高等数学 极限与连续(2.3.1)--数列极限存在的判别法
判断函数极限是否存在的方法
判断函数极限是否存在的方法判断函数极限是否存在是微积分中的重要概念之一。
在实际问题中，判断函数极限的存在性可以帮助我们更好地理解函数的行为，进行数学建模和预测。
在本文中，我们将介绍判断函数极限存在的方法，并详细讨论极限的定义、性质和计算方法。
我们将首先介绍极限的定义，然后讨论函数极限的性质和计算方法。
最后，我们将通过一些例题对判断函数极限存在性的方法进行详细说明。
1.极限的定义在微积分中，我们用极限来描述函数在某一点处的“接近性”。
当自变量x趋于某个值a时，函数f(x)的极限存在，表示当x足够接近a时，f(x)的取值也足够接近一个确定的数L。
这个数L即是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
根据这个定义，我们可以得到极限存在的三个要素：自变量x趋于某个值a、函数f(x)在a的邻域内有定义、函数f(x)的取值趋于一个确定的数L。
因此，要判断函数极限是否存在，我们需要根据这三个要素来进行分析和判断。
2.函数极限的性质函数极限存在的性质主要包括唯一性、局部有界性、局部保号性和局部保序性。
唯一性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L，则它的极限值是唯一的。
局部有界性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L，则它在该邻域内有界。
局部保号性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L（L>0），则在该邻域内，函数的取值大于0。
局部保序性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L，则在该邻域内，函数的取值的大小顺序与自变量的大小顺序一致。
这些性质为判断函数极限的存在性提供了重要依据。
在实际问题中，我们可以根据这些性质来判断函数极限是否存在，并进一步进行相关的分析和计算。
3.函数极限的计算方法判断函数极限的存在性和计算实际上是相辅相成的。
只有在判断函数极限存在的前提下，我们才能进行具体的计算。
函数极限的计算方法主要包括极限的四则运算法则、极限的夹逼定理、极限的连续性定理和极限的分部求极限法等。
数列极限与数列极限的判别法
数列极限与数列极限的判别法数列极限是数学中非常重要的概念，它可以用来描述数列的趋势和收敛性质。
数列的极限是指当数列中的元素无限逼近某个常数时，该常数即为数列的极限。
在数学分析中，为了判断一个数列是否有极限，我们需要通过一些判别法来进行推导和验证。
一、数列的有界性判别法数列的有界性是判定数列极限的重要条件之一。
如果一个数列有上界和下界，那么我们可以推断出该数列必有极限。
下面我们使用数列{an} 作为示例来说明这一判别法：{an} 是一个数列，如果存在实数 M，使得对于所有的 n∈N，都有an ≤ M 成立，那么数列 {an} 就是有界的。
进一步，如果 {an} 是单调递增的有界数列，那么它一定有极限，并且极限是该数列的上确界。
二、夹逼定理夹逼定理是另一种常用的数列极限判别法。
它基于一个简单的思想：如果一个数列在两个其他数列之间夹逼住，那么它们的极限应该相同。
下面我们通过一个例子来说明夹逼定理：{an} 是一个数列，{bn} 和 {cn} 是两个数列，假设对于所有的 n∈N，都有bn ≤ an ≤ cn 成立，并且 {bn} 和 {cn} 的极限都等于 L。
那么根据夹逼定理，数列 {an} 的极限也等于 L。
三、单调有界数列的极限对于单调有界数列，它的极限可以通过单调性和有界性来判定。
单调有界数列包括单调递增数列和单调递减数列，它们分别具有上界和下界。
下面我们分别说明这两种情况：1. 单调递增数列的极限：如果数列 {an} 是一个单调递增的有界数列，则它的极限等于该数列的上确界。
2. 单调递减数列的极限：如果数列 {an} 是一个单调递减的有界数列，则它的极限等于该数列的下确界。
综上所述，数列极限与数列极限的判别法涉及到有界性、夹逼定理、单调有界数列等概念和定理。
在实际应用中，我们可以根据数列的特点和已知条件选择合适的判别法来判定数列的极限。
总结：数列极限是数学中重要的概念，通过判别法可以判定数列是否有极限。
数列极限的判定法
数列极限的判定法数列极限是数学中的一门重要的概念，它是指当数列中的项无限接近于某个数时，该数就是数列的极限。
在数学中，我们常常需要判断一个数列是否存在极限，因此，了解数列极限的判定法就显得非常重要。
在本文中，我们将介绍数列极限的几种常见的判定法。
一、夹逼定理夹逼定理又称为挤压定理，是数列极限的常见判定法之一。
它的主要思想是通过构造两个收敛于同一极限的数列来确定数列的极限。
具体而言，如果对于一个数列{an}，存在两个数列{bn}和{cn}，并且满足bn≤an≤cn，同时{bn}和{cn}都收敛于同一极限L，则数列{an}的极限也为L。
举个例子，假设我们要判断数列an=(sin n)/n的极限。
我们可以构造两个数列bn=(1/n)和cn=(-1/n)，显然有-bn≤an≤cn，同时我们能够证明bn和cn的极限都为0，因此，根据夹逼定理，数列an的极限也为0。
二、单调有界原理单调有界原理也是数列极限的一种常见的判定法，这个原理的主要思想是：如果一个数列既单调又有界，那么它就一定有极限。
举个例子，考虑数列an=(1+1/2+...+1/n)，显然这个数列是单调递增的且有上界（例如当n=10^6时就能估计一个很好的上界），因此，根据单调有界原理，数列an一定有极限。
三、极限换元法极限换元法也是一种常见的数列极限的判定法。
这个方法的主要思想是通过将原数列中的项进行换元，将原来的数列转化为可以使用其他判定法判断的数列。
