分类讨论2

分享]中学数学中重要的数学思想――分类讨论的思想依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。

“物以类聚，人以群分”。

将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。

分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫做逻辑划分。

不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想。

因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。

需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。

应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，并力求最简。

运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。

回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有：绝对值概念的定义；根式的性质；一元二次方程根的判别式与根的情况；二次函数二次项系数正负与抛物线开口方向；反比例函数k/x的反比例系数k，正比例函数的比例系数k，一次函数kx+b的斜率k与图象位置及函数单调性关系；幂函数xn的幂指数n的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；指数函数y=ax及其反函数y=logax中底数a的a＞1及0＜1对函数单调性的影响；等比数列前n项和公式中q=l与q≠1的区别；复数概念的分类；不等式性质中两边同乘(除)时正数与负数对不等号方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥曲线中离心率e的取值与椭圆、抛物线、双曲线的对应关系；直线与圆锥曲线位置关系的讨论；运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k是否存在；曲线系方程中的参数与曲线类型；角终边所在象限与三角函数符号;……当你对以上各种情况“心中有数”时，分类讨论便不再令人望而生畏。

例1 设首项为1，公比为q(q＞0)的等比数列的前n项之和为Sn又设Tn=Sn/(Sn+1)(n=1，2，…)，例2 不等式√(4-x2)+∣x∣/x≥0的解集是( )(A){x∣-2≤x≤2} (B){ x∣-√3≤x＜0或0＜x≤2}(C){x∣-2≤x＜0或0＜x≤2} (D){x∣-√3≤x＜0或0＜x≤√3}分析：使不等式有意义的x的范围是4-x2≥０;x≠0。

即-2≤x＜0∪0＜x≤2．题设不等式的左边为两项，其中一项为二次算术根式，另一项是带绝对值的分式。

宜先分类讨论去掉绝对值符号，化为无理不等式处理。

解：(1)当x>0时，∣x∣/x=1，原不等式等价于√(4-x2)≥-1．由4-x2≥0，x＞0，得0＜x≤2；(2)当x＜0时，∣x∣/x=-1，原不等式等价于√(4-x2≥1由4-x2≥0;4-x2≥1;x＜0得-√3≤x<0．所以原不等式的解集为{x｜-√3≤x＜0或0＜x≤2}．故应选(B)．例3 当α从0°到1 80°变化时，曲线x2+y2cosα=1怎样变化?解：当α=0°时，cosα=1，曲线方程化为x2+y2=1，显然这是单位圆；当90°＜a＜180°时，-1＜cosα＜0，-(1/cosα)＞1，原方程化为x2/1-y2/-(1/cos)=1，它表示双曲线，a=1，b=√(-1/cosα）＞1=a，双曲线焦点在x轴上；当α=180°时，cosα=-1，原方程化为x2-y2=l，它表示焦点在x轴上的等轴双曲线。

评注：当α从0°到180°变化时，曲线从单位圆、椭圆、平行直线到双曲线、等轴双曲线；量变引起质变，关节点上发生突变飞跃，你看，辩证法在中学数学中体现得何等淋漓痛快。

例4 解不等式loga(1-1/x)＞1． [96理(20)] 分析：由于对数函数的增减性与底数a的取值范围有关，因此应分0＜a＜l与a＞l两种情形讨论该不等式的解集；其次，去对数符号时，应注意同解性；再次，不等式变形时，也要注意同解性。

解：为了使不等式有解，必须a＞0且a≠1．当0°＜α<90°时，0＜cosα＜1，1/ cosα＞1，曲线方程化为x2/1+y2/(1/cosα)=1,它表示焦点在y轴上的椭圆，短半轴为定长1；长半轴√(1/cosα)当α→90°时无限变长；当α＝90°时，cosα＝0，原方程化为x2=1，x=±l，它表示两条平行直线；评注：当a＞l与0＜a＜l时，对数函数的增减性不同，因而所求不等式的解集也不相同．这类题目对分类讨论思想的考查是隐蔽的，对数函数性质清楚的同学可以一眼洞穿。

例5 从0,1,2,3,…8这九个数字中，任取三个数字排成三位数，且6可当9用，可以组成多少个不同的三位数?分析：既然数字6的作用特别，就按所排成的三位数中有或没有6来划分，分类讨论。

