2 , y3 )，有 y1 1 0 1 1 0 y2 = 1 1 0 6 = 7 . y3 −1 2 1 −1 10 设 σ (β ) 关于基 α1 , α2 , α3 的坐标为 (z1 , z2 , z3 )， −1 1 −1 1 −3 β = (α1 , α2 , α3 ) 0 1 −1 −1 = (α1 , α2 , α3 ) −2 , 1 0 1 1 2 2
2
几何与代数讨论课（五）（线性变换）
Exercise 1 判断下面所定义的映射哪些是线性变换，哪些不是？ (1) 在 F 3 上，σ ((x1 , x2 , x3 )T ) = (x1 + x2 + x3 , x2 + x3 , x1 )T ； T (2) 在 F 3 上，σ ((x1 , x2 , x3 )T ) = (x2 1 , x2 − x3 , 0) ； (3) 在 Fn [x] 上，σ (f (x)) = x · f (x)； (4) 在 Mn (F ) 上，σ (X ) = BXC ，其中 B, C ∈ Mn (F ) 是两个确定的矩 阵； (5) 把复数域 C 看作 C 上的线性空间，σ (α) = α ¯ ，α ∈ C ，α ¯ 是 α 的共 轭复数. 解： (1) 是. 符合线性变换的定义. (2) 否. 因 为 x2 + y 2 = (x + y )2 . 反 例 ：σ ((1, 0, 0)T + (1, 0, 0)T ) = σ ((2, 0, 0)T ) = (4, 0, 0)T 而 σ ((1, 0, 0)T ) + σ ((1, 0, 0)T ) = (2, 0, 0)T . (3) 否. 因为 x · f (x) ∈ / Fn [x]. (4) 是. 符合线性变换的定义. (5) 否. 反例：i · σ (i) = 1 而 σ (i · i) = −1. Exercise 2 举例说明 (1) σ, τ ∈ L(V )，στ = 0 不一定推出 σ = 0 或 τ = 0； (2) στ = τ σ. 解： (1) 令 V = R2 ，设 σ ((x1 , x2 )T ) = (x1 , 0)T ，τ ((x1 , x2 )T ) = (0, x2 )T ， 则 σ = 0, τ = 0. 但 στ = 0. (2) 令 V = R2 ，设 σ ((x1 , x2 )T ) = (x1 , 0)T ，τ ((x1 , x2 )T ) = (x1 , x1 + x2 )T ，则 στ = τ σ . Exercise 3 在 R[x] 上，定义两个线性变换： σ (f (x)) = f (x), τ (f (x)) = xf (x) 证明： (1) τ σ − στ = ε，ε 是单位变换； (2) (τ σ )2 = τ 2 σ 2 + τ σ . 问：σ 是不是 R[x] 上的幂零变换？是不是 Rn [x] 上的幂零变换？ 证明： (1) ∀f ∈ R[x] στ (f (x)) = σ (xf (x)) = f (x) + xf (x) τ σ (f (x)) = τ (f (x)) = xf (x) (στ − τ σ )(f (x)) = f (x) = ε(f (x)) 证毕.
学习线性代数的心得体会
学习线性代数的心得体会线性代数被不少同学称为“天书”，足见这门课给同学们造成之困难。
在这门课之学习过程中，你是否也遇到了上课听不懂，一上课就想睡觉，公式定理理解不了，知道了知识但不会做题，记不住等问题。
不要怕，线性代数之学习是有章可循之，只要有正确之方法，再加上自己之努力，任何学科都不会“打倒”你。
线性代数是一门对理工科学生极其重要数学学科。
线代课本之前言上就说：“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛之数学学科了。
”你是不是觉得这好像是在吹，之确，我们之线代教学之一个很大之问题就是对线性代数之应用涉及太少，课本上涉及最多之只能算解线性方程组了，但这只是线性代数很初级之应用。
我只上大二，对线性代数之应用了解之也不多。
但是，线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大之作用。
没有应用到之内容很容易忘，我现在高数还基本记得，但线代已忘了大半。
因为高数在很多课程中都有广泛之应用，尤其第二学期开设之大学物理课。
所以，如果有时间之话，要尽可能地到网上或图书馆了解线性代数在各方面之应用。
如：《线性代数》（居余马等编，清华大学出版社）上就有线性代数在“人口模型”、“马尔可夫链”、“投入产出数学模型”、“图之邻接矩阵”等方面之应用。
也可以试着用线性代数之方法和知识证明以前学过之定理或高数中之定理，如老之高中解析几何课本上之转轴公式，它就可以用线性代数中之过渡矩阵来证明。
线性代数难懂和琐碎也跟教学中没有涉及线代之应用有很大关系。
线代是一门比较费脑子之课，所以如果前一天晚上睡得太晚第二天早上之线代课就会变成“催眠课”。
那么，请在第二天有线代课时晚上睡得早一点，“卧谈会”开得短一点。
如果你觉得上课跟不上老师之思路那么请预习。
这个预习也有学问，预习时要“把更多之麻烦留给自己”，即遇到公式、定理、结论马上把证明部分盖住，自己试着证一下，可以不用写详细之过程，想一下思路即可；还要多猜猜预习之部分会有什么公式、定理、结论；还要想一想预习之内容能应用到什么领域。
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代数与几何讨论课（三） （向量组的线性相（无）关性）
一、 基本概念
1．下列命题是否正确 (1) 若向量组
1, 2 ,, m
线性相关 , 则
1, 2 ,, m 中任意一个向量都可由其余
m 1个向量线性表出.