这个方法常常用于某些复杂的数列，例如：（cos n)^n/n!对这样的数列，我们可以通过将其项进行换元（例如x=1/n），将它转化为一个更加简单的数列，例如：(f(x))^1/x这样，我们就可以通过对新数列采用其他的判定法来求得原数列的极限。
四、Stolz定理Stolz定理是另一种常见的数列极限的判定法。
这个定理的主要思想是通过列出数列的递推式，利用L'Hopital法则将数列的极限转化为求解极限的商的极限（即极限的形式不定），从而进行判定。
高等数学考研大纲
高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式．5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．四、向量代数和空间解析几何考试内容向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积向量的混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面柱面旋转曲面常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程考试要求1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示．2．掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件．3．理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法．4．掌握平面方程和直线方程及其求法．5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等））解决有关问题．6．会求点到直线以及点到平面的距离．7．了解曲面方程和空间曲线方程的概念．8．了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程．9．了解空间曲线的参数方程和一般方程．了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程．五、多元函数微分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用考试要求1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质．3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性．4．理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法．5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法．6．了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程．8．了解二元函数的二阶泰勒公式．9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．六、多元函数积分学考试内容二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林（Green）公式平面曲线积分与路径无关的条件二元函数全微分的原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯（Gauss）公式斯托克斯（Stokes）公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用考试要求1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，，了解二重积分的中值定理．2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）．3．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系．4．掌握计算两类曲线积分的方法．5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数．6．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分．7．了解散度与旋度的概念，并会计算．8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、、形心、转动惯量、引力、功及流量等）．七、无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数狄利克雷（Dirichlet）定理函数在上的傅里叶级数函数在上的正弦级数和余弦级数考试要求1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件．2．掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件．3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法．4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法．5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系．6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念．7．理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法．8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和．9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件．