广东省揭阳市高中数学第四章圆与方程4.3.1空间直角坐标系教案新人教A版必修2
高中数学第4章圆的方程4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式课件新人教A版必修2
设点 P(a，b，c)为空间直角坐标系中的点，则
对称轴(或中心或平面) 点 P 的对称点坐标
原点
(－a，－b，－c)
x轴
(a，－b，－c)
y轴
(－a，b，－c)
z轴
(－a，－b，c)
xOy 平面
(a，b，－c)
yOz 平面
(－a，b，c)
xOz 平面
(a，－b，c)
关于谁谁不变，其它变相反
3．空间两点间的距离公式
『规律方法』 确定点(x0，y0，z0)的位置的四种方法 方法一 确定点(x0，y0，z0)的位置，可以通过从原点出发先沿x轴移动|x0|个 单位长度，再沿y轴移动|y0|个单位长度，然后沿z轴移动|z0|个单位长度得到． 注意：沿坐标轴正向还是负向移动由x0，y0，z0的符号决定． 方法二 在x轴上找出点M1(x0,0,0)，过点M1作与x轴垂直的平面α；再在y轴 上 找 出 点 M2(0 ， y0,0) ， 过 点 M2 作 与 y 轴 垂 直 的 平 面 β ； 最 后 在 z 轴 上 找 出 点 M3(0,0，z0)，过点M3作与z轴垂直的平面γ，于是平面α，β，γ交于一点，该点即 所求点(x0，y0，z0)．
平面上任意两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)之间的距离公式|AB|＝ x1－x22＋y1－y22， 那么空间中任意两点 A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样的呢？
1．空间直角坐标系
定义 画法
以空间中两两__垂__直____且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标 __原__点____，x轴、y轴、z轴叫做_坐__标__轴___.通过每两个坐标轴的平面叫做 _坐__标__平__面_，分别称为xOy平面、yOz平面、__z_O_x____平面
【新】版高中数学第四章圆与方程4.34.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式学案新人教A版必修2
4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式目标定位 1.了解空间直角坐标系的概念，理解三维空间的点可以用三个量来表示.2.通过所有棱分别与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.3.会用空间两点间的距离公式，求两点间的距离，比较线段的长度.自 主 预 习1.空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O －xyz .②相关概念：点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. (2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 2.空间一点的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z ).其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标. 3.空间两点间的距离公式(1)在空间中，点P (x ，y ，z )到坐标原点O 的距离|OP |(2)在空间中，P 1(x 1，y 1，z 1)与P 2(x 2，y 2，z 2)的距离|P 1P 2|4.空间中的中点坐标公式在空间直角坐标系中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22. 即 时 自 测1.判断题(1)在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标一定是(0，b ，0).(×) (2)在空间直角坐标系中，在yOz 平面上点的坐标一定可写成(0，b ，c ).(√)(3)在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记为(0，0，c).(√)(4)在空间直角坐标系中点P(a，b，c)，关于坐标原点的对称点为P′(－a，－b，－c).(√)提示(1)由定义可知，在Ox轴上的点(x，y，z)，有y＝z＝0，所以点的坐标可记为(a，0，0).2.点(2，0，3)在空间直角坐标系中的( )A.y轴上B.xOy平面上C.xOz平面上D.第一象限内解析点(2，0，3)的纵坐标为0，所以该点在xOz平面上.答案 C3.点A在z轴上，它到点(22，5，1)的距离是13，则A点的坐标是( )A.(0，0，－1)B.(0，1，1)C.(0，0，1)D.(0，0，13)解析设A(0，0，c)，则（22）2＋（5）2＋（1－c）2＝13，解得c＝1，所以点A 的坐标为(0，0，1).答案 C4.点P(－3，2，－1)关于平面xOy的对称点是________，关于平面yOz的对称点是________，关于x轴的对称点是________，关于y轴的对称点是________.答案(－3，2，1) (3，2，－1) (－3，－2，1) (3，2，1)类型一 求空间中点的坐标【例1】 建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标. 解 以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为y 轴，以射线OA 所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图.由题意知，AO ＝32×2＝3，从而可知各顶点的坐标分别为A (3，0，0)，B (0，1，0)，C (0，－1，0)，A 1(3，0，3)，B 1(0，1，3)， C 1(0，－1，3).规律方法 (1)题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； ②充分利用几何图形的对称性.(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. 【训练1】 画一个正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，以A 为坐标原点，以棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系. (1)求各顶点的坐标； (2)求棱C 1C 中点的坐标； (3)求面AA 1B 1B 对角线交点的坐标.解 建立空间直角坐标系如图所示，且正方体的棱长为1.(1)各顶点坐标分别是A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，A 1(0，0，1)，B 1(1，0，1)，C 1(1，1，1)，D 1(0，1，1).(2)棱CC 1的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12. (3)面AA 1B 1B 对角线交点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.类型二求空间中对称点的坐标【例2】在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4).(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标.解(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4).(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2，1，－4).(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12).规律方法任意一点P(x，y，z)，关于原点对称的点是P1(－x，－y，－z)；关于x轴(横轴)对称的点是P2(x，－y，－z)；关于y轴(纵轴)对称的点是P3(－x，y，－z)；关于z轴(竖轴)对称的点是P4(－x，－y，z)；关于xOy平面对称的点是P5(x，y，－z)；关于yOz平面对称的点是P6(－x，y，z)；关于xOz平面对称的点是P7(x，－y，z).求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆.【训练2】求点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标.解如图所示，过点A作AM⊥坐标平面xOy交平面于点M，并延长到点C，使AM＝CM，则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且点C(1，2，1).过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B，使AN＝NB，则点A与B关于x轴对称且点B(1，－2，1).∴点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1，2，1)；点A(1，2，－1)关于x轴对称的点为B(1，－2，1).(本题也可直接利用点关于坐标面、坐标轴对称的规律写出)类型三空间中两点间的距离(互动探究)【例3】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 中点，求M 、N 两点间的距离. [思路探究]探究点一 解决空间中的距离问题基本思路是什么？提示 求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键.探究点二 空间的中点坐标公式是什么？提示 设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.解 如图所示，分别以AB ，AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.由题意可知C (3，3，0)，D (0，3，0)， ∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2， ∴C 1(3，3，2)，D 1(0，3，2)，∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1.M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1，1，2).由两点间距离公式，得 |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋（3－1）2＋（1－2）2＝212. 规律方法 求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标.确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定. 【训练3】 已知△ABC 的三个顶点A (1，5，2)，B (2，3，4)，C (3，1，5). (1)求△ABC 中最短边的边长； (2)求AC 边上中线的长度. 解 (1)由空间两点间距离公式得|AB |＝（1－2）2＋（5－3）2＋（2－4）2＝3， |BC |＝（2－3）2＋（3－1）2＋（4－5）2＝6，|AC |＝（1－3）2＋（5－1）2＋（2－5）2＝29， ∴△ABC 中最短边是BC ，其长度为 6.(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，72. ∴AC 边上中线的长度为（2－2）2＋（3－3）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722＝12.[课堂小结]1.结合长方体的长宽高理解点的坐标(x ，y ，z )，培养立体思维，增强空间想象力.2.学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系.3.在导出空间两点间的距离公式中体会转化与化归思想的应用，突出化空间为平面的解题思想.1.在空间直角坐标系中，点P (3，4，5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A.关于x 轴对称B.关于xOy 平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对解析 点P (3，4，5)与Q (3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称. 答案 A2.已知点A (x ，1，2)和点B (2，3，4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( ) A.－3或4 B.6或2 C.3或－4D.6或－2解析 由题意得（x －2）2＋（1－3）2＋（2－4）2＝26解得x ＝－2或x ＝6. 答案 D3.已知A (3，2，－4)，B (5，－2，2)，则线段AB 中点的坐标为________. 解析 设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1，∴中点坐标为(4，0，－1). 答案 (4，0，－1)4.已知两点P (1，0，1)与Q (4，3，－1). (1)求P 、Q 之间的距离；(2)求z轴上的一点M，使|MP|＝|MQ|.解(1)|PQ|＝（1－4）2＋（0－3）2＋（1＋1）2＝22.(2)设M(0，0，z)由|MP|＝|MQ|，得12＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(z＋1)2，∴z＝－6.∴M(0，0，－6).基 础 过 关1.空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于z 轴对称D.关于原点对称解析 由A ，B 两点的坐标可知关于y 轴对称. 答案 B2.在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4，7，6)，则点M 关于y 轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为( ) A.(4，0，6) B.(－4，7，－6) C.(－4，0，－6)D.(－4，7，0)解析 点M 关于y 轴的对称点是M ′(－4，7，－6)，点M ′在坐标平面xOz 上的射影是(－4，0，－6). 答案 C3.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，A 1C 的中点E 到AB 的中点F 的距离为( )A.2aB.22a C.aD.12a 解析 由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a2，0，A 1(a ，0，a )，C (0，a ，0)，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，则|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 22＝22a . 答案 B4.在空间直角坐标系中，点A (1，0，1)与点B (2，1，－1)间的距离为________. 解析 |AB |＝（2－1）2＋（1－0）2＋（－1－1）2＝ 6. 答案65.已知三角形的三个顶点A (2，－1，4)，B (3，2，－6)，C (5，0，2).则(1)过A 点的中线长为________； (2)过B 点的中线长为________； (3)过C 点的中线长为________.解析 设BC 的中点为D ，则D (4，1，－2)，可得|AD |＝（4－2）2＋[1－（－1）]2＋（－2－4）2＝211； 设AC 的中点为E ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－12，3，可得|BE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－722＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋（－6－3）2＝5214；设AB 的中点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，12，－1，可得|CE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋[2－（－1）]2＝1262.答案 2115214 6226.如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝4，|AD |＝3，|AA 1|＝5，N 为棱CC 1的中点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.(1)求点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1的坐标； (2)求点N 的坐标. 解 (1)显然D (0，0，0)，因为点A 在x 轴的正半轴上，且|AD |＝3，所以A (3，0，0).同理，可得C (0，4，0)，D 1(0，0，5). 因为点B 在坐标平面xOy 内，BC ⊥CD ，BA ⊥AD ， 所以B (3，4，0).同理，可得A 1(3，0，5)，C 1(0，4，5)，与B 的坐标相比，点B 1的坐标中只有竖坐标不同，|BB 1|＝|AA 1|＝5，则B 1(3，4，5).(2)由(1)知C (0，4，0)，C 1(0，4，5)，则C 1C 的中点N 为⎝⎛⎭⎪⎫0＋02，4＋42，0＋52，即N ⎝⎛⎭⎪⎫0，4，52. 7.如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度.解 以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图 所示的空间直角坐标系.∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，∴C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，C 1(0，0，2)，B 1(0，2，2)， 由中点坐标公式可得，D (1，1，0)，E (0，1，2)，F (1，0，0)，∴|DE |＝（1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2＝5， |EF |＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2＝ 6.能 力 提 升8.