高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第八节热点专题--三角函数与解三角形的热点问题课件理
高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4
高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形4.4 简单的三角恒等变换 考试要求 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 知识梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α. (2)公式C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)公式T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．常用的部分三角公式 (1)1－cos α＝2sin 2α2，1＋cos α＝2cos 2α2.(升幂公式) (2)1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22.(升幂公式) (3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2，tan 2α＝1－cos 2α1＋cos 2α.(降幂公式) 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α为第四象限角，则sin 2α>0.( × )(2)设5π2<θ<3π，且|cos θ|＝15，那么sin θ2的值为155.( × ) (3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．( √ )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )教材改编题1．sin 15°cos 15°等于( )A ．－14 B.14 C ．－12 D.12答案 B解析 sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14. 2．化简1＋cos 4的结果是( )A ．sin 2B ．－cos 2 C.2cos 2D ．－2cos 2 答案 D解析 因为1＋cos 4＝2cos 22，又cos 2<0，所以可得选项D 正确．3．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α等于( ) A ．－22 B ．2C ．－13D ．－12 答案 D解析 由tan(π＋2α)＝－43， 得tan 2α＝－43， 又tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43， 解得tan α＝－12或tan α＝2， 又α是第二象限角，所以tan α＝－12.题型一 三角函数式的化简例1 (1)(2021·全国甲卷)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan 2α＝cos α2－sin α，则tan α等于( ) A.1515 B.55 C.53 D.153答案 A解析 方法一 因为tan 2α＝sin 2αcos 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α， 且tan 2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α，解得sin α＝14.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515. 方法二 因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2sin αcos α1－sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α，且tan 2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α， 解得sin α＝14.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515. (2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝ . 答案 12cos 2x 解析 原式＝2cos 2x cos 2x －1＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝12cos 22x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x cos x 1＋sin x cos x ·1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝12cos 22x cos 2x －sin 2x＝12cos 2x . 教师备选 1．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( )A.53B.23C.13D.59答案 A解析 由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5，即3cos 2α－4cos α－4＝0， 解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去)． 又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53. 2．已知0<θ<π，则1＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ＝ . 答案 －cos θ解析 原式＝⎝⎛⎭⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ24cos 2θ2＝cos θ2·⎝⎛⎭⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪cos θ2 ＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪cos θ2. 因为0<θ<π，所以0<θ2<π2，所以cos θ2>0， 所以原式＝－cos θ.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．跟踪训练1 (1)21＋sin 4＋2＋2cos 4等于( )A ．2cos 2B ．2sin 2C ．4sin 2＋2cos 2D ．2sin 2＋4cos 2 答案 B解析 21＋sin 4＋2＋2cos 4＝2sin 22＋2sin 2cos 2＋cos 22＋2＋22cos 22－1＝2sin 2＋cos 22＋4cos 22＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.∵π2<2<π， ∴cos 2<0，∵sin 2＋cos 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2＋π4，0<2＋π4<π， ∴sin 2＋cos 2>0，∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.(2)化简tan 27.5°＋1tan 27.5°－7sin 27.5°＋cos 27.5°等于( ) A.33 B.233C. 3D ．2 答案 B解析 原式＝tan 27.5°＋1tan 27.5°－8sin 27.5°＋1＝sin 27.5°＋cos 27.5°sin 27.5°－8sin 27.5°cos 27.5°＋cos 27.5°＝11－2sin 215°＝1cos 30°＝233. 题型二 三角函数式的求值命题点1 给角求值例2 (1)sin 40°(tan 10°－3)等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案 D解析 sin 40°·(tan 10°－3)＝sin 40°·⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－3 ＝sin 40°·sin 10°－3cos 10°cos 10°＝sin 40°·2⎝⎛⎭⎫12sin 10°－32cos 10°cos 10°＝sin 40°·2cos 60°·sin 10°－sin 60°·cos 10°cos 10°＝sin 40°·2sin 10°－60°cos 10° ＝sin 40°·－2sin 50°cos 10°＝－2sin 40°·cos 40°cos 10°＝－sin 80°cos 10°＝－1. (2)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝ .答案 －18解析 cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18.命题点2 给值求值例3 (1)若cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( )A.29 B ．－29C.79 D ．－79答案 C解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13.∴cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝1－29＝79.(2)(2022·长春质检)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＋3cos α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6等于()A.23B.29 C ．－19 D ．－79答案 D解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＋3cos α＝13， ∴sin αcos π3－cos αsin π3＋3cos α＝13， ∴12sin α－32cos α＋3cos α＝13， ∴12sin α＋32cos α＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π6＋π2 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6－1 ＝2×⎝⎛⎭⎫132－1 ＝－79. 命题点3 给值求角例4 已知α，β均为锐角，cos α＝277，sin β＝3314，则cos 2α＝ ，2α－β＝ . 答案 17 π3解析 因为cos α＝277， 所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17. 又因为α，β均为锐角，sin β＝3314，所以sin α＝217，cos β＝1314， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝437，所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β ＝437×1314－17×3314＝32.因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos 2α>0，所以0<2α<π2，又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2，又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3.教师备选1.cos 40°cos 25°1－sin 40°的值为( )A ．1 B. 3 C. 2 D ．2答案 C解析 原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°cos 20°－sin 20°＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝ 2.2．已知A ，B 均为钝角，且sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，sin B ＝1010，则A ＋B 等于() A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.7π6答案 C解析 因为sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510， 所以1－cos A 2＋12cos A －32sin A ＝5－1510， 即12－32sin A ＝5－1510， 解得sin A ＝55， 因为A 为钝角，所以cos A ＝－1－sin 2A ＝－1－⎝⎛⎭⎫552 ＝－255. 由sin B ＝1010，且B 为钝角， 得cos B ＝－1－sin 2B ＝－1－⎝⎛⎭⎫10102＝－31010. 所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22. 又A ，B 都为钝角，即A ，B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以A ＋B ∈(π，2π)，所以A ＋B ＝7π4. 3．已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝ . 答案 4－3310解析 由题意可得cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即sin 2θ＝45. 因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝35， 由两角差的正弦公式，可得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝45×12－35×32＝4－3310. 思维升华 (1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．(2)给值(角)求值问题的一般步骤①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；③将已知条件代入所求式子，化简求值．跟踪训练2 (1)(2019·全国Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( ) A.15 B.55 C.33 D.255答案 B解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α， 所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α， 解得sin α＝55.(2)(2021·全国乙卷)cos 2π12－cos 25π12等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32答案 D解析 因为cos 5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－5π12＝sin π12， 所以cos 2π12－cos 25π12＝cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π12＝cos π6＝32. (3)已知sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝13，则sin 2x ＝ . 答案 －13解析 ∵sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝1＋sin 2x 2＝13， ∴sin 2x ＝－13. 题型三 三角恒等变换的综合应用例5 (2022·河南中原名校联考)已知函数f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－ 3. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，且f (α)＝65，求cos 2α. 解 (1)f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－ 3 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x － 3 ＝23cos 2x －2sin x cos x － 3＝3(1＋cos 2x )－sin 2x － 3＝3cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 令2k π－π≤2x ＋π6≤2k π(k ∈Z )， 解得k π－7π12≤x ≤k π－π12(k ∈Z )， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z )． (2)由于α∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 且f (α)＝65， 而f (α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝65， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝35， 因为0≤α≤π2， 所以π6≤2α＋π6≤7π6， 则π6≤2α＋π6≤π2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝45， 则cos 2α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6sin π6 ＝35×32＋45×12＝33＋410. 教师备选已知函数f (x )＝24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . (1)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，3π2上的最值；(2)若cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3的值． 解 (1)由题意得f (x )＝24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22×⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π2，所以x －7π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12∈⎣⎡⎦⎤－32，1， 所以－22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12∈⎣⎡⎦⎤－22，64， 即函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，3π2上的最大值为64，最小值为－22. (2)因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， 所以sin θ＝－35， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425， cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝1625－925＝725， 所以f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－22sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－7π12＝－22sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4 ＝－12(sin 2θ－cos 2θ) ＝12(cos 2θ－sin 2θ) ＝12×⎝⎛⎭⎫725＋2425＝3150. 思维升华 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．跟踪训练3 (2022·云南曲靖一中质检)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2＋sin x 2，2sin x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2－sin x 2，3cos x 2，函数f (x )＝a·b . (1)求函数f (x )的最大值，并指出f (x )取得最大值时x 的取值集合；(2)若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，f (β)＝65，求f ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值． 