10．掌握，，，及的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数．11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式．八、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利（Bernoulli）方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉（Euler）方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法．3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程．4．会用降阶法解下列形式的微分方程：和．5．理解线性微分方程解的性质及解的结构．6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．8．会解欧拉方程．9．会用微分方程解决一些简单的应用问题．。
【高等数学】极限详解
a
的数列{xn } 均
有
lim
n
f
(xn
)
A.
注：a 可以是 ，此时条件xn a 不再必要；另外，x 的趋向也可以是单侧的.
（4）若在a
的去心邻域内
f
(x )
0
，则
lim
x afΒιβλιοθήκη (x )的充要条件为
lim
x a
f
1 (x )
0.
（5）海涅定理
lim
x a
f
(x
)
A
的充要条件是：对任一满足
lim
zn xn yn ，
且
lim
n
yn
lim
n
z
n
A ，则有
lim
n
xn
A.
（2）对数列{xn } ，若 N N ，当n N 时，{xn } 单调增加（减少）有上界（下界），
则数列{xn } 极限存在，且
5
上海交通大学数学科学学院
王健
lim
n
x
n
sup
nN
xn
(inf nN
xn
).
4. 函数极限的基本性质
n
x
n
a 且 xn a 的数
列{xn } 均有
lim
n
f
(xn
)
A.
（6）唯一性 若 lim f (x) 存在，其极限值唯一； x a
（7）局部有界性 若 lim f (x) 存在，则 0 ，当 0 | x a | 时， f (x) 有界. x a
（ 8 ） 局 部 保 序 性 若 lim f (x ) A, lim g(x) B ， 且 A B ， 则 0 ， 当
高等数学二知识点总结
高等数学二知识点总结一、极限与连续1. 极限的概念- 数列极限的定义- 函数极限的定义- 无穷小与无穷大的概念2. 极限的性质- 唯一性、有界性- 四则运算法则- 夹逼定理和单调有界定理3. 极限的计算- 极限的四则运算- 链式法则、洛必达法则- 无穷小的比较与替换4. 连续函数- 连续性的定义- 间断点的类型- 连续函数的性质二、导数与微分1. 导数的概念- 导数的定义- 导数的几何意义与物理意义2. 导数的计算- 基本导数公式- 链式法则、乘积法则、商法则 - 隐函数求导、参数方程求导3. 高阶导数- 高阶导数的定义- 常见函数的高阶导数4. 微分的概念与应用- 微分的定义- 微分的几何意义与物理意义 - 微分在近似计算中的应用三、中值定理与导数的应用1. 中值定理- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理2. 泰勒公式- 泰勒公式的表达式- 泰勒公式的应用3. 函数的极值与最值- 极值存在的条件- 最大值与最小值的求解4. 曲线的凹凸性与拐点- 凹凸性的定义与判别- 拐点的求解四、积分1. 不定积分- 基本积分表- 换元积分法- 分部积分法2. 定积分的概念与性质- 定积分的定义- 定积分的性质- 微积分基本定理3. 定积分的计算- 定积分的计算方法- 利用微积分基本定理计算定积分4. 积分的应用- 平面图形的面积- 体积的计算- 平面曲线的弧长五、级数1. 级数的基本概念- 级数的定义- 收敛级数与发散级数2. 收敛性的判别- 比较判别法- 比值判别法与根值判别法- 积分判别法与交错级数判别法3. 幂级数- 幂级数的收敛半径与收敛区间- 幂级数的求和公式4. 傅里叶级数- 傅里叶级数的概念- 傅里叶级数的展开与还原以上是高等数学二的主要知识点总结。
每个部分都包含了关键的定义、性质、计算方法和应用，这些内容是理解和掌握高等数学二所必需的。
在实际应用中，需要结合具体问题来运用这些知识点，通过练习和深入理解来提高解题能力。
成考教材高等数学二目录
成考教材高等数学二目录高等数学二目录第一章极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 数列极限1.1.2 函数极限1.1.3 极限的性质与运算法则1.2 无穷小量与无穷大量1.2.1 无穷小量的定义与性质1.2.2 无穷大量的定义与性质1.2.3 无穷小量与无穷大量的关系与运算1.3 函数的连续性与间断点1.3.1 连续函数的定义与性质1.3.2 连续函数的四则运算1.3.3 间断点及其分类1.4 极限运算与连续函数的应用1.4.1 利用极限计算函数的连续性1.4.2 连续函数的介值性定理 1.4.3 立体几何问题中的应用第二章导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义2.1.2 导数的运算法则2.1.3 高阶导数与隐函数求导 2.2 函数的微分与近似2.2.1 微分的定义与性质2.2.2 微分的应用2.2.3 泰勒公式及其应用2.3 高阶导数与高阶微分2.3.1 高阶导数的定义与性质 2.3.2 高阶微分的定义与性质 2.3.3 高阶导数的应用2.4 隐函数与参数方程的导数 2.4.1 隐函数求导的基本方法2.4.2 参数方程求导的基本方法2.4.3 参数方程与隐函数在几何中的应用第三章微分中值定理与Taylor公式3.1 