△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线的长是( )A. 2B.2C. 3D.3解析 BC 的中点坐标为M (1，1，0)，又A (0，0，1)， ∴|AM |＝（1－0）2＋（1－0）2＋（0－1）2＝ 3. 答案 C9.在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( ) A.62B. 3C.32D.63解析 设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1∴x 2＋y 2＋z 2＝32.∴x 2＋y 2＋z 2＝62. 答案 A10.已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)(a ∈R )则|AB |的最小值是________. 解析 |AB |2＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2＝5a 2＋10a ＋59＝5(a ＋1)2＋54.∴a ＝－1时，|AB |2的最小值为54.∴|AB |min ＝54＝3 6.答案 3 611.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝2，AB ＝4，DE ⊥AC ，垂足为E ，求B 1E 的长.解 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.则D (0，0，0)，B 1(2，4，2)，A (2，0，0)，C (0，4，0)，设点E 的坐标为(x ，y ，0)，在坐标平面xOy 内，直线AC 的方程为x 2＋y 4＝1， 即2x ＋y －4＝0，又DE ⊥AC ，直线DE 的方程为x －2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4＝0，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45，0. ∴|B 1E |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45－42＋（0－2）2＝6105， 即B 1E 的长为6105. 探 究 创 新12.已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)，求：(1)MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小.解 ∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，BE ⊂平面ABEF ，∴BE ⊥平面ABCD ，∴AB 、BC 、BE 两两垂直.过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，连接NG ，易证NG ⊥AB .∵CM ＝BN ＝a ，∴CH ＝MH ＝BG ＝GN ＝22a ， ∴以B 为原点，以BA 、BE 、BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0. ∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1 ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12(0<a <2). (2)∵|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －222＋12，故当a ＝22时，|MN |min ＝22. 这时M 、N 恰好为AC ，BF 的中点.。
人教A版高中数学必修2《四章 圆与方程 4.3空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式》优质课教案_7
4.3.2空间两点间的距离 教案教学目的：1. 理解空间内两点间距离公式的推导过程,会用空间两点间的距离公式解决问题。
2.能应用坐标法解决一些简单的立体几何问题。
3.探究空间两点间的距离公式, 通过猜想，培养学生类比、迁移和化归的能力。
教学重点：空间直角坐标下两点间距离公式及其应用。
教学难点：两点间距离公式的推导教材与学情分析：本节内容是在学生已经初步掌握空间直角坐标系中任一点的坐标求法基础上；利用平面两点间距离公式类比、迁移进行新知学习，部分同学仍然会在空间思维与数形结合方面存在困惑。
因此在教学中要关注不同层次的学生的学习和发展，并尽量降低难度以利于学生掌握基础知识。
教学过程 一、复习提问1、设平面上两个点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），如何求两点之间的距离21P P ？2、如图，OABC －D ’A ’B ’C ’是单位正方体，求点B ’ 关于x 轴对称点的坐标，关于y 轴对称点的坐标。
二、新课讲授1、求空间中两点间距离的引入距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离，你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？2、 空间中两点间距离公式的推导（1）先求点P （x ，y ，z ）到坐标原点的距离。
思考1: 在空间直角坐标系中，坐标轴上的点A （x ，0，0），B （0，y ，0），C （0，0，z ），与坐标原点O 的距离分别是什么？ |OA|=|x| |OB|=|y| |OC|=|z|思考2: 在空间直角坐标系中，坐标平面上的点A （x ，y ，0），B （0，y ，z ），C （x ，0，z ），与坐标原点O 的距离分别是什么？思考3: 在空间直角坐标系中，设点 P （x ，y ，z ）在xOy 平面上的射影为M ，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM|的值分别是什么？M(x,y,0) |PM|=|z| 思考4: 基于上述分析，你能得到点 P （x，y ，zO 的距离公式吗？||OA =||OB =||OC =||OM =||OP =结合图形推导如下：设点P 在xOy 平面上的射影是B （PB 垂直平面xOy ），点B 坐标为（x ，y ，0）。
高中数学第四章圆与方程4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式学案含解析新人教A版必修2
4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式知识导图学法指导1.结合长方体、正棱锥等常见几何体，把握建系的方法，并能写出空间中的点在坐标系中的坐标．2．类比平面上两点间的距离，熟记空间两点间的距离公式．3．体会利用空间直角坐标系解决问题的步骤．高考导航1.空间直角坐标系的应用很少单独命题，一般是在解答题中应用建立空间直角坐标系的方法求解，分值为2～3分．2．通过建立空间直角坐标系，计算两点间的距离公式或确定点的坐标，是常考知识点，常与后面将要学习的立体几何等知识相结合，分值为4～6分.知识点一空间直角坐标系的建立及坐标表示1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点O引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2．空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫作点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫作点M的横坐标，y叫作点M的纵坐标，z叫作点M的竖坐标．空间直角坐标系的画法(1)x 轴与y 轴成135 °(或45 °)，x 轴与z 轴成135 °(或45 °)．(2)y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的12.知识点二 空间两点间的距离公式1．空间中任意一点P (x ，y ，z )与原点之间的距离|OP |＝x 2＋y 2＋z 2； 2．空间中任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离 |P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.1.空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．2．空间中点坐标公式：设A(x 1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P(x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22).[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )的形式．( ) (2)空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式．( ) (3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz 平面的对称点为(－1，3，2)．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在空间直角坐标系中，下列各点中位于yOz 平面内的是( ) A ．(3,2,1) B ．(2,0,0) C ．(5,0,2) D ．(0，－1，－3)解析：位于yOz 平面内的点，其x 坐标为0，其余坐标任意，故(0，－1，－3)在yOz 平面内．答案：D3．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( ) A ．y 轴上 B ．xOy 平面上 C ．zOx 平面上 D ．第一象限内解析：点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在zOx 平面上． 答案：C4．若已知点A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )A．4 3 B．2 3C．4 2 D．3 2解析：|AB|＝－3－2＋－3－2＋－3－2＝4 3.答案：A类型一空间中点的坐标的确定例1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝3，|AB|＝5，|AA1|＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标．【解析】如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz.因为长方体的棱长|AD|＝|BC|＝3，|DC|＝|AB|＝5，|DD1|＝|AA1|＝4，显然D(0,0,0)，A在x轴上，所以A(3,0,0)；C在y轴上，所以C(0,5,0)；D1在z轴上，所以D1(0,0,4)；B在xOy平面内，所以B(3,5,0)；A1在xOz平面内，所以A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，所以C1(0,5,4)．由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，所以B1的横坐标为3，纵坐标为5，因为B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，所以B1的竖坐标为4，所以B1(3,5,4).(1)建立适当的空间直角坐标系．(2)利用线段长度结合符号写出各点坐标．要注意与坐标轴正向相反的坐标为负．方法归纳(1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键．跟踪训练1 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．解析：如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，连接BO ，OO 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，OO 1⊥BO ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32，∵点A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1，C 1在yOz 平面内，∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. ∵点B 1在xOy 平面内的射影为点B ，且BB 1＝1， ∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，∴各点的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.建立空间直角坐标系，求出有关线段的长，再写出各点的坐标． 类型二 空间直角坐标系中的点的对称点例2 在空间直角坐标系中，点P (－2,1,4)关于x 轴对称的点P 1的坐标是________；关于xOy 平面对称的点P 2的坐标是________；关于点A (1,0,2)对称的点P 3的坐标是________．【解析】 点P 关于x 轴对称后，它的横坐标不变，纵坐标和竖坐标均变为原来的相反数，所以点P 关于x 轴的对称点P 1的坐标为(－2，－1，－4)．点P 关于xOy 平面对称后，它的横坐标和纵坐标均不变，竖坐标变为原来的相反数，所以点P 关于xOy 平面的对称点P 2的坐标为(－2,1，－4)．设点P 关于点A 的对称点的坐标为P 3(x ，y ，z )，由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋x2＝1，1＋y2＝0，4＋z 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1，z ＝0.故点P 关于点A (1,0,2)对称的点P 3的坐标为(4，－1,0)．【答案】 (－2，－1，－4) (－2,1，－4) (4，－1,0)利用对称规律解决关于坐标轴、坐标平面的对称问题，利用中点坐标公式解决点关于点的对称问题．方法归纳在空间直角坐标系内，已知点P(x，y，z)，则有：①点P关于原点的对称点是P1(－x，－y，－z)②点P关于横轴(x轴)的对称点是P2(x，－y，－z)③点P关于纵轴(y轴)的对称点是P3(－x，y，－z)④点P关于竖轴(z轴)的对称点是P4(－x，－y，z)⑤点P关于xOy坐标平面的对称点是P5(x，y，－z)⑥点P关于yOz坐标平面的对称点是P6(－x，y，z)⑦点P关于xOz坐标平面的对称点是P7(x，－y，z)．跟踪训练2 已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M 关于x轴、y轴对称的点M3，M4.解析：由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x 轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3).方法归纳求对称点的坐标问题一般依据“关于谁对称谁不变，其余均改变”来解决．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．要特别注意：点关于点的对称要用中点坐标公式解决．类型三空间两点间的距离,,例3 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．【解析】由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a . 因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，34a ，a .根据空间两点间的距离公式，可得 |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－3a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＝64a .建立空间直角坐标系，先确定相关点的坐标，然后根据两点间的距离公式求解． 方法归纳求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．跟踪训练3 求A (0,1,3)，B (2,0,1)两点之间的距离． 解析：|AB |＝－2＋－2＋－2＝3.解答本题可直接利用空间两点间的距离公式.[基础巩固](20分钟，40分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．点M (0,3,0)在空间直角坐标系中的位置是在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．z 轴上 D ．xOz 平面上解析：因为点M (0,3,0)的横坐标、竖坐标均为0，纵坐标不为0，所以点M 在y 轴上． 答案：B2．点P (1,4，－3)与点Q (3，－2,5)的中点坐标是( ) A ．(4,2,2) B ．(2，－1,2) C ．(2,1,1) D ．(4，－1,2)解析：设点P 与点Q 的中点坐标为(x ，y ，z )，则x ＝1＋32＝2，y ＝4－22＝1，z ＝－3＋52＝1.答案：C3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：根据空间直角坐标系的概念知，yOz平面上点Q的x坐标为0，y坐标、z坐标与点P的y坐标2，z坐标3分别相等，∴Q(0，2，3)．答案：B4．已知M(4,3，－1)，记M到x轴的距离为a，M到y轴的距离为b，M到z轴的距离为c，则( )A．a>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．b>c>a解析：借助长方体来思考，a、b、c分别是三条面对角线的长度．∴a＝10，b＝17，c＝5.答案：B5．已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为( )A．(0,0,6) B．(6,0,1)C．(6,0,0) D．(0,6,0)解析：设P(x,0,0)，|PA|＝x－2＋1＋1，|PB|＝x－2＋9＋9，由|PA|＝|PB|，得x＝6.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________．解析：由题中图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，所以点B1的坐标为(a，b，c)．答案：(a，b，c)7．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________．