解 (1)f (x )＝cos 2x 2－sin 2x 2＋23sin x 2cos x 2＝cos x ＋3sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 令x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )， 得x ＝π3＋2k π，k ∈Z ， ∴f (x )的最大值为2，此时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝π3＋2k π，k ∈Z . (2)由α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝513， ∵0<β<π2，∴π6<β＋π6<2π3， 又f (β)＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π6＝65， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β＋π6＝35∈⎝⎛⎭⎫12，22， ∴π6<β＋π6<π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β＋π6＝45， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝cos ⎣⎡⎦⎤α＋β－⎝⎛⎭⎫β＋π6 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β＋π6＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β＋π6 ＝6365， ∴f ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12665. 课时精练1．已知tan α＝3，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2等于( ) A ．－32 B.35 C ．－35 D.15答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－2sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝－2tan α1＋tan 2α＝－2×31＋32＝－35.2．(2022·遂宁模拟)已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan θ＝2，则cos 2θ等于( )A ．－23 B.23C ．－13 D.13答案 C解析 cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－13.3．(2022·成都双流中学模拟)tan 67.5°－1tan 67.5°的值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4答案 C解析 tan 67.5°－1tan 67.5°＝sin 67.5°cos 67.5°－1sin 67.5°cos 67.5°＝sin 67.5°cos 67.5°－cos 67.5°sin 67.5°＝sin 267.5°－cos 267.5°sin 67.5°cos 67.5°＝－cos 135°12sin 135°＝2.4．(2022·黑龙江大庆中学模拟)若cos(30°－α)－sin α＝13，则sin(30°－2α)等于() A.13 B ．－13 C.79 D ．－79答案 D解析 由cos(30°－α)－sin α＝13，得32cos α－12sin α＝13，即cos(30°＋α)＝13，所以sin(30°－2α)＝cos(60°＋2α)＝2cos 2(30°＋α)－1＝2×19－1 ＝－79.5．已知f (x )＝12(1＋cos 2x )sin 2x (x ∈R )，则下列结论不正确的是() A ．f (x )的最小正周期T ＝π2B ．f (x )是偶函数C ．f (x )的最大值为14D ．f (x )的最小值为18答案 D解析 ∵f (x )＝14(1＋cos 2x )(1－cos 2x ) ＝14(1－cos 22x ) ＝14sin 22x ＝18(1－cos 4x )，∴f (－x )＝18[1－cos 4(－x )] ＝18(1－cos 4x )＝f (x )，T ＝2π4＝π2，f (x )的最大值为18×2＝14，最小值为18×0＝0， 故A ，B ，C 正确，D 错误． 6．下列各式中，值为12的是( ) A ．cos 2π12－sin 2π12B.tan 22.5°1－tan 222.5°C ．2sin 210°cos 210°D.1＋cos π62 答案 B解析 cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π12 ＝cos π6＝32，故A 错误； tan 22.5°1－tan 222.5°＝12·2tan 22.5°1－tan 222.5°＝12tan 45°＝12，故B 正确； 2sin 210°cos 210°＝2sin(180°＋30°)cos(180°＋30°) ＝2sin 30°cos 30°＝sin 60°＝32，故C 错误； 1＋cos π62＝2＋34＝2＋32≠12，故D 错误． 7．(2022·成都七中月考)求值：3－tan 12°2cos 212°－1sin 12°＝ . 答案 8解析 原式＝3－sin 12°cos 12°cos 24°sin 12°＝3cos 12°－sin 12°cos 24°sin 12°cos 12° ＝2sin 60°－12°14sin 48°＝2sin 48°14sin 48°＝8. 8．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝ . 答案 －725解析 方法一 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35， ∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1 ＝2×925－1＝－725. 方法二 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22(sin α＋cos α)＝35， ∴12(1＋sin 2α)＝925， ∴sin 2α＝2×925－1＝－725. 9．(2022·杭州模拟)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x ·cos x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝115，α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，求cos α的值． 解 (1)因为f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x＝1＋cos 2x ＋3sin 2x＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6 ＝1＋2sin 5π6＝1＋1＝2. (2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝115，α∈⎝⎛⎭⎫0，π3， 得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6＝43＋310. 10.如图，点P 在以AB 为直径的半圆上移动，且AB ＝1，过点P 作圆的切线PC ，使PC ＝1.连接BC ，当点P 在什么位置时，四边形ABCP 的面积等于12？解 设∠P AB ＝α，连接PB ，如图．∵AB 是圆的直径，∴∠APB ＝90°.又AB ＝1，∴P A ＝cos α，PB ＝sin α.∵PC 是圆的切线，∴∠BPC ＝α.又PC ＝1，∴S 四边形ABCP ＝S △APB ＋S △BPC＝12P A ·PB ＋12PB ·PC ·sin α＝12cos αsin α＋12sin 2α ＝14sin 2α＋14(1－cos 2α) ＝14(sin 2α－cos 2α)＋14＝24sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋14， 由已知，得24sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋14＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝22， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴2α－π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，3π4， ∴2α－π4＝π4， ∴α＝π4，故当点P 位于AB 的垂直平分线与半圆的交点时，四边形ABCP 的面积等于12.11．(2022·昆明一中模拟)已知m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则1－2cos 2153°m n等于( ) A ．－14B ．－12 C.14D.12 答案 B解析 因为m ＝2sin 18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，因此1－2cos 2153°m n＝－cos 306°2sin 18°·2cos 18°＝－cos 54°2sin 36°＝－sin 36°2sin 36°＝－12. 12．(2022·杭州模拟)“－π4≤θ≤π12”是“3cos 2θ－12sin 2θ≥1＋32”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由3cos 2θ－12sin 2θ＝32cos 2θ－ 12sin 2θ＋32≥1＋32， 得cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6≥12， 所以－π4＋k π≤θ≤π12＋k π(k ∈Z )， 因此“－π4≤θ≤π12”是“3cos 2θ－12sin 2θ≥1＋32”的充分不必要条件． 13．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点P (a ，b )，且a ＋b ＝75，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2的值是 ． 答案 －2425解析 由任意角的三角函数的定义得，sin α＝b ，cos α＝a . 又a ＋b ＝75，∴sin α＋cos α＝75， 两边平方可得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝4925，即1＋sin 2α＝4925，∴sin 2α＝2425. ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－sin 2α＝－2425. 14．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为 ． 答案 －3π4解析 ∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13>0， 且α∈(0，π)，∴0<α<π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2. ∵tan β＝－17<0，β∈(0，π)， ∴π2<β<π， ∴－π<2α－β<0.∵tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1， ∴2α－β＝－3π4.15．函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为 ． 答案 2解析 因为f (x )＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，x >－1， 所以函数f (x )的零点个数为函数y ＝sin 2x (x >－1)与y ＝|ln(x ＋1)|(x >－1)图象的交点的个数，作出两函数的图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．16.如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大，最大值是多少？解 如图，连接OB ，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 因为A ，D 关于原点O 对称，所以AD ＝2OA ＝40cos θ.设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以当sin 2θ＝1，即θ＝π4时，S max ＝400 m 2. 此时AO ＝DO ＝10 2 m.故当点A ，D 到圆心O 的距离为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2.。
届数学一轮复习第四章三角函数解三角形创新引领微课把握三角函数与解三角形中的最值问题教学案含解析
把握三角函数与解三角形中的最值问题微点聚焦突破类型一三角函数的最值角度1可化为“y＝A sin(ωx＋φ)＋B”型的最值问题【例1－1】如图所示，在平面直角坐标系xOy中,扇形AOB的半径为2，圆心角为错误!,点M是弧AB上异于A，B的点。
（1）若点C(1，0)，且CM＝2,求点M的横坐标;（2）求△MAB面积的最大值.解（1）连接OM,依题意可得，在△OCM中,OC＝1，CM＝2，OM＝2，所以cos ∠COM＝错误!＝错误!，所以点M的横坐标为2×错误!＝错误!。
(2）设∠AOM＝θ，θ∈错误!，则∠BOM＝错误!－θ，S△MAB＝S△OAM＋S△OBM－S△OAB＝错误!×2×2错误!－错误!×2×2×错误!＝2错误!sin错误!－错误!，因为θ∈错误!，所以θ＋错误!∈错误!，所以当θ＝错误!时，△MAB的面积取得最大值，最大值为错误!。
思维升华化为y＝A sin（ωx＋φ）＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响,可通过比较区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值.角度2可化为y＝f(sin x)(或y＝f(cos x））型的最值问题【例1－2】函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________.解析y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1。
设t＝sin x，则－1≤t≤1，所以原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2错误!错误!＋错误!，所以当t＝错误!时,函数y取得最大值为错误!。
答案错误!思维升华可化为y＝f(sin x）（或y＝f(cos x））型三角函数的最值或值域可通过换元法转化为其他函数的最值或值域。
【训练1】（1)（角度1)函数f(x)＝3sin x＋4cos x，x∈[0，π]的值域为________.(2)(角度2)若函数f(x)＝cos 2x＋a sin x在区间错误!上的最小值大于零，则a的取值范围是________.解析(1)f（x）＝3sin x＋4cos x＝5错误!＝5sin(x＋φ），其中cos φ＝错误!，sin φ＝错误!，错误!〈φ<错误!。
2024年高考数学总复习第四章三角函数与解三角形真题分类18解三角形
(1)求∠A；
(2)求 AC 边上的高． 解：(1)在△ ABC 中，因为 cos B＝－17 ，
所以 sin B＝ 1－cos2B ＝473 .
由正弦定理，得
sinA＝a
sin b
B
＝
3 2
.
由题设知π2 <∠B<π，所以 0<∠A<π2 .
所以∠A＝π3 .
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真题分类18 解三角形
＝sin [π－(∠C＋∠BDC)]
＝sin (∠C＋∠BDC)
＝sin ∠C·cos ∠BDC＋cos ∠C·sin ∠BDC
＝45
×
2 2
＋35
×
2 2
＝7102
.
第8页
高考·数学
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真题分类18 解三角形
高考·数学
4.(2016·课标全国Ⅱ，13,5分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝
又 A，B，C 为锐角，则 sin A≠0.
故
sin
B＝
3 2
，所以 B＝π3
.
第10页
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真题分类18 解三角形
高考·数学
(2)由 A＋B＋C＝π，得 C＝23π －A，
由△ ABC 是锐角三角形，得 A∈(π6 ，π2 ).
由
cos
C＝cos
2π (3
－A)＝－12
cos A＋
3 2
sin A，得
cos
A＋cos
B＋cos
C＝
3 2
sin A＋12
cos A＋12
＝sin (A＋π6
超实用高考数学专题复习：第四章三角函数解三角形 三角函数与解三角形热点问题
【尝试训练】 (2020·郑州质检)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 若向量 m＝2cos2C2 ，cos A－2 B，n＝58，cos A－2 B，m·n＝98. (1)求 tan Atan B 的值； (2)求c2a－bsai2n－Cb2的最小值. 解 (1)由题意可得 m·n＝54cos2C2＋cos2A－2 B＝98， 即－58cos(A＋B)＋12cos(A－B)＝0，展开可得 cos Acos B＝9sin Asin B，
所以 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
(2)由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ(k∈Z). 设 A＝－4π，π4，B＝x－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ，k∈Z，易知 A∩B＝－1π2，π4.
所以当 x∈－π4，π4时，f(x)在区间－1π2，π4上单调递增，在区间－π4，－1π2上单调 递减.
6＋ 4
2 .
两角差正弦公式的应用
12′
[高考状元满分心得]
❶写全得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点
步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出 0°<A<180°就有分，没写就扣 1 分，第(2)
问中 0°<C<120°也是如此.
❷写明得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时
教你如何审题——三角函数与平面向量
【例题】 (2020·湘赣十四校联考)已知向量 m＝(sin x，－1)，n＝( 3，cos x)，且函
数 f(x)＝m·n. (1)若 x∈0，2π，且 f(x)＝23，求 sin x 的值；
(2)在锐角三角形 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝ 7，△ABC
高考数学一轮复习三角函数与解三角形中的最值(范围)问题
，∵函数f（x）＝cos（2x＋φ）（0＜φ＜π）在区间
π π
− ,
6 6
上单调递
π
− ≥ 0,
π
π
π
2π
减，∴ − + , + ⊆[0，π]，即ቐ 3π
解得 ≤φ≤ .令f（x）＝cos
3
3
3
3
+ ≤ π,
3
π
π π
（2x＋φ）＝0，则2x＋φ＝ ＋kπ（k∈Z），即x＝ － ＋ （k∈Z），又函数f
4
解：（2）f（x）＝－
1 2 5
sin−
＋ ＋a.
2
4
17
, 5
4 ⇒൝4
()max ≤
由题意得ቐ
()min ≥ 1
17
,
4 ⇒2≤a≤3，
+ ≤
−1 ≥ 1
即实数a的取值范围是[2，3].
三角形中的最值（范围）问题
考向1 利用三角函数的性质求最值（范围）
【例4】 △ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
重难专攻（四）
三角函数与解
三角形中的最值（范围）问题
三角函数与解三角形中的最值（范围）问题是高考的热点，主要涉及：
（1）三角函数式的最值（范围）问题；（2）利用三角函数性质求某些量的最
值（范围）；（3）三角形中的最值（范围）（周长、面积等），其求解方法多
样，一般常用方法有：（1）利用三角函数的单调性（正、余弦函数的有界性）
3
3
答案
3
3
－
3
3
2
1+ 2
，
｜解题技法｜
sin+
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第4章 三角函数与解三角形 4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
由三角函数的定义可得 cos
3
D.-5
A 在第二象限,又因为圆 O 为单位圆,
3
α=-5.
(2)已知角α的终边在直线3x+4y=0上,则5sin α+5cos α+4tan α= -2或-4 .
由题意,设点 P(-4a,3a)为角 α 终边上的任意一点,
r=|OP|=|5a|(a≠0)(O 为坐标原点).
在的象限即可.