微分中值定理3.1.1 Rolle定理与Lagrange中值定理3.1.2 Cauchy中值定理及其应用3.1.3 Bernoulli中值定理及其应用3.2 Taylor公式3.2.1 Taylor公式及其余项3.2.2 Taylor公式的应用3.2.3 幂级数与函数的展开第四章不定积分和定积分4.1 不定积分4.1.1 不定积分的定义与性质4.1.2 基本不定积分表4.1.3 不定积分的运算与换元法4.2 定积分4.2.1 定积分的概念与性质4.2.2 Newton-Leibniz公式4.2.3 定积分的计算与应用4.3 定积分的应用4.3.1 定积分在几何中的应用 4.3.2 定积分在物理中的应用 4.3.3 定积分在生活中的应用第五章多元函数微积分学5.1 二元函数微分学5.1.1 偏导数的定义与性质5.1.2 二元函数的全微分5.1.3 链式法则与隐函数定理 5.2 多元函数的导数5.2.1 多元函数的方向导数5.2.2 梯度与方向导数5.2.3 多元复合函数的导数5.3 多元函数的极值与条件极值5.3.1 多元函数的极值判定5.3.2 多元函数的条件极值5.3.3 基本最值定理5.4 重积分5.4.1 重积分概念与性质5.4.2 二重积分的计算与应用5.4.3 三重积分的计算与应用第六章无穷级数与幂级数6.1 无穷级数的收敛性与性质6.1.1 无穷级数的概念与性质6.1.2 收敛级数的性质与判别法 6.1.3 收敛级数的运算与函数展开 6.2 函数项级数6.2.1 函数项级数的收敛性6.2.2 函数项级数的性质与判别法 6.2.3 函数项级数的一致收敛性 6.3 幂级数与泰勒级数6.3.1 幂级数的收敛域与运算法则 6.3.2 幂级数的应用与性质6.3.3 泰勒级数与其应用第七章曲线与曲面积分7.1 曲线积分7.1.1 第一类曲线积分7.1.2 第二类曲线积分7.1.3 Green公式及其应用7.2 曲面积分7.2.1 第一类曲面积分7.2.2 第二类曲面积分7.2.3 Gauss公式及其应用7.3 广义积分7.3.1 第一类广义积分7.3.2 第二类广义积分7.3.3 海涅公式与其应用第八章空间解析几何与向量代数8.1 空间平面与直线8.1.1 空间平面的方程与性质 8.1.2 空间直线的方程与性质 8.1.3 空间曲线的参数方程8.2 空间向量与点线面距离8.2.1 空间向量的定义与运算 8.2.2 向量的数量积与向量积 8.2.3 点线面间的距离与投影 8.3 空间曲面与曲线的参数化8.3.1 参数方程的定义与性质 8.3.2 曲线的切线与法平面8.3.3 曲面的法线与切平面第九章偏导数与微分9.1 函数的偏导数9.1.1 函数的偏导数概念与性质 9.1.2 高阶偏导数与混合偏导数 9.1.3 隐函数的偏导数计算9.2 多元函数的全微分9.2.1 多元函数的全微分定义与性质9.2.2 多元函数的全微分计算9.2.3 隐函数的全微分计算9.3 微分的近似与应用9.3.1 微分的近似计算9.3.2 微分在局部线性化中的应用9.3.3 微分在误差估计中的应用第十章多元函数的极值与条件极值10.1 多元函数的极值判定10.1.1 多元函数的极值性质与判别法 10.1.2 多元函数的极值存在性与应用 10.2 多元函数的条件极值10.2.1 多元函数的条件极值求解10.2.2 条件极值的充分条件与应用10.2.3 无约束极值与最大值最小值问题第十一章重积分及其应用11.1 二重积分的概念与性质11.1.1 二重积分的定义11.1.2 二重积分的性质与计算11.1.3 二重积分的应用11.2 三重积分的概念与性质11.2.1 三重积分的定义11.2.2 三重积分的性质与计算11.2.3 三重积分的应用11.3 重积分的变量替换与坐标变换 11.3.1 重积分的变量替换方法11.3.2 极坐标与柱坐标变换11.3.3 面积分与体积分的计算方法第十二章曲线积分与曲面积分12.1 曲线积分12.1.1 一类曲线积分12.1.2 二类曲线积分12.1.3 Green公式与环量计算12.2 曲面积分12.2.1 一类曲面积分12.2.2 二类曲面积分12.2.3 Gauss公式与通量计算12.3 散度与旋度12.3.1 向量场的散度与旋度12.3.2 散度定理与Stokes公式12.3.3 求解散度与旋度的应用第十三章多元函数积分学的进一步应用 13.1 广义积分13.1.1 广义积分的基本概念13.1.2 一类广义积分的收敛性13.1.3 第二类广义积分的计算13.2 多元函数积分学的应用13.2.1 空间曲线与空间曲面的长度13.2.2 形心、质心与薄片质量13.2.3 统计学中的应用第十四章参数方程与空间解析几何 14.1 参数方程的求法与性质14.1.1 参数方程的求法与简化14.1.2 参数方程的性质与性质14.1.3 参数方程与向量函数的关系 14.2 空间曲线的性质与判断方法14.2.1 曲线的切线与法平面14.2.2 曲线的凸凹性与对称性14.3 空间几何体的性质与计算14.3.1 空间几何体的体积与表面积 14.3.2 空间几何体的位置关系14.3.3 空间几何体的方向角与夹角第十五章应用题综合实例分析15.1 实际问题的数学建模15.1.1 数学建模的基本思想15.1.2 实际问题的模型假设15.1.3 实际问题的数学建模步骤15.2 应用题的综合实例分析15.2.1 空间点与空间曲线的几何关系 15.2.2 变力做功与功率15.2.3 流体的力学性质与运动规律第十六章常微分方程16.1 常微分方程的基本概念与性质16.1.1 微分方程的基本概念16.1.2 微分方程的解与解的存在唯一性 16.1.3 微分方程的解的初值问题16.2 一阶常微分方程16.2.1 可分离变量方程16.2.2 齐次方程与非齐次方程16.2.3 一阶线性方程16.3 高阶线性常微分方程16.3.1 齐次线性方程16.3.2 常系数非齐次线性方程16.3.3 变系数非齐次线性方程16.4 常微分方程的应用16.4.1 物理问题的微分方程模型16.4.2 生态问题的微分方程模型16.4.3 人口问题的微分方程模型总结本教材共包括16章，分别介绍了高等数学二的各个知识点和概念。