解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．答案：(－4,1，－2)8．点P (－1,2,0)与点Q (2，－1,0)的距离为________． 解析：∵P (－1,2,0)，Q (2，－1,0)， ∴|PQ |＝－1－2＋[2－－2＋02＝3 2.答案：3 2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，|AB |＝|AC |＝|AA 1|＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |.解析：如右图，以A 为原点，射线AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)，因为M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，所以由空间直角坐标系的中点坐标公式得M (4＋02，0＋42，0＋42)，N (0＋42，0＋02，4＋42)，即M (2,2,2)，N (2,0,4)．所以由两点间的距离公式得 |MN |＝－2＋－2＋－2＝2 2.10．已知点P (2,3，－1)，求：(1)点P 关于各坐标平面对称的点的坐标； (2)点P 关于各坐标轴对称的点的坐标； (3)点P 关于坐标原点对称的点的坐标．解析：(1)设点P 关于xOy 坐标平面的对称点为P ′，则点P ′的横坐标、纵坐标与点P 的横坐标、纵坐标相同，点P ′的竖坐标与点P 的竖坐标互为相反数．所以点P 关于xOy 坐标平面的对称点P ′的坐标为(2,3,1)．同理，点P 关于yOz ，xOz 坐标平面的对称点的坐标分别为(－2,3，－1)，(2，－3，－1)．(2)设点P 关于x 轴的对称点为Q ，则点Q 的横坐标与点P 的横坐标相同，点Q 的纵坐标、竖坐标与点P 的纵坐标、竖坐标互为相反数．所以点P 关于x 轴的对称点Q 的坐标为(2，－3,1)．同理，点P 关于y 轴，z 轴的对称点的坐标分别为(－2,3,1)，(－2，－3，－1)． (3)点P (2,3，－1)关于坐标原点对称的点的坐标为(－2，－3,1)．[能力提升](20分钟，40分)11．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,7,6)，则点M 关于y 轴对称的点在xOz 平面上的射影的坐标为( )A ．(4,0,6)B ．(－4,7，－6)C ．(－4,0，－6)D ．(－4,7,0)解析：点M 关于y 轴对称的点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在xOz 平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．答案：C12．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________.解析：由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92，－2.又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－922＋[z －－2＝3，解得z ＝0或z ＝－4. 答案：0或－413．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．解析：由题意，得点B 与点A 关于xOz 平面对称， 故点B 的坐标为(－2,3，－1)；点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)； 点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)； 由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)．14．已知点M (3,2,1)，N (1,0,5)，求： (1)线段MN 的长度；(2)到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件． 解析：(1)根据空间两点间的距离公式得 |MN |＝－2＋－2＋－2＝26，所以线段MN 的长度为2 6.(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等，所以x －2＋y －2＋z －2＝x －2＋y －2＋z －2，化简得x ＋y －2z ＋3＝0，因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0.。
高中数学 第四章 圆与方程 4.3 空间直角坐标系 2 空间两点间的距离公式教案 新人教A版必修2
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4.3.2空间两点间的距离公式 教学目标使学生掌握空间两点的距离公式由来及应用．重点 难点 重点:空间两点的距离公式难点：空间两点的距离公式的推导。
教具 准备 多媒体 课时安排一个课时教学过程与教学内容教学方法、教学手段与学法、学情一、复习准备：1. 提问：平面两点间的距离公式？2. 给你一块砖，你如何量出它的对角线长，说明你的理由 ．3. 建筑设计中常常要计算空间两点间的距离公式，你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？二、讲授新课：1．空间两点的距离公式（1）设问：你能猜想一下空间两点),,(1111z y x P 、),,(2222z y x P 间的距离公式吗?如何证明？，因空间直角坐标系是在平面直角坐标系的基础上，经过原点O 再作一条垂直于这个平面的直线，因此学生完全能借助平面上两点间的距离公式，考虑到此距离与竖坐标有关，猜想出空间两点间的距离公式22122122121)()()(||z z y y x x P P -+-+-=．故在介绍空间两点间的距离公式时,没有直接呈现公式结论，而是先让学生猜想、证明，从中培养学生对陌生问题通过已学的类似问题，要敢于提出猜想的意识．在推导空间两点间的距离公式时，教材故意让学生经历一个从易到难，从特殊到一般的目的在于让学生掌握类比的方法和养成严谨的思维习惯．（2）学生阅读教材136P — 137P 内容，教师给与适当的指导．思考：1）点M （x ，y ，z ）与坐标原点O （0,0，0）的距离？2） M 1,M 2两点之间的距离等于0⇔M 1=M 2，两点重合，也即x 1=x 2，y 1=y 2，z 1=z 2．讨论:如果OP 是定长r ，那么2222x y z r ++=表示什么图形?2．例题1:求点P 1(1， 0, -1）与P 2（4, 3， —1）之间的距离．要求学生熟记公式并注意公式的准确运用练习：求点(0,0,0)(5,2,2)A B -到之间的距离3．例题2：已知A(x,2,3）、B （5，4，7)，且|AB ｜=6,求x 的值．分析：利用空间两点间的距离公式，寻找关于x 的方程，解方程即得．解：|AB|=6，∴6)73()42()5(222=-+-+-x即16)5(2=-x ，解得x=1或x=9∴x=1或x=9总结:求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解．练习：已知A（2,5，—6），在y轴上求一点B，使得|AB|=7．答案：B（0，2，0)或B（0,8，0)．4．思考：1。
高中数学 4.3.1空间直角坐标系教案 新人教A版必修2
空间直角坐标系复习课教学设计1．教学内容解析《空间直角坐标系》是人教A版必修2第四章《圆与方程》中第三节的内容．是“坐标法”在空间中的推广，又是学生以后学习“空间向量”的基础．重点：进一步学习建立空间直角坐标系的方法，深化建系的关键：垂直关系；进一步探究复杂空间几何体中点的坐标表示；使学生形成系统的知识结构．难点：复杂空间几何体中点的坐标表示；“坐标法”的应用．2．教学目标设置（1）知识与技能：掌握各种常用空间几何体的建系方法，能解决较复杂空间图形的建系问题；能写出某些复杂空间几何体中点的坐标；能用空间中两点间的距离公式，解决某些具体问题．（2）过程与方法：运用类比与转化，建立空间直角坐标系与平面直角坐标系之间的联系；运用归纳，从特殊到一般，总结出建系的方法与表示点坐标的方法．（3）情感、态度与价值观：体会二维空间到三维空间的推广；体会“坐标法”在空间图形中的应用，数与形的统一，用代数方法解决几何问题的思想．3．学生学情分析学生刚刚学习了“空间直角坐标系”与“空间中两点间的距离公式”这两个内容，对建系、点的坐标表示有一定的基础．同时也学习了“空间几何体”与“直线、圆的方程”，对柱、锥、球体有一定的认识与了解，对“坐标法”解决几何问题的思想也有一定的了解．但学生在前两节课中，更多地是在立方体、长方体等较简单的空间几何体中建立直角坐标系，在坐标系概念、点与坐标的对应上研究得更多．对各种空间几何体建系方法尚未总结．对具体的空间图形中的点（如斜棱柱的某些顶点、几何图形翻折后的点）的坐标，认识不够清晰．4．教学策略分析本节课运用探究式教学．第一环节是知识回顾，由教师引导，对前两节课的知识点进行简单的梳理．第二环节通过变式教学，对各种空间几何体进行分类：直棱柱、有线面垂直的棱锥、有面面垂直的棱锥或棱柱、正棱锥……由易到难，层层递进，使学生对建立空间直角坐标系的方法有一个更深的认识．同时，通过对具体问题（斜四棱柱）的探究，使学生对点的表示形成一个更清晰的认识．第三环节通过对几个不同的实例：确定外接球球心问题、翻折问题的探究，深化用代数方法解决几何问题的思想．本节课采用PPT 教学．同时，教师把要研究的几何体图形印成讲义，课前发给学生，免去了学生作图的环节，节约上课时间．5．教学过程第一环节：知识点的回顾．（结合课件，教师引导，学生回答．） 建立空间直角坐标系的意义：用代数方法解决几何问题．①空间直角坐标系的构成，三要素：原点、坐标轴、单位长度；与平面直角坐标系的联系；右手系建系；②空间中点的坐标名称及表示方法：找到空间中点在平面xOy 上的射影，求出射影点的横、纵坐标，即为该点的横、纵坐标，该点在z 轴上的投影，即为竖坐标；③空间中两点的距离公式．第二环节：深化并归纳较复杂空间图形的建系方法；探究空间图形中某些特定的点的坐标表示． 例1．为下列空间几何体建立恰当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标． （1）直四棱柱 ①正方体1111ABCD A BC D -，棱长为1；②长方体111112,3ABCD A B C D AB AA BC -===,；（学生较熟悉，课件直接展示建系结果，使仅量多的顶点在坐标轴上，轴上点的坐标表示更简单．）③所有棱长都为1，底面是菱形，60ABC ∠=；zx yz x yAC（让学生探究不同的建系方式，体会直棱柱中侧棱垂直底面的作用．）（2）棱锥，①侧棱PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是菱形，1,60PA AB ABC ==∠=；②侧棱PA ⊥底面ABC ，1,PA AB ABC ==∆是正三角形； ③正四棱锥,P ABCD PO -⊥面,1ABCD PO AB ==；，（四棱柱变为四棱锥，四棱锥变为三棱锥；侧棱PA 垂直底面变为高PO 垂直底面，建系类型与（1）相同，关键是“线面垂直”．底面还可以变为其它形状，如直角三角形、梯形等等．在②中可能会有学生取AC 中点或BC 中点做为坐标原点，可以引导学生比较几种不同建系方式的特点，如以A 点为坐标原点，可使其余各点的坐标为正数；若以线段BC 中点为坐标原点，可使,B C 点的坐标体现出对称性；若以AC 中点做为坐标原点，则可以自然过渡到下一类型：“面面垂直”……这部分对学生来说不难，因此只要提炼出方法，PPT 演示，不需要每个题都详细解答．）例2．（1）四棱锥P ABCD -，面PAB ⊥面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形， PAB ∆是正三角形，30,3,ABC AB BC ∠===（2）四棱柱1111ABCD A B C D -，面11AA D D ⊥面ABCD ．底面ABCD 是等腰梯形，zyx//,22,60AD BC AD BC BAD ==∠=．侧面11AA D D 是菱形，160A AD ∠=，建立恰当的空间直角坐标系，并写出相应各顶点的坐标．（利用转化思想，引导学生把面面垂直转化为线面垂直，建立空间直角坐标系．有面面垂直的柱及棱锥的建系都是同一类型．提醒学生，xOy 平面上点坐标的表示，可单独把该面画成平面直角坐标系，就能更清楚地体现各点的坐标．其它坐标平面内的点可类似得到，（2）中的1D 点的坐标就容易表示了．而对（2）中11,B C 点的坐标表示，部分学生会略感困难．引导学生利用面面垂直，找出这几点在平面xOy 上的射影就在直线BC 上，进而求出它们的坐标．通过该题使学生在具体实例中进一步体会复杂图形中点的坐标表示方法，关键点为：找射影．）通过以上图形的变化，引导学生归纳出建立空间直角坐标系的方法： 1． 利用线面垂直建立空间直角坐标系；2． 把面面垂直转化为线面垂直，进而建立空间直角坐标系．第三环节：用空间中两点间的距离公式解决实际问题．例3．正三棱锥,2P ABC AB -=，高3PO =．（1）建立恰当的空间直角坐标系，并写出各顶点对应的坐标； （2）试确定其外接球球心O '的位置．（类比正四棱锥的建系方式，学生容易想到利用高OP 来建立z 轴，这样坐标原点就确定下来了．那么学生也会自然地利用底面三角形的高，来建立x 轴或y 轴．当然也可能有学生会利用A 点或底面棱中点来作为坐标原点，可引导学生比较各种建系方式的不同．）（对第（2）小题，学生容易想到球心就在高OP 上，这样确定了球心的横、纵坐标．接下来只要设一个竖坐标．只有一个未知数，再找一个条件即可求解．如上图建立空间直角坐标系，设(0,0,)O h '，由O P O B ''=，得224(3)3h h -=+，解之，得2318h =．即O '坐标为23(0,0,)18．举一反三，教师引导学生推广求其它几何体的外接球球心的方法：设球心(,,)x y z ，三个未知数，只要找到三个条件，即球心到球面上三个点的距离都相等，列出三元一次方程组，解方程既可．）y例4．如图， 在矩形A B C D 中，点,E F 分别在线段,AB AD 243A E EB A F F D ====.沿直线EF 将AEF V 翻折成1A EF ∆1A EF C --是直二面角.（1）建立恰当的空间直角坐标系，求1A 点的坐标；（2）点N 在线段BC 上，沿直线DN 将CDN ∆翻折成1C DN ∆，当二面角1C DN C --为120时，1C 到底面ABCD 的距离恰为1A 与1C 之间的距离；（可引导学生比较不同的建系方式，如坐标原点在A 点时，各点的坐标较简单．对于1A 点和1C 点的坐标表示，学生会直接过1A 点和1C 点作底面的垂线，1A 点射影的具体位置可以确定，但1C 点的则不能．教师引导学生从翻折图形的重要特征，即翻折前与翻折后哪些量保持不变入手．不妨让学生拿一张纸，实际翻折一下，学生会更直观地体验到，1C 的射影位置，其实是在过C 点，且垂直于DN 的直线上，这条垂直于DN 的直线经翻折后，恰构成了二面角1C DN C --的平面角，问题迎刃而解．同时，教师提醒学生注意翻折前的CD 与翻折后的1C D 为同一线段，或者翻折前后的CDN ∆与1C DN ∆全等，因此CD 与1C D 长度相同，为接下来的计算，以及下一小题的解决做个铺垫．） （3）点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C与1A 重合，求线段FM 长．（本题是2010年浙江省的高考题．本题的难点在直线MN 的位 置不确定，需要学生有一定的空间想象能力，画出翻折后的空间 图形，并牢牢抓住翻折前后不变的量这一关键．利用线段相等， 来求出点M 的坐标．如图建立空间直角坐标系，则M 点的坐标可设为(4,0,0)x +，这里只有一个未知量，因此只要再找一个条件即可．注意到1A M CM =，而C 与1A 坐标已知，1(10,8,0)A C ，可列出方程22(42)48(410)64x x +-++=+-+，解出214x =，即FM 长．）第四环节：小结．本节课继续学习了空间直角坐标系在各种空间图形中的建法；复杂空间图形中点坐标的表示方法；特殊问题，如翻折问题中点坐标的表示法；空间两点间距离公式在解决实际问题中的应用……以上可让学生各抒己见． 作业：略．。
高中数学 4.3.1空间直角坐标系精品教案 新人教A版必修2
4.3.1 空间直角坐标系（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示2．过程与方法建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示3．情态与价值观通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数列结合的思想.（二）教学重点和难点空间直角坐标系中点的坐标表示.（3）建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？轴上，且O D′= 2，；它的横坐标x与纵平面上，它们所在位，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)，）今天通过这堂课的学习，你能有什么收获？布置作业见习案 4.3的第一课备选例题例1 如图，长方体OABC–D′A′B′C′中，OA = 3，OC = 4，OD′= 3，A′B与AB′相交于点P，分别写出点C、B′、P的坐标.【解析】C在y轴正半轴上，坐标C(0，4，0)，B′的横坐标与A点相同，纵坐标与C点相同，竖坐标与D′点相同，所以B′（3，4，3）.P为正方形的对角线交点，坐标为11 (1,,)22.例2 如图，正方体ABCD–A1B1C1D1，E、F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，求点E、F的坐标和B1关于原点D的对称点坐标.【解析】由B(1，1，0)，B1(1，1，1)则中点E为1 (1,1,)2，由B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，则中点11 (,,1)22F.设B1关于点D的对称点M(x0，y0，z0)，即D为B1M的中点，因为D(0，0，0)，所以1211012112xxyyzz+⎧=⎪=-⎧⎪-⎪⎪==-⎨⎨⎪⎪=-⎩+⎪=⎪⎩得，所以M (–1，–1，–1 ).。
广东省揭阳市高中数学第四章圆与方程4.3.1空间直角坐标系教案新人教A版必修2
4.3.1空间直角坐标系 教学目标 使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法．重点难点 重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标。