3.确定角 kα, (k≥2,且 k∈N*)的终边的位置:先用终边相同角的形式表示出
角 α 的范围,再写出 kα 或 的范围,最后根据 k 的可能取值讨论确定角 kα 或
的终边所在位置.
对点训练 1
3π
4π
(1)给出下列四个命题:①- 4 是第二象限角;② 3 是第三象限角;③-400°是
象限,所以 是第二或第四象限角.
2
能力形成点2 利用三角函数定义求三角函数值
例 2 (1)如图,在平面直角坐标系 Oxy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A,
4
点 A 的纵坐标为5,则 cos α 的值为( D )
4
A.5
因为点
所以点
4
B.-5
3
C.5
4
A 的纵坐标为 ,且点
5
3
A 的横坐标为-5.
,
.
3
7 21 21
(3)已知角α为第三象限角,则2α的终边在 第一或第二象限或y轴的非负半轴
.
3π
由α是第三象限角,得 π+2kπ<α< 2 +2kπ(k∈Z),
则2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z).
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第4章 三角函数、解三角形 第4节 三角函数的图像与性质
.
(2)函数 y=lg(sin 2x)+ 9- 2 的定义域为
.
对点训练 1(1)函数
π
4
π
2
答案:(1) ∣ ≠ + π, 且 ≠ + π, ∈
(2)
π
−3, − 2
∪
π
0, 2
解析:(1)要使函数有意义,则
π
4
π
2
≠ + π,∈Z,
tan-1 ≠ 0,
即
≠ + π,∈Z, ≠ + π,∈Z.
π 5π
为4 , 4 ,再结合正弦函数、余弦函数的周期
π
2π + 4
, 2π +
5π
4
(k∈Z).
突破技巧1.三角函数定义域的求法
将求复杂函数的定义域问题转化为求解简单的三角函数不等式.
2.简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解.
(2)利用三角函数的图像求解.
1
y=tan -1的定义域为
π
2
π
4
π
2
故函数的定义域为 ∣ ≠ + π, 且 ≠ + π, ∈ .
sin2 > 0,
(2)由题意可知
9- 2 ≥ 0,
得
π < < π +
π
,∈Z,
2
-3 ≤ ≤ 3,
π
解得-3≤x<- 或
2
π
0<x< .
2
故函数 y=lg(sin 2x)+
9- 2 的定义域为
3π
, −1
2
,(2π,0)
高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形培优专题8三角形中的最值问题课件
[培优技法] 在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难 点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： (1)利用基本不等式求范围或最值； (2)利用三角函数求范围或最值； (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值； (4)根据三角形解的个数求范围或最值； (5)利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的 值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条 件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定 义域)找完善，避免结果的范围过大．
点拨 本例由于含有附加条件“△ABC为锐角三角形”，故不能采用基本不等 式法求解，应转化为三角函数后，利用函数求最值，要注意角度范
高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4
高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形4.5 三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质．知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x | x ≠k π ⎭⎬⎫＋π2 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间⎣⎡ 2k π－π2，⎦⎤2k π＋π2[2k π－π，2k π]⎝⎛ k π－π2，⎭⎫k π＋π2递减区间⎣⎡ 2k π＋π2，⎦⎤2k π＋3π2[2k π，2k π＋π]对称中心 (k π，0) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0⎝⎛⎭⎫k π2，0对称轴方程 x ＝k π＋π2x ＝k π常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )．(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (2)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (3)y ＝sin|x |是偶函数．( √ )(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( √ ) 教材改编题1．若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( )A ．T ＝π，A ＝1B ．T ＝2π，A ＝1C ．T ＝π，A ＝2D ．T ＝2π，A ＝2 答案 A2．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋π6k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π2＋π6k ∈Z答案 D解析 由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z .3．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 解析 因为y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，求得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，可得函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z 解析 要使函数有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1解析 设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22， 且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]． 当t ＝1时，y max ＝1； 当t ＝－2时，y min ＝－1＋222. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1.教师备选1．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象， 如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 2．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 答案 1解析 由题意可得 f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos x ∈[0,1]． ∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )取最大值为1. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解． (2)三角函数值域的不同求法①把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域． ②把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域． ③利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练1 (1)(2021·北京)函数f (x )＝cos x －cos 2x ，试判断函数的奇偶性及最大值( ) A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98答案 D 解析 由题意，f (－x )＝cos (－x )－cos (－2x ) ＝cos x －cos 2x ＝f (x )， 所以该函数为偶函数，又f (x )＝cos x －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫cos x －142＋98， 所以当cos x ＝14时，f (x )取最大值98.(2)函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 ∵函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2，∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <π2＋k π，－3≤x ≤3，其中k ∈Z ，∴－3≤x <－π2或0<x <π2，∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2.题型二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性例2 (1)(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x |答案 A解析 A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．(2)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1，φ∈(0，π)，且f (x )为偶函数，则φ＝________，f (x )图象的对称中心为________． 答案5π6 ⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z 解析 若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1为偶函数，则－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝5π6.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋1＝3cos 2x ＋1， 由2x ＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π4＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z . 教师备选1．下列函数中，是周期函数的为( ) A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |答案 B解析 ∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．其余函数均不是周期函数． 2．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)，若f (x )为奇函数，则φ＝________. 答案 π3解析 若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ为奇函数， 则－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝π3.思维升华 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)函数f (x )＝sin x 3＋cos x3最小正周期和最大值分别是( )A ．3π和 2B ．3π和2C ．6π和 2D ．6π和2答案 C解析 因为函数f (x )＝sin x 3＋cos x3＝2⎝⎛⎭⎫22sin x 3＋22cos x 3＝2⎝⎛⎭⎫sin x 3cos π4＋cos x 3sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π4，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π13＝6π，最大值为 2.(2)已知f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)是定义域为R 的奇函数，且当x ＝3时，f (x )取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022)的值为( ) A.32 B ．－6－3 3 C ．1 D ．－1答案 B解析 ∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R 的奇函数， ∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，则φ＝π2，则f (x )＝－A sin ωx .当x ＝3时，f (x )取得最小值－3， 故A ＝3，sin 3ω＝1， ∴3ω＝π2＋2k π，k ∈Z .∴ω的最小正数为π6，∴f (x )＝－3sin π6x ，∴f (x )的周期为12，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022) ＝168×0＋f (1)＋f (2)＋…＋f (6) ＝－6－3 3.(3)(2022·郑州模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 C ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54 D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称 答案 C解析 对于A ，f (x )的最小正周期为2π2＝π，故A 错误；对于B ，∵sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π3＝－12≠±1， 故B 错误；对于C ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－1，32， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34∈⎣⎡⎦⎤－54，3＋34， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54，故C 正确； 对于D ，∵f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3－π3＋34＝34， ∴f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，34对称，故D 错误． 题型三 三角函数的单调性 命题点1 求三角函数的单调区间例3 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3 ＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 故所求函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 延伸探究 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3在[0，π]上的单调递减区间为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π 解析 令A ＝⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ， B ＝[0，π]，∴A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤0，5π12∪⎣⎡⎦⎤11π12，π， ∴f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π. 命题点2 根据单调性求参数例4 (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.答案 32解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2， 即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 单调递增； 当π2≤ωx ≤3π2， 即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 单调递减． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3， ∴ω＝32. (2)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析 由π2<x <π，ω>0， 得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4， 因为y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， 所以⎩⎨⎧ ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z . 又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z ， 且2k ＋54>0，k ∈Z ， 解得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54.教师备选(2022·定远县育才学校月考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．1答案 B解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点， x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴， 所以2n ＋14·T ＝π2(n ∈N )， 即2n ＋14·2πω＝π2(n ∈N )， 所以ω＝2n ＋1(n ∈N )，即ω为正奇数．因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则5π36－π18＝π12≤T 2， 即T ＝2πω≥π6， 解得ω≤12.当ω＝11时，－11π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，11x －π4∈⎝⎛⎭⎫13π36，46π36， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，不满足题意；当ω＝9时，－9π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ＝π4， 此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，9x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2， 此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意．故ω的最大值为9.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π答案 A解析 令－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z .取k ＝0，则－π3≤x ≤2π3.因为⎝⎛⎭⎫0，π2⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以区间⎝⎛⎭⎫0，π2是函数f (x )的单调递增区间． (2)(2022·开封模拟)已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎝⎛⎦⎤13，23D.⎣⎡⎦⎤23，2答案 A解析 当－π6<x <π3时， －πω6＋π3<ωx ＋π3<πω3＋π3， 当x ＝0时，ωx ＋π3＝π3. 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增， 所以⎩⎨⎧ －πω6＋π3≥－π2，πω3＋π3≤π2，解得ω≤12， 因为ω>0，所以ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 课时精练1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π]C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 答案 D 解析 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．函数f (x )＝2sin π2x －1的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤π3＋4k π，5π3＋4k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤π6＋4k π，5π6＋4k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤16＋4k ，56＋4k (k ∈Z ) 答案 B解析 由题意，得2sin π2x －1≥0， π2x ∈⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z )． 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的非奇非偶函数答案 D解析 由题意可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12－π2 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋5π12， ∴f (x )＝12－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6， 故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由函数奇偶性的定义易知，f (x )为非奇非偶函数． 