高等数学大一考试知识点大纲总结
高等数学大一考试知识点大纲总结高等数学是大学数学课程中的重要组成部分，旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
以下是高等数学大一考试知识点的大纲总结，以帮助学生系统地复习和掌握这些内容。
一、极限与连续1. 数列的极限与无穷级数- 数列的收敛性与极限- 数列极限的性质和判别法- 无穷级数的收敛性与常用级数2. 函数的极限与连续性- 函数极限的定义和性质- 左右极限与无穷极限- 连续函数的定义和性质- 中值定理及其应用二、导数与微分1. 导数的概念与性质- 函数导数的定义和基本性质- 导数的四则运算和复合函数求导2. 微分的概念与应用- 微分的定义和性质- Taylor公式及其应用- 最值问题和微分中值定理三、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与基本性质- 不定积分的定义和性质- 基本积分表和常用换元法- 牛顿-莱布尼茨公式2. 定积分的概念与性质- 定积分的定义和性质- 几何应用和物理应用- 积分中值定理和换元法四、微分方程1. 一阶微分方程- 可分离变量微分方程- 齐次微分方程和一阶线性微分方程- 可降阶的高阶方程2. 高阶微分方程- 常系数线性齐次微分方程- 常系数线性非齐次微分方程- 欧拉方程和变系数线性二阶微分方程五、多元函数微分学1. 多元函数的极限与连续- 多元函数极限的定义和性质- 多元函数连续的定义和性质2. 偏导数与全微分- 偏导数的定义和计算- 全微分的定义和性质- 隐函数与参数方程的偏导数3. 多元函数的极值与条件极值- 多元函数的极值判定条件- 条件极值及拉格朗日乘子法六、重积分与曲线曲面积分1. 二重积分- 二重积分的概念和性质- 二重积分的计算和变量代换2. 三重积分- 三重积分的概念和性质- 三重积分的计算和变量代换3. 曲线积分与曲面积分- 第一类曲线积分与第二类曲线积分- 曲面积分的计算和参数化表达以上是高等数学大一考试知识点的大纲总结，希望能够对同学们的复习有所帮助。
极限存在与不存在的判定方法
极限存在与不存在的判定方法极限是微积分中的一个重要概念，它用于描述函数在趋近某一点时的行为。
然而，对于一个给定的函数，如何判定其极限是否存在呢？本文将介绍几种常用的方法来判定极限的存在与否。
一、数列极限的判定方法对于数列的极限，我们可以通过以下方法进行判定：1. 判定法则一：夹逼准则夹逼准则是常用的一种判定数列极限的方法。
它的基本思想是：如果一个数列被两个收敛的数列夹住，并且这两个数列的极限相等，那么原数列也收敛，并且极限等于这两个收敛数列的极限。
2. 判定法则二：单调有界原理单调有界原理是判定数列极限的另一种常用方法。
它的基本思想是：如果一个数列单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么该数列必定收敛。
3. 判定法则三：零点判别法零点判别法适用于一些特殊的数列。
它的基本思想是：如果一个数列的极限等于零，那么这个数列可以通过一些数列变换的方法来判定极限的存在。
二、函数极限的判定方法对于函数的极限，我们可以通过以下方法进行判定：1. 判定法则一：柯西收敛准则柯西收敛准则是判定函数极限的一种常用方法。
它的基本思想是：对于任意一个正数ε，存在一个正数δ，当函数定义域中任意两个点的距离小于δ时，函数值的差的绝对值也小于ε，那么该函数的极限存在且唯一。
2. 判定法则二：函数极限存在的等价定理函数极限存在的等价定理是判定函数极限存在的另一种常用方法。
它的基本思想是：如果一个函数在某一点附近连续，那么该函数在该点必定存在极限。
3. 判定法则三：函数的无穷极限函数的无穷极限判定是用来判断函数在正无穷或负无穷处的极限存在与否。
它的基本思想是：如果一个函数在某一方向上趋于无穷大或无穷小，那么相应的无穷极限也存在。
三、其他方法除了上述常用的判定方法外，还有一些特殊情况下的判定方法可以用于判定极限的存在与否，如洛必达法则、泰勒展开等等。
这些方法在具体问题中的应用较为灵活，需要根据具体情况来选择使用。
综上所述，判定极限的存在与否需要根据不同的情况选择适当的方法。
高等数学第二章极限与连续
x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ ≥ xn ≥ xn+1 ≥
那么称数列为单调递减数列. 那么称数列为单调递减数列 单调递减数列
xn
x 4 x 3 x 2 x1
x
单调递增和单调递减数列统称为单调数列 单调递增和单调递减数列统称为单调数列. 单调数列
二,有界性
如果存在M>0,对于任何正整数 ,恒有 对于任何正整数n 如果存在 对于任何正整数 那么称数列 {xn }为有界的;否则称为无界的. 有界的 否则称为无界 无界的 如果数列所有的项都不超过某一个常数,即 如果数列所有的项都不超过某一个常数,
x2 4 x2 4 lim =2 或 →2 x → 2 2( x 2) 2( x 2)
(x →2).
3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3
x2 4 f ( x) = 2( x 2)
x →2 ← x
4
定义3 的某个去心邻域有定义, 定义 设函数在点 x 0的某个去心邻域有定义,如果当 x源自xn = n ,3
1,8, ,, n 3 , (1) 27
1 1 1 1 , , , , n , 2 4 8 2
1 xn = n , 2
(2)
xn = (1)
n 1 xn = n
n1
1 , n
1 1 n 1 1 1, , , , ( 1 ) , 2 3 n
(3) (4) (5)
x n = (1)
x → +∞
lim f ( x) = A 或 f ( x) → A ( x → +∞).