难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标。
教具准备多媒体课时 安排 一个课时 教学过程与教学内容 教学方法、教学手段与学法、学情一.提出问题：1.在初中，我们学过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点怎样表示？２．在初中，我们学过平面直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系？决定平面直角坐标系的因素有哪些？平面直角坐标系上的点怎样表示？如何借助平面直角坐标系表示学生的座位?能用直角坐标系表示教室里灯泡的位置吗？３．在空间，我们是否可以建立一个坐标系，使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？（板书课题）阅读课本134P - 135P 内容二、讲授新课：1.空间直角坐标系：如图４.3-1(课本), ,,,,OBCD D A B C 是单位正方体.以O 为原点，分别以射线OA,OC,O 'D 的方向为正方向，以线段OA,OC,O 'D 的长为单位长，建立三条数轴：x 轴，y 轴，z 轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系Ｏxyz.其中点Ｏ叫做坐标原点，x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标面，分别称为ｘＯｙ平面、ｙＯｚ平面、ｚＯｘ平面．将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z 轴垂直于y 轴，，y 轴和z 轴的长度单位相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样三条轴上的单位长度在直观上大体相等．2. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手大拇指、食指和中指相互垂直时，大拇指指向x 轴正方向，食指指向y 轴正方向，中指指向z 轴正方向，则称这个坐标系为右手坐标系，如无特别说明，以后建立的坐标系都是右手坐标系． ３．空间直角坐标系中的点与有序书组之间的关系：1）已知M 为空间一点，过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴，它们与x 轴、y 轴和z 轴的交点分别为P 、Q 、R ，这三点在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ．这样空间的一点M 就唯一确定了一个有序数组x ，y ，z ．这组数x ，y ，z 就叫做点M 的坐标，并依次称x ，y ，z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．坐标为x ，y ，z 的点M 通常记为M （x ，y ，z ）．2）反过来，一个有序数组x ，y ，z ，我们在x 轴上取坐标为x 的点P 在y 轴上取坐标为y 的点Q ，在z 轴上取坐标为z 的点R ，然后通过P 、Q 、R 分别作x 轴，y 轴，z 轴的垂直平面．这三个平面的交点M 即为有序数组x ，y ，z 为坐标的点．数x ，y ，z 就叫做点M 的坐标，并依次称x ，y ，z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．3）坐标为x ，y ，z 的点M 通常记为M （x ，y ，z ）．我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M 和有序数组x ，y ，z 之间的一一对应关系4.例题1（课本例1）：在长方体,,,,OBCD D A B C -中，,3,4, 2.OA oC OD ===写出,,,,,,D C A B 四点坐标.（建立空间直角坐标系→写出原点坐标→各点坐标）讨论： 若以C 点为原点，以射线BC 、CO 、C 'C 方向分别为ox 、oy 、oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎样的呢？ （得出结论：不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同．）5．例题2（课本例2）题略说明： 学生阅读，思考与例1的不同，教师引导学生解题的方法，图中没有坐标系，这给我们解题带来了难度，同时也给我们的思维提供了空间，如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单？一般来说，以特殊点为原板书4.3.1空间直角坐标系1．空间直角坐标系的建立．2．空间直角坐标系内点的坐标的确定过程. 3．空间直角坐标系中点的位置的确定教学反思。
高中数学 第四章 圆与方程 4.3 空间直角坐标系教学设计 新人教A版必修2
4.3 空间直角坐标系【教学目标】1.知识与技能：（1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景。
（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示。
2.过程与方法：建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示3.情感态度价值观：通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数列结合的思想.【重点难点】1.教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标.2.教学难点：通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用.【教学策略与方法】1.教学方法：合作探究、启发诱导，学生动手尝试相结合.2.教具准备：多媒体【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节一：问题：1、数轴上的点怎么表示？2、平面直角坐标系上的点怎么表示？3、怎样确切的表示室内灯泡的位置？引入课题。
回答问题让学生体会到点与数（有序数组）的对应关系环节二：思考1:平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想：空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位置关系如何？三条交于一点且两两互相垂直的数轴思考2:在空间中，取三条交于一点且两两互相垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，组成空间直角坐标系Oxyz，在平面上如何画空间直角坐标系？总结：空间直角坐标系的画法：1.x轴与y轴、x轴与z轴均成135度, 学生思考，讨论，代表回答。
以旧引新激发学习兴趣.问题的引导可以使学生更好的把握空间直角坐标系的建立。
而z轴垂直于y轴．2.y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的单位长度的一半．练习:在空间直角坐标系中，对三条数轴的方向作如下约定：伸出右手，拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正方向，中指指向为z轴正方向，并称这样的坐标系为右手直角坐标系.那么下列空间直角坐标系中哪些是右手直角坐标系？思考3:空间直角坐标系中任意一点的位置如何表示？注意：在建立了空间直角坐标系后，空间中任何一点P就与有序实数组(x,y,z)建立了一一对应关系，(x,y,z)就叫做P的空间直角坐标，简称为坐标，记P(x,y,z)。
高中数学 第四章 圆与方程 4.3 空间直角坐标系教学设计 新人教A版必修2
空间直角坐标系通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并难点：空间任意两点的中点坐标【思路分析】类比平面直角坐标的点的作法进行作点【解法二】在x 轴上作出横坐标是1的点M ，再将M 沿与y 轴平行的方向向右移动2个单位得到点A '，然后将A '沿与z 轴平行的方向向上移动3个单位即得点A .A 点的位置如图所示.【点评】方法1比较直观明了,可操作性强,易于明白;方法二用了运动的观点.到底用哪种方法作点的坐标较好,请同学们自己体会.☆自主探究1在空间直角坐标系中，作出点(1,2,3)A -.(不用写作图过程,但要保留作图的痕迹)2. 空间两点间的距离例2已知A (x ,2,3)、B (5,4,7)，且|AB |=6，求x 的值. 【思路分析】根据空间两点间的距离公式求解.【解析】|AB |=6， ∴222(5)(24)(37)6x -+-+-=， 即2(5)16x -=，解得1x =或9x =.【点评】熟悉公式是解决此类问题的关键. ☆自主探究2点P 到三个坐标平面的距离相等且皆为2，则P 到原点的距离为( ) A.2 B.23 C.32 D.323 2. 空间中点的对称问题例2求点P (1,2,3)关于坐标平面xOy 的对称点的坐标. 【思路分析】用对称的定义或类比平面点的对称可得结果.【解析】设点P 关于坐标平面xOy 的对称点为P '，连PP '交坐标平面xOy 于Q ，则PP '⊥坐标平面xOy ，且|PQ |=|P 'Q|，∴P '在x 轴、y 轴上的射影分别与P 在x 轴、y 轴上的射影重合， P '在z 轴上的射影与P 在z 轴上的射影关于原点对称，∴P '与P 的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数， ∴ 点P (1,2,3)关于坐标平面xOy 的对称点的坐标为(1,2,－3).三点构成直角三角形两。
人教版高中数学必修2第四章圆与方程-《4.3空间直角坐标系》教案(4)
空间直角坐标系
教学目的：将学生的思维尤平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的
教学重点: 1.空间直角坐标系的概念
2.空间两点间的距离
教学难点：空间思想的建立
一、空间点的直角坐标
一对应关系，沟通了平面图形与数的研究。
为了沟通空间图形与数的研究，我们用类似于平面解析几何的方法，通过引进空间直角坐标系来实现。
1、空间直角坐标系
(横轴)
(纵轴)竖轴)，且统称为坐标轴。
铅垂线，它们的正方向要符合右手规则：
向。
三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系坐标原点。
注明：
2、坐标面卦限
坐标面。
三个坐标面把空间分成了八个部分，这八个部分称为卦限。
3、空间点的直角坐标系
横坐标、纵坐标和竖坐标，记为M
反过来，若已知一有序数组z y x ,,
z
y x ,,为坐标的空间点。
这样，通过空间直角坐标系，z y x ,,之
间的一一对应关系。
注明： 空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定， 因此， 常称我们生 ”。
应加
二、空间两点间的距离公式
故故
故。
高中数学第四章圆与方程4.3空间直角坐标系导学案无答案新人教A版必修266
§4.3 空间直线坐标系§年级：高一一、预习目标1.用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法．2.理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系． 二、预习内容（预习教材P 134~ P 138，回答下列问题）1．如何确定一个点在一条直线上的位置？ 。
2． 如何确定一个点在一个平面内的位置？ 。
3.从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴：x 轴,y 轴,z 轴.这样就建立了 ，点O 叫作 ，x 轴、y 轴、z 轴叫作 ，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为 , , .4.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向z 轴的正方向则称这个坐标系为 。
5.空间任意点A 的坐标可以用有序实数组（x ，y ，z ）来表示，有序实数组（x ，y ，z ）叫做点A 在此 ，记作 。
其中x 叫做点A 的 ，y 叫做点A 的 ，z 叫做点A 的 。
6.空间两点间的距离公式 。
三、 学习过程 学习探究1.问题1．怎么样建立空间直角坐标系？问题2．什么是右手直角坐标系？问题3．什么是空间直角坐标系，怎么表示？思考：坐标原点O 的坐标是什么？请你写出正方体各顶点的坐标?讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程学习探究2.问题1．类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下空间两点),,(1111z y x P ，),,(2222z y x P 间的距离公式吗？新知．空间中任意一点),,(1111z y x P 与点),,(2222z y x P 之间的距离公式1P P 问题2．如果OP 是定长r ，那么2222r z y x =++表示什么图形？注意：⑴空间两点间距离公式同平面上两点间的距离公式形式上类似；⑵公式中1212,,,x x y y 12,zz 可交换位置；⑶公式的证明充分应用矩形对角线长=.三、小试牛刀1. 关于空间直角坐标系叙述正确的是（ ）. A ．(,,)P x y z 中,,x y z 的位置是可以互换的B ．空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系C ．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分D ．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同2. 已知点(3,1,4)A --，则点A 关于原点的对称点的坐标为（ ）. A ．(1,3,4)--B ．(4,1,3)--C ．(3,1,4)-D ．(4,1,3)-3.坐标原点到下列各点的距离最小的是（ ） Ａ．(111)，， Ｂ．(122)，， Ｃ．(235)-，， Ｄ．(304)，，4. 在空间直角坐标系中，画出下列各点： A （0，0，3），B （1，2，3），C （2，0，4），D （－1，2，－2）．典型例题例1在长方体OBCD D A B C ''''-中，3,4OA OC == 2.OD '=写出,,,D C A B '''四点坐标.讨论：若以C 点为原点，以射线,,BC CD CC '方向分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则各顶点的坐标又是怎样的呢？例2 V ABCD -为正四棱锥，O 为底面中心，若2,3AB VO ==，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标.例3、如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1各棱长均为2，试建立适当坐标系，确定各顶点的坐标。
人教A版高中数学必修2第四章 圆与方程4.3 空间直角坐标系教案(4)
人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）14.3 空间直角坐标系教案 A教学目标一、知识与技能1. 理解空间直角坐标系的建立，掌握空间中点的坐标表示；2. 掌握空间两点间的距离公式. 二、过程与方法1. 建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示；2. 经历由平面上两点间距离公式推导出空间中两点间的距离公式的过程. 三、情感、态度与价值观1. 通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，体会类比和数形结合的思想.2. 通过空间两点间距离公式的推导，经历从易到难，从特殊到一般的认识过程. 教学重点、难点教学重点：空间直角坐标系中点的坐标表示，空间两点间的距离公式. 教学难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导.教学关键：用类比的方法写出空间的点的坐标，记忆并应用空间两点间的距离公式求空间的两点间距离，提高学生的空间想象能力.教学突破方法：借助正方体，发挥学生的空间想象能力，写出空间点的坐标. 教法与学法导航教学方法：问题教学法，类比教学法. 学习方法：探究讨论、练习法. 教学准备教师准备：多媒体课件，正方体模型.学生准备：平面直角坐标系中点的坐标的写法. 教学过程教学 环节教学内容师生互动设计 意图 创设情境 导入新课 1.我们知道数轴上的任意一点M 都可用对应一个实数x 表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M 都可用对应一对有序实数（x ，y ）表示.那么假设我们对立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组（x ，y ，z ）表示出来呢？ 师：启发学生联想思考. 生：感觉可以. 师：我们不能仅凭感觉，我们要对它的认识从感性化提升到理性化. 让学生体会到点与数（有序数组）的对应关系.教师备课系统──多媒体教案2 概念形成2.空间直角坐标系该如何建立呢？图1师：引导学生看图1，单位正方体OABC–D′A′B′C′，让学生认识该空间直角系O–xyz中，什么是坐标原点，坐标轴以及坐标平面.师：该空间直角坐标系我们称为右手直角坐标系.体会空间直角坐标系的建立过程.3．建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？图 2师：引导学生观察图2.生：点M对应着唯一确定的有序实数组（x，y，z），x、y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴上的坐标.师：如果给定了有序实数组（x，y，z），它是否对应着空间直角坐标系中的一点呢？生：（思考）是的．师：由上我们知道了空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组（x，y，z）来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M（x，y，z），x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.师：大家观察一下图1，你能说出点O，A，B，C的坐标吗？学生从（1）中感性向理性过渡.人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）3应用 举例 4. 例1 如图，在长方体OABC – D ′A ′B ′C ′中，|OA | = 3，|OC | = 4，|OD ′| = 2.写出D ′、C 、A ′、B ′四点的坐标. 