4．函数f (x )＝sin x ＋x cos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )答案 D解析 由f (－x )＝sin －x ＋－x cos －x ＋－x2 ＝－sin x －x cos x ＋x 2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ； 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝1＋π2⎝⎛⎭⎫π22＝4＋2ππ2>1， f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C. 5．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ，下列命题中为假命题的是( )A ．函数y ＝f (x )的周期为πB ．直线x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴 C ．点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心D ．y ＝f (x )的最大值为 2答案 B解析 因为f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 所以f (x )的最大值为2，故D 为真命题；因为ω＝2，故T ＝2π2＝π，故A 为真命题； 当x ＝π4时，2x －π4＝π4，终边不在y 轴上，故直线x ＝π4不是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 故B 为假命题；当x ＝π8时，2x －π4＝0，终边落在x 轴上， 故点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心，故C 为真命题．6．(2022·广州市培正中学月考)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |，下列叙述正确的是( )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增C ．f (x )的最大值为2D ．f (x )在[－π，π]上有4个零点答案 C解析 f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，f (x )是偶函数，A 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，单调递减，B 错误；f (x )＝sin|x |＋|sin x |≤1＋1＝2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，C 正确；在[－π，π]上，当－π<x <0时，f (x )＝sin(－x )＋(－sin x )＝－2sin x >0，当0<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x >0，f (x )的零点只有π，0，－π共三个，D 错误．7．写出一个周期为π的偶函数f (x )＝________.(答案不唯一) 答案 cos 2x8．(2022·上外浦东附中检测)若在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，则实数k 的取值范围是________．答案 0≤k <1解析 函数f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时， f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递增； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递减， f (0)＝2sin π6＝1， f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＝2， f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin 7π6＝－1，所以在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1， 则1≤k ＋1<2，所以0≤k <1.9．已知函数f (x )＝4sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－1(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω及f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )图象的对称中心．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx －1 ＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1 ＝1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1 ＝3sin 2ωx －cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. ∵最小正周期为π，∴2π2ω＝π， ∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π (k ∈Z )．(2)令2x －π6＝k π，k ∈Z ， 解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π12＋k π2，0，k ∈Z .10．(2021·浙江)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R )．(1)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期； (2)求函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值． 解 (1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝cos x －sin x ，所以y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2 ＝1－sin 2x .所以函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)f ⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x ，所以y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x (sin x ＋cos x ) ＝2(sin x cos x ＋sin 2x ) ＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －12cos 2x ＋12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋22. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时， 函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上取得最大值，且y max ＝1＋22.11．(2022·苏州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则下列结论不正确的是( ) A ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点 B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 D ．函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3是偶函数 答案 D解析 对于A 选项，因为f ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin 0＝0， 故x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，A 对； 对于B 选项，当－5π12≤x ≤π12时， －π2≤2x ＋π3≤π2， 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增，B 对； 对于C 选项，因为对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ， 解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π12，C 对； 对于D 选项，令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 则g ⎝⎛⎭⎫π6＝0，g ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3≠0， 故函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3不是偶函数，D 错． 12．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－cos 2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最大值为3－12B ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫7π6，0对称C ．f (x )的图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z ) D ．f (x )在[0,2π]上有2个零点答案 C解析 f (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32－cos 2x ＝12＋12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝34sin 2x －34cos 2x ＋12＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12， 则f (x )的最大值为1＋32，A 错误； 易知f (x )图象的对称中心的纵坐标为12， B 错误；令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )， 得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )， 此即f (x )图象的对称轴方程，C 正确；由f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12＝0， 得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33， 当x ∈[0,2π]时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3， 作出函数y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3的图象，如图所示．所以方程sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33在[0,2π]上有4个不同的实根， 即f (x )在[0,2π]上有4个零点，D 错误．13．(2022·绵阳中学实验学校模拟)已知sin x ＋cos y ＝14，则sin x －sin 2y 的最大值为______． 答案 916解析 ∵sin x ＋cos y ＝14，sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝14－cos y ∈[－1,1]， ∴cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，54， 即cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1， ∵sin x －sin 2y ＝14－cos y －(1－cos 2y ) ＝cos 2y －cos y －34＝⎝⎛⎭⎫cos y －122－1， 又cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1，利用二次函数的性质知，当cos y ＝－34时， (sin x －sin 2y )max ＝⎝⎛⎭⎫－34－122－1＝916. 14．(2022·苏州八校联盟检测)已知f (x )＝sin x ＋cos x ，若y ＝f (x ＋θ)是偶函数，则cos θ＝________.答案 ±22解析 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π4， 又因为y ＝f (x ＋θ)是偶函数，所以θ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， 即θ＝π4＋k π，k ∈Z ， 所以cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋k π＝±22.15．(2022·江西九江一中模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，若方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根，则实数ω的值可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 令f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＝0， 则ωx ＋π3＝k π，k ∈Z ， 所以x ＝－π3ω＋k πω，k ∈Z ， 所以当x ≥0时，函数f (x )的第一个零点为x 1＝－π3ω＋πω＝2π3ω，第六个零点为x 6＝－π3ω＋6πω＝17π3ω，第七个零点为x 7＝－π3ω＋7πω＝20π3ω， 因为方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根等价于函数y ＝f (x )在[0,2π]上有且仅有6个零点，所以17π3ω≤2π<20π3ω， 所以176≤ω<103. 16．已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点x 1，x 2. ①求m 的取值范围；②求sin(x 1＋x 2)的值．解 (1)f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π42＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－12 ＝12－24cos 2x ＋24sin 2x ＋22cos 2x －12＝24sin 2x ＋24cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 结合正弦函数的图象与性质， 可得当－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )， 即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )时，函数单调递增， ∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)①令t ＝2x ＋π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8时，t ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π，12sin t ∈⎣⎡⎦⎤－14，12， ∴y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t ∈⎣⎡⎦⎤0，12(如图)．∴要使y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点，m 的取值范围为14<m <12或m ＝0. ②设t 1，t 2是函数y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t －m 的两个零点⎝⎛⎭⎫即t 1＝2x 1＋π4，t 2＝2x 2＋π4， 由正弦函数图象性质可知t 1＋t 2＝π，即2x 1＋π4＋2x 2＋π4＝π. ∴x 1＋x 2＝π4，∴sin(x 1＋x 2)＝22.。
高三文科数学一轮复习之三角函数和解三角形
数学讲义之三角函数、解三角形【主干内容】1 1 21. 弧长公式：l I |r. 扇形面积公式：s扇形尹| r22. 三角函数的定义域：4. 同角三角函数的基本关系式：si^ tan sin2cos21cosk5. 诱导公式：把亍的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”。
重要公式：cos（） cos cos sin sin6•三角函数图象的作法：描点法及其特例一一五点作图法（正、余弦曲线）三点二线作图法（正切曲线）【注意！！！】本专题主要思想方法1. 等价变换。
熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；2. 数形结合。
充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；3. 分类讨论。
【题型分类】题型一：三角运算，要求熟练使用各种诱导公式、倍角公式等。
〖例1〗（10全国卷I文）cos300A.31-C1n .3B.— D. 2222C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识【解析】cos300cos36601cos602〖例2〗（10全国卷n文）已知sin2，则cos(x 2 )3A. JB.1C.1D V5D.3993【解析】B:本题考查了二倍角公式及诱导公式，•••SINA=2/3 , cos( 2 )cos2(12sin 2) -9〖例3〗（10福建文）计算12sin 22.5的结果等于（）A.-B.豆C.D.迈2232【答案】B2故选B.【解原式=cos 45 - 51例4〗（10浙江文）函数f（x） sin2（2x -）的最小正周期是 ___________4最小正周期为2，本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用，属容易题。
题型二：三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质。
是（）D解析：对解析式进行降幕扩角，转化为f x】cos 4x —1，可知其2 2 21例1〗（10重庆文）下列函数中，周期为，且在［壬，？］上为减函数的是A. y sin(2x -)B. y cos(2x )C. y sin(x 【答案】AD.cos(x —)1例2〗（09浙江文）已知 a 是实数，则函数 f （x ） 1 a sin ax 的图象不可能1例3〗为得到y sin2x 的图象A.向左平移丸个长度单位12C.向左平移4个长度单位6分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决.B .向右平移个长度单位12D.向右平移士个长度单位6n解析：函数 y cos 2x sin 2x — —33 2sin 2xsin2 x512故要将函数y sin2x的图象向左平移丸个长度单位，选择答案A.121例4〗(10江西文)四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间,y sin(x ), y sin(x )各自作出三个函数y sin2x,63的图像如下,结果发现恰有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是 【答案】C【命题意图】考查三角函数的图像与性质•【解析】作出三个函数图像对比分析即可选择 Co2最小正周期为 -.3(I)求 的最小正周期.〖例6〗(11浙江文)已知函数 f(x) As in (§x ) , x R , A 0 ,0 -. y f (x)的部分图像，如图所示， P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1, A).(I)求f (x)的最小正周期及 (n)若点R 的坐标为(1,0),1例5〗(09重庆文)设函数f(x )2 2(sin x cos x) 2cos x( 0)的(n)若函数y g(x)的图像是由y f(x)的图像向右平移三个单位长度得到，求y g(x)的单调增区间.解：(I)2 2依题意得————，故2 3的最小正周期为由2k 2 解得三k3依题意得：5w 3x w 2k24 2 w x w k 4 3-(kZ) 寻(kZ)\故y g(x)的单调增区间为:拿的值；PRQ —，求A 的值.题型三：三角函数的最值： 最值是三角函数最为重要的内容之一， 其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问 题。
2025届高三一轮复习数学课件：高考中的三角函数与解三角形问题
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
(1)求角C;
(2)若D为AB的中点,且c=2, CD= 3 ,求a,b的值.
解:选择①:
(1)根据正弦定理,得(a-c)(a+c)=b(a-b),
整理得a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,
形结合思想和转化与化归思想应用较多.
典 例 突 破
题型一
三角函数的化简与求值
解决三角函数化简与求值问题的总体思路就是化异为同,目的是消元,减
少未知量的个数.如把三角函数式中的异名、异角、异次化为同名、同角、
同次;在三角函数求值中,把未知角用已知角表示,或把未知角通过三角变
换化成已知角也是化异为同;对于三角函数式中既有正弦函数、余弦函数
3 13
13,sin A= 13 .
sin
sin
A=
=
3 13
.
13
2 13
(2)由(1)及 a<c,得 cos A= 13 ,
12
5
2
则 sin 2A=2sin Acos A=13,cos 2A=1-2sin A=-13.
π
π
π
7 2
故 sin 2 + =sin 2Acos +cos 2Asin =
3
2sin Acos B+2sin Bcos A=2sin(A+B)=2sin C= 3,则 sin C= .
2
π
又 C 为锐角三角形的内角,则 C=3.