例如,由函数 的图形可见, 例如 由函数 f ( x) = arctanx 的图形可见 y
π
2
y = arctan x
考研数学复习中的重点知识汇总
考研数学复习中的重点知识汇总考研数学是众多考生在研究生入学考试中面临的一座大山，需要系统而深入的复习。
在复习过程中，掌握重点知识是取得高分的关键。
以下为大家详细汇总考研数学复习中的重点知识。
一、高等数学1、函数、极限与连续函数的概念与性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
极限的计算方法，如四则运算法则、两个重要极限等。
连续的定义、间断点的类型及判断。
2、一元函数微分学导数的定义、几何意义及物理意义。
求导法则，包括四则运算、复合函数求导、反函数求导等。
函数的单调性、极值与最值。
凹凸性与拐点。
3、一元函数积分学不定积分的计算方法，如换元法、分部积分法等。
定积分的定义、性质及计算。
定积分的应用，如求平面图形的面积、旋转体的体积等。
4、多元函数微分学多元函数的概念、极限与连续。
偏导数与全微分的定义及计算。
多元函数的极值与最值。
5、多元函数积分学二重积分的计算方法，包括直角坐标法、极坐标法等。
三重积分的概念及计算。
曲线积分与曲面积分的概念及计算。
6、无穷级数数项级数的敛散性判断，如正项级数的比较判别法、比值判别法等。
幂级数的收敛半径、收敛区间及和函数的计算。
7、常微分方程一阶常微分方程的求解方法，如可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程等。
二阶常微分方程的求解方法，如常系数齐次方程、常系数非齐次方程等。
二、线性代数1、行列式行列式的定义、性质及计算方法。
2、矩阵矩阵的概念、运算，包括加法、乘法、转置等。
逆矩阵的定义、性质及求法。
矩阵的秩的概念及计算。
3、向量向量的线性表示、线性相关与线性无关。
向量组的秩的概念及计算。
4、线性方程组线性方程组的解的判定、求解方法。
齐次线性方程组的基础解系的求法。
5、矩阵的特征值与特征向量特征值与特征向量的定义、性质及计算方法。
相似矩阵的概念及性质。
6、二次型二次型的标准形与规范形的求法。
正定二次型的判定方法。
三、概率论与数理统计1、随机事件与概率随机事件的概念、关系与运算。
概率的定义、性质及计算方法。
高等数学(理工类)课程的主要内容
高等数学（理工类）课程的主要内容一、函数、极限与连续函数的概念及其表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；反函数、复合函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形特征，初等函数，简单应用问题的函数关系的建立；数列极限与函数极限的定义和性质，函数的左、右极限，无穷小与无穷大；无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则和两个重要极限；连续函数的概念，函数间断点的分类；初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(最大值最小值定理和介值定理)。
二、导数与微分导数的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线；基本初等函数的导数，导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的求导法则；高阶导数的概念，某些简单函数的n阶导数；隐函数及参数方程所确定的函数的导数，相关变化率；微分的概念，微分的四则运算，一阶微分形式的不变性，利用微分进行近似计算。
一阶微分形式的不变性微分在近似计算中的应用三、中值定理与导数的应用罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理；洛必达法则；泰勒中值定理；函数的单调性及其判别法，曲线的凹凸性及其判别法，函数图形的拐点及其求法；渐近线，函数图形的描绘；函数的极值及其求法，函数最大值和最小值的求法及简单应用；弧微分，曲率及其计算公式，曲率圆的概念与曲率半径的计算法。
四、不定积分原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式；不定积分的换元积分法与分部积分法；有理函数、三角函数和简单无理函数的不定积分，以及可化为有理函数的积分。
五、定积分定积分的概念与定积分的近似计算；定积分的性质，定积分中值定理；积分上限的函数及其导数，牛顿一莱布尼茨公式；定积分的换元积分法与分部积分法；无穷限的广义积分，无界函数的广义积分。
六、定积分的应用定积分的微元法及其应用：求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长、变力沿直线所作的功等。
七、空间解析几何与向量代数向量的概念，向量的线性运算；空间直角坐标系，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦；向量的数量积与向量积的概念，两向量垂直和平行的条件，两向量的夹角；曲面及其方程，球面及其方程，旋转轴为坐标轴的旋转曲面及其方程，母线平行于坐标轴的柱面及其方程；空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影；空间平面和直线的方程及其求法，平面与平面、平面与直线、直线与直线间几何位置的判定，点到面和点到直线的距离；常用二次曲面的方程及其图形特征。
判断极限存在的方法
判断极限存在的方法
判断极限存在的方法主要有以下几种：
1. 代入法：对于给定的函数，将自变量接近目标值代入，计算函数值，如果函数值接近于某个确定的值，那么该函数极限存在。
2. 等价无穷小比较法：对于给定的函数，在无穷或趋于某一点时，将其与已知的等价无穷小进行比较，如果它们的比值趋于一个确定的常数，那么该函数极限存在。
3. 夹逼法：对于给定的函数，在某一点附近存在两个已知的函数，它们的极限都是同一个值，并且在这两个函数之间的函数值都局限在这两个函数之间，那么该函数的极限存在且等于这个公共值。
4. 单调有界准则：对于给定的函数，如果它在某一点附近单调，并且存在一个界限，那么该函数的极限存在。
5. 介值定理：对于给定的函数，在某一点附近存在一个闭区间，该函数在该闭区间内连续，且函数在该闭区间内取到一切可能的值，那么该函数的极限存在。