【解析】D ′在z 轴上，且O D ′ = 2，它的竖坐标是2；它的横坐标x 与纵坐标y 都是零，所以点D ′的坐标是（0，0，2）. 点C 在y 轴上，且O C = 4，它的纵坐标是4；它的横坐标x 与竖坐标z 都是零，所以点C 的坐标是（0，4， 0）. 同理，点A ′的坐标是（3，0，0）. 点B ′在xOy 平面上的射影是B ，因此它的横坐标x 与纵坐标y 同点B 的横坐标x 与纵坐标y 相同.在xOy 平面上，点B 横坐标x = 3，纵坐标y = 4；点B ′在z 轴上的射影是D ′，它的竖坐标与点D ′的竖坐标相同，点D ′ 的竖坐标z = 2. 所点B ′的坐标是（3，4，2）． 例2结晶体的基本单位称为晶胞，图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子.如图，建立空间直角坐标系O – xyz 后，试写出全部钠原子所在位置的坐标.师：让学生思考例1一会，学生作答，师讲评. 师：对于例2的讲解，主要是引导学生先要学会建立合适的空间直角坐标系，然后才涉及到点的坐标的求法. 生：思考例1、例2的一些特点.总结如何求出空间中的点坐标的方法.例2【解析】把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标. 下层的原子全部在xOy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是（0，0，0），（1，0，0），（1，1，0），（0，1，0），11(,,0)22； 中层的原子所在的平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的竖坐标为12，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是1111(,0,),(1,,)2222， 1111(,1,),(0,,)2222；学生在教师的指导下完成，加深对点的坐标的理解，例2更能体现出建立一个合适的空间直角系的重要性.教师备课系统──多媒体教案4续上表上层的原子所在的平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），11(,,1)22.5. 练习2 如图，长方体OABC – D ′A ′B ′C ′中，|OA | = 3，|OC | = 4，|OD ′| = 3，A ′C ′于B ′D ′相交于点P .分别写出点C 、B ′、P 的坐标. 师：大家拿笔完成练习2然后上黑板来讲解.生：完成.【解析】C 、B ′、P 各点的坐标分别是（0，4，0），（3，4，3），3(,2,3)2. 学生在原有小结的经验的基础上，动手操作，并且锻炼学生的口才．提出新概念 6. 在平面上任意两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）之间的距离的公式为|AB | =221212()()x x y y -+-，那么对于空间中任意两点A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，z 2）之间的距离的公式会是怎样呢？你猜猜？师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要. 生：踊跃回答.通过类比，充分发挥学生的联想能力.概念 形成 7. 空间中任间一点P （x ，y ，z ）到原点之间的距离公式会是怎样呢？师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成.学生：在教师的指导下作答得出|OP |=222x y z ++. 从特殊的情况入手，化解难度.人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）5续上表概念 深化8. 如果|OP | 是定长r ，那么x 2 + y 2 + z 2 = r 2表示什么图形？ 师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程x 2 + y 2 = r 2表示的图形中，方程x 2 + y 2 = r 2表示图形，让学生有种回归感.生：猜想说出理由. 学会类比. 9.如果是空间中任意一点P 1 （x 1，y 1，z 1）到点P 2 （x 2，y 2，z 2）之间的距离公式是怎样呢？师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导. 得出结论： |P 1P 2| =222121212()()()x x y y z z -+-+-人的认识是从特殊情况到一般情况的.10. 巩固练习 （1）先在空间直角坐标系中标出A 、B 两点，再求它们之间的距离：A （2，3，5），B （3，1，4）； A （6，0，1），B （3，5，7）. （2）在z 轴上求一点M ，使点M 到点A （1，0，2）与点B （1，–3，1）的距离相等.教师引导学生作答（1）【解析】6，图略；70，图略 （2）【解析】设点M 的坐标是（0，0，z ）.依题意，得 22(01)0(2)z -++-=222(01)(03)(1)z -+++-培养学生直接利用公式解决问题能力，进一步加深理解.教师备课系统──多媒体教案6（3）求证：以A（10，–1，6），B（4，1，9），C（2，4，3）三点为顶点的三角形是等腰三角形.4．如图，正方体OABD–D′A′B′C′的棱长为a，|AN| =2|CN|，|BM| = 2|MC′|.求MN的长.解得z = –3.所求点M的坐标是（0，0，–3）.（3）【证明】根据空间两点间距离公式，得，︱AB︱=222(104)(11)(69)-+--+-=7，︱BC︱=222(42)(14)(93)-+-+-=7，︱AC︱=222(102)(14)(63)-+--+-=98.因为7+7＞98，且|AB| = |BC|，所以△ABC是等腰三角形.4．【解析】由已知，得点N的坐标为2(,,0)33a a，点M的坐标为2(,,)33a aa，于是22222||()()(0)33335.3a a a aMN aa=-+-+-=小结今天通过这堂课的学习，你能有什么收获？（1）空间点的坐标表示，（2）空间两点间的距离公式及应用.生：谈收获.师：总结.知识整理.课堂作业1.已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个坐标同号，则点M的坐标为______.【解析】分别过点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)作与yOz平面，xOz平面，xOy人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）7平面平行的平面，三个平面的交点即为M 点，其坐标为(1，1，1)或过点(-1，0，0)，(0，-1，0)，(0，0，-1)作与yOz 平面，xOz 平面，xOy 平面平行的平面，三个平面的交点即为M 点，其坐标为(-1，-1，-1).答案：(1，1，1)或(-1，-1，-1)2. 如图，正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，棱长为1，求点E 、F 的坐标和B 1关于原点D 的对称点坐标.【解析】由B （1，1，0），B 1（1，1，1），则中点E 为1(1,1,)2，由B 1（1，1，1），D 1（0，0，1），则中点11(,,1)22F . 设B 1关于点D 的对称点M （x 0，y 0，z 0）， 即D 为B 1M 的中点，因为D （0，0，0），所以，000000102110121102x x y y z z +==--==-=-+=⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩，，，得，．， 所以M （–1，–1，–1 ）.3. 已知点A 在y 轴 ，点B （0，1，2）且||5AB =，则点A 的坐标为 .【解析】由题意设A （0，y ，0），则2(1)45y -+=，解得：y = 0或y = 2，故点A 的坐标是（0，0，0）或（0，2，0）4. 坐标平面yOz 上一点P 满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A （3，2，5），B （3，5，2）的距离相等，求点P 的坐标.【解析】由题意设P （0，y ，z ），则2222222(03)(2)(5)(03)(5)(2)y z y z y z +=⎧⎨-+-+-=-+-+-⎩，， 解得：11.y z =⎧⎨=⎩，故点P 的坐标为（0，1，1）．教师备课系统──多媒体教案8教案 B第1课时教学内容：4.3.1 空间直角坐标系 教学目标1. 通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；2. 掌握空间直角坐标系、右手直角坐标系的概念，会画空间直角坐标系，会求空间直角坐标；3. 深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示；4. 通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性.教学重点、难点教学重点：求一个几何图形的空间直角坐标. 教学难点：空间直角坐标系的理解. 教学过程一、情景设计1. 我们知道数轴上的任意一点M 都可用对应一个实数x 表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M 都可用对应一对有序实数),(y x 表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组()z y x ,,表示出来呢？2.空间直角坐标系该如何建立呢？ 二、新课教学 如图，OABC －D′A′B′C′是单位正方体，以O 为原点，分别以射线OA ，OC ，OD′的方向为正方向，以线段OA ，OC ，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，∠xpy ＝135°，∠yoz ＝45°，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xoy 平面，yoz 平面，zox 平面.在空间坐标系中，让右手拇指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.空间直角坐标系有序实数组（x ，y ，z ）一一对应.（x ，y ，z ）称为空间直角坐标系的坐标，x 称为横坐标，y 称为纵坐标，z 为竖坐标.O 、A 、B 、C 四点坐标分别为：O （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0）．人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）9例1 在长方体OABC －D’A’B’C’中，∣OA ∣＝3，∣OC ∣＝4，∣OD ′∣＝2，写出D′、C 、 A′、B′四点的坐标.【解析】因为D′在z 轴上，且∣OD′∣＝2，它的竖坐标为2，它的横坐标与纵坐标都是零，所以D′点的坐标是（0，0，2）；点C 在y 轴上，且∣OC ∣＝4，所以点C 的坐标为（0，4，0）；点A′的坐标为（3，0，2），B′的坐标为（3，4，2）.例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为21的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图，建立空间直角坐标系Oxyz 后，试写出全部钠原子所在位置的坐标.【解析】把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层原子全在xOy 平面，它们所在位置的竖坐标全是0，所以下层的五个钠原子所在位置的坐标分别为：（0，0，0），（1，0，0），（1，1，0），（0，1，0），（21，21，0）；中层的四个钠原子所在位置的坐标分别为：（21，0，21），（1，21，21），（21，1， 21），（0，21， 21）；上层的五个钠原子所在位置的坐标分别为：（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），（21，21，1）.三、典型例题解析例3 在空间直角坐标系中，作出点M （6，－2， 4）.点拨：点M 的位置可按如下步骤作出：先在x 轴上作出横坐标是6的点1M ，再将1M 沿与y 轴平行的方向向左移动2个单位得到点2M ，然后将2M 沿与z 轴平行的方向向上移动4个单位即得点M .答案：M 点的位置如图所示.总结：对给出空间直角坐标系中的坐标作出这个点、给出具体的点写出它的空间直角坐标系中的坐标这两类题目，要引起足够的重视，它不仅可以加深对空间直角坐标系的认识，而且有利于进一步培养空间想象能力.变式题演练在空间直角坐标系中，作出下列各点：A （-2，3，3）；B （3，-4，2）；C （4，0，1M2M M （6，-2,4） Oxyz62 4教师备课系统──多媒体教案10-3）.答案：略.例4 已知正四棱锥P -ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.点拨：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系.【解析】Θ正四棱锥P -ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，∴正四棱锥的高为232.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB 、BC 所在的直线分别为y 轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A （2，-2，0）、B （2，2，0）、C （-2，2，0）、D （-2，-2，0）、P （0，0，.总结：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标.变式题演练 在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12，AD =8，AA 1=5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.【解析】以A 为原点，射线AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，0）、B （12，0，0）、C （12，8，0）、D （0，8，0）、A 1（0，0，5）、B 1（12，0，5）、C 1（12，8，5）、D 1（0，8，5）.例5 在空间直角坐标系中，求出经过A （2，3，1）且平行于坐标平面yOz 的平面α的方程.点拨：求与坐标平面yOz 平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面yOz 平行的平面内的点的特点来求解.【解析】Θ坐标平面yOz ⊥x 轴，而平面α与坐标平面yOz 平行， ∴平面α也与x 轴垂直，∴平面α内的所有点在x 轴上的射影都是同一点，即平面α与x 轴的交点， ∴平面α内的所有点的横坐标都相等. Θ平面α过点A （2，3，1），∴平面α内的所有点的横坐标都是2， ∴平面α的方程为x =2.总结：对于空间直角坐标系中的问题，可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法，再用类比方法求解空间直角坐标系中的问题.本题类似于平面直角坐标系中，求过某一定点且与x 轴（或y 轴）平行的直线的方程.变式题演练人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）11在空间直角坐标系中，求出经过B （2，3，0）且垂直于坐标平面xOy 的直线方程.答案：所求直线的方程为x =2，y =3. 四、课堂小结（1）空间直角坐标系的建立. （2）空间中点的坐标的确定. 五、布置作业P138习题4.3 A 组：1，2.第2课时教学内容：4.3.2 空间两点间的距离公式 教学目标1. 通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式；2. 通过推导和应用空间两点间的距离公式，进一步培养学生的空间想象能力；3. 通过探索空间两点间的距离公式，体会转化（降维）的数学思想. 教学重点、难点探索和推导空间两点间的距离公式. 教学过程一、问题引入问题：求粉笔盒（长方体）的对角线的长度. 解决方案： ①直接测量取两个或三个一样的粉笔盒如图放置，用尺子测量其对角线的长度.②公式计算量出粉笔盒的长、宽、高，用勾股定理计算.一般地，如果长方体的长、宽、高分别为c b a ,,，那么对角线长222c b a d ++=.③坐标计算教师备课系统──多媒体教案12建立空间直角坐标系，使得长方体的一个顶点为坐标原点，所有棱分别与坐标轴平行，求出对角线顶点的坐标，用平面内两点间的距离公式和勾股定理计算.一般地，空间任意一点),,(z y x P 与原点间的距离222z y x OP ++=.探究：如果OP 是定长r ，那么2222r z y x =++表示什么图形？思考：上面推导了空间任意一点与原点间的距离公式，你能否猜想空间任意两点间的距离公式？如何证明？类比空间任意一点与原点间的距离公式，猜想空间任意两点间的距离公式.用平面内两点间的距离公式和勾股定理推导. 由此可得空间中任意两点),,(),,,(22221111z y x P z y x P 之间的距离公式22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=.二、例题精讲例1 已知A （x ，2，3）、B （5，4，7），且|AB |=6，求x 的值. 【解析】|AB |=6，∴6)73()42()5(222=-+-+-x ， 即（x -5）2=16，解得x =1或x =9.例2 求点P （1，2，3）关于坐标平面xOy 的对称点的坐标.【解析】设点P 关于坐标平面xOy 的对称点为P ′，连 P P ′交坐标平面xOy 于Q ， 则P P ′⊥坐标平面xOy ，且|PQ |=|P ′Q|，∴P ′在x 轴、y 轴上的射影分别与P 在x 轴、y 轴上的射影重合，P ′在z 轴上的射影与P 在z 轴上的射影关于原点对称，∴P ′与P 的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，∴ 点P （1，2，3）关于坐标平面xOy 的对称点的坐标为（1，2，-3）.点评：通过巧设动点坐标，得到关于两点间距离的目标函数，由函数思想得到几何最值. 注意这里对目标函数最值的研究，实质就是非负数最小为0. 三、课堂小结1. 空间中两点间距离的坐标计算.2. 类比思想：维度的升高，距离公式如何改变？ 四、布置作业P138 习题4.3A 组：3.P139习题4.3B 组:1，2，3.