3
由正弦定理,得sin = sin = =2 3,
3
2
即 a=2 3sin A,b=2 3sin B,
2020届高考数学一轮复习讲义第四章《三角函数、解三角形》
2020届高考数学一轮复习讲义第四章《三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin αx 叫做α的余弦，记作cos αyx 叫做α的正切，记作tan α各象限符号一＋＋＋二＋－－三－－＋四－＋－三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线[小题体验]1．若θ是第二象限角，且满足sin θ2＜0，则θ2的终边在第________象限．答案：三2．若角α的终边过点sin5π6，tan α＝________.答案：－33．α为第一象限角，则sin α＋cos α________1.(填“＞”“＜”“＝”)答案：＞1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.[小题纠偏]1．－1000°是第________象限角，α＝3是第________象限角，72°＝________rad.答案：一二2π52．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是____________．答案：(cos θ，sin θ)考点一角的集合表示及象限角的判定(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.下列命题中，真命题是()A ．第一象限角是锐角B ．直角不是任何象限角C ．第二象限角比第一象限角大D ．三角形的内角一定是第一或第二象限角解析：选B390°是第一象限角，但不是锐角，A 错；135°是第二象限角，390°＞135°，C 错；直角不是任何象限角，D 错，B 对．2．若α＝k π－π4(k ∈Z )，则α在()A ．第一象限或第三象限B ．第一象限或第二象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限解析：选C当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m π＋3π4，所以α在第二象限；当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝2m π－π4，所以α在第四象限．故选C.3．设集合M |x ＝k 2·180°＋45°，k N |x ＝k 4·180°＋45°，k 那么M ________N ．(填“＝”“⊆”“⊇”)解析：法一：由于M |x ＝k2·180°＋45°，k ∈＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N |x ＝k4·180°＋45°，k ∈＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .答案：⊆4．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为__________________．解析：在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴正半轴的夹角是π3，终边在直线y ＝3x |α＝k π＋π3，k ∈.答案|α＝k π＋π3，k 5．(2018·嘉兴七校联考)设角α是第三象限角，且满足|sinα2|＝－sin α2，则α2是第________象限角．解析：因为角α是第三象限角，所以2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )，所以k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z )，所以α2是第二或第四象限角．又因为|sin α2|＝－sin α2，所以sin α2＜0，所以α2是第四象限角．答案：四[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合．2．确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)再写出kα或αk的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置．考点二扇形的弧长及面积公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm ，则扇形的面积为()A ．40πcm 2B ．80πcm 2C ．40cm 2D ．80cm 2解析：选B∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12cm ，则弧长l 等于()A.433πcm B.833πcm C.43cm D ．83cm解析：选B设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝6r ，得r ＝43cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833πcm.3．(2019·瑞安模拟)设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数为________．解析：＋l ＝8，＝4.＝2，4，所以扇形的圆心角的弧度数为|α|＝l r ＝42＝2.答案：24．若扇形的圆心角α＝60°，半径R ＝10cm ，求扇形的弧长l 及扇形的弧所在的弧形的面积．解：∵α＝60°＝π3，R ＝10cm ，∴l ＝Rα＝10×π3＝10π3cm.设弧形的面积为S ，则S ＝12R 2α－12R 2sin π3＝12×102×π3－12×102×32＝2.[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．考点三三角函数的定义(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有：(1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.解析：∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，即x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴－52，－sin α＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.答案：－232．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.解析：设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |.当t ＞0时，cos θ＝55；当t ＜0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.答案：－35角度二：三角函数值的符号判定3．(2019·湖州六校联考)已知sin 2θ＜0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P (tan θ，sin θ)在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B由|cos θ|＝－cos θ可知cos θ＜0，由sin 2θ＝2sin θcos θ＜0可知sinθ＞0，所以tan θ＜0.所以点P (tan θ，sin θ)在第二象限．4．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θ·cos θ＜0,2cos θ＜0θ＞0，θ＜0，所以θ为第二象限角．答案：二[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝()A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为()A.45B ．－45C.35D ．－35解析：选D因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P (tan α，sin α)在第三象限，则角α的终边在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D因为点P α＜0，α＜0，所以α的终边在第四象限，故选D.2．(2018·舟山五校联考)若tan α＜0，则()A ．sin α＜0B ．cos α＞0C ．sin αcos α＜0D ．2cos 2α－1＜0解析：选C因为tan α＜0，所以α是第二或第四象限角，所以sin α，cos α的符号不确定，故排除A 、B ；当α是第二象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0；当α是第四象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0，故选C.3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为()A ．π3B ．π2C ．3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，所以α＝ 3.4．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)5．(2019·丽水模拟)已知角α的终边经过点(2，－2)，则sin α＝________，sin αcos α＝________.解析：因为角α的终边经过点(2，－2)，所以sin α＝－22，cos α＝22，sin αcos α＝－12.答案：－22－12二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.2．(2019·台州模拟)已知点P (sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为()A ．－π3B ．2π3C ．－2π3D ．－4π3解析：选D 因为P (sin(－30°)，cos(－30°))，所以－12，θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－4π3.3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于()A ．sin 2B ．－sin 2C ．cos 2D ．－cos 2解析：选D因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr＝－cos 2.4．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为()A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.5．点A (sin 2018°，cos 2018°)在直角坐标平面上位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C由2018°＝360°×5＋(180°＋38°)可知，2018°角的终边在第三象限，所以sin2018°＜0，cos2018°＜0，即点A位于第三象限．6．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是________．解析：∵cosα≤0，sinα＞0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．a－9≤0，＋2＞0，∴－2＜a≤3.答案：(－2,3]7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)(k∈Z)，即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝13，则sinβ＝________.解析：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P1(22，1)，其关于y轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sinβ＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P2(－22，1)，其关于y轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sinβ＝13.综上可得sinβ＝13.答案：139．已知角θ的终边上有一点(a，a)，a∈R且a≠0，则sinθ的值是________．解析：由已知得r＝a2＋a2＝2|a|，sinθ＝ar＝a2|a|＝＞0，a＜0.所以sinθ的值是22或－22.答案：22或－2210．已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)＋l ＝8，＝3，＝3，2＝1，6，∴α＝l r ＝23或α＝l r ＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r＝14×＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.11．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β的值．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )．所以sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－25，cos α＝a a 2＋(－2a )2＝15，tan α＝－2aa＝－2，sin β＝a (2a )2＋a 2＝15，cos β＝2a (2a )2＋a 2＝25，tan β＝a 2a ＝12，故sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校(2019·衢州模拟)已知角α的终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x.(1)求x的值；(2)求sinα＋1tanα的值．解：(1)因为角α的终边经过点P(x，－2)，且cosα＝36 x，所以有xx2＋2＝36x.因为x≠0，所以x2＋2＝12，解得x＝±10.(2)若x＝10，则P(10，－2)，所以sinα＝－212＝－66，tanα＝－210＝－55，所以sinα＋1tanα＝－66－ 5.若x＝－10，则P(－10，－2)，所以sinα＝－212＝－66，tanα＝210＝55，所以sinα＋1tanα＝－66＋ 5.第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝sinαcosα.2．诱导公式组序一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos_α余弦cos α－cos αcos α－cos_αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限[小题体验]1．已知＝35，αsin(π＋α)＝______.答案：－452．若tan θ＝12，则2cos α－3sin α3cos α＋4sin α的值为________．答案：1103．化简sin(－1071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为________．解析：原式＝(－sin 1071°)sin 99°＋sin 171°sin 261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.答案：01．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．[小题纠偏]1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝________.答案：－12132．________，________.答案：(1)22(2)3考点一三角函数的诱导公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018·宁波模拟)sin 210°cos 120°的值为()A ．14B ．－34C ．－32D ．34解析：选Asin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝12×12＝14.2．(2019·嵊州模拟)已知sin(π＋α)＝－12，则cos ()A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选B因为sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以sin α＝－12.3．已知＝33，则________.解析：－π6＋＝tan π＝－＝－33.答案：－334．(易错题)设f (α)αf解：∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α，∴＝114π＝1tan π6＝ 3.5．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α＝sin(π＋α)·－sin α＝sin αsin α·cos αsin α＝cos α＝35.[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．考点二同角三角函数的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为()A ．－15B ．－25C ．15D ．25解析：选D 依题意得：tan α＋33－tan α＝5，∴tan α＝2.∴sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5(m ≠0)，则tan(k π＋θ)(k ∈Z)的值为________．解析：因为sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，所以sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得m ＝8，所以sin θ＝513，cos θ＝－1213，所以tan θ＝sin θcos θ＝－512.所以tan(k π＋θ)(k ∈Z )＝tan θ＝－512.答案：－5123．已知sin θ＋cos θ＝43，θsin θ－cos θ的值为________．解析：因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcosθ＝29.又因为θsin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－23.答案：－23[由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tan θ＝sin θcos θ化成正弦、余弦，或者利用公式sin θcos θ＝tan θ化成正切表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ“1”的变换1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tanπ4＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ表达式中需要利用“1”转化和积转换利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ[即时应用]1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于()A ．125B ．－125C ．512D ．－512解析：选D法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝yx＝－512.故选D.2．(2019·缙云模拟)设sin α＋sin β＝13，则sin α－cos 2β的最大值为()A ．－35B ．－23C ．－1112D ．49解析：选D因为sin α＋sin β＝13，所以sin α＝13－sin β.因为－1≤sin α≤1，所以－23≤sin β≤1.所以sin α－cos 2β＝13－sin β－1＋sin 2ββ－1112，当sin β＝－23时，sin α－cos 2β有最大值49.3．已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为()A ．－32B ．32C ．－34D ．34解析：选B∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.4．已知sin(π－α)－cos(π＋α)α＜sin α－cos α＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23，①将①两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＝169.