这些方法都是常用的判断极限存在的方法，根据具体的函数形式和问题需要，可以选择合适的方法来判断极限是否存在。
判断极限存在的方法
判断极限存在的方法要判断一个极限是否存在，通常可以使用以下几种方法：夹挤定理、数列极限、函数极限以及数值逼近法。
首先是夹挤定理。
夹挤定理是判断一个函数在某点处极限是否存在的常用方法。
设函数f(x)，如果存在两个函数g(x)和h(x)，满足在某点x=a的邻域内，对于所有的x，都有g(x) ≤f(x) ≤h(x)。
并且当x趋近于a时，g(x)和h(x)都趋近于同一个极限L。
那么，f(x)在x=a处的极限也等于L。
通过夹挤定理，我们可以判断出函数在某点处的极限是否存在。
接下来是数列极限。
数列极限是判断数列的极限是否存在的一种方法。
如果一个数列{an}满足当n趋近于无穷时，其数列的所有元素都趋近于同一个常数L，那么我们称L为数列的极限，记为lim(n→∞) an = L。
数列极限的判断可以通过直接计算数列的元素来进行判断。
如果数列的元素趋近于一个常数，那么这个常数就是数列的极限。
例如，当n趋近于无穷时，数列an = 1/n的极限为0，可以通过计算1/1，1/2，1/3，1/4，...的结果来得出。
然后是函数极限。
函数极限是判断一个函数在某点处的极限是否存在的方法。
1. 连续性：如果一个函数在某点a的邻域内满足f(x) →f(a)（当x→a时），那么我们可以说函数在x=a处的极限存在且等于f(a)。
2. 无穷：如果函数在x=a处的一个邻域内，当x越来越接近a时，f(x)趋向于正负无穷大，那么我们可以说函数在x=a处的极限不存在。
最后是数值逼近法。
数值逼近法是一种利用数值计算近似极限值的方法。
通过将函数在某点附近进行计算，并不断逼近极限的值。
这种方法需要使用计算机和数值模拟的技术进行实现，可以通过多次迭代来逼近极限值。
需要注意的是，判断一个极限是否存在并不总是容易的。
在某些特殊情况下，可以应用上述方法判断极限是否存在，但在某些复杂情况下，可能需要使用更高级的方法来判断。
此外，有时候极限本身存在，但由于函数或数列的定义域的限制，或者计算的精确性等原因，可能导致数值计算的结果无法准确表示极限的存在与否。
大一高数知识点总结手写
大一高数知识点总结手写大一高数知识点总结高等数学是大学阶段普遍开设的一门重要课程，对于理工科学生而言是一门关键科目。
下面将对大一高数课程中的核心知识点进行总结。
1. 极限与连续1.1 极限的定义与性质- 数列的极限：数列极限的定义、极限存在准则、极限的唯一性- 函数的极限：函数极限的定义、极限存在准则、函数极限的性质（四则运算、夹逼定理等）1.2 连续性- 函数的连续性：函数在一点的连续性、连续函数的运算性质、连续函数的间断点分类2. 导数与微分2.1 导数的概念与性质- 导数的定义：函数在一点处的导数定义、导数与极限的关系- 导数的性质：导数的四则运算、复合函数的导数、反函数的导数2.2 微分的概念与应用- 微分的定义及计算：微分形式、解微分方程- 微分的应用：切线与法线、泰勒展开、最值问题、中值定理3. 不定积分与定积分3.1 不定积分- 不定积分的定义与性质：不定积分的概念、不定积分的性质、基本积分表- 积分方法：换元法、分部积分法、三角换元法、有理函数积分法等3.2 定积分- 定积分的定义与性质：定积分的概念、定积分的性质、定积分的应用- 积分求面积：曲线下的面积、旋转体的体积、定积分在几何中的应用4. 一元函数的级数4.1 级数的概念与性质- 级数的定义：部分和、级数的收敛与发散- 级数的性质：级数的四则运算、级数收敛准则（比较判别法、比值判别法等）4.2 常见级数- 等比级数：等比级数收敛条件、常用公式与性质- 幂级数：幂级数的收敛半径、常用公式与性质5. 多元函数与偏导数5.1 多元函数的极限- 多元函数的极限定义与性质：多重极限的定义、多重极限的计算法则- 函数连续性：多元函数的连续性定义、连续函数的运算性质5.2 偏导数与全微分- 偏导数的定义与性质：偏导数的概念、高阶偏导数、隐函数的偏导数- 全微分：全微分的定义、全微分近似计算以上是大一高数课程中的核心知识点总结，希望对你的学习有所帮助。
极限存在的判定方法
极限存在的判定方法在数学中，极限是一个重要的概念。
极限存在性是数学中一个重大的问题，而且在许多情况下，它不仅仅是理论的，更是实际应用的。
因此，判定极限存在性的方法是数学学习者需要了解的重要内容之一。
这篇文章将介绍几种经典的极限存在的判定方法。
方法一: 收敛数列定义法数列是数学中的一个重要概念，它可以看作是一个无限长的数字序列。
在数列中，如果存在一个数L，使得数列中的数越来越接近L，并且无论取哪一个足够大的数n，都可以让数列元素xn足够接近L，那么我们称L为这个数列的极限。
与此相关的是，一个数列如果满足其极限存在，则我们称该数列“收敛”，而如果不存在这样的L，则该数列称为“发散”。
根据这个定义，我们可以使用下面的公式来进行数列的收敛性判定:如果存在一个实数L，对于任意小的正实数ε，总存在一个正整数N，当n>N时，有|xn-L|<ε，那么我们称数列{xn}收敛于L，或者称L为数列{xn}的极限。
方法二: 分类讨论法这是一个经典的判定极限存在性的方法。
针对一个给定的数列，我们可以先将它进行分类，根据不同的情况来进一步讨论它的极限存在性。
在分类讨论时，我们将数列分为以下几类：1. 常数列，也就是xn=c，其中c为常数。
2. 单调列，也就是xn单调递增或单调递减。
3. 周期列，也就是xn构成一个周期性数列。
4. 夹逼列，也就是xn被两个收敛数列所夹逼。
对于第一种情况，显然该数列的极限就是c。
对于第二种情况，如果数列单调递增，那么它的极限为正无穷，如果数列单调递减，那么它的极限为负无穷。
对于第三种情况，该数列不存在极限。
对于第四种情况，我们可以使用夹逼定理来判定，如果两个数列都收敛到同一个数，且中间的数列xn被这两个数列所夹逼，则xn 的极限也存在并等于这个数。
方法三: Cauchy收敛准则在数学中，我们常常使用Cauchy收敛准则来判断一个数列是否收敛。
该方法的基本思想是：如果一个数列{xn}满足xn的差越来越小，那么它就是一个收敛数列。
高等数学、线性代数.doc
[考试科目]高等数学、线性代数高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数简单应用问题的函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限 :函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的基本概念。