(2) 若
m
可由向量组 1, 2 ,, m
1. 已知： A M nm , B M mn 且 n m , AB I ,求证: 2.
B 的列向量组线性无关。
1, 2 ,, n 是 n 个线性无关的 n 维向量， n1 k11 k22 knn , 且 ki （ i 1,2,, n ）全不为零。 求证： 1 , 2 ,, n , n1 中任意 n 个 n 维向量均线性无关。
也线性无关.
1 1 ,2 2 ,,m m
(8) 若
n 维 向 量 组 1, 2 ,, m 及 1, 2 ,, m 都 线 性 相 关 , 则 向 量 组
也线性相关. 则
1 1 ,2 2 ,,m m
(9) 若 n 维列向量组
1, 2 ,, m 与 n 维列向量组 1, 2 ,, m 等价,
A 是 n 阶方阵,
n 1 * (1). 求证： A A
3.设
; (2). 求 (
A * ) * ; (3).求秩( A * )
4. 证明
1, 2 ,, m
(其中 a1
0) 线性相关的充要条件是至少有一个 i
线性表出, 且表出系数惟一.
(1 i m) 可被
a1, a2 ,, ai1
m 不能由 1,2 ,,m1
1, 2 ,, m 线性无关.
2. 已知：
1 2 , 2 3 , 3 1
线性无关， 求证：
1, 2 ,3 线性无关。
12
讨论课 3—线性相关性
试判断下面的证法是否正确？为什么？
1 2 , 2 3 , 3 1 线性无关， 故 k1 (1 2 ) k2 ( 2 3 ) k3 (3 1 ) 0 k1 k2 k3 0 (k1 k3 ) 1 ( k 2 k ) 2 (k 3 k ) 因而 1 2 3 0 有 k1 k3 k2 k1 k3 k2 0 , 故 1 , 2 ,3 线性无关。
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1, 2 ,, s 也线性无关,
则向量组
1, 2 ,, m , 1, 2 ,, s
(6) 向量组 (7) 若
1, 2 ,, m 线性无关 1, 2 ,, m 中任意两个向量都线性无关.
n 维 向 量 组 1, 2 ,, m 及 1, 2 ,, m 都 线 性 无 关 , 则 向 量 组
可由向量组
1, 2 ,, m
线性表出，但不能由向量组（I）
1,2 ,,m1
的是： （1 ） （2 ）
线性表出，记向量组（II）为
1, 2 ,, m1, ，则下列说法正确
（3 ）
（4 ） 二、
m m m m
不能由（I）线性表出，也不能由（II）线性表出。 不能由（I）线性表出，但可由（II）线性表出。 可由（I）线性表出，也可由（II）线性表出。 可由（I）线性表出，但不可由（II）线性表出。
B ( 1, 2 ,, m ) 等价( 相抵 ).
矩阵 A (1,2 ,,m ) 与 矩阵 (10) 若矩阵
A, B, C 满足 A BC ,则 A 的列向量组可由 B 的列向量组线性表示. A 必有一列向量是其余列向量的线性组合.
线性表出
(11)若 A 0 ,则 (12)
证：因 3. 设向量组 （1 ） （2） （3） （4）
, ,
线性无关，
, ,
线性相关，下列说法是否正确？为什么？
必可被
, , , ,
线性表出 . 线性表出 .
必不可由 必可由
, ,
, ,
线性表出 . 线性表出。
必不可由
4. 设 向 量
线性表示 , 则存在不全为零的数
k1, k2 ,, km 使
ki i .
i 1
(3) 若向量组 (4) 若向量组 (5) 若向量组
1, 2 ,, m
1, 2 ,, m 1, 2 ,, m
线性相关, 则它的任意一个部分组也线性相关. 线性无关, 则它的任意一个部分组也线性无关. 线性无关, 且向量组 线性无关.