又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·嘉兴七校联考)已知＝32，且|α|＜π2，则tan α＝()A ．－33B ．33C ．－3D ．3解析：选C 因为sin α＝32，所以sin α＝－32.因为|α|＜π2，所以α＝－π3，所以tan α＝＝－3.2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于()A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.3．(2019·嘉兴模拟)已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两个根，则实数a 的值为()A ．56B ．－56C ．43D ．34解析：选B由题可得，sin α＋cos α＝23，sin αcos α＝a3.所以sin 2α＋cos 2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝49－2a 3＝1，解得a ＝－56.4．1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝()A ．sin 2－cos 2B ．cos 2－sin 2C ．±(sin 2－cos 2)D ．sin 2＋cos 2解析：选A1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝1－2sin 2·cos 2＝sin 22－2sin 2·cos 2＋cos 22＝|sin 2－cos 2|.又∵π2＜2＜π，∴sin 2＞0，cos 2＜0.∴|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.5．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ________．解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴sin A ＝12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．已知tan(α－π)＝34，且α()A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选B因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34.又因为α所以α为第三象限的角，cos α＝－45.2．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2018)＝5，则f (2019)的值是()A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B∵f (2018)＝5，∴a sin(2018π＋α)＋b cos(2018π＋β)＋4＝5，即a sin α＋b cos β＝1.∴f (2019)＝a sin(2019π＋α)＋b cos(2019π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.3．(2018·宁波五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos (1009π－2α)的值为()A ．－35B ．35C ．2D ．－12解析：选B由题意可得tan α＝2，所以cos (1009π－2α)＝－cos 2α＝－cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝－1－tan 2αtan 2α＋1＝35.4．当θ为第二象限角，且＝13时，1－sin θcos θ2－sin θ2的值是()A ．1B ．－1C ．±1D ．0解析：选B ∵＝13，∴cos θ2＝13，∴θ2在第一象限，且cos θ2＜sin θ2，∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝cos θ2－sinθ21.5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则(π＋α)()A ．35B ．53C ．45D ．54解析：选B由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或x ＝2.则sin α＝－35.故原式＝cos α(－cos α)·tan 2αsin α·(－sin α)·(－sin α)＝1－sin α＝53.6．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为()A ．1＋5B ．1－5C ．1±5D ．－1－5解析：选B由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.7．已知a (|a |≤1)，则sin ________．解析：由题意知，cos π＝－a .sin π2＋a ，所以0.答案：08．(2019·义乌模拟)已知tan(π－α)＝－2，则1sin 2α－2cos 2α＝________.解析：因为tan(π－α)＝－tan α＝－2，所以tan α＝2.所以1sin 2α－2cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α－2cos 2α＝tan 2α＋1tan 2α－2＝4＋14－2＝52.答案：529．(2018·嘉兴七校联考)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角．求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．解：因为cos(75°＋α)＝513，且α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，所以sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α)＝－1213.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin(α－15°)＋cos(α－15°)＝sin [(α＋75°)－90°]＋cos [(α＋75°)－90°]＝－cos(α＋75°)＋sin(α＋75°)＝－513－1213＝－1713.10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)(θ－π)－解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13.∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝21＝18.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.答案：9122．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f 解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得＝sin 2π2018＋sin 21008π2018＝sin 2π2018＋sin＝sin 2π2018＋cos 2π2018＝1.第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)(π，0)(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，(π，－1)，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z).[小题体验]1．①y ＝cos 2x;②y ＝sin 2x;③y ＝tan 2x;④y ＝|sin x |四个函数中，最小正周期为π的奇函数是________．答案：②2．(教材习题改编)函数y ＝－2的定义域为________________．|x ≠k π＋π3，k1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω＞0时的情况．3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．[小题纠偏]1．函数y ＝4sin(－x )，x ∈[－π，π]的单调性是()A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2和π2，π上是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在π2，π和－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减函数答案：D2．函数f (x )＝sin x 在区间0，π2上的最小值为________．解析：由已知x ∈0，π2，得2x －π4∈－π4，3π4，所以x ∈－22，1，故函数f (x )＝sin x 在区间0，π4上的最小值为－22.答案：－2 2考点一三角函数的定义域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透] 1．函数y＝log21sin x－1的定义域为________．解析：21sin x－1≥0，x＞0，所以有0＜sin x≤12，解得2kπ＜x≤2kπ＋π6或2kπ＋5π6≤x＜2kπ＋π，k∈Z，|2kπ＜x≤2kπ＋π6或2kπ＋5π6≤x＜2kπ＋π，k∈.|2kπ＜x≤2kπ＋π6或2kπ＋5π6≤x＜2kπ＋π，k2．函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为______________．解析：2x＞0，－x2≥0，π＜x＜kπ＋π2，k∈Z，3≤x≤3.∴－3≤x＜－π2或0＜x＜π2.∴函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为－3答案：－3[谨记通法]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．考点二三角函数的值域或最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．函数y＝≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3解析：选A∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x－π3≤7π6，∴∈－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－3.2．(2018·浙北联考)函数f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4的最小值为________，最大值为________．解析：f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－x ＋98.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－9；当sin x ＝1时，f (x )有最大值1.答案：－913．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________________．解析：设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1.∴函数的值域为[－1,1]．答案：[－1,1]4．(2019·平阳模拟)已知函数f (x )＝2a x a ＋b (a ＜0)的定义域为0，π2，值域为[－5,1]，则a＋b ＝________.解析：因为x ∈0，π2，所以2x ＋π6∈π6，7π6，所以x ∈－12，1.因为a ＜0，所以f (x )∈[3a ＋b ，b ]．因为函数的值域为[－5,1]，所以3a ＋b ＝－5，b ＝1，所以a ＝－2，所以a ＋b ＝－1.答案：－1[由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数．[即时应用]求函数y ＝cos 2x ＋sin x|解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x |的最大值为54，最小值为1－22.考点三三角函数的性质(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．[题点全练]角度一：三角函数的周期性1．(2019·湖州期末)函数y ＝5sin －π3x()A ．6B ．－6C ．2π3D ．23解析：选A函数的最小正周期为T ＝2π|－π3|＝6.2．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若2，0，且f (x )的最小正周期大于2π，则()A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A∵2，0，∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ，∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ，∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝＋由×5π8＋2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z .又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12.角度二：三角函数的对称性3．(2018·嘉兴期末)函数f (x )＝sin x ()A ．x ＝π12B ．x ＝5π12C ．x ＝π3D ．x ＝π6解析：选A由题可得，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z .所以当k ＝0时，函数f (x )的图象的一条对称轴方程为x ＝π12.4．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________.解析：由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数，故φ＝k π＋π2(k ∈Z )．答案：k π＋π2(k ∈Z )角度三：三角函数的单调性5．(2019·浦江模拟)已知函数f (x )＝2sin ＋φ＞0，|φ|π，且是偶函数，则()A ．f (x )B ．f (x )C ．f (x )D ．f (x )解析：选A 因为函数f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2.因为函数f (x )是偶函数，且|φ|＜π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sinx ＝2cos 2x ，所以函数f (x )[通法在握]1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[演练冲关]1．(2019·舟山模拟)若函数f (x )＝sin(φ－x )是奇函数，则φ的值可能是()A ．π6B ．π3C ．π2D ．π解析：选D因为函数f (x )是奇函数，所以φ＝k π(k ∈Z )．对比选项可知，φ的值可能是π.故选D.2．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________.解析：f (x )＝sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin 又因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π2.答案：π23．函数y ＝|tan x |－π2，_______．解析：如图，观察图象可知，y ＝|tan x |－π2，减区间为－π2，0和π.－π2，0和π一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．下列函数中，周期为π的奇函数为()A ．y ＝sin x cos xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，B 、C 、D都不正确，选A.2．函数y ＝sin x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为()A.π2B.π3C.π4D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，∵ω＞0，∴当k ＝0时，ωmin＝π6，故选D.3．函数y ＝cos x －32的定义域为()A.－π6，π6B.k π－π6，k π＋π6(k ∈Z )C.2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z )D ．R 解析：选C∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .4．(2018·浙江六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos x ∈0________．解析：化简可得y ＝23sin 由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，又x ∈0，π2，∴函数的单调递增区间是0，π3.答案：0，π35．函数f (x )＝sin x 在0，π2上的值域是________．解析：∵x ∈0，π2，∴2x ＋π3∈π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.当2x ＋π3＝4π3，即x＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈－32，1.答案：－32，1二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·诸暨模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝()A ．3B ．2C ．32D ．23解析：选C 因为函数f (x )在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，所以f (x )max ＝sinωπ3＝1.又因为2πω≥2×π2，所以0＜ω≤2，所以ωπ3＝π2，解得ω＝32.2．关于函数y ＝x ()A ．是奇函数BD ．最小正周期为π解析：选C函数y ＝tanx A 错；函数y ＝tan x 增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，k ∈Z .当k ＝0时，x ＝π6，所以它的3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ()A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：选B因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有x＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则()A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x ＝π2时，f (x )有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝令－π2＋2k π≤x 3＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π2＋6k π≤x ≤π2＋6k π，k ∈Z ，故f (x )的单调增区间为－5π2＋6k π，π2＋6k π，k ∈Z ，令k ＝0，得x ∈－5π2，π2，∵[－2π，0]⊆－5π2，π2，故A 正确．5．已知ω＞0，函数f (x )＝sinω的取值范围是()A ．12，54B ．12，34C ，12D ．(0,2]解析：选A由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，＋π4，πω⊆π2，3π2，＋π4≥π2，＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A.6．若函数f (x )＝2tanT 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk ＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3.答案：2或37．