5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容。
导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线基本初等函数的导数导数和微分的四则运算复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数的极值函数单调性的判别函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数最大值和最小值考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数．4. 会求分段函数的一阶、二阶导数．5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．6．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理.7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直渐近线，会描绘函数的图形．9．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分广义积分定积分的应用考试要求1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式．5．了解广义积分的概念，会计算广义积分．6．了解定积分的近似计算法．7．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功）.四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数、隐函数求导法二阶偏导数多元函数的极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。
数列极限存在的充分必要条件
数列极限存在的充分必要条件数列极限存在是数学分析中一个重要的概念，它描述了数列在无限项的情况下的趋势和稳定性。
在数学中，我们常常关注数列的极限是否存在，因为它对于理解数列的性质和应用具有重要意义。
本文将探讨数列极限存在的充分必要条件。
一、数列的定义我们需要明确数列的定义。
数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
通常用{an}表示，其中n为自然数，an表示数列中的第n个数。
例如，{1, 2, 3, 4, ...}就是一个数列，其中an=n。
二、数列极限的定义数列极限的定义是数列理论的基础。
对于数列{an}，如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε成立，那么我们称实数a为数列{an}的极限，记作lim(n→∞)an=a。
三、数列极限存在的充分必要条件数列极限存在的充分必要条件是数学分析中的一个重要结论。
下面我们将介绍数列极限存在的充分必要条件。
充分条件：1. 单调有界性：如果数列{an}单调递增且有上界（或单调递减且有下界），则数列{an}的极限存在。
这是因为单调有界数列必定收敛于某个实数。
2. Cauchy收敛准则：如果数列{an}满足Cauchy收敛准则，即对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当m,n>N时，|am-an|<ε成立，那么数列{an}的极限存在。
这是因为Cauchy收敛准则保证了数列的逼近性，使得数列趋于某个实数。
必要条件：1. 有界性：如果数列{an}的极限存在，那么数列{an}必定有界。
这是因为极限存在意味着数列在某个实数附近趋于稳定，因此数列的项必定在某个范围内。
2. 单调性：如果数列{an}的极限存在，那么数列{an}必定是单调的。
这是因为极限存在意味着数列在某个实数附近趋于稳定，因此数列的项必定具有一定的顺序性。
数列极限存在的充分必要条件是单调有界性和Cauchy收敛准则。
这两个条件保证了数列的趋势和稳定性，使得数列能够收敛于某个实数。
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若数列 { xn } 单调增加且有上界，则 { xn } 有极 限
想一想 这个数列的极限是哪个数？就找到 了证明方法
{ xn } 单调减少有下界也必有极限
例 考察 xn 2 2 2 （ n 重根号）
例 设 x1 1,
xn1
2xn xn 1
(n 2),
证 { xn } 有极限且求之
一个重要数列极限
xn
(1
1)n, n
证明 ( 典型方法 )
xn
(1
1)n n
1 Cn1
1 n
Cn2
1 n2
Cn3
1 n3
Cnn
1 nn
1
1
1 2!
(1
1 n
)
1 3!
(1
1n )(1
n2 )
1 n!
(1
1 n
)(1
2 n
) (1
n
n1)
与 xn+1 比较，导出单调增加 适当放大，导出有界性
极限存在
yn
(1
1 )n1 n
单减
记号
e
lim(1 nFra bibliotek1)n n
例
xn
1
1 2
1 3
1 4
(1)n1
1 n
有极限
试证 { xn }
（不是单调数列 考虑子列）
，
考虑
xn
1
1 2
1 3
1 n
是否有极限
H.W
习题 2 16 （ 1 ）（ 2 ） 17 (1)(2)(4)
补充题 2*
本节要点 掌握夹逼准则
运用这一准则往往需要适当放大、缩小
了解单调有界判别准则并能适当应用这一准 则的习题有时偏难，需要证明单调和有界， 做一定数目的习题逐步熟悉过程才能掌握
( 3 ) xn n 14 24 n4
(4) xn
1( n
1 n 1
1 n
2
1 n
) n
例
x
0,
fn (x)
n
1
xn
(
x2 2
)
n
,
求
lim
n
fn (x)
H.W
习题 2 13 (1) (2) (3)* 14 15
2.3.2 单调有界数列极限存在准则
Chap 2.3
数列极限存在 的判别准则
2.3.1 夹逼准则
若 N ,当 n N , yn xn zn ,
且
lim
n
yn
lim
n
zn
A
lim
n
xn
A
注意 A =0 的情况
例 求下列数列的极限
(1)
xn
10n n!
;
(2) xn n 1n 2n 3n