解：(1)所排的三位数中没有数字6，则需从另外8个数字中取三个数字；又0不能作百位数，故这三个数字又有两种取法：①三位数中既没有6，又没有0的，有p73个；②三位数中没有6，但有0的，有2P72个；(2)所排三位数中有6的，由于6可当9用，所以有的三位数一个就应当作两个看．此外，另两个数中也有含0或不含0的问题，共有两种取法：①含6但不含0的三位数有2 C11C72P33,②含6也含有0的三位数有2P21C71P22个．∴满足条件的三位数共有：P73+2P72+2C11C72P33+2P21C71P22=602(个)．答：这样的三位数一共可以组成602个．例6 若a≠-1/2，解关于x的不等式(x+4a)(x-6a)/(2a+1)＞0．分析：式中2a+1的值正负不定，所以将原不等式去分母化为一元二次不等式时不等号方向不同，要分类讨论；化为一元二次不等式后，-4a与6a的大小也需要再分类讨论．解：(1)当2a+1＞0，即a＞-1/2时，原不等式化为(x+4a)(x-6a)＞0．①当a＞0时，-4a＜0＜6a，∴ x＜-4a或x＞6a；②当a=0时，-4a=6a=0，原式化为x2＞0,∴x≠0；③当-1/2＜a＜0时，6a＜0＜-4a,∴x＜6a或x＞-4a．(2)当2a+1＜0即a＜-1/2时，原式化为(x+4a)(x-6a) ＜0∵6a＜0＜-4a，∴6a＜x＜-4a．综上讨论，不等式的解集为：当a＞0时，{x︱x＜-4a或x＞6a}；当a=0时，{x︱x≠0，x∈R}；当a∈(-1/2,0)时，{x∣x＜ 6a或x＞-4a}；当a∈(-∞-1/2)时，{x∣6a＜x＜-4a}．例7 已知集合A={(x，y)∣(y-3)/(x-2)=a+1}，B={(x，y)∣(a2-1)x+(a-1)y=15}，若A∩B=Φ，求实数a的取值范围。

解：(1)当a=1时，B=Φ,∴A ∩ B=Ф；(2)当a≠1时，A∩B=Ф等价于方程组显然方程组无解等价于方程③无解或方程③有一解x=2(为什么?)．而方程③有无解又要对a2-1是否为零即a是否等于±1分别讨论：①当a=1时，③化为0²x=15，无解，与(1)同；②当a=-1时，③化为0²x=2l，无解，此时A ∩ B=Ф成立；③当a≠-1时，方程(3)可化为x=(2a2-3a+16)/2(a2-1)若x=2，代入上式可得2a2+3a-20=0，解得a=-4或a=5/2，此时A∩ B=Ф．综合(1)，(2)得a=±1，-4，5/2时A∩B=Ф．评述：本命题实质是判定以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆与其准线的位置关系(即是相交、相切、相离)。

大家再一次看到量（e）变引起质（位置）变的数学例子。

例9 设圆锥PO的母线长为2，轴截面面积为1，则过顶点O的圆锥PO的截面面积的最大值为_____．解：设圆锥轴截面顶角为θ，则S轴截面=1/2³ 2 ³ 2 ³ sinθ=2sinθ=1，∴sinθ=1/2，θ=30°或150°．当θ=30°时，过顶点O的圆锥PO的截面均为等腰三角形，其两腰为圆锥的两条母线，另一边为底面圆的一条弦，由于圆的任意一条弦都小于(或等于)直径，故由平面几何知识知，此时截面等腰三角形的顶角都小于轴截面的顶角30°，在(0°，30°]范围内，正弦函数是单调递增的由三角形面积公式S=1/2³ 2 ³ 2²sinα=2sinα知，当α=θ=30°时，S最大＝1；当θ＝150°时，过顶点O的截面的两条母线互相垂直时，截面面积最大，此时S最大=1/2³2³2³sin90°=2．综合可知，过顶点O的圆锥PO的截面面积的最大值为1或2．例10 在直角坐标系中，设矩形．OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1-2t，2+t)，R(-2t，2)，其中t∈(0，+∞)．求矩形OPQR在第一象限部分的面积S(t)．分析：先画出草图帮助分析．要求矩形OPQR在第一象限部分的面积S(t)，必须知道它在第一象限内的部分是什么图形．由于O为定点，当t为正数时，虽然点P(1，t)恒在第一象限，而点R(-2 t，2)恒在第二象限(-2 t＜0，2＞0)，但点Q(1-2t，2+t)的横坐标1-2t 可正，可零，可负，即Q点可能在第一象限或在y轴正半轴上或在第二象限，从而矩形在第一象限内的部分可能是三角形也可能是直角梯形，故需分类求解．解：(1)当Q点的横坐标1-2t＞0即0＜t＜1/2时，Q点在第一象限．设QR与y轴相交于K．直线QR的方程是(y-2)/(2+t-2)=(x+2t)/(1-2t+2t)，即y-2=t(x+2t)，令x=0，得y=2+2t2，∴S(t)=SOPQR-SOKR=∣OP∣²∣PQ∣-1/2|OR|²|RK|.∵∣OP∣=√(1+t2),∣OR∣+2√(1+t2),∴√(1+t2)•2√(1+t2)-1/2³2(1+t2)²2t=2(1-t+t2-t3);(2)当1-2t=0即t=1/2时，Q点坐标为(0，5/2)∴S(t)=SOPQ=1/2³5/2³1=5/4；(3)当1-2 t＜0．即t＞1/2时，Q点在第二象限，设PQ与y轴相交于点L．直线PQ的方程是(y-t)/(2+t-t)=(x-1)/(1-2t-1) 即y-t=-1/t(x-1),令x=0得y=t+1/t,∴L坐标为(0,t+1/t)评注：本题适当变换思路和解题方法，避开了分类讨论。