已知函数f (x )＝x ∈－π3，a ，若f (x )的值域是－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵x ∈－π3，a ，∴x ＋π6∈－π6，a ＋π6，∵当x ＋π6∈－π6，π2时，f (x )的值域为－12，1，∴结合函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.答案：π3，π8．若函数f (x )＝ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈0，π2，则x 0＝________.解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12k ∈Z )，而x 0∈0，π2，所以x 0＝5π12.答案：5π129．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ＜φπ.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )×π6＋＝32，即＝32.又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f (x )＝x 令2k π－π2≤2x ＋π32k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .10．已知函数f (x )＝2sinx (1)求函数f (x )图象的对称轴方程；(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z .(2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故函数f (x )的单调递增区间为k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(3)当x ∈π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤x ≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若存在实数a ，使函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间0，π2上取到最大值1，则实数a 等于()A ．1B ．52C ．32D ．2解析：选Cy x －12a ＋a 24＋58a －12.当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，令t ＝cos x ，则0≤t ≤1，所以y －12a ＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1.①当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)，故a ＝32；②当a2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时，y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125，由于a ＜0，故这种情况不存在满足条件的a 值；③当a2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时，y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013.由于2013＜2，故这种情况下不存在满足条件的a 值．综上知，存在a ＝32符合题意．故选C.2．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ＞0，|φ|①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形；④在区间－π6，以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．解析：若①②成立，则ω＝2ππ＝2.令2×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π2，故k ＝0，则φ＝π3.此时f (x )＝x 当x ＝π3时，x sin π＝0，所以f (x )f (x )在－5π12，π12上是增函数，则f (x )在－π6，⇒③④.用类似的分析可求得①③⇒②④.。
高考数学一轮复习第四章《三角函数与解三角形》专项突破二三角函数与解三角形
专项突破二 三角函数与解三角形
解三角形是高中数学的一个重要考点，在新高考Ⅰ卷中为解答题必考考点之 一.主要与三角恒等变换、三角形的有关性质结合命题.通常第一问是解三角形，第 二问是求三角形的面积、周长等的最值或范围.主要位于解答题的前两题位置，难 度不大.需重点关注开放性试题，通过对不同条件的选取获得不同的解题思路，培 养学生提出问题、发现问题、分析问题、解决问题的能力.
迁移应用
题型二 三角形的面积问题
方法感悟 与三角形面积有关的问题的解题策略 利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角 形的面积.
迁移应用
题型三 三角形中的最值与范围问题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 迁移应用
题型一 利用正弦、余弦定理求三角形的边或角
[解析] 根据题意作出简图，如下：
方法感悟 1.正弦、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思 想是方程思想，即根据正弦、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求 得未知元素. 2.正弦、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知 条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4
第四章 三角函数、解三角形4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数必备知识预案自诊知识梳理1.角的概念的推广(1)角的定义:一条射线绕着它的 旋转所成的图形. (2)角的分类{按旋转方向不同分为 、 和 .按终边位置不同分为 和轴线角.(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k ·360°,k ∈Z },即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.2.弧度制的定义和公式(1)定义:长度等于 的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度单位用符号rad 表示,读作弧度.(2)公式:角α的弧度数公式 |α|=lr (弧长用l 表示)角度与弧度的换算①1°=π180 rad,②1 rad =(180π)°弧长公式 弧长l= 扇形面积公式S=12lr=12|α|r 23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定 义 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么y 叫作α的正弦,记作sin α x 叫作α的余弦,记作cos αyx (x ≠0)叫作α的正切,记作tan α 各象 限Ⅰ + + + Ⅱ + - - Ⅲ --+符号Ⅳ - + -三角函 数线有向线段为正弦线 有向线段 为余弦线有向线段 为正切线1.象限角2.轴线角考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)小于90°的角是锐角.( ) (2)三角函数线的方向与坐标轴同向的三角函数值为正. ( ) (3)若sin α>0,则α是第一、第二象限的角.( ) (4)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.( )(5)若角α为第一象限角,则sin α+cos α>1;若α∈(0,π2),则tan α>cos α>sin α. ( )2.已知扇形的半径为12 cm,弧长为18 cm,则扇形圆心角的弧度数是( ) A.23B.32C.23πD.32π3.sin 2cos 3tan 4的值( ) A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在4.设角α的终边与单位圆相交于点P35,-45,则sin α-cos α的值是( )A.-75B.-15C.15D.755.(2020北京东城一模,12)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的正半轴重合,将角α的终边按逆时针方向旋转π6后经过点(-1,√3),则sin α= .关键能力学案突破 考点角的表示及象限的判定〖例1〗(1)(2020江西九江一模)若sin α<0,且sin(cos α)>0,则角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角(2)终边在直线y=√3x 上的角的集合为 .(3)若角θ的终边与6π7角的终边相同,则在〖0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角为 .解题心得1.角的终边在一条直线上比在一条射线上多一种情况. 2.判断角β所在的象限,先把β表示为β=2k π+α,α∈〖0,2π),k ∈Z ,再判断角α的象限即可.3.确定角k α,αk (k ≥2,且k ∈N +)的终边的位置:先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出k α或αk的范围,最后根据k 的可能取值讨论确定k α或αk的终边所在位置.对点训练1(1)设集合M=x |x =k 2·180°+45°,k ∈Z ,N=x |x =k4·180°+45°,k ∈Z ,那么( )A.M=NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N=N(2)(2020陕西榆林一中检测,3)若角θ满足sin θ>0,tan θ<0,则θ2是( ) A.第二象限角 B.第一象限角 C.第一或第三象限角 D.第一或第二象限角 (3)已知角α为第三象限角,则2α的终边所在的位置范围为 .考点三角函数定义的应用(多考向探究)考向1 利用定义求三角函数值〖例2〗(1)(2020山东潍坊一模,3)在平面直角坐标系xOy 中,点P (√3,1),将向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点Q 的坐标是( ) A.(-√2,1) B.(-1,√2)C.(-√3,1)D.(-1,√3)(2)已知角α的终边在直线3x+4y=0上,则5sin α+5cos α+4tan α= . 解题心得用三角函数定义求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标,则直接用三角函数的定义求解三角函数值;(2)已知角α的终边所在的直线方程,注意终边位置有两个,对应的三角函数值有两组. 对点训练2(2020陕西宝鸡一中检测)已知角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴.若角α的终边过点P35,-45,则cos αtan α的值是( )A.-45B.45C.-35D.35考向2 利用定义求参数的值〖例3〗已知角α终边上一点P (m ,4),且cos α=√26m ,则m 的值为 .解题心得利用三角函数的定义求参数的值应用的方程思想,由已知条件及三角函数的定义得到关于参数的一个方程,解方程得参数的值.对点训练3已知角α的终边过点P (-8m ,-6sin 30°),且cos α=-45,则m 的值为( ) A.-12B.12C.-√32D.√32考向3 利用定义判定三角函数值的符号 〖例4〗若角α的终边落在直线y=-x 上,则sinα|cosα|+|sinα|cosα0(填“>”“<”或“=”).解题心得判定三角函数值的符号,先搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正弦、余弦函数值在各象限的正负情况确定.如果不知角所在象限,需要分类讨论求解.对点训练4若θ是第二象限角,则sin (cosθ)cos (sinθ) 0.(填“>”“<”或“=”)考向4 利用三角函数线解三角不等式〖例5〗(1)已知点P (sin α-cos α,tan α)在第一象限,且α∈〖0,2π〗,则角α的取值范围是( )A.(π2,3π4)∪(π,5π4) B.(π4,π2)∪(π,5π4)C.(π2,3π4)∪(5π4,3π2) D.(π4,π2)∪(3π4,π)(2)函数y=√sinx -√32的定义域为.解题心得三角函数线是三角函数的几何表示,正弦线、正切线的方向同y 轴一致,向上为正,向下为负;余弦线的方向同x 轴一致,向右为正,向左为负.对点训练5函数y=lg(3-4sin 2x )的定义域为 .考点扇形弧长、面积公式的应用〖例6〗(1)如图2,在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD,用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1,扇形OAB的面积为S2,当S1与S2的比值为√5-12时,扇面的形状较为美观,则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为()A.√5+14B.√5-12C.3-√5D.√5-2(2)已知扇形的周长为c,则当扇形的圆心角(正角)α=弧度时,其面积最大,最大面积是.解题心得求扇形面积的最值常用的思想方法是转化法.一般从扇形面积公式出发,在弧度制下先使问题转化为关于α的函数,再利用基本不等式或二次函数求最值.对点训练6(1)一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的弧长,则扇形的圆心角(正角)是弧度,扇形的面积是.(2)已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10,则弦AB所对的圆心角α的大小为,α所在的扇形弧长l为,弧所在的弓形的面积S为.1.在三角函数定义中,点P可取终边上任意一点,但|OP|=r一定是正值.2.在解简单的三角不等式时,利用三角函数线是一个小技巧.3.三角函数也是一种函数,它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数.1.相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等.2.在同一个式子中,不能同时出现角度制与弧度制.3.已知三角函数值的符号求角的终边位置时,不要遗忘终边在坐标轴上的情况.4.三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的正负.审题线路图——挖掘隐含条件寻找等量关系〖例〗如图,在平面直角坐标系xOy 中,某单位圆的圆心的初始位置在点(0,1)处,此时圆上一点P 的位置在点(0,0)处,圆在x 轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 .审题要点(1)已知条件:滚动后的圆心坐标为(2,1)和圆的半径长为1;(2)隐含条件:点P 转动的弧长是2;(3)等量关系:P 转动的弧长等于弧长所对的圆心角;(4)解题思路:求点P 坐标可借助已知坐标(2,1),通过构造直角三角形,并在直角三角形中利用三角函数定义求出.答案(2-sin 2,1-cos 2)解析如图,作CQ ∥x 轴,PQ ⊥CQ ,Q 为垂足.根据题意得劣弧DP⏜的长为2,故∠DCP=2.则在△PCQ 中,∠PCQ=2-π2,|CQ|=cos (2-π2)=sin2,|PQ|=sin (2-π2)=-cos2,所以点P 的横坐标为2-|CQ|=2-sin2,点P 的纵坐标为1+|PQ|=1-cos2,所以点P 的坐标为(2-sin2,1-cos2).故OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-sin2,1-cos2). 反思提升1.解决本例应抓住在旋转过程中角的变化,结合弧长公式、解直角三角形等知识来解决.2.审题的关键是在明确已知条件的基础上,寻找出隐含条件;解题的关键是依据已知量寻求未知量,通过未知量的转化探索解题突破口.第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及 任意角的三角函数 必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)端点 (2)正角 负角 零角 象限角2.(1)半径长 (2)|α|r3.MP OM AT考点自诊1.(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.B 由题意知l=|α|r ,∴|α|=lr =1812=32.3.A ∵sin2>0,cos3<0,tan4>0,∴sin2cos3tan4<0.4.A 由题意知sin α=-45,cos α=35,所以sin α-cos α=-45−35=-75.故选A .5.1 由题意,α+π6为第二象限角.tan α+π6=√3-1=-√3,所以α+π6=2π3,此时α=π2,故sin α=1. 关键能力·学案突破例1(1)D (2)α|α=π3+k π,k ∈Z (3)2π7,20π21,34π21(1)∵-1≤cos α≤1,且sin(cos α)>0,∴0<cos α≤1,又sin α<0,∴角α为第四象限角,故选D .(2)∵在(0,2π)内终边在直线y=√3x 上的角是π3,4π3,与角π3,4π3终边相同的角分别为2k π+π3,2k π+4π3=(2k+1)π+π3,k ∈Z ,∴终边在直线y=√3x 上的角的集合为{α|α=π3+kπ,k ∈Z}.(3)∵θ=6π7+2k π(k ∈Z ),∴θ3=2π7+2kπ3(k ∈Z ).依题意,0≤2π7+2kπ3<2π,k ∈Z ,解得-37≤k<187,k ∈Z .∴k=0,1,2,即在〖0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7,20π21,34π21.对点训练1(1)B (2)C (3)第一或第二象限或y 轴的非负半轴 (1)由于M 中,x=k2·180°+45°=k·90°+45°=(2k+1)45°,2k+1是奇数;而N中,x=k 4·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)45°,k+1是整数,因此必有M ⊆N.(2)由sin θ>0,tan θ<0,知θ为第二象限角,∴2k π+π2<θ<2k π+π(k ∈Z ), ∴k π+π4<θ2<k π+π2(k ∈Z ),∴θ2为第一或第三象限角.(3)由α是第三象限角,得π+2k π<α<3π2+2k π(k ∈Z ),则2π+4k π<2α<3π+4k π(k ∈Z ).故角2α的终边在第一或第二象限或y 轴的非负半轴.例2(1)D (2)-2或-4 (1)设向量OP⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴的夹角为α,向量OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴的夹角为β,点Q 的坐标为(x ,y ).由三角函数的定义得tan α=√33,所以α=π6.由题意β=π2+π6,|OP|=2,所以sin β=sin π2+π6=y2,得y=√3;cos β=cosπ2+π6=x2,得x=-1.故选D . (2)设α终边上任意一点为P (-4a ,3a ),r=|5a|.当a>0时,r=5a ,sin α=35,cos α=-45,tan α=-34,5sin α+5cos α+4tan α=3-4-3=-4;当a<0时,r=-5a ,sin α=-35,cos α=45,tan α=-34,5sin α+5cos α+4tan α=-3+4-3=-2.综上可知,5sin α+5cos α+4tan α=-4或5sin α+5cos α+4tan α=-2.对点训练2A 由三角函数的定义知cos α=35,tan α=-4535=-43,故cos αtan α=35×-43=-45. 例30或±√2 由三角函数定义,cos α=m √m 2+16=√26m ,解得,m=0或m=±√2.故m 的值为0或±√2. 对点训练3B∵r=√64m 2+9,∴cos α=-8m√64m 2+9=-45,∴4m 264m 2+9=125,且m>0,∴m=12.例4= 因为角α的终边落在直线y=-x 上,所以角α的终边位于第二或第四象限.当角α的终边位于第二象限时,sinα|cosα|+|sinα|cosα=sinα-cosα+sinαcosα=0;当角α的终边位于第四象限时,sinα|cosα|+|sinα|cosα=sinαcosα+-sinαcosα=0.所以sinα|cosα|+|sinα|cosα=0. 对点训练4< ∵θ是第二象限角,∴-1<cos θ<0,0<sin θ<1. ∴sin(cos θ)<0,cos(sin θ)>0.∴sin (cosθ)cos (sinθ)<0.例5(1)B (2)[2kπ+π3,2kπ+2π3] (k ∈Z ) (1)因为点P 在第一象限,所以{sinα-cosα>0,tanα>0,即{sinα>cosα,tanα>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角,画出单位圆.又sin α>cos α,用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界),即π4,π2∪(π,5π4).(2)由题意,得sin x ≥√32,作直线y=√32交单位圆于A ,B 两点,连接OA ,OB ,则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角x 的终边的范围,故满足条件的角x 的集合为{x |2kπ+π3≤x ≤2k π+2π3,k ∈Z}.对点训练5k π-π3,k π+π3(k ∈Z )∵3-4sin 2x>0,∴sin 2x<34.∴-√32<sin x<√32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),故x ∈(kπ-π3,kπ+π3)(k ∈Z ). 例6(1)B (2)2c 216(1)设∠AOB=θ,半圆O 的半径为r ,扇形OCD 的半径为r 1,依题意,有12θr 2-12θr 1212θr 2=√5-12,即r 2-r 12r2=√5-12,故r 12r 2=3-√52=6-2√54=√5-122,得r 1r=√5-12. (2)设扇形的半径为r ,弧长为l ,面积为S. (方法1)∵c=2r+l ,∴r=c -l2(l<c ),∴S=12rl=12×c -l2×l=-14l-c22+c216,∴当l=c2时,S max =c 216,r=c 4,此时α=lr =2. (方法2)S=12rl=14(c-l )l ≤14c -l+l 22=c 216,当且仅当c-l=l ,即l=c2时等号成立,此时S max =c 216,r=c4,α=lr =2.对点训练6(1)π-2 12(π-2)r 2 (2)π3 10π350π3−√32(1)设扇形的圆心角为θ,则扇形的周长是2r+r θ.由题意知2r+r θ=πr ,∴θ=π-2.∴扇形的面积S=12r 2θ=12(π-2)r 2.(2)在△AOB 中,AB=OA=OB=10, 故△AOB 为等边三角形.因此弦AB 所对的圆心角α的大小为π3.故α所在的扇形弧长为l=π3×10=10π3,S 弓=S 扇-S △AOB =12×10π3×10-12×102×sin π3=503π-50√32=50π3−√32.。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形大题冲关 理