第四章测试题人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）13一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知点(1,4,2)M -，那么点M 关于y 轴对称点的坐标是（ ）． A ．(1,4,2)-- B ．(1,4,2)- C ．(1,4,2)- D ．(1,4,2)2.若直线3x +4y +c =0与圆（x +1）2+y 2=4相切，则c 的值为（ ）． A ．17或-23 B ．23或-17 C ．7或-13 D ．-7或133.过圆x 2+y 2-2x +4y -4=0内一点M （3，0）作圆的割线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是（ ）.A ．x +y -3=0B ．x -y -3=0C ．x +4y -3=0D ．x -4y -3=04.经过(1,1),(2,2),(3,1)A B C --三点的圆的标准方程是（ ）. A ．22(1)4x y ++= B .22(1)5x y ++= C ．22(1)4x y -+=D .22(1)5x y -+=5.一束光线从点A （－1， 1）出发经x 轴反射，到达圆C ：（x －2）2＋（y －3）2=1上一点的最短路程是（ ）.A．－1 B． C ．5D ．46.若直线l :ax +by +1=0始终平分圆M :x 2+y 2+4x +2y +1=0的周长，则(a -2)2+(b -2)2的最小值为（ ）.A ．5B ．5C ．25D ．107.已知两点(1,0)A -、(0,2)B ，若点P 是圆22(1)1x y -+=上的动点，则ABP ∆面积的最大值和最小值分别为（ ）.A．11(41)22 B．11(4(422- C．11(3(322D．11(22)228.已知圆224x y +=与圆2266140x y x y +-++=关于直线l 对称，则直线l 的方程是（ ）.A . 210x y -+=B . 210x y --=C . 30x y -+=D . 30x y --=教师备课系统──多媒体教案149.直角坐标平面内，过点(2,1)P 且与圆224x y +=相切的直线（ ）. A .有两条 B .有且仅有一条C .不存在D . 不能确定10.若曲线222610x y x y ++-+=上相异两点P 、Q 关于直线240kx y +-=对称，则k 的值为（ ）.A . 1B . -1C .12D . 2 11.已知圆221:460C x y x y +-+=和圆222:60C x y x +-=相交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线方程为（ ）.A .30x y ++=B .250x y --=C .390x y --=D . 4370x y -+= 12. 直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若︱MN︱≥，则k 的取值范围是（ ）.A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[)3,0,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦UC．,33⎡-⎢⎣⎦ D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上） 13.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线l ：3440x y ++=的距离d = ．14.直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB∣∣= . 15.过点A （4，1）的圆C 与直线10x y --=相切于点 B （2，1），则圆C 的方程为 .16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x -5y +c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是______ .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分） 已知圆经过(3,0)A ，18(,)55B -两点，且截x 轴所得的弦长为2，求此圆的方程.人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）1518.（12分）已知线段AB 的端点B 的坐标为 （1，3），端点A 在圆C:4)1(22=++y x 上运动.（1）求线段AB 的中点M 的轨迹；（2）过B 点的直线L 与圆C 有两个交点P ，Q .当CP ⊥CQ 时，求L 的斜率.19.（12分）设定点M （-2，2），动点N 在圆222=+y x 上运动，以OM 、0N 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程.20.（12分）已知圆C圆心在直线2y x =上，且被直线0x y -=截得的弦长为C 的方程.21.（12分）已知圆C ：222430x y x y ++-+=．（1）若不经过坐标原点的直线l 与圆C 相切，且直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）设点P 在圆C 上，求点P 到直线50x y --=距离的最大值与最小值．22.（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C截得的弦长为l 的方程； （2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.教师备课系统──多媒体教案16人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）17参考答案一、选择题1. 选B .纵坐标不变，其他的变为相反数．2. 选D .圆心到切线的距离等于半径.3. 选 A .直线l 为过点M ， 且垂直于过点M 的直径的直线.4. 选D .把三点的坐标代入四个选项验证即可.5. 选D .因为点A （-1， 1）关于x 轴的对称点坐标为（-1，-1），圆心坐标为（2，3），所以点.A （-1， 1）出发经x 轴反射，到达圆C ：（x －2）2＋（y －3）2=1上一点的最短路程为1 4.=6.选B .由题意知，圆心坐标为（-2，-1），210.a b ∴--+=Q a,b ）与（2，2）的距离，=所以22(2)(2)a b -++的最小值为5.7.选B .过圆心C 作CM AB ⊥于点M ，设CM 交圆于P 、Q 两点，分析可知ABP ∆和ABQ ∆分别为最大值和最小值，可以求得||AB =d =所以最大值11)(42±=±． 8.选D .两圆关于直线l 对称，则直线l 为两圆圆心连线的垂直平分线. 9.选A .可以判断点P 在圆外，因此，过点P 与圆相切的直线有两条. 10.选D .曲线方程可化为22(1)(3)9x y ++-=，由题设知直线过圆心，即(1)2340,2k k ⨯-+⨯-=∴=.故选D .11.选C .由平面几何知识，知AB 的垂直平分线即为两圆心的连线，把两圆分别化为标准式可得两圆心，分别为C 1（2，-3）、C 2（3，0），因为C 1C 2斜率为3，所以直 线方程为y -0=3（x -3），化为一般式可得3x -y -9=0.12.选A ．（方法1）由题意，若使︱MN︱≥，则圆心到直线的距离d ≤1，即教师备课系统──多媒体教案18113232≤++-k k ≤1，解得34-≤k ≤0.故选A .（方法2）设点M ，N 的坐标分别为),(),,2211y x y x （，将直线方程和圆的方程联立得方程组223(3)(2)4y kx x y =+⎧⎨-+-=⎩，，消去y ，得06)3(2)1(22=+-++x k x k ，由根与系数的关系，得16,1)3(2221221+=⋅+--=+k x x k k x x ， 由弦长公式知2122122124)(1||1||x x x x k x x k MN -+⋅+=-⋅+== 1122420164]1)3(2[1222222++--=+⋅-+--⋅+k k k k k k k ，Q ︱MN︱≥，8(43k k +）≤0，∴34-≤k ≤0，故选A .二、填空题13. 3. 由圆的方程可知圆心坐标为C （1，2），由点到直线的距离公式，可得3434241322=++⨯+⨯=d ．14.（方法1） 设11,)A x y （，22(,)B x y ，由22250,8.x y x y -+=⎧⎨+=⎩消去y 得251070x x +-=，由根与系数的关系得121272,,5x x x x +=-=-12x x -==∴1225ABx ∣∣=-==人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）19（方法2）因为圆心到直线的距离55d ==， 所以22228523AB r d =-=-=.15. 22(3)2x y -+=. 由题意知，圆心既在过点B （2，1）且与直线10x y --=垂直的直线上，又在点,A B 的中垂线上.可求出过点B （2，1）且与直线10x y --=垂直的直线为30x y +-=，,A B 的中垂线为3x =，联立方程30,3,x y x +-==⎧⎨⎩，解得3,0,x y ==⎧⎨⎩，即圆心(3,0)C ，半径2r CA ==，所以，圆的方程为22(3)2x y -+=.16. 1313c -<<. 如图，圆422=+y x 的半径为2，圆上有且仅有四个点到直线12x -5y+c=0的距离为1，问题转化为坐标原点（0，0）到直线12x -5y+c=0的距离小于1.221,13,1313.125c c c <<∴-<<+即三、解答题17.【解析】根据条件设标准方程222()()x a y b r -+-=，截x 轴所得的弦长为2，可以运用半径、半弦长、圆心到直线的距离构成的直角三角形；则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-+--=+-,1,)58()51(,)3(222222222b r r b a r b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧===5,2,2r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧===.37,6,4r b a∴所求圆的方程为22(2)(2)5x y -+-=或22(4)(6)37x y -+-=.教师备课系统──多媒体教案20 18.【解析】（1）设()()11,,,A x y M x y，由中点公式得111112123232xxx xy y yy+==-⇔+=-=⎧⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎩，，因为A在圆C上，所以()()222232234,12x y x y⎛⎫+-=+-=⎪⎝⎭即.点M的轨迹是以30,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆.（2）设L的斜率为k，则L的方程为()31y k x-=-，即30kx y k--+=，因为CP⊥CQ，△CPQ为等腰直角三角形，圆心C（-1，0）到L的距离为2CP=2，由点到直线的距离公式得222324129221k kk k kk--+=∴-+=++，∴2k2-12k+7=0，解得k=3±112.故直线PQ必过定点103⎛⎫⎪⎝⎭，.19.【解析】设P（x，y），N（x0，y0），∴222=+yx，（*）∵平行四边形MONP，∴222222xxyy-=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，，有0+22x xy y==-⎧⎨⎩，，人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）21代入（*）有2)2()2(22=-++y x ，又∵M 、O 、N 不能共线，∴将y 0=-x 0代入（*）有x 0≠±1，∴x ≠-1或x ≠-3，∴点P 的轨迹方程为2)2()2(22=-++y x （3x 1-≠-≠且x ）.20.【解析】因为所求圆的圆心C 在直线2y x =上，所以设圆心为(),2C a a ， 所以可设圆的方程为()()22210x a y a -+-=，因为圆被直线0x y -=截得的弦长为(),2C a a 到直线0x y -=的距离d ==，即d ==2a =±. 所以圆的方程为()()222410x y -+-=或()()222410x y +++=.21.【解析】（1）圆C 的方程可化为22(1)(2)2x y ++-=，即圆心的坐标为（-1，2） ，因为直线l 在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点，所以可设直线l 的方程为 0x y m ++=；=1m =或3m =-，因此直线l 的方程为10x y ++=或30x y +-=．（2）因为圆心（-1，2）到直线50x y --==P到直线50x y--=距离的最大值与最小值依次分别为22.【解析】（1）设直线l 的方程为：(4)y k x =-，即40kx y k --=，由垂径定理，得：圆心1C 到直线l的距离1d =， 1=，教师备课系统──多媒体教案22 化简得：272470024k k k k+===-，解得或，求直线l的方程为：0y=或7(4)24y x=--，即0y=或724280x y+-=.（2）设点P坐标为(,)m n，直线1l、2l的方程分别为：1(),()y n k x m y n x mk-=--=--，即：110,0kx y n km x y n mk k-+-=--++=，因为直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，两圆半径相等.由垂径定理，得圆心1C到直线1l与2C直线2l的距离相等.2241|5|111n mk kkk--++=++化简得：(2)3,(8)5m n k m n m n k m n--=---+=+-或，关于k的方程有无穷多解，有：2030m n m nm n m n--=⎧⎧⎨⎨--=⎩⎩，-+8=0，或，+-5=0，解之得：点P坐标为)213,23(-或)21,25(.。
高中数学 (4.3.1 空间直角坐标系)示范教案 新人教A版必修2.doc
4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系整体设计教学分析学生已经对立体几何以及平面直角坐标系的相关知识有了较为全面的认识,学习《空间直角坐标系》有了一定的基础.这对于本节内容的学习是很有帮助的.但部分同学仍然会在空间思维与数形结合方面存在困惑.本节课的内容是非常抽象的,试图通过教师的讲解而让学生听懂、记住、会用是徒劳的,必须突出学生的主体地位,通过学生的自主学习与和同学的合作探究,让学生亲手实践,这样学生才能获得感性认识,从而为后续的学习并上升到理性认识奠定基础.通过激发学生学习的求知欲望,使学生主动参与教学实践活动.创设学习情境,营造氛围,精心设计问题,让学生在整个学习过程中经常有自我展示的机会,并有经常性的成功体验,增强学生的学习信心,从学生已有的知识和生活经验出发,让学生经历知识的形成过程.通过阅读教材,并结合空间坐标系模型,模仿例题,解决实际问题.三维目标1.掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点,会写一些简单几何体的有关坐标.通过空间直角坐标系的建立,使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法；通过本节的学习,培养学生类比,迁移,化归的能力.2.解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科,在教学过程中要让学生充分体会数形结合的思想,进行辩证唯物主义思想的教育和对立统一思想的教育；培养学生积极参与,大胆探索的精神.重点难点教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标.教学难点：通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.大家先来思考这样一个问题,天上的飞机的速度非常的快,即使民航飞机速度也非常快,有很多飞机时速都在1 000 km以上,而全世界又这么多,这些飞机在空中风驰电掣,速度是如此的快,岂不是很容易撞机吗？但事实上,飞机的失事率是极低的,比火车,汽车要低得多,原因是,飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行,而在划定某条航线时,不仅要指出航线在地面上的经度和纬度,还要指出航线距离地面的高度.为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.思路2.我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示,建立了平面直角坐标系后,平面上任意一点M都可用对应一对有序实数(x,y)表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时,空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x,y,z)表示出来呢？为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.推进新课新知探究提出问题①在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的点怎样表示?②在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?决定平面直角坐标系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示?③在空间,我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？④观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立.⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示呢？讨论结果：①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示.②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy,xOy称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、向上为正方向;④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y).