第四章 三角函数与解三角形高考中三角函数与解三角形问题的热点题型从近几年的高考试题看，新课标全国卷交替考查三角函数、解三角形．该部分解答题是高考得分的基本组成部分，考查中难度属于中低档题，但考生得分不高，其主要原因是公式不熟导致运算错误，不能掉以轻心．该部分的解答题考查的热点题型有：一、考查三角函数的图象变换以及单调性、最值等；二、考查解三角形问题；三、是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题，在解题过程中抓住平面向量作为解决问题的工具，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化．热点一 解三角形与三角恒等变换的综合解三角形多与三角恒等变换相结合，主要涉及两角和与差的正弦和余弦公式、二倍角公式以及正弦定理和余弦定理，考查题型既有选择题、填空题，也有解答题．[典题1] [2016·浙江卷]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．(1)[证明] 由正弦定理，得 sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0 <A －B <π， 所以，B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ， 所以A ＝2B .(2)[解] 由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B .又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.三角恒等变换和解三角形的结合，一般有两种类型：一是先利用三角函数的平方关系、和角公式等求符合正、余弦定理中的边与角，再利用正、余弦定理求值；二是先利用正、余弦定理确定三角形的边与角，再代入到三角恒等变换中求值．具体解题步骤如下：第一步：利用正(余)弦定理进行边角转化； 第二步：利用三角恒等变换求边与角； 第三步：代入数据求值； 第四步：查看关键点，易错点．[2017·四川资阳高三上学期第一次诊断]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足2c －a cos A ＝bcos B，D 是BC 边上的一点．(1)求角B 的大小；(2)若AC ＝7，AD ＝5，DC ＝3，求AB 的长． 解：(1)由2c －a cos A ＝bcos B，得 2c cos B －a cos B ＝b cos A ， 即2c cos B ＝a cos B ＋b cos A ，根据正弦定理，2sin C cos B ＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以cosB ＝22， 又0°<B <180°，所以B ＝45°. (2)在△ADC 中，AC ＝7，AD ＝5，DC ＝3， 由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝52＋32－722×5×3＝－12，所以∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°，在△ABD 中，AD ＝5，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝ADsin B ， 所以AB ＝AD ·sin∠ADB sin B ＝5sin 60°sin 45°＝5×3222＝562.热点二 解三角形与平面向量、三角函数性质的综合三角函数性质与解三角形的综合问题多出现在解答题中，且第(1)问考查三角函数的性质，第(2)问考查解三角形问题．[典题2] 已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫3sin x 2，cos 2x2，函数f (x )＝m ·n ＋1.(1)求函数f (x )在[0，π]上的最值，并求此时x 的值；(2)将函数f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位长度并向下平移12个单位长度，得到函数g (x )的图象．若在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝12，a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．[解] (1)f (x )＝3sin x2cos x2－cos 2x2＋1＝32sin x －12cos x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋12.∵x ∈[0，π]，∴x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，∴当x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )min ＝0；当x －π6＝π2，即x ＝2π3时，f (x )max ＝32.∴当x ＝0时，f (x )min ＝0， 当x ＝2π3时，f (x )max ＝32.(2)将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12的图象，再将所得图象向左平移π3个单位长度并向下平移12个单位长度，得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的图象．∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝cos A ＝12， 又0<A <π，∴A ＝π3.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴22＝b 2＋c 2－2bc ×12，∴4＝(b ＋c )2－2bc －bc ，即4＝42－3bc ， ∴bc ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π3＝34bc ＝34×4＝ 3.向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．三角函数和解三角形的结合，一般可以利用三角变换化简所给函数关系式，再结合正、余弦定理解三角形．[2017·广东汕头一模]设a ＝(2cos ωx ，3)，b ＝(sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )(ω>0)，函数f (x )＝a ·b ，且函数f (x )图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为π4.(1)求函数f (x )的解析式；(2)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足f (A )＝0，B ＝π4，a ＝2，求c 的边的长．解：(1)f (x )＝a ·b ＝2sin ωx cos ωx ＋3(cos 2ωx －sin 2ωx ) ＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2ωx ＋32cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3.又由题意知，T ＝2π2ω＝4×π4，所以ω＝1.(2)解法一：由(1)知，f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝0，又因为 0<A <π2，所以π3<2A ＋π3<4π3，所以2A ＋π3＝π，所以A ＝π3，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝sin π3cos π4＋cos π3sin π4＝6＋24，所以由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝a sin C sin A＝2×6＋2432＝6＋323. 解法二：由(1)知，f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝0， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝0.又因为0<A <π2，所以π3<2A ＋π3<4π3，所以2A ＋π3＝π，所以A ＝π3，所以由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝a sin Bsin A ＝2×2232＝263.所以由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得4＝83＋c 2－2×263c ×12，整理，得3c 2－26c －4＝0， 解得，c ＝6＋323或c ＝6－323(舍去)． 热点三 解三角形中的最值问题解三角形中的最值问题也是高考考查的一个重点，主要以考查面积的最值、边长(周长的取值范围)、两角三角函数和的取值范围等．[典题3] [2015·山东卷]设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．[解] (1)由题意知，f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意，知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.解三角形的最值问题常需结合基本不等式求解，关键是由余弦定理得到两边关系，再结合不等式求解最值问题，或者将所求转化为某个角的三角函数，借助三角函数的值域求范围．[2017·江西临川一中模拟]已知f (x )＝3cos 2x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋x sin(π－x )，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期及单调增区间；(2)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (A )＝－3，a ＝3，求BC 边上的高的最大值．解：(1)f (x )＝3cos 2x －sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴f (x )的最小正周期为π，令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋512π≤x ≤k π＋1112π(k ∈Z )，∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )．(2)由f (A )＝－3，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3＝32， 又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2A ∈(0，π)，2A －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得9＝b 2＋c 2－bc ≥bc ，即bc ≤9(当且仅当b ＝c 时等号成立)，设BC 边上的高为h ，由三角形等面积法知12ah ＝12bc sin A ，得3h ＝32bc ≤932，∴h ≤332，即h 的最大值为332.。
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[听前试做] (1)f(x)＝ 3sin x2cos x2－cos2x2＋1＝ 23sin x－12cos x＋12＝sinx－π6＋12.
∵x∈[0，π]，∴x－π6∈－π6，56π， ∴当 x－π6＝－π6，即 x＝0 时，f(x)min＝0， 当 x－π6＝π2，即 x＝23π时，f(x)max＝32. ∴当 x＝0 时，f(x)min＝0，当 x＝23π时，f(x)max＝32.
(1)求 ω 的值； (2)求 f(x)在区间π，32π上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝ 23－ 3sin2ωx－sin ωxcos ωx
＝ 23－
1－cos 3· 2
2ωx－12sin
2ωx
＝
3 2 cos
2ωx－12sin
2ωx
＝－sin2ωx－π3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，
三角函数图象与性质的综合问题是每年高考的热点，常 涉及三角函数图象变换、周期性、单调性及最值等，题型既有 选择题、填空题，也有解答题．
[典题 1] 已知函数 f(x)＝2sinπ4－x·sinx＋π4＋2 3sin xcos x.
(1)求 f(x)的单调递增区间； (2)将函数 y＝f(x)的图象向左平移1π2个单位长度，再将所得 图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)在0，56π上的值域．
15 4.
由 S△ABC＝12bcsin A＝3 15，得 bc＝24. 又由 b－c＝2，解得 b＝6，c＝4. 由 a2＝b2＋c2－2bccos A，可得 a＝8.
由sina A＝sinc C，得 sin C＝
15 8.
(2)cos2A＋π6＝cos 2A·cos π6－sin 2A·sin π6＝ 23(2cos2A－1)－
(2)将 f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)， 得到函数 y＝sin2x－π6＋12的图象，再将所得图象向左平移π3个单位 长度并向下平移12个单位长度，得到函数 g(x)＝sin2x＋π3－π6＝ sin2x＋π2＝cos 2x 的图象．∵gA2＝cos A＝12，又 0<A<π，∴A＝π3.
(2)由(1)知 f(x)＝2sin2x＋π6，将函数 y＝f(x)的图象向左平移
1π2个单位长度后得到函数 y＝2sin2x＋1π2＋π6＝2sin2x＋π3的图
象，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，
得到函数
g(x) ＝
2sinx ＋
π 3
的图
象
．
当
x
∈
0，56π
时
，
x
＋
[听前试做] (1)f(x)＝(cos x－sin x)(sin x＋cos x)＋ 3sin 2x ＝(cos2x－sin2x)＋ 3sin 2x ＝cos 2x＋ 3sin 2x ＝2sin2x＋π6. 由 2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得 kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)， 所以 f(x)的单调递增区间为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．
12×2×sin A·cos A＝
15－7 16
3 .
解决此类问题一般利用正、余弦定理，进行边角互化．求三 角函数值时通常利用三角恒等变换化成一个角的三角函数求解．
(2016·兰州模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，已知
a 3cos
A＝sinc
C.
(1)求 A 的大小；
[典题 2] (2015·天津高考)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边 分别为 a，b，c.已知△ABC 的面积为 3 15，b－c＝2，cos A＝－14.
(1)求 a 和 sin C 的值； (2)求 cos2A＋π6的值．
[听前试做]
(1)在△ABC 中，由 cos A＝－14，可得 sin A＝
(2)若 a＝6，求 b＋c 的取值范围．
解：(1)∵
a 3cos
A＝sinc
C＝sina
A，
∴ 3cos A＝sin A，∴tan A＝ 3.∵0<A<π，∴A＝π3.
(2)∵sina
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin6
π＝4 3
3，
∴b＝4 3sin B，c＝4 3sin C，∴b＋c＝4 3sin B＋4 3sin C
又 ω>0，所以22ωπ＝4×π4，因此 ω＝1.
(2)由(1)知53π≤2x－π3≤83π.
所以－ 23≤sin2x－π3≤1.
因此－1≤f(x)≤
3 2.
故 f(x)在区间 π，32π上的最大值和最小值分别为 23，－1.
解三角形多与三角恒等变换相综合，主要涉及两角和与差的正弦 和余弦公式、二倍角公式以及正弦定理和余弦定理，考查题型既有选 择题、填空题，也有解答题．
已知向量 m＝cos
x2，－1，n＝（
3sin x2，cos2x2），函
数 f(x)＝m·n＋1.
(1)求函数 f(x)在[0，π]上的最值，并求此时 x 的值；
(2)将函数 f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不 变)，再将所得图象向左平移π3个单位长度并向下平移12个单位长度，得 到函数 g(x)的图象．若在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，gA2＝12，a＝2，b＋c＝4，求△ABC 的面积．
π 3
∈
π3，76π，故 g(x)∈[－1,2]．故函数 g(x)在0，56π上的值域为[－ 1,2]．
解决此类问题，一般先由图象或三角公式确定三角函数 y＝ Asin(ωx＋φ)＋b(或 y＝Acos(ωx＋φ)＋b 等)的解析式，然后把 ωx ＋φ 看成一个整体研究函数的性质．
设函数 f(x)＝ 23－ 3sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且 y＝f(x) 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.
＝4
3[sin B＋sin(π－A－B)]＝4
3sin
B＋sinπ3＋B
＝12sinB＋π6.
∵π6<B＋π6<56π，∴6<12sinB＋π6≤12，即 b＋c∈(6,12]．
三角函数性质与解三角形的综合问题多出现在解答题中，且第(1)
问考查三角函数的性质，第(2)问考查解三角形问题．
[典题 3]