③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来.④观察图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴Ox,Oy,Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O—xyz,其中O叫坐标原点,x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面xOy平面,yOz平面,zOx平面.由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长.图1图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从x轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系.注意:在平面上画空间直角坐标系O—xyz时,一般使∠xOy=135°,∠xOy=90°.即用斜二测画法画立体图,这里显然要注意在y轴和z轴上的都取原来的长度,而在x轴上的长度取原来长度的一半.同学们往往把在x轴上的长度取原来的长度,这就不符和斜二测画法的约定,直观性差.⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M就可以用坐标来表示了.已知M为空间一点.过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P、Q、R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x,y,z.于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z为点M的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).图2反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取坐标为y的点Q,在z 轴上取坐标为z的点R,然后通过P、Q与R分别作x轴、y轴和z轴的垂直平面.这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示)坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系.注意：坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.如果点M在yOz平面上,则x=0；同样,zOx面上的点,y=0；xOy面上的点,z=0；如果点M在x轴上,则y=z=0；如果点M在y轴上,则x=z=0；如果点M在z轴上,则x=y=0；如果M是原点,则x=y=z=0.空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时间变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是(x,y,z).应用示例思路1例1 如图3,长方体OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出D′,C,A′,B′四点的坐标.图3活动：学生阅读题目,对照刚学的知识,先思考,再讨论交流,教师适时指导,要写出点的坐标,首先要确定点的位置,再根据各自坐标的含义和特点写出.D′在z 轴上,因此它的横纵坐标都为0,C 在y 轴上,因此它的横竖坐标都为0,A′为在zOx 面上的点,y=0；B′不在坐标面上,三个坐标都要求.解:D′在z 轴上,而|OD′|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此D′的坐标是(0,0,2).同理C 的坐标为(0,4,0).A′在xOz 平面上,纵坐标为0,A′的横坐标就是|OA|=3,A′的竖坐标就是|OD′|=2,所以A′的坐标就是(3,0,2).点B′在xOy 平面上的射影是点B,因此它的横坐标x 与纵坐标y 同点B 的横坐标x 与纵坐标y 相同,在xOy 平面上,点B 的横坐标x=3,纵坐标y=4;点B′在z 轴上的射影是点D′,它的竖坐标与D′的竖坐标相同,点D′的竖坐标z=2,所以点B′的坐标是(3,4,2).点评:能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础,一定掌握如下方法,过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴,确定x,y 和z,同时掌握一些特殊点的坐标的表示特征. 例2 讲解课本例2.活动：学生阅读,思考与例1的不同,教师引导学生考虑解题的方法,图中没有坐标系,这就给我们解题带来了难度,同时也给我们的思维提供了空间,如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单?一般来说,以特殊点为原点,我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为基本原则建立空间直角坐标系,这里我们以上底面为xOy 平面,其他不变,来看这15个点的坐标.解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,下层的钠原子全部在xOy 平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(21,21,0);中层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与z 轴交点的竖坐标是21,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(21,0,21)、(1,21,21)、(21,1,21)、(0,21,21);上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与z 轴交点的竖坐标是1,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)、(0,1,1)、(21,21,1). 思考：如果把原点取在中间的点(上述两点的中点氯原子)上,以中层面作为xOy 平面,结果会怎样呢？ 解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,中层的钠原子全部在xOy 平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(21,0,0)、(1,21,0)、(21,1,0)、(0,21,0);上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是21,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0, 21)、(0,1, 21)、(1,0, 21)、(1,1, 21)、(21,21,21);下层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是-21,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,-21)、(1,0,-21)、(1,1,-21)、(0,1,-21)、(21,21,-21). 点评:建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同.因此解题时要慎重建立空间直角坐标系.思路2例1 如图4,已知点P′在x 轴正半轴上,|OP′|=2,PP′在xOz 平面上,且垂直于x 轴,|PP′|=1,求点P′和P 的坐标.图4解:显然,P′在x 轴上,它的坐标为(2,0,0).若点P 在xOy 平面上方,则点P 的坐标为(2,0,1).若点P 在xOy 平面下方,则点P 的坐标为(2,0,-1).点评:注意点P 有两种可能的位置情况,不要漏解.例2 如图5,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是BB 1和D 1B 1的中点,棱长为1,求E,F 点的坐标.图5解:方法一:从图中可以看出E 点在xOy 平面上的射影为B,而B 点的坐标为(1,1,0),E 点的竖坐标为21,所以E 点的坐标为(1,1,21);F 点在xOy 平面上的射影为G,而G 点的坐标为(21,21,0),F 点的竖坐标为1,所以F 点的坐标为(21,21,1). 方法二:从图中条件可以得到B 1(1,1,1),D 1(0,0,1),B(1,1,0).E 为BB 1的中点,F 为D 1B 1的中点,由中点坐标公式得E 点的坐标为(201,211,211+++)=(1,1,21),F 点的坐标为(211,201,201+++)=(21,21,1). 点评:(1)平面上的中点坐标公式可以推广到空间,即设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),则AB 的中点P(221x x +,221y y +,221z z +); (2)熟记坐标轴上的点的坐标和坐标平面上的点的坐标表示的特征.变式训练1.在上题中求B 1(1,1,1)点关于平面xoy 对称的点的坐标.解:设所求的点为B 0(x 0,y 0,z 0),由于B 为B 0B 1的中点,所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=210,211,211000z y x 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧-===1,1,1000z y x .所以B 0(1,1,-1).2.在上题中求B 1(1,1,1)点关于z 轴对称的点的坐标.解:设所求的点为P(x 0,y 0,z 0),由于D 1为PB 1的中点,因为D 1(0,0,1),所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=.211,210,210000z y x 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.1,1,1000z y x 所以P(-1,-1,1).3.在上题中求B 1(1,1,1)点关于原点D 对称的点的坐标.解:设所求的点为M(x 0,y 0,z 0),由于D 为MB 1的中点,因为D(0,0,0),所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=210,210,210000z y x .解之,得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.1,1,1000z y x 所以M(-1,-1,-1).知能训练课本本节练习1、2、3.拓展提升1.在空间直角坐标系中的点P(x,y,z)关于①坐标原点;②横轴(x 轴);③纵轴(y 轴);④竖轴(z 轴);⑤xOy 坐标平面;⑥yOz 坐标平面;⑦zOx 坐标平面的对称点的坐标是什么?解:根据平面直角坐标系的点的对称方法结合中点坐标公式可知:点P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为P 1(-x,-y,-z);点P(x,y,z)关于横轴(x 轴)的对称点为P 2(x,-y,-z);点P(x,y,z)关于纵轴(y 轴)的对称点为P 3(-x,y,-z);点P(x,y,z)关于竖轴(z 轴)的对称点为P 4(-x,-y,z);点P(x,y,z)关于xOy 坐标平面的对称点为P 5(x,y,-z);点P(x,y,z)关于yOz 坐标平面的对称点为P 6(-x,y,z);点P(x,y,z)关于zOx 坐标平面的对称点为P 7(x,-y,z).点评:其中记忆的方法为:关于谁谁不变,其余的相反.如关于横轴(x 轴)的对称点,横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于xOy 坐标平面的对称点,横坐标、纵坐标不变,竖坐标相反. 变式训练在空间直角坐标系中的点P(a,b,c),有下列叙述:①点P(a,b,c)关于横轴(x 轴)的对称点是P 1(a,-b,c);②点P(a,b,c)关于yOz 坐标平面的对称点为P 2(a,-b,-c);③点P(a,b,c)关于纵轴(y 轴)的对称点是P 3(a,-b,c);④点P(a,b,c)关于坐标原点的对称点为P 4(-a,-b,-c).其中正确叙述的个数为( )A.3B.2C.1D.0 分析：①②③错,④对.答案：C课堂小结1.空间直角坐标系的建立.2.空间直角坐标系中点的坐标的确定.3.空间直角坐标系中点的位置的确定.4.中点公式：P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2中点M的坐标为(221xx+,221yy+,221zz+).5.空间直角坐标系中点的对称点的坐标.作业习题4.3 A组1、2.设计感想通过复习相关内容,为新课的引入和讲解做好铺垫.设置问题,创设情境,引导学生用类比的方法探索新知.由于学生的空间观念还比较薄弱,教学中宜多采用教具演示,尽量使学生能够形象直观地掌握知识内容.本课时可自制空间直角坐标系模型演示,帮助学生理解空间直角坐标系的概念.如果学生先前的学习不是主动的、不是入脑的,那么老师的血汗与成绩就不成比例,更谈不上学生的创新意识.鉴于此,在教学中积极挖掘教学资源,努力创设出一定的教学情景,设计例题思路,与高考联系,吸引学生,引起学生学习的意向,即激发学生的学习动机,达到学生“想学”的目的.为能增强学生学习的目的性,在教学中指明学生所要达到的目标和所学的内容,即让学生知道学到什么程度以及学什么.同时调整教学语言,使之简明、清楚、易听明白,注重一些技巧,如重复、深入浅出、抑扬顿挫等.。
2020学年高中数学第4章圆与方程4.3空间直角坐标系学案新人教A版必修2(2021-2022学年)
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3 空间直角坐标系1.空间直角坐标系（1)空间直角坐标系的特征 ①三条轴两两相交且互相垂直; ②有相同的单位长度． (2)相关概念 ①坐标原点：Ｏ；②坐标轴：x 轴、y 轴、z 轴;③坐标平面:xOy 平面、yOz 平面、ｘOz 平面． （3）右手直角坐标系要求右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，中指指向z 轴的正方向． 2． 空间一点的坐标其中ｘ→横坐标，y →纵坐标,z →竖坐标.思考:给定的空间直角坐标系下,空间任意一点是否与有序实数组(x ，ｙ,z )之间存在唯一的对应关系?[提示］ 是.给定空间直角坐标系下,空间给定一点其坐标是唯一的有序实数组(x ,y ，z )；反之,给定一个有序实数组(x ，y ,z ）,空间也有唯一的点与之对应.3.空间两点间的距离公式(1）点P (ｘ，y ,z )到坐标原点O (０, ０， ０）的距离ﻬ｜OP ｜＝错误!.(2)任意两点Ｐ1（x 1，ｙ1,ｚ1）,P ２(x 2，y ２,z 2)间的距离 |P １Ｐ2|思考:空间两点间的距离公式对在坐标平面内的点适用吗？［提示] 适用．空间两点间的距离公式适用于空间任意两点，对同在某一坐标平面内的两点也适用.１.下列点在ｘ轴上的是（ )A．（0。
1，0。
２,0.3) B.(０，0，0。
001)C．（5,0，０) ﻩ D.(0,0。
０1,０)C [x轴上的点的纵坐标和竖坐标为０.］2．点P(1,－２,5）到xＯｙ平面的距离为（)A．1Ｂ．2 C．-2Ｄ.5D [点P（1，-2，5）在xＯy平面上的射影是P′(1，-2，0），则点P(1,－2，5）到xOｙ平面的距离为|PP′|＝5.]3.已知点Ａ（x,１，2)和点B(２,3，4),且|AB|＝26,则实数x的值是（）A.-3或４B．６或2Ｃ．3或－4 D．6或－2Ｄ [由题意得＼ｒ（(x-２)２＋（1-3）2+(2-4）2)＝2错误!未定义书签。
高中数学 第四章 圆与方程 43 空间直角坐标系导学案(无答案)新人教A版必修2 学案
空间直角坐标系学习目标 了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，感受类比思想在探索新知识过程中的作用．推导出空间两点间的距离公式，通过类比方式得到两点构成的线段的中点公式．重点难点了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．空间两点间的距离公式引入新课问题1．在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示平面上任意一点的位置，那么怎样用坐标来表示空间任意一点的位置呢？1．空间直角坐标系：2．右手直角坐标系：3．空间直角坐标系中点的坐标：问题2．平面直角坐标系中两点间距离公式如何表示？试猜想空间直角坐标系中两点的距离公式．问题3．平面直角坐标系中两点)(111y x P ，，)(222y x P ，的线段21P P 的中点坐标是什么？空间中两点)(1111z y x P ，，，)(2222z y x P ，，的线段21P P 的中点坐标又是什么？练习：（1）在空间直角坐标系中，作出点)654( ，，P ．（2）求空间两点)523(1 - ，，P ，)106(2- ，，P 间的距离21P P ．例题剖析:例1：如图：在长方体////D C B A ABCD -中，12=AB ，8=AD ，5/=AA ，以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线AB ，AD ，/AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标． 思考：（1）在空间直角坐标系中，x 轴上的点，xOy 平面内的点的坐标分别具有什么特点？（2）平行于xOy 平面的平面上的点具有什么特点？（3）平行于xOz 平面的平面上的点具有什么特点？例2：求点(2,3,1)A --关于xOy 平面，zOx 平面及原点的对称点．A/A /B/D/C DCBzyx例3：平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为122=+y x ． 在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的轨迹方程．例4：已知)133( ，，A ，)501( ，，B ，求：（1）线段AB 的中点和线段AB 长度； （2）到A ，B 两点距离相等的点)(z y x P ，，的坐标满足什么条件．巩固练习1．在空间直角坐标系中，yOz 平面上的点的坐标形式可以写成（ ） A ．)(c b ， B ．)00( ，，a C ．)(c b a ，， D ．)0( ，，b a 2．（1）在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标可写成 ； （2）在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标可写成 ； （3）在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标可写成 ； （4）在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标可写成 ．3．已知空间中两点)32(1 ，，x P 和)745(2 ，，P 的距离为6，求x 的值．课堂小结空间直角坐标系；空间中的点的表示．空间两点间距离公式；空间两点的中点的坐标公式课后训练班级：高二（ ）班 姓名：____________ 一 基础题1．点)432( ，，P 在坐标平面xOz 内的射影的坐标是 ． 2．在空间直角坐标系中，点)534(- ，，M 到坐标平面xOy ，xOz ，yOz 的距离 分别为 ．3．若)133( ，，A ，)501( ，，B ，)010( ，，C ，则AB 的中点M 到点C 的距离是 ． 4．点)011( ，，A 与点)121( -，，B 之间的距离是 ． 5．点)521( - ，，P 关于坐标平面xOy 的对称点的坐标为 ； 点)312( -，，M 关于坐标原点的对称点的坐标为 ； 6．已知点)652(- ，，A ，在y 轴上求一点P ，使7=PA ．则点p 。
人教A版高中数学必修2第四章 圆与方程4.3 空间直角坐标系教案(2)
4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系教材分析本节课内容是数学2 第四章圆与方程的最后一节的第一小节．课本之所以把“空间直角坐标系”的内容放在必修2的最后即第四章的最后，原因有三：一、“空间直角坐标系”的内容为以后选修中用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题打基础，做好准备；二、必修2第三、四章是平面解析几何的基础内容，本节“空间直角坐标系”的内容是空间解析几何的基础，与平面解析几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想；三、本套教材从整体上体现了“螺旋式上升”的思想，本节内容安排“空间直角坐标系”，为以后的学习作铺垫，正是很好地体现了这一思想.本小节内容主要包含空间直角坐标系的建立、空间中由点的位置确定点的坐标以及由点的坐标确定点的位置等问题.结合图形、联系长方体和正方体是学好本小节的关键.课时分配本小节内容用1课时的时间完成，主要讲解空间直角坐标系的建立以及空间中的点与坐标之间的联系．教学目标重点: 空间直角坐标系，空间中点的坐标及空间坐标对应的点.难点：右手直角坐标系的理解，空间中的点与坐标的一一对应．知识点：空间直角坐标系的相关概念，空间中点的坐标以及空间坐标对应的点.能力点：理解空间直角坐标系的建立过程，以及空间中的点与坐标的一一对应.教育点：通过空间直角坐标系的建立，体会由二维空间到三维空间的拓展和推广，让学生建立发展的观点；通过空间点与坐标的对应关系，进一步加强学生对“数形结合”思想方法的认识.自主探究点：如何由空间中点的坐标确定点的位置．考试点：空间中点的确定及坐标表示.易错易混点：空间中的点与平面内的点以及它们的坐标之间的联系与区别；空间直角坐标系中x轴上单位长度的选取．拓展点：不同空间直角坐标系下点的坐标的不同；空间中线段的中点坐标公式．教具准备多媒体课件和三角板、晶胞实物模型（有条件可准备）课堂模式学案导学、分组讨论一、引入新课由数轴上的点和平面直角坐标系内的点的表示引入空间中点的表示．,x y 数轴Ox上的点M,可用与它对应的实数x表示；直角坐标平面内的点M可以用一对有序实数()表示．类似于数轴和平面直角坐标系（一维坐标系和二维坐标系），当我们建立空间直角坐标系（三维坐x y z表示．标系）后，空间中任意一点可用有序实数组(,,)二、探究新知（一）空间直角坐标系及相关概念如图所示，''''OABC D A B C -是单位正方体.以O 为原点，分别以射线 'OD OC OA 、、的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xoy 平面yoz 、平面、zox 平面．y【师生活动】由空间直角坐标系的定义，结合正方体直观图的画法，总结在平面上画空间直角坐标系需要注意的问题：1．空间直角坐标系的三要素：原点、坐标轴方向、单位长．2．在平面上画空间直角坐标系Oxyz 时，一般使135,90.xOy yOz ∠=︒∠=︒3．在y 轴、z 轴上的长度都取原来的长度，而在x 轴上的长度取原来长度的一半，即x 轴上的单位长度在平面内表现出来时是y 轴、z 轴上的单位长度的一半．【设计意图】加强学生对空间直角坐标系的认识，避免坐标轴上的单位长度选取不当造成的图形直观性差．（二）右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方形，则称这个坐标系为右手直角坐标系．【引申拓展】右手直角坐标系的其它解释方法：先把大拇指指向z 轴正方向，把其余四指指向x 轴正方向，然后握成拳头，这时四指扫过原平面直角坐标系的第一象限从x 轴正方向到y 轴正方向． 【设计意图】上面补充的右手直角坐标系的其它解释方法，与物理中的右手定则联系起来，动态的解释，使学生更容易理解什么是右手直角坐标系．（三）空间中点的坐标以及空间中坐标表示的点如图所示，设M 为空间的一个定点，过点M 分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P 、Q 和R ，设点P 、Q 和R 在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别为z y x 、、，那么点M就对应唯一确定的有序实数组（z y x ,,）.反过来，给定有序实数组（z y x ,,），我们可以在x 轴、y 轴和z 轴上分别取坐标为实数x y 、和z 的点P 、Q 和R ，分别过P 、Q 和R 各作一个平面，分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组（z y x ,,）确定的点M .这样，空间一点M 的坐标可以用有序实数组（z y x ,,）来表示，有序实数组（z y x ,,）叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M （z y x ,,）.其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标.y【师生活动】1.师：任意给定空间中的一点M ，它的坐标是不是唯一确定的？ 生：是.2.师：任意给定空间中的一个有序实数组（z y x ,,），它所表示的点是不是唯一确定的？生：是.【设计意图】通过这两个问题的设计，让学生认识到空间直角坐标系中的点与坐标的一一对应. 【设计说明】教师可以结合下面的空间中的结论，说明在空间直角坐标系中点与坐标的一一对应： 过空间任意一点有且只有一个平面与已知直线垂直.三、理解新知１．对于空间直角坐标系，要在数轴和平面直角坐标系（一维坐标系和二维坐标系）的基础上进行把握，体会由直线到平面，再由平面到空间的升维过程．２．结合空间图形直观图的画法深刻理解空间直角坐标系中x 轴上单位长度的选取的合理性和必要性．３．结合空间几何中的结论理解建立空间直角坐标系后，空间中的点与坐标的一一对应．通过以上三点，可以让学生较好得掌握空间直角坐标系的相关概念以及空间中点的坐标，为后面的知识运用做好铺垫．四、运用新知例1 如图，在长方体OABC D A B C ''''-中，3,4,2OA OC OD '===.写出,,,D C A B '''四点的坐标. 解：点D '在z 轴上，且2OD '=，它的竖坐标是2；它的横坐标x 与纵坐标y 都是零，所以点D '的坐标是()0,0,2.点C 在y 轴上，且4,OC =它的纵坐标是4；它的横坐标x 与竖坐标z 都是零，所以点C 的坐标是()0,4,0.同理，点A '的坐标是()3,0,2.点B '在xoy 平面上的射影是B ,因此它的横坐标x 与纵坐标y 同点B 的横坐标x 与纵坐标y 相同. 在xoy 平面上，点B 的横坐标3x =，纵坐标4y =；点B '在z 轴上的射影是D '，它的竖坐标与点D '的竖坐标相同，点D '的竖坐标2z =. 所以点B '的坐标是()3,4,2.y【设计意图】通过本例让学生体验空间直角坐标系中点的坐标的确定方法，加深学生对空间直角坐标系的认识，也有利于培养学生的空间想象能力．思考1：如图，长方体OABC D A B C ''''-中，3,4,3OA OC OD '===，A C ''与B D ''相交于点P ．分别写出,,C B P '的坐标．y答案：()30,4,0,(3,4,3),(,2,3)2C B P '．【设计意图】本思考在例题的基础上增加了求长方体面对角线交点的坐标，除进一步加深学生对空间直角坐标系的认识和培养学生的空间想象能力外，还可以让学生初步体会空间中线段的中点的坐标与端点坐标之间的联系．思考2：例1是由具体的点写出它在空间直角坐标系中的坐标，反过来，由点的坐标如何确定它在空间直角坐标系中的位置？以点()3,4,2为例，如例一图形，在x 轴、y 轴和z 轴上依次找点()3,0,0,(0,4,0),(0,0,2)A C D ', 过这三点依次作x 轴、y 轴和z 轴的垂面，这三个平面唯一的交点即为点()3,4,2．【设计意图】通过本问题的设计进一步明确空间直角坐标系中点的坐标的含义，进一步理解空间的点与坐标的一一对应．例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体)，其中色点（浅色点）代表钠原子，黑点（深色点）代表氯原子.如图，建立空间直角坐标系O xyz -后，试写出全部钠原子所在位置的坐标．解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层的原子全部在xoy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(,,0)22；中层的原子所在的平面平行于xoy 平面，与z 轴交点的竖坐标为12，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是11111111(,0,),(1,,),(,1,),(0,,)22222222；上层的原子所在的平面平行于xoy 平面，与z 轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是11(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),(,,1)22．思考：如图，棱长为a 的正方体OABC D A B C ''''-中，对角线OB '与BD '相交于点Q ．顶点O 为坐标原点，,OA OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上．试写出点Q 的坐标．y答案：(,,)222a a aQ ． 【延伸拓展】空间中线段的中点坐标公式：在空间直角坐标系中，点1111(,,),P x y z 点2222(,,),Px y z 则线段12P P 的中点M 的坐标为121212(,,)222x x y y z z +++． 五、课堂小结本节课的知识及思想方法：（提问学生归纳，老师适当点拨）１．空间直角坐标系及相关概念．２．空间直角坐标系中点的坐标及相关概念．３．给出具体的点写出它在空间直角坐标系中的坐标． ４．由具体的点的坐标找出它在空间直角坐标系中的位置．5．本节课用到的思想方法：数形结合思想、转化与化归的思想．（在空间直角坐标系及空间直角坐标系中点的坐标的定义中，结合正方体和长方体的图形，可以很好地理解概念；可以把空间中点的横坐标、纵坐标和竖坐标分别转化为此点对应的x 轴、y 轴和z 轴上相应的点的坐标．）教师总结: 要理解空间直角坐标系及空间直角坐标系中点的坐标的概念，一方面要结合正方体和长方体等空间图形，另一方面要认识到空间直角坐标系是数轴和平面直角坐标系的延伸和发展；在具体图形中，要会求点的坐标，对于给定的点的坐标，要会找出它在空间直角坐标系中的位置．[设计意图]让学生进一步巩固所学知识，并提高一个层次认识所学知识，与前面的学习目标呼应，再次明确学习目标．六、布置作业1．阅读教材P136—137，预习4.3.2空间两点间的距离公式． 2.书面作业必做题：课本P136 练习1． P138 习题4.3 A 组 1,2．选做题：对于各棱长都为1的三棱锥A BCD -,建立空间直角坐标系，写出,,,A B C D 四点的坐标．（建立坐标系的方法不唯一，属开放型问题，让学生体会恰当选择坐标系的重要性．） 3．课外思考 课本P138 习题4.3 A 组 3．（本题除涉及到空间中点的坐标，还涉及空间中点的距离，由于可以转化为教特殊的平面内的两点间的距离，故学生目前可以解决，并为下一小节的学习做铺垫．） [设计意图]预习作业是为了在本节内容学习的基础上，让学生趁热打铁预习空间两点间的距离公式．书面作业的必做题难度不大，主要是为了让学生巩固所学知识．选做题主要是让学生进一步巩固所学知识及初步体会坐标系选择的重要性．七、教后反思１．本节课定位准确，对内容和难度的把握都比较恰当．２．能从发展的观点阐明空间直角坐标系的建立过程和方法．３．本节课在例题的设计上比较合理，不仅紧扣重点知识，而且难度不大，便于学生动手．４．本节课的薄弱之处在于对建立空间直角坐标系的必要性阐释不够，在由点的坐标找点的位置方面还应该再加强一些．八、板书设计。
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二、讲授新课：
1.空间直角坐标系：
如图４.3-1(课本), 是单位正方体.以O为原点，分别以射线OA,OC,O 的方向为正方向，以线段OA,OC,O 的长为单位长，建立三条数轴： x轴，y轴，z轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系Ｏxyz.其中点Ｏ叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴叫做坐标轴.通过 每两个坐标轴的平面叫做坐标面，分别称为ｘＯｙ平面、ｙＯｚ平面、ｚＯｘ平面．
三、巩固练习：
1.已知M(2, -3, 4)，画出它在空间直角坐标系中的位置．
2.思考题：建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标．
四．小结：
1．空间直角坐标系的建立．
2．空间直角坐标系内点的坐标的确定过程.
3．空间直角坐标系中点的位置的确定．
五．作业：
板
书
4 .3.1空间直角坐标系
一.提出问题：
1.在初中，我们学过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点怎样表示？
２．在初中因素有哪些？平面直角坐标系上的点怎样表示？如何借助平面直角坐标系表示学生 的座位?能用 直角坐标系表示教室里灯泡的位置吗？
2）反过来， 一个有序数组x，y，z，我们在 x轴上取坐标为x的点P在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q、R分别作x轴，y轴，z轴的垂直平面．这三个平面的交点M即为有序数组x，y，z为坐标的点．数x，y，z就叫做点M的坐标，并依次称x，y，z为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．
（得出 结论：不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同．）
5．例题2（课本例2）题略
说明：学生阅读，思考与例1的不同，教师引导学生解题的方法，图中没有坐标系，这给我们解题带来了难度，同时也给我们的思维提供了空间，如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单？一般来说，以特殊点为原点，我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为基本原则建立空间直角坐标系，坐标系建立的不同，点的坐标也不同，但点的相对位置是不变的，坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同．因此解题时要慎重建立空间直角坐标系．
３．空间直角坐标系中的点与有序书组之间的关系：
1）已知M为空间一点，过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P、Q、R，这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x，y，z．这样空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x，y，z．这组数x，y，z就叫做点M的坐标，并依次称x，y，z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标．坐标为x，y，z的点M通常记为M（x，y，z）．
4.3.1空间直角坐标系
教学
目标
使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法．
重点
难点
重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标。
难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标。
教具
准备
多媒体
课时
安排
一个课时
教学过程与教学内容
教学方法、教学手段与学法、学情
3）坐标为x，y，z的点M通常记为M（x，y，z）．我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了 空间的点M和有序数组x，y，z之间的一一对应关系
4.例题1（课本例1）：在长方体 中 ， 写出 四点坐标.（建立空间直角坐标系 写出原点坐标 各点坐标）
讨论：若以C点为原点，以射线BC、CO、C 方向分别为ox、oy、oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎样的呢？
将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴均成135°，而z轴垂直于y轴，，y轴和z轴的长度单位相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的长度的一半，这样 三条轴 上的单位长度在直观上大体相等．
2.右手直角坐标系：
在空间直角坐标系中，让右手大拇指、食指和中指相互垂直时，大拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指指向z轴正方向，则称这个坐标系为右手坐标系，如无特别说明，以后建立的坐标系都是右手坐标系．
1．空间直角坐标系的建立．
2．空间直角坐标系内点的坐标的确定过程.
3．空间直角坐标系中